2.3.123 区间以及一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法
例4:小颖准备用21元钱买笔和笔记本.每只笔3元,每个笔记本2.2元, 她买了2个笔记本.她还可能买几只笔?
设她还可能买n只笔，
解:
根据题意,得
3n+2.2×2≤21
解这个不等式,得
因为n只能取正整数，所以小颖还可能买1只、2只、3只、4只或只笔
随堂练习 P 17 习 题 1.5 1、2 、3； P17 作业
解不等式,并把它的解集表示在数轴上. 做一做 怎样用一元一次不等式解决实际问题?
例3:一次环保知识竞赛共有25道题,答对一道得4分,答错或不答一道扣1分.竞赛中,小明被评为优秀(85或85分以上),小明至少答对一道? 设小明答对了x道题,则他答错或不答的共有(25-x)道题. 解: 根据题意,得 4x-1×(25-x)≥85 解这个不等式,得 x≥22 所以小明至少答对了22道题,由于共有25道题,因而他可能答对2,23,24或25道
一元一次不等式的解法
探索 什么是不等式? 什么是不等式的解集? 不等式解集的表示方法 一般地,用符号“＜”(或“≤”), “＞”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集. 1.最简不等式法; 2.用数轴来表示
x-5 <-1
这些不等式有什么特点?
我们都见过哪些含有未知数的不等式
3<3x+6
6
两边都加上-6,得
3-6<3x+6-6
两边都除以3,得-1<x 即
9
-1
10
x>-1
-1
例2:解不等式 ,并把它的解集表示在数轴上.
去分母,得
解:
3(x-2)<≥2(7-x)
去括号,得
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法一元一次不等式是初等数学中重要的一种问题类型，其解法对于理解和掌握代数基础知识至关重要。
本文将介绍一元一次不等式的解法，帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
一、一元一次不等式的定义和性质一元一次不等式的一般形式为ax + b > 0或ax + b < 0，其中a和b是已知常数，x是未知变量。
一元一次不等式的解即是使不等式成立的取值范围。
在解一元一次不等式时，我们可以利用如下性质：1. 若a > b，则ax > bx；2. 若a > 0，则ax与x同号；3. 若a < b，则ax < bx；4. 若a < 0，则ax与x异号；5. 若a = b，则ax与bx同号。
利用以上性质，我们可以进行一元一次不等式的转化和简化操作，从而求得其解。
二、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般思路是将不等式转化为等价的形式，并确定解的范围。
1. 消去常数项首先，我们可以通过消去常数项的方法简化不等式。
假设要求解的一元一次不等式为ax + b > 0，可以将其转化为ax > -b。
2. 移项与整理接下来，我们需要将x的系数变为正数，使得不等式更加方便计算。
若a < 0，则两边同时乘以-1，得到-a·x < b，将不等号翻转；若a = 0，则无解。
若a > 0，则不需要进行此步骤。
3. 求解接下来，我们将得到的一元一次等式ax < b求解。
若a > 0，则x <b/a；若a < 0，则x > b/a。
4. 确定解集最后，我们需要根据原始不等式的形式，确定解的范围。
若原始不等式为ax + b > 0，根据之前的求解结果，可得x ∈ (-∞, b/a)；若原始不等式为ax + b < 0，则x ∈ (b/a, +∞)。
三、实例分析为了更好地理解一元一次不等式的解法，我们以一个具体的例子进行分析。
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法在数学中，一元一次不等式是常见的考题类型。
本文将介绍一元一次不等式的解法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、一元一次不等式的定义和性质一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次项和常数项，且不等号的系数为1的代数式。
例如：ax + b > c，其中a、b、c为实数，且a≠0。
一元一次不等式的性质包括：可以进行加减法和乘除法运算，如果两个不等式的左边相等，则右边大小关系相同；如果增加或减少两边的数值，则不等式的方向会发生改变。
二、1. 图解法图解法是一种直观、易于理解的解法。
首先将不等式转化为方程，然后在坐标系中绘制出方程对应的直线。
接着根据不等式的符号确定区域，进而确定解的范围。
举例说明：考虑不等式2x - 3 > 5。
首先将不等式转化为方程：2x - 3 = 5，解得x = 4。
然后在坐标系中绘制直线y = 4。
根据不等式的大于号，我们确定直线上方的区域为解的范围。
2. 代入法代入法是一种简便实用的解法。
首先将不等式转化为方程，然后代入数值进行验证。
通过对不等式两边进行相同的运算得到的解，可以直接验证是否满足原不等式。
举例说明：考虑不等式3x - 2 ≤ 7。
首先将不等式转化为方程：3x -2 = 7，解得x = 3。
然后代入3进行验证：3*3 - 2 = 7，等式成立。
因此，x = 3是不等式的解。
3. 分析法分析法是一种思维灵活的解法。
通过观察和分析不等式的特点，进行变形和运算，逐步确定解的范围。
举例说明：考虑不等式4x + 5 ≥ 17 - 2x。
