28.1锐角三角函数(2)
28.1.2余弦、正切
3 2
B．
1 2
C． 3
D．
3 3
7 ． Rt △ ABC 中 ， 各 边 长 度 都 扩 大 两 倍 ， 那 么 锐 角 A 的 各 三 角 函 数 值 _______
双基演练 能力提升 聚焦中考
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
1 ． 如 图 1 ， 已 知 △ ABC 中 的 一 边 BC 与 以 AC 为 直 径 的 ⊙ O 相 切 于 点 C ， 若 BC=4 ， AB=5 ， 则 cosB=______ ．
3 C. 5
16 D. 25
） C．m2=2n+1 D．m2=1-2n
（ 2） 已 知 sina+cosa=m， sina· cosa=n， 则 m， n 的 关 系 是 （ A．m=n B．m=2n+1
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
AC 4 AC 4 = ， tanB= = ． AB 5 BC 3
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
课本第81页练习1、2、3题 补充练习 已知等腰三角形的一条腰长为20cm，底边长 为30cm，求底角的正切值．
BcosA=A的来自邻 边 斜 边=b c
A
斜边 c
∠A 的对边 a C
∠A 的邻边 b
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
《锐角三角函数(2)》名师教案(人教版九年级下册数学)
28.1 锐角三角函数 第二课时(刘佳)一、教学目标 1．核心素养:通过锐角三角函数---余弦、正切的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力. 2．学习目标（1）1.1.1理解余弦、正切及锐角三角函数的概念 （2）1.1.2能熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算 （3）1.1.3理解并掌握互余两角三角函数间的关系 （4）1.1.4理解并掌握同角三角函数间关系 3．学习重点熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算4．学习难点互余两角和同角的三角函数关系 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务任务1 阅读教材P64-P65，思考：什么是余弦？ 任务2 阅读教材P64-P65，思考：什么是正切？ 2．预习自测 一、选择题1．如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若CD ＝5，AC ＝6，则cos B 的值是( ) A. 34 B.35 C.43 D. 45 答案： D解析：Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，所以CD ＝AD ＝BD ＝5，所以AB ＝10，因为AC ＝6，据勾股定理可得BC ＝8，所以cos B ＝45.故选D.2.在Rt△ABC 中，5sin 13C 90A ∠==，,则tan B 的值为（ ） A.1213 B.512 C.1312 D.125答案：D解析：Rt△ABC 中，设a ＝x 5,则x c 13=，x b 12=，所以tan B 512=.故选D.3.在Rt△ABC 中，ACB 90∠=,CD 是斜边AB 上的高，8,15BC AC ==,设BCD α∠=，则cos α的值为（ ） A.87B.78C.817D.1517答案：D解析：据勾股定理可知，AB 17=，ABC 111581722CD S ∆=⨯⨯=⨯⨯，所以17120=CD ，所以cos α1517=.故选D. （二）课堂设计 1．知识回顾（1）正弦的概念：在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,即ABBCA A =∠=斜边的对边sin .（2）函数的概念：设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量. （3）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．问题探究问题探究一●活动一 类比正弦，得出结论复习思考：在Rt△ABC 中，∠C=90o ，当锐角A 确定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比就随之确定.此时，其他边之间的比是否也确定了呢？如图：Rt △ABC 与Rt △A ´B ´C ´，∠C=∠C ´=90o，∠A=∠A ´=α，那么AC AB 与''''AC A B 、BCAC与''''B C AC 有什么关系？分析：由于∠C=∠C´=90o ，∠A=∠A´=α，所以Rt△ABC∽Rt△A´B ´C ´，则''''AC ABAC A B=，即''''AC AC AB A B =同理，''''BC B C AC AC=结论：在直角三角形中，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻C ´´ C BB ´A边的比也分别是确定的.我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作 cosA，即cosA＝＝b c把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA,即tanA＝＝a b●活动二函数思想，理论提升思考：sinA是A的函数吗？分析：对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数.同理，cosA、tanA也是A的函数.定义：锐角A的正弦，余弦，正切都叫做∠A的锐角三角函数.问题探究二●活动一初步运用，简单求值例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=35，求cosA、tanB的值．【知识点：三角函数概念，勾股定理；数学思想：数形结合】详解：sinA=BCAB =35，BC=6，∴AB=5610sin3BCA=⨯=又，∴cosA=ACAB =45，tanB=ACBC=43.