q-正交多项式及相关问题的研究
多项式空间的标准正交基
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正交多项式
正交多项式在数学中，正交多项式是一类特殊的多项式，其在一定的权重函数或内积定义下具有正交性质。
正交多项式在数学分析、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及常见的几种正交多项式。
定义给定定义在区间[a, b]上的一个非负的实数函数w(x)（权重函数），称一个多项式序列{φn(x)}n=0∞ 为正交多项式序列，如果满足以下条件：1.正交性：对于不同的i和j，若i≠j，则两个多项式的内积为0，即∫abφi(x)φj(x)w(x)dx = 0；2.单位性：多项式的平方在区间上的加权累积为1，即∫abφn2(x)w(x)dx = 1。
性质正交多项式具有许多重要的性质，如：1.正交性：正交多项式之间的内积为0，这个性质在数值计算和函数逼近中非常有用；2.生成公式：许多正交多项式都可以通过递推关系生成。
例如，勒让德多项式可通过勒让德微分方程的解得到，切比雪夫多项式可通过递推公式生成；3.逼近性：正交多项式在一定条件下能够将任意函数逼近为一个多项式级数，这在函数逼近和插值中是非常重要的性质；4.最小二乘逼近：利用正交多项式进行最小二乘逼近，可以得到最优逼近解。
常见的正交多项式勒让德多项式 (Legendre Polynomials)勒让德多项式是最常见的正交多项式之一，通常用Pn(x)表示，定义在区间[-1, 1]上，权重函数为w(x) = 1。
勒让德多项式可以通过勒让德微分方程生成，其前几个多项式表达式如下：•P0(x) = 1•P1(x) = x•P2(x) = (3x^2 - 1)/2•P3(x) = (5x^3 - 3x)/2•…切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials)切比雪夫多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用Tn(x)表示。
切比雪夫多项式的权重函数为w(x) = (1 - x2)(-1/2)。
前几个切比雪夫多项式表达式如下：•T0(x) = 1•T1(x) = x•T2(x) = 2x^2 - 1•T3(x) = 4x^3 - 3x•…雅各比多项式 (Jacobi Polynomials)雅各比多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用P(α,β)n(x)表示，其中α和β是正实数，称为雅各比指数。
数学中的正交多项式理论研究
数学中的正交多项式理论研究正交多项式是数学中的一种重要概念，在统计学、物理学、工程学、金融等领域中都有广泛的应用。
它们的理论研究也是现代数学中的一个重要分支。
本篇文章将介绍正交多项式的基本概念、性质和应用，并简要探讨正交多项式的研究现状。
一、正交多项式的基本概念正交多项式是一组相互正交的多项式。
简单来说，就是它们在一定的定义域内满足一定的正交性质。
其中最著名的就是勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式和切比雪夫多项式。
勒让德多项式是指满足勒让德方程 $P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}((x^2-1)^n)$ 的多项式 $P_n(x)$。
勒让德多项式是正交多项式的代表之一，它们在定义域 $[-1,1]$ 上相互正交。
勒让德多项式具有广泛的应用，如估计球形体积、计算球面积、解决一些微积分方程等。
拉盖尔多项式是指满足拉格尔方程 $x y''+(1-x)y'+ny=0$ 的多项式 $L_n(x)$。
拉盖尔多项式也是正交多项式的代表之一，它们在定义域 $(0,\infty)$ 上相互正交。
拉格尔多项式是用来描述一堆相互独立的分子通过碰撞而达到热平衡时，粒子的能量分布和概率分布的函数。
埃尔米特多项式是指满足埃尔米特方程 $y''-2xy'+2ny=0$ 的多项式 $H_n(x)$。
埃尔米特多项式也是正交多项式的代表之一，它们在定义域 $(-\infty,\infty)$ 上相互正交。
埃尔米特多项式常被应用于描述量子力学中粒子的状态，特别是谐振子的状态。
切比雪夫多项式是指满足切比雪夫方程 $(1-x^2)y''-xy'+n^2y=0$ 的多项式 $T_n(x)$。
切比雪夫多项式也是正交多项式的代表之一，它们在定义域 $[-1,1]$ 上相互正交。
切比雪夫多项式常用于数值逼近和信号处理等领域中。
正交多项式拟合在解决实际问题的应用
正交多项式拟合在解决实际问题的应用为了避免正规矩阵的“病态”问题，提出了正交多项式拟合方法。
尤其是实际工作中的误差是不可避免的，而正交多项式拟合能够更好的考虑到自变量和因变量的误差，拟合出来的曲线更合理，也更便于计算机实现。
正交多项式拟合的实用性和一般性使得它在工程项目，机械制造，甚至人工智能等领域应用广泛，先简要介绍其中的几个方面。
1、边缘识别是利用数字图像法检测结构变形的一种方法，其中一种是需要多项式拟合，且拟合的精度决定了识别的精度，为提高拟合精度，就需要高次多项式，但又会产生“病态”，因此采用正交多项式拟合方法就十分必要了。
将基于正交多项式拟合的边缘识别应用到梁变形检测中，拟合程度高，检测效果好。
