第二章热传导方程
传热学(第二章)
(2-32)
热阻
R=
1 1 1 ( 4πλ r r2 1
(2-33)
由球坐标系一般形式的导热微分方程
1 T 1 T 1 T T (λr2 + 2 2 (λ ) + 2 (λ sin θ ) + Φ = ρcp r2 r r) r sin θ r sin θ θ θ τ
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁,圆筒壁,球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁,圆筒壁,
1 T 1 T T T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp τ r r r) r z z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 (2-25)
⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义,通过整个圆筒壁的导热热阻为 (2-29) 29) 与分析多层平壁—样,运用串联热阻叠加的原则,可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 t4 ) Φ= (2-30) ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数,无内热源的空心球壁.内,外半径为r1,r2,其内外表面均匀 恒定温度为t1,t2,球壁内的温度仅沿半径变化,等温面是同心球面. 由傅立叶定律得: dt 各同心球面上的热流率q不相等,而热流量Φ相等. Φ = 4πr2λ dr dr Φ 2 = 4πλdt r
的热传导微分方程:
T(r,τ ) τ ρc 当 λ = const 时, 2T(r,τ ) + Φ = p T(r,τ ) λ λ τ [λT(r,τ )] + g(r,τ ) = ρcp
数学物理方程2热传导方程
对未来研究的展望
深入研究热传导方程的数学性质
尽管热传导方程已有广泛的研究和应用，但对其数学性质的理解仍不够深入。未来可以进一步研究热传导方程解的唯 一性、稳定性、渐近性等数学问题，以推动数学理论的发展。
拓展热传导方程的应用领域
随着科技的发展，热传导方程的应用领域也在不断拓展。例如，在新能源领域，热传导方程可以用于研究太阳能电池 板的工作原理和优化设计；在环保领域，热传导方程可用于研究污染物在环境中的扩散和迁移规律。
交换。
热传导方程是偏微分方程的一种形式，通常采用傅里叶级数或
03
有限元方法进行求解。
热传导现象的重要性
1
热传导现象在自然界和工程领域中广泛存在，如 气候变化、能源利用、材料科学等。
2
热传导方程的应用有助于深入理解热量传递的机 制，为相关领域的研究提供理论基础。
3
通过求解热传导方程，可以预测温度分布、热量 传递速率等关键参数，为实际问题的解决提供指 导。
04 热传导方程的数值解法
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的、互连 的子域（或单元）的方法。在每个单元内，选择合适的基函 数，将待求的解表示为这些基函数的线性组合。通过求解一 系列线性方程组，可以得到原问题的近似解。
有限元法在求解热传导方程时，可以将复杂的几何形状离散 化为有限个简单的几何形状，从而简化计算过程。同时，有 限元法能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用于各种类 型的热传导问题。
有限差分法
总结词
有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法，通过将连续的偏微分方程离散化为差分 方程来求解。
详细描述
有限差分法的基本步骤是将偏微分方程中的空间变量离散化为有限个点，然后将偏微分 方程转化为差分方程，最后通过迭代求解差分方程得到原方程的近似解。这种方法适用
第二章__热传导方程
0 x l, t 0,
t 0 : u ( x),
0 x l,
x
0
:
u 0;
x l : ux hu 0,
t 0.
上述定解问题可分解为下面两个混合问题：
ut
a 2 uxx
0,
(I ) t 0 : u ( x),
0 x l, t 0, 0 x l,
x
0
:
u 0,
其中:
u( x, t) Tk (t)sin k x; k 1
f ( x, t) fk (t)sin k x; k 1
( x) k sin k x; k 1
fk (t)
1 Mk
l
f (, t)sin
0
k d;
1l
k Mk
() sin
0
k d;
l
h
Mk 2 2(h2 k ) .
流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶
定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：
u k n dSdt k1 (u u1 )dSdt,
或
u k n k1 (u u1 ).
即得到（1.10）：
( u n
u)
| ( x, y,z )
g( x,
y, z, t).
