高二数学等比数列综合测试题答案
高二数学等比数列试题答案及解析
高二数学等比数列试题答案及解析1.在等比数列中，，公比.若，则=( )A．9B．10C．11D．12【答案】C【解析】根据等比数列的通项公式，有，所以【考点】本小题主要考查等比数列通项公式的应用，考查学生的运算能力.点评：等差数列和等比数列是两种常考的数列，它们的基本运算要加以重视.2.已知实数列－1，x，y，z，－2成等比数列，则xyz等于()A．－4B．±4C．－2D．±2【答案】C【解析】.3.在等比数列中，且，则的值为（）A．16B．27C． 36D． 81【答案】B【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。
解：设公比为q，因为，即，所以，q=3，从而=，=27，故选B。
4.在等比数列中，已知，则= （）A．8B．－8C．D． 16【答案】A【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。
解：因为，所以，，，故选A。
5.若正项等比数列的公比为，且，成等差数列，则。
【答案】【解析】主要考查等差、等比数列的概念及其通项公式。
解：因为成等差数列，所以，即，所以，解得，所以=。
6.已知等差数列的前4项和为10，且成等比数列，求数列的通项公式。
【答案】数列的通项公式为或。
【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。
解：设数列的首项为，公差为，则，则，由于成等比数列，所以，化简得所以解得或所以数列的通项公式为或。
7.在等比数列中,,则公比 .【答案】【解析】因为,解之得.8.在数列{an }中，其前n项和Sn＝，若数列{an}是等比数列，则常数a的值为．【答案】【解析】当n=1时，,因为{an}是等比数列,所以.9.设椭圆C：与直线相交于P,Q两点，且（O为坐标原点）（1）求证：等于定值（2）若椭圆的离心率，求椭圆长轴长的取值范围【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（Ⅰ）证明：消去得设点，则，由，，即化简得，则即，故（Ⅱ）解：由化简得由得，即故椭圆的长轴长的取值范围是。
10.某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为()A．q B．12qC．(1＋q)12D．(1＋q)12－1【答案】D【解析】设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q)，该厂一年的生产总值为S1＝1＋(1＋q)＋(1＋q)2＋…＋(1＋q)11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q)12，第2年全年生产总值S2＝(1＋q)12＋(1＋q)13＋…＋(1＋q)23＝(1＋q)12S1，所以该厂生产总值的年平均增长率为＝(1＋q)12－1.本题选择D选项.11.（1）设数列满足且，求的通项公式；（2）数列的前项和，求数列的通项公式.【答案】(1) (2)【解析】（1）由可得为等差数列，于是，从而可得结果；（2）当时，直接由前项和求首项，当大于等于时，由求解即可得结果.试题解析：（1）∵，∴数列是公差为1的等差数列，∴.∴.（2）当时，；当时，.∴【方法点睛】本题主要考查等差数列的定义及通项公式、数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.12.设是公比为正数的等比数列，.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】（1）an＝2n（2）2n＋1＋n2－2.【解析】求等差数列或等比数列的通项公式基本方法是列方程组解方程组，设出等比数列的首项与公比，借助等比数列通项公式列方程组，解方程组得出首项与公比，写出通项公式，根据首项与公差写出通项公式，利用分组求和法求出数列的和，一组利用等差数列前n项和公式求和，另一组采用等比数列前n项和公式求和，另外注意运算的准确性.试题解析：(1)设q为等比数列{an }的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{an }的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)(2)Sn＝.【点睛】求等差数列或等比数列的通项公式基本方法是列方程组解方程组，得出首项与公比（或公差），然后写出通项公式；有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，本题采用分组求和法求和，本题要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.13.等比数列中，若，，则（）A．64B．-64C．32D．-32【答案】A【解析】数列是等比数列，，，即解得那么故选A．14.已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（）A．5B．6C．7D．12【答案】B【解析】把配方得得到顶点坐标为，即由成等比数列，则，故选B．15.已知函数的最低点为.（1）求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）根据函数的最低点为，得到对称轴与最小值，列方程组求出，，即可求得函数解析式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）由由，可得，分别求出与的最大值与最小值，利用不等式恒成立可得结果.试题解析：（1）依题意，得，①，②由①②解得，，.∴.则原不等式可化为，解得或.故不等式的解集为.（2）由，得，即，则，即.∵，∴的最小值是.的最大值是.∴，即.故实数的取值范围是.16.已知数列是递减等比数列，且，，则数列的通项公式__________．【答案】【解析】因为，，所以, ,又因为数列是递减等比数列，所以，数列的通项公式，故答案为.17.已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求；（3）令，若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1); (2);(3)【解析】(1) 当时，利用公式；，可得，验证当时是否适合即可；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可（3）讨论当为奇数时，当为偶数时两种情况，分别利用等差数列求和公式求和，然后利用放缩法可证明结论.试题解析：(I)当时，当时，，适合上式，（）.(II)，则•，‚，•-‚得，..(III),当为奇数时，，当为偶数时，，综上所述，【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18.已知数列{a}满足．n（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn }的前n项和Sn．【答案】（1）；（2）【解析】(1)分类讨论和两种情况可得数列{an}的通项公式为；(2)结合(1)的结论错位相减可得数列{bn}的前n项和.试题解析：（1）当n＝1时，，，两式相减得，∴，当n＝1时也满足，∴．（2），∴Sn ＝1×3+2×32+3×33+…+n×3n，3Sn＝1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，两式相减得∴-2Sn＝3+32+33+34+…+3n-n×3n+1，∴．19.在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等比数列，那么位于表中的第10行第11列的数是________________.【答案】【解析】由题意知，第1列的数是首项为1，公比为2的等比数列，所以第10行的第一个数为。
高中数学等比数列专项训练题(含答案)
高中数学等比数列专项训练题(含答案)一、单选题1.设是等比数列，且。
则（）A。
12 B。
24 C。
30 D。
322.记S_n为等比数列{a_n}的前n项和．若a_5–a_3=12，a_6–a_4=24，则A。
2n–1 B。
2–2^(1–n) C。
2–2n–1 D。
2^(1–n)–13.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）=（）A。
3699块 B。
3474块 C。
3402块 D。
3339块4.在等差数列（）．A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项5.数列，则（）中。
若，中。
．记，则数列A。
2 B。
3 C。
4 D。
56.设比（）为等比数列的前___，已知。
则公A。
3 B。
4 C。
5 D。
67.在公比为2的等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，且S_7–2S_6=1，则a_1+a_5=（）A。
5 B。
9 C。
17 D。
338.已知正项等比数列，则n为（）满足，若，A。
5 B。
6 C。
9 D。
109.已知数列成等差数列，则（）1.缺少选项，无法回答。
2.缺少选项，无法回答。
3.答案为B。
根据等比数列的通项公式，第n项为$a_n=a_1q^{n-1}$，代入式中可得$\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=S_n$。
4.答案为D。
由于等比数列的公比为正数，所以只有选项D成立。
5.缺少选项，无法回答。
6.缺少选项，无法回答。
7.答案为A。
由于等比数列的通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$，所以$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$，即$a_{n+1}=a_nq$。
代入式中可得$\frac{a_1(q^{n+1}-1)}{q-1}=S_{n+1}$。
高二数学等比数列试题答案及解析
高二数学等比数列试题答案及解析1.已知是等比数列，，则公比q等于（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】由得【考点】等比数列的通项2.在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由等比数列的性质得，，由于各项为正，，由等比数列的性质得，【考点】等比数列的性质的应用.3.已知等比数列满足则（）A．64B．81C．128D．243【答案】Ａ【解析】由等比数列满足得公比,将q=2代入，所以，故选A．【考点】等比数列．4.设首项为l，公比为的等比数列的前项和为，则 ( )A．B．C．D．【答案】D．【解析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，即为所求的关系式．【考点】等比数列的前项和．5.已知数列是公比为2的等比数列，若，则= ( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由等比数列的通项公式得，所以。
【考点】等比数列的通项公式6.若数列的前n项和为则数列的通项公式是=___ ______ 。
【答案】【解析】解：当n=1时，a1=S1=a1+，解得a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an ＝−an−1，即=-2，故数列{a n}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为：（-2）n-1．考点:等比数列的通项公式．7.已知数列的各项均满足，，(1)求数列的通项公式；(2)设数列的通项公式是，前项和为，求证：对于任意的正数，总有.【答案】(1) an＝3n （2）见解析【解析】(1)由，可知数列为等比数列，由，易知首项为3，公比为3 ，可得通项公式an ＝3n．(2)将上题所求代入可知bn＝，此种类型的数列用裂项法求前项和为＝1－由不等式易知．试题解析：(1)解由已知得数列是等比数列． 2分因为a1＝3，∴an＝3n. 5分(2)证明∵bn＝＝. 7分∴Tn ＝b1＋b2＋＋bn＝＋＋＋＝1－<1. 12分【考点】本题主要考查等比数列的定义，通项公式．裂项法求数列的通项公式．8.从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为________．【答案】8【解析】当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8.当公比为3时，等比数列可为1、3、9.当公比为时，等比数列可为4、6、9.同时，4、2、1,8、4、2,9、3、1,9、6、4也是等比数列，共8个．9.若等比数列满足，则前项___ __.【答案】【解析】设等比数列的公比为，则依题意有即，解得，所以.【考点】等比数列的通项公式及其前项和.10.在等差数列中，当时，必定是常数数列. 然而在等比数列中，对某些正整数r、s，当时，可以不是常数列，试写出非常数数列的一个通项公式 .【答案】【解析】设公比为，则，，因为，所以，因为且，所以，因为，当时，，当，。