2、提高零炮检距地震道的拟合精度是保幅地震资料处理的关键环节之一。
相对于常规地震叠加技术，二阶多项式拟合技术能够提高零炮检距地震道的拟合精度。
但是不同时刻地层反射信号的A VO特性是变化的，仅仅利用二阶多项式来实现零炮检距地震道拟合是达不到精度要求的。
采用正交多项式描述CMP道集上不同时刻地层反射信号的A VO特性，建立正交多项式系数谱;并根据SVD估计有效波的能量，自适应地确定不同时刻拟合零炮检距地震道信号所需的阶次，实现高精度的零炮检距地震道拟合。
合成记录和实际数据的处理表明该方法能够有效地减小零炮检距地震道拟合误差，提高拟合精度。
3、水泵性能曲线一般是用图表或曲线图给出，但在水泵选型或泵站经济运行中，常常有必要知道水泵性能曲线的函数表达式。
对此，可以根据试验数据或性能图上的数据进行拟合。
目前，在水泵性能曲线拟合中较常用的一般多项式的最小二乘拟合，需要求解一非线性方程组，增加了数据存贮量，而且在多项式次数较高时方程容易出现病态。
如果采用正交多项式，则对n组数据，可以一直拟合到n-1次多项式而结果仍然稳定，因此提出对离心泵性能曲线的等流量间距的正交多项式回归法。
采用Forsythe递推法生成正交多项式，根据显著性检验来确定拟合的多项式次数，并在计算中佐以作图程序来进行直观分析。
【精品】正交多项式
正交多项式一、正交函数系的概念高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；1， cos x ，sin x ，cos2x ，sin2x ，…，con nx ，sin nx ，… (3.1)中任何两个函数的乘积在区间[-π ,π ]上的积分都等于0。
我们称这个函数中任何两个函数在[-π ,π ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。
若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：nx nx x x sin 1,cos 1,,,sin 1,cos 1,21πππππ（3.2)那么这个函数系在[-π ,π ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[-π ,π ]上的积分是1。
为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。
1．权函数的概念 定义3.1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，如果具有下列性质： (1) ρ (x ) ≥0，对任意x ∈[a , b ]， (2) 积分dx x x nba)(ρ⎰存在，(n = 0, 1, 2, …)，(3) 对非负的连续函数g (x ) 若⎰=badx x x g 0)()(ρ。
则在(a , b )上g (x ) ≡ 0，我们就称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有： 1)(],1,1[],[=-=x b a ρ；211)(],1,1[],[xx b a -=-=ρx e x b a -=∞=)(],,0[],[ρ2)(],,[],[x e x b a -=∞+-∞=ρ等等。
正交性的概念 定义3.3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]若⎰==badx x g x f x g f 0)()()(),(ρ则称f (x )与g (x )在[a , b ]上带权ρ (x )正交。
定义3.4 设在[a , b ]上给定函数系{} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件())(),1,0,(,0,0)(),((是常数k kk j A k j kj A kj x x ⎩⎨⎧==>≠= ϕϕ 则称函数系{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系，特别地，当A k ≡ 1时，则称该函数系为标准正交函数系。
正交多项式(1)
正交多项式什么是正交多项式？在数学中，正交多项式是一类具有特定正交性质的多项式函数。
这些函数相对于特定的权重函数进行内积运算后，得到的结果为0，即满足正交性的条件。
正交多项式在数学和物理学中有广泛的应用。
它们的正交性质使它们在许多计算问题中具有重要的作用，例如数值计算、信号处理和量子力学等领域。
正交多项式的性质正交多项式具有以下主要性质：1.正交性：正交多项式相对于权重函数进行内积运算后，得到的结果为0。
这个性质使得正交多项式在积分运算和线性代数中非常有用。
2.归一性：正交多项式在一定的区间上归一化为1，即它们的平方在该区间上的积分等于1。
这个性质使得正交多项式在函数逼近和插值等问题中得到广泛应用。
3.递推关系：正交多项式之间存在特定的递推关系，即通过对前一项和前两项的线性组合可以得到后一项。
这个递推关系可以用于计算正交多项式的系数和求解相关的数学问题。
4.正交性条件的等价性：正交多项式的正交性条件可以等价地表示为矩阵的特征值问题或积分方程的本征值问题。
这种等价性对于研究正交多项式的特性和性质非常有帮助。