三、定解问题
定义1 在区域 G [0, ) 上，由方程（1.5）、初
u t
a2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
f (x,
y, z, t),
(1.5)
其中 a2 k , f F , f 称为非齐次项（自由项）。
c
c
三维无热源热传导方程：
u t
a2
2u x 2
传热学-第2章-稳态热传导
(shuō míng)
温度随空间和时间变化的函数关系。
精品资料
几种简化形式的导热(dǎorè)微分方程
✓ 导热系数(xìshù)k= t
常数：
a(
2t x 2
2t y 2
2t z 2
)
V
c
✓ 无内热源фV=0：
t
2t 2t 2t
a( x2 y 2 z 2 )
✓ 稳态导热 t 0 :
✓ 影响因素：
• 温度；温度升高，导热能力增强； • 气体分子量；分子量小的气体导热能力强。
氢，氦的导热系数高。
精品资料
固体：
导电性能好的金属，导热性能也好
机理：分子运动表现为晶格的振动。 金属的导热主要依靠自由电子的迁移完成(wán
chéng)； 非金属导热主要依靠分子或晶格振动完成(wán
ch金én属g)：。 ✓ 值：常温 2.2—420 W/m.K
各向同性物体的稳态导热和非稳态导热。
各向异性材料：Q的方向与 温度梯度的方向和λ的方向性有关。
精品资料
直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中热流密度的大
小和温方度向梯度 ：
grad
t
t
i
t
j
t
k
x y z
度热：流(rèliú)密q
grad
t
t n
n
t
i
t
j
t
k
x
y
z
q x i q y j q z k
传热学
第 2 章 稳态热传导
精品资料
第 2 章 稳态热传导
内容(nèiróng)要求： 导热的基本定律（Fourier定律）； 导热问题的数学描述：导热微分方程及定解条件； 几种最典型的一维稳态导热问题分析解；
热传导方程
热传导方程引言热传导方程是描述物质内部温度分布随时间演变的一种偏微分方程。
它广泛应用于热传导领域，如材料科学、工程热学、地球科学等。
热传导方程描述了热量在物质内部的传递方式，是研究热传导过程和温度场分布的重要工具。
热传导方程的一维形式考虑物质在一维情况下的热传导，热传导方程可以写作：∂u/∂t = α * ∂²u/∂x²其中，u为物质内部的温度，t为时间，x为空间坐标，α为热扩散系数。
热传导方程的二维形式对于二维的情况，假设热传导方程适用于平面内任意点，可以写作：∂u/∂t = α * (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u为物质内部的温度，t为时间，x和y为平面内的空间坐标，α为热扩散系数。
热传导方程的三维形式在三维情况下，热传导方程可以写作：∂u/∂t = α * (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)其中，u为物质内部的温度，t为时间，x、y和z为空间坐标，α为热扩散系数。
定解条件为了求解热传导方程，需要给定一些定解条件。
常见的定解条件有：•初始条件：指定初始时刻的温度分布，即u(x, y, z, 0)，其中u是温度，x、y和z分别是空间坐标，0表示初始时刻。
•边界条件：指定物体表面的温度或热流密度。
常见的边界条件有：第一类边界条件（温度指定），即u(x, y, z, t) = g(x, y, z, t)；第二类边界条件（热流密度指定），即-k * ∂u/∂n = q(x, y, z, t)，其中k为导热系数，n为法向量，q为热流密度。
热传导方程的数值解热传导方程是一个偏微分方程，通常无法得到解析解。
因此，需要借助数值计算方法来求解。
常见的数值方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。
在有限差分法中，可以将空间离散为若干个网格点，时间离散为若干个时间步长。
热传导方程与扩散方程讲解
x,
y,
z)
u n
dS dt .
在时间间隔[t1, t2 ]中, 温度从u( x, y, z, t1 )变化到u( x, y, z, t2 ), 它所吸收的热量是
c( x, y, z)( x, y, z)[u( x, y, z, t2 ) u( x, y, z, t1 )]dxdydz.
