2018年 天津市普通高校大学生数学竞赛(经管类)试卷
2012年天津市大学数学竞赛试题(经管类) .doc
2012年天津市大学数学竞赛试题（经管类）一、填空题（共15分，每空3分）1．设1e 12sin )(1)(3--+=x x x f x f ，则极限=→)(lim 0x f n ． （ 6 ）2．设函数)(x f 连续切不等于0，又⎰+=C x x x xf arcsin d )(，则=⎰)(d x f x． （ C x +--232)1(31 ）3．半径为R 的无盖半球形容器中装满了水，然后慢慢地使其倾斜3π，则流出的水量=V ． （3833R π ） 4．设函数)(x f 可微，且1)0(0)0(='=f f ，，又设平面区域222t y x D ≤+：，则=+⎰⎰+→σd )(1lim 223Dt y x f t ． （32π ） 5．设函数)(x f 在点0=x 处二阶可导，且2cos 1)(lim0=-→xx f x ，则='')0(f ．（ 2 ） 二、单项选择题（共15分，每空3分）1．设函数)(x f 有连续导数，3)0(1)0(='=f f ，，则极限=→xx x f 21)]([lim （ ）．(D)（A ）1 （B ）e （C ）3/2e（D ）2/3e2．设函数)(x f 在点0=x 的一个邻域内有定义，且满足2)(x x f ≤，则有（ ）．(B) （A ）)(x f 在点0=x 处不一定可导 （B ）)(x f 在点0=x 处可导，且0)0(='f （C ）)(x f 在点0=x 处可导，且0)0(≠'f （D ）)(x f 在点0=x 处取得极小值 3．设连续函数)(x f y =在区间]23[--，和]32[，上的图形分别是直径为1的上半圆周和下半圆周，在区间]02[，-和]20[，上的图形分别是直径为2的下半圆周和上半圆周（如图所示），如果⎰=xt t f x G 0d )()(，那么函数)(x G 非负的范围是（ ）． (A) （A ）整个]33[，- （B ）仅为]20[]23[，， -- （C ）仅为]30[，（D ）仅为]30[]23[，， -- 4．设函数)(x f 在区间]10[，上连续，且0)(>x f ．记⎰=101d )(x x f I ，⎰=202d )(sin πx x f I ，⎰=403d )(tan πx x f I ，则（ ）． (B)（A ）321I I I >> （B ）312I I I >> （C ）132I I I >> （D ）123I I I >>5．设函数)(x f 在区间]10[，上有连续的二阶导数，3)1(1)0(='-=f f 、，并且满足⎰=101d )(x x xf ，则=)1(f （ ）． （B ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3三、设211)21(-+=n n a a （ ，，，321=n ），θcos 0=a （πθ<<0），求极限)1(4lim n nn a -∞→． （本题7分） （22θ，其中nn a 2cosθ= ）四、设函数)(x f y =由方程03223323=++-y xy x 确定，且)(x f 可导，试求)(x f 的极值． （本题7分） （极大值2)2(-=f ，无极小值）五、求不定积分⎰-+21d x x x ． （本题7分）（C x x x +-++21ln 21arctan 21）六、设)(x F 是)(x f 的一个原函数，且x x f x F F 2cos )()(1)0(==，，求积分x x f d )(10⎰．（本题7分） （ )12(2-，其中x x x F cos sin )(+= ）七、求积分x x x n n d ln 10⎰，其中n 为正整数． （本题7分）（ 1)1(!)1(++-n n n n ，其中x x x n n x x x n n nn d ln 1d ln 11010-⎰⎰+-= ）八、设曲线C 与曲线：1C 22x y =和曲线：2C 2x y =的位置如图，)(y x P ，是曲线1C 上任一点，过点P 垂直于x 轴的直线与曲线C 和2C 围成图形记为A ，过点P 垂直于y 轴的直线与曲线C 和1C 围成图形记为B ．若A 和B 分别绕y 轴旋转而得到的旋转体的体积相等，求曲线C 的方程． （本题7分） （ 24x y = ） 九、设函数)(x f 满足1)1(=f ，并且对于1≥x 有)(1)(22x f x x f +='，证明)(lim x f x +∞→存在，且41)(lim π+≤+∞→x f x ． （本题7分）（ 提示：证明)(x f 单调增加有上界，用到⎰'=-x x x f f x f 1d )()1()( ）十、设函数)(x f 在区间]0[a ，上可导，且0)0(=f ，)(x f '单调增加，证明不等式⎰⎰>aax x f a x x xf 00d )(32d )(． （本题7分） （ 提示：构造函数=)(t F ⎰⎰-tt x x f t x x xf 00d )(32d )(，用单调性 ）十一、一个半径为r （1<r ）的小球嵌入一个半径为1的大球中，二球的交线恰好是一个半径为r 的圆周（如图），问当r 为何值时，位于小球内、大球为的那部分立体体积达到最大？． （本题7分）（ 52=r ，其中⎰---=11232d )1(32r y y r V ππ ）十二、设Ω是以原点和三点)110()111()010(，，、，，、，，为顶点的四面体． （1）将三重积分⎰⎰⎰Ω++z y x z y xd d de 222表示为“先z 次y 后x ”的三次积分；（2）试证明310)d e (61d d d e 2222⎰⎰⎰⎰=Ω++x z y x x z y x ． （本题7分） （⎰⎰⎰⎰⎰⎰++Ω++=11d e d d d d d e 222222xyxz y xz y xz y x z y x ，提示：后者的证明将区域101010*≤≤≤≤≤≤Ωz y x ，，：分成6个四面体，由对换性得⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω++Ω++=*222222d d de 61d d d e z y x z y x z y x z y x）2012年天津一中高考语文第一次模拟试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间150分钟。
天津市历届大学生数学竞赛试题
2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横杠上面。
）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=，，；，0cos 01e )(22x x x a x xx f x 在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。
2. 设函数y = y (x ) 由方程0)cos(e=-+xy yx 所确定，则==0d x y x d - 。
3. 由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =1237。
4. 设E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则⎰=Ex x x d sin cos 38 。
5．设L 是顺时针方向的椭圆1422=+y x ，其周长为l ，则()=++⎰L s y x xy d 422 4l 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 若0)(lim 0u x x x =→ϕ且A u f =→)(lim 0u u ，则（ D ）（A ） )]([lim 0x f x x ϕ→存在； （B ） A x f x x =→)]([lim 0ϕ（C ） )]([lim 0x f x x ϕ→不存在； （D ） A 、B 、C 均不正确。
