q-正交多项式及相关问题的研究

q-正交多项式及相关问题的研究

【摘要】：一、给出了Rogers-Szego多项式系列生成函数的新证明及其推广.首先,建立了指数算子与Rogers-Szego多项式之间的表示关系,从算子角度获得生成函数及其对偶形式的新证明.其次,构造了推广的指数算子,研究了双变量Rogers-Szego多项式的生成函数,并提出了一个公开问题.另外,进一步探讨了U(n+1)型Rogers-Szego多项式的生成函数及U(n+1)型的Kalnins-Miller变换公式的推广.二、给出了多重Rogers-Szego及Hahn多项式生成函数两项和展开的新证明.首先,通过了距量与正交多项式之间的关系得到Al-Salam-Carlitz正交多项式及相关的积分.其次,得到了双线性Hahn多项式的生成函数两项和的展开.另外,进一步研究了三线性及多线性Hahn多项式的生成函数两项和的展开.最后,给出了距量与Euler有限差分公式及Carlitz反演公式之间的相关结果.三、给出了多变量q-Laguerre多项式积分结果.首先,利用了单变量q-Laguerre多项式的正交性,研究其多变量性质.其次,获得了推广的q-Hermite多项式与q-Laguerre多项式之间的表示关系.另外,讨论了q-Hermite与q-Laguerre多项式的混合积分.最后,研究了多变量推广的离散型q-Hermite多项式的积分正交性.四、给出了多项式的Carlitz型生成函数的多重推广和Christoffel-Darboux公式.首先,利用了指数算子分解的方法研究了多项式的Carlitz型生成函数.其次,研究了Rogers-Szego多项式的Christoffel-Darboux公式.另外,纠正了Carlitz的结果.最后,借助了Carlitz的q-算子给出了二项式定理模拟的

新证明.五、给出了比值型伽马函数的渐进改进及复合型psi函数的凹凸性.首先,利用了对数完全单调性研究了伽马函数并改进了比值型伽马不等式.其次,借助了Laplace卷积公式研究了psi函数的性质并给出相应不等式.【关键词】：q-正交多项式Rogers-Szeg(o|¨)多项式Hahn 多项式q-Laguerre多项式生成函数展开距量正交伽马函数逼近psi函数

【学位授予单位】：华东师范大学

【学位级别】：博士

【学位授予年份】：2010

【分类号】：O174.14

【目录】：摘要6-7ABSTRACT7-9目录9-12主要符号对照表12-13第一章引言13-251.1研究背景13-201.1.1q-级数的发展13-171.1.2q-正交多项式的发展17-191.1.3论文结构19-201.2预备知识20-251.2.1基本定义及定理20-231.2.2正交多项式的性质23-25第二章Rogers-Szego多项式的算子表示问题25-492.1单变量Rogers-Szego 多项式的Poisson核26-342.1.1引理及命题27-302.1.2定理及其对偶形式的证明30-342.2双变量Rogers-Szego多项式的Poisson核34-422.2.1双变量生成函数34-372.2.2混合型生成函数37-392.2.3一个公开问题39-422.3U(n+1)型Rogers-Szego多项式的生成函数

42-492.3.1U(n+1)型双变量Rogers-Szego多项式的生成函数43-442.3.2Kalnins-Miller变换恒等式的U(n+1)推广44-49第三章多重生成函数的两项和展开问题49-653.1Hahn多项式的距量表示及相关积分51-533.1.1Hahn多项式的距量表示及其证明51-523.1.2Al-Salam-Carlitz多项式的相关积分52-533.2双线性Hahn 多项式的两项和展开53-563.2.1引理54-553.2.2主要命题及新证明55-563.3三线性及多线性Hahn多项式生成函数的两项和展开56-603.3.1Hahn多项式的三线性生成函数两项和展开56-583.3.2Hahn 多项式的多线性生成函数两项和展开58-603.4距量正交性相关问题60-653.4.1Euler有限差分与q-Chu-Vandermonde公式60-623.4.2Carlitzq-反演公式与3φ2变换62-65第四章多变量q-Laguerre多项式的正交性问题65-834.1多变量q-Laguerre多项式的正交性67-734.1.1引理68-724.1.2主要定理及证明72-734.2离散的q-Hermite多项式与q-Laguerre多项式的表示73-784.2.1引理74-754.2.2主要定理及证明75-784.3离散的q-Hermite多项式与q-Laguerre多项式的混合积分784.4q-Hermite多项式的积分正交性的推广78-834.4.1命题794.4.2主要定理及证明79-83第五章多项式的Carlitz型生成函数指数分解问题83-975.1Rogers-Szego多项式的线性化公式84-865.2Carlitz型生成函数的新证明及Christoffel-Darboux公式86-905.2.1Carlitz型生成函数的新证明87-885.2.2Rogers-Szego多项式的Christoffel-Darboux公式88-905.3Carlitz结论的纠正90-945.3.1引理及Hahn多项式算子表示90-925.3.2主要定理及证明92-945.4二

项式定理q-模拟的Carlitz算子证明94-97第六章经典的Gamma函数及其相关不等式问题97-1096.1比值型伽马函数的上下界99-1056.1.1对数完全单调性及引理99-1036.1.2主要定理及证明103-1056.2复合型psi函数的凹凸性105-109附录A级数收敛性证明109-115A.1q-差分方程的方法109-110A.2M-判别法110-115附录BTannery极限定理115-117附录C攻读博士学位期间发表和完成的论文情况117-119参考文献119-135致谢135-136 本论文购买请联系页眉网站。