D 为扩散系数
第二节 初边值问题的分离变量法
定解问题
ut a2uxx , 0 x L u |x0 0, u |xL 0 u |t0 ( x)
未知函数分离 u(x, t) X(x)T(t)
T' X a2TX"
泛定方程分离
T' X a 2T X
u u(x,t)
u Tk Xk
典型问题的求解
例题1
分离变量 分别求解 合成半通解 代入初始条件
ut a2uxx 0, 0 x u |x0 0, u |x 0 u |t0 sin x( A B cos x)
u(x,t) X (x)T (t)
分离结果的求解
X" 2 X 0
X (0) X (L) 0
T'a2 2T 0
X ( x) C cos x D sin x
空间方程解出 X (0) C 0
X (L) D sin L 0
非零解条件 非零解
sin L 0 L k k / L, k N
它构成一个定解问题
u
初始问题： t
a2
2u x2
,
x ,t 0
u(x, 0) (x), x
数学物理方程_2_热传导方程
因为
C 1C 20,
(h)elC 1(h)elC 20.
1
1
( h)el (h)el 0
分离变量法
此时方程通解可以写成
为了满足边界条件，必须
C 10, C 2hlC 20
对于情形A和情形B，方程没有分离变量形式的非 平凡解。
分离变量法
此时方程通解可以写成 由边界条件 由边界条件
分离变量法
tan v v , lh
分离变量法
令
分离变量法
根据边界条件
X ( 0 ) T ( t) 0 X ( 0 ) 0 .
X ' ( l ) T ( t ) h X ( l ) T ( t ) 0 X ' ( l ) h X ( l ) 0 .
综上，需求解下述常微分方程
分离变量法
此时方程通解可以写成
为了满足边界条件，必须
分离变量法
由以上结果可知特征问题
存在着无穷多个固有值
及相应的固有函数
分离变量法
由于方程和边界条件都是齐次的，故可利用叠加原 理构造级数形式的解
分离变量法
XmXn ''nXmXn 0, XnXm''mXmXn 0,
分离变量法
l
l
0 (X m X n '' X n X m '') d x (n m )0 X n X m d x 0
扩散定律与质量守恒定律
扩散方程
通过比较可知，扩散过程中所满足的物理规律与热 传导过程中所满足的物理规律具有非常类似的形式。
基于上述物理规律，并通过与热传导方程类似的推 导，可得如下扩散方程
第二章
2.2 初边值问题的分 离变量法
传热学课件第 二 章 稳 态 热传导
d2t d x2
m 2 t t f
1
通过肋壁的导热
一、等截面直肋的导热
4.求解：
4>.引入过余温度：<1>式变为 <4> 5>.解微分方程得温度场 <4>式为一个二阶线性齐次常微分方程，它的通解为： =C1emx+C2e-mx <5> 将边界条件<2>、<3>代入<5>即得肋片沿H方向的温度分布：
通过圆筒壁的导热
一、已知第一类边界条件
据傳里叶定律并整理后可得热流量的表达式： 1 ln d2 2l d1 式中的分母即为长度为l的圆筒壁的导热热阻。 单位为：℃/W 实际工程多采用单位管长的热流量ql来计算热流量：
t w1 t w 2
ql
Q l
t w1 t w 2
d ln d2 2 1 1
通过平壁的导热
二、已知第三类边界条件：
q
q
t f 1 t f 2
1 1 h1 h2
也可写作：q=k（tf1-tf2） （请牢记K的物理意义！） 对于冷热流体通过多层平壁的导热，可写作：
t f 1 t f 2
1 h1
i 1
n
i 1 i h2
若已知传热面积A，则热流量为：
e m x H e m x H 0 e mH e mH
d 2 m 2 d x2
or :
0
或写作：
0
ch mx H ch mH
expmx H exp mx H expmH exp mH
1
h21d x 0
数学物理方程谷超豪版第二章课后规范标准答案
,.第 二 章 热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdt u u k dQ )(11-=又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。
记杆的截面面积42l π为S 。
