集合与集合的表示方法

第1章 集合

1.1 集合与集合的表示方法

1.1.1 集合的概念

一、概念与能力聚焦

1、集合的概念

集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些指定的且不同的对象集在一起就成为一个集合。组成集合的对象叫元素，集合通常用大写字母A 、B 、C 、…来表示。元素常用小写字母a 、b 、c 、…来表示。

集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的一个集合。

例题1：考察下列每组对象能否组成一个集合？

（1）2010年上海世博会上展出的所有展馆；

（2）2010年辽宁高考数学试卷中所有的难题；

（3）清华大学2010级的新生；

（4）平面直角坐标系中，第一象限内的一些点；

（5）2的近似值的全体.

2、元素与集合的关系

元素与集合的关系有属于和不属于两种：元素a 属于集合A ，记作A a ∈；元素a 不属于集合A ，记作A a ∉。

例题 2：已知321-=

a ，}{Z n m n m x x A ∈+==,,3，则a 与A 之间是什么关系？

3、集合中元素的特性

（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。例如}{4,3,1,0=A ,可知A A ∉∈6,0。

（2）互异性：“集合中的元素必须是互异的”，就是说“对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”。如方程0)4(2

=-x 的解集记为}{4，而不能记为}{4,4。 （3）无序性：集合与其中元素的排列次序无关，如集合}{c b a ,,与集合}{a b c ,,是同一个集合。

例题3：已知集合A 中含有两个元素3-a 和12-a ，若A ∈-3，试求实数a 的值。

4、集合的分类

集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：

有限集：含有有限个元素的集合。如“方程013=+x 的解组成的集合”，由“8,6,4,2组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此这两个集合是有限集。

无限集：含有无限个元素的集合，如“到平面上两个定点的距离相等的所有点”“所有的三角形”，组成上述集合的元素是不可数的，因此它们是无限集。

特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作φ，如}{012=+∈x R x 。 例题4：下列各组对象能否构成集合，若能构成集合，则指出它们是有限集、无限集。还是空集。

（1）中国的所有人口组成的集合；

（2）广东省2011年应届高中毕业生；

（3）数轴上到原点的距离小于1的点；

（4）方程02=x 的解构成的集合；

（5）你们班上成绩较好的同学；

（6）小于1的正整数构成的集合。

5、特定的集合的表示

为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的的字母表示，下面是几种常见的数集表示方法，请牢记。

（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N .

（2）非负整数集内排除0的集合，也称正整数集，记作*N 或+N .

（3）全体整数的集合通常简称为整数集Z .

（4）全体有理数的集合通常简称为有理数集，记作Q .

（5）全体实数的集合通常简称为实数集，记作R .

例题 5 ：给出下列关系：2

1)1(属于R ；∉2)2(Q +∉-N 3)3(；Q ∈-3)4(；φ∈0)5(,其中正确的个数为（ ）

1.A

2.B

3.C

4.D

二、方法与技巧平台

6、元素分析法

解决集合问题，应对集合的概念有深刻理解，解题时能不能把集合问题转化为相关的数学知识是解题的关键，而集合离不开元素，所以分析元素是解决集合问题的核心。元素分析法就是抓住元素进行分析，即元素是什么？具备哪些性质？是否满足元素的三个特性？（即确定性、互异性、无序性）

例题6：（1）已知集合A 是由2-a ，a a 522+，12三个元素组成的，且A ∈-3，求a 的值。

（2）设集合}{k

k k A 2,2-=，求实数k 的取值范围。

三、创新与思维拓展

7、利用集合中元素的特性解决与方程有关的问题

集合与方程有密切联系，利用集合中元素的特性，即元素的互异性、无序性、确定性，再结合方程的解法，可以求出集合中参数的值。

例题7：已知集合}

{R a x ax R x A ∈=+-∈=,0232

（1）若A 是空集，求a 的取值范围；

（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；

（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围。

速效基础演练

1、给出下列四组对象，其中能构成集合的个数为（ ）

（1）高一（2）班所有身高cm 180以上的同学 （2）高一（2）班所有高个子同学 （3）26个英文字母 （4）所有无理数

1.A

2.B

3.C

4.D

2、给出下面几个关系式：Z Z N N Q R ∉-∉-∈∈∈∈+5,,0,0,3.0,2π其中正确关系式的个数是（ ）

4.A

5.B

6.C

7.D

3、已知集合S 的三个元素c b a ,,是ABC ∆的三边长，那么ABC ∆一定不是（ ）

.A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 等腰三角形

4、已知集合}{2,2),2,2(--=M ,则集合M 中元素个数是（ ）

2.A

3.B

4.C 6.D

5、所给下列关系式中正确的个数是（ ）

（1）R ∈π （2）Q ∉3 （3）+∈-N 1 （4）+∉-N 4

1.A

2.B

3.C

4.D

6、已知集合A 中只含有2,1a 两个元素，求实数a 不能取的值。

7、以方程022=++m x x 的根为元素的集合含有两个元素，求实数m 的取值范围？

8、已知集合A 是由三个元素23,,02

+-m m m 组成的集合，且A ∈2，求实数m 的值。