点拨：在直角三角形中，只要已知任意两条边、或者一边和一锐角三角函数，都可根据勾股定理求出第三边，进而求出所有锐角三角函数值．例2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝34，求sinC的值．【知识点：三角函数概念，勾股定理；数学思想：数形结合】详解：∵AD⊥BC，∴tan∠BAD＝BD AD .∵tan∠BAD＝34，AD＝12，∴34＝BD12.∴BD＝9.∴CD＝BC－BD＝14－9＝5.∴在Rt△ADC中，AC＝AD2＋CD2＝122＋52＝13.∴sin C＝ADAC＝1213.点拨：在求解直角三角形的问题中，三角函数是解题的突破口，由已知三角函数求得相应线段长，进而求出未知三角函数．问题探究三 互余两角的三角函数之间有什么关系？重点、难点知识★▲●活动一观察思考，归纳总结互余两角之间的三角函数有怎样的关系呢？如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．=A sin ()()，()()=B cos ，则B A cos ____sin ； B sin ＝()()，=A cos ()()，则A cos ____B sin ； A tan ＝()()，B tan ＝()()，则____tan tan =⋅B A ． 归纳结论：若βα、为锐角，且090=+βα，则___sin =α，___sin =β，___tan tan =⋅βα. 问题探究四 同角的三角函数之间有什么关系？重点、难点知识★▲●活动一观察思考，归纳总结 同角三角函数间有怎样的关系呢？ 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．归纳结论：若0°<α<90°，则①平方关系：1cos sin 22=+αα；②弦切关系：αααcos sin tan =． 3．课堂总结【知识梳理】（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA=b c ；把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA=ab.（2）锐角A 的正弦，余弦，正切都叫做∠A 的锐角三角函数. （3）若90A B ∠+∠=，则sin A =cos B ，sin B =cos A （4）22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A=【重难点突破】（1）求解三角函数基本计算，找准角的对边、邻边是关键.（2）在求解三角函数问题时，要灵活运用公式，将求一个锐角的三角函数问题转化成求另外一个角的三角函数或这个角的其他三角函数. 4．随堂检测 一、选择题1.在直角三角形中，各边的长度都扩大5倍，则锐角A 的三角函数值（ ）A.也扩大3倍B.缩小为原来的15C.都不变D.有的扩大，有的缩小 答案： C解析：∠A 、∠B 、∠C 所对应的边分别为a 、b 、c,sinB=b/a,当该直角三角形的各边长都扩大5倍后，sinB=5b/5a=b/a ，所以答案为C. 【知识点：三角函数概念】2．在ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，如果4=AB ，2=BC ，则B cos 等于（ ）A ．12 B ．2 C D ．1 答案：A解析：在ABC ∆Rt 中，B cos 21==AB BC .故选A. 【知识点：三角函数概念，勾股定理；数学思想：数形结合】3．在△ABC 中，AB=5，BC=6，B 为锐角且sinB=35，则∠C 的正切值等于（ ）A ．56B ．32C 答案：B解析：过A 作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 中，因为B 为锐角且sinB=35，所以AD=3，据勾股定理可得：BD=4,所以DC=2，tanC 23==DC AD .故选B. 【知识点：三角函数概念，勾股定理；数学思想：数形结合】 二、填空题4.sin 259°+sin 231°的值是_______. 答案：1解析：sin 259°+sin 231°= sin 259°+cos 259°=1 【知识点：同角与互余两角的三角函数】5.在ABC ∆中，90C ∠=，2sin 5A =，则cos A =______，sin B =______，tan A =______.答案：521 、521 、21212 解析：设AB 2125===AC CB ，，则，所以cos A =521,sin B =521，tan A =21212.【知识点：三角函数概念，勾股定理】。
(人教版)九年级数学下册同步课件：28.第2课时 30°,45°,60°角的三角函数值
知识与技能 熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数． 过程与方法 1．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 2．培养学生观察、比较、分析、概括的能力． 情感、态度与价值观 经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学 说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度．
(3)若∠A＝30°，则ac＝________．
二、共同探究，获取新知 (1)探索 30°，45°，60°角的三角函数值． 师：观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？ 生：一副三角尺中有四个锐角，它们分别是 30°，60°，45°，45°. 师：sin30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流．
生：sin30°＝12.sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值， 与直角三角形的大小无关．我们不妨设 30°角所对的边长为 a(如图所示)，根据 “直角三角形中 30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边长等于 2a. 根据勾股定理，可知 30°角的邻边长为 3a，所以 sin30°＝2aa＝21.