由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为t x s xu kts xu k t s xukdQ xx xx ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为()()t x s u u lkt x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为()()[]t x s tuc x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3由热量守恒原理得：()t x s u u lk t x s x uk t x s t u c x t ∆∆--∆∆∂∂=∆∆∂∂11224ρ消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：()11224u u l k xu k t u c --∂∂=∂∂ρ 或 ()()11222112244u u l c k xu a u u l c k x u c k t u --∂∂=--∂∂=∂∂ρρρ 其中 ρc k a =22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt nuDdM ∂∂-=，其中D 为扩散系数，得 ⎰⎰⎰∂∂=21t t sdsdt nuDM 浓度由u 变到2u 所需之溶质为()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,t t tt dvdt t uC dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M两者应该相等，由奥、高公式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=21211t t t t dvdt t uC M dvdt z uD z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。
《传热学》第二章热传导
第二章热传导一、名词解释1．温度场：某一瞬间物体内各点温度分布的总称。
一般来说，它是空间坐标和时间坐标的函数。
2．等温面(线)：由物体内温度相同的点所连成的面（或线）。
3．温度梯度：在等温面法线方向上最大温度变化率。
4．热导率：物性参数，热流密度矢量与温度降度的比值，数值上等于1 K／m的温度梯度作用下产生的热流密度。
热导率是材料固有的热物理性质，表示物质导热能力的大小。
5．导温系数：材料传播温度变化能力大小的指标。
6．稳态导热：物体中各点温度不随时间而改变的导热过程。
7．非稳态导热：物体中各点温度随时间而改变的导热过程。
8．傅里叶定律：在各向同性均质的导热物体中，通过某导热面积的热流密度正比于该导热面法向温度变化率。
9．保温(隔热)材料：λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不高于350℃时)的材料。
10．肋效率：肋片实际散热量与肋片最大可能散热量之比。
11．接触热阻：材料表面由于存在一定的粗糙度使相接触的表面之间存在间隙，给导热过程带来额外热阻。
12．定解条件(单值性条件)：使微分方程获得适合某一特定问题解的附加条件，包括初始条件和边界条件。
二、填空题1．导热基本定律是_____定律，可表述为。
（傅立叶，）2．非稳态导热时，物体内的_____场和热流量随_____而变化。
（温度，时间）3．导温系数的表达式为_____，单位是_____，其物理意义为_____。
（a=λ/cρ,m2/s,材料传播温度变化能力的指标）4．肋效率的定义为_______。
（肋片实际散热量与肋片最大可能散热量之比。
）5．按照导热机理，水的气、液、固三种状态中_______态下的导热系数最小。
（气）6．一般，材料的导热系数与_____和_____有关。
（种类，温度）7．保温材料是指_____的材料.（λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不高于350℃时)）8．已知材料的导热系数与温度的关系为λ＝λ0(1+bt)，当材料两侧壁温分别为t1、t2时，其平均导热系数可取下的导热系数。