首先将不等式进行变形：6x ≥ 12，然后将不等式两边同时除以6，得到x ≥ 2。
因此，x ≥ 2是不等式的解。
4. 合并法合并法是一种将多个不等式合并为一个不等式的解法。
通过将多个不等式的解集合并，得到整体的解集。
举例说明：考虑不等式2x - 3 > 5和3x + 1 ≤ 4。
首先解决两个不等式分别的解集，然后进行合并。
一元一次不等式的解法和应用
一元一次不等式的解法和应用一、不等式的基本概念不等式是数学中用于表示两个数之间大小关系的符号表达式，常用的不等式符号包括小于（<）、大于（>）、小于等于（≤）和大于等于（≥）。
二、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指形如ax+b>c或ax+b<c的不等式，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。
解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。
我们可以通过以下几种方法来求解一元一次不等式：1. 图解法图解法是通过在数轴上绘制相关的直线和点来找到不等式的解。
其中，大于（>）或小于（<）的不等式以虚线表示，大于等于（≥）或小于等于（≤）的不等式以实线表示。
例如，对于不等式2x+3>5，我们首先画出直线y=2x+3。
然后，我们要找到使得2x+3>5成立的x的取值范围，在数轴上标记点A(1, 5)。
由于不等式的符号是大于，所以我们需要找到大于点A的所有点，即x>1。
因此，不等式2x+3>5的解为x>1。
2. 代数法代数法通过代数运算的方式求解一元一次不等式。
我们可以按照下列步骤进行：步骤一：将不等式转化为简化形式，即将不等式中的系数化简为最简形式。
步骤二：根据不等式的符号，进行分析和变换。
当不等式为大于（>）或小于（<）时，不改变符号直接进行下一步；当不等式为大于等于（≥）或小于等于（≤）时，需要在两边同时加上或减去同一个数，然后不改变符号，进行下一步。
步骤三：根据最简形式确定解的范围，并写出解的形式。
例如，对于不等式2x+3>5，我们首先将系数化简为最简形式，即2x>2。
然后，通过减去3这一常数项，不改变符号，得到2x>2-3，即2x>-1。
最后，根据最简形式确定解的范围，即x>-1/2。
因此，不等式2x+3>5的解为x>-1/2。
三、一元一次不等式的应用一元一次不等式在实际生活中有许多应用，特别是在解决实际问题时。
一元一次不等式的解集方法
一元一次不等式的解集方法在数学的世界里，一元一次不等式是个基础却至关重要的概念。
今天我们就来聊聊它的解集方法，把这些枯燥的知识变得生动有趣起来。
咱们一步步走，保证你看了以后就明白了！1. 什么是一元一次不等式？首先，我们得搞清楚什么叫一元一次不等式。
别着急，慢慢来，一元一次不等式其实就是一个包含一个变量的线性不等式。
比如说，(2x + 3 > 7) 就是一个一元一次不等式。
2. 一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法其实挺简单的，主要就是通过一系列步骤，把变量孤立出来，找出它的取值范围。
下面我就把这些步骤详细讲讲：2.1. 变形步骤我们解一元一次不等式的首要任务，就是把不等式变成一个变量在一边，常数在另一边的形式。
比如，我们有一个不等式 (2x + 3 > 7)，我们要做的第一步就是把常数3移到另一边。
这个过程就像做饭时，先把锅里的一些调料拿出来，然后再加别的。
于是，我们就变成了：[2x > 7 3][2x > 4]接下来，我们还得把变量x单独拿出来。
这时候，我们就需要除以2。
要记住，在处理不等式的时候，除以正数或者乘以正数是不需要改变不等式方向的，但除以负数或者乘以负数时要小心，这时不等式方向需要反转。
所以，[x > frac{4}{2}][x > 2]所以，解集就是 (x > 2)，也就是说，只要x大于2，它就是这个不等式的解。
2.2. 注意事项解一元一次不等式时，有几个细节要特别注意：1. 不等式方向的变化：如果你在解题时遇到需要除以负数的情况，记得一定要改变不等式的方向。
比如，如果我们有 ( 3x < 9 )，那就要变成：[x > 3]2. 方程的两边要保持一致：在变形时，要确保不等式的两边都进行相同的操作，这样才能保持不等式的正确性。
3. 例题讲解为了更好地理解这些步骤，我们来看看几个具体的例子吧。
3.1. 例题一设想我们有一个不等式 (4x 5 leq 7)。
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法在代数学中，不等式是数学中常见的一种形式。
与方程不同，不等式中的未知数可以有不止一个解，并且解可以包含无穷个实数。
一元一次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的不等式。
在本文中，我们将探讨一元一次不等式的解法。
一元一次不等式的一般形式为 ax + b > c 或 ax + b < c，其中 a、b 和c 是已知实数，a 不等于零。
我们的目标是找到使得不等式成立的 x 的取值范围。
解一元一次不等式的基本方法与解一元一次方程非常相似。
我们可以通过移项和化简等步骤，逐步确定未知数的解集。
步骤一：移项根据不等式的形式，我们首先将不等式中的常数项移至方程的另一侧，得到 ax > c - b 或 ax < c - b。
步骤二：化简接下来，我们可以通过除以 a 的方式将 x 的系数变为 1。
需要注意的是，当 a 是负数时，我们需要翻转不等号的方向。