常见的正交多项式常见的正交多项式包括：1.勒让德多项式（Legendre Polynomials）：勒让德多项式是最为常见和广泛应用的一类正交多项式。
它们的定义可以通过勒让德微分方程来推导，是球坐标系下的角度函数，并在物理学中有广泛应用。
2.拉盖尔多项式（Laguerre Polynomials）：拉盖尔多项式是定义在无穷区间上的正交多项式。
它们的定义可以通过拉盖尔微分方程来推导，主要用于描述一维量子力学系统中的束缚态。
3.埃尔米特多项式（Hermite Polynomials）：埃尔米特多项式是定义在整个实数轴上的正交多项式。
它们的定义可以通过埃尔米特微分方程来推导，用于描述量子谐振子系统中的能级和波函数。
4.切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials）：切比雪夫多项式是定义在[-1, 1]区间上的正交多项式。
正交多项式的性质及在科学计算中的应用
正交多项式的性质及在科学计算中的应用1.正交性：正交多项式之间的内积为0，即不同正交多项式之间有正交关系。
2.归一性：每个正交多项式的范数等于1，即所有正交多项式的平方和为13.递推关系：正交多项式之间具有简洁的递推关系，可以通过递推公式生成后续的正交多项式。
4.零点分布：正交多项式的零点在实数轴上严格交替分布，即相邻的正交多项式在零点处的值交替改变符号。
1.函数逼近与插值：正交多项式可以作为基函数用于函数逼近和插值，通过调整正交多项式的系数来逼近或插值给定的函数。
由于正交多项式的特殊性质，可以在相对较少的基函数数量下获得高精度的逼近效果。
2.数值积分：正交多项式在数值积分中起到关键作用。
以高斯积分为例，通过选择一组与被积函数正交的多项式作为基函数，可以将积分问题转化为求解线性方程组的问题，从而得到精确的数值积分结果。
3.求解微分方程：正交多项式可以用于求解各类微分方程，包括线性常微分方程、偏微分方程以及边值问题等。
通常，通过选择一组适当的正交多项式作为试探函数，可以将微分方程转化为求解线性代数方程组的形式，从而得到微分方程的解析解或数值解。
4.物理建模：正交多项式在物理建模中扮演重要角色。
例如，在量子力学中，氢原子的波函数可以用于描述电子在氢原子中的运动，而这些波函数正是利用正交多项式（如勒让德多项式和拉盖尔多项式）构造得到的。
总结起来，正交多项式不仅具有特殊的性质，还在科学计算中有广泛的应用。
它们适用于函数逼近、数值积分、求解微分方程以及物理建模等领域，通过选择适当的正交多项式作为基函数或试探函数，可以显著提高计算精度和效率。
因此，正交多项式在科学计算中是一种非常有用的工具。
线性代数中的正交多项式
线性代数中的正交多项式正交多项式是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用和深远的影响。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及它们在数学和工程领域中的应用。
一、正交多项式的定义在数学中，正交多项式是指在某个带权内积定义下的多项式函数族，满足互不相同、次数递增且两两正交的性质。
具体而言，设Pn(x)为n次多项式，那么它是正交多项式需要满足以下条件：1. Pn(x)是n次多项式；2. Pn(x)的系数可以通过递推关系计算，即Pn(x)可以表示为Pn(x)=an(x)P(n-1)(x)+bn(x)P(n-2)(x)，其中an(x)和bn(x)是与P(n-1)(x)和P(n-2)(x)正交的多项式；3. 符合正交性条件，即∫W(x)Pm(x)Pn(x)dx=0，其中W(x)是非负权函数，m≠n。
二、正交多项式的性质1. 正交多项式族的线性无关性：正交多项式族中的任意两个多项式都是线性无关的，即不可能以一个正交多项式来表示另一个正交多项式。
2. 正交多项式的正交性：正交多项式族中的任意两个多项式在权函数的内积下是正交的，即它们的内积等于0。
3. 正交多项式的级数展开：任意函数f(x)可以展开为正交多项式族的级数形式，即f(x)=∑(n=0)~∞[anPn(x)]，其中an=∫W(x)f(x)Pn(x)dx，Pn(x)是正交多项式族中的第n个多项式。
三、正交多项式的应用正交多项式在数学和工程领域中具有广泛的应用，以下是其中的几个方面：1. 函数逼近：正交多项式可以用于近似计算给定函数的级数展开形式。
通过选取合适的正交多项式族，可以提高逼近的精度和效果。
2. 微分方程求解：正交多项式在求解微分方程时具有良好的性质。
可以通过将微分方程转化为正交多项式的形式，进而求解相关的系数和解析解。
3. 数值计算：正交多项式的级数展开形式可以用于数值计算中的积分、傅里叶变换等问题。
它们具有计算效率高、精度较高的特点。
4. 概率统计：正交多项式在概率统计中扮演重要的角色。
正交多项式在数学中的应用
正交多项式在数学中的应用正交多项式是数学中一个重要的概念。
正交多项式可以用于许多领域，如物理学、统计学、工程学、经济学等，它们的应用非常广泛。
在本文中，我们将介绍正交多项式的定义、性质和应用。
一、正交多项式的定义正交多项式通常是指某一族多项式，它们彼此正交，并且在某一区间上具有完全正交性。
这里“正交”指的是在某一区间上两两相乘之后的积分为0。