第一列，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大． 第二列，余弦值随角度的增大而减小． 师：第三列呢？
生：第三列是30°，45°，60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中 的一个锐角，所以tan45°＝1比较特殊．随着角度的增大，正切值也在增大．
(2)进一步探究锐角的三角函数值． 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°.
重点 30°，45°，60°角的三角函数值． 难点 与特殊角的三角函数值有关的计算．
一、复习巩固 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°.
28,1 锐角三角函数 第二课时-九年级数学下册课件(人教版)
A. 3
12
B. 3
6
C. 3
3
D.
3 2
4 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，∠CAB＝∠ACB， 过点B 作BE⊥AB 交AC 于点E. (1)求证：AC⊥BD； (2)若AB＝14，cos∠CAB＝ 7 ，
8
求线段OE 的长．
(1)证明：∵∠CAB＝∠ACB，∴)， ∴cos α＝ 1 .
2
常见错解：∵方程2x
2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝
1 2
，
∴cos α＝2或cos α＝ 1 .忽略了cos α (α 为锐角)
2
的取值范围是0＜cos α＜1.
易错点：忽视锐角三角函数值的范围而致错.
1 如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD，BC 相交于点P， 如果∠DPB＝α，那么 CD 等于( B )
∴ ▱ABCD是菱形．∴AC⊥BD.
(2)解：在Rt△AOB 中，cos ∠OAB＝ AO 7 ，AB＝14，
AB 8
∴AO＝
7 8
AB＝
49 4
.
在Rt△ABE 中，cos ∠EAB＝ AB 7 ，
AE 8
AB＝14，∴AE＝
8 7
AB＝16，
∴OE＝AE－AO＝16－
BC 5
C
（1）
解： AB AC2 BC2 22 32 13,
┌
所以
sin A BC
3
3
13 ,
sin B AC
2
2 13 ,
AB 13 13
AB 13 13
cos A AC 2 2 13 , AB 13 13
tan A BC 3 .
28.1锐角三角函数(2) 余弦、正切学案
斜边c对边abC B A28．1锐角三角函数（2） 余弦、正切学案一．知识巩固。
（每个题目5分，合计20分）1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，当锐角A 确定时， ∠A 的对边与斜边的比是 ，2、 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。
已知AC= 5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ）A ．53B ．23C ．255D ．523、 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．4、在 90,=∠∆C ABC Rt 中，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则 ∠A 的正弦值 （ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．扩大4倍 D ．不变二．新知探究。
（每个题目10分，合计100分）1、类似于正弦的情况， 如图在Rt △BC 中，∠C=90°，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻边的比也分别是 ．我们 把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的 ，记作 ；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的 ，记作 。
2、当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°=； 当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．(1)CB A436CB A判断题 4、cos x =21=60°． （ ）5、α是锐角，且sin α=23，则α=30°． （ ）6、cos45°－cos15°=cos30°=23． （ ）7、若α为锐角，则2)1(cos -α=cos α－1．（ ） 8、若A 为锐角则0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1． （ ） 9、 若a 为锐角，则sin a +cos a ＞1． （ ） 10、已知:Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=35,AB=15,则AC 的长是( ).A.3B.6C.9D.12三．运用提高。
人教新课标版初中九下28.1锐角三角函数(2)ppt课件
1+ 3 2
B.
1+ 2 2
C.