传热学-第2章
在导热体中取一微元体 热力学第一定律：
Q U W
W 0, Q U
d 时间内微元体中： [导入与导出净热量]+ [内热源发热量] = [热力学能的增加]
1、导入与导出微元体的净热量 d 时间内、沿 x 轴方向、经 x 表面导入的热量：
dQx qx dydz d
t t1
n i
x
i 1
t tn1
t1 t2 t3 t4
热阻：
r1
1 , , rn n 1 n
第二章 稳态热传导
三层平壁的稳态导热
30
q
t1 t n 1
由热阻分析法：
ri
i 1
n
t1 t n 1
i i 1 i
n
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？
第一章复习
(1) 导热
傅里叶定律：
(2) 对流换热 牛顿冷却公式： (3) 热辐射
斯忒藩－玻耳兹曼定律 ：
dt Φ A dx
Aht
A T 4
(4) 传热过程
(t f 1 t f 2 ) (t f 1 t f 2 ) Φ 1 1 Rh1 R Rh 2 Ah1 A Ah2
多层、第三类边条
tf1
q
tf1 tf 2 1 n i 1 h1 i 1 i h2
h1 t2 t3
h2 tf2
W 单位： 2 m
传热系数？ tf1
？
t1 t2 t3 t2
？ tf2
32
三层平壁的稳态导热
第二章 稳态热传导
一台锅炉的炉墙由三层材料叠合而成.最里面的是耐火黏土砖,厚 115MM;中间是B级硅藻土砖,厚125MM;最外层为石棉板,厚 70MM.已知炉墙内外表面温度分别为485℃ 和60 ℃ , 试求每平方 米炉墙的热损失及耐火黏土砖和硅藻土砖分界面上的温度。 解：各层的导热系数可根据估计的平均温度从手册中查出。第一 次估计的平均温度不一定正确，待算得分界面温度时，如发现不 对，可重新假定每层的平均温度。经几次试算，逐步逼近，可得 合理的数值。这里列出的是几次试算后的结果： W 3 0.116 /(m K ) W 1 1.12W /(m K ) 2 0.116 /(m K )
热传导与导热方程的推导
热管理
导热方程应用于热管理系 统设计，提高能源利用效 率。 优化散热系统，减少能源 浪费。
环境保护
研究导热方程有助于减少 能源消耗，降低环境污染。 提高能源利用率，减少温 室气体排放。
热传导与导热方程的重要 性
热传导与导热方程不仅在工程领域有重要应用， 还在物理、化学、生物等领域有广泛影响。通过 研究热传导过程和导热方程，我们可以更好地理 解热量传递规律，优化工艺设计，提高能源利用 效率，推动科技进步。
热传导特性比较
不同材料的热传导特 性有所差异，金属通 常具有较好的热传导 性能，而绝缘材料的 热传导性能相对较差。 在选材时需要考虑材 料的热传导特性，以 提高热传导效率。
热传导在多相流传热中的应用
多相流传热
热传导现象与单 相流不同
热传导影响
对多相流传热过 程有重要影响
特殊考虑
需要针对多相流 情况进行分析
能量守恒
导热方程基于能 量守恒定律，描 述了热量在空间 中的传递过程。
时间与空间 关系
导热方程同时考 虑了时间和空间 的影响，描述了 温度场的演化规
律。
热传导性质
导热方程体现了 物质导热性质的 特点，热导率是
其重要参数。
热传导过程图解
01 传热方式
热传导主要通过传导、对流和辐射等方式传 递热量。
02 温度分布
地热能利用
为提供重要依据
热传导在电子器件中的应用
01 散热系统设计
提高器件性能
02 热传导材料选择
影响器件散热效果
03 热管理解决方案
应对器件发热问题
热传导在生物体内的应用
生物热平衡
维持生物体内稳定温度 有助于身体功能正常运行
复习第二章导热过程的传热学原理与导热微分方程
15
第四节 简化假设与实际问题的模型化
③液固态金属的热物性均为常数，即不随温度而变。 ④铸型材料的热物性值亦取为常数。 ⑤常不考虑金属铸型界面气隙的存在，或以简化的综合换热系数
第五节 凝固潜热的处理
（2）非平衡凝固条件下二元合金的固相率与温度的关系 考虑固相无扩散，液相溶质均匀分布。 则由夏尔（Sheil）方程：
C LC 0[1fs(T)k]01
又C0 Tm TL CL Tm T
