第四章空间力系的合成与平衡
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第4章空间力系分解
合力的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
Fx 方向余弦 cos( FR , i ) FR
Fy Fz cos( FR , j ) cos( FR , k ) FR FR
7
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过汇交点.
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。
25
力偶系的合成（与汇交力系的计算完全相同）
合力偶矩矢
M Mi
M x Mix M y Miy Mz Miz
M M xi M y j Mzk
合矢量投影定理：Βιβλιοθήκη 合力偶矩矢的大小和方向余弦:
M
M M M
2 2 ix iy iz
2
M ix cos M
cos
M iy M
M iz cos M
26
空间力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩矢等于零。
为代数量
z
即：力对轴之矩，等于力在垂直于
该轴的平面上的投影对轴与平面交 点之矩。 O x
y
特殊情况：
1、力与轴平行，矩为零。 2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，力对轴之矩为零。 16
合力矩定理
空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于力系中所有各 力对于该轴的矩的代数和。（用于求力矩）
B
F
F
rBA rA
A
M rBA F
rB
O
23
2、空间力偶等效定理
作用在同一刚体上的两个力偶，如果力偶矩矢相等， 则它们彼此等效。
02-7.4 空间力偶系的合成与平衡(课件)
za
A
FAx
M1
B
90° M2
C
x
b 90°
c
M3
D
FDx
z
FDz
M3
FDz·b
M2 B FDx·c
FAz·a
x
M1 FAx·a
y
空间汇交力系和空间力偶系
4、空间力偶系的合成与平衡
空间汇交力系和空间力偶系
力偶系
完全由一群力偶所组成的力系。
平面力偶系 各力偶的作用面均处于同一平面内。
空间力偶系 各力偶的作用面不处于同一平面内。
空间力偶系能否像平面力偶系一样用简单力系（ 一 个力偶）等效代替？平衡条件（方程）是什么？
4、空间力偶系的合成与平衡
空间汇交力系和空间力偶系
4、空间力偶系的合成与平衡
空间汇交力系和空间力偶系
例3 无重曲杆ABCD有两个直角，且平面ABC与平面BCD垂直。杆的D端为球 4、空间力偶系的合成与平衡
铰链支座，另一端A受径向轴承支持。在曲杆的AB、BC和CD上作用三个力
偶，力偶所在的平面分别垂直于AB、BC和CD。已知力偶矩M2 和M3
求使曲杆处于平衡的力偶矩M1和支座约束力。
如果已知各分力偶矩，采用解析法，由合矢量投影定理：
Mx Mx , M y M y , Mz Mz
合力偶矩矢的大小
M (
Mx
) 2
(
M
y
) 2
(
Mz
) 2
合力偶矩矢的方向（方向余弦）
cos α Mx
M
cos M y
M
cos Mz
M
α β γ 为合力矩矢M与x, y, z轴的正向夹角
解：取曲杆为研究对象，以B为原点，建立如图
理论力学 第四章 空间力系
r FR = 0
∑F = 0
x
∑F = 0
y
称为空间汇交力系的平衡方程. 称为空间汇交力系的平衡方程. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 空间汇交力系平衡的充要条件： 充要条件 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零. 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
例 题 1
求： 绳的拉力和墙体的约束反力 。
=
=
F = F′ = F2 1 1
= F2′ = F3 = F3′
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．空间力偶系的合成与平衡条件
=
=
r r r r r r r r r M 1 = r1 × F1 , M 2 = r2 × F2 ,......, M n = rn × Fn
A
P
c a y
i
j k
O
MO ( P ) = r × P = 0 b 0 0 0 P = Pbi
（2）利用力矩关系
x
α
b
M OA ( P ) = M O ( P ) cos α = Pab a 2 + b2 + c 2
MO(P)
例 题 4
已知：OA=OB=OC =b, OA⊥OB⊥OC. 已知： 求： F 对OA边的中点 之矩在 方向的投影。 边的中点D之矩在 方向的投影。 力 边的中点 之矩在AC方向的投影