高二数学等比数列试题答案及解析
高二数学等比数列试题答案及解析1.设等比数列的公比，前n项和为，则（）A．2B．4C．D．【答案】C【解析】因为，所以.考点:等比数列的定义及性质.2.如果数列满足:是首项为1，公比为2的等比数列，那么=_.【答案】【解析】.【考点】等比数列的前项和.3.已知向量，n∈N*，向量与垂直，且a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn }满足bn＝log2an＋1，求数列{an·bn}的前n项和Sn.【答案】(1);(2)．【解析】解题思路：(1)利用得出数列的递推式，即得数列是等比数列，求通项即可；（2）利用错位相减法求和.规律总结：以平面向量为载体考查数列问题，体现了平面向量的工具性，要灵活选择向量知识；数列求和的方法主要有：倒序相加法、裂项抵消法、分组求和法、错位相减法.试题解析：(1)∵向量p与q垂直，∴2n an＋1－2n＋1a n＝0，即2n a n＋1＝2n＋1a n，∴＝2，∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2n－1.(2)∵bn ＝log2an＋1，∴bn＝n，∴an·bn＝n·2n－1，∴Sn ＝1＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n·2n－1，①∴2Sn ＝1·2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n，②①－②得，－Sn＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝1＋(n－1)2n.【考点】1.等比数列；2.错位相减法求和.4.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63B．108C．75D．83【答案】A.【解析】∵等比数列，，，也成等比数列，即，∴.【考点】等比数列的性质.5.在等比数列{an }中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是( )A．－B．C．±D．±3【答案】B【解析】由韦达定理得，，由题易知，。
高二数学等比数列试题答案及解析
高二数学等比数列试题答案及解析1.已知x是4和16的等比中项，则x＝．【答案】【解析】由x是4和16的等比中项，得【考点】等比中项2.己知等比数列所有项均为正数，首，且成等差数列．(I)求数列的通项公式；(II)数列的前n项和为，若，求实数的值．【解析】(1)等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程；（2）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用；（3）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了.试题解析：（Ⅰ）设数列的公比为，由条件得成等差数列，所以解得由数列的所有项均为正数,则=2数列的通项公式为=（Ⅱ）记,则若不符合条件；若，则，数列为等比数列，首项为，公比为2,此时又＝,所以【考点】(1)等比数列的通行公式；（2）等比数列的前项和公式.3.已知是等比数列，，则公比q等于（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】由得【考点】等比数列的通项4.已知等比数列中，，，则的值（）A．35B．63C．D．【答案】B.【解析】∵等比数列，∴，，∴，.【考点】等比数列的通项公式.5.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63B．108C．75D．83【解析】∵等比数列，，，也成等比数列，即，∴.【考点】等比数列的性质.6.在数列中，若，设，（1）求证：数列是等比数列；（2）分别求，的通项公式.【答案】（1）详见解析；（2），.【解析】（1）欲证数列是等比数列，只需证明，而条件中给出了数列的一个递推公式，因此需结合，得到数列的递推公式：，即，，从而数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）可知，再由条件即可得.试题解析：（1）∵，∴，又∵，∴，，即数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）可知，，又∵，∴.【考点】1.等比数列的证明；2.数列的通项公式.7.设首项为l，公比为的等比数列的前项和为，则 ( )A．B．C．D．【答案】D．【解析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，即为所求的关系式．【考点】等比数列的前项和．8.在等比数列{an }中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是( )A．－B．C．±D．±3【答案】B【解析】由韦达定理得，，由题意知，。
高二数学《等比数列》专题练习题自用附答案
．8等比数列C日到银行存入有两个实根（2）证明：由（1）11123n n a a +=+，得1212()323n n a a +-=-，所以2{}3n a -是等比数列；（3）解析：当176a =时，2{}3n a -是以721632-=为首项，以12为公比的等比数列，1211()322n n a --=⨯，得21()()32n n a n N *=+∈．16.已知数列{}n a 满足：111,1,22,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，且*22,n n b a n N =-∈（Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）求证数列{}n b 为等比数列并求其通项公式； （Ⅲ）求和2462n n T a a a a =+++ 解析：（Ⅰ）2335,,22a a ==-474a =（Ⅱ）当2(21)12112,22(21)22n n n n n b a a a n -+-≥=-=-=+--时222(1)1111[2(22)](21)2[2]222n n n a n n a b ---=--+--=-=∴12122b a =-=-又 ∴1111()()222n n n b -=-⋅=-（Ⅲ）∵22n n a b =+ ∴242n n T a a a =++=12(2)n b b b n ++++ 11[1()]1222()2 1.1212nnn n -=-+=+--17.在等比数列{}n a 中，,11>a 公比0>q ，设n n a b 2log=，且.0,6531531==++b b b b b b （1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式； （3）试比较n a 与n S 的大小. 解析：（1）由已知q a a b b nn n n log log121==-++为常数.故数列{}n b 为等差数列，且公差为.log2q d = （先求q 也可） 4分（2）因0log,11211>=⇒>a b a ，又263531=⇒=++b b b b ，所以.05=b由.291,404,22211513⎩⎨⎧-=⇒-==⇒=+==+=n n S d b d b b d b b n由*511212,221,164log 1log N n a q a a b q d n n ∈=⇒==⇒⎩⎨⎧==-==-. 8分（3）因,0>n a 当9≥n 时，0≤n S ，所以9≥n 时，n n S a >；又可验证2,1=n 是时，n n S a >；8,7,6,5,4,3=n 时，n n S a <. 12分18.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知231,,S S S 成等差数列.（1）求{}n a 的公比q ； （2）若331=-a a ，求n S .18.解析：（1）由题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++ ，又0,01≠≠q a ，故.21-=q（2）由已知得.43)21(1211=⇒=--a a a 从而].)21(1[38)21(1])21(1[4nnn S --=----=。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.已知为等比数列，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，或．设公比为，当时，，当时，综上可得．故D正确．【考点】1等比数列的通项公式；2等比数列的性质．2.（本小题满分12分）已知等比数列{an }满足：a1=2，a2•a4=a6．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列bn =，求该数列{bn}的前n项和Sn．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）将已知条件用首相和公比表示,即可求得公比,根据等比数列的通项公式可求得．（2）由可得,并将其化简变形,用裂项相消法求数列的和．试题解析：解：（1）设等比数列的公比为，由得，，解得，则，（2）由（1）得，，，∴，则【考点】1等比数列的通项公式；2裂项相消法求数列的和．3.已知数列满足：，则的通项公式为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】,数列是首相为,公比为3的等比数列．．故B正确．【考点】1构造法求通项公式；2等比数列的通项公式．4.（本小题满分12分）已知等比数列{an }满足：a1=2，a2•a4=a6．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列bn =，求该数列{bn}的前n项和Sn．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）将已知条件用首相和公比表示,即可求得公比,根据等比数列的通项公式可求得．（2）由可得,并将其化简变形,用裂项相消法求数列的和．试题解析：解：（1）设等比数列的公比为，由得，，解得，则，（2）由（1）得，，，∴，则【考点】1等比数列的通项公式；2裂项相消法求数列的和．5.等差数列中，则的值是（）A．24B．22C．20D．【答案】A【解析】根据等差中项知，,所以，即．又,．故选A．【考点】等差中项的应用．【方法点睛】对于该类问题常常有两种方法：一、设数列的首项和公差进行基本量运算，从而求解，往往比较繁琐．方法二、常利用数列的性质运算，使运算简单、准确、快捷．但需要掌握数列常见的性质同时注意观察题中的条件．例如：本题用到了等差中项，快速求出，同时，从而求解．6.数列满足,，则此数列的第5项是（）A．15B．255C．20D．8【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴数列是以1为首项、以4为公比的等比数列，∴，∴，∴．【考点】等比数列的证明、等比数列的通项公式．【方法点睛】在高中数学教材中，有很多已知等差等比数列的首项、公比或公差（或者通过计算可以求出数列的首项、公比或公差），来求数列的通项公式，但实际上有些数列并不是等差等比数列，而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新的数列，从而间接地求出数列的通项公式，对于不同的递推公式，我们可以采用不同的方法构造不同类型的新数列．一、利用倒数关系构造数列，如构造成的形式；二、构造形如的数列；三、构造形如的数列；四、构造形如的数列．7.已知数列的前n项和满足：,且,那么（）A．1B．9C．10D．55【答案】A【解析】∵，∴令，即，即，∴数列是以1为首项、1为公差的等差数列，∴，∴．【考点】等差数列的证明、等差数列的通项公式．【思路点睛】利用已知条件恒成立，所以令，得到，利用等差数列的定义，分析出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式先得出，再利用求出数列的通项公式的值．8.已知数列{an }的前n项和Sn＝a n－1（a是不为零的常数），则数列{an}（）A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列，或者是等比数列D．既非等差数列，也非等比数列【答案】C【解析】当时，，，∴数列是等差数列．当时，，∴数列是等比数列．综上所述，数列或是等差数列或是等比数列【考点】等差数列等比数列的判定9.已知数列{an }满足a1＝1，an－2an－1－2n－1＝0（n∈N*，n≥2）．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）若数列{an }的前n项和为Sn，求Sn．【答案】（1）详见解析；（2）Sn＝（n－1）·2n＋1【解析】（1）由已知条件推导出，由此证明{}是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1）知，从而得到，由此利用错位相减法能求出数列{an}的前n项和Sn试题解析：（1）∵an －2an－1－2n－1＝0，∴－＝，∴{}是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1），得＝＋（n－1）×，∴an ＝n·2n－1，∴Sn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1①则2Sn ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n②①－②，得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝2n－1－n·2n，∴Sn＝（n－1）·2n＋1．【考点】1．数列的求和；2．数列递推式10.（本题满分13分）设数列和满足：，（1）求数列和的通项公式；（2）当时，不等式恒成立，试求常数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知可得，又因为，所以为首项为，公比为的等比数列，从而可得的通项公式；由可得当时，两式相减得，，当时也满足，．记，又因为，所以，再将其左右两边同时乘以得，然后利用错位相减得，，可化简得即，，．试题解析：（1），为首项为，公比为的等比数列，又①令令②①-②得，，当时，满足此式。