因此，最终得到的化简后的不等式形式为 x > (c - b)/a 或 x < (c - b)/a。
步骤三：确定解集最后，我们根据不等式的形式确定解集的范围。
当不等式为严格大于（或严格小于）时，解集为开区间；而当不等式为大于等于（或小于等于）时，解集为闭区间。
具体来说，若不等式为 x > k，则解集为(k, +∞)；若不等式为 x < k，则解集为 (-∞, k)。
若不等式为x ≥ k，则解集为[k, +∞)；若不等式为x ≤ k，则解集为 (-∞, k]。
举例说明：例 1：解不等式 2x + 1 > 5。
首先，我们移项得到 2x > 4。
然后，化简得到 x > 2。
因此，解集为开区间(2, +∞)。
例 2：解不等式 -3x - 2 ≤ 10。
首先，我们移项得到 -3x ≤ 12。
然后，化简得到x ≥ -4。
因此，解集为闭区间 [-4, +∞)。
总结：通过移项、化简和确定解集的步骤，我们可以解决一元一次不等式。
一元一次不等式和它的解法
一元一次不等式和它的解法什么是一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程，并且方程中包含了不等号，例如：2x+3>5。
在一元一次不等式中，未知数通常用字母表示，而不等号可以是大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）等。
解一元一次不等式的基本步骤解一元一次不等式的基本步骤如下：1.将一元一次不等式转化为等价的方程。
2.求解方程得到解集。
3.根据不等号的类型确定不等式的解集。
下面将按照这个步骤详细介绍解一元一次不等式的方法。
步骤一：将一元一次不等式转化为等价的方程为了方便求解一元一次不等式，我们通常会将其转化为等价的方程。
转化的方法取决于不等号的类型：•如果不等号是大于号（>）或大于等于号（≥），则可以直接将不等式转化为等号。
例如：2x+3>5可以转化为2x+3=5。
•如果不等号是小于号（<）或小于等于号（≤），则需要将不等式转化为等号，并将不等号取反。
例如：2x+3<5可以转化为2x+3=5，然后将等号两侧都取反，得到2x+3>5。
步骤二：求解方程得到解集将一元一次不等式转化为等价的方程后，我们可以通过求解方程来得到解集。
求解方程的方法和步骤与解线性方程的方法相同。
步骤三：确定不等式的解集最后一步是根据不等号的类型确定不等式的解集。
根据不等号的类型，我们将求解方程得到的解集进行进一步的筛选：•如果不等号是大于号（>），则不等式的解集为方程解集的右侧部分。
例如：2x+3>5的解集为x>1。
•如果不等号是小于号（<），则不等式的解集为方程解集的左侧部分。
例如：2x+3<5的解集为x<1。
•如果不等号是大于等于号（≥），则不等式的解集为方程解集的右侧部分以及解集中的最小值。
例如：2x+3≥5的解集为x≥1。
•如果不等号是小于等于号（≤），则不等式的解集为方程解集的左侧部分以及解集中的最大值。
一元一次不等式的解法
一元一次不等式是数学中相对基础的概念，它涉及到一个未知数，并且这个未知数的最高次数为1。
解一元一次不等式的过程涉及对不等式进行变形，使其变得更简单，从而找到未知数的解集。
下面将详细介绍一元一次不等式的解法。
### 一元一次不等式的基本形式一元一次不等式的基本形式为 `ax + b > 0`（或 `< 0`，`>= 0`，`<= 0`），其中 `a` 和 `b` 是已知数，且`a ≠ 0`，`x` 是未知数。
### 解一元一次不等式的步骤1. **去分母**：如果不等式的两边都有分母，应首先找到两个分母的最小公倍数，然后两边同时乘以这个数，以消除分母。
2. **去括号**：如果不等式的一侧或两侧有括号，应使用分配律去掉括号。
3. **移项**：将所有包含未知数的项移到不等式的一侧，常数项移到另一侧。
4. **合并同类项**：将不等式两侧的同类项（即未知数x的相同次数项）合并。
5. **系数化为1**：如果未知数`x` 的系数不是1，应通过两边同时除以这个系数（注意保持不等号方向不变）来使`x` 的系数为1。
这一步时要注意，如果除以的数是负数，则不等号的方向会发生变化。
6. **检验解**：最后，得到的解应该代入原不等式进行验证，确保解是正确的。
### 解一元一次不等式时的注意事项* 当两边同时乘以或除以负数时，不等号的方向需要反转。
* 解集通常表示为区间形式，如 `(x > a)` 或 `[x >= a]`，其中 `a` 是某个常数。
* 要注意解集的边界是否包含在内，这取决于不等式中“=”是否存在。
### 示例解不等式 `3x - 7 > 5`。
1. 去括号和合并同类项：`3x - 7 > 5` 无需去括号，因为不存在括号。
2. 移项：`3x > 5 + 7`3. 合并同类项：`3x > 12`4. 系数化为1：`x > 4`（由于除以正数3，不等号方向不变）因此，该不等式的解集为 `x > 4`。
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法一元一次不等式是数学中常见的一种不等式类型，它可以表示为ax + b > 0或ax + b < 0的形式，其中a、b是实数，且a≠0。
解一元一次不等式的过程不仅可以帮助我们求解数学问题，还能提高我们的逻辑思维和分析能力。
本文将介绍一元一次不等式的解法，并给出一些例子进行说明。
一元一次不等式的解法可以分为两种情况：当系数a大于0时，不等式的符号与等式相同；当系数a小于0时，不等式的符号与等式相反。
接下来，将分别讨论这两种情况的解法。
当系数a大于0时，不等式的符号与等式相同。
我们可以按照下列步骤求解不等式：步骤一：将不等式转化为等式，即ax + b = 0。
