集合与集合的表示方法
集合与集合的表示方法MicrosoftWord文档
集合与集合的表示方法1.集合的概念：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，这个整体就构成集合，构成几何的每个对象叫做这个集合的元素。
集合用大写字母表示A、B、C；元素用小写字母表示a、b、c。
2. 集合与元素的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a A∉。
∈；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A 【注】用符号∈和∉表示元素和集合的关系。
例1：用符号∈或∉填空（1）设集合A是正整数集合：则0---A ，，0----A ，(1)5-----A。
的所有实数的集合：则-----B ，（2）设集合B是小于（1------B。
（3）用符号∈或∉填空：1_____Z，－1_____R，0_____｛0｝，0_____φ，a_____｛a｝，π____Q，20_____N*．3集合中元素的性质（1）确定性（2）互异性（3）无序性例2：考察下列每组对象能否构成一个集合（1）不超过20的非负数；（2）方程290x-=在实数范围内的解；（3）直角坐标平面内第一象限的一些点；（4）（5）某个单位里的年轻人组成一个集合；（6）1、36,,0.5,1-组成一个集合24（7）集合｛1，5｝与集合｛5，1｝是不同的集合；（8）集合｛（1，5）｝与集合｛（5，1）｝是同一个集合；例3：（1）方程2210++=的解集中，有（）个元素。
x x(2)已知集合M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是（）三角形。
（3）由2,2,4-组成一个集合A，A中含有三个元素，则实a a数a的取值可以是（）A、1B、-2C、6D、2例4：设集合A中含有22++++这三个元素，若1Aa a a a(1),2,33∈，求实数a的值。
练习：设集合A中含有两个元素2,2k k k-，求实数k的取值范围。
4空集：不含任何元素的集合，记作∅。
【注】0∉∅。
5集合的分类：有限集、无限集。
6常用集合：（1）自然数集N（2）正整数集*N N,+（3）整数集Z（4）有理数集Q（5）实数集R例5：下列说法中正确的有：（1）集合N 中最小数为1 ；（2）若a N ∈，则a N -∈；（4） 若,a N b N ∈∈，则a b +的最小值为2；（4）所有小的正数组成一个集合。
集合的表示与分类
集合的表示与分类一、引言集合是数学中的基本概念之一，它在各个学科和日常生活中都有着广泛的应用。
准确地表示和分类集合是我们研究和理解集合的重要基础。
本文将介绍集合的表示方法和分类方式。
二、集合的表示方法1. 列举法列举法是最直观、最简单的表示集合的方法。
通过将集合中的元素逐个罗列出来，用花括号{}括起来表示集合。
例如，集合A={1,2,3,4,5}表示A是包含元素1、2、3、4、5的集合。
2. 描述法描述法是通过给出集合中的元素满足的特定条件来表示集合。
一般形式为{元素 | 元素满足的条件}。
例如，集合B={x | x是正整数且x<10}表示B是包含所有小于10的正整数的集合。
3. 通用集合符号除了列举法和描述法外，通用集合符号也是表示集合的常用方法。
常见的通用集合符号有：- 空集符号：∅，表示一个不包含任何元素的集合。
- 元素属于符号：∈，表示一个元素属于某个集合。
- 元素不属于符号：∉，表示一个元素不属于某个集合。
- 子集符号：⊆，表示一个集合是另一个集合的子集。
- 真子集符号：⊂，表示一个集合是另一个集合的真子集。
三、集合的分类方式1. 有限集与无限集根据元素的个数，集合可以分为有限集和无限集。
有限集是元素个数有限的集合，例如{1,2,3,4,5}；无限集是元素个数无限的集合，例如正整数集合。
2. 空集与非空集根据元素的存在情况，集合可以分为空集和非空集。
空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示；非空集是至少包含一个元素的集合。
3. 包含集与被包含集根据集合之间的包含关系，集合可以分为包含集和被包含集。
如果集合A中的每个元素都是集合B中的元素，则可以称集合B是集合A 的包含集，集合A是集合B的被包含集。
4. 相等集与不相等集根据集合之间的相等关系，集合可以分为相等集和不相等集。
如果两个集合中的元素完全相同，则这两个集合相等；否则，这两个集合不相等。
四、结论本文介绍了集合的表示方法和分类方式。
1.集合及其表示
集合及其表示知识要点1．集合概念（1）我们常常把能够确切指定的对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个结合的元素。
集合常用大写字母A ，B ，C ……表示，集合中的元素用小写字母a b c ⋅⋅⋅、、表示。
例如：a 是集合A 中元素，记作a A ∈，a 不是A 中元素，记作a A ∉，分别读作“a 属于A ”，“a 不属于A ”。
（2）集合的分类：有限集、无限集和空集。
空集记作∅。
（3）特殊集合的表示：自然数：N ；不包括零的自然数：N *；整数：Z ；有理数：Q ；实数：R 。
2．集合的表示法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（列举时不考虑元素的顺序）并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法。
（补充：比较适合个数较少的有限集）（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所具有的共同特性，即{}A x x P =∈，这中表示集合的方法叫做描述法。
（3）图示法：用图形围成的区域来表示集合的方法叫做集合的图示法，通常用圆及圆内部表示集合。
3．集合元素的性质：确定性、互异性、无序性。
4．集合之间的关系（1）子集及子集相关定义：对于两个集合A 和B ，如果A 中任何一个元素都属于B ，那么集合A 叫做集合B 的子集。
记作A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。