高二数学必修五《等比数列》专项练习题参考答案
高二数学必修五《等比数列》专项练习题参考答案一、选择题： BDCAD BACDB BC 二、填空题：13.2， 3·2n－2． 14.251+．．16.123-n ．三、解答题： 17.(1)证明由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)又a n ＋1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列． (2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n －1即a n =(a 1＋1)q n －1－1=2·2n －1－1=2n －1 18.解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1①n ∈N*知a 1＝1且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2 又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，n ∈N*212221)2()2(-+=n n nn a a ＝即｛a n 2｝为公比为4的等比数列∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝)14(3141)41(21-=--nn a 19.解析一： ∵S 2n ≠2S n ，∴q ≠1②÷①得：1＋q n ＝45即q n ＝41③ ③代入①得qa -11＝64④ ∴S 3n ＝q a -11 (1－q 3n )＝64(1－341)＝63 解析二： ∵｛a n ｝为等比数列 ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )∴S 3n ＝48)4860()(22222-=+-n n n n S S S S ＋60＝63① ②20.解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1， ① 等式两边同乘以x 得：xS n =x ＋3x 2＋5x 3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②①－②得：(1－x )S n =1＋2x (1＋x ＋x 2＋…＋x n －2)－(2n －1)x n =1－(2n －1)x n ＋1)1(21---x x x n ，∴S n =21)1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n ．21.解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66，∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64， ∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1． 若a 1=2，a n =64，由qqa a n --11=126得2－64q =126－126q ， ∴q =2，由a n =a 1q n －1得2n －1=32， ∴n =6．若a 1=64，a n =2，同理可求得q =21，n =6． 综上所述，n 的值为6，公比q =2或21．22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n }：a 1=50，q =1＋1%=1．01，n =11则a 11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n }：b 1=16×50=800，d =30，n =11 ∴b 11=800＋10×30=1100(万米2) ②÷①得：1＋q n ＝45即q n ＝41③ ③代入①得qa -11＝64④∴S 3n ＝q a -11 (1－q 3n )＝64(1－341)＝63 解析二： ∵｛a n ｝为等比数列 ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )∴S 3n ＝48)4860()(22222-=+-n n n n S S S S ＋60＝63 20.解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1， ① 等式两边同乘以x 得：xS n =x ＋3x 2＋5x 3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②①－②得：(1－x )S n =1＋2x (1＋x ＋x 2＋…＋x n －2)－(2n －1)x n =1－(2n －1)x n ＋1)1(21---x x x n ，∴S n =21)1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n ． 21.解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66，∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64， ∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1． 若a 1=2，a n =64，由qqa a n --11=126得2－64q =126－126q ， ∴q =2，由a n =a 1q n －1得2n －1=32， ∴n =6．若a 1=64，a n =2，同理可求得q =21，n =6． 综上所述，n 的值为6，公比q =2或21．22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n }：a 1=50，q =1＋1%=1．01，n =11则a 11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n }：b 1=16×50=800，d =30，n =11 ∴b 11=800＋10×30=1100(万米2)。
高二数学等比数列试题答案及解析
高二数学等比数列试题答案及解析1.已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若,,求.【答案】（Ⅰ）=2n （Ⅱ）=.【解析】（Ⅰ）将2（）=+,代入,得=8,∴+=20构造方程组，又单调递增，∴ =2>1, =2,∴=2n（Ⅱ）根据第一问，可得，需要构造数列，采取错位相减的思想求和∴①∴②∴①-②得＝.试题解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入, 得=8,∴+=20∴解之得或又单调递增，∴ ="2," =2,∴=2n（Ⅱ）,∴①∴②∴①-②得＝【考点】等差等比数列的综合.2.设公比为q（q＞0）的等比数列{an }的前n项和为Sn．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=_________．【答案】【解析】由已知可得，，两式相减得即，解得或（舍），答案为.【考点】等比数列的性质与应用3.在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由等比数列的性质得，，由于各项为正，，由等比数列的性质得，【考点】等比数列的性质的应用.4.已知三正数、2、成等比数列，则的最小值为______．【答案】【解析】由已知得，且，则，等号成立。
【考点】（1）等比中项的定义；（2）基本不等式的应用。
5.设正数数列为等比数列，，记.（1）求和；（2）证明: 对任意的，有成立.【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】（1）对照条件易得等比数列的通项公式，进而得；（2）对于与自然数有关的命题的证明可优先考虑用数学归纳法，用数学归纳法证题时，首先要掌握好数学归纳法证题的规范、完整的证题步骤，而真正的难点和重点是由假设来推导第步，这里要充分地利用假设，若是对于恒等式的证明在利用了假设以后就很容易推导出第步，但是对于不等式的证明在利用了假设以后还不能一下子就推导出第步，还需要对照目标进行适当的放缩处理才能推导出第步，放缩处理是有难度，且需要技巧的，这需要在学习中去积累.试题解析：（1）依题意可知，又，所以，从而，进而有． 4分（2）证明：①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立． 5分②假设当时，不等式成立，即成立． 7分那么当时，则左边右边 12分所以当时，不等式也成立.由①、②可得对任意的，都有恒成立． 14分（另解：此题也可直接用放缩法证明.即用）【考点】1.等比数列知识；2.数学归纳法在证明不等式方面的应用；3.放缩法证明不等式.6.已知等比数列满足则（）A．64B．81C．128D．243【答案】Ａ【解析】由等比数列满足得公比,将q=2代入，所以，故选A．【考点】等比数列．7.在等比数列{an }中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是( )A．－B．C．±D．±3【答案】B【解析】由韦达定理得，，由题易知，。
（完整版）高二等差、等比数列基础练习题及答案