步骤二：求出等式的解x0。
步骤三：根据解x0的位置，判断不等式的解集。
举例来说，假设我们要求解不等式2x + 3 > 0。
步骤一：将不等式转化为等式，得到2x + 3 = 0。
步骤二：求出等式的解：2x + 3 = 0，解得x0 = -1.5。
步骤三：根据解x0的位置，即-1.5，我们可以知道不等式2x + 3 >0的解集为x > -1.5。
当系数a小于0时，不等式的符号与等式相反。
我们可以按照下列步骤求解不等式：步骤一：将不等式转化为等式，即ax + b = 0。
步骤二：求出等式的解x0。
步骤三：根据解x0的位置，判断不等式的解集。
举例来说，假设我们要求解不等式-2x + 3 > 0。
步骤一：将不等式转化为等式，得到-2x + 3 = 0。
步骤二：求出等式的解：-2x + 3 = 0，解得x0 = 1.5。
步骤三：根据解x0的位置，即1.5，我们可以知道不等式-2x + 3 > 0的解集为x < 1.5。
综上所述，一元一次不等式的解法可以分为两种情况：当系数a大于0时，不等式的符号与等式相同，解是大于等于或小于等于解的集合；当系数a小于0时，不等式的符号与等式相反，解是小于或大于解的集合。
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法在代数学中，一元一次不等式是一个包含一个未知数的一次多项式不等式。
解一元一次不等式是找到使得不等式成立的未知数的取值范围。
本文将介绍常见的一元一次不等式的解法。
一、一元一次不等式的基本形式一元一次不等式的基本形式如下：ax + b > 0 （或ax + b ≥ 0）其中，a和b是已知实数，x是未知数。
二、两种基本解法解一元一次不等式有两种基本的解法：图解法和代数解法。
1. 图解法图解法是通过在数轴上绘制函数图像来找到不等式的解。
首先，我们将不等式中的等号改为等号，并根据系数a的正负性质判断函数图像的开口方向。
如果a > 0，函数图像开口向上；如果a < 0，函数图像开口向下。
然后，根据b的正负性质确定函数图像与x轴的交点。
如果b > 0，交点在x轴上方；如果b < 0，交点在x轴下方。
最后，确定不等式的解集。
如果不等式是大于号（>），解集为交点右侧的所有实数；如果不等式是大于等于号（≥），解集为交点及其右侧的所有实数。
图解法直观明了，可以直接观察出解集的范围。
2. 代数解法代数解法是通过对不等式进行变形和运算来找到不等式的解。
首先，根据不等式的形式，确定变式的目标。
如果目标是求x的取值范围，则可以将不等式进行变形，以消去a的系数。
然后，进行变形和运算，使得不等式的形式简化。
例如，可以根据a的正负性质将不等式改写为：x > -b/a 或x ≥ -b/a。
最后，根据不等式的形式确定解集的范围，并将解集用集合的符号表示出来。
代数解法较为繁琐，但可以精确得出解集的范围。
三、示例解析现以一个具体的例子来说明一元一次不等式的解法。
例：2x + 3 > 51. 图解法根据不等式的形式，将等号改为等号，得到2x + 3 ≥ 5。
由于a > 0，函数图像开口向上。
由于b > 0，交点在x轴上方。
解集为交点右侧的所有实数：x > 1。
《一元一次不等式的解法》 讲义
《一元一次不等式的解法》讲义一、什么是一元一次不等式在数学的世界里，我们常常会遇到各种各样的式子，其中就有一种叫做一元一次不等式。
那什么是一元一次不等式呢？一元一次不等式，简单来说，就是用不等号（大于“＞”、小于“＜”、大于等于“≥”、小于等于“≤”）连接一个只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的整式的式子。
比如 2x ＋ 1 ＞ 5 ，3y 2 ＜ 8 等等，这些都是一元一次不等式。
二、一元一次不等式的解法步骤接下来，我们一起看看怎么来解一元一次不等式。
解一元一次不等式的步骤和我们解一元一次方程有点类似，但也有一些小小的不同。
1、去分母（如果有分母的话）当不等式两边的各项有分母时，我们要根据不等式的性质，给不等式两边同时乘以分母的最小公倍数，把分母去掉。
但要注意，如果乘以的是一个负数，不等号的方向要改变。
例如，对于不等式（x ＋ 3)／2 ＞ 5 ，我们给两边同时乘以 2，得到 x ＋ 3 ＞ 10 。
2、去括号（如果有括号的话）如果不等式中有括号，我们要按照去括号的法则，把括号去掉。
同样要注意，如果括号前面是负号，去掉括号后，括号里各项的符号要改变。
比如，对于不等式 2(x 1) ＋ 3 ＜ 7 ，先去括号得到 2x 2 ＋ 3 ＜ 7 ，即 2x ＋ 1 ＜ 7 。
3、移项把含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边。
移项的时候要注意改变符号。
比如，在不等式 3x ＋ 5 ＞ 8x 1 中，把 8x 移到左边，5 移到右边，得到 3x 8x ＞－1 5 。
4、合并同类项把不等式两边同类项合并，简化不等式。
继续上面的例子，合并同类项得到－5x ＞－6 。
5、系数化为 1最后，将未知数的系数化为1。
如果系数是正数，不等号方向不变；如果系数是负数，不等号方向要改变。
在－5x ＞－6 中，两边同时除以－5，得到 x ＜ 6/5 。
三、解一元一次不等式的注意事项在解一元一次不等式的过程中，有一些容易出错的地方，大家一定要特别注意。
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法◎ 一元一次不等式的解法的定义一元一次不等式的解集：一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如﹕不等式x-5≤-1的解集为x≤4；不等式x﹥0的解集是所有正实数。