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 r r r r M x ( F ) = M x ( Fx ) + M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = Fz ⋅ y − Fy ⋅ z
工程力学-4
图 4-2 解：研究对象：起重杆 ABG 重物
受力分析：P， F1， F2， FA (AB 为二力杆) 球铰链如图 4-2b 特点：1) 可绕球心任意相对转动
2) 约束反力可用三个直交分力表示 选坐标 Axyz 列平衡方程：
Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0,
F1 sin 45° F2 sin 45° = 0 FA sin 30° F1 cos 45°cos 30° F2 cos 45°cos 30° = 0 F1 cos 45°sin 30° + F2 cos 45°sin 30° + FA cos30° P = 0
2．空间汇交力系的合力与平衡条件
将平面汇交力系的合成法则扩展到空间，可得
(1) 空间汇交力系的合成：
① 几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求
合力。
FR = F1 + F2 +……+Fn = F 即：空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。
② 解析法：
将 F = Fxi + Fyj + Fzk 代入上式得 FR = Fxi + Fyj + Fzk 即： FRx = Fx, FRy = Fy, FRz = Fz 空间合力投影定理：
M0(F)在三个坐标轴上的投影，即
[M0(F)]x = yFz – zFy
[M0(F)]y = zFx – xFz
(a)
[M0(F)]z =xFy – yFz
2．力对轴的矩
以门的转动为例来说明：力 F 与转轴不相垂直的情况：此时可把力 F
分解为平行 z 轴的 Fz 和垂直于 z 轴的平面 xy 上的分力 Fxy，(即力 F 在 xy 平面上的投影)很显然 Fz 对门没有转动效应，只有 Fxy 对门有转动效应，因 此，可用力 Fxy 对 O 点主矩来度量，即：
平面任意力系的合成与平衡条件(建筑力学)
平面汇交力系 合成 FR=Fi 平面力偶系 合成 M=Mi
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 FR 和主矩 MO 都等于零 FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡
FR' ( Fx )2 ( Fy )2 0
MO MO (Fi ) 0
平面任意力系 的平衡方程
Fx 0
Fy 0 MO(Fi ) 0
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系平衡方程的基本式
● 几点说明：
（1）三个方程只能求解三个未知量 （2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可 （3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直 （4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的合 成与平衡条件
平面任意力系的合成与平衡条件
平面任意力系
平面任意力系 1、力系的简化 2、平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的合成与平衡条件
平面任意力系：各力的作用线在同一平面 内，既不汇交为一点又不相互平行的力系。 研究方法：
（平面任意力系） 未知力系
力系向一点简化
已知力系 （平面汇交力系和平面力偶系）
平面任意力系的简化
F Bd
A
F′
F Bd
A F′ ′
F′ M
B A
M=±F. d=MB(F)
定理：可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同 时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。
平面任意力系的简化
为什么钉子有
时会折弯？ F ′ F
M
两圆盘运动形式 是否一样？
空载时，为使起重机不绕点A翻倒，力系满足平衡方程 MA(F ) 0 。
工程力学
M O ( F ) M x ( F ) i M y ( F ) j M z ( F )k Fb sin i Fa sin j ( Fb sin sin Fa sin cos ) k
例 题 3
已知： P 、 a、b、c 求： 力P 对OA轴之矩
z
解：（1）计算 MO(P)
已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削 力偶矩均为80N· m. 求：工件所受合力偶矩在 x, y, z 轴上的投影
解：把力偶用 力偶矩矢表示， 平行移到点A .