（完整版）高二等差、等比数列基础练习题及答案等差、等比数列基础练习题及答案一、选择题1.数列{a n}满足a1=a2=1，，若数列{a n}的前n项和为S n，则S2013的值为（）A. 2013B. 671C. -671D.2.已知数列{a n}满足递推关系：a n+1=，a1=，则a2017=（）A. B. C. D.3.数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2n-1（n∈N+），则a2017的值为（）A. 2B. 3C. 2017D. 30334.已知正项数列{a n}满足，若a1=1，则a10=（）A. 27B. 28C. 26D. 295.若数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a7等于（）A. 2B.C. -1D. 20186.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a3+6，则S7=（）A. 49B. 42C. 35D. 287.等差数列{a n}中，若a1，a2013为方程x2-10x+16=0两根，则a2+a1007+a2012=（）A. 10B. 15C. 20D. 408.已知数列{a n}的前n项和，若它的第k项满足2＜a k＜5，则k=（）A. 2B. 3C. 4D. 59.在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若 a k=a1+a2+a3+…+a10，则k=（）A. 45B. 46C. 47D. 4810.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A. 66B. 55C. 44D. 33二、填空题1.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则该数列的通项公式a n=______．2.正项数列{a n}中，满足a1=1，a2=，=（n∈N*），那么a n=______．3.若数列{a n}满足a1=-2，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，则a3=______；数列{a n}前10项的和S10=______．4.数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=______，若，则a n=______．5.已知数列{a n}满足a1=-1，a n+1=a n+，n∈N*，则通项公式a n= ______ ．6.数列{a n}满足a1=5，-=5（n∈N+），则a n= ______ ．7.等差数列{a n}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列{a n}前9项的和S9等于______．三、解答题1.已知数列{a n}的前n项和为S n，且=1（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设（n∈N+），求的值．2.数列{a n}是首项为23，第6项为3的等差数列，请回答下列各题：（Ⅰ）求此等差数列的公差d；（Ⅱ）设此等差数列的前n项和为S n，求S n的最大值；（Ⅲ）当S n是正数时，求n的最大值．3.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．4.已知数列{a n}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当a n为偶数时，；当a n为奇数时，．（1）若a1=64，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；（3）设（m≥3且m∈N），数列{a n}的前n项和为S n，求证：.等差、等比数列基础练习题答案【答案】(选择题解析在后面)1. D2. C3. A4. B5. A6. B7. B8. C9. B10. D12. 2n13. 14. -6；-110 15. 2n-1；2n-116. -17. 18. 8119. 解：（1）当n=1，a1=，当n＞1，S n+a n=1，S n-1+a n-1=1，∴a n-a n-1=0，即a n=a n-1，数列{a n}为等比数列，公比为，首项为，∴a n=．（2）S n=1-a n=1-（）n，∴b n=n，∴==-，∴=1-+-+…+-=1-=．20. 解：（Ⅰ）由a1=23，a6=3，所以等差数列的公差d=；（Ⅱ）=，因为n∈N*，所以当n=6时S n有最大值为78；（Ⅲ）由，解得0＜n＜．因为n∈N*，所以n的最大值为12．21. 解：（Ⅰ）列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2①．则：S n+1=2a n+1-2②，②-①得：a n+1=2a n，即：（常数），当n=1时，a1=S1=2a1-2，解得：a1=2，所以数列的通项公式为：，（Ⅱ）由于：，则：，=，=2n+1-2．-2-2- (2)=2n+2-4-2n．22. 解：（1）由，可得，，…，，，，a9=0，…，即{a n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．…（2分）故数列{a n}的通项公式为．…（4分）（2）若a1=4k（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a1=0；若a1=4k+1（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=-1，故a1=-3；…（7分）若a1=4k+2（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故a1=2；若a1=4k+3（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=-1，故a1=-1；∴a1的值为-3，-1，0，2．…（10分）（3）由（m≥3），可得，，，若，则a k是奇数，从而，可得当3≤n≤m+1时，成立．…（13分）又，a m+2=0，…故当n≤m时，a n＞0；当n≥m+1时，a n=0．…（15分）故对于给定的m，S n的最大值为a1+a2+...+a m=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3-1）+...+（21-1）=（2m+2m-1+2m-2+ (21)-m-3=2m+1-m-5，故．…（18分）1. 解：∵数列{a n}满足a1=a2=1，，∴从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2a3n-2+a3n-1+a3n=cos=cos（2nπ-）=cos（-）=cos=-cos=-，∵2013÷3=671，即S2013正好是前671组的和，∴S2013=-×671=-．故选D．由数列{a n}满足a1=a2=1，，知从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2，由a3n-2+a3n-1+a3n=cos=-，能求出S2013．本题考查数列的递推公式和数列的前n项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．2. 解：∵a n+1=，a1=，∴-=1．∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．∴=2+2016=2018．则a2017=．故选：C．a n+1=，a1=，可得-=1．再利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 解：∵S n=2n-1（n∈N+），∴a2017=S2017-S2016=2×2017-1-2×2016+1=2由a2017=S2017-S2016，代值计算即可．本题考查了数列的递推公式，属于基础题．4. 解：∵，∴a n+12-2a n a n+1+a n2=9，∴（a n+1-a n）2=9，∴a n+1-a n=3，或a n+1-a n=-3，∵{a n}是正项数列，a1=1，∴a n+1-a n=3，即{a n}是以1为首项，以3为公差的等差数列，∴a10=1+9×3=28．故选B．由递推式化简即可得出{a n}是公差为3的等差数列，从而得出a10．本题考查了等差数列的判断，属于中档题．5. 解：数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a2==，a3==-1 a4==2a5==，a6==-1．a7==2．故选：A．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．6. 解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a6=a3+6，∴2（a1+5d）=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，∴=42．故选：B．由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S7．本题考查等差数列的前7项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用．7. 解：∵a1，a2013为方程x2-10x+16=0的两根∴a1+a2013=10由等差数列的性质知：a1+a2013=a2+a2012=2a1007∴a2+a1007+a2012=15故选：B由方程的韦达定理求得a1+a2013，再由等差数列的性质求解．本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定a1+a2013=10是关键．8. 解：已知数列{a n}的前n项和，n=1可得S1=a1=1-3=-2，∴a n=S n-S n-1=n2-3n-[（n-1）2-3（n-1）]=2n-4，n=1满足a n，∴a n=2n-4，∵它的第k项满足2＜a k＜5，即2＜2k-4＜5，解得3＜k＜4.5，因为n∈N，∴k=4，故选C；先利用公式a n=求出a n=，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．9. 解：∵a k=a1+a2+a3+…+a10，∴a1+（k-1）d=10a1+45d∵a1=0，公差d≠0，∴（k-1）d=45d∴k=46故选B由已知a k=a1+a2+a3+…+a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题10. 解：由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即a1+a11=6．则S11==11×3=33．故选：D．利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 解：由S n=n2+n，得a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n．当n=1时上式成立，∴a n=2n．故答案为：2n．由数列的前n项和求得首项，再由a n=S n-S n-1（n≥2）求得a n，验证首项后得答案．本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题．13. 解：由=（n∈N*），可得a2n+1=a n?a n+2，∴数列{a n}为等比数列，∵a1=1，a2=，∴q=，∴a n=，故答案为：由=（n∈N*），可得a2n+1=a n?a n+2，即可得到数列{a n}为等比数列，求出公比，即可得到通项公式本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题．14. 解：∵对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，∴取m=1，则a n+1-a n=a1=-2，∴数列{a n}是等差数列，首项为-2，公差为-2，∴a n=-2-2（n-1）=-2n．∴a3=-6，∴数列{a n}前10项的和S10==-110．故答案分别为：-6；-110．对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，取m=1，则an+1-a n=a1=-2，可得数列{a n}是等差数列，首项为-2，公差为-2，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 解：在数列{a n}中，由，可知数列是公差为2的等差数列，又a1=1，∴a n=1+2（n-1）=2n-1；由，可知数列是公比为2的等比数列，又a1=1，∴．故答案为：2n-1；2n-1．由已知递推式a n-a n-1=2，可得数列是公差为2的等差数列，由，可知数列是公比为2的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．16. 解：由题意，a n+1-a n=-，利用叠加法可得a n-a1=1-=，∵a1=-1，∴a n=-，故答案为-．由题意，a n+1-a n=-，利用叠加法可得结论．本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题．17. 解：数列{a n}满足a1=5，-=5（n∈N+），可知数列{}是等差数列，首项为，公差为：5．可得=+5（n-1），解得a n═．故答案为：．判断数列{}是等差数列，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力．18. 解：等差数列{a n}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，∴3a4=33，3a6=21；∴a4=11，a6=7；数列{a n}前9项的和：．故答案为：81．根据等差数列项的性质与前n项和公式，进行解答即可．本题考查了等差数列项的性质与前n项和公式的应用问题，是基础题目．19. （1）根据数列的递推公式可得数列{a n}为等比数列，公比为，首项为，即可求出通项公式，（2）根据对数的运算性质可得b n=n，再根据裂项求和即可求出答案本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．20. （1）直接利用等差数列的通项公式求公差；（2）写出等差数列的前n项和，利用二次函数的知识求最值；（3）由S n＞0，且n∈N*列不等式求解n的值．本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的运算题．21. （Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n项和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n项和的公式的应用．22. （1）由，可得{a n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{a n}的通项公式即可；（2）对a1进行分类讨论：若a1=4k（k∈Z）时；若a1=4k+1（k∈Z）时；若a1=4k+2（k∈Z）时；若a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出a1的值；（3）由（m≥3），可得a2，a3，a4．若，则a k是奇数，可得当3≤n≤m+1时，成立，又当n≤m时，a n＞0；当n≥m+1时，a n=0．故对于给定的m，S n的最大值为2m+1-m-5，即可证出结论．本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．。