求不等式解集的过程叫做解不等式。
将不等式化为ax>b的形式(1)若a>0，则解集为x>b/a(2)若a<0，则解集为x<b/a一元一次不等式的特殊解：不等式的解集一般是一个取值范围，但有时需要求未知数的某些特殊解，如求正数解、整数解、最大整数解等，解答这类问题关键是明确解的特征。
◎ 一元一次不等式的解法的知识扩展1、一元一次不等式的解法：有两种解题思路：（1）可以利用不等式的基本性质，设法将未知数保留在不等式的一边，其他项在另一边；（2）采用解一元一次方程的解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。
2、一元一次不等式的特殊解：不等式的解集一般是一个取值范围，但有时需要求未知数的某些特殊解，如求正数解、整数解、最大整数解等，解答这类问题关键是明确解的特征。
◎ 一元一次不等式的解法的知识对比不等式的解与解集：不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
如x=1是x+2>1的解①不等式的解是指某一范围内的某个数，用它来代替不等式中的未知数，不等式成立。
②要判断某个未知数的值是不是不等式的解，可直接将该值代入等式的左、右两边，看不等式是否成立，若成立，则是；否则不是。
③一般地，一个不等式的解不止一个，往往有无数个，如所有大于3的数都是x>3的解，但也存在特殊情况，如|x|≦0，就只有一个解，为x=0不等式的解集和不等式的解是两个不同的概念。
①不等式的解集一般是一个取值范围，在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解，不等式一般有无数个解。
②不等式的解集包含两方面的意思：解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；解集外的任何一个数值，都不能使不等式成立。
（即不等式不成立）③不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，如不等式x-1<2的解集是x<3,可以用数轴上表示3的点左边部分来表示，在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈，表示不包括这一点。
一元一次不等式及其解法ppt课件
讲教授学新目课
标
一元一次不等式定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1，左右两边
的式子是整式的不等式叫做一元一次不等式．
判别条件： (1)不等号两边都是整式； (2)只含一个未知数； (3)未知数的次数是1； (4)未知数系数不为0.
完整版ppt课件
6
例教题学讲目解
标
A
解析：(1)中未知数的最高次数是2，×；
8
1.不等式的解集(x>a,x<a,x≥a,x≤a)有何特点？
①左未右常
②未系为1
2.上节课怎样得到不等式的解集(x>a,x<a,x≥a,x≤a) ？
不等式的三条性质
3.不等式2x-3≥4x-5用不等式的性质要两次运 算才能得到2x-4x ≥3-5,这一结果与上学期解 一元一次方程什么变形产生的结果一样？
A. x≤4
B. x≥4
C. x≤－1
D. x≥－1
5.不等式3x＋2＜2x＋3的解集在数轴上表示的是( D )
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19
巩教固学提目升
标
A
B
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20
课堂小结
一元一次不等式
1.定义：含有一个未知数，未知数的次数都是1的不等式．
2.解一元一次不等式的一般步骤： (1)去分母； (2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项； (5)未知数的系数化为1.
完整版ppt课件
12
小结
解一元一次不等式的一般步骤和根据如下：
步骤
根据
1 去分母
不等式的基本性质 3
2 去括号
单项式乘以多项式法则
3 移项
不等式的基本性质 3
4
解一元一次不等式的方法总结
解一元一次不等式的方法总结一元一次不等式是数学中常见的问题，它涉及到数轴上的点和区间的关系。
解一元一次不等式的方法有多种，本文将对常见的三种方法进行总结和讨论，分别是图像法、代数法和证明法。
一、图像法图像法是一种形象直观的解题方法。
我们可以通过绘制一元一次不等式的图像来观察解的情况。
具体步骤如下：1. 将一元一次不等式转化为等式，得到一条直线，例如x + 2 ≤ 0 可以转化为 x + 2 = 0.2. 根据等式画出对应的直线，并标出定义域。
3. 通过直线的位置和方向，确定不等式的解集。
例如，对于x + 2 ≤ 0，我们可以得到直线 x + 2 = 0，该直线在数轴上的位置是向左偏移 2 个单位，方向是向左。
根据这些信息，我们可以确定该不等式的解集是x ≤ -2.二、代数法代数法是一种基于代数运算的解题方法。
我们可以通过一些代数运算来求解一元一次不等式。
具体步骤如下：1. 对一元一次不等式进行移项、合并同类项等等，将不等式转化为等价的不等式。
2. 根据等价的不等式，得到解集。
例如，对于x + 2 ≤ 0，我们可以将不等式移项得到x ≤ -2，即解集为x ≤ -2.三、证明法证明法是一种用于验证解集的方法。
我们可以通过将解代入一元一次不等式来验证是否符合不等式的要求。
