复变函数论文(DOC)
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复、实变函数的比较与应用作者：阮玲花学号：专业：数学与应用数学复、实变函数的比较与应用姓名：阮玲花班级：数学 132数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。
复变函数论着重讨论解析函数，而解析函数的实部与虚部是相互联系的 , 这与实函数有根本的区别。
有关实函数的一些概念，很多都是可以推广到复变函数上。
例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。
在中学我们主要了解学习了实变函数，与大学期间我们又更加深入的学习研究了实变函数，与此同时，也开始复变函数的学习。
由此我们看到了：“数的扩展：正数→负数→实数→” , 在实数范围内：当方程判别式小于 0 时，没有实根。
→扩大数域，引进复数，这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉，它们有很深的联系，然而事实上，他们有很大的不同，有很大的区别。
下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。
（一）实变函数实变函数论即讨论以实数为变量的函数 , 然而实变与常微分方程等不同 , 简单地说就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。
由于诸如狄利克雷这样的简单函数都不可积，所以原有的积分范围太窄了，进而便产生了Lebesgue 创立新积分的原始思路。
Lebesgue 积分：（二）复变函数复变函数是数学分析的继续，复变函数的定义：若在复数平面上存在一个点集 E ，对于 E 的每一点 z，按照一定规律，有一个或多个复数值 W 与之相对应，则称 W 为 z 的函数，记作 W f ( z) ，z∈E 邻域：以复数 z0为圆心，以任意小正实数为半径做一个圆，则圆内所有点的集合称为 z0 的邻域。
把复变函数的 f ( z) 的实部和虚部分别记作u(x,y)和v(x,y) ，f ( z) =u(x,y)+iv(x,y) ，所以，复变函数可以归结为一对二元实变函数。
（三）实变函数及与复变函数比较1．自变量的不同以实数作为自变量的函数就做实变函数；即实数→实变量→实变函数。
复变函数小论文
复变函数小论文本学期我学习了复变函数，丰富了数学的见识。
从实数到复数的延伸，形成一个全面的知识体系。
复变函数是以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。
复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为在某些运算提供了帮助。
复数可以解决一些物理数学上的问题，解题到最后经过转化所得到的实数解，才有物理上的意义。
虚数是有很大的的现实意义的，通过引入虚数，那些没有意义根式也变得有理可寻。
复数的集合复平面是一个二维平面，实数有自己的直角坐标系，而类似的复数也有坐标。
复数有实轴和虚轴，用（x,y）表示。
复变函数的极限与连续和实函数一样提到邻域的含义。
复函数是一元实变函数概念的推广，二者表述有所不同：1.实变函数是单值函数，而复变中有了多值函数。
2.复变函数实现了不同复平面的转化，运用了曲线或图形的映射。
复变函数的导数和微分定义与实变函数一致，但是前者多了一个要求，即对极限式要求是与路径和方式无关。
复变函数的积分许多与高等数学中曲线积分相似的性质，积分可化为第二类曲线积分，也可化为参数方程直接关于t的积分。
复数列极限在定义与性质上与实数列极限相似，可以将复数列极限的计算问题转化到实数列上，这其中的级数的敛散性与和的定义形式都与实数项级数相同。
通过课程的学习，我们可以了解到，复数可以应用的现实中的数学建模，其在很多运算中都有着不可思议的性质和规律。
复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径，打开了很多原本无法畅通的道路，无论是留数，还是保角映射，都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。
王琪材料31 2130201019。
复变函数论文
复变函数论文复变函数理论推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学，弹性理论中的平面问题的有力工具。
而自然科学和生产技术的发展有极大的推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。
复变函数的主要内容已成为理工科很多专业的必修课程。
复变函数在很多领域都有重要的应用，其涵盖面极广，甚至可以用来解决一些复杂的计算问题。