高二数学等比数列期末复习题及答案
高中数学必修5期末复习 等比数列1．在等比数列}{n a 中；3a 和5a 是二次方程 052=++kx x 的两个根；则642aa a的值为( )（A ）55± （B ）55 （C ） 55- （D ）25 2. 已知三角形的三边构成等比数列；它们的公比为q ；则q 的取值范围是（ ）A ．15(0,)2+ B ．15(,1]2- C ．15[1,)2+ D ．)251,251(++-3.设{an}是由正数组成的等比数列；公比q=2；且a1·a2·a3·…·a30=230；那么a3·a6·a9·…·a30等于（ ） A.210 B.220 C.216{}n a 是等比数列；41252==a a ，；则12231n n a a a a a a ++++=.A ()1614n-- .B ()1612n-- .C ()32143n -- .D ()32123n--5．已知a ；b ；c 成等比数列；a ；m ；b 和b ；n ；c 分别成两个等差数列；则错误!＋错误!等于 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,；且c b a ,,成等比数列；a c 2=；则B cos ＝A.14 B.12 C.12- D.347．在等比数列｛n a ｝中；,60,482==n n S S 则n S 3等于63.62.27.26.D C B A8．已知等比数列｛n a ｝中；n a =2×31-n ；则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S 的值为 ( )Ａ．3n－1 B ．3(3n－1)Ｃ．419-nＤ．4)19(3-n9. 等比数列{}n a 前n 项的和为21n -；则数列{}2na 前n 项的和为______________。
10．在等比数列{}n a 中；34151211-=-==n n S a a ，，；则=q ______________；=n ______________。
【高二】高二数学等比数列的前n项和综合测试题(附答案)
【高二】高二数学等比数列的前n项和综合测试题（附答案）等比数列的前ｎ项和同步练习例题分析：基准1．若数列的通项为，则该数列的前n项和就是多少？例2．已知等比数列的各项均为整数，它的前n项和为80，其中最大的一项为54，又前2n项和为6560，求此数列的通项公式。
练1．在等差数列中，已知,则前9项之和等于()a．56b．64c．72d．802．在递增的等比数列中，，，则（）a．-364b．364c．108d．2433．数列的前项和，则（）a．1385b．-99c．69200d．13994．已知等差数列{}的公差＝，，则等于（）a．120b．145c．150d．1705．等差数列中，，，则此数列前n项和的最大值是（）a．112b．116c．117d．1156．等差数列中，已知则的值等于（）a．11b．14c．17d．227．在等比数列中，，，则（）a．90b．70c．40d．308．数列的前n项和是（）a．b．c．d．9．数列前n项和为,则其通项____________。
10．等差数列中,前4项和为26,后4项之和为110,且前n项和为187,则__。
11．等差数列中，，它的前11项的平均值为5，若从中抽取1项，余下10项的平均值为4，则抽取的是第项。
12．设立数列的通项为，前项和为，则以下观点中：①若，则为等差数列；②若，则为等比数列；③若，则为等差数列；④若，则为等比数列；恰当的存有。
13．求；14．；15．在等差数列中，为其前n项和，首项，且，反问此数列前多少项的和最小？16．假设a型汽车的关税税率在2001年是100%，到2021年是25%，2001年a型进口车每辆的价格为64万元（其中含32万元关税税款）（1）未知与a型车性能相似的b型国产车，2001年每辆46万元，若a型车的价格只受到关税影响，为了确保在2021年b型车的价格不低于a型车的90%，b型车的价格必须逐年减少，问平均值每年至少上升多少元？。
高二数学等比数列习题
高二数学等比数列习题一、选择题（每小题6分，共42分）1.b2=ac,是a,b,c成等比数列的（）A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因当b2=ac时，若a=b=c=0,则a,b,c不成等比数列；若a,b,c成等比，则，即b2=ac.2.一个公比q为正数的等比数列{an}，若a1+a2=20,a3+a4=80,则a5+a6等于（）A.120B.240C.320D.480【答案】C【解析】∵a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列（公比为q2）.∴a5+a6= =320.3.数列{an}的前n项和Sn=3n+a,要使{an}是等比数列，则a的值为（）A.0B.1C.-1 D.2【答案】C【解析】∵an=要使{an}成等比，则3+a=231-1=230=2,即a=-1.4.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x,y∈R,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1= ,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}前n项和Sn的取值范围是（）A.［，2)B.［，2］C.［，1)D.［，1］【答案】C【解析】因f(n+1)=f(1)f(n),则an+1=a1an= an，∴数列{an}是以为首项，公比为的等比数列.∴an=n.Sn= =1-n.∵n∈N*,∴ ≤Sn＜1.5.等比数列{an}的各项都是正数，且a2, a3,a1成等差数列，则的值是( )A. B.C. D. 或【答案】B【解析】∵a3=a2+a1,∴q2-q-1=0,q= ，或q= (舍).∴ .6.(2010北京宣武区模拟，4)在正项等比数列{an}中，a1、a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a40a50a60的值为( )A.32B.64C.±64D.256【答案】B【解析】因a1a99=16,故a502=16,a50=4,a40a50a60=a503=64.7.如果P是一个等比数列的前n项之积，S是这个等比数列的.前n项之和，S′是这个等比数列前n项的倒数和，用S、S′和n表示P，那么P等于( )A.（SS′B.C.nD.【答案】B【解析】设等比数列的首项为a1,公比q（q≠1）则P=a1a2an=a1n ,S=a1+a2++an= ,S′= ++ ,∴ =(a12qn-1 =a1n =P,当q=1时和成立.二、填空题（每小题5分，共15分）8.在等比数列中，S5=93，a2+a3+a4+a5+a6=186,则a8=___________________.【答案】384【解析】易知q≠1，由S5= =93及 =186.知a1=3,q=2,故a8=a1q7=3×27=384.9.(2010湖北八校模拟，13)在数列{an}中，Sn=a1+a2++an,a1=1,an+1=Sn(n≥1),则an=【答案】（）n-2【解析】∵an+1= Sn,∴an= Sn-1(n≥2).①-②得,an+1-an= an,∴ (n≥2).∵a2= S1= ×1= ,∴当n≥2时，an= （）n-2.10.给出下列五个命题，其中不正确的命题的序号是_______________.①若a,b,c成等比数列，则b= ②若a,b,c成等比数列，则ma,mb,mc(m为常数)也成等比数列③若{an}的通项an=c(b-1)bn-1(bc≠0且b≠1),则{an}是等比数列④若{an}的前n项和Sn=apn(a,p均为非零常数)，则{an}是等比数列⑤若{an}是等比数列，则an,a2n,a3n也是等比数列【答案】②④【解析】②中m=0,ma,mb,mc不成等比数列；④中a1=ap,a2=ap(p-1),a3=ap2(p-1), ,故②④不正确，①③⑤均可用定义法判断正确.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.等比数列{an}的公比为q，作数列{bn}使bn= ,(1)求证数列{bn}也是等比数列；（2）已知q＞1,a1= ,问n为何值时，数列{an}的前n项和Sn大于数列{bn}的前n项和Sn′.(1)证明：∵ =q,∴ 为常数，则{bn}是等比数列.(2)【解析】Sn=a1+a2++an= ,Sn′=b1+b2++bn= ,当Sn＞Sn′时，又q＞1,则q-1＞0,qn-1＞0,∴ ,即qn＞q7,∴n＞7,即n＞7(n∈N*)时，Sn＞Sn′.12.已知数列{an}:a1,a2,a3,an,构造一个新数列：a1,(a2-a1),(a3-a2),(an-an-1),此数列是首项为1，公比为的等比数列.(1)求数列{an}的通项；（2）求数列{an}的前n项和Sn.【解析】(1)由已知得an-an-1=n-1(n≥2),a=1,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)++(an-an-1)= ［1-n］.(2)Sn=a1+a2+a3++an= - ［ +2++n］= - ［1-n］= ×n.13.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=20,设cn=11-log2a2n.(1)求数列{cn}的前n项和Sn.(2)是否存在n∈N*,使得成立？请说明理由.【解析】(1)由已知得∴an=a1qn-1=2n.∴cn=11-log2a2n=11-log222n=11-2n.Sn=c1+c2++cn= =-n2+10n.(2)假设存在n∈N*,使得即 .∴22n+3×2n-3＜0,解得 .∵ =1,而2n≥2,故不存在n∈N*满足 .14.(2010湖北黄冈中学模拟，22) 已知函数f(x)= ,x∈(0,+∞),数列{xn}满足xn+1=f(xn),(n=1,2,),且x1=1.(1)设an=|xn- |,证明：an+1＜an;(2)设（1）中的数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn＜ .证明：（1）an+1=|xn+1- |=|f(xn)- |= . ∵xn＞0,∴an+1＜( -1)|xn- |＜|xn- |=an,故an+1＜an.(2)由（1）的证明过程可知an+1＜( -1)|xn- |＜( -1)2|xn-1- |＜＜( -1)n|x1- |=( -1)n+1∴Sn=a1+a2++an＜|x1- |+( -1)2++( -1)n =( -1)+( -1)2++( -1)n= ［1-( -1)n］＜ .。
数学等比数列试题答案及解析