具体步骤如下：1. 求解一元一次不等式的解集。
2. 将解集中的值代入不等式，验证是否满足不等式的要求。
例如，对于x + 2 ≤ 0，我们通过前面的方法得到解集为x ≤ -2. 我们可以将 x = -3 代入不等式，计算结果为 -3 + 2 = -1，符合不等式的要求。
因此，解集x ≤ -2 经过验证是正确的。
总结：解一元一次不等式的方法主要包括图像法、代数法和证明法。
图像法通过绘制不等式的图像来观察解的情况；代数法通过代数运算来求解不等式；证明法通过将解代入不等式来验证解集的正确性。
不同的方法适用于不同的情况，我们可以根据具体的问题选择合适的方法进行求解。
一元一次不等式及解集ppt
学习方法和技巧
掌握基本概念和性质
理解一元一次不等式的概念、性质和相关定理，熟悉不等式的 解集。
典型例题解析
通过学习典型例题，理解解题方法和步骤，培养解题思路。
练习和巩固
通过大量的练习和实践，加深对不等式及解集的理解和掌握。
解题思路和步骤
解决问题
按照解题思路逐步解决问题，得出结论或 答案。
分析题意
06
一元一次不等式的学习方法和技巧
数学思想和思维方法
01
数学建模思想
通过建立数学模型来理解不等式及其解集的概念，培养数学思维习惯
。
02
数形结合思想
将不等式与数轴、函数图像等结合起来，通过形象化的方式理解不等
式解集。
03
转化与化归思想
通过将不等式转化为一元一次方程或其他容易解决的问题，化复杂为
简单。
语言描述法
描述解集
用简洁准确的语言描述不等式的解集。
避免歧义
确保描述清晰明了，不产生歧义。
数轴表示法
确定解集边界
将不等式的解集边界在数轴上标注出来。
表示解集区域
用阴影或空白区域表示解集，标注不等的方向。
04
一元一次不等式在实际生活中的应用
最大值和最小值问题
总结词
一元一次不等式可以用来解决许多生活中应的不等式曲线。 根据曲线图形的位置关系，确定不等式的解集。
表格法
根据不等式的系数和常数项，列出相应的表格。 根据表格中的数值确定不等式的解集。
03
一元一次不等式解集的表示方法
区间表示法
确定区间边界
根据不等式的解集，确定区间的上下边界。
表示解集
将区间的上下边界表示在数轴上，得出解集的区间表示法。
一元一次不等式的解集求解
一元一次不等式的解集求解一元一次不等式是数学中常见的关于未知数的不等式表达式，其求解解集是解决不等式的关键。
下面将介绍一元一次不等式的求解方法及求解步骤。
一、一元一次不等式的定义及形式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程，其常见形式为：ax + b > 0 （或ax + b < 0），其中a和b为已知常数。
这种不等式以不等号（>、<、≥、≤）连接左右两边的表达式。
二、一元一次不等式的求解步骤求解一元一次不等式的一般步骤如下：1.将不等式转化为等价的形式：将不等式中的不等号改为等号，得到对应的一元一次方程。
2.求解方程：根据方程求解的方法，求出方程的解。
3.绘制数轴：将数轴绘制出来，并在数轴上标记出方程解的位置。
4.确定解集：根据不等式的要求，确定解的范围，并表示出解集。
三、一元一次不等式求解示例以不等式2x + 3 > 7为例，下面将按照上述步骤进行求解：1.将不等式转化为等价的形式：2x + 3 = 72.求解方程：2x = 7 - 32x = 4x = 4 / 2x = 23.绘制数轴：绘制数轴，并在数轴上标记出x = 2的位置。
4.确定解集：由于原不等式中不等号为大于号，故解集为x > 2。
在数轴上用箭头表示解集，箭头指向大于2的方向。
综上所述，一元一次不等式2x + 3 > 7的解集为x > 2。
根据这样的求解步骤，可以求解一元一次不等式的解集。
四、一元一次不等式的注意事项在求解一元一次不等式时，需要注意以下几点：1.在转化不等式为等价的形式时，需要根据不等式的类型选择适当的转化方法，如乘除、加减等。
2.在求解方程的过程中，要遵循方程求解的基本原则，逐步化简方程，求得唯一的未知数的值。
3.在绘制数轴时，要确定好方程解在数轴上的位置，并准确标记出来。
4.在确定解集时，要根据不等号的类型（大于、小于、大于等于、小于等于）确定解的范围，并在数轴上用箭头表示。
一元一次不等式的概念和解法
一元一次不等式的概念和解法一元一次不等式是数学中常见的一类不等式问题，它的解法相对简单直观。
本文将介绍一元一次不等式的概念和解法，并通过实例加以说明。
一、概念一元一次不等式是指一个未知数的一次方程与不等号组合而成的数学表达式。
一元一次不等式的一般形式可以表示为ax + b > 0（或ax + b < 0），其中a和b为已知常数，x为未知数。
二、解法解一元一次不等式的基本思路是通过移项和分析符号关系来确定解集。
下面介绍三种常见的解法。
1.图解法图解法是一种直观的解法，通过在数轴上标出不等式的解集来确定解的范围。
具体步骤如下：（1）将不等式转化为方程，即去掉不等号，得到ax + b = 0。
（2）找到使得方程成立的x的值，即求解方程ax + b = 0的解。
（3）根据a的正负确定x的取值范围。
（4）将x的取值范围表示在数轴上，即可得到解集。
2.负数乘法法则负数乘法法则是解一元一次不等式的常用方法之一，通过对不等式两边进行相同的乘法运算，来确保不改变不等式的方向。
具体步骤如下：（1）对不等式两边进行相同的乘法运算，确保不等式两边的乘积都是正数。
（2）根据a的正负确定解集的方向。
（3）解得的不等式即为原不等式的解集。
3.正数除法法则正数除法法则是解一元一次不等式的另一种常用方法，通过对不等式两边进行相同的除法运算，来确保不改变不等式的方向。