2+ 3 2
D． D．
2
3 ． 如 图 2 所 示 ， AB 是 斜 靠 在 墙 上 的 长 梯 ， AB 与 地 面 的 夹 角 为 α ， 当 梯 顶 A 下 滑 1m 至 A ′ 时 ， 梯 脚 B 滑 至 B′ ， A′ B′ 与 地 面 的 夹 角 为 β ， 若 tanα = tan α A． A ． 4m
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
1.我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正 1.我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正 弦的？为什么可以这样定义它? 弦的？为什么可以这样定义它? 在上一节课中我们知道，如图所示， 2. 在上一节课中我们知道，如图所示，在 Rt△ABC中 C=90° 当锐角A确定时， Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时， 的对边与斜边的比就随之确定了, ∠A的对边与斜边的比就随之确定了,现在要 其他边之间的比是否也确定了呢？ 问：其他边之间的比是否也确现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业 范例
例 1： 如 图 ， 在 Rt△ ABC 中 ， ∠ C=90° ， BC= 6， sinA= ： △ ° ， 求 cosA、 tanB 的 值 ． 、
B 斜的c A ∠A的的的b ∠A的的的a C
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业 探究
第28章+锐角三角函数知识点总结及思维导图+2023—2024学年人教版数学九年级下册
第28章锐角三角函数【思维导图】28.1锐角三角函数【知识点】1.Rt△ABC中，∠C=90°.（1）∠A的对边与斜边比，叫做∠A的正弦，记为sinA，即sinA=∠A的对边斜边=aa（2）∠A的邻边与斜边比，叫做∠A的余弦，记为cosA，即cosA=∠A的邻边斜边=aa（3）∠A的对边与邻边比，叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA=∠A的对边∠A的邻边=aa∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.提示：sin A 不是sin与A的乘积，而是一个整体，cosA和tanA同理；锐角三角函数的三种表示方法：sin A，sin 56°，sin∠DEF.2.一个锐角的三角函数值是一个比值，它与三角形的大小无关，它没有单位.在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的锐角三角函数值为定值.锐角三角函数锐角α30°45°60°sin α12√22√32cos α√32√2212tan α√331√3（1）正弦值、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小.（2）sin α=cos（90°-α）cos α=sin（90°-α）tan α·tan（90°-α）=1（3）锐角A 的正弦、余弦的取值范围分别为：0<sin A<1,0<cos A<1, （4）cos 2A+sin 2A=1 sin 2A+sin 2（90°-α）=1（5）tan A=sin A cos A4.锐角三角函数值是个常数值，它只与角的度数有关，将来离开了直角三角形也存在.5.若α=45°，则sin α=cos α； 若α<45°，则sin α<cos α； 若α>45°，则sin α>cos α；28.2解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形【知识点】1.在直角三角形中，由已知元素求出其余未知元素的过程就是解直角三角形.2.在直角三角形中，三边之间的关系是a 2+b 2=c 2（勾股定理）； 两锐角之间的关系是∠A+∠B=90° 边角之间的关系有sinA=∠A 的对边斜边，cosA=∠A 的邻边斜边，tanA=∠A 的对边∠A 的邻边3.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只要知道其中的两个元素，就可以求出其余三个元素，其中至少有一个是边.4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若已知∠A=α，AB=c ，较简便的方法是用正弦求出BC ，用余弦求出AC ，也可用勾股定理求出AC ，根据直角三角形的两锐角互余求出∠B.单元练习一、选择题1.已知∠α为锐角，且sin a=12,则∠α=( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.sin 60°的相反数是( )A.-12B.−√33C.−√32D.−√223.如图，在∠ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA的值为( )A．52B．12C．255D．554.如图，在4×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，∠ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB 的值为( )A.3√55B.√175C. 35D. 455.在∠ABC中,∠A,∠B均为锐角,且|2sin A-1|与(cos a-√22)2互为相反数,则∠C的度数是( )A.45°B.75°C.105°D.120°6.如图，在∠ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB＝35，则AC的长为( )A．3 B．9 C．4 D．127.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪的高A D为1.5米,则铁塔的高BC为( )A.(1.5+150tanα)米a.(1.5+150tan a)米C.(1.5+150sinα)米a.(1.5+150sin a)米8.在Rt∠ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A 的值为 ( ) A.√32 B .12 C .√33 D .√229.如图，在∠ABC 中，CA ＝CB ＝4，cosC ＝14 ，则sinB 的值为( )A.102 B ．153 C ．64 D ．10410.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线 AC 与BC 相互垂直，∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(点 A,D,B 在同一条直线上)( ) a .asin a a .acos a a .atan a D. h·cosα11.定义一种运算:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.例如:当α=60°,β=45°时,cos(60°-45°)=12×√22+√32×√22=√2+√64,则cos 75°的值为 ( )A.√6+√24 B .√6-√24C.√6-√22 D .√6+√2212.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos∠ADC 的值为( )A ．21313B ．31313C ．23D ．53 二、填空题,则cos B=_______.13.在∠ABC中, aa=90°,tan a=√3314.已知α为锐角,当无意义时,cos α的值是_______.√3tan a-115.如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，CD∠AB，垂足为D，若AC＝ 5 ，BC ＝2，则sin∠ACD的值为_________．