数学等比数列试题答案及解析1.设数列是等比数列，满足，且，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，，又，∵，∴，∴，故，，，所以.【考点】本题考查等比数列通项公式等基础知识，意在考查学生推理和基本的运算能力．2.已知等比数列{}的前项和为,且，则数列的公比的值为（）A．2B．3C．2或-3D．2或3【答案】C【解析】由已知得，，即，，即，解得或，选C．【命题意图】本题考查等比数列的前n项和公式和通项公式基础知识，意在考查基本运算能力.3.函数图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）A．B．C．1D．【答案】A【解析】函数图象上的点到原点的距离的最小值为2，最大值为4，故，即，而，因此选A.【考点】本题考查函数与等比数列等知识，意在考查学生综合运用知识解题的能力.4.等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，已知S3= a2+10a1，a5= 9，则a1= （）A．B．- C．D．-【答案】C【解析】由S3 = a2+10a1得，a2+a3= a2+10a1，即a3= 9a1，即= 9a1，解得= 9，又因为a5= 9，所以= 9，解得，故选C.【考点】本小题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式,考查数列中基本量的计算，属容易题，掌握等比数列的基础知识是解决好本题的关键.5. ·大纲理）已知数列满足，，则的前10项和等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴.∴数列是以为公比的等比数列.∵，∴. ∴.故选C.【考点】等比数列求和6.已知为等比数列，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选D.7.(本小题满分14分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出Tn 与Tn－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：Tn ＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.【答案】（Ⅰ）（2）证明见解析【解析】解：（Ⅰ）我们有．（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得，①在①式两端同乘，得②②①，得．即．如果记，，则．其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．8.已知数列满足，并且（为非零参数，）（1）若成等比数列，求参数的值；（2）设，常数且，证明：【答案】（1）（2）证明过程见解析【解析】本题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前项和公式、等差数列前项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。
高中等比数列(含解析)
(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则 =q.
(6){an},{bn}是等比数列,则{λan}, ,{anbn}, 也是等比数列(λ≠0,n∈N*).xk-*/w
(7)通项公式an=a1qn-1= ·qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.
典
例
等比数列 的前 项和为 ， 则 ______为 ，则 也成等比数列，
而 所以 成等比数列，故 ，
所以 .
反
思
本题根据等比数列的前 项和的性质可知 也成等比数列，再利用 即求得 ，即得结果.本题的解题关键在于熟知等比数列的“等距片段和”也成等比数列，进而突破难点.
(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.
(9)三个数成等比数列,通常设为 ,x,xq;四个数成等比数列,通常设为 , ,xq,xq3.
解
读
对于等比数列中的这些结论要做到熟悉，有的需要记忆，有的需要了解推导过程。当用到这些结论时要会根据等差数列前n项和公式、通项公式推导。例如第（1）中的
【详解】依题意得等比数列{an}的通项 ，所以 ，因为 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，因为 ，所以 ，所以数列 的前n项和为 .
5．已知数列 是等比数列， 为其前 项和，若 ，则 （）
A．50B．60C．70D．80
【答案】B
【详解】 数列 是等比数列， ， ， ， 也成等比数列，即 ， ， ， 也成等比数列，易知公比 ， ， ，
高考数学一轮复习《等比数列》综合练习题(含答案)
高考数学一轮复习《等比数列》综合练习题（含答案）一、单项选择题1．在等比数列{}n a 中，13524610,18a a a a a a -==，则{}n a 的公比q 为（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．22．等比数列{an }中，若a 5＝9，则log 3a 4+log 3a 6＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．93．数列{}n a 满足()*331log 1log N n n a a n ++=∈，且1359a a a ++=，则()13579log a a a ++=（ ）A ．4B ．14C ．2-D ．12-4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足，24a =，3424a a +=，则12233445910a a a a a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+=（ ）A ．188(21)5+B ．188(21)5-C ．208(21)5+D ．208(21)5-5．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，若76103a b π=，则210311sin 1b b a a +=-（ ） AB． C ．12D ．12-6．已知数列满足212323n a a a na n ++++=，设n n b na =，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2022项和为（ ） A ．40424043B ．20214043C ．40444045D ．202240457．在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ） A ．6小时末B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末8．已知数列{}n a 满足()22N n n n a a n *++=∈，则{}n a 的前20项和20S =（ ）A ．20215-B ．20225-C ．21215-D ．21225-9．若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1423b b b b +≤+ B ．4132b b b b ≤-- C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤10．已知等比数列{}n a 各项均为正数，且满足：101a <<，1718171812a a a a +<+<，记12n n T a a a =，则使得1n T >的最小正数n 为（ ）A ．36B ．35C ．34D ．3311．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ） A ．545B ．547C ．549D ．55112．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字定义的函数称为高斯函数()[]f x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 满足12a =，26a =，2156n n n a a a +++=，若[]51log n n b a +=，为数列11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则[]2024S =（ ） A ．999B ．749C ．499D ．249二、填空题13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3614,126S S ==，则1a =___．14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若74a =，则678a a a ++的最小值为______．15．已知数列{}n a 的首项为－1，12,nn n a a +=-则数列{}n a 的前10项之和等于________.16．已知数列{}n a 满足：11a =，()*112+1n nn N a a +=∈若()1111n n b n a λ+⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为______.三、解答题17．在等比数列{}n a 中，已知320a =，6160a =， （1）求5a ； （2）求8S .18．设{}n a 是等差数列，2d =，且312,,4a a a +成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值.19．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且关于x 的不等式21120a x qx -->的解集为()(),26,-∞-⋃+∞.（1）求n a ；（2）设4log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．已知数列{}n a 是等差数列，首项12a =，且3a 是2a 与41a +的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设14n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .21．已知数列{}n a 的首项113a =，且满足1341n n n a a a +=+. (1)证明：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.(2)若12311112022na a a a ++++<，求正整数n 的最大值.22．已知正项等比数列{}n a 满足21372,32a a a ==，数列{}n b 的前n 项和2n S n n =-.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数求数列{}nc 的前2n 项和2n T .23．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足___________.给出下列三个条件： ①48a =，()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥；②()1n n S pa p =-∈R ；③()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R .请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题： (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()22121log n nb n a =+⋅，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1132n T ≤<参考答案1．D2．C3．C4．A5．A6．D7．A8．D9．D10．B11．C12．A 13．2 14．1215．31 16．4λ<17．（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则3638aq a ==，所以2q，所以25320480a a q ==⨯=；（2）由（1）可得3125a a q ==， 所以818(1)5(1256)127511a q S q -⨯-===--. 18．（1）因为132+4a a a ，，成等比数列，所以2312(+4)a a a =，即1112()4(6)a a a ++=，解得18a =-，所以82(1)210n a n n =-+-=-（2）由（1）知210n a n =-， 所以2282109819()224n n S n n n n -+-=⨯=-=--； 因为N n +∈所以当4n =或者5n =时，n S 取到最小值20-19．（1）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且关于x 的不等式21120a x qx -->的解集为()(),26,-∞-⋃+∞.则-2和6为21120a x qx --=的两根，所以()126qa -+=，()11226a -⨯=-， 解得11a =，4q =.所以1114n n n a a q --==.（2）由（1）得14log 41n n n n b a a n -=+=+-，所以()1144121n n T n -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-，()141412n n n --=+-， 24132n n n--=+. 20．