具体步骤如下：（1）对不等式两边进行相同的除法运算，确保不等式两边的商都是正数。
（2）根据a的正负确定解集的方向。
（3）解得的不等式即为原不等式的解集。
三、实例分析为了更好地理解一元一次不等式的概念和解法，下面通过实例进行详细分析。
例子1：求解不等式2x + 3 > 0。
（1）将不等式转化为方程：2x + 3 = 0，解得x = -3/2。
（2）根据a的正负可知，a = 2 > 0，即x的取值范围为x > -3/2。
（3）将x的取值范围表示在数轴上，可以得到解集为(-3/2, +∞)。
初中数学知识归纳一元一次不等式的解法
初中数学知识归纳一元一次不等式的解法一元一次不等式是初中数学中常见的一种问题类型。
通过解一元一次不等式，可以帮助我们更好地理解数学中的不等关系，并应用到实际问题中。
本文将对初中数学中一元一次不等式的解法进行归纳总结。
一、一元一次不等式的基本概念在了解解一元一次不等式的方法之前，我们先来了解一下一元一次不等式的基本概念。
一元一次不等式是指形如ax + b < c或ax + b > c的不等式，其中a、b、c为常数，x为变量，且a ≠ 0。
解一元一次不等式的思路是找出x的取值范围，使得不等式成立。
二、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的方法主要包括图像法、代数法和实际问题转化法等。
1. 图像法图像法是解一元一次不等式的常用方法之一，它通过将不等式转化成一元一次方程的图像，再利用图像的性质找到不等式的解。
例如，对于不等式2x - 3 > 1，我们可以首先将其转化为等式2x - 3= 1，并画出对应的一元一次方程y = 2x - 3和y = 1的图像。
然后观察两个图像的位置关系，即可确定不等式2x - 3 > 1的解集。
2. 代数法代数法是解一元一次不等式的常用方法之一，它通过变形和运算等操作，将不等式转化为更简单的形式，并找出不等式的解。
例如，对于不等式3x + 4 ≤ 7，我们可以通过变形将不等式转化为3x ≤ 3，并继续变形为x ≤ 1的形式，从而得到不等式的解集。
3. 实际问题转化法有些时候，我们可以将实际问题转化为一元一次不等式的形式，然后再解决问题。
例如，问题描述为：“某商场举行折扣活动，原价为x元的商品打8折后的价格不超过100元，求原价x的取值范围。
”我们可以建立不等式0.8x ≤ 100，并解得x ≤ 125。
因此，原价x的取值范围为x ≤ 125。
三、一元一次不等式的解集表示方法解一元一次不等式时，通常会得到一组解集。
解集可以通过不等号的方向和存在性来表示。
一元一次不等式的解法和应用
一元一次不等式的解法和应用一元一次不等式是中学数学中的基础知识，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍一元一次不等式的解法和应用，为读者提供帮助和启示。
1. 一元一次不等式的解法一元一次不等式可以表示为ax + b > 0（或ax + b < 0）的形式，其中a和b为已知常数，x为未知数。
解一元一次不等式的方法主要有两种：图像法和代数法。
图像法：对于一元一次不等式ax + b > 0（或ax + b < 0），我们可以通过画出对应的一元一次方程ax + b = 0的图像，并进行判断。
例如，当a > 0时，一元一次不等式ax + b > 0的解为x > -b/a；当a < 0时，一元一次不等式ax + b < 0的解为x < -b/a。
代数法：通过代数方法解一元一次不等式，主要是进行一些等式运算和不等式性质的推导。
例如，对于不等式ax + b > 0，我们可以通过将不等式两边都减去b，然后除以a的方式得到解x > -b/a（当a > 0时）；同样地，对于不等式ax + b < 0，解为x < -b/a（当a < 0时）。
2. 一元一次不等式的应用一元一次不等式的应用非常广泛，以下是几个常见的应用领域：（1）经济学：在经济学中，常常需要用到一元一次不等式来描述供需关系、成本利润等问题。
例如，在一个销售产品的市场中，假设每件商品的成本为C，售价为P，销售量为x，那么供应商的利润可以表示为P*x - C*x > 0的一元一次不等式。
该不等式可以帮助供应商计算最低的销售量，以保证利润为正。
（2）几何学：在几何学中，一元一次不等式可以应用于线性不等式的问题。
例如，对于一个线段AB，已知A点的坐标为(a, b)，B点的坐标为(c, d)，如果要求该线段上任意一点的纵坐标大于横坐标的两倍，则可以建立一元一次不等式的关系，即d > 2c。
2.3.123 区间以及一元一次不等式的解法
用区间表示解集为 (2, ).
解一元一次不等式通过去分母、去括号、移项、合并同类项等方法最终化为
ax b(a 0) 或 ax b(a 0)
课堂实练 1.解下列不等式:
(1) 1 x 1 4; 23
(3)7x 11 10 3x;
2
用区间表示解集为[ 1 , ).
2
(2)2(x 1) x 2 7x 1 32
解：12(x 1) 2(x 2) 21x 6, 去分母
12x 12 2x 4 21x 6, 去括号 12x 2x 21x 6 12 4, 移项
7x 14, x 2. 化系数为1
a≤x<b
开区间[a，b)
实数集R
(−∞,+ ∞)
右a<半x开≤b区间 R
x≥a a
集(合a，{x|xb≥a]}
[a
(−∞
，,+∞+)பைடு நூலகம்∞)
[a，+∞)x
开区间
0
a
左半x开>a区间 x≤b
集(合a{，x|x≤+a}∞)
(−∞, a]
(−∞ ， b]
开区间
集合{x|x>a}
(a,+∞)
x
x
集合{x|x<a}
用区间表示解集为[-1,+).