具体的定义可以表示为：在某一区间[a,b]上，存在一族多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…,满足下列条件：1.φn(x)是n次多项式；2.φn(x)的首项系数为1；3.对于任意不相等的n和m，有以下正交关系：∫a^b φn(x)φm(x)dx=0 （n≠m）4.对于任意n，有以下归一化公式：∫a^b φn(x)^2 dx=1这里的正交关系也可以表述为φn(x)在[a,b]上关于权函数w(x)正交。
另外，需要注意的是，具有正交性的多项式不只一个。
例如，在[a,b]上，有许多不同的正交多项式，如勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式、切比雪夫多项式等等。
每种不同的正交多项式，都有其独特的性质和应用。
二、正交多项式的性质正交多项式具有许多重要的性质，这里只讨论其中的一些。
1.正交多项式是线性无关的。
对于给定的正交多项式φ0(x),φ1(x),…,φn(x)，任意一个次数不超过n的多项式P(x)，都可以表示为P(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+...+anφn(x)其中，a0,a1,…,an都是常数。
因此，正交多项式是线性无关的。
2.正交多项式是最佳近似多项式。
对于一个次数不超过n的多项式P(x)，其在正交多项式的张成下的最佳近似多项式是Pn(x)=∑i=0^n [P(x),φi(x)]φi(x)其中[P(x),φi(x)]表示在区间[a,b]上P(x)与φi(x)的乘积之后再进行积分。
3.正交多项式满足递推关系。
对于同一族正交多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…，它们满足以下递推关系：φ0(x)=1φ1(x)=x-b0φn+1(x)=(x-bn+1)φn(x)-cnφn-1(x)其中，bn和cn是常数。
研究生数值分析(19)正交多项式
性质5
xi
cos 2(n i) 2n
1 ,
i 1,2,, n
当n为奇数时， Tn (x) 当n为偶数时，Tn (x)
是奇函数， 是偶函数。证明见P125
3、Laguerre（拉盖尔）多项式
定义：称
Un (x)
ex
d n(xnex ) dxn
,
n 0,1,
为Laguerre多项式。
不为零的k次多项式，故 k (x) 0, (x [a,b])
因而有 (k ,k ) 0, k 0,1,
根据定义，{k (x)} 是[a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系。
正交多项式的性质：
证毕。
性质1 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权的正交多项式系， 则 {ckk (x)} 也是[a ,b]上带权的正交多项式系，
b
a (x)q(x)k (x)dx 0,
k 1,2,
所以，对于 j (x) , ( j 0,1,k 1)
b
a (x) j (x)k (x)dx 0,
k 1,2,
即 ( j ,k ) 0,
jk
又因 k (x) , (k 0,1,) 是最高次项系数
④ 若在[a ,b]上 f(x)≠0，则（f，f）>0
定义 若内积
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx 0
则称f (x)与g (x)在区间[a ,b]上带权ρ(x)正交。
若函数系 {0 (x),1(x),,n (x),}
满足
(i , j )
b a
性质4 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权ρ (x)的
正交多项式系，则对于 k≥1 时，相邻三项有 如下递推关系
数学中的正交多项式和傅里叶级数
数学中的正交多项式和傅里叶级数在数学领域中，正交多项式与傅里叶级数是两个至关重要的概念。
它们能够被用于解决各种数学问题，尤其是在物理和工程学科中。
在接下来的文章中，我们将会探讨这两个概念及其应用。
正交多项式正交多项式是一组多项式，它们在一定区间上满足正交性质。
比如，常见的拉盖尔多项式（Laguerre Polynomials）和埃尔米特多项式（Hermite Polynomials）就是两个最常见的正交多项式。
如何定义正交多项式？我们可以定义一个带权内积，用于刻画两个多项式f(x)和g(x)之间的相似度。
针对某个区间[a, b]上的两个多项式f(x)和g(x)，它们之间的内积可被定义为：∫ w(x) f(x) g(x) dx其中 w(x) 是某个权重函数，其权重为正值。
按照这个定义，如果两个多项式f(x)和g(x)的内积等于0，则称这两个多项式是正交的。
此外，每个正交多项式的长相相对固定，因此可以通过一定的递归算法求出。
正交多项式有很多重要的性质。
首先，它们可以被用于解决微分方程问题。
例如，拉盖尔多项式可以被用于解决径向薛定谔方程。
其次，它们还可以被用于计算各种积分、矩阵等，因为它们与一些数学变换（如傅里叶变换）之间有着紧密的联系。
因此，正交多项式在科学研究中有着广泛的应用。
傅里叶级数傅里叶级数是一个函数的三角级数展开，可被用于解决周期性函数的问题。
即，任何周期的函数f(t)都可以被表示为以下形式的级数：f(t) = a0/2 + Σ[an cos(nωt) + bn sin(nωt)]其中a0/2是函数在一个周期内的平均值，a,b是展开式的系数，ω是频率。
若函数f(t)满足可积性，则其傅里叶级数收敛于f(t)。