16.某物体沿着坡比为4：3的坡面上升了8米，那么在坡面上移动了_______米.17.如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为_______.H,tan∠ABG=1218．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2，设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是_________．三、解答题19.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50 cm,∠AB C=47°.(1)求车位锁的底盒BC的长；(2)若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位? (参考数据：aaa47°≈0.73,aaa47°≈0.68,aaa47°≈1.07)20.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图∠所示的景区内修建观光索道.其设计示意图如图∠所示,以山脚A为起点,沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC,BC长为50 m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线的夹角为45°,A、B两处的水平距离AE为576 m,DF∠AF,垂足为点F.(图∠中所有点都在同一平面内,点A、E、F 在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1 m);(2)求AF的长(结果精确到1 m).(参考数据:sin 15°≈0.25,cos 15°≈0.96,tan 15°≈0.26,√2≈1.41)21.八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上，求菜园与果园之间的距离．(结果保留整数．参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)。
锐角三角函数 (2)
28.1 锐角三角函数（2）主备：简红一.课时学习目标：1、掌握余弦、正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的余弦和正切值。
2、能用函数的观点理解余弦和正切。
重点和难点重点：三角函数定义的理解。
难点：直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系及求三角函数值。
二.课前预习导学：带着下列问题独立预习.交流研讨课本第77—78页内容：1. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，当∠A确定时，它的邻边与斜边的比值是锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的，记作。
即cosA＝＝。
2. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，当∠A确定时，它的对边与邻边的比值是锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的，记作。
即tanA＝＝。
三.预习检测1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，则cosA＝________，tanB＝______。
2.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（）A．B．C．D．3. 在中，∠C＝90°，如果那么的值为（）A．B．C．D．四. 课堂学习研讨：第一，小组内交流你的预习收获，并说出你的困惑。
第二，分组汇报预习收获及困惑。
第三，本节内容深入研讨，并整理。
探索新知：一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比. 对边与邻边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90o，∠A=∠A‘那么与有什么关系？结论：1.在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值。
2.在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比也是一个固定值。
五.课内训练巩固：1.在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。
2.在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=2BC,则sinC=____，cosA=_____,tanA=_____。
锐角三角函数(第2课时)教案 2022—2023学年人教版数学九年级下册
28.1 锐角三角函数第2课时一、教学目标【知识与技能】1.通过类比正弦函数，理解余弦函数、正切函数的定义，进而得到锐角三角函数的概念；2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.【情感态度与价值观】经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力.二、课型新授课三、课时第2课时共4课时四、教学重难点【教学重点】理解余弦、正切概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比值、直角边之比是固定值.【教学难点】熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔.六、教学过程(一)导入新课（出示课件2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就确定，此时，其他边之间的比是否也确定呢？(二)探索新知知识点一余弦的定义如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则AC DF=成立吗？为什么？（出示课件4）AB DE学生思考后，师生共同解答：（出示课件5）∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.从而sinB=sinE，因此AC DF=.AB DE教师归纳：（出示课件6）在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=.A b c∠=的邻边斜边教师强调：从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三角函数之间的关系：对于任意锐角α，有cos α=sin(90°－α),或sin α=cos(90°－α).（出示课件7）出示课件8，教师对照正弦、余弦的定义，对两个概念注意事项加以强调：1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA 、cosA 是一个比值（数值）.3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.出示课件9，学生独立思考后口答，教师订正.知识点二 正切的定义如图，△ABC 和△DEF 都是直角三角形，其中∠A=∠D ，∠C=∠F=90°，则BC EF AC DF=成立吗？为什么？（出示课件10）学生自主证明，一生板演，教师巡视，并用多媒体展示. 证明：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D ，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF. ∴BC AC EF DF =， 即BC EF AC DF=. 