fs(T)1(TTm mTTL)k011
21
第五节 凝固潜热的处理
由上述两种 fs (T ) 的表达式可知，f s (T ) 是温
上述分类目的是从数学上便于求解方程组，实际 上物体边界的传热现象是多种多样的。
10
第三节 导热过程的定解条件/边界条件
4、辐射换热边界条件
针对铸件的凝固过程，要考虑辐射换热边界条件和 铸件/铸型界面边界条件的处理。
q( T n)w (Tw 4Tf4)
(热辐射量定 E义 T4)
Tw物体表面T温 f 已 度知 ，环境温度
波尔兹曼常数， 辐射系数，是物 光体 洁表 度面 函数
11
第三节 导热过程的定解条件/边界条件
针对上式进行线性化处理，得：
q( T n)whr(TwTf)
式中h， r (Tw2Tf2)(TwTf ),称为辐射换热系数
实际导热问题，可能同时存在对流和辐射换热，其 边界条件为：
q( T n)w(h ch r)T (w T f)
2、第二类边界条件
给定边界上的热流密度，即：
热传导的计算方法
热传导的计算方法热传导是热量从高温区域向低温区域传递的过程。
在工程领域中，了解和计算热传导非常重要，因为它直接关系到热能的利用和传递效率。
本文将介绍一些常用的热传导计算方法，并通过具体示例来说明它们的应用。
1.导热方程导热方程是最基本的热传导计算方法之一。
它描述了热传导过程中的温度变化，并利用热扩散系数、温度梯度和物质的热容量等参数进行计算。
导热方程的通用形式为：q = -k * A * ΔT/Δx，其中q表示热流量，A表示传热面积，ΔT表示温度差，Δx表示距离，k表示热导率。
例如，假设我们要计算热量从金属块的一侧传导到另一侧的情况。
已知金属块的热导率为0.2W/(m·K)，距离为0.5m，温度差为50℃，传热面积为1m²。
利用导热方程，我们可以计算出热流量为q = -0.2 * 1 * 50/0.5 = -20W。
2.热传导方程热传导方程是导热方程的一种特殊形式，适用于热传导速率与温度变化成正比的情况。
具体来说，热传导方程可以通过考虑温度分布的变化来计算热传导速率。
它的通用形式为：q = -k * A * dT/dx，其中q表示热流量，A表示传热面积，dT表示温度变化，dx表示位置的变化，k表示热导率。
以一个简单的例子来说明，假设我们要计算热量从一段铁棒的一端传导到另一端的情况。
已知铁的热导率为80W/(m·K)，位置变化为1m，温度变化为100℃，传热面积为2m²。
利用热传导方程，我们可以计算出热流量为q = -80 * 2 * 100/1 = -16000W。
3.有限元法有限元法是一种基于数值模拟的热传导计算方法。
它将连续介质离散化为多个小单元，并利用数学建模和计算技术进行模拟。
有限元法可以用来计算复杂几何形状和非线性材料的热传导问题。
例如，假设我们要计算一个复杂形状的导热板的热传导问题。
我们可以将导热板离散化为多个小单元，并在每个单元内进行温度和热量分布的计算。
第二章热传导方程习题解答
齐海涛
(SDU)
数学物理方程
2015-11-27
9 / 51
热传导方程及其定解问题的导出
解: 与第1题类似, 取导线轴为 x 轴, 在时刻 t1 到 t2 介于 [x1 , x2 ] 的导线段 的热量增加为: 从导线的其它部分流入的热量, 从侧面流入的热量以及电流通 过 [x1 , x2 ] 这段产生的热量之和, 即 ( ) ∫ t2 ∫ x 2 ∫ t2 ∫ x 2 ∫ x2 ∫ t2 ∂ ∂u i2 r k ωdxdt − k1 P(u − u0 )dxdt + 0.24 dxdt. ∂x ω t1 x1 ∂x t1 x1 x1 t1 因此根据热量平衡就可得导线温度满足的方程为 ∂u k ∂2 u k1 P 0.24i2 r = − (u − u0 ) + . 2 ∂t cρ ∂x cρω cρω
Example 1.4
设一均匀的导线处在周围为常数温度 u0 的介质中, 试证: 在常电流作用下导 线的温度满足微分方程 ∂u k ∂2 u k1 P 0.24i2 r = − (u − u0 ) + , 2 ∂t cρ ∂x cρω cρω 其中 i 及 r 分别表示导体的电流及电阻, P 表示横截面的周长, ω 表示横截 面的面积, 而 k1 表示导线对于介质的热交换系数.