傅里叶级数的应用非常广泛。
特别是在信号处理和图像处理中，傅里叶变换被用于将信号从时域转换为频域，以帮助分析和处理信号。
傅里叶级数也被用于音乐处理、图像压缩、通信、遥感等许多领域。
正交多项式与傅里叶级数正交多项式和傅里叶级数看上去没直接联系，但实际上它们之间存在很紧密的关系。
正交多项式的性质及在科学计算中的应用
正交多项式的性质及在科学计算中的应用摘要正交多项式是满足一定条件的多项式族。
正交多项式是数学研究领域热点之一。
许多数学理论的突破，如Bieberbach猜想的证明，数据拟合，数学物理、工程技术和函数逼近等领域的理论研究，都依赖于或应用了正交多项式的重要成果。
现正交多项式被广泛应用于数学物理，工程技术，科学计算，回归分析,概率分布等领域。
因此，对于正交多项式的研究具有重要的意义和价值.本文首先给出了正交多项式的定义,其次对勒让德（Legendre）多项式、切比雪夫（Chebyshev)多项式、拉盖尔(Laguerre）多项式、艾尔米特（Hermite)多项式的性质进行了探讨并对部分性质进行了证明，最后对正交多项式在数据拟合,最佳平方逼近以及在概率分析中的应用进行了讨论。
关键词：正交多项式勒让德（Legendre）多项式切比雪夫（Chebyshev)多项式拉盖尔（Laguerre）多项式艾尔米特（Hermite）多项式数据拟合最佳平方逼近概率分析The Character of Orthogonal Plynomial and its Application inScientific ComputationAbstractOrthogonal polynomial is a polynomial that satisfies some conditions。
Orthogonal polynomial is one of the hotspot in the field of mathematical research.Many mathematical theory， such as proof of the conjecture of Bieberbach, data fitting， mathematical physics, theory of engineering technology and function approximation are depends on the important achievements in the field or the application of orthogonal polynomials.Now the orthogonal polynomial is widely used in mathematical physics, engineering，scientific computing， regression analysis， probability distribution etc.Therefore, research orthogonal polynomials having great significance and value.Firstly， this paper gives the definition of orthogonal polynomials,。
正交多项式相关
上的正交多项式由最佳平方逼近的一般理论知，上的最佳平方逼近完全可以转化为正交系的讨论。
因为若是f的最佳平方逼近元，则系数向量满足方程组：，而当{φi}为规范正交时，该方程组的解立即可以写为：。
正交多项式的性质假设ω0(x),ω1(x),…是空间上的幂函数系1,x,x2,…经正交化手续得到的正交多项式系，则它有如下性质（1）ωn(x)是n次代数多项式；（2）任一不高于n次的多项式都可以表示成;（3）ωn(x)在中与所有次数低于n的多项式正交，也即以下假设是ωn的首一化多项式，也即，且的最高次项系数为1，则仍然是一正交系，且有如下递推关系。
定理1，其中：，。
证明由于是k+1次多项式，因此可由线性表出，即（1）其中cj是适当常数，将（1）式两边同乘以并积分，有上式左端当s=0,1,…,k-2时，的次数小于k，从而积分值为0，同样右端第一个积分也为0。
于是，当s=0,1,…,k-2时，上式变为令s=0，上式变为从而c0=0。
同理，当s依次为1,…,k-2时，可推出cs=0。
于是（1）式可简化为（2）下面我们来确定ck ,ck-1，在（2）式两边乘以并积分，得（3）由于，代入（3）式两端得同理，用乘（2）式两端并积分，可得将ck ,ck-1代入（2）式两端并加以整理即得定理结论。
如果设ωk (x)的首项系数为αk，则对规范正交系ω(x),ω1(x),…可以得到如下递推关系（4）注：（4）式可通过令代入定理1得到。
定理2n次正交多项式ωn(x)有n个互异零点，并且都包含在(a,b)中。
证明令n≥1,假定ωn(x)在(a,b)不变号，则这与正交性相矛盾。
于是至少有一个点x1∈(a,b)使ωn(x1)=0，若x1是重根，则ωn (x)/( x - x1)2是一n-2次多项式，由正交性知但另一方面有从而推出x1只能是单根。
今假设ωn (x)在(a,b)内只有j个单根x1,x2,…,xj(j<n)，则ωn(x)( x- x1) ( x- x2) …( x- x j)=q(x)( x- x1)2 ( x- x2) 2…( x- x j) 2现将上式两端乘以ρ(x)并积分，则对于左端来说，由于(x-x1)(x- x2)…(x- xj)的次数小于n，因此积分值等于零；但对右端来说，由于q(x)在(a,b)不变号，所以积分值不为零。