2. 设⎰=xx x x f sin 02d )sin()(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，（ A ）（A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小； （B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷小；（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无穷小。
3. 设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =)0('，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在x = 1处（ D ）（A ）不可导； （B ）可导，且a f =')1(； （C ）可导，且b f =')1(； （D ）可导，且ab f =')1(。
天津市高等数学竞赛试题及答案_4套(05~08)
2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横线上面。
） 1．=+++-++∞→xx x x x sin 114lim22x 3 。
2．设函数)(x y y =由方程xyy x arctan22e =+所确定，则曲线)(x y y =在点)0,1(处的法线方程为01=-+y x 。
3．设函数)(x f 连续，则=-⎰xt t x tf x 022d )(d d )(2x xf 。
4．设函数f 和g 都可微，()x,xy f u =，()xy x g v +=，则=∂∂⋅∂∂xv x u ()g yf f y '⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+211 。
5．=-+⎰-21212d 1arcsin sin x x xx x π631-。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1． 函数)(x f 在闭区间[1,2]上具有二阶导数，0)2()1(==f f ，f(x)x x F 2)1()(-=，则)(x F ''在开区间(1,2)内 ( B ) （A ） 没有零点； （B ）至少有一个零点；（C ） 恰有两个零点； （D ）有且仅有一个零点。
2． 设函数)(x f 与)(x g 在开区间(a ,b )内可导，考虑如下的两个命题， ⑴ 若)()(x g x f >，则)()(x g x f '>'； ⑵ 若)()(x g x f '>'，则)()(x g x f >。
则（ A ）（A ）两个命题均不正确； （B ）两个命题均正确；（C ）命题⑴正确，命题⑵不正确； （D ）命题⑴不正确，命题⑵正确。
3． 设常数0>δ，在开区间()δδ,-内，恒有0)(，)(2>''≤x f x x f ，记⎰-=δδx x f I d )(，则（ C ）(A ) I < 0； (B ) I = 0； (C ) I > 0； (D ) I 非零，且其符号不确定。
2017天津市大学数学竞赛试题解答(经管类)
)1en +++12121211nnnne e ee e e en nn n n n+++++≤+++≤++++1111110()limlim (1)(1)t t t nn n t n t nee et e e e n e +=+→∞→+++--==--0(1)lim 1t t te e e t→+-==-- 12lim111nnn e n e e ee n n→∞+++++==-+两边夹法则，即得. ln(1)1cos x x+=- 2 .2111cos ),024x x x -→（ 200sin ln(1)4lim 4lim x x x x x→→-+==2(1)21n n -+++2(1)2)(21n x x x n -++++()0(n n f x o x n +++（）！(50)0=49f （）50！250!=49⋅）. =⎰-0()xtf t dt显然()xf t dt ⎰为T 周期函数⇔()=0Tf t dt ⎰，故选（D ）.2. 设函数()y f x =满足方程()(1)210()()'()()0n n n ya x y a x y a x y a x -++++=，若1)000'()=()=()0n f x f x f x -''==（，10000()(()V a x f x a x =+）, 则正确的是（ ）（A ）若n 为奇数且0V ≠，则0x 点为极值点; （B ）若n 为奇数且0V =，则0x 点为极小点； （C ）若n 为偶数且0V ≠，则0x 点为极值点; （D ）若n 为偶数且0V >，则0x 点为极小值点. 解:选（C ）.由条件可得：当n 为偶数，且()0()V 0n f x =-≠时，()f x 在0x 点取得极值，特别地，()0()V 0n fx =-<，()f x 在0x 点取得极大值.3. 设()f x 在[0,)+∞上连续，且单调非增，对0b a >>，则一定有（ ）(A)00()()baa f x dxb f x dx ≥⎰⎰(C)0()()baaf x dx b f x dx ≤⎰⎰(B) 00()()baa f x dxb f x dx >⎰⎰(D) 0()()baaf x dx b f x dx <⎰⎰解：选（C ）设0()(),0xf x dx F x x x=>⎰.因为()f x 在[0,)+∞上连续且单调非增,则由积分中值定理，有02()()()()()0,(0,)xxf x f x dxf x f F x x xxξξ--'==≤∈⎰. 当0b a >>时，()()F a F b ≥,即0()()ba af x dx b f x dx ≤⎰⎰，故（C ）成立.4. 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上可导，且()()0f a f b <，'()'()0f a f b <，则（A ）存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；不一定存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （B ）不一定存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （C ）不存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （D ）存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=.解：选（D ）由连续函数的零点定理以及导函数的零点定理即得.5. 设210sin x I dx xπ=⎰，220sin xI dx x π=⎰，则正确的是（ ）(A) 121I I >> ； （B ）211I I >>；（C ）211I I >>；（D ）121I I >>. 解： 选（B ）显然当(0,)2x π∈时，2sin x x x π<<, 2sin 1xx π<<，210sin 1x I dx xπ=>⎰sin ,x x <则22sin x x <，从而sin sin x xx x<，则221200sin sin x x I dx I dx x xππ=<=⎰⎰，即有211I I >>，选（B)三. (6分) 求极限0arcsin(arcsin )arctan(arctan )limarcsin arctan x x x x x→--.解：331arcsin ()6x x x o x =++ ，331arctan ()3x x x o x =-+ 331arcsin(arcsin )()3x x x o x =++， 332arctan(arctan )()3x x x o x =-+ （4分）330033arcsin(arcsin )arctan(arctan )()lim lim 1arcsin arctan ()2x x x x x o x x x x o x →→-+=-+=2 （6分） 四. (6分)求常数,a b 之值，使得函数cos , 0()12(1)lim (1cos cos cos ),0n ax b x x f x x x n xnx x nn n n →∞+≤⎧⎪=-⎨++++->⎪⎩在=0x 处可导. 解：因为12(1)lim(1cos cos cos)n x xn xnx n n nn→∞-++++- 11001sin =lim cos()cos()n n i i xx x tx dt x x nn x -→∞=-=-=-∑⎰ (2分)此时cos , 0()sin ,0ax b x x f x x x x x+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩.函数()f x 在0x =处连续，则有1b =.。