Ω Ω t2 t1
∂N dtdxdydz. ∂t
根据质量守恒, 并注意到 Ω, t1 , t2 的任意性, 得所求方程为 ( ) ( ) ( ) ∂N ∂ ∂N ∂ ∂N ∂ ∂N = D + D + D . ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
齐海涛
(SDU)
数学物理方程
2015-11-27
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数学物理方程谷超豪版第二章课后答案.doc
第二章热传导方程§ 1热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dQ k 1(u u 1 )dsdt又假设杆的密度为，比热为 c ，热传导系数为 k ，试导出此时温度 u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度u u( x,t) 。
记杆的截面面积 l 2为 S 。
t 到 tt 内流入截面坐标为 x 到 xx 一小段细杆的热量为 4由假设，在任意时刻dQu s t k u2u s x tkxs t k1x x x xx 2 xt 到 tt 在截面为杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻x 到 xx 一小段中产生的热量为4k 1dQ2k 1 u u l x tu u s x t1l1又在时刻 t 到 tt 在截面为 x 到 xx 这一小段内由于温度变化所需的热量为dQc u x,tt u x,t s x c u s x t由热量守恒原理得：3t tcu s x t k2us x t4k 1u u s x tt tx2 xl1消去 sx t ，再令x 0 ， t 2 u 0 得精确的关系：cuk 4k 1 u ut x 2 l1u k 2u 4ka 22 u4k或t cx2c 1u u 1x2c 1u u 1ll其中a2kc2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为 ，则从时刻 t 1 到 t 2 流入此闭曲面的溶 质，由 dMDudsdt ，其中 D 为扩散系数，得nt 2D udsdtMt 1 snt 2t 2C udvdtM 1C u x, y, z, t 2 u x, y, z, t 1 dxdydzCudtdvt 1tt 1t两者应该相等，由奥、高公式得：t 2uuut 2C udvdtMD D D dvdt M 1t 1xx y y z zt 1t其中 C 叫做孔积系数 =孔隙体积。
数学物理方法-热传导方程
其中 n 为边界 的法线方向
法向的正向为指向系统外
例如：杆的热传导问题中，若杆的一端x=a处，是绝热的，没有热流通
过，那里的边界条件就是
u 0 n
(dQ k u ds dt 0) n
又如：均匀弦的横振动问题中，如果在其一端x=L处，是未加固定的自 由端，弦在自由端处不受位移方向的外力，从而在这个端点上弦在位
在热传导问题中，如果物体内不存在热源，物体周围的环境温度不随 时间变化，则经过相当长的时间后，物体各处的温度将不再随时间而
改变，趋向于稳定状态。这时，ut 0 ，齐次的热传导方程便化为稳
定温度场的拉普拉斯方程。
热传导方程： ut a2 (uxx uyy uzz ) ut a22u 0
变为： 2u 0
)dydz
q1 x
dxdydz
将
q1
k
u x
kux 代入，得：
Q1
x
(kux
)dxdydz
x
(kux
)dxdydz
z
Q1 x (kux )dxdydz
如果六面体中没有源和汇，则浓度对时间
的变化率为：
u Q1 (kux ) t dxdydz x
——一维扩散方程
O
A(x, y, z)
C(x, y dy, z dz)
§1.3 定解问题的提法
推导了三种不同类型偏微分方程
波动方程 热传导方程 Laplace方程
定解条件：初始条件和边界条件。 定解问题：偏微分方程和相应的定解条件
初值问题（ Cauchy(柯西)问题）：只有初始条件，没有边 界条件的定解问题
S
V
此式左端的曲面积分中S是闭曲面，利用Gauss公式将它化为三重积分，即
2 热传导方程的离散化(讲义)
但是，这样给出的结果是否符合实际情况呢？一个特殊的情况 是在采用等节点间距时，我们有
W
w
W
w
ke =
k P + kE 2
2.1 一维稳态导热问题的离散化
考虑一种极限的情况，如果一侧的导热系数极小，而 另外一侧的导热系数很大，从物理上看，这个界面应 该表现为一个绝热的界面。而从算术平均的计算方法 来看，显然这个界面的导热系数是很大的。为了解决 这个困难，我们回顾一维复合壁面的稳态导热问题
(δ x)w
(δ x)w+ (δ x)w−
(δ x)e (δ x)e− P ∆x E
(δ x)w
(δ x)w+ (δ x)w−
(δ x)e (δ x)e− P ∆x E
dT + S ∆x = 0 dx w T −T −qE − kw P W + ( Sc + S PTP )∆x = 0 (δ x)w
T
aP ≥ ∑ anb
W
w
P
e
E
2.1 一维稳态导热问题的离散化
（13）代数方程组的求解方法
在代数方程组求解时，有直接解法和迭代解法可供 选择，以下我们分别来讨论。 首先我们来讨论直接解法。将离散化方程改写成
2.1 一维稳态导热问题的离散化
整理成矩阵形式 a1 −c 2 − d1 a2 O −d 2 O O T1 e1 T e 2 2 M M = M M −d n −1 Tn−1 en −1 an Tn en
(δ x) e + (δ x) e − ke = k P + kE (δ x ) e (δ x ) e
