第二章热传导方程

dQ c [u( x , y, z , t 2 ) u( x , y, z , t1 )]dV 整个 内温度变化所需要的能量 Q
Q
dQ c [u( x , y , z , t
t2 t1
2
) u( x , y , z , t1 )]dV (1.1)
t 0,
(1.9)
注： u u 沿边界 上的单位外法线方向 n 的方 表示 n 向导数 3、第三边界条件 ( D-N 混合边界条件 )
u n u

特别地：g( x , y , z , t ) 0 时，表示物体绝热。
g( x, y, z , t ), ( x, y, z ) ,
内温度变化所需要的热量 Q =通过曲面 S 流入 内的热量 Q1 +热源提供的热量 Q2
下面分别计算这些热量
（1） 内温度变化所需要的能量 Q 的比热（单位质量的物体温度改变 1 C 所需要的热量）为 c c( x , y , z ), 密度为 ( x , y , z ), 那么包含点 ( x , y , z ) 的体积微元 dV 的温度从u( x , y , z , t1 变为 u( x, y, z , t 2 )所需要的热量为 设物体 G
热传导试 验定律或 牛顿定律 从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：
dQ k1 (u u1 )dSdt , (1.11) 其中比例常数 k1 0 称为热交换系数
流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶 定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定： u u 或 k k1 (u u1 ). k dSdt k1 (u u1 )dSdt , n n u ( u) |( x , y , z ) g( x, y, z, t ). 即得到（1.10）：
c (

u dt )dV t

t2 t1
u [ c dV ]dt t
（2）通过曲面 S 进入 内的热量 Q1
由傅里叶热传导定律，从 t 1 到 t 2 这段时间内通过 S 进入 内的热量为
Q1
由高斯公式
t2
t1
u k ( x, y, z ) dS dt , n S
u

g( x, y, z, t ),
( x, y, z ) ,
t 0,
(1.8)
特别地：g( x , y , z , t ) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
u k n

g( x , y , z , t ),
( x , y , z ) ,
t 0,
(1.10)
k1 k1 其中： 0, g u1 . k k
注意第三边界条件的推导： 研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题 把一个温度变化规律为 u( x , y , z , t )的物体放入 空气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温 度为 u1 ( x , y , z , t ) ，它与物体表面的温度 u( x , y , z , t ) 并不相同。这给出了第三边界条件的提法。
2 2 2 u u u u 2 a 2 2 2 f ( x , y , z , t ), t y z x
(1.5)
k , 其中 a c
2
F f , f 称为非齐次项（自由项）。 c
三维无热源热传导方程：
2 2 2 u u u u 2 a 2 2 2 0 . t y z x
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
二、定解条件（初始条件和边界条件）
初始条件：
t 0 : u( x , t ) ( x , y, z ), ( x , y, z ) G , (1.7)
边界条件：( G )
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
分析：（两个物理定律）
1、热量守恒定律: 温度变 化吸收 的热量

通过边 界流入 的热量

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热源放 出的热 量
2、傅里叶（Fourier）热传导定律:
u dQ k ( x , y , z ) dS dt , n k ( x , y, z ) 为热传导系数。
热传导方程的推导： 任取物体 G 内一个由光滑闭曲面 S 所围成的区 域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。 热量 守恒 定律 区域 内各点的温度从时刻 t 1 的温度u( x , y , z , t1 ) 改变为时刻 t 2 的温度 u( x, y, z , t 2 ) 所吸收（或 放出）的热量，应等于从时刻 t 1 到时刻 t 2 这 S 流入（或流出） 段时间内通过曲面 内的 热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即
x
divAdxdydz A ndS
S
知
u u u Q1 [ ( (k ) ( k ) ( k ))dV ]dt .(1.2) t1 x x y y z z
t2
（3）热源提供的热量 Q2 用 F ( x , y , z , t ) 表示热源强度，即单位时间内从单位 体积内放出的热量，则从 t 1 到 t 2 这段时间内 内热 源所提供的热量为 t2 Q2 [ F ( x, y, z, t )dV ]dt (1.3)
t1
t2
由 及 t1 , t 2 的任意性知 u u u u c (k ) (k ) (k ) F ( x, y, z, t ).(1.4) t x x y y z z

三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物 体，即 c , , k 都为常数的物体）
t1
由热量守恒定律得：
t2 u u u u c dV ]dt [ ( ( k ) ( k ) ( k ))dV ]dt t1 [ t1 t x x y y z z t2

[ F ( x , y, z , t )dV ]dt