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理科数学试题及详解
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高.棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R A B （）(A){01}x x <≤(B){01}x x << (C){12}x x ≤<(D){02}x x <<1．【答案】B【解析】由题意可得{}1Bx x =<R ，结合交集的定义可得(){}01A B x =<<R ，故选B ．(2)设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩则目标函数35z x y =+的最大值为（）(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D)452．【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：51x y x y +=-+=⎧⎨⎩，可得点A 的坐标为()2,3A ，据此可知目标函数的最大值为max 35325321z x y =+=⨯+⨯=，故选C ．(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)43．【答案】B【解析】结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：20N =，2i =，0T =， 20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =，故选B ．(4)设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的（）(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 4．【答案】A【解析】绝对值不等式111110122222x x x -<⇔-<-<⇔<<， 由311x x <⇔<，据此可知1122x -<是31x <的充分而不必要条件．故选A ．(5)已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） (A) a b c >> (B) b a c >>(C)c b a >>(D)c a b >>5．【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：2log e 1a =>，()21ln 20,1log e b ==∈，12221log log 3o 3e l g c ==>， 据此可得c a b >>，故选D ．(6)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 (A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减(C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减6．【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：sin 2sin210ππ5y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则函数的单调递增区间满足：()2π22π2ππ2k x k k -≤≤+∈Z ， 即()ππ4π4πk x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的单调递减区间满足：()3π2π22π2π2k x k k +≤≤+∈Z ，即()3πππ4π4k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A ．(7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为（）(A)221412x y -=(B)221124x y -= (C)22139x y -=(D)22193x y -= 7．【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为()(),00F c c >，则A B x x c ==， 由22221c y a b -=可得2b y a =±，不妨设2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c +===，则3b =，29b =，双曲线的离心率为2c e a ==，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=，故选C ．(8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则⋅AE BE 的最小值为（） (A)2116 (B) 32 (C) 2516(D) 38．【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则10,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎝⎭，30,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点E 在CD 上，则()01DE DC λλ=≤≤，设(),E x y ，则：32x y λ⎛⎫⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即32x y λ⎧⎪=⎨=⎪⎪⎪⎩，据此可得32E λ⎫⎪⎪⎝⎭，且331222AE λ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，3322BE λ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，由数量积的坐标运算法则可得：33312222AE BE λλ⎛⎛⎫⋅=-+⨯+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 整理可得：()()23422014AE BE λλλ⋅=-+≤≤，结合二次函数的性质可知，当14λ=时，AE BE ⋅取得最小值2116，故选A ．第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2001-2013天津市大学数学竞赛试题解(经管类)
2001-2013年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类）2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (1)2002年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (7)2003年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (13)2004年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (20)2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (28)2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (33)2007年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (42)2008年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (48)2009年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (55)2010年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (61)2011年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (66)2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横杠上面。
）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=，，；，0cos 01)(22x x x a x xe xf x 在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。
2. 设函数y = y (x ) 由方程0)cos(e =-+xy y x 所确定，则==0d x y x d - 。
3. 由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =1237。
4. 设E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则⎰=Edx x x sin cos 38。
5．已知()yxy z +=1，则=∂∂y z ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++xy xy xy xy y 11ln 1 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
2021年天津市大学数学竞赛试题
2021年天津市大学数学竞赛试题2021年天津市大学数学竞赛试题（经济管理类）测试时间：150分一、填空：（本题15分，每空3分）1、集合函数sinxf(x)??0sin(at2)dt,g(x)?x3?x4,且当x?0时，f(x)与g(x)是等价无又穷又小，然后是A2，3设函数_______.y?x2x在x?x0点取得极小值，则x0?______.1dx？________________。
2x（x？1）？4.对数螺线?设函数z?e?在点(?,?)?(e2,)处切线的直角坐标方程为______.22x?3z?5、Z（x，y）由方程2Y确定？ZEZz____;。
下定决心了，那么3？十、Y II。
多项选择题（本题15分，每个子题3分）1、设函数f(x)连续，则下列函数中必为偶函数的是（）（a）x0t[f(t)f(t)]dt;(b)0x0t[f（t）~f（？t）]dt；(c)x0f（t）dt；（d）2?x[f(t)]2dt.2.让函数f（x）有一阶导数，下面的结论是正确的（）（a）如果f（x）只有一个零，那么f？（x）必须至少有两个零；（b）如果f？（x）如果至少有一个零点，f（x）必须至少有两个零点；（c）如果f（x）没有零点，那么f？（x）至少一个零点；（d）如果f？（x）如果没有零点，那么f（x）最多有一个零点3、设函数f(x)在区间(0,??)具有二阶导数，满足f(0)?0,f??(x)?0,又0?a?b,则当a?x?b时恒有（）（a） af（x）？xf（a）；（b）男朋友（x）？xf（b）；（c） xf（x）？bf（b）；（d） xf（x）？AF（a）。
4、考虑点（x0，y0）上二元函数f（x，y）的以下四个性质：①连续；②可微；③fx?(x0,y0)与fy?(x0,y0)存在；④fx?(x,y与.)fy?(x,y连续)若用“p?q”表示可由性质p推出性质q，则有（）（a）②? ③? ①；（b）④? ②? ①；（c）②? ④? ①；（d）④? ③? ② . 5.设定D？{（x，y）x？A，y？A}，常数A？那么二重积分呢？？（ed？sinx？e？siny）d？值（）(a)为正；(b)为零；(c)为负；(d)当??0时为正，当??0时为负.三、已知曲线y?f(x)与曲线YArctanx0edt在点（0,0）处有相同的切线，写出切线方程并找到t22limnf().（本题6分）极限n??n?2四、设f?(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(0)?1，计算?2?[f(cosx)cosx?f?(cosx)sinx]dx.（本题6（2分）)（本题7分）五、设f(x)?xsin2x,求f(n)(0)(n?3.六.将0设为2？十、1，f（x）？X（1？X）和f（X？1）？AF（x），试着确定常数a 的值，使f（x）在x中？0点钟2可导，并求此导数.（本题7分）七、证明：当x?2时，(x?2)ex?22?xex?2e?2?0.（本题7分）八、让f（x，y）？麦克斯{x，y}，d？{（x，y）0？x？1，0？y？1}，计算I？Ddf （x，y）y？x2d？。
2018年普通高等学校招生统一考试理科数学真题及参考答案(天津卷)
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试卷（理工类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+ .·如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B = .·棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R I A B ð (A) {01}x x <≤(B) {01}x x << (C) {12}x x ≤<(D) {02}x x <<(2)设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为 (A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(4)设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 (A) a b c >> (B) b a c >>(C) c b a >>(D) c a b >>(6)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数(A)在区间35[,]44ππ上单调递增(B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减 (7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为 (A)221412x y -=(B)221124x y -= (C)22139x y -=(D) 22193x y -= (8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uu rAE BE 的最小值为(A)2116(B)32(C)2516(D) 3第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学理
15.在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bsinA=acos(B(Ⅰ)求角 B 的大小； (Ⅱ)设 a=2，c=3，求 b 和 sin(2A-B)的值. 解析：(Ⅰ)由正弦定理得
b sin A a sin B
6
).
，与 bsinA=acos(B
6
6
).由此能求出 B.
6
)，
6 3 2 1 2
即 sin B cos ( B
6
) cos B cos
si n B sin
cos B
sin B ，
∴tanB= 3 ，又 B∈(0，π )，∴B= (Ⅱ)在△ABC 中，a=2，c=3，B=
3
3
.
，
6
由余弦定理得 b= a c 2 ac cos B
系 c＞a＞b. 答案：D
5
6.将函数 y=sin(2x+ A.在区间[ B.在区间[
)的图象向右平移
10
个单位长度，所得图象对应的函数(
)
3 5 ， ]上单调递增 4 4 3
4 5 3 C.在区间[ ， ]上单调递增 4 2 3
，π ]上单调递减
D.在区间[
2
，2π ]上单调递减
x y 5 2 x y 4 2.设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 z=3x+5y 的最大值为( x y 1 y 0，
)
A.6 B.19 C.21 D.45
x y 5 x y 5， 2 x y 4 解析： 由变量 x， y 满足约束条件 得如图所示的可行域， 由 解得 A(2， x y 1， x y 1 y 0，
2012年天津市大学数学竞赛试题(经管类) .doc
2012年天津市大学数学竞赛试题（经管类）一、填空题（共15分，每空3分）1．设1e 12sin )(1)(3--+=x x x f x f ，则极限=→)(lim 0x f n ． （ 6 ）2．设函数)(x f 连续切不等于0，又⎰+=C x x x xf arcsin d )(，则=⎰)(d x f x． （ C x +--232)1(31 ）3．半径为R 的无盖半球形容器中装满了水，然后慢慢地使其倾斜3π，则流出的水量=V ． （3833R π ） 4．设函数)(x f 可微，且1)0(0)0(='=f f ，，又设平面区域222t y x D ≤+：，则=+⎰⎰+→σd )(1lim 223Dt y x f t ． （32π ） 5．设函数)(x f 在点0=x 处二阶可导，且2cos 1)(lim0=-→xx f x ，则='')0(f ．（ 2 ） 二、单项选择题（共15分，每空3分）1．设函数)(x f 有连续导数，3)0(1)0(='=f f ，，则极限=→xx x f 21)]([lim （ ）．(D)（A ）1 （B ）e （C ）3/2e（D ）2/3e2．设函数)(x f 在点0=x 的一个邻域内有定义，且满足2)(x x f ≤，则有（ ）．(B) （A ）)(x f 在点0=x 处不一定可导 （B ）)(x f 在点0=x 处可导，且0)0(='f （C ）)(x f 在点0=x 处可导，且0)0(≠'f （D ）)(x f 在点0=x 处取得极小值 3．设连续函数)(x f y =在区间]23[--，和]32[，上的图形分别是直径为1的上半圆周和下半圆周，在区间]02[，-和]20[，上的图形分别是直径为2的下半圆周和上半圆周（如图所示），如果⎰=xt t f x G 0d )()(，那么函数)(x G 非负的范围是（ ）． (A) （A ）整个]33[，- （B ）仅为]20[]23[，，Y -- （C ）仅为]30[，（D ）仅为]30[]23[，，Y -- 4．设函数)(x f 在区间]10[，上连续，且0)(>x f ．记⎰=101d )(x x f I ，⎰=202d )(sin πx x f I ，⎰=403d )(tan πx x f I ，则（ ）． (B)（A ）321I I I >> （B ）312I I I >> （C ）132I I I >> （D ）123I I I >>5．设函数)(x f 在区间]10[，上有连续的二阶导数，3)1(1)0(='-=f f 、，并且满足⎰=101d )(x x xf ，则=)1(f （ ）． （B ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3三、设211)21(-+=n n a a （Λ，，，321=n ），θcos 0=a （πθ<<0），求极限)1(4lim n nn a -∞→． （本题7分） （22θ，其中nn a 2cosθ= ）四、设函数)(x f y =由方程03223323=++-y xy x 确定，且)(x f 可导，试求)(x f 的极值． （本题7分） （极大值2)2(-=f ，无极小值）五、求不定积分⎰-+21d x x x ． （本题7分）（C x x x +-++21ln 21arctan 21）六、设)(x F 是)(x f 的一个原函数，且x x f x F F 2cos )()(1)0(==，，求积分x x f d )(10⎰．（本题7分） （ )12(2-，其中x x x F cos sin )(+= ）七、求积分x x x n n d ln 10⎰，其中n 为正整数． （本题7分）（ 1)1(!)1(++-n n n n ，其中x x x n n x x x n n nn d ln 1d ln 11010-⎰⎰+-= ）八、设曲线C 与曲线：1C 22x y =和曲线：2C 2x y =的位置如图，)(y x P ，是曲线1C 上任一点，过点P 垂直于x 轴的直线与曲线C 和2C 围成图形记为A ，过点P 垂直于y 轴的直线与曲线C 和1C 围成图形记为B ．若A 和B 分别绕y 轴旋转而得到的旋转体的体积相等，求曲线C 的方程． （本题7分） （ 24x y = ） 九、设函数)(x f 满足1)1(=f ，并且对于1≥x 有)(1)(22x f x x f +='，证明)(lim x f x +∞→存在，且41)(lim π+≤+∞→x f x ． （本题7分）（ 提示：证明)(x f 单调增加有上界，用到⎰'=-x x x f f x f 1d )()1()( ）十、设函数)(x f 在区间]0[a ，上可导，且0)0(=f ，)(x f '单调增加，证明不等式⎰⎰>aax x f a x x xf 00d )(32d )(． （本题7分） （ 提示：构造函数=)(t F ⎰⎰-tt x x f t x x xf 00d )(32d )(，用单调性 ）十一、一个半径为r （1<r ）的小球嵌入一个半径为1的大球中，二球的交线恰好是一个半径为r 的圆周（如图），问当r 为何值时，位于小球内、大球为的那部分立体体积达到最大？． （本题7分）（ 52=r ，其中⎰---=11232d )1(32r y y r V ππ ）十二、设Ω是以原点和三点)110()111()010(，，、，，、，，为顶点的四面体． （1）将三重积分⎰⎰⎰Ω++z y x z y xd d de 222表示为“先z 次y 后x ”的三次积分；（2）试证明310)d e (61d d d e 2222⎰⎰⎰⎰=Ω++x z y x x z y x ． （本题7分） （⎰⎰⎰⎰⎰⎰++Ω++=11d e d d d d d e 222222xyxz y xz y xz y x z y x ，提示：后者的证明将区域101010*≤≤≤≤≤≤Ωz y x ，，：分成6个四面体，由对换性得⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω++Ω++=*222222d d de 61d d d e z y x z y x z y x z y x）。
2015天津市大学数学竞赛试题及答案(经管类)
一、填空题（本题 15 分，每小题 3 分）
1、lim x0
x et2 dt 2
0
x te2t2 dt
0
.
解：lim x0
x et2 dt 2
2
0
x te2t2 dt
lim x0
0
x et2 dt
x
t t dt
(x 2). （1）证明： f (x) 8
2
3
（2）求曲线 y f (x) 与 x 轴所围成的封闭图形的面积。
(x 2) ；
（1）证明：由于 f (x) x x ，可知 f (x) 在区间2, ) 有唯一的驻点 x 0 。
当 x (2, 0) 时， f (x) 0 ；当 x (0, ) 时， f (x) 0 。因此 f (x) 在 x 0 取得最小
2
2
3
所围成的封闭图形的面积 A 2 f (x) dx 2 0 (x3 8)dx 8。
2
3 2
解法 1
直接求出
f
(
x)
1 3
(
x3
8),
1 (x3
8),
3
2 x 0,
可知 f (x) x t t dt 在区间[2, 2]
2
3
四、（6 分）设函数 y (ex 1)2 8(ex 1) 。（1）求此函数得增减区间和最值；（2）求此
函数得凹凸区间。
解：（1）此函数在 (, ) 上有定义，
y
2e2 x
2ex
2018天津市数学竞赛真题
n!1
Á
1
2 2n =
lim
11
(
1 2
)n
22
1
1 2
= 2:
n!1
天津大学北洋数学研究社命制
第3页 共7页
【解析】由三角函数的性质易知
ˆ2
cos xdx = 0;
ˆ
0 2
ˆ
x sin xdx =
0
ˆ0
ˆ2 x sin xdx +
ˆ
x sin xdx
= x sin xdx
(t + ) sin t dt
y Á2
=
1
q a2
+
(x2
+
y2);
@x
@y
a
aa
积分区域为双纽线 r2 = a2 sin 2' 所围成的闭曲线, 于是利用对称性可求得要求的面积为
“ S=
1
q a2
+
(x2
+
y2)dxdy
=
4
ˆ
4
ˆ d'
apsin 2'
r
p a2
+ r2dr
a
0
0
a
D
=
4
ˆ
4
h a3(1
+
sin
2'
)
3 2
i a3 d'
=
4a2
ˆ
4
(1
+
sin
2'
)
3 2
d'
a2
3a 0
30
3
又有
ˆ
ˆ
2010天津市高等数学竞赛真题答案经管类
津 2010.05.考试时间：150分钟二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1．设函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=.x,xx,x,xxxfgcos1其中()x g是有界函数，则()x f在0=x点处（）。
（A）极限不存在；（B）极限存在，但不连续；（C）连续但不可导；（D）可导。
2．设函数()x f连续，则()=-⎰x ttxftx0223ddd（）。
（A）()()⎰+223dxxfxuufx；（B）()03fx；（C）()23xfx；（D）()⎰20dxuufx。
3．下列命题：⑴设aunn=∞→lim，bvnn=∞→lim，且ba>，则必有),2,1n(=>nnvu。
⑵设),2,1n(=>nnvu，且aunn=∞→lim，bvnn=∞→lim，则必有ba>。
⑶设),2,1n(=≤≤nnnvxu，且()0lim=-∞→nnnvu，则nnx∞→lim必存在。
正确的个数为（）。
（A）0个；（B）1个；（C）2个；（D）3个。
4．设周期函数()x f可导，周期为3，()11=f且()()1211lim1-=--→xxffx，则曲线()x fy=在点()()44,f处的切线方程为（）。
（A）3=--yx；（B）052=--yx；（C）22=--yx；（D）092=-+yx。
5．设函数()()x f-xf=，若在区间()+∞,0内()0<'xf，()0>''xf，则()x f在区间()0,∞-内（）。
（A）()0>'xf，()0<''xf；（B）()0>'xf，()0>''xf；()0<'xf()0>''xf()0<'xf()0<''xf三、计算⎥⎦⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→61231e 2lim n n n n n n 。
2018天津竞赛试题参考答案(理工)
f
(
x)dx
2
b
a
b a
f
2 (x)dx
证明：由于
b a
f
(
x)dx
2
f (x) f
[ a ,b ][ a ,b ]
( y)dxdy
1
f 2(x)
2 [a,b][a,b]
f
2 ( y)
dxdy
由对称性，
f 2 (x) f 2 ( y) dxdy 2 f 2 (x)dxdy
x2
x2 x 2 x2
处不连续，且在 x 2 处连续，且 x 2 时， f (x) x 2 。
2.则关于函数 y 2x x2 极值的说法，下列说法正确的是( A ) (A) x 1 时， y 取极大值。 (B) x 1 时， y 取极小值。
(C) x 0 时， y 取极大值。 (D) x 2 时， y 取极小值。
x sin xdx 0
2
cos xdx
0
0
2 x2 cos xdx x2 sin x 2
2
2
x sin xdx
0
0
0
2
x
cos
x
2 0
2 0
cos
xdx
4
三. (本题
6
分)
f
(x)
为在闭区间 a,b内的连续函数，证
b a
可得
x
am mn
p
,
y
an mn
p
,z
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x 1,
1
,
x 1 1, x 1 1,
则
3
f
(x)
g(x)
dx
请
__________
3
将
最
Page 1
得分 评卷人
复核人
二. 选择题（本题 15 分，每小题 3 分. 每个小题的四个选 项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在 括号内. 选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分）
津 2018. 06.
考试时间： 150 分钟
姓名
装
类别
订
线 准考证号
内
不
准
答
题
经管类
2018 年天津市大学数学竞赛试题 （经管类）
本试卷共 12 页，十二大题，考试时间为 150 分钟，满分 100 分.