教师问：当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？（出示课件11）学生独立思考后，师生共同总结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值.（出示课件12）如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA.即tanA=a .A A b∠=∠的对边的邻边出示课件14，教师问：如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？学生答：互为倒数.教师问：锐角A 的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？学生答：锐角A 的正切值可以等于1；当a=b 时；可以大于1，当a ＞b 时.出示课件15，学生独立思考后口答，教师订正.知识点三 锐角三角函数的定义出示课件16：锐角A 的正弦、余弦、和正切统称∠A 的锐角三角函数.考点1 已知直角三角形两边求锐角三角函数的值.例 如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA ，cosA ，tanA 的值.（出示课件17）学生思考后，师生共同解答.解：由勾股定理,得2222=106AC AB BC --， 因此，63sin ==105BC A AB =， 84cos 105AC A AB ,===63tan ==.84BC A AC = 师生共同总结：已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐角三角函数值；当所涉及的边是未知时，可考虑运用勾股定理的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角函数值．（出示课件18）出示课件19，学生独立思考后口答，教师订正.考点2 已知一边及一锐角三角函数值求函数值.例 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，3sin 5A =，求cosA,tanB 的值．学生独立思考后，师生共同解答.解：∵在Rt △ABC 中，sin BC A AB=， ∴5610sin 3BC AB A =⨯==. 又22221068AC AB BC =-=-=， ∴4cos 5AC A AB ==，4tan .3AC B BC == 教师强调：在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值.出示课件21，学生独立思考后一生板演，教师订正.(三) 课堂练习（出示课件22-28）练习课件22-28相应题目，约用时15分钟。
人教版九年级数学下册第二十八章《 锐角三角函数 课时2》优质课件
三、研读课文
练一练
1、Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12，
余 那么下列∠A的四个三角函数中正确的是( B )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知 识
弦、 正
A. sinA=
5 13
；
B．sinA = 12
13
点 二
切 的 应 用
C．tanA= 13 ；
12
D． cosA= 5
12
2、如图：P是∠的边OA上一点， 且P点的坐标为（3，4），则
把∠A的对边与邻边的比叫做_∠__A_的__正__切___， 记作___ta_n_A___，即_t_a_n_A_=__—_∠∠_—AA_—的 的_—_—对 邻__—边 边_—_—__—_=_ba _.
四、归纳小结
2、对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯 一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数. 同样地，_c_o_s_A_，_t_a_n_A__也是A的函数.
28.1 锐角三角函数（2）
一、新课引入
1、一般地，在一个变化过程中，如果有两个 变量x和y，并且对于x的每一个确定的值, y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们称y是 x的___函__数___
一、新课引入
2、分别求出图中∠A，∠B的正弦值.
1 sinA=
3
3
sinB= 3
sinA= 3
2
sinB= 2
定 的各三角函数值（ A ）
义
A.没有变化 C.分别缩小到原来的
1
4
B.分别扩大4倍 D.不能确定
三、研读课文
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
余
BC=6，sinA= 3 ，求cosA、tanB的值．
数学：28.1锐角三角函数(2)课件(人教新课标九年级下)
例题示范
3 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝ 5 ，求 cosA、tanB的值．
B
解：∵
BC sin A AB
A
6
BC 5 AB 6 10 sin A 3
又
C
AC AB 2 BC 2 10 2 62 8
AC 4 AC 4 cos A , tan B AB 5 BC 3
2. 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余 弦值和正切值有什么变化？ 解：设各边长分别为a、b、c，∠A的三个三角函数分别为
a b a sin A ， cos A ， tan A c c b
则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c
B
2a a sin A 2c c 2b b cos A 2c c 2a a tan A 2b b
2、sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）。
3、sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小 有关，而与直角三角形的边长无关。
课后作业
课时作业本 P76—P83
独立完成作业的良好习惯，
是成长过程中的良师益友。
中考语录
中考是一场跳高比赛，取胜关 键在于你起跳时对大地用力多少!
结束寄语
试一试：
下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和∠B 的对边、邻边。 B D (1) tanA =
(BC )
= CD (AD) AC
A
C
(2) tanB=
(AC )
BC
= CD ( BD)
试一试：
如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时 扩大100倍,tanA的值（ C ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
人教版九年级数学精品课件28.1 锐角三角函数(2)
2019/4/20
练习：分别求出图中∠A，∠B的正弦值。
B 2 C 6 A
C 6 A
(2)
B
2 B
(1)
A
2 6
C
2019/4/20
(3)
2019/4/20
类似于正弦情况，当锐角A的大小确定时， ∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比 也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比 叫做A的余弦(cosine),记作 cosA，即 A的 邻边 b cosA= = 斜边 c 把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正 切（tangent）,记作tanA，即
你想知道小明怎样 算出的吗？
?