使不等式组 的每个不 等式都成立
课堂实练
1.解下列不等式组：
(1){xx
15 24
;
3x 1 1 x6
(2){5
x
2 3
x
2 12
.
2
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(2)2x 5 x 1; 2
(4)4x 6 2x 1 5. 3
例4 解下列不等式组：
(1) ; 3x2x5 x4 x1
{ , 解
由原不等式组得
x5 3 x1
{ , 所以
x 5 x1
3
所以 5 x 1 ，
3
原不等式组的解集是
{x
5
x
1}. 3
用区间表示解集 [5, 1].
3
含有同一个未知数 的几个一元一次不等 式组成的不等式组
2x 1,
x 1. 2
化系数为1
原不等式的解集是{x x 1}.
2
用区间表示解集为[ 1 , ).
2
(2)(x 1) x 2 7x 1 32
解：12(x 1) 2(x 2) 21x 6, 去分母
12x 12 2x 4 21x 6, 去括号 12x 2x 21x 6 12 4, 移项
不等式：200<v<350
集合：v | 200 v 350
数轴：位于 200 与 350 之间的一段不包括端点的线段 还有其他简便方法吗？
0 100 200 300 400
动脑思考 探索新知
由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间. 其中，这两个点叫做区间端点.
开区间
集合{x|a<x<b}
(2)
5x7 x4x2 1 x1 x20 23
.
解
由原不等式组得{21
x2 x 2
,
6
所以
{ , x1 x 12
所以 x 1,
原不等式组的解集为{x x 1}.
用区间表示解集为[-1,+).
使不等式组 的每个不 等式都成立
课堂实练
1.解下列不等式组：
(1){xx
15 24
;
3x 1 1 x6
(1)[4,12] (2)[3, 7)
(3)(, 5]
(1){x 4 x 12 (2)x 3 x 7} (3)x x 7}
(4)(3, )
(4)x x 3}
运用知识 课堂强化
1.用区间表示下列不等式的解集：
（1）-2 x 3;
(2) 3 x 4;
(3)1 x 7;
(4) 5 x 5;
（3）某数的2倍与3的和小于这个数的3倍： 2x 3 3x
式子x 2 8, x 300, 2x 3 3x 都只含有一个未知
数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式 .
例3 解下列不等式：
(1)5x 7 3(x 1) 5;
解: 5x 7 3x 3 5, 去括号
5x 3x 7 3 5, 移项
a≤x<b
开区间[a，b)
实数集R
(−∞,+ ∞)
右a<半x开≤b区间 R
x≥a a
集(合a，{x|xb≥]a}
[a
(−∞
，,+∞+) ∞)
[a，+∞)x
开区间
0
a
左半x开>a区间 x≤b
集(合a{，x|x≤+a∞} )
(−∞, a]
(−∞ ， b]
开区间
集合{x|x>a}
(a,+∞)
x
x
集合{x|x<a}
(−∞,a)
x<b
a (−x∞ ， b)
a
x
巩固知识 典型例题
例1 用区间表示下列不等式的解集：
（1）9 x 10 [9,10] （2）2 x 12 [2,12)
(3) 1 x 15 (1,15)
(4)x 3
(, 3]
(5) 2 x 5 (2,5]
(6)x 5
(5, )
例2 用集合的性质描述法表示下列区间：
7x 14, x 2. 化系数为1
原不等式的解集是 {x x 2}.
用区间表示解集为 (2, ).
解一元一次不等式通过去分母、去括号、移项、合并同类项等方法最终化为
ax b(a 0) 或 ax b(a 0)
课堂实练 1.解下列不等式:
(1) 1 x 1 4; 23
(3)7x 11 10 3x;
(a,b)
a(a<b) b
闭区间 右半开区间
集合{x|a≤x≤b}
[a,b]
集合{x|a≤x<b}
[a,b)
a(a<b) b a(a<b) b
左半开区间
集合{x|a<x≤b}
(a,b]
a(a<b) b
不等式
区间
数轴
a全≤x体≤b实数集合R用[a区，间b]表示 (, )
a<x读 <b作“正无穷(a大，”b，) 读作“负无穷大”
(5)x 10;
(6)x 1.
2.用集合的性质描述法表示下列各区间：
（1）[-4，0];
(2)(2, 5);
(3)[2,1);
(4)[7, );
(5)(1.5, 4];
(6)(, 4).
观察总结 深入研究
观察
用x表示下列各题中的未知数，列出不等式：
（1）某数与2的差不超过8： x 2 8 （2）某商品的价格至少是300： x 300
作 业
1.教材P52习题2.3 1,2 2.作业本相应练习
(2){5
x
2 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
2 12
.
2
2. 一本课外书共98页，李明看了一周（7天）还没看完， 张山比李明每天多看3页，他不用一周就看完了这本书， 李明平均每天看几页书（结果取整数）？
归纳小结 自去反思
1.这节课我们学习了哪些内容？ 2.区间与集合的互相转化，与数轴联系起来. 3.会解一元一次不等式及不等式组，结果写成集合或区间的形式.
2.3.1 区间 2.3.2-3 一元一次不等式及不等式组
创设情景 兴趣导入
设计运行时速达350km的京津城际列车呈现出超越世界的 “中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在 200km/h到350 km/h之间． 如何表示列车的运行速度的范围？
动脑思考 探索新知
新时速旅客列车的运行速度值界定在 200km/h与350 km/h之间．