复变函数可以应用在地理信息系统中，因为GIS对复杂函数的计算要求以及空间函数的分析，复变函数的应用也渗透到了这个领域，它对复杂函数的计算能力使得在GIS上的应用也不可或缺。
GIS的操作对象是空间数据和属性数据，即点线，面，体这类有三维要素的地理实体。
空间数据的最根本特点是每一个数据都按统一的地理坐标进行编码，实现对其定位，定性和定量的描述，这是其技术难点之所在。
而复变函数中的黎曼曲面理论就是用来解决这种问题的。
复变函数研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。
由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面，利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。
对于某一个多值函数，如果能做出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。
复变函数作为最丰饶的数学学科的分支，复变函数在数学领域的应用尤为可见。
特别是在解析函数的微分理论，积分理论等方面的应用，而在这些方面，它与一个实际的电路是一一对应的关系，是为我们求解响应与激励的关系服务的，这也就是它的基础应用。
针对连续系统和离散系统的时域分析，相对应的有三个变换域或傅立叶变换，拉普拉斯变换和Z变换。
变换域是信号与系统的核心内容，也是比较难的一部分，原因是变换域的分析方法涉及到工程数学的知识很多，如果没有扎实的基础，学起来就有一定的难度。
复变函数中还有很多知识点都可以对应到电路中，这可以使我们在求解电路问题时，使问题变得简单化。
复变函数论文
复变函数论文复变函数论文复变函数的精确之美学习复变的感想对于理科类学科的学习而言，最重要的一点莫过于概念的清晰程度。
因为所有的推导、证明以及应用，归根结底都是在基本概念的基础上衍生而来的。
因此只有将相关概念真正理解同时牢记于心，才可以真正地走进一门学科，真正的领略一门学科的美妙与精华所在。
在我的理解看来，复变函数从某种意义上来说可以看成是大一所学的高等数学的一种延伸与拓展。
在高等数学，也就是我们通常所说的微积分学中，我们所研究讨论的对象都是实函数，也就是函数的定义域与值域所代表的集合都是实数集合。
这样的研究将许多生活中遇到的数学问题用实变函数的微分与积分表达出来，让我们能够很快地了解一些微积分中的基本概念、知识以及应用技巧。
但是同时，实变函数的应用范围十分狭窄。
尤其是电气工程等方面的计算和问题中，实变函数几乎可以算是毫无用武之地。
因此为了能够更好地解决工程中遇到的问题，我们便对现有的实变函数进行了拓展延伸，创建了复变函数体系，并总结发现了一系列复变函数的定义、定理、方法以及技巧。
精确是所有理科研究学科，尤其是数学学科的一个重要特点，这一点在复变函数中也体现的尤为明显。
复变函数是将复数域之间的映射的特点和关系进行全面系统的总结和归纳。
其研究对象就是复数域之间映射的函数关系。
因此在复变函数的研究中基本都是代数运算，没有带数字之后为计算方便而出现约等的情况。
当然复变函数的精确美远远不止表现与这些方面。
为了解决问题的方便，复变函数的研究中总结归纳了许多的定理和方法。
但每一种的定理与方法都有其十分明确的适用范围和使用方法。
这是为了保证它们在被使用于求解相应问题时不出现错用、误用而最终导致结果有偏差甚至完全错误。
比如在我们在计算闭路积分时常运用的留数定理就有其很明确的适用范围。
此外，复变函数在许多相似概念的区分上也做到了精确二字。
如可导、连续以及解析之间的区别，在复变函数中就体现的尤为明显。
作为一门研究数的学科，复变函数对于结果的精确程度是有着相当高的要求的。
复变函数论文
复变函数论文复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用姓名：何缘鸽学号：092410101 学院(系)：电气与电子工程系专业：自动化指导教师：秦志新评阅人：复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用【摘要】：复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。
而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。
我们在学习的过程中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。
文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。
【关键词】：线性系统 Z变换卷积拉普拉斯变换【正文】：提出问题：众所周知，复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有许多相似之处。
但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。
随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。
当然复变函数在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的发展，自动控制与信号处理也更加离不开一套有效的处理方法。
但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了我们的首要问题。
分析问题：虽然常规的Fourier 变换的运算的范围是有限的，，但Laplace 变换、Z 变换等填补了Fourier 变换的不足之处，究竟其有什么好处呢？下面就介绍一些例子，从中就能看出。
例1： 如图1所示电路，原处于稳态，开关S 于t=0时由1端转向2端，R=10Ω，L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。
解：因换路前电路已达稳态，故可知()=-0i 0, ()V u c 20=- 换路后，电路的微分方程为()()()+++-0c u dtt di Lt Ri ⎰-td i C0)(1ττ=10)(t ε对上式进行拉普拉斯变换，得()()()[]+-+-0i s sI L s RI sCs I su c )()0(+-=s10解得 ()s I =sCsL R s u Li sc 1)0()0(10++-+--代入已知数据得()s I =ss s s25010210++-=2501082++s s =2215)5(15158++⨯s用查表法可求得上式的拉普拉斯反变换为()At t et i t)(15sin 1585ε⋅=-例2： 如图2所示为常用的二阶有源系统的电路模型，设Ω=1R 、C=1F 。
《复变函数》可视化教学实践论文
关于《复变函数》可视化教学的实践摘要：探讨利用matlab 软件可视化复变函数的教学心得，旨在加深学生对知识的理解，提高教师课堂教学效果。
关键词：可视化复变函数教学实践随着科技的发展，计算机已经走入千家万户，高校教学手段也发生了相应地改变，越来越多的教师尝试将数学课程与计算机结合起来，通过可视化手段增强学生对抽象的数学问题的理解，锻炼学生的自我动手能力，这也是高校教学改革的一个重要方面。
复变函数是高等数学的一个重要分支，是很多专业的基础课程，该课程内容抽象，定理证明复杂，大部分教材侧重理论分析，复变函数可视化内容难得一见。
目前对于复变函数可视化教学实践主要包含理论分析、计算机编程、教育意义的思考等，不仅从理论上探讨了可视化的可行性与重要性，还从教学实践的层面上分析了可视化在教学中所存在的问题及相应的对策，有很多一线教师总结了复变函数可视化教学的实施经验，还开发了一系列有创意的可操作的课题学习案例，其中有来自于数学知识内部的，也有来自于实际生活中的，甚至还有和其它学科相关联的课题等等。
本文是作者根据自己教授《复变函数》的教学实践，总结的一些教学心得。
1 复变函数可视化有利于学生熟练掌握计算机编程语言复变函数的可视化需要借助计算机来实现，因此教师和学生本身必须熟悉计算机编程语言。
原则上，可以通过c，fortran等语言来实现，但是基于成本考虑，个人更倾向于matlab语言编程。
matlab 是美国mathworks 公司20 世纪80 年代中期推出的数学软件，优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱颖而出。
由于matlab不区分实数、复数和整数之间的区别，所有数都采用双精度表示，再加上matlab中具有丰富的数学函数库使得计算更加简便，所以利用matlab 编写复变函数程序更加方便，实现复变函数的数据计算以及图形显示更加快捷。
在《复变函数》教学中matlab的应用非常广泛，可以用来可视化函数，计算残数，分析傅里叶级数，理解平面场问题，应用到傅里叶变换和拉普拉斯变换中等，有兴趣的读者可以参考文献[1]。
复变函数论文
期中考试复变函数的微积分理论与实变函数微积分理论的比较与应用学院：数学与计量经济学院班级：10级数学与应用数学01班姓名：***学号：***********一·复变函数微积分理论1复变函数微分 (3)2复变函数积分 (4)二·复变函数微积分与实变函数微积分的比较······永远的对手或者同伴？1复变函数微积分与实变函数微积分的联系 (5)2复变函数微积分与实变函数微积分的区别 (6)三·复变函数微积分理论在实际中的应用1复变解析函数的应用：平面向量场 (7)2应用复变积分求积分的几个例子 (8)四.附注之写在论文后头的话 (8)1·复变函数微分仿照实变函数的定义，我们对复变函数的导数给出定义，我们说的是，在某点在Z 0的某领域有定义，且Δz 以任意方式趋于0的时候，如果比值Δf/Δz 的极限z f ∆-∆+→∆)(z f lim Z Z 000z ）（存在，就说此极限为函数f （z ）在Z 0处的导数。
同样，仿照实变函数，复变函数出现了微分，就在我们以为复变函数会依照实变函数的老路子一直走下去的时候，解析函数的概念横空出世，一个函数在某点解析比起它在这点可微要严格多了，因为解析就是配合区域出现的，好的，如果你在某点可导，没有其他选择，必须有这样一个区域包含该点，然后你在这个区域类可导。
如果函数在某点z （0）处不解析，但是在它的任意一个邻域内都有f （z ）的解析点，则z （0）为函数f （z ）的奇点，对这一点来说，它应该感到很无奈，明明可以构建一个解析点的点列以它为极限，但它就是就是不解析，这也就是说解析点不能“求极限”。
这个点又是骄傲的，沿环绕它的周线积分，积分值不再是0，比如i 2a -z dz cπ=⎰，其中C 为绕点a 的周线，此时尽管周线线上每点都是解析的，但函数沿周线积分不等于01，即奇点所在区域积分与路径有关。
复变函数与积分变换论文
复变函数论文复变函数在反馈系统稳定性中的应用姓名：李欢欢学号：0914101 21学院(系)：电气与电子工程系专业：电气工程及其自动化指导教师：秦志新评阅人：完成日期：2011年12月25日星期日复变函数在反馈系统稳定性中的应用一、摘要:Laplace变换在分析反馈系统稳定性有着关键作用，求解一些简单的稳定性问题也很方便。
但对于一些较为复杂的反馈系统，用Laplace变换就不方便了。
通过对“辐角定理和奎斯特判据”和Laplace变换及特征方程，根与系数关系劳斯判据，根据三种方法的对比及其不同方法的特点体现出利用辐角定理结合奎斯特判据处理反馈系统问题的优越性。
辐角定理与奈奎斯特判据解法简单易懂便于推广，同时在其他领域也有着广泛的应用。
二、关键词:反馈系统、幅角、奈奎斯特判据、极点、零点三、正文: 【提出问题】:在电气电子工程及其自动化控制过程中，如图所示负反馈放大电路是最为常见的，应用最广泛的电路之一Xi 为输入量，Xi ’为电路中信号净输入量，Xf 为反馈量，“ ”为反馈系统在实际应用中，当输入信号为零即Xi=0时。
由于某种电扰动（如合闸通电或者外来信号干扰）其中含有的信号经过电路的放大，产生输入信号，而输出信号再进过负反馈系统再次进入输入，如此循环下去，电路将产生自激振荡，反馈系统将无法正常工作，处于不稳定状态。
所以如何保持反馈系统稳定工作，不致于产生自激振荡、在实践上和理论上都是一个必须解决的问题。
【分析问题】:如图所示表示单个回路反馈系统，整个反馈系统的输出Y(s)，与输入X(s)之间的 关系为Y(s)=H1(s)[X(s)-H2(s)Y(s)]则闭环传输函数）（s H s H s H s X s Y s H 211)(1)()()()(+==而开环传输函数）（）（s H s H s H 21)(='将H （s ）进行拉氏反变换得∑∑==--=-==ni ni pit kie pi s kig s H g t h 1111][][)(）（式中Pi 为H （s ）的极点。
复变函数论文
题目：拉普拉斯变换法在专业上应用的认识摘要：本文主要讨论了拉普拉斯变换法在电气工程及其自动化专业（自动化控制理论）中的应用，本文从三个方面对它进行了集中的阐释，首先是较为深入地讨论了拉普拉斯变换在物理学线性电路及自动控制系统中的典型应用，从而表明该变换不论在理论研究还是在实际应用中都具有非常重要的意义；其次是分析电路的稳态过程常采用经典法来求解，然而对复杂的电路．经典法就显得繁琐．甚至要用计算机才能求解，提出的把拉普拉斯变换应用于电路的稳态过程，即把求解困难的微分方程转化为能方便求解的代数方程；最后是讨论如何利用拉普拉斯变换方法解决复杂电路分析问题，结合一些实例，说明用该方法解题的思路和步骤。
由理论结合实际，由点及面分层剖析了拉普拉斯变换法在电气工程及其自动化专业中的应用。
关键词：拉普拉斯变换，微分方程，电路目录：拉普拉斯变换法在电路分析中的应用正文：在自动控制专业中，对信号处理时的传递函数理论分析、各类信号处理中的时-频域理论分析等内容要应用拉普拉斯变换进行处理；拉普拉斯变换是由复变函数积分引导出的—个非常重要的结论，它在物理和应用数学中都占有很重要的地位。
1、运用拉普拉斯变换求解电路的基本方法在物理教学中，常会碰到具有非零初始条件的电路求解问题。
我们通常采用拉普拉斯变换法对电路进行求解。
拉氏变换求解电路有两种方法 ；一是先根据电路及物理定律写出相应微分方程 ，再取拉氏变换求解；二是一开始就将电路中的每个元件取拉氏变换再运用 KCL 、KVL 定律建立代数方程求解 。
下面以《电磁学》课程中的RC 稳态过程及RLC 稳态过程为例，用拉氏变换的两种方法对电路进行分析求解。
例：图示电路，设电容器C 两端已充有电压，电压值为ε。
求当开关K 闭合后，电路中的电容两端的电压Uc ，电路中的电流i 及电阻两端的电压U R 。
用一般方法进行求解，如上图RC 电路中，开关K 闭合前，电容C 已经充电，其电压ε=C u 。
复变函数论文完整版