正交多项式理论
选择系数ckj 使 0 ( k , i ) ( x k , i ) （ ckj jj,, i i)) c ki i， i） （ kj
j 0
k 1
即
( x k , i ) c ki , (i 0,1,, k 1) ( i , i )
1
（5）Legendre多项式的三项递推公式
~ P0 ( x ) 1 由定理4及 Pn ( x) 的唯一性 P1 ( x ) x ( k 1) p ( x ) x( 2k 1) P ( x ) kP ( x ) ，k 1,2,) , x [1,1] ( k 1 k k 1
2 n n n （2）性质 令 ( x) ( x 1) ( x 1)x ) n ( x 1)n ( x 1)n dxn dx
正交多项式，即
当n m 0, ( Pn , Pm ) Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 1 当n m 2n 1 （4）Legendre多项式的奇偶性 Pn ( x ), 当n为 偶 数 n Pn ( x ) ( 1) Pn ( x ) Pn ( x ), 当n为 奇 数
（） P( x) H n为任一次数 n多项式，则 2 ① {0 ( x),1 ( x),, n ( x)}于 [a，b] 线性无关； n （P , ） i (i 0,1,, n) ② P ( x ) ci i ( x ) ，其中 ci （ i , ） i i 0 证明： ① { 0， 1， ，n }为正交多项式组，则 G（ 0， 1， ，n） 0， 由定理 得{ i ( x)}n0 线性无关。 2 i ② 因 P( x) Hn为任一次数 n多项式，则可设
数值分析正交多项式
数值分析正交多项式数值分析是数学的一门分支，研究数值计算的方法和算法，并通过数学模型和近似计算方法对实际问题进行数值求解。
在实际科学计算中，往往会涉及到函数的近似、方程的求解、积分和微分等问题，数值分析的研究便是对这些问题进行建模和求解的过程。
在数值分析中，正交多项式是一类重要的函数族，其在数值逼近、插值、积分等问题中具有重要的应用。
正交多项式是指在一些特定的区间上，相互之间满足其中一种正交条件的多项式函数。
这些多项式函数一般具有良好的数学性质，如稳定性、收敛性、插值性质等，能够用于解决连续函数逼近、曲线拟合、数值积分等问题。
常见的正交多项式有勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式和切比雪夫多项式等。
下面简要介绍一下这些常见的正交多项式。
1. 勒让德多项式：勒让德多项式是最早被研究的正交多项式，其形式为Pn(x)=An(x)xn+An-1(x)xn-1+...+A1(x)x+A0(x)，其中An(x)为系数函数，满足勒让德多项式的正交性质：∫Pm(x)Pn(x)dx=0 (m≠n)。
勒让德多项式在数值计算中广泛应用于多项式插值和函数逼近等问题。
2.拉盖尔多项式：拉盖尔多项式是一类特殊的勒让德多项式，定义在区间[0,+∞)，其形式为L(x)=e^(-x)x^n/n!，其中n为非负整数。
拉盖尔多项式在物理学中的量子力学和热力学等问题中有重要应用。
3. 埃尔米特多项式：埃尔米特多项式是定义在整个实数轴上的正交多项式，其形式为Hn(x)=(-1)^ne^(x^2)d^n(e^(-x^2))/dx^n，满足埃尔米特多项式的正交性质：∫Hm(x)Hn(x)e^(-x^2)dx=0 (m≠n)。
埃尔米特多项式在量子力学和量子力学等领域的波函数展开中有广泛应用。
4. 切比雪夫多项式：切比雪夫多项式是在区间[-1,1]上的正交多项式，其形式为Tn(x)=cos(n·arccos(x))，满足切比雪夫多项式的正交性质：∫Tm(x)Tn(x)(1-x^2)^(-1/2)dx=0 (m≠n)。
正交多项式
三、Legendre多项式Pn(x) (1)多项式定义
定义3 [-1,1]上由{1,x,…,xn,…}带权ρ(x)≡1正交化 得到的多项式序列.
P0 ( x ) 1 1 d n ( x 2 1) n Pn ( x ) n , n 1,2, n 2 n! dx
x
2
x 1dx x xdx 1 2 1 x x 3 11dx x xdx
2 2 1 1 1 1 1 1
1
1
…
(2)多项式的主要性质
(2n)! ① n次Legendre多项式 Pn(x)的首项系数 d n ( x) n 2 (n!) 2 1 ② Pn (1) (1) n 当x=1, 当x=-1
请将其降为2阶多项式。
解
1 1 1 4 1 2 4 2 T ( x ) ( x x ) T 8 x 8 x 1） （查表知 取 4 3 4 24 2 24 8 x2 x3 1 1 191 13 2 1 3 2 P4 P4 1 x ( x ) x x x 2 6 24 8 192 24 6 P4
证明 对任意的x[a,b] 若
c g
k 0 k
n
k
( x) 0
两边同乘 ( x ) g l ( x )( l =0,1,.. n ), 并从 a 到 b 积分 , 由
{g k ( x )}n k 0 的正交性定义中的(3)可知必有cl=0
n { g ( x )} 故正交多项式序列 k k 0 线性无关.
