工程水文学第四章-6
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§4.7 瞬时单位线法推求流域出口洪水过程
• 内容提要
瞬时单位线属于一种概念性模型，它是 1957 由 J.E.Nash推导出瞬时单位线的数学方程，用矩法确 定其中的参数，并提出时段转换等一整套方法。 1.瞬时单位线法的基本概念； 2.由瞬时单位线转换为时段单位线； 3.瞬时单位线参数n、K的计算。
t mQm n 1 (n 1) t m ,计 Q m ,计
2
t m n 1 K K t m ,计 n 1
式中，n’、K’为调整后的n、K值： Qm 、Qm,计分别为实测 的和还原的地面径流洪峰值 (m3/s)；tm、tm,计分别为实测的 和还原的洪峰出现时间（h）。
u()1/dt)
u(0,t)
1.0
t(h)
瞬时单位线示意图
§4.7.1 瞬时单位线的基本概念
•J.E.Nash 设 想 流 域 的汇流作用可由串 联的n个相同的线 性水库的调蓄作用 来代替，如图所示。 流域出口断面的流 量过程是流域净雨 经过这些水库调蓄 后的出流。
§4.7.1 瞬时单位线的基本概念
§4.7.5 瞬时单位线转化为单位线的计算步骤
• ⑴计算流域出口的地面径流过程及流域的地面净雨过程 • ⑵用矩法计算参数n、K 由求出的地面径流过程和地面净雨过程，按（ 4-58 ） ~ （4-61）计算它们的一阶及二阶原点矩，进而按（4-56） （4-57）按计算K、n。 • ⑶计算S曲线及时段单位线 将时间t除以K，得t/K。然后由n和t/K查S曲线表，得S(t)； 将它错后Δt ，得S(t-Δt) ；将S(t)、S(t-Δt)相减，得无因次 时段单位线 u(Δt,t) ；根据式（ 4-55 ）可计算得 Δt 为时段间 隔的单位线。 • ⑷瞬时单位线的检验 利用矩法求得的参数 n 、 K 和时段单位线，对历史洪水 做还原计算，若还原的精度不能令人满意，则需要对n、K 进行调整，直到满足精度要求。
§4.7.2 由瞬时单位线转换为时段单位线
• 将瞬时单位线转换为时段单位线才能使用。时段
的转换仍采用S曲线，按S曲线的定义，有：
S (t ) u (0, t )dt
0
t
t/K
0
1 t n K
n 1
e
t K
t d K
§4.7.2 由瞬时单位线转换为时段单位线
根据这ห้องสมุดไป่ตู้设想，可导出瞬时单位线的数学方程：
1 t u 0, t e K n K 式中， n 为反应流域调蓄能力的参数，可理解为 线性水库的个数；(n)为n的伽玛函数；K为线性水库 的调蓄系数(流域汇流时间)，具有时间的单位。 注： Gamma 函数定义为非整数的阶乘，而当 x 是 正整数 n 的时候， Gamma函数的值是 n-1 的阶乘。即： Γ（n) = (n-1)(n-2)……1＝(n-1)!