我们规定∅是任何集合的子集。
对于集合A 、B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”。
（2）相等的集合：两个集合A 、B ，如果A B ⊆且B A ⊆，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A=B 。
精选例题例1、 用适当的符号;;;;≠≠∈⊂∉=⊃填空. 3.14_______;Q {}0______0; ________;N ∅________;Z N +* 0________∅ 2;Q________;Q π {}2_______;-偶数 {}{}1________-奇数0.3_______;Q {}1________;质数{}{}21,_______21,x x k k Z t t k k Z =-∈=+∈ {}2_______20,;x x x R ∅+=∈{}{}24,_________,y y x x R z z x x R =∈=∈ 例2、用适当的方法表示下列集合：(1) 关于x 的不等式||5x <的整数的解集；(2) 所有奇数构成的集合；(3) 方程0)2)(1(22=---x x x 的解的集合；(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；(5) 函数3y x =- 的所有函数值组成的集合。
集合的概念与表示方法
集合的概念与表示方法集合是数学中一个基本概念，它是将具有共同特征的对象组合在一起形成的整体。
在实际生活中，我们经常会接触到各种各样的集合，比如家庭成员的集合、学生的集合、数字的集合等等。
本文将介绍集合的概念以及常见的表示方法。
一、集合的概念集合是由一些元素组成的整体，这些元素可以是任何事物，可以是数字、字母、符号或者其他对象。
集合中的元素没有顺序之分，每个元素只能出现一次。
集合可以用大括号{}括起来表示，元素之间用逗号隔开。
例如，集合{1, 2, 3, 4, 5}表示由数字1、2、3、4、5组成的集合。
集合的表示还可以使用描述法或特征法。
描述法是通过描述集合的元素属性或条件来表示集合。
例如，表示由奇数组成的集合可以写为{ x | x∈N, x是奇数 }，其中符号“|”表示“属于”，“∈”表示“是集合”的元素，N表示自然数集。
特征法是通过列举出集合的元素来表示集合。
例如，表示由元音字母组成的集合可以写为{ a, e, i, o, u }。
二、集合的表示方法在数学中，常见的集合表示方法包括列表法、描述法、数学公式表示法等。
1. 列表法列表法是一种简单直观的表示方法，在其中直接列举出集合的元素。
例如，表示所有人的集合可以写为{ 张三, 李四, 王五 }，表示由自然数组成的集合可以写为{ 1, 2, 3, ... }。
2. 描述法描述法是通过描述集合中元素的特征或满足的条件来表示集合。
例如，表示大于0且小于10的整数集合可以写为{ x | 0 < x < 10 }，表示由英文字母组成的集合可以写为{ x | x 是英文字母 }。
3. 数学公式表示法数学公式表示法是一种更具抽象性的表示方法，可以用数学符号和公式来表示集合。
例如，表示由数字1和2组成的集合可以写为{ x ∈N | x ≤ 2 }，表示由正整数构成的集合可以写为{ x ∈ Z+ | x > 0 }。
三、集合的运算在集合论中，还存在着一些常见的集合运算，包括并集、交集、补集和差集。
集合及其表示方法
另外，根据集合元素的类型可以把集合分成数集、点集等。
4.空集：空集不含元素。记作
5.集合的表示方法
（1）列举法：将集合中的元素一一列出（不考虑元素的顺序），注意元素之间用逗号隔开，并且写在大括号内。
例如：不等式 的正整数解的集合，可以表示成{1，2，3，4，5}。
注： 、 与 区别：它们都表示集合。但 只有一个元素0； 不含任何元素； 是以空集作为元素的集合。
例3.用适当的方法表示下列集合：
(1) 关于 的不等式 的整数的解集；
(2) 所有奇数构成的集合；
(3) 方程 的解的集合；
(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；
(5) 函数y=|x|-3 的所有函数值组成的集合。
14、集合{ }用列举法表示为_________________
(3)数轴上非常靠近原点的点；
(4)使 的值很小的 的值。
注意：元素的属性是明确的（模棱两可是不可以的）
集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件．
例2.用 或 填空：
(1) 0{0}； (2) 0 ； (3) 0 ；
(4) -1 ； (5) ； (6) 0 。
其中正确的命题的个数是（）
Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个
二、填空题
10、已知集合A={2，4， }，若 ，则x=________________
11、在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为_______________
12、方程 的解集可表示为_____________________
13、方程 的解集中含有_________个元素。
数的集合简称数集。
集合的概念、表示方法和运算
特定的一些集合的表示符号
（1）自然数集 N={0，1，2，…}
（2）整数集合 I={…-2，-1，0，1，2，…}
（3）正整数集合 I＋={1,2,3,4…} （4）有理数集合 Q={xx=Pq，p,qI}
P（{{a,{b,c}}}）＝｛，{{a,{b,c}}}｝
一、集合的概念、表示方法及集合的运算
5、注意点：
• 和
• ，
例题：A={a, {b}, c} 则a A, b A, c A {a} A, {b}A, {c} A
• A= {},则有 A, A，{ }A, {} A
作业：P86
第二篇 集 合 论
集合论是现代各科数学的基础。在数学发展 中，集合理论一方面扩充了数学研究的对象，另 一方面集合理论又为数学奠定了基础。
本章介绍集合论的基础知识如： 集合运算、性质、序偶、关系等。
第 三 章： 集合与关系