M x M ix M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m
M y M iy M 2 80N m M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m
a 2 b2 c2
例4 6.2
如图所示，长方体棱长为 a、 b、c，力 F 沿BD，求力 F 对AC 之矩。 解： mAC (F ) mC (F ) AC
B
F
c
a
C
D
b
A
mC ( F ) F cosa
Fba a 2 b2
mAC ( F ) mC ( F ) cos
Fabc a 2 b2 a 2 b2 c 2
§4–3
空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积；
（2） 方向：转动方向；
（3） 作用面：力偶作用面。
（1） 大小
（2） 方向
理论力学 chap4
M y M iy M 2 80 N m
M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193 .1N m
M M ix i M iy j M iz k
例 已知: F1 = 10kN，F2 = 16kN， F3 = 20kN，a=10cm .求力系的合力偶。
2 2 2
力F 对原点O之矩方向余弦：
Mx cos( M O , i ) 0.845 MO
My cos( M O , j ) 0.531 MO Mz cos( M O , k ) 0.064 MO
M O M x M y M z 124 .3 N m
§4-3 空间力偶系 1 空间力偶的概念
F Fx Fy Fz
2 2 2
cos( F , i )
Fx F
解题时究竟用哪种 方法求力的投影？
例1 半径r的斜齿轮，其上作用力F，如图所示。求力在坐标 轴上的投影。
解： Fx Ft F cos sin
FY Fa F cos cos
Fz Fr F sin
Fxy Fxy
F
o d
M z ( F ) M O ( Fxy )
(1)定义
M z dFxy
力对轴之矩的绝对值等于该力在与轴垂直的 平面上的投影对轴与平面交点之矩。
如何求力对轴之矩？
力对轴之矩是代数量，并按右手规则 确定其正负号。
力与轴平行或相交时力对该轴的矩等于零
（1）合力之矩定理
合力对任一点之矩矢等于力系中各力 对该点之矩矢的矢量和；合力对任一轴之 矩等于力系中各力对该轴之矩的代数和。
理论力学课件 7.1 空间汇交力系的合成与平衡
F z = F cos g
空间汇交力系和空间力偶系
（2）空间汇交力系的合成
FR = å Fi
由合矢量投影定理，得合力投影定理：
å å F Rx =
Fix FRy =
Fiy
å FRz =
Fiz
1、空间汇交力系的合成与平衡
合力的大小为： FR = FRx2 + FRy2 + FRy2
å å å 方向为：cos(FR,i) =
F1
θ
FA P AA
1、空间汇交力系的合成与平衡
y
x
求解得: F1=F2=3.54kN FA=8.66kN
空间汇交力系和空间力偶系
空间汇交力系和空间力偶系
空间汇交力系和空间力偶系
本讲主要内容
1、空间汇交力系的合成与平衡 2、力对点的矩和力对轴的矩 3、空间力偶及其性质 4、空间力偶系的合成与平衡
空间汇交力系和空间力偶系
1、空间汇交力系的合成与平衡
空间汇交力系和空间力偶系
（1）力在坐标轴上的投影a. 直接投影法
1、空间汇交力系的合成与平衡
Fz
γF
β α
Fy
Fx
Fx = F cosa
Fy = F cos b
Fz = F cosg
空间汇交力系和空间力偶系
（1） 力在坐标轴上的投影b. 二次投影法 间接投影法
1、空间汇交力系的合成与平衡
Fz
γF Fy
j Fx
Fxy = F sinγ
Fx = F sin g cos j
Fy = F sin g sin j
Fix FR
cos(FR, j) =
Fiy FR
cos(FR,k) =
空间汇交力系和空间力偶系
（2）空间汇交力系的合成
FR = å Fi
由合矢量投影定理，得合力投影定理：
å å F Rx =
Fix FRy =
Fiy
å FRz =
Fiz
1、空间汇交力系的合成与平衡
合力的大小为： FR = FRx2 + FRy2 + FRy2
å å å 方向为：cos(FR,i) =
F1
θ
FA P AA
1、空间汇交力系的合成与平衡
y
x
求解得: F1=F2=3.54kN FA=8.66kN
空间汇交力系和空间力偶系
空间汇交力系和空间力偶系
空间汇交力系和空间力偶系
本讲主要内容
1、空间汇交力系的合成与平衡 2、力对点的矩和力对轴的矩 3、空间力偶及其性质 4、空间力偶系的合成与平衡
空间汇交力系和空间力偶系
1、空间汇交力系的合成与平衡
空间汇交力系和空间力偶系
（1）力在坐标轴上的投影a. 直接投影法
1、空间汇交力系的合成与平衡
Fz
γF
β α
Fy
Fx
Fx = F cosa
Fy = F cos b
Fz = F cosg
空间汇交力系和空间力偶系
（1） 力在坐标轴上的投影b. 二次投影法 间接投影法
1、空间汇交力系的合成与平衡
Fz
γF Fy
j Fx
Fxy = F sinγ
Fx = F sin g cos j
Fy = F sin g sin j
Fix FR
cos(FR, j) =
Fiy FR
cos(FR,k) =
空间力系—空间汇交力系(理论力学)
直接投影法（一次投影法） 间接投影法（二次投影法）
2、力F沿空间直角坐标轴分解所得分力Fx 、Fy 、Fz的大小，等于该力在相应轴上投影 的绝对值。
3、分力是矢量，投影是代数量。
4、已知投影求力的大小：F Fx2 Fy2 Fz2
g为F 与z轴正向间的夹角，则
z
Fz
F
g
O
b
Fy
Fx
y
x
F Fx2 Fy2 Fz2
例1 设力 F 作用于立方体的点 A，其作用线沿面ABCD对角线。试求力在图示直角 坐标轴上的投影。
解：
45
b 45
F 在Z轴上的投影
FZ Fcos
2F 2
F 在y轴上的投影
Fy Fcosb
2F 2
二、空间汇交力系的平衡
1、平衡条件：力系的合力等于零。即 FR=0
FR Fx 2 Fy 2 Fz 2 0
2、平衡方程：
例1 杆AO，BO，CO用光滑铰链连接在O处，并在O处挂有重物，重力为G。如图所示。各 杆的自重不计，且α＝45，OB=OC，试求平衡时各杆所受的力。
解： （1）选取铰链 O为研究对象，画受力图。
cos 45
2F
FB FC
2F 2
FB，FFAC为为负正值值，，说说明明假假设设方方向向与与实实际际方方向向相相反同，，即即ABOO杆杆受和压CO。杆受 拉。
例2 如图所示，起重机起吊重物, 连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角α=30，CDB平面与水平面间 的夹角∠EBF= 30,重物G=10 kN。不计起重杆的重量,试求起重杆和绳子所受的力。
FC
O
FB
WF
FA
C
O
空间力系的平衡方程及其应用
机械设计基础
机械设计基础
Machine Design Foundation
空间汇交力系的合成与平衡
1.1. 空间汇交力系的合成与平衡条件
将平面汇交力系的合成法则扩展到空间，可得：空间汇交 力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交 点。合力矢为
n
FR F1 F2 Fn Fi i 1
FR Xii Yi j Zik
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系的合力
等于零，即
n
FR Fi 0 i 1
机械设计基础
Machine Design Foundation
空间汇交力系的合成与平衡
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各 力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。式（1-23） 称为空间汇交力系的平衡方程。
机械设计基础
Machine Design Foundation
空间一般力系的合成与平衡
1.2 空间一般力系的合成与平衡条件
空间一般力系向一点简化的结果为一主矢和一主矩矢，其平衡条件为主矢和主 矩矢同时为零，各自分解成3个代数式，可得空间一般力系的平衡方程
X 0
Y 0
Z 0
M x(F) 0
EBF 30
（图1-47b），物重P=10kN。如起 重杆的重量不计，试求起重杆所 受的压力和绳子的拉力。
机械设计基础
Machine Design Foundation
空间汇交力系平衡方程应用
解：取起重杆AB与重物为研究对象，画受力图 ， 取坐标轴如图所示。列平衡方
程
X 0, Y 0, Z 0,
又,按题意有
Fr 0.36 F
机械设计基础
Machine Design Foundation
机械设计基础
Machine Design Foundation
空间汇交力系的合成与平衡
1.1. 空间汇交力系的合成与平衡条件
将平面汇交力系的合成法则扩展到空间，可得：空间汇交 力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交 点。合力矢为
n
FR F1 F2 Fn Fi i 1
FR Xii Yi j Zik
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系的合力
等于零，即
n
FR Fi 0 i 1
机械设计基础
Machine Design Foundation
空间汇交力系的合成与平衡
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各 力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。式（1-23） 称为空间汇交力系的平衡方程。
机械设计基础
Machine Design Foundation
空间一般力系的合成与平衡
1.2 空间一般力系的合成与平衡条件
空间一般力系向一点简化的结果为一主矢和一主矩矢，其平衡条件为主矢和主 矩矢同时为零，各自分解成3个代数式，可得空间一般力系的平衡方程
X 0
Y 0
Z 0
M x(F) 0
EBF 30
（图1-47b），物重P=10kN。如起 重杆的重量不计，试求起重杆所 受的压力和绳子的拉力。
机械设计基础
Machine Design Foundation
空间汇交力系平衡方程应用
解：取起重杆AB与重物为研究对象，画受力图 ， 取坐标轴如图所示。列平衡方
程
X 0, Y 0, Z 0,
又,按题意有
Fr 0.36 F
机械设计基础
Machine Design Foundation
黄安基--第4章 空间力系的简化和平衡
P64
理论力学电子教程
第四章 空间力系
2、空间力偶系的合成与平衡.