总分
题号 一
二
三
四
五
核分人 复查人
题 分 15
15
6
6
Hale Waihona Puke 6得分题号 六
七
八
九
十 十一 十二
题分 7
经管类
Page ３
得分 评卷人 复核人
四.（本题6分）
证明不等式
63
1
1
0 1+x2 8x4 1 x4
dx 4
经管类
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得分 评卷人 复核人
五.（本题 6 分）
计算
1
k2 k !(k 2)
装 订 线 内 不 准 答 题
经管类
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得分 评卷人 复核人
六.（本题 7 分）
3.
当x 0时， x (x t)sin t2dt 与 c4x4 c3x3 c2x2 c1x
0
12
是等价无穷小量，则正确的是
( A) c4 0, c3 0, c2 0, c1 1; (B) c4 0, c3 0, c2 1, c1 0; (C) c4 0, c3 1, c2 0, c1 0; (D) c4 1, c3 0, c2 0, c1 0;
5.
设D (x, y) | 0
x
,0 2
y
2
，则
D
cos(x
y)dxdy
( A) 2 2 cos( x y)dy dx
0 0
x
(B) 2 cos( x y)dy dx 2 2 cos( x y)dy dx
00
0 x
x
(C )
2 2 0 0
cos( x y)dy dx
2 0
2
x
cos(
x
2
y)dy
dx
x
(D ) 2 cos( x y)dy dx 2 2 cos( x y)dy dx
00
0 x
经管类
Page 2
得分 评卷人 复核人
三.（本题 6 分）求极限
计算
3dx
x16 1 x6
装 订 线 内 不 准 答 题
1.
设f
(
x)
x2 0
若x为有理数， g(x) f x 1 x2 若x为无理数，
,
则g (x)所有的连续点为
( A) 0; ( B ) 0， 1， 1； (C ) 0， 1； ( D ) 1， 1.
2. 二阶连续可导的函数f (x)在x0取得极大值的充分条件是
( A) f '(x0 ) 0, f ''(x0 ) 0; (B) f '(x0 ) 0, f ''(x0) 0; (C) f '(x0 ) 0, f ''(x0 ) 0; (D) f '(x0 ) 0, f (x0 ) 0.
则 xf (1 x2 )dx _____分_______
，
4. 设f (x, y)具有连续的偏导数, g(x)和h(x)
每
都连续可导，z
f
xy小, g
题
y x
h(xy) ,
则 x z y z ______3_____________ x y
分
5.
f
(x)
x
,
1,
x x
1, . g(x)
求曲面(x y)2 (x y)2 z2 1上到平面 x y z 5 之间距离最短和最大的点的坐 标和相应的距离。
经管类
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得分 评卷人 复核人
七.（本题 7 分）
证明不等式 ex ex 2 x2.
装 订 线 内 不 准 答 题
经管类
Page ７
得分 评卷人 复核人
八.（本题 7 分）
7
7
7
8
8
8
得分
得分 评卷人 复核人
一、填一空. 题（本题 15 分，每小题 3 分. 请 将最终结填果填在相应的横线上面.）
空
题
1
1.
设1
x
2，
则
lim
n
1
（xn
本
x2 2
n
2n
.
2. lim 1+xsin x cos x 题______ x0 ln(1 sin x tan x)
1
3. 已知 f (x)dx x2 C, 5
设 f ( x )在 区 间[1, 5]连 续 可 导 ， 且 f (1) f (5) 0 ， f '( x ) 2 f ( x ) , 证 明 方 程 f ( x ) 0在[1, 5]有 且 仅 有 一个根。
经管类
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九.（本题 7 分）
计算 5
ln(12 x)
4. 设f (x)在[0,)有一阶连续的导数，则下面说法正确的是
( A) 若f '( x)变号，则f ( x)也变号； (B) 若f '( x)不变号，则f ( x)也不变号； (C ) 若 lim f '( x)=0，则f ( x)在[0, )有界；
x+
(D) 若 lim f '( x)=1，则f ( x)在[0, )无界。 x+
dx
3 ln(12 x) ln(4 x)
装 订 线 内 不 准 答 题
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十. （本题 8 分）
曲线y x2 1 上一点A3,10的切线L与该曲线
及 y 坐标轴围成平面图形D ,求D绕x轴旋转所得 到的体积。
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十一.（本题 8 分）
设函数 y(x) 在[0,)连续可导，且满足
y(x)
x 0
y(t)
1
1 t2
t 2018
1dt
0，求 lim x
y(x)
装 订 线 内 不 准 答 题
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十二 .（本题 8 分）
某公司第 n 年获得的利润 xn 满足 x1 2, x2 3,
xn2
xn1xn (n 1, 2,3,...),
求
lim
n
xn
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