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dQ k1 (u u1 )dSdt , (1.11) 其中比例常数 k1 0 称为热交换系数
流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶 定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定： u u 或 k k1 (u u1 ). k dSdt k1 (u u1 )dSdt , n n u ( u) |( x , y , z ) g( x, y, z, t ). 即得到（1.10）：
分析：（两个物理定律）
1、热量守恒定律: 温度变 化吸收 的热量
通过边 界流入 的热量
热源放 出的热 量
2、傅里叶（Fourier）热传导定律:
u dQ k ( x , y , z ) dS dt , n k ( x , y, z ) 为热传导系数。
热传导方程的推导： 任取物体 G 内一个由光滑闭曲面 S 所围成的区 域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。 热量 守恒 定律 区域 内各点的温度从时刻 t 1 的温度u( x , y , z , t1 ) 改变为时刻 t 2 的温度 u( x, y, z , t 2 ) 所吸收（或 放出）的热量，应等于从时刻 t 1 到时刻 t 2 这 S 流入（或流出） 段时间内通过曲面 内的 热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
二、定解条件（初始条件和边界条件）
初始条件：
t 0 : u( x , t ) ( x , y, z ), ( x , y, z ) G , (1.7)
边界条件：( G )
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
t 0,
(1.9)
注： u u 沿边界 上的单位外法线方向 n 的方 表示 n 向导数 3、第三边界条件 ( D-N 混合边界条件 )
u n , t ) 0 时，表示物体绝热。
g( x, y, z , t ), ( x, y, z ) ,
c (
u dt )dV t
t2 t1
u [ c dV ]dt t
（2）通过曲面 S 进入 内的热量 Q1
由傅里叶热传导定律，从 t 1 到 t 2 这段时间内通过 S 进入 内的热量为
Q1
由高斯公式
t2
t1
u k ( x, y, z ) dS dt , n S
t 0,
(1.10)
k1 k1 其中： 0, g u1 . k k
注意第三边界条件的推导： 研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题 把一个温度变化规律为 u( x , y , z , t )的物体放入 空气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温 度为 u1 ( x , y , z , t ) ，它与物体表面的温度 u( x , y , z , t ) 并不相同。这给出了第三边界条件的提法。
x
divAdxdydz A ndS
S
知
u u u Q1 [ ( (k ) ( k ) ( k ))dV ]dt .(1.2) t1 x x y y z z
t2
（3）热源提供的热量 Q2 用 F ( x , y , z , t ) 表示热源强度，即单位时间内从单位 体积内放出的热量，则从 t 1 到 t 2 这段时间内 内热 源所提供的热量为 t2 Q2 [ F ( x, y, z, t )dV ]dt (1.3)
2 2 2 u u u u 2 a 2 2 2 f ( x , y , z , t ), t y z x
(1.5)
k , 其中 a c
2
F f , f 称为非齐次项（自由项）。 c
三维无热源热传导方程：
2 2 2 u u u u 2 a 2 2 2 0 . t y z x
dQ c [u( x , y, z , t 2 ) u( x , y, z , t1 )]dV 整个 内温度变化所需要的能量 Q
Q
dQ c [u( x , y , z , t
t2 t1
2
) u( x , y , z , t1 )]dV (1.1)
u
g( x, y, z, t ),
( x, y, z ) ,
t 0,
(1.8)
特别地：g( x , y , z , t ) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
u k n
g( x , y , z , t ),
( x , y , z ) ,
t1
t2
由 及 t1 , t 2 的任意性知 u u u u c (k ) (k ) (k ) F ( x, y, z, t ).(1.4) t x x y y z z
三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物 体，即 c , , k 都为常数的物体）
t1
由热量守恒定律得：
t2 u u u u c dV ]dt [ ( ( k ) ( k ) ( k ))dV ]dt t1 [ t1 t x x y y z z t2
[ F ( x , y, z , t )dV ]dt
内温度变化所需要的热量 Q =通过曲面 S 流入 内的热量 Q1 +热源提供的热量 Q2
下面分别计算这些热量
（1） 内温度变化所需要的能量 Q 的比热（单位质量的物体温度改变 1 C 所需要的热量）为 c c( x , y , z ), 密度为 ( x , y , z ), 那么包含点 ( x , y , z ) 的体积微元 dV 的温度从u( x , y , z , t1 变为 u( x, y, z , t 2 )所需要的热量为 设物体 G