30°
1.65米
10米
2019/4/20
利用正弦函数，余弦函数的定义说明： sin2A+cos2A=1
2019/4/20
20192
3 3
2 2
2 2
3 2 1 2
1
3
3 3
0< sinA<1 ctgα 0<cosA<1
3
1
例2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， CD⊥AB于D。求出∠BCD的三个锐角三角 函数值。
B A
3
D
6
C
2019/4/20
成果推广
若已知锐角α的始边在x轴的正半轴上,(顶点在原点) 终边上一点P的坐标为(x, y)，它到原点的距离为r 求角α的四个三角函数值。 sinα=
y r
，
y α O
r
P (x,y)
M
cosα=
tanα= cotα=
这里 r
x r
，
28.1(sin)第二课时9.2
教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设
1.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0) 和B(0,-4),则sin∠OAB等于____
2.在RT△ABC中,∠C=900,AD是BC边上 的中线,AC=2,BC=4,则 sin∠DAC=_____.
a
3.在 RT△ABC中, b 则sin∠A=___.
A
3
3
B
C
5
《恒谦教育教学资源库》
教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设
4.已知RT△ABC,∠C=900,D是BC中点,DE⊥AB, 垂足为E,sin∠BDE=
4 5
，AE=7,求DE的长.
A E
B
D
C
习题精讲
《恒谦教育教学资源库》
2
教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设
例2、如图，在△ABC中，AB= 4 求（1）∠B，∠C的正弦值； （2）BC的长； （3）△ABC的面积.
sin A sin 30
1 2
在图中 当∠A＝45°时，我们有
sin A sin 45
∠A的对边记作a
2 2
∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
2
思维拓展
如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB，
B
s in B
s in A
AC AB
BC AB
＜1
＜1
A C
所以0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1,
，AC=6，∠B=45°
7
小结
拓展
B 斜边 A ∠A的对边 ┌ C
2 2
1.锐角三角函数定义: sinA=
余弦和正切
新知探索: 1、你能将“其他边之比”用比例的 B 式子表示出来吗？这样的比有多少？
c A b a C
b c
a b
2、当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比， ∠A 的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并 说出理由。
方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；
方法二：根据相似三角形的性质来说明。
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
rldmm8989889
A的对边 a sin A 斜边 c A的邻边 b cos A 斜边 c A的对边 a tan A A的邻边 b
锐角A的正弦、余弦、 正切都叫做∠A的锐角三 角函数.
对于锐角A的每一 个确定的值，sinA有 唯一确定的值与它对 应，所以sinA是A的函 数。
延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值 有什么规律吗？ 结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的 余弦等于它余角的正弦。
rldmm8989889
练习
• 课本P78 练习1，2，3. • 补充练习 1、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6， 求sinB，cosB，tanB.
余弦（cosine），记作cosA， 即
B 斜边c A 对边a C
A的邻边 b cos A 斜边 c
邻边b
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切（tangent），记作tanA， 即
A的对边 a tan A A的邻边 b
注意
• cosA，tanA是一个完整的符号，它表示 ∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的 符号“∠”； • cosA，tanA没有单位，它表示一个比值， 即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、 对边与邻边的比； • cosA不表示“cos”乘以“A”， tanA不表 示“tan”乘以“A”
人教版数学《锐角三角函数》_实用课件
1 3
1 3
2
1 3
1 3
3
【获奖课件ppt】人教版数学《锐角三 角函数 》_实 用课件2 -课件 分析下 载
【获奖课件ppt】人教版数学《锐角三 角函数 》_实 用课件2 -课件 分析下 载
巩固提高
2.在Rt△ABC中,∠C=90°.如果各边长都扩大到 原来的2倍，那么∠A的正弦值、余弦值、正切值 有变化吗？说明理由.
没有变化
【获奖课件ppt】人教版数学《锐角三 角函数 》_实 用课件2 -课件 分析下 载
【获奖课件ppt】人教版数学《锐角三 角函数 》_实 用课件2 -课件 分析下 载
巩固提高
补充练习：如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD 是AB边上的高.
CD BC
① s i n A s_ i_ n_ ∠_ B_ C_ _ D _ _ _ A_ C_ _ _ A_ B_ __ c_ os_ ∠_ _ B_ C_ D_ _ _ _ A_ B_ _ _ _ _ A_ C_ _ ;
AD AC
③ t a n A C D _ ta_ n_ B_ _ _ C_ D_ _ _ B_ C_ _ .
【获奖课件ppt】人教版数学《锐角三 角函数 》_实 用课件2 -课件 分析下 载
【获奖课件ppt】人教版数学《锐角三 角函数 》_实 用课件2 -课件 分析下 载
总结提升
1.在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，无论 这个直角三角形大小如何，∠A的邻边与斜边的比、 ∠A的对边与邻边的比都是_一__个__固__定__值__.