M M1 M2 Mn M
空间力偶系可合成为一合力偶, 该合力偶矩矢等于力 偶系中所有各力偶矩矢的矢量和。
空间力偶系平衡的必要与充分条件是:该力偶系中所 有的各力偶矩矢的矢量和为零 。
M 0
投影形式有
M x 0, M y 0, M z 0,
影)P58 Fxy F sin
Fx Fxy cos F sin cos
Fy Fxy sin F sin sin
Fz F cos
x
反之 F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx / F, cos Fy / F, cos Fz / F
这里注意力向坐标轴投影是代数量
而力向某平面投影是矢量。
第四章 空间力系
作业： 今天交上次：全部 布置本次：课后习题 4-2、4-6、补充：电子教案4-4
理论力学电子教程
第四章 空间力系
§4－4 空间任意力系的简化
1、空间任意力系向已知点的简化
简化理论依据是: 力线平移定理。
力线平移定理:
作用于刚体上的任一力,可平移 至刚体的任意一点,欲不改变该 力对于刚体的作用,则必须在该 力与指定点所决定的平面（力 矩面）内加一力偶,其力偶矩矢
理论力学电子教程
第四章 空间力系
(5)FR 0, M 0 0, M 0 // FR
(最后形成力+力偶（称其为力螺旋）)
理论力学电子教程
(6)FR 0, M 0 0,
(成任意角)
(最后也形成力螺旋)
第四章 空间力系
空间任意力系的合力矩定理
若空间任意力系可以合成为一个合力时，则其合力对于任 一点之矩(或任一轴之矩)等于力系中各力对于同一点之矩的矢 量和(或同一轴之矩的代数和)，这即为空间力系合力矩定理。
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第四章 空间力系
2、空间力偶系的合成与平衡.
M M1 M2 Mn M
空间力偶系可合成为一合力偶, 该合力偶矩矢等于力 偶系中所有各力偶矩矢的矢量和。
空间力偶系平衡的必要与充分条件是:该力偶系中所 有的各力偶矩矢的矢量和为零 。
M 0
投影形式有
M x 0, M y 0, M z 0,
影)P58 Fxy F sin
Fx Fxy cos F sin cos
Fy Fxy sin F sin sin
Fz F cos
x
反之 F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx / F, cos Fy / F, cos Fz / F
这里注意力向坐标轴投影是代数量
而力向某平面投影是矢量。
第四章 空间力系
作业： 今天交上次：全部 布置本次：课后习题 4-2、4-6、补充：电子教案4-4
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第四章 空间力系
§4－4 空间任意力系的简化
1、空间任意力系向已知点的简化
简化理论依据是: 力线平移定理。
力线平移定理:
作用于刚体上的任一力,可平移 至刚体的任意一点,欲不改变该 力对于刚体的作用,则必须在该 力与指定点所决定的平面（力 矩面）内加一力偶,其力偶矩矢
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第四章 空间力系
(5)FR 0, M 0 0, M 0 // FR
(最后形成力+力偶（称其为力螺旋）)
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(6)FR 0, M 0 0,
(成任意角)
(最后也形成力螺旋)
第四章 空间力系
空间任意力系的合力矩定理
若空间任意力系可以合成为一个合力时，则其合力对于任 一点之矩(或任一轴之矩)等于力系中各力对于同一点之矩的矢 量和(或同一轴之矩的代数和)，这即为空间力系合力矩定理。
第四章空间力系
效应取决于下列三要素： ⒈
⒉
力矩的大小 ；
力矩的转向 ；
⒊ 力的作用线与矩心所组
成的平面的方位 (力矩作用面)。
二、力对点的矩的矢量表示
在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题 中，由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。
⒈
⑴
力矩矢的表示方法
力矩矢大小 ：
M O (F ) M O (F ) F h 2AOB面积
F ,cos g FR
z
注意：
因主矢等于原力系各力的矢量和,所 以它与简化中心的位置无关。
⒉ 主矩：指原空间一般力系对简化中心之矩的矢量和 mo ( Fi )。
即 M o mo ( Fi )
根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:
M Ox [ mO ( F )]x mx ( F );
M Oy [ mO ( F )] y m y ( F ); M Oz [ mO ( F )]z mz ( F )
大小： M O M Ox 2 M Oy 2 M Oz 2 主矩 M O 解析求法
M Oy M Ox M Oz 方向： cos ' ,cos ' ,cosg MO MO MO
M为自由矢量。
⒉
力偶矩矢表示方法
（1）矢量的模，即力偶矩的大小 M Fd 2ABC （2）矢量的方位与力偶作用面相垂直； （3）矢量的指向与力偶的转向的关系服从右手螺 旋法则。即如以力偶的转向为右手螺旋的转动方 向，则螺旋前进的方向或拇指的指向即为矢的指 向 ，或从力矩矢的末端看去，物体由该力所引起 的转向为逆时针转向 。
空间力系
空间汇交力系 力对点的矩与力对轴的矩 空间力偶系 空间一般力系向一点的简化 空间一般力系简化结果的讨论 空间一般力系的平衡方程及应用 重心 习题课
第四章平面任意力系
R
42.01
R'
25kN
MA
d
A
1m
1m
20kN 60o
1m
B
30o
18kN
R
求力系的主矩
MA = 1×25 + 2 × 20sin60o - 3 × 18sin30o = 32.64 kN·m
d M A 32.64 0.777 m R 42.01
§4-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
F'1 M2
M1 O ·
Mn F'n
主矢′:力系中各力的矢量和.
F'2 x
y F'R
O· MO x
n
F R
F 1
F 2
F n
F i
i 1
主矩:力系中各力对简化中心o点的矩的代数和称为该力
系对简化中心o点的主矩.
n
M o
M M 1
2
M n
M
o
(
F i
)
i1
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三、平面任意力系向作用面内任一点的简化
合力 合力 合力偶 平衡
合力作用线过简化中心 作用线距简化中心 M O FR
与简化中心的位置无关
与简化中心的位置无关
合力FR 是在主矢FR´的那一侧，则要根据主矩的正负号来确定 。
原则是合力对简化中心的距的转向要与主矩的转向一致 。
合力矩定理：
n
MO (FR ) mO (Fi )
i 1
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于 力系中各力对于同一点之矩的代数和。
解题技巧
①选研究对象
①选坐标轴最好是未知力投影轴；
理论力学 第4章-空间力系
mx (P) m y (P) mz (P)
6. 空间力矩的平衡:
M
o
(R) 0 m m m
x
0 0 0
空间力矩的平衡方程
y
z
§4-4 空间一般力系的简化和合成
1. 空间一般力系向一点O简化:
1) O点的空间汇交力系: ( P , P , P , P ); 2) 空间附加力偶系: ( m ( P ), m ( P ), m ( P ), m
2. 力偶系的合成:
1) 合力偶矩定理:空间上力偶系的合力偶矩等于各 (几何法) 个分力偶矩的矢量和 I l
2) 合力偶矩投影定理: 空间上力偶系的合力偶矩在 (解析法) 一根轴上的投影等于各个合力偶矩在同 一 轴上的投影的代数和
Lx Ly Lz
l l l
x
y
z
3. 力偶系的平衡
x0 y0 z0 N A B c o s c o s T1 0 N A B c o s sin T 2 0 N A B sin Q 0
3. 求解 :
cos s in cos 80
2
60
2
145 105 145 80 100 4 5 ;
方向余弦; 方向余弦;
Lx Ly Lz
3. 空间一般力系的再生成:
合成为合力:
当 R 0 , L 0 或 R L 时 大 小: 方向: 作 用 线 : 由 空 间 作 用 线 函 数 方 程 确 定 ; 或 简 单 地 在 L 作 用 面 内 , 以 d=| L R | 及 L 转 向 来 确 定 作 用 线 位 于 R 左 侧 或 右 侧 的 位 置 . R=R 可合为一合力
第4章空间力系平衡
5 FR 0
M 0
M 0
R // M
力螺旋 o
FR
力螺旋 o Mo
M FR
O
M
FR
M
FR
O O
oo M
M FR
FR
空间力系简化结果分析
主矢(O)
FR 0
FR 0
FR 0
FR 0
Fx
Fz
例题
方法2 应用力对轴的矩之解析表达式求解。
M x F yFz zFy M y F zFx xFz M z F xFy yFx
因为力在坐标轴上的投影分别为： Fx F sin , Fy 0, Fz F cos
力作用点D 的坐标为： x l, y l b, z 0
cos( MO ,
j)
My MO
0.531
cos( MO , k)
Mz MO
0.064
§3-3 空间力偶理论
一. 空间力偶的性质
作用于同一物体上的 大小相等,方向相反 且不共线的两个力 组成的特殊力系.
力偶对刚体的转动效应（大小和转
向，力偶作用面的方位）用力偶矩矢来度量。
M
F
r
1. 直接求解法
例 列传动轴的平衡方程。 解：画受力图。列出各力在轴上的投影及对轴之矩。
y
FAy
FCr FCt
FBy
A
FAx z FAz
C
FDt
D
Bx
FBz
FDr
由表中各行可列出六个 平衡方程为：
Fx=FAx=0
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例4-6 图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各
自作用着一个力偶。已知力偶（F1 ，F 1）的矩 M 1 = 20 N·m；
力偶（F2，
F
2
）的矩
M
2
=
20
N·m；力偶（F3
，F
3）的矩
M 3 = 20 N·m。试求合力偶矩矢 M 。又问使这个刚体平衡，还
需要施加怎样一个力偶。
z
F2
= ( x i + y j + z k ) ×（ Fxi + Fy j +Fzk ）
= (yFz– zF y) i + (zFx– xFz ) j + (xFy– yFx ) k
ijk =x y z
Fx Fy Fz
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
M o (F) = M ox i + M oy j + M oz k M ox = (y Fz – z Fy ) M oy = (z Fx – x Fz ) M oz = (x Fy – y Fx )
Fx 0
F3 cos sin F2 0 F2 F3 cos sin
Fiy 0
F1 F3 cos cos
第四章 空间力系的合成与平衡
z
D
F3
C
A
y
F2
F1
B
x
P
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
例4-3 重力P=1kN，A是球铰支座、A、B、C点是固定在同
k
O
Fz
d
rxy A
F F
F xy
M z(F) = ( r xy× Fxy ) ·k
课程：理论力学
M z (F)
第四章 空间力系的合成与平衡
代数量；
Fxy d ；
按右手定则来确定正负号。
M z (F) = 0
⑴ 当力与轴相交时； ⑵ 当力与轴平行时；
单位∶N ·m，kN ·m
力对轴之矩的合力矩定理:合力对于任一轴之矩等 于各分力对于同一轴之矩的代数和。
F F cos F
b
y
a2 b2 c2
0.4 2 80 32 2N
F F cos F
c
z
a2 b2 c2
1
F
c 2
o
ay
b
x
x
1
0.6 2 80 24 2N
2
设力F与
z 1
轴之间的夹角为
，则
F F cos F a2 c2 4 80 64N
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
3.力对于点之矩与力对于通过该点的轴之矩间的关系
力矩关系定理:力对于任一点之矩矢在通过该点的任一轴上 的投影等于力对于该轴之矩。
Mo (F) cos Mz (F) [Mo (F)]Z
应用上述定理可以求出力对于坐标轴之矩的解析表达式。
FDA
DO DA
0
DB 20 3, DA 20 5;
FDB
FDC
P FDA
EO
AO
Fiz
0;
FDB 2 DB FDA
P0 DA
FDA
3 P 745N , 3
FDB=FDC=289N
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
第二节 力对点之矩与力对轴之矩
1. 相对于点的矢量表示M0( F )
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
第四章 空间力系的合成与平衡
第一节 空间汇交力系的合成与平衡 第二节 力对点之矩与力对轴之矩 第三节 空间力偶系的合成与平衡 第四节 空间任意力系的合成与平衡 第五节 重心
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
第一节 空间汇交力系的合成与平衡
一、空间力沿坐标轴的分解与投影 空间力系：各力的作用线不在同一平面内的力系。可
Fx
Fy
y
x
Fx F cos , Fy F cos , Fz F cos
二次投影法
Fx F cos cos, Fy F cos sin Fz F sin
即 F Fx2 Fy2 Fz 2
cos Fx / F , cos Fy / F, cos Fz / F
z1
a2 b2 c2 5
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