3－1、集合的概念、表示方法
1、集合定义：具有共同性质的东西汇集成的一个整体。
= E， A A＝E
A A＝
(3) 集合的补集
定理3-2.4德∙摩根律 (AB)= AB (AB)= AB
例题：求证A-B=AB 证明： A-B={xxAx B}
=AB
定理： A，B，C为三个集合，则A(B-C)=(AB)-(AC)
证明： A(B-C) = A(B C) = A B C
•定理： A B＝A B
•定理：C(AB) = (CA)(CB)
注： C (A B) ≠ (C A)(C B) C (A B) ≠ (C A) (C B)
高中数学必修一1.1 集合与集合的表示方法
0, a, a 2 3a 2 2. 已知2是集合M={ 实数 为( )
a }中的元素，则
(D)0,2,3均可
(A) 2
(B)0或3
(C) 3
3.下列四个集合中，不同于另外三个的是： A.﹛y︱y=2﹜ B. ﹛x=2﹜ C. ﹛2﹜ D. ﹛x︱x2-4x+4=0﹜
4.方程组
x y 2 x y 5
初中学习了哪些集合的实例
数集 自然数的集合,有理数的集合,不等式x-7<3的解的 集合…
点集 圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合)
线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离相等的
点的集合),等等.
班里所有的女生能不能构成一个集合？ “我们班身高在1.70米的男生”，他们能不能构成一个集合？
｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝
（注意：元素与元素之间用逗号隔开）
｛1,-2｝
例3 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x
2
x
的所有实数根组成的集合；
(3)由1~20以内的所有素数组成的集合.
解：(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
(2)B={0，1}.
在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起, 康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索， 1877
说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年 发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在 1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有 连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。 康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身 的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。 康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在 1879～1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分 为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。 他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少 的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证 明。 在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里，他证明了一集合的幂集的基 数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中 曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明， 但他始终未能给出。
第一章 集合1.1.1集合的概念
• 用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合 的办法，叫文氏图。
多用于解题些指定的对象集在一起就形成一个集合。 • 集合的表示以及元素与集合间关系表示方 法。 • 集合表示方法： 列举法、描述法、文氏图法。 D:\高一PPT\集合的表示方法.doc D:\高一PPT\集合概念与表示方法练习题.doc
如何表示一个集合呢？
1.1.2集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法
• 列举法 如果一个集合是有限集，元素又不太多，常 常把集合的所有元素都列举出来，写在话 括号“{ }”内表示这个集合。例如，由两 个元素0，1构成的集合可表示为 {0,1}. 又如，24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24构成 的集合可以表示为 {1,2,3,4,6,8,12,24}.
• 大括号内竖线左边的x表示这个集合的任意 一个元素，元素x从实数集合中取值，在竖 线集合右边写出只有集合内的元素x才具有 的性质
• 一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一 个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的 元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的 一个特征性质。于是，集合A可以用它的特征性 质p(x)描述为
例题：
• 下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所以很大的实数； （2）市四中高一（二）班的高个子同学； （3）1，1，2，3，4，5.
