偏微分方程数值习题解答

李微分方程数值解习题解答 1-1 如果0)0('

=ϕ，则称0x 是)(x J 的

驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解

证明:由)(λϕ的定义与内积的性线性性质,得

),()),((2

1

)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλϕ+-++=+=

),(2

),()(2

00x Ax x b Ax x J λλ+

-+=

),(),()(0'x Ax x b Ax λλϕ+-=

必要性:由0)0('

=ϕ,得,对于任何n R x ∈,有

0),(0=-x b Ax ,

由线性代数结论知,

b Ax b Ax ==-00,0

充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,

0|),(),()0(00'=+-==λλϕx Ax x b Ax

即0x 是)(x J 的驻点. §1-2

补充: 证明)(x f 的不同的广义导数几乎处处相等.

证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意

)()(0I C x ∞∈ϕ,有

⎰⎰-=b

a b

a dx x x f dx x x g )()()()('

1ϕϕ ⎰⎰-=b

a b

a dx x x f dx x x g )()()()('2ϕϕ 两式相减,得到

)(0)()(021I C x g g b

a ∞

∈∀=-⎰ϕϕ 由变分基本引理,21g g -几乎处处为零,即21,g g 几乎处处相等.

补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21) 证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式

||

||.||||||||.|||||)(||),(|'''''v u M v u M dx quv v pu v u a b

a +≤+=⎰11*||||.||||2v u M ≤,其中},max{'*M M M =

习题:

1 设)('x f 为)(x f 的一阶广义导数,试用类似的方法定义)(x f 的k 阶导数,...2,1(=k ) 解:一阶广义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:

对于)()(2I L x f ∈,若有)()(2I L x g ∈,使得对

于任意的)(0

I C ∞

∈ϕ,有 ⎰

⎰-=b

a

k k

b

a dx x x f dx x x g )()()

1()()()(ϕϕ

则称)(x f 有k 阶广义导数,)(x g 称为)(x f 的k 阶

广义导数,并记k

k dx

f

d x g =)(

注:高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.

2.利用)(2I L 的完全性证明))()((1I H I H m 是

Hilbert 空间.

证明:只证)(1I H 的完全性.设}{n f 为)(1I H 的基本列,即

0||||||||||||0''01→-+-=-m n m n m n f f f f f f

因此知}{},{'n n f f 都是)(2I L 中的基本列(按)(2I L 的范数).由)(2I L 的完全性,存在)(,2I L g f ∈,使

0||||,0||||0'0→-→-g f f f n n ,以下证明

0||||1→-f f n (关键证明dx

df

g =)

由Schwarz 不等式,有

00||||.|||||)())()((|ϕϕf f x x f x f n b

a n -≤-⎰

00'''|||||||||)())()((|ϕϕf f dx x x g x f n b

a n -≤-⎰

对于任意的)()(0I C x ∞∈ϕ,成立

⎰⎰=∞

→b

a b

a n n dx x x f dx x x f )()()()(lim ϕϕ

⎰⎰=∞

→b

a b a n

n dx x x g dx x x f )()()()(lim 'ϕϕ

由⎰⎰-=b

a n b

a n

dx x x f dx x x f )()()()(''ϕϕ

取极限得到dx x x f dx x x g b

a b

a ⎰⎰-=)()()()('ϕϕ

即')(f x g =,即)(1I H f ∈,且

0||||||||||||0''01→-+-=-f f f f f f n n n

故)(1I H 中的基本列是收敛的,)(1I H 是完全的. 3.证明非齐次两点边值问题

证明:边界条件齐次化

令)()(0a x x u -+=βα,则0u u w -=满足齐次边界条件.w 满足的方程为00Lu f Lu Lu Lw -=-=,即

w 对应的边值问题为

⎩⎨⎧==-=0

)(,0)('

b w a w Lu f Lw (P) 由定理知,问题P 与下列变分问题等价

求)(min )(,**1

2*1

w J w J H C w E

H

w E ∈=∈ 其中),(),(21

)(0*

w Lu f w w a w J --=.而

C

u u a u Lu u J u u Lu f u u u u a w J +-+=-----=),(),()(~

)

,(),(21)(000000*

而200)()(),(),(C b u b p u u a u Lu +-=-β

从而**)()()(~

)(C b u b p u J

w J +-=β 则关于w 的变分问题P 等价于:求

α=∈)(,12*a u H C u

使得

)(min )()(*1u J u J a u H u α

=∈=

其中)()(),(),(2

1

)(b u b p u f u u a u J β--=

4就边值问题（1.2.28）建立虚功原理 解:令)(0a x u -+=βα,0u u w -=,则w 满足