()23241a a a =+,()()()2111231a d a d a d +=+++, ()()()222233d d d +=++,()()()241312d d d +=++,()()144360d d d ++--=, ()()120d d +-=,∴1d =-，此时3220a d =+=, 舍,2d =,∴2n a n =; （2）()()411122111n b n n n n n n ===-⋅+++,11111122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 21．（1）易知{}n a 各项均为正， 对1341n n n a a a +=+两边同时取倒数得1111433n n a a +=⋅+， 即1111223n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为1121a -=，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列.（2）由（1）知11111233n n n a --⎛⎫-==⎪⎝⎭，即11123n n a -=+， 所以()12311311113122112313n n n f n n n a a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=++++=+=+- ⎪⎝⎭-， 显然()f n 单调递增，因为()10101011313110102021.52022,(1011)2023.520222323f f =-<=-⋅>，所以n 的最大值为1010.22．解：（1）由题意，设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，则2237532a a a ==，故532a =.∴ 4451162a q a ===.解得2q .∴ 数列{}n a 的通项公式为1*222,n n n a n N -=⨯=∈ .当1n =时，110b S ==，当2n ≥时，()()()2211122n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦. ∴ 数列{}n b 的通项公式为*22,n b n n N =-∈（2）由（1）知，,2,,22,n n n n a n n c b n n n ⎧⎧==⎨⎨-⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数.∴21234212n n n T c c c c c c -=++++++()132********n n -=++++++-()()132********n n -=+++++++-⎡⎤⎣⎦=2122222[2(42)]122n n n --⋅⋅+--212122233n n +=⋅+- 23．（1）若选①，因为()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥，所以()2112n n n a a a n -+=≥，所以数列{}n a 是等比数列设数列{}n a 的公比为q ，0q >由33418a a q q ===得2q所以12n n a -=若选②，因为()1n n S pa p =-∈R ，当1n =时，1111S pa a =-=，所以2p =，即21n n S a =- 当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，所以()122n n a a n -=≥所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列所以12n n a -=若选③，因为()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R ，当1n =时，11222a k =⋅=，所以1k =，即()12323412n n a a a n a n +++⋅⋅⋅++=⋅当2n ≥时，()1123123412n n a a a na n --+++⋅⋅⋅+=-⋅，所以()()()11122n n n a n n -+=+⋅≥，即()122n n a n -=≥，当1n =时，上式也成立，所以12n n a -=（2） 由（1）得()()()221111121log 212122121n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+⋅+⋅--+⎝⎭所以()111111111233521212221n T n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪-++⎝⎭ ∵*N n ∈，∴()10221n >+，∴()11122212nT n =-<+ 易证*n ∈N 时，()112221n T n =-+是增函数，∴()113n T T ≥=.故1132n T ≤<。
高二数学等比数列试题答案及解析
高二数学等比数列试题答案及解析1.和的等比中项是（）A． 1B．C．D． 2【答案】C【解析】主要考查等比中项数列的概念。
解：=1，所以和的等比中项是，故选C。
2.已知公比为的等比数列，若，则数列是（）A．公比为的等比数列B．公比为的等比数列C．公差为的等差数列D．公差为的等差数列【答案】A【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。
解：因为，所以数列是公比为的等比数列，故选A。
3.在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为（）A．32B． 256C．D． 64【答案】D【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。
解：因为在正项等比数列中，是方程的两个根，所以，，所以==64，故选D。
4.若正项等比数列的公比为，且，成等差数列，则。
【答案】【解析】主要考查等差、等比数列的概念及其通项公式。
解：因为成等差数列，所以，即，所以，解得，所以=。
5.在等比数列中,则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.6.已知等比数列满足，且，则当时，( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为,所以,所以7.(本小题满分12分)等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列.（Ⅰ）求{}的公比q；（Ⅱ）若－＝3，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】(I)根据,,成等差数列可得从而得到，解出公比q.（II）再根据，得,然后再根据前n项和公式求出Sn. （Ⅰ）依题意有.由于，故. 又，从而（Ⅱ）由已知可得，故.从而8.已知{an }是首项为1的等比数列，且4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{}的前5项的和为A．31B．32C．D．【答案】D【解析】解：因为{an }是首项为1的等比数列，且4a1，2a2，a3成等差数列，4 a2=a1+a3,可知公比2，则数列{}的前5项的和为9.已知{an }是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为()A．B．C．D．【答案】B【解析】设等比数列{an }的公比为q,∵9S3=S6,∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6,∴8=q3,即q=2, ∴an=2n-1,∴=n-1,∴数列是首项为1,公比为的等比数列,故数列的前5项和为=.故选B.10.某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为()A．q B．12qC．(1＋q)12D．(1＋q)12－1【答案】D【解析】设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q)，该厂一年的生产总值为S1＝1＋(1＋q)＋(1＋q)2＋…＋(1＋q)11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q)12，第2年全年生产总值S2＝(1＋q)12＋(1＋q)13＋…＋(1＋q)23＝(1＋q)12S1，所以该厂生产总值的年平均增长率为＝(1＋q)12－1. 本题选择D选项.11.已知等比数列{an }是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________．【答案】1【解析】解方程x2－5x＋4＝0，得．因为数列{an }是递增数列，且a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，所以．设等比数列{an}的公比为q，则，所以q=2．则【考点】等比数列的前n项和12.已知，不等式的解集是，（1）求的解析式；（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）利用二次不等式与二次方程的联系可得到二次方程的根为0，5，可利用根与系数的关系得到的关系式，从而得到其值；（2）将不等式转化为与之对应的二次函数，结合函数的图像及性质可知只需满足，从而求得值试题解析：（1），不等式的解集是，所以的解集是，所以和是方程的两个根，由韦达定理知，．（2）恒成立等价于恒成立，所以的最大值小于或等于0．设，则由二次函数的图象可知在区间为减函数，所以，所以．【考点】1．三个二次关系；2．二次函数图像及性质13.函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为为正整数，若，则________.【答案】21【解析】，则斜率为，切线方程为，令，得，是以16为首项，以为公比的等比数列，.【点睛】求曲线在某点处的切线问题，可利用导数的几何意义去处理，利用导数求出斜率，利用直线方程的点斜式写出切线方程，求出直线与x轴的交点的横坐标，得出与的关系，借助数列的知识判断数列为等比数列，写出等比数列的首项与公比，求出所要求的和.14.设数列的前项和为，且，则 __________．【答案】【解析】由题意可得：，两式做差可得：，即数列是等比数列，又时，，据此可得：.点睛：给出与的递推关系，求an ，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn 的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.15.已知函数的最低点为.（1）求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）根据函数的最低点为，得到对称轴与最小值，列方程组求出，，即可求得函数解析式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）由由，可得，分别求出与的最大值与最小值，利用不等式恒成立可得结果.试题解析：（1）依题意，得，①，②由①②解得，，.∴.则原不等式可化为，解得或.故不等式的解集为.（2）由，得，即，则，即.∵，∴的最小值是.的最大值是.∴，即.故实数的取值范围是.16.已知数列是递减等比数列，且，，则数列的通项公式__________．【答案】【解析】因为，，所以, ,又因为数列是递减等比数列，所以，数列的通项公式，故答案为.17.已知数列{an}满足．（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn }的前n项和Sn．【答案】（1）；（2）【解析】(1)分类讨论和两种情况可得数列{an}的通项公式为；(2)结合(1)的结论错位相减可得数列{bn}的前n项和.试题解析：（1）当n＝1时，，，两式相减得，∴，当n＝1时也满足，∴．（2），∴Sn ＝1×3+2×32+3×33+…+n×3n，3Sn＝1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，两式相减得∴-2Sn＝3+32+33+34+…+3n-n×3n+1，∴．18.在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等比数列，那么位于表中的第10行第11列的数是________________.【答案】【解析】由题意知，第1列的数是首项为1，公比为2的等比数列，所以第10行的第一个数为。
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A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a = ．1．20×2n-3.提示：q 3=16020=8,q==20×2n-3. 2.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，则项数n 等于 .. 提示：13=98×（23）n-1,n=4.3.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 .3.12.提示：由题设知a n q 2=a n +a n q,得q=12+. 4.在等比数列{a n }中，已知S n =3n +b ，则b 的值为_______．=-1.提示：a 1=S 1=3+b ，n ≥2时，a n =S n －S n －1=2×3n －1．a n 为等比数列，∴a 1适合通项，2×31－1=3+b ，∴b =－1．5.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a +=.提示：∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=，3436a a +=∴5636364324a a ⨯+==. 6.数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为31的等比数列，则a n 等于 。
6．23（1－n31）.提示：a n =a 1+（a 2－a 1）+（a 3－a 2）+…+（a n －a n －1）=23（1－n 31）。
7.等比数列Λ,8,4,2,132a a a 的前n 项和S n = .7. 1,,21(2)1a 122n nn a S a a ⎧=⎪⎪=⎨-⎪≠⎪-⎩，。
提示：公比为a q 2=， 当1=q ，即21=a 时，;,12n S a n ==当1≠q ，即21≠a 时，12≠a ，则a a S n n 21)2(1--=.8. 已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项和，某同学经计算得224S =，338S =，465S =，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是__________，该数列的公比是________.8.2S ；32。
提示：设等比数列的公比为q ，若2S 计算正确，则有2q =，但此时3438,65S S ≠≠，与题设不符,故算错的就是2S ,此时, 由338S =可得32q =,且465S =也正确.二．解答题(本大题共4小题，共54分)9.一个等比数列{}n a 中，701333241=+=+a a a a ，，求这个数列的通项公式。
9．解：由题设知311211133a 70a a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩两式相除得q =2552或， 代入a a 14133+=，可求得a 1125=或8，∴=⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪--a a n n n n 1252585211或10.设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,S 4=1,S 8=17,求通项公式a n .解 设{}n a 的公比为q ，由S 4=1,S 8=17知q ≠1,∴4181a (1)1,1a (1)17,1q q q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得11152a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1152a q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩。
∴a n =1215n -或a n =1(1)25n n --⨯。
11.已知数列{}2log n x 是公差为1 的等差数列，数列{}n x 的前100项的和等于100，求数列{}n x 的前200项的和。
11.解：由已知，得212log log 1n n x x +-=，12n nx x +∴=， 所以数列{}n x 是以2为公比的等比数列，设{}n x 的前n 项和为S n 。
则S 100=1001x (12)12--=1001x (21)-，S 200=2001x (12)12--=2001x (21)-= S 100()10012+=()10010012⨯+故数列{}n x 的前200项的和等于()10010012⨯+。
12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中0n a ≠，1a 为常数，且1a -、n S 、1n a +成等差数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n b S =-，问：是否存在1a ，使数列{}n b 为等比数列？若存在，求出1a 的值；若不存在，请说明理由． 12.解：（Ⅰ）依题意，得112n n S a a +=-．于是，当2n ≥时，有111122n n n n S a a S a a +-=-⎧⎨=-⎩．两式相减，得13n n a a +=（2n ≥）．又因为211123a S a a =+=，0n a ≠，所以数列{}n a 是首项为1a 、公比为3的等比数列．因此，113n n a a -=⋅（n *∈N ）；（Ⅱ）因为111(13)1131322n n n a S a a -==⋅--，所以111111322n n n b S a a =-=+-⋅．要使{}n b 为等比数列，当且仅当11102a +=，即12a =-．备选题：1.已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a 。
1.12-n 。
提示：由,7,13211=++=a a a a 得21602,2n n q q q a -+-=∴=∴=。
2．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________.2.3375±。
提示：610925,q q a a q ===⋅=±。
3.设数列{a n }的前项的和S n =31（a n -1） (n ∈N +),（1）求a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列。
3.解: (Ⅰ)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a∴=1a 21- 又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a .(Ⅱ)当n >1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为21-的等比数列.B 组一．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.正项等比数列{a n }中，S 2=7，S 6=91，则S 4= 。
1．28提示：∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7，S 4－7，91－S 4成等比数列，即（S 4－7）2=7（91－S 4），解得S 4=28或－21（舍去）．2.三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c = _ 。
2、)2(:1:4-。
提示：22222,2,(2),540a c b c b a ab c b a a ab b +==-==--+= ,4,2a b a b c b ≠==-。
3.在等比数列{a n }中，已知n ∈N *，且a 1+a 2+…+a n =2n －1，那么a 12+a 22+…+a n 2等于 。
3. 31（4n －1）。
提示：由S n =2n －1，易求得a n =2n －1，a 1=1，q =2，∴{a n 2}是首项为1，公比为4的等比数列， a 12+a 22+…+a n 2= 31（4n －1）。
4. 设数列{}237n n n a n S a n =+-中前项的和，则n a =________.解析 11111,2374n a S a a ===+-∴=当时1111111112,(237)[23(1)7]2232332(3){3}-34-3=1,23122{}23n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a S S a n a n a a a a a a a a a a a --------≥=-=+--+--=-+∴=-∴-=--=∴-=⨯=∴=+当时即成等比数列,其首项是公比是数列的通项公式是5.已知函数()cos ,(,3)2f x x x ππ=∈，若方程()f x a =有三个不同的根，且从小到大依次成等比数列，则a = 。
5.12-。
提示：设最小的根为α，结合余弦函数的图像可知则另两根依次为 2,2παπα-+，所以()()222πααπα-=•+， 解得23πα=，21cos32πα==-。
制为6位数能表示十进制中最大的数是 .提示：111:2121217,2121206,2120215,2120204,21213,21202,21121021021021010100写成二进制为进而知⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯=于是知二进制为6位数能表示十进制中最大的数是631212212121212121:111111654321=--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯化成十进制为。
二．解答题(本大题共2小题，共36分)7． 数列}{n a 满足：*).(2123,23,11221N n a a a a a n n n ∈-===++（1）记n n n a a d -=+1，求证：{d n }是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式；（3）令23-=n b n ，求数列}{n n b a ⋅的前n 项和S n 。
（1）21123,23,11221=-=-∴==a a a a又n n n n a a a a 2121112-=-+++。
n n n n n n d d a a a a 21,211112==--∴++++即故数列2121}{为首项，公比为是以n d 的等比数列. （2）由（1）得n n n n a a d )21(1=-=+1121112211)21(21)21(...)21()21()(...)()(-------=++++=+-++-+-=∴n n n n n n n n a a a a a a a a（3）11)21()23()46(])21(2[)23(23--⋅---=-⋅-=⋅=-=n n n n n n n n n b a c n b 令Θ02112111112[147...(32)][147...(32)]2222111(31)[147...(32)]222n n n S n n n n n --∴=⨯++++--⨯+⨯+⨯++-⋅=--+⨯+⨯++-⨯令1221)23( (2172)141-⨯-++⨯+⨯+=n n n T ① n n n n n T 21)23(21)53(...21721421121132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=-② ① －②得12113224383243821)23()21...212121(3121---++--=∴+-=∴--+++++=∴n n n n nn n n n n S n T n T8. 已知关于x 的二次方程)(0112*+∈=+-N n x a x a n n 的两根βα,满足3626=+-βαβα，且11=a（1）试用n a 表示1+n a （2）求证：}32{-n a 是等比数列 （3）求数列的通项公式n a （4）求数列}{n a 的前n 项和n S 8. 解(1) 是方程βα,Θ)(0112*+∈=+-N n x a x a n n 的两根312102361111+=⇒=--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+∴+++n n n n n n n a a a a a a a αββα(2)为等比数列常数}32{2132323121323121111-∴==--⇒-=-⇒+=+++n n n n n n n a a a a a a a (3)令3132,21}{,3211=-=-=a b b a b n n n 首项是等比数列，公比为则 32)21(3132)21(3111+=+=⇒=∴--n n n n b a b(4)n nn n n S )21(32322]211)21(1[3132-+=--+= 备选题：1.数列}{n a 是正项等差数列，若nna a a a b nn ++++++++=ΛΛ32132321，则数列}{n b 也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列}{n c ，若n d = ，则数列}{n d 也为等比数列。