式中，q(Δt,t)为单位线的纵坐标，m3/s；Δt为净雨 时段，h；F为流域面积，km2。
§4.7.3 参数n、K的确定方法
• 纳希利用统计数学中矩的概念，推导出由实测净 雨过程R(t)和出口断面地面径流过程Q(t)确定n、K 的公式为：
k
2 2 MQ Mh
MQ Mh
1
• 瞬时单位线参数计算步骤
⑴选取流域上分布均匀，强度大的暴雨形成的单 峰洪水过程线作为分析的对象。 ⑵计算本次暴雨产生的净雨量和相应的地面径流 量，二者应相等。
⑶计算净雨过程和地面径流过程的一阶和二阶原
点矩，并推算n、K 。
§4.7.4 瞬时单位线参数计算步骤
• 由上面计算出的K、n值还需代回原来的资料作还原验证， 若还原的精度不能令人满意，则需对K、n作适当调整，直 至满意为止。可用下式估计要调整的n、K值。
hi t i h
i
2
Qm M Q
1 Q i i
i
t
2 MQ
2 Q m i i
Q
t 2
i
式中，
t i m i 1 / 2t, m i 1,2, , n 1
§4.7.3 参数n、K的确定方法
矩值计算示意图
§4.7.4 瞬时单位线参数计算步骤
1
1 1 MQ Mh
n
1 1 MQ Mh
k
式中，M(1)Q、 M(2)Q分别为地面径流的一阶和二阶 原点矩； M(1)h、 M(2)h分别为地面净雨的一阶和二
阶原点矩。
§ 4.7.3 参数n、K的确定方法
其中：
ht M h
1 h i i i
2 Mh
它代表Δt内流域上净雨
量(Δt×1) 在出口断面形成 的流量过程线。
§4.7.2 由瞬时单位线转换为时段单位线念
• 将无因次单位线换算成时段为Δt，净雨为10mm的 时段单位线为
10 F 10 F S t S t t qt , t u t , t 3.6t 3.6t
• 当n、K已知，以不同的t代入上式积分，就可得到
如图的S曲线。
§4.7.2 由瞬时单位线转换为时段单位线
• 将以 t=0 为起点的 S(t) 曲线向后平移一个 Δt 时段，即可得 S(t-Δt)曲线，两条S曲线的纵坐标差： u(Δt,t)=S(t)-S(t-Δt) 即为时段为Δt的无因次 时段单位线，如图所示。
§4.7.1 瞬时单位线的基本概念
• 瞬时单位线
流域上分布均匀，历时趋于无穷小，强度趋于 无穷大，总量为一个单位的地面净雨在流域出口 断面形成的地面径流过程线。
§4.7.1 瞬时单位线的基本概念
该图 表 示流 域 上在 瞬 时 (△t→0) 降 1 个 单位 水 量的 净 雨在 出口 断 面形 成 的流 量过程线。
n 1
t K
§4.7.2 由瞬时单位线转换为时段单位线
• 瞬时单位线的主要优点在于，它不受净雨历时的 影响，有一定数学表达式，便于进行数学处理和 区域综合。在实际应用时需首先将瞬时单位线转 换为时段单位线。
§4.7.1 瞬时单位线的基本概念
• 参数n、K对瞬时单位线形状的影响
当n、K减小时，u(0,t)的洪峰增高，峰现时间提前；而当n、 K增大时，u(0,t)的峰降低，峰现时间推后。
• 内容提要
瞬时单位线属于一种概念性模型，它是 1957 由 J.E.Nash推导出瞬时单位线的数学方程，用矩法确 定其中的参数，并提出时段转换等一整套方法。 1.瞬时单位线法的基本概念； 2.由瞬时单位线转换为时段单位线； 3.瞬时单位线参数n、K的计算。
t mQm n 1 (n 1) t m ,计 Q m ,计
2
t m n 1 K K t m ,计 n 1
式中，n’、K’为调整后的n、K值： Qm 、Qm,计分别为实测 的和还原的地面径流洪峰值 (m3/s)；tm、tm,计分别为实测的 和还原的洪峰出现时间（h）。
u()1/dt)
u(0,t)
1.0
t(h)
瞬时单位线示意图
§4.7.1 瞬时单位线的基本概念
•J.E.Nash 设 想 流 域 的汇流作用可由串 联的n个相同的线 性水库的调蓄作用 来代替，如图所示。 流域出口断面的流 量过程是流域净雨 经过这些水库调蓄 后的出流。
§4.7.1 瞬时单位线的基本概念
§4.7.5 瞬时单位线转化为单位线的计算步骤
• ⑴计算流域出口的地面径流过程及流域的地面净雨过程 • ⑵用矩法计算参数n、K 由求出的地面径流过程和地面净雨过程，按（ 4-58 ） ~ （4-61）计算它们的一阶及二阶原点矩，进而按（4-56） （4-57）按计算K、n。 • ⑶计算S曲线及时段单位线 将时间t除以K，得t/K。然后由n和t/K查S曲线表，得S(t)； 将它错后Δt ，得S(t-Δt) ；将S(t)、S(t-Δt)相减，得无因次 时段单位线 u(Δt,t) ；根据式（ 4-55 ）可计算得 Δt 为时段间 隔的单位线。 • ⑷瞬时单位线的检验 利用矩法求得的参数 n 、 K 和时段单位线，对历史洪水 做还原计算，若还原的精度不能令人满意，则需要对n、K 进行调整，直到满足精度要求。
§4.7.2 由瞬时单位线转换为时段单位线
• 将瞬时单位线转换为时段单位线才能使用。时段
的转换仍采用S曲线，按S曲线的定义，有：
S (t ) u (0, t )dt
0
t
t/K
0
1 t n K
n 1
e
t K
t d K
§4.7.2 由瞬时单位线转换为时段单位线
根据这ห้องสมุดไป่ตู้设想，可导出瞬时单位线的数学方程：
1 t u 0, t e K n K 式中， n 为反应流域调蓄能力的参数，可理解为 线性水库的个数；(n)为n的伽玛函数；K为线性水库 的调蓄系数(流域汇流时间)，具有时间的单位。 注： Gamma 函数定义为非整数的阶乘，而当 x 是 正整数 n 的时候， Gamma函数的值是 n-1 的阶乘。即： Γ（n) = (n-1)(n-2)……1＝(n-1)!
