数学高一必修四第一章三角函数知识整理

高一必修四：三角函数

重点技巧： 1.整体原则 2.公式逆用 3.逆向变化 4.有关变形

一 任意角的概念与弧度制 （一）角的概念的推广 1、角概念的推广：

在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。 2、特殊命名的角的定义：

(1)正角，负角，零角 ：见上文。

(2)象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等

(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角

终边在x 轴上的角的集合： {}

Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合： {}

Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}

Z k k ∈⨯=,90| ββ (4)终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+ (5)与α终边反向的角： (21)x k απ=++

终边在直线y =x 上的角的集合：{}

Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在直线x y -=上的角的集合：{}

Z k k ∈-⨯=,45180| ββ

(6)若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 (7)成特殊关系的两角

若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 注：(1)角的集合表示形式不唯一.

(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.

3、本节主要题型：

1.表示终边位于指定区间的角.

例1:写出在720-︒到720︒之间与1050-︒的终边相同的角. 例2:若α是第二象限的角,则2,

2

α

α是第几象限的角?写出它们的一般表达形式.

例3:①写出终边在y 轴上的集合.

②写出终边和函数y x =-的图像重合,试写出角α 的集合. ③α在第二象限角,试确定2,

,23

αα

α所在的象限. ④θ角终边与168︒角终边相同,求在[0,360)︒︒内与

3

θ

终边相同的角.

（二）弧度制

1、弧度制的定义：l R

α=

2、角度与弧度的换算公式：

360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 一个式子中不能角度,弧度混用. 3、题型

（1）角度与弧度的互化 例:74315,330,,63

ππ︒︒ （2）L R α=

，2

11,22

l r s lr r αα===的应用问题 例1:已知扇形周长10cm ,面积2

4cm ,求中心角.

例2:已知扇形弧度数为72︒,半径等于20cm ,求扇形的面积.

例3:已知扇形周长40cm ,半径和圆心角取多大时,面积最大. 例4:121237

570,750,,53

ααβπβπ=-︒=︒==- a.求出12,αα弧度,象限.

b.12,ββ用角度表示出,并在720~0-︒︒之间找出，他们有相同终边的所有角. 二 任意角三角函数 （一）三角函数的定义 1、任意角的三角函数定义

正弦r y =

αsin ，余弦r x

=αcos ，正切x

y =αtan

2、三角函数的定义域：

三角函数 定义域

=)(x f sin x R =)(x f cos x R

=)(x f tan x

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且

（二）单位圆与三角函数线

1、单位圆的三角函数线定义

如图(1)PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线。OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线。 如图(2)AT 表示α角的正切值，叫做正切线。

注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负

（三）同角三角函数的基本关系式

同角三角函数关系式

(1) 商数关系：

αα

α

tan cos sin = (2) 平方关系：1cos sin 2

2

=+αα

（四）诱导公式(重点)（奇变偶不变，符号看象限）

1.x x k x x k x x k tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+=+πππ222

2.x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=-

3.x

x x x x

x tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=-πππ222

4..x

x x

x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+πππ

5.x

x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=-πππ

α

απsin )21

cos(-=+α

απcos )21

sin(=+α

απcot )2

1

tan(-=+α

απsin )21

cos(=-α

απcos )21

sin(=-α

απcot )21

tan(=-