取到极大值 1 和极小值1，即
Tn (tk ) (1)k || Tn ( x) ||
记
Tn ( x ) T ( x ) n1 2
正交多项式
正交多项式正交多项式定义：正交多项式是一个属于多项式的特殊形式，它的系数只有正负的二项式的形式。
正交多项式的用途：1. 在科学计算中：解决三次方程中的较复杂问题，使计算精准而有效。
2. 在信号处理中：可以将原始信号转换为更好的可处理信号；也可以使用正交多项式可以减少信号噪声，提高传输效率和抗干扰能力。
3. 在图像处理中：可以获得更多清晰的图像信息，从而实现更好的图像压缩和损失填充。
4. 在机器学习中：利用它从大量数据中可以挖掘出有意义的特征，从而更好的进行数据分析和模型学习。
5. 在量子计算中：用正交多项式可以更有效的建立量子模型，以实现理论的验证和实验的模拟。
正交多项式的构成：正交多项式的结构由一系列二项式构成，其中又包含系数、变量和指数等三部分，可以使用不同指数来表示不同的结构特征。
1. 二项式：二项式由两个变量按照一定的指数组合而成，其中变量个数由正负系数决定，而系数则为正和负值。
2. 系数：系数是表示一个二项式中两个变量之间的关系强度的数字，它描述了二项式对应可能方案的概率及相关性，其具有显著的改变能力。
3. 变量：变量表示一个正交多项式中不同的变量，每个变量都具有一定的指数，它们描述着这个多项式的性质。
4. 指数：指数（Exponent）是表示一个二项式中变量之间关系的数字，它表示一个变量比另一个变量在正交多项式中的影响程度。
正交多项式的优点：1. 能够有效的分辨变量之间的相关性：正交多项式的二项式系数只有正负值，可以看到每个变量与其他变量之间的关系程度，及相应影响的强度。
2. 简短的记录：正交多项式的表达方式很简洁，只需要几个参数就可以完成一个正交多项式的表示，它比传统多项式表示更加简洁，可以减少记录长度和保留舍入误差。
3. 降低计算量：正交多项式的表示方式可以大大降低计算量，从而使计算更加有效方便，其中的遍历搜索也更加友好。
4. 高效的数据处理：正交多项式可以有效的处理信号和图像等数据，对信号进行更好的处理，以获得更优质的数据结果。
关于Meixner多项式和一些q正交多项式的一致渐近分析的开题报告
关于Meixner多项式和一些q正交多项式的一致渐近分析
的开题报告
Meixner多项式和q正交多项式是两个重要的正交多项式系列。
Meixner多项式是一类在概率论、数论、分析和物理等领域中都有重要应用的正交多项式。
它最早是由Meixner在1934年引入的。
Meixner多项式满足递推关系式和三项递推公式。
与Meixner多项式类似，q正交多项式也是重要的正交多项式系列。
它们最早由Gasper和Rahman在1990年的书中引入。
q正交多项式是通过引入q-stirling数和q-binomial系数来定义的，它们满足递推关系式、三项递推公式和正交性等性质。
在研究Meixner多项式和q正交多项式的性质时，一个十分重要的问题是它们的一致渐近行为。
对于正交多项式来说，一致渐近行为研究是十分重要的，因为它反映了多项式的渐近性能，这对于研究一些问题的整体行为以及连续和离散权重下近似计算问题都有重要的应用。
因此，本文将研究Meixner多项式和q正交多项式的一致渐近行为，并比较两个正交多项式系列之间的异同。
我们将在研究中使用一些重要的技术工具，例如渐近分析、渐近展开式、拉普拉斯方法等方法。
具体地，我们将首先简单介绍Meixner多项式和q正交多项式的定义、性质和重要应用。
其次，我们将研究它们的一致渐近分析，并给出一些渐近展开式和误差界。
最后，我们将比较Meixner多项式和q正交多项式的异同，并讨论它们的一些应用。
预计本研究能够为正交多项式系列的研究提供一些新的结论和见解，并且对于一些问题的整体渐近分析和近似计算问题有重要的应用。
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q-正交多项式及相关问题的研究
【摘要】：一、给出了Rogers-Szego多项式系列生成函数的新证明及其推广.首先,建立了指数算子与Rogers-Szego多项式之间的表示关系,从算子角度获得生成函数及其对偶形式的新证明.其次,构造了推广的指数算子,研究了双变量Rogers-Szego多项式的生成函数,并提出了一个公开问题.另外,进一步探讨了U(n+1)型Rogers-Szego多项式的生成函数及U(n+1)型的Kalnins-Miller变换公式的推广.二、给出了多重Rogers-Szego及Hahn多项式生成函数两项和展开的新证明.首先,通过了距量与正交多项式之间的关系得到Al-Salam-Carlitz正交多项式及相关的积分.其次,得到了双线性Hahn多项式的生成函数两项和的展开.另外,进一步研究了三线性及多线性Hahn多项式的生成函数两项和的展开.最后,给出了距量与Euler有限差分公式及Carlitz反演公式之间的相关结果.三、给出了多变量q-Laguerre多项式积分结果.