式中，q(Δt,t)为单位线的纵坐标，m3/s；Δt为净雨 时段，h；F为流域面积，km2。
§4.7.3 参数n、K的确定方法
• 纳希利用统计数学中矩的概念，推导出由实测净 雨过程R(t)和出口断面地面径流过程Q(t)确定n、K 的公式为：
k
2 2 MQ Mh
MQ Mh
1
• 瞬时单位线参数计算步骤
⑴选取流域上分布均匀，强度大的暴雨形成的单 峰洪水过程线作为分析的对象。 ⑵计算本次暴雨产生的净雨量和相应的地面径流 量，二者应相等。
⑶计算净雨过程和地面径流过程的一阶和二阶原
点矩，并推算n、K 。
§4.7.4 瞬时单位线参数计算步骤
• 由上面计算出的K、n值还需代回原来的资料作还原验证， 若还原的精度不能令人满意，则需对K、n作适当调整，直 至满意为止。可用下式估计要调整的n、K值。
hi t i h
i
2
Qm M Q
1 Q i i
i
t
2 MQ
2 Q m i i
Q
t 2
i
式中，
t i m i 1 / 2t, m i 1,2, , n 1
§4.7.3 参数n、K的确定方法
矩值计算示意图
§4.7.4 瞬时单位线参数计算步骤
1
1 1 MQ Mh
n
1 1 MQ Mh
k
式中，M(1)Q、 M(2)Q分别为地面径流的一阶和二阶 原点矩； M(1)h、 M(2)h分别为地面净雨的一阶和二
阶原点矩。
§ 4.7.3 参数n、K的确定方法
其中：
ht M h
1 h i i i
2 Mh
它代表Δt内流域上净雨
量(Δt×1) 在出口断面形成 的流量过程线。
§4.7.2 由瞬时单位线转换为时段单位线念
• 将无因次单位线换算成时段为Δt，净雨为10mm的 时段单位线为
10 F 10 F S t S t t qt , t u t , t 3.6t 3.6t
• 当n、K已知，以不同的t代入上式积分，就可得到
如图的S曲线。
§4.7.2 由瞬时单位线转换为时段单位线
• 将以 t=0 为起点的 S(t) 曲线向后平移一个 Δt 时段，即可得 S(t-Δt)曲线，两条S曲线的纵坐标差： u(Δt,t)=S(t)-S(t-Δt) 即为时段为Δt的无因次 时段单位线，如图所示。
§4.7.1 瞬时单位线的基本概念
• 瞬时单位线
流域上分布均匀，历时趋于无穷小，强度趋于 无穷大，总量为一个单位的地面净雨在流域出口 断面形成的地面径流过程线。
§4.7.1 瞬时单位线的基本概念
该图 表 示流 域 上在 瞬 时 (△t→0) 降 1 个 单位 水 量的 净 雨在 出口 断 面形 成 的流 量过程线。
n 1
t K
§4.7.2 由瞬时单位线转换为时段单位线
• 瞬时单位线的主要优点在于，它不受净雨历时的 影响，有一定数学表达式，便于进行数学处理和 区域综合。在实际应用时需首先将瞬时单位线转 换为时段单位线。
§4.7.1 瞬时单位线的基本概念
• 参数n、K对瞬时单位线形状的影响
当n、K减小时，u(0,t)的洪峰增高，峰现时间提前；而当n、 K增大时，u(0,t)的峰降低，峰现时间推后。