上面我们用自然的语言来描述集合的几个例 子，下面我们来看下集合的表示方法。
• 集合通常用英语大写字母A,B,C,...来表示，它们的元 素通常用英语小写字母a，b，c，...来表示。 • 如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作 读作“a属于A”. 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作
例题：
• 由方程 x 2 − 1 = 0 的所有解组成的集合，可 以表示为｛-1，1｝
1.1集合的概念和表示方法
1.1集合与集合的表示方法导学案学习目标重点：集合概念的形成及集合的表示方法难点：理解集合的元素的确定性和互异性，理解集合的特征性质描述法 读课本P3---P9，然后合上课本，完成学案和课后练习。
1.1.1 集合的概念 集合是什么呢？ 1，元素和集合的概念2，元素和集合的表示元素通常用小写字母a,b,c …表示；集合通常用大写字母A,B,C …表示。
如果a 是集合A 的元素，则称：a 属于集合A ，记作__________。
如果a 不是集合A 的元素，则称：a 不属于集合A ，记作__________。
3，常见数集表示非负整数集（自然数集）_____；正整数集_____； 整数集_______；有理数集______；实数集______。
4，集合元素的性质（1） 集合中元素的________性。
问题：下列元素能否构成集合①08北京奥运会的正式比赛项目； ②方程0342=+-x x 的所有实根； ③我国比较富裕的省份； ④我们班上性格开朗的同学 ⑤和π接近的所有实数； ⑥所有的质数（2） 集合中元素的________性。
（一个给定集合中元素是互不相同，没有重复的）例1， 若一个集合中只有两个元素a 和3，求a 的取值范围。
例2， 若一个集合中有三个元素：232x x x -，，,求x 的取值范围。
例3，（3） 集合中元素的________性。
（集合中的元素没有先后顺序）集合A={1,4,0,9}和集合B={4,9,1,0}的关系是______________。
5，集合的分类根据集合中元素的个数可以分两类，是_________和___________。
6，完成课本P4---P5 中的练习A 和练习B 。
（写在课本上）1.1.2 集合的表示方法如何表示一个集合？集合的表示方法有_____________，______________，_______________。
1， 列举法：把集合中的元素一一的列举出来，写在“{}”内的表示集合的方法叫列举法。
集合与集合的表示方法
集合与集合的表⽰⽅法第1章集合1.1 集合与集合的表⽰⽅法1.1.1 集合的概念⼀、概念与能⼒聚焦1、集合的概念集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些指定的且不同的对象集在⼀起就成为⼀个集合。
组成集合的对象叫元素，集合通常⽤⼤写字母A 、B 、C 、…来表⽰。
元素常⽤⼩写字母a 、b 、c 、…来表⽰。
集合是⼀个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的⼀个集合。
例题1：考察下列每组对象能否组成⼀个集合？（1）2010年上海世博会上展出的所有展馆；（2）2010年辽宁⾼考数学试卷中所有的难题；（3）清华⼤学2010级的新⽣；（4）平⾯直⾓坐标系中，第⼀象限内的⼀些点；（5）2的近似值的全体.2、元素与集合的关系元素与集合的关系有属于和不属于两种：元素a 属于集合A ，记作A a ∈；元素a 不属于集合A ，记作A a ?。
例题 2：已知321-=a ，}{Z n m n m x x A ∈+==,,3，则a 与A 之间是什么关系？3、集合中元素的特性（1）确定性：设A 是⼀个给定的集合，x 是某⼀具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有⼀种且只有⼀种成⽴。
例如}{4,3,1,0=A ,可知A A ?∈6,0。
（2）互异性：“集合中的元素必须是互异的”，就是说“对于⼀个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”。
如⽅程0)4(2=-x 的解集记为}{4，⽽不能记为}{4,4。
（3）⽆序性：集合与其中元素的排列次序⽆关，如集合}{c b a ,,与集合}{a b c ,,是同⼀个集合。
例题3：已知集合A 中含有两个元素3-a 和12-a ，若A ∈-3，试求实数a 的值。
4、集合的分类集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集：含有有限个元素的集合。
如“⽅程013=+x 的解组成的集合”，由“8,6,4,2组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此这两个集合是有限集。
集合的表示方法
集合的表⽰⽅法集合的表⽰⽅法⼀.集合的表⽰法：列举法、描述法和图⽰法列举法：将所给集合中的元素⼀⼀列举出来，写在⼤括号⾥，元素与元素之间⽤逗号分开，常⽤于表⽰有限集.描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质⽤⽂字或符号语⾔描述出来．常⽤于表⽰⽆限集.使⽤描述法时，应注意六点：①写清集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使⽤“且”，“或”；⑤所有描述的内容都要写在⼤括号内；⑥⽤于描述的语句⼒求简明、确切.图⽰法：画⼀条封闭的曲线，⽤它的内部来表⽰⼀个集合，常⽤于表⽰⼜需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可⽤图⽰法来表⽰.如：A={1，2，3，4}例1、设集合A={a，a+b, a+2b},B={a,ac,ac2} ,且A=B，求实数c值．分析：欲求c值，可列关于c的⽅程或⽅程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下⾯两种情况：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac 两种情况．解：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a+ ac2-2ac=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴c2-2c+1=0，即c=1，但 c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，此时⽆解．