第28章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第2课时 余弦和正切
情境引入
观察不同大小的三角尺，当角是30°，45°， 60°时，它们的对边与斜边、邻边与斜边、对边与 邻边的比有什么规律？谈谈你的看法.
28.1锐角三角函数(2)
测试2 锐角三角函数学习要求1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．2．初步了解锐角三角函数的一些性质．课堂学习检测一、填空题1．填表． 锐角α 30° 45° 60° sin α cos α tan α二、解答题2．求下列各式的值．(1)o 45cos 230sin 2-︒(2)tan30°－sin60°·sin30°(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(4)︒+︒+︒+︒-︒45sin30cos30tan 130sin 145cos 2223．求适合下列条件的锐角α ．(1)21cos =α (2)33tan =α(3)222sin =α (4)33)16cos(6=- α4．用计算器求三角函数值(精确到0.001)．(1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______． 5．用计算器求锐角α (精确到1″)．(1)若cos α ＝0.6536，则α ＝______；(2)若tan(2α ＋10°31′7″)＝1.7515，则α ＝______．综合、运用、诊断6．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A求此菱形的周长．7．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ACB 的值．8．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，延长CA 至D 点，使AD ＝AB ．求：(1)∠D 及∠DBC ； (2)tan D 及tan ∠DBC ；(3)请用类似的方法，求tan22.5°．9．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．10．已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．拓展、探究、思考11．已知：如图，∠AOB ＝90°，AO ＝OB ，C 、D 是上的两点，∠AOD ＞∠AOC ，求证：(1)0＜sin ∠AOC ＜sin ∠AOD ＜1； (2)1＞cos ∠AOC ＞cos ∠AOD ＞0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______； (4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．12．已知：如图，CA ⊥AO ，E 、F 是AC 上的两点，∠AOF ＞∠AOE ．(1)求证：tan ∠AOF ＞tan ∠AOE ；(2)锐角的21世纪教育网值随角度的增大而______．13．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求证：(1)sin 2A ＋cos 2A ＝1； (2)⋅=AA A cos sin tan14．化简：ααcos sin 21⋅-(其中0°＜α ＜90°)15．(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：①sin30°______2sin15°cos15°； ②sin36°______2sin18°cos18°；③sin45°______2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°______2sin30°cos30°； ⑤sin80°______2sin40°cos40°； ⑥sin90°______2sin45°cos45°． 猜想：若0°＜α ≤45°，则sin2α ______2sin α cos α ．(2)已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝2α ．请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论．16．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于H 点．在底边BC保持不变的情况下，当高AD变长或变短时，△ABC和△HBC的面积的积S△ABC ·S△HBC的值是否随着变化?请说明你的理由．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B
解：∵
5
sin
A
BC
AB
6
AB BC 6 5 10
sin A 3
A
A AC 4 , tan B AC 4
AB 5
BC 3
练习
1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、
余弦值和正切值．
C
解：由勾股定理
12
BC AB2 AC2 132 122 5 B
与邻边的比也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫
做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent）， 记作tanA，即
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函 数．
例题示范
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6， sinA＝ 3 ，求cosA、tanB的值．
人教课标九下上·§28.1 (2)
28.1 锐角三角形（2）
情境探究
如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，当锐角A 确定时，∠A的对边与 斜边的比就随之确定，A 此时，其他边之间的比 是否也确定了呢？为什 么？
斜边c
B
对边a
邻边b C
情境探究
当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边
＝ 3 ， 求：sinA、cosB的值．
4
解： tan A BC 3
B
AC 4
Q AC 8
BC 3 AC 3 8 6
4
4
C
8
A
AB AC 2BC2 82 62 10
sin A BC 6 3 AB 10 5
cos B BC 6 3 AB 10 5
13
A
sin A BC 5
AB 13 cos A AC 12
sin B AC 12 AB 13
AB 13
cos B BC 5
tan A BC 5
AB 13
AC 12
tan B AC 12
BC 5
练习
2. 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角
A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？
解：设各边长分别为a、b、c，∠A的三
个三角函数分别为
B
sin A a ，cos A b ，tan A a
c
c
b
则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c
C
A
sin A 2a a
B
2c c
cos A 2b b 2c c
tan A 2a a 2b b C
A
练习
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA