高中数学试题及答案

、一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 设P ＝{y | y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y | y ＝2x ，x ∈R}，则(A) P ⊆Q (B) Q ⊆P(C)R C P ⊆Q(D) Q⊆R C P(2) 已知i 是虚数单位，则12i1i++＝(A)3i 2- (B)3+i 2(C) 3－i (D) 3＋i(3) 若某程序框图如图所示，则输出的p 的值是(A) 21 (B) 26 (C) 30 (D) 55 (4) 若a ，b 都是实数，则“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件(5) 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线(A) 只有一条，不在平面α内 (B) 有无数条，不一定在平面α内 (C) 只有一条，且在平面α内 (D) 有无数条，一定在平面α内(6) 若实数x ，y 满足不等式组240,230,0,x y x y x y +-≥--≥-≥⎧⎪⎨⎪⎩则x ＋y 的最小值是(A)43(B) 3 (C) 4 (D) 6(7) 若(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 0＋a 1＋a 3＋a 5＝(A) 122 (B) 123 (C) 243 (D) 244(8) 袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是 (A)914(B)3756(C)3956(D)57(9) 如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO ·BC 的值是 (A) －8(B) －1 (C) 1 (D) 8(10) 如图，有6个半径都为1的圆，其圆心分别为O 1(0，0)，O 2(2，0)，O 3(4，0)，O 4(0，2)，O 5(2，2)，O 6(4，2)．记集合M ＝{⊙O i ｜i ＝1，2，3，4，5，6}．若A ，B 为M 的非空子集，且A 中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无公共点，则称(A，B) 为一个“有序集合对”(当A≠B时，(A，B) 和(B，A) 为不同的有序集合对)，那么M中“有序集合对”(A，B) 的个数是(A) 50 (B) 54 (C) 58 (D) 60二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。

(11) 若函数f(x)＝21x-，则f(x)的定义域是．(12) 若sin α＋cos α＝12，则sin 2α＝．(13) 若某几何体的三视图(单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是cm3．(14) 设随机变量X的分布列如下：X0 5 10 20Pαβ若数学期望E (X)＝10，则方差D (X)＝．(15) 设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1＝1，a n＝－S n⋅S n－1 (n≥2)，则S n＝．(16) 若点P在曲线C1：221169x y-=上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则| PQ |－| PR | 的最大值是．(17) 已知圆心角为120°的扇形AOB半径为1，C为AB中点．点D，E分别在半径OA，OB上．若CD2＋CE2＋DE2＝52，则OD＋OE的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(18) (本题满分14分) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan (A＋B)＝2．(Ⅰ) 求sin C的值；(Ⅱ) 当a＝1，c b的值．(19) (本题满分14分) 设等差数列{a n}的首项a1为a，前n项和为S n．(Ⅰ) 若S1，S2，S4成等比数列，求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ) 证明： n∈N*, S n，S n＋1，S n＋2不构成等比数列．(20) (本题满分15分) 四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G，F分别是线段CE，PB上的动点，且满足PFPB＝CGCE＝λ∈(0，1)．(Ⅰ) 求证：FG∥平面PDC；(Ⅱ) 求λ的值，使得二面角F－CD－G的平面角的正切值为23．(21) (本题满分15分) 如图，椭圆C : x 2＋3y 2＝3b 2 (b ＞0).(Ⅰ) 求椭圆C 的离心率；(Ⅱ) 若b ＝1，A ，B 是椭圆C 上两点，且 | AB | ＝3，求△AOB 面积的最大值.(22) (本题满分14分) 设函数f (x )＝ln x ＋1a x -在 (0，1e) 内有极值．(Ⅰ) 求实数a 的取值范围；(Ⅱ) 若x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)．求证：f (x 2)－f (x 1)＞e ＋2－1e．注：e 是自然对数的底数．台州中学2011学年高三第一学期第三次统练理科数学答案二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分28分。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

(18) (Ⅰ) 解：由题设得tan C ＝－2，从而sin C ＝255． ………6分 (Ⅱ) 解：由正弦定理及sin C ＝255得sin A ＝25， 再由正弦定理b ＝sin sin Bc C⋅＝10555-． …………14分 (19) (Ⅰ) 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na ＋(1)2n n d -，(2) 当d ＝2a 时，a n ＝(2n －1)a ． …………6分(Ⅱ) 证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m ∈N*，S m ，S m ＋1，S m ＋2构成等比数列，即212m m m S S S ++=⋅．因此a 2＋mad ＋12m (m ＋1)d 2＝0， ① 综上所述，对任意正整数n ，S n ，S n ＋1，S n ＋2都不构成等比数列． …………14分 (20) 方法一：(Ⅰ) 证明：如图以点A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，其中K 为BC 的中点， 不妨设PA ＝2，则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(3,1,0)B -，(3,1,0)C ，(0,2,0)E ，(0,4,0)D ．由PF CGPB CEλ==，得 (3,,22)F λλλ--，(33,1,0)G λλ-+，(233,12,22)FG λλλ=-++-+，设平面PCD 的法向量0n =(x ，y ，z )，则00n PC ⋅=，00n PD ⋅=，得320,0420,x y z x y z ⎧+-=⎪⎨⋅+-=⎪⎩可取0n =(3，1，2)，于是设平面FCD 的法向量1111(,,)n x y z =，则10n FC ⋅=，10n CD ⋅=， 所以281450λλ-+=，解得12λ=或54λ=(舍去)， 故12λ=． …………15分 方法二：(Ⅰ) 证明：延长BG 交CD 于Q ，连PQ ，BE ．ABCP E（第20题）DGF Q M N得平行四边形BEDC ，则BE // CQ ， 所以::CG GE QG GB =．又::PF FB CG GE =，则::QG GB PF FB =， 所以FG //PQ ．则FN CD ⊥，FNM ∠为二面角F CD G --的平面角．1FM FBPA PBλ==-，不妨设2PA =，则2(1)FM BM λ=-=，2MN λ=-， 由 tan FM FNM MN ∠= 得 22(1)32λλ-=-，即 12λ=． …………15分(21) (Ⅰ)解：由x 2＋3y 2＝3b 2得 222213x y b b +=，(Ⅱ)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△ABO 的面积为S ． 如果AB ⊥x 轴，由对称性不妨记A 的坐标为(32，32)，此时S ＝13322⋅⋅＝34； 即 (1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，又Δ＝36k 2m 2－4(1＋3k 2) (3m 2－3)＞0，所以 x 1＋x 2＝－2613kmk +，x 1 x 2＝223313m k -+，结合①，②得m 2＝(1＋3k 2)－222(13)4(1)k k ++．又原点O 到直线AB 的距离为2||1m k+，＝－316⋅(22131k k ++－2)2＋34≤34，故S ≤32．当且仅当22131k k ++＝2，即k ＝±1时上式取等号．又32＞34，故S max＝32． …………15分由()0f x '=在1(0,)e内有解．令2()(2)1()()g x x a x x x αβ=-++=--，不妨设10e α<<，则e β>，所以 (0)10g =>，2112()10e e ea g +=-+<， 解得1e 2ea >+-． …………6分 由1(0,1)x ∈，得1()()ln 1af x f ααα≤=+-，由2(1,)x ∈+∞得2()()ln 1af x f βββ≥=+-,记1()2ln h ββββ=+-， (e β>)，则221()10h βββ'=++>，()h β在(０，＋∞)上单调递增，所以21()()f x f x -1()(e)2e eh h β≥>=+-． …………14分。