（2）a+b= ac2且a+2b=ac，消去b得： 2ac2-ac-a=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴2c2-c-1=0，即c=1或，但 c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，∴．点评：两集合相等的意义是两集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值时，可能产⽣与互异性相⽭盾的增解，这需要解题后进⾏检验，去伪存真．（5）常⽤数集及专⽤记号（1）⾮负整数集（或⾃然数集）N={0，1，2，……}（2）正整数集N*（或N＋）={1，2，3，……}（3）整数集Z={0，±1，±2，……}（4）有理数集Q={整数与分数}（5）实数集R={数轴上的点所对应的数}.强调：实数集不可记为{R}或{实数集}，0≠≠{} ，≠{0}，≠{空集}.强调：排除0和负数的数集也可表⽰为R*、Z*、Q*或R＋、Z＋、Q＋．⼆.基本运算1.交集（1）定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组合的集合叫A与B的交集．记作，即{，且}（2）交集的图⽰上图阴影部分表⽰集合A与B的交集．（3）交集的运算律，，，2.并集（1）定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作，即{，或}（2）并集的图⽰以上阴影部分表⽰集合A与B的并集．（3）并集的运算律，，，3、补集（1）定义：设S是⼀个集合，A是S的⼀个⼦集，由S中所有不属于A的元素组成的A=集合，叫做S中⼦集A的补集（或余集）.记作，即 CS（2）补集的图⽰4、常⽤性质A A=A，AΦ=Φ，A B=B A，A B A， A B B．A A=A，AΦ=A，A B=B A，A B A，A B B．，，例2、集合{，且}，A U，B U，且{4，5}，{1，2，3}，{6，7，8}，求集合A和B．分析：利⽤集合图⽰较为直观．解：由{4，5}，则将4，5写在中，由{1，2，3}，则将1，2，3写在集A中，由{6，7，8}，则将6，7，8写在A、B之外，由与中均⽆9，10，则9，10在B中，故A={1，2，3，4，5}，B={4，5，9，10}．5、容斥原理：有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)- ca rd(A∩B)．。
集合的概念与表示方法ppt课件
③互异性，即同一集合中的元素是互不相同的．
能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合（简称集）。
练习1
1、下列说法中，正确的有______．（填序号）
2
①单词 book 的所有字母组成的集合的元素共有 4 个；
②集合 M 中有 3 个元素 a，b，c，其中 a，b，c 是△ABC 的三
边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
5
∉
A
集合与元素的关系
集合与元素的关系：
①属于，如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作a∈A
；
②不属于，如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记
作 a∉A．
0
∉
Ф
集合的三大特性
集合三要素：
①确定性，即同一集合中的元素必须是确定的；
②无序性，即同一集合中的元素之间不考虑顺序；
4
6
习题：
能正确表示集合 M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合 N＝{x∈R|x2－x＝0}
关系的Venn 图是（B）。
总结
集合
THANK YOU
习题：
1、被 3 除余 2 的正整数集合；
解：（1）
{x|x＝3n＋2，n∈N}
2、平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
（2）
{(x，y)|xy＝0}
三、韦恩图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称
为韦恩图，一般画成椭圆或矩形．
问题3 使用韦恩图表示中0-10之间的偶数集合。
0
10
2
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
集合
集合的概念与表示方法
你眼中的
集合
你眼中的
集合
集合与集合的表示方法
1.集合及其元素: 一般地，把一些能够确定的不同的 对象看成一个整体，就说这个整体是由 这些对象的全体构成的集合. 构成集合的每个对象叫做这个 集合的元素.
Q：有理数集
R：实数集
练习3
(1)判断下列语句是否正确： X ①由1、2、4、2、1构成一个集合，这个集合有5个元素 X ②某一时刻，地球的所有卫星构成的集合是无限集
③所有三角形构成的集合是无限集 X ④1995年末世界上的人构成一个无限集 X ⑤周长为20 cm的三角形构成的集合是有限集
段AB都在平面α内，则这个集合的特征性质可以描
述为 PA = PB 于是这个集合可以表示为{点P∈平面α|PA=PB}
课堂小结
1.集合的定义及其元素 2.集合、元素的表示 3.集合与元素的关系 4.集合元素的性质 5.集合的分类 6.集合的表示方法
课后作业
教科书习题1.1-A第1、2题 习题1.1-B第2题
例题
解：（1）这个集合的一个特征性质可以描述为
绝对值等于1的实数，即|x|=1
于是这个集合可以表示为{ x | |x|=1} (2)这个集合的一个特征性质可以描述为 x﹥3,且x=2n,n∈N. 于是这个集合可以表示为{ x | x﹥3,且x=2n,n∈N} （3）设点P为线段AB的垂直平分线上任一点，点P和线
5.集合的分类:
根据含有的元素的个数分为：有限集和无限集 问题：我们看这样一个集合： { x |x2＋x＋1＝0} 它有什么特征？ 显然这个集合没有任何元素.我们把这样的集 合叫做空集，记作. 练习2：⑴ 0 ⑵{ 0 } ≠ (填∈或) (填＝或≠)
《集合与集合的表示方法》参考教案