首先,利用了单变量q-Laguerre多项式的正交性,研究其多变量性质.其次,获得了推广的q-Hermite多项式与q-Laguerre多项式之间的表示关系.另外,讨论了q-Hermite与q-Laguerre多项式的混合积分.最后,研究了多变量推广的离散型q-Hermite多项式的积分正交性.四、给出了多项式的Carlitz型生成函数的多重推广和Christoffel-Darboux公式.首先,利用了指数算子分解的方法研究了多项式的Carlitz型生成函数.其次,研究了Rogers-Szego多项式的Christoffel-Darboux公式.另外,纠正了Carlitz的结果.最后,借助了Carlitz的q-算子给出了二项式定理模拟的
新证明.五、给出了比值型伽马函数的渐进改进及复合型psi函数的凹凸性.首先,利用了对数完全单调性研究了伽马函数并改进了比值型伽马不等式.其次,借助了Laplace卷积公式研究了psi函数的性质并给出相应不等式.【关键词】：q-正交多项式Rogers-Szeg(o|¨)多项式Hahn 多项式q-Laguerre多项式生成函数展开距量正交伽马函数逼近psi函数
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2010
【分类号】：O174.14
【目录】：摘要6-7ABSTRACT7-9目录9-12主要符号对照表12-13第一章引言13-251.1研究背景13-201.1.1q-级数的发展13-171.1.2q-正交多项式的发展17-191.1.3论文结构19-201.2预备知识20-251.2.1基本定义及定理20-231.2.2正交多项式的性质23-25第二章Rogers-Szego多项式的算子表示问题25-492.1单变量Rogers-Szego 多项式的Poisson核26-342.1.1引理及命题27-302.1.2定理及其对偶形式的证明30-342.2双变量Rogers-Szego多项式的Poisson核34-422.2.1双变量生成函数34-372.2.2混合型生成函数37-392.2.3一个公开问题39-422.3U(n+1)型Rogers-Szego多项式的生成函数
42-492.3.1U(n+1)型双变量Rogers-Szego多项式的生成函数43-442.3.2Kalnins-Miller变换恒等式的U(n+1)推广44-49第三章多重生成函数的两项和展开问题49-653.1Hahn多项式的距量表示及相关积分51-533.1.1Hahn多项式的距量表示及其证明51-523.1.2Al-Salam-Carlitz多项式的相关积分52-533.2双线性Hahn 多项式的两项和展开53-563.2.1引理54-553.2.2主要命题及新证明55-563.3三线性及多线性Hahn多项式生成函数的两项和展开56-603.3.1Hahn多项式的三线性生成函数两项和展开56-583.3.2Hahn 多项式的多线性生成函数两项和展开58-603.4距量正交性相关问题60-653.4.1Euler有限差分与q-Chu-Vandermonde公式60-623.4.2Carlitzq-反演公式与3φ2变换62-65第四章多变量q-Laguerre多项式的正交性问题65-834.1多变量q-Laguerre多项式的正交性67-734.1.1引理68-724.1.2主要定理及证明72-734.2离散的q-Hermite多项式与q-Laguerre多项式的表示73-784.2.1引理74-754.2.2主要定理及证明75-784.3离散的q-Hermite多项式与q-Laguerre多项式的混合积分784.4q-Hermite多项式的积分正交性的推广78-834.4.1命题794.4.2主要定理及证明79-83第五章多项式的Carlitz型生成函数指数分解问题83-975.1Rogers-Szego多项式的线性化公式84-865.2Carlitz型生成函数的新证明及Christoffel-Darboux公式86-905.2.1Carlitz型生成函数的新证明87-885.2.2Rogers-Szego多项式的Christoffel-Darboux公式88-905.3Carlitz结论的纠正90-945.3.1引理及Hahn多项式算子表示90-925.3.2主要定理及证明92-945.4二
项式定理q-模拟的Carlitz算子证明94-97第六章经典的Gamma函数及其相关不等式问题97-1096.1比值型伽马函数的上下界99-1056.1.1对数完全单调性及引理99-1036.1.2主要定理及证明103-1056.2复合型psi函数的凹凸性105-109附录A级数收敛性证明109-115A.1q-差分方程的方法109-110A.2M-判别法110-115附录BTannery极限定理115-117附录C攻读博士学位期间发表和完成的论文情况117-119参考文献119-135致谢135-136 本论文购买请联系页眉网站。