解法二 二次投影法
设力F与Oxy平面的夹角为，
z
z
1
y 1
则得力F在oxy平面上的投影的大小
为
F F cos F xy
于是有
a2 b2 a2 b2 c2
1
F
c 2
o
ay
b
x
x
1
F F cos F a2 b2 a 40 2N
作用力F＝80N，方向如图所示，试分别计算：（1）力
F在x、y、z轴上的投影；（2 )
力F在
z 1
轴上的投影。
z
y
z
1
1
F
1
c 2o
b x
ay
x 1
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
解法一 一次投影法
F F cos F
a
x
a2 b2 c2
z
z
y 1
1
0.5 2 80 40 2N
二、空间汇交力系的合成与平衡
这里只介绍解析法。
z
F1
x
空间的合力投影定理(合成)。
F2
各分力 Fi=Fx i+Fy j +Fz k
F y 则合力
FR Fi Fx i Fy j Fz k
Fn
合力在某一轴上的投影，等于力系中 所有各力在同一轴上的投影的代数和
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第四章 空间力系的合成与平衡
FR FRx2 FRy2 FRz2 ( Fx )2 (Fy )2 ( Fz )2
FRx
cos
Fx
FR
FR
平衡的必要与充分条件：该力系的合力为零。
空间汇交力系的平衡方程
注意：
Fx 0,Fy 0,Fz 0,
(1) 当空间汇交力系平衡时，它与任何平面上的投影力 系也平衡。
A
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
Mx = ∑Mx = － M3－ M4 cos 45o － M5 cos 45o = －193.1 N·m
My = ∑My = － M2 = －80 N·m
Mz= ∑Mz = － M1－ M4 cos 45o － M5 cos 45o = －193.1 N·m
2、空间力偶系的合成与平衡.
M M1 M2 Mn M
空间力偶系可合成为一合力偶,则该合力偶矩矢等于力偶 系中所有各力偶矩矢的矢量和。
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
空间力偶系平衡的必要与充分条件是:该力偶系中所有的 各力偶矩矢的矢量和为零 。
投影形式有
M 0
M x 0, M y 0, M z 0,
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
例4-5 工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受 的切削力偶矩均为 80 N·m 。求工件所受合力偶的矩在 x，y，z 轴上的投影 Mx ，My ，Mz ，并求合力偶矩矢的大小和方向。
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
解：将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。
一墙上，试求：杆AD、绳DB，DC的约束力。
FDB
FDC
P FDA
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
解：这是空间汇交力系，取D点为汇交点。有
Fix
0;
FDB
BEE,DB=DC，则：FDB=FDC
Fiy
0;
FDB
DO DB
FDC
DO DC
F2
F3
O
y
F3
F1
x
F1
课程：理论力学
解：1.画出各力偶矩矢。
第四章 空间力系的合成与平衡
z
2.合力偶矩矢 M 的投影。
M1
M3
M2
45° 45°
y
O
Mx = ∑Mx = M1x + M2x + M3x = 0 x
My = ∑My = M1y + M2y + M3y = 11.2 N·m Mz = ∑Mz = M1z + M2z + M3z = 41.2 N·m
M0( F ) r F (yz zy) i (yz xz) j (zy yz) k
其中: F Fx i Fy j Fz k ,r x i y j z k
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
第三节 空间力偶系的合成与平衡
1、空间力偶的等效定理，力偶矩矢的概念
z
M o (F)
kr O
ij
x
B F
A (x，y，z)
y
课程：理论力学
z
k
O i
j
x
第四章 空间力系的合成与平衡
B F
A (x，y，z)
r
y
r = xi + yj + zk F = Fxi + Fy j +Fz k