1.1 集合与集合的表示方法（一）教学目标1．知识与技能（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合.2．过程与方法（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合．（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）．（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法.3．情感、态度与价值观（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度．（二）教学重点、难点重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概念的理解、性质的掌握．通过命题表示集合，培养运用数学符合的意识.例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集.（2）用描述法表示下列集合：①正偶数集；②{1，–3，5，–7，…，–39，41}.【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.【解析】（1）①{1，3，5，15}②{0，2，4，6，8，10}（2）①{x | x = 2n，n∈N*}②{x | x = (–1) n–1·(2n–1)，n∈N*且n≤21}.【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况.（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.例2 用列举法把下列集合表示出来：∈N}；（1）A = {x∈N |9-9x∈N | x∈N }；（2）B = {99x-（3）C = { y = y = –x2 + 6，x∈N，y∈N }；（4）D = {(x，y) | y = –x2 +6，x∈N }；（5）E = {x |pq= x ，p + q = 5，p ∈N ，q ∈N *}. 【分析】先看五个集合各自的特点：集合A 的元素是自然数x ，它必须满足条件99x -也是自然数；集合B 中的元素是自然数99x-，它必须满足条件x 也是自然数；集合C 中的元素是自然数y ，它实际上是二次函数y = – x 2 + 6 (x ∈N )的函数值；集合D 中的元素是点，这些点必须在二次函数y = – x 2 + 6 (x ∈N )的图象上；集合E 中的元素是x ，它必须满足的条件是x =pq，其中p + q = 5，且p ∈N ，q ∈N *.【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，99x-=1，3，9也是自然数. ∴ A = {0，6，9}（2）由（1）知，B = {1，3，9}. （3）由y = – x 2 + 6，x ∈N ，y ∈N 知y ≤6. ∴ x = 0，1，2时，y = 6，5，2 符合题意. ∴ C = {2，5，6}.（4）点 {x ，y }满足条件y = – x 2 + 6，x ∈N ，y ∈N ，则有：0,1,2,6,5,2.x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩∴ D = {(0，6) (1，5) (2，2) }（5）依题意知p + q = 5，p ∈N ，q ∈N *，则0,1,2,3,4,5,4,3,2, 1.p p p p p q q q q q =====⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎩⎩ x 要满足条件x =P q， ∴E = {0，14，23，32，4}.【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a 2 + 1}，求a 的值及对应的集合A . –3∈A ，可知–3是集合的一个元素，则可能a –3 = –3，或2a – 1 = –3，求出a ，再代入A ，求出集合A .【解析】由–3∈A，可知，a –3 = –3或2a–1 = –3，当a–3 = –3，即a = 0时，A = {–3，–1，1}当2a– 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}.【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A，则必有一个式子的值为–3，以此展开讨论，便可求得a.11/ 11。
集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系
集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
非负整数集（或自然数集），记作N；；N内排除0的集.正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；⑴确定性：⑵互异性：⑶无序性：1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴某班个子较高的同学⑵长寿的人⑷倒数等于它本身的数⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A ，4∉A ，等等。
练：A={2，4，8，16}，则4A ，8 A ，32 A.巩固练习分析：练1．已知集合P 的元素为21,,3m m m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。
练2下面有四个命题:①若-a ∉Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a +b 的最小值是2③集合N 中最小元素是1 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为{2,2}其中正确命题的个数是( )3求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件?4若t 1t 1+-∈{t},求t 的值.⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示2．用列举法表示下列集合：(1) 小于5的正奇数组成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。
集合的初步了解集合的概念和表示方法
集合的初步了解集合的概念和表示方法集合是数学中一个重要的概念，它是由一些特定对象组成的整体。
在集合论中，集合是由无序、互异的元素组成的。
本文将从初步了解集合的概念和表示方法两个方面进行讨论。
一、集合的概念集合是数学中一个基本的概念，它是由一些确定的对象组成的。
这些对象被称为元素，而元素的种类可以是任意的，可以是数字、字母、词语或者复杂的结构。
集合中的元素通常是无序排列的，即不考虑元素的顺序。
同时，一个集合中的元素是互异的，即集合中的元素各不相同。
集合的基本概念包括空集、有限集和无限集。
空集是不包含任何元素的集合，通常用符号∅表示。
有限集是包含有限个元素的集合，而无限集则是包含无穷个元素的集合。
二、集合的表示方法集合的表示方法有三种主要形式，包括列举法、描述法和集合运算法。
1. 列举法列举法是最简单直接的表示方法。
它通过列举集合中的元素来表示整个集合。
例如，集合A中包含元素1、2和3，可以表示为A={1, 2, 3}。
这种表示方法通常适用于元素个数较少的集合。
2. 描述法描述法是通过描述集合中元素的共同特征或满足的条件来表示集合。
例如，集合B表示所有正整数，可以表示为B={x｜x是正整数}。
这种表示方法适用于元素个数无限的集合，它能够简洁地表达集合中元素的规律。
3. 集合运算法集合运算法是通过集合之间的运算来表示新的集合。
常见的集合运算包括并集、交集、差集和补集。
并集表示包含两个集合中所有元素的集合，交集表示两个集合中共有的元素组成的集合，差集表示从一个集合中去除另一个集合中的元素得到的集合，补集表示相对于一个全集中的另一个集合的差集。
三、总结本文初步介绍了集合的概念和表示方法。
集合是由一些特定对象组成的整体，包括空集、有限集和无限集。
集合的表示方法有列举法、描述法和集合运算法，分别通过列举元素、描述共同特征和进行集合运算来表示集合。
在数学中，集合是进行许多其他数学概念和推理的基础，深入理解和掌握集合的概念与表示方法对于数学学习和应用具有重要意义。
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第1章 集合1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念一、概念与能力聚焦1、集合的概念集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些指定的且不同的对象集在一起就成为一个集合。
组成集合的对象叫元素，集合通常用大写字母A 、B 、C 、…来表示。
元素常用小写字母a 、b 、c 、…来表示。
集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的一个集合。
例题1：考察下列每组对象能否组成一个集合？（1）2010年上海世博会上展出的所有展馆；（2）2010年辽宁高考数学试卷中所有的难题；（3）清华大学2010级的新生；（4）平面直角坐标系中，第一象限内的一些点；（5）2的近似值的全体.2、元素与集合的关系元素与集合的关系有属于和不属于两种：元素a 属于集合A ，记作A a ∈；元素a 不属于集合A ，记作A a ∉。
例题 2：已知321-=a ，}{Z n m n m x x A ∈+==,,3，则a 与A 之间是什么关系？3、集合中元素的特性（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
例如}{4,3,1,0=A ,可知A A ∉∈6,0。
（2）互异性：“集合中的元素必须是互异的”，就是说“对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”。
如方程0)4(2=-x 的解集记为}{4，而不能记为}{4,4。
（3）无序性：集合与其中元素的排列次序无关，如集合}{c b a ,,与集合}{a b c ,,是同一个集合。
例题3：已知集合A 中含有两个元素3-a 和12-a ，若A ∈-3，试求实数a 的值。
4、集合的分类集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集：含有有限个元素的集合。
如“方程013=+x 的解组成的集合”，由“8,6,4,2组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此这两个集合是有限集。
无限集：含有无限个元素的集合，如“到平面上两个定点的距离相等的所有点”“所有的三角形”，组成上述集合的元素是不可数的，因此它们是无限集。
特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作φ，如}{012=+∈x R x 。
例题4：下列各组对象能否构成集合，若能构成集合，则指出它们是有限集、无限集。
还是空集。
（1）中国的所有人口组成的集合；（2）广东省2011年应届高中毕业生；（3）数轴上到原点的距离小于1的点；（4）方程02=x 的解构成的集合；（5）你们班上成绩较好的同学；（6）小于1的正整数构成的集合。
5、特定的集合的表示为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的的字母表示，下面是几种常见的数集表示方法，请牢记。
（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N .（2）非负整数集内排除0的集合，也称正整数集，记作*N 或+N .（3）全体整数的集合通常简称为整数集Z .（4）全体有理数的集合通常简称为有理数集，记作Q .（5）全体实数的集合通常简称为实数集，记作R .例题 5 ：给出下列关系：21)1(属于R ；∉2)2(Q +∉-N 3)3(；Q ∈-3)4(；φ∈0)5(,其中正确的个数为（ ）1.A2.B3.C4.D二、方法与技巧平台6、元素分析法解决集合问题，应对集合的概念有深刻理解，解题时能不能把集合问题转化为相关的数学知识是解题的关键，而集合离不开元素，所以分析元素是解决集合问题的核心。
元素分析法就是抓住元素进行分析，即元素是什么？具备哪些性质？是否满足元素的三个特性？（即确定性、互异性、无序性）例题6：（1）已知集合A 是由2-a ，a a 522+，12三个元素组成的，且A ∈-3，求a 的值。
（2）设集合}{kk k A 2,2-=，求实数k 的取值范围。
三、创新与思维拓展7、利用集合中元素的特性解决与方程有关的问题集合与方程有密切联系，利用集合中元素的特性，即元素的互异性、无序性、确定性，再结合方程的解法，可以求出集合中参数的值。
例题7：已知集合}{R a x ax R x A ∈=+-∈=,0232（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围。
速效基础演练1、给出下列四组对象，其中能构成集合的个数为（ ）（1）高一（2）班所有身高cm 180以上的同学 （2）高一（2）班所有高个子同学 （3）26个英文字母 （4）所有无理数1.A2.B3.C4.D2、给出下面几个关系式：Z Z N N Q R ∉-∉-∈∈∈∈+5,,0,0,3.0,2π其中正确关系式的个数是（ ）4.A5.B6.C7.D3、已知集合S 的三个元素c b a ,,是ABC ∆的三边长，那么ABC ∆一定不是（ ）.A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 等腰三角形4、已知集合}{2,2),2,2(--=M ,则集合M 中元素个数是（ ）2.A3.B4.C 6.D5、所给下列关系式中正确的个数是（ ）（1）R ∈π （2）Q ∉3 （3）+∈-N 1 （4）+∉-N 41.A2.B3.C4.D6、已知集合A 中只含有2,1a 两个元素，求实数a 不能取的值。
7、以方程022=++m x x 的根为元素的集合含有两个元素，求实数m 的取值范围？8、已知集合A 是由三个元素23,,02+-m m m 组成的集合，且A ∈2，求实数m 的值。
1.1.2集合的表示方法一、概念与能力聚焦1、集合的表示方法（1）列举法：就是把集合中元素一一列举出来的方法，置于大括号内。
例如，由方程42=x 的所有解组成的集合，可以表示为}{2,2-。
（2）描述法：就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
描述法有两种不同的表示形式。
形式一：将说明元素性质的一句话写在大括号内，即文字描述法。
形式二：在大括号内，首先写出集合元素的表现形式（称之为代表元素）和它的范围，再画一条竖线（或一个冒号，或一个分号），然后写上元素所满足的条件（性质），即符号描述法，其基本形式如下：{x A x ∈具有性质}p ，或{x A x :∈具有性质}p ，或{A x ∈；x 具有性质}p 。
（3）图示法（维恩图）：为了便于直观的认识集合，我们常常用平面上一条封闭曲线所围成的图形（如圆、矩形等）来表示一个集合，这就是维恩图。
例如，集合}{4,3,2,1=A ，可用下列所示几个图形来表示。
例题1：用列举法把下列集合表示出来 （1）⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈-∈=N x N x A 66； （2）⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈∈-=N x N xB 66； （3）方程组{20=+=-y x y x 的解集；（4）由),(R b a bb a a ∈+所确定的实数集合。
例题2：用特征性质描述法表示下列集合：（1）方程022=-x 的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。
例题3：用图示法表示下列集合（1）{}Nx x x ∈<<-.52； （2）24的正约数。
例题4：用列举法表示下列集合（1）{x N x ∈是15的约数}；（2）}}{{}{2.1,2,1),(∈∈y x y x ；（3）}{342),(=+=-y x y x y x ；（4）}{N n x x n ∈-=,)1(；（5）}{N y N x y x y x ∈∈=+,,1623),(；（6）{y x y x ,),(分别是4的正整数约数}。
二、方法与技巧平台2、如何使用列举法表示集合用列举法表示集合时，必须注意以下几点：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的；（3）不必考虑元素出现的先后次序；（4）集合中的元素不能重复；（5）集合中的元素可以表示任何事物；（6）一般说来，列举法适用于有限集，但对于含有较多元素的有限集，如果构成该集合的元素具有明显的规律，也可以用列举法表示，但必须把元素间的规律显示清楚后，才能用省略号表示，如}{...3,2,1=+N . 用列举法表示集合其优点是集合中的元素清晰可见，一目了然，但对于无限集合且元素的规律又不太明显时，就显得力不从心。
例题5：用描述法表示图1-1-2-4中阴影部分（含边界）的点的坐标集合。
3、如何使用描述法表示集合描述法分为文字描述和符号描述，使用文字描述的关键是用文字符号把元素所具有的属性描述出来，如{自然数}；用符号描述表示集合时应注意： （1）弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数、还是有序实数对（点）、还是集合、还是其他形式？（2）元素具有怎样的属性，当题目中用 了其它字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。
用描述法表示集合时，需要多层次描述属性时，可选用逻辑连接词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围。
描述法突出了元素所具有的属性，其中文字描述法通俗易懂；而符号描述法则简洁概括，但有点抽象，不易看出集合中到底有哪些元素。
例题6：用适当的方法表示下列集合：（1）比5大3的数；（2）方程0136422=++-+y x y x 的解集；（3）二次函数102-=x y 图像上所有点组成的集合。
4、如何使用图示法表示集合用图示法表示集合最大的特点是形象、直观，它特别适用于解决与抽象的集合（即集合由哪些元素所组成、元素具有怎样的属性不明确）有关的问题，但这通常只是作为一种解题辅助工具，一般集合的表示方法最终结果不用图示法。
例题7：用图示法表示下列集合以及它们之间的关系：{=A 四边形}{=B 平行四边形}{=C 梯形}{=D 菱形}{=E 正方形}{=F 矩形}。
三、创新与思维拓展5、集合语言的理解与转换集合语言是现代数学的基本语言，也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言。
将集合的三种语言之间进行相互转化，将集合语言转化为自然语言、几何语言，有助于弄清集合是由哪些元素所构成的，有助于提高分析和解决问题的能力。
解决集合问题的关键：弄清集合是由哪些元素所构成的。
如何弄清呢？关键在于把抽象问题具体化、形象化。
也就是把用描述法表示的集合用列举法来表示，或用图示法来表示抽象的集合，或用图形来表示集合，或用数轴来表示集合；再如，当集合的元素为有序实数对时，可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等。
例题8：下列命题（1）方程022=++-y x 的解集为}{2,2-；（2）集合}{R x x y y ∈-=,12与}{R x x y y ∈-=,1的公共元素所组成的集合是}{1,0；（3）集合}{01<-x x 与集合}{R a a x x ∈>,没有公共元素。