摘要:在自动控制原理中,应用比较多的一种数学模型是频率特性,频率特性是系统频率响应与正弦输入信号之间的关系,频率特性虽然是一种稳态特性,但它不仅反映系统稳态性能,而且还可以用来研究系统稳态性和暂态性能。
在实际应用中,求解正弦信号稳态响应时,用解析方法求解往往十分复杂,对于高阶系统就更加困难,因此常常在频域分析中把输出的稳态响应和输入的正弦信号用复数表示,可化为实频和虚频特性并且利用图解分析法,从复数的角度更容易理解和计算。
关键词:复数,时域，频域，频率特性,自动控制,实频,虚频,稳态特性在自动控制中，分析系统首先要建立数学模型,然后采用各种方法对系统进行分析,由于多数控制系统是以时间作为独立变量,所以往往用时间域的分析方法,即用解析方法求解系统的稳态响应,虽然用解析的方法不难求出线性定常量一、二阶系统的稳态响应,但是如果遇到高阶系统用求解的方法就会十分复杂。
随着科学和技术的发展,复数理论已越来越显示出它的作用,它不仅对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且在解决系统分析中,系统常常通过从实域变换到频域中研究频率特性起到重要作用。
在复变函数中,复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位,复数有多种表示方法,诸如向量表示,三角表示,指数表示等,欧拉在1748年发现了关系式后,并且第一次用i来表示-1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位,虚数实际上不是想象出来的,而它是确实存在的,德国数学家在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数都能用一条数轴表示,同样虚数也能用一个平面上的点来表示,这就是复数的复平面特性,在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并且这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点c就表示复数a+bi ,复数z=a+bi(a,b=R)与有序实数对(a,b)是一一对应的关系,这是因为对于任何一个复数z=a+bi由复数相等定义可知,可以有一个有序实数对(a,b)唯一确定,如z=3+2i可以由有序实数对(3,2)确定,又如z=-2+i可以由有序实数对(-2,1)来确定,又因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,由此可知,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系,点z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可以用点z(a,b)表示,这个建立直角坐标系来表示的平面就是复平面。
复变函数论文
复变函数论文复变函数在数学和物理学中具有广泛的应用，是一门研究复数域上的函数性质的学科。
复变函数是指定义在复数域上的函数，即自变量和函数值都是复数。
复变函数研究的对象包括函数的连续性、可导性、解析性、奇点、级数展开等方面。
本文就复变函数的定义、主要性质及其在物理学中的应用进行了较为详细的讨论。
首先，复变函数的定义与实变函数类似。
设$z=x+iy$是复平面上的一个点，其中$x$和$y$是实数，$i$是虚数单位。
如果存在一个规则使得对于任意给定的$z$，有唯一确定的$w$与之对应，则称$w$是关于$z$的函数值。
这样的函数就是复变函数。
复变函数的一些重要性质包括连续性、可导性和解析性。
连续性是指函数在定义域内的收敛性，即当自变量趋向于某一点时，函数值也趋向于某个常数。
可导性是指函数在某一点处存在导数。
解析性是指函数在定义域内处处可导。
复变函数的导数和积分也有着独特的性质。
复变函数的导数可以通过极限定义来计算，与实变函数的导数在形式上类似。
但是，在复变函数的可导性上有一些额外的要求，即柯西—黎曼方程。
如果函数在某一点处可导，则其必须满足柯西—黎曼方程的实部和虚部。
复变函数在物理学中的应用十分广泛。
一些传统的物理学问题，如电场、磁场和流体力学中的速度场，都可以通过复变函数来描述。
例如，电场可以用复函数的实部，磁场可以用虚部来表示。
此外，复变函数还可以用来解决热传导、量子力学和场论的问题。
在电工学中，复变函数被广泛应用于交流电路的分析中。
通过使用复变函数，可以将交流电路中的电流和电压描述为复数，从而简化计算。
此外，复变函数还可用于计算电路的传输函数和频率响应。
在量子力学中，复变函数被用来描述波函数的演化。
波函数是用来描述粒子在量子力学中的运动状态的函数。
它的复变性质使得我们可以用复变函数来描述粒子的位置和动量，从而解决薛定谔方程。
总结起来，复变函数在数学和物理学中都有广泛而重要的应用。
它的研究涉及函数的连续性、可导性、解析性、积分等方面。
复变函数论文
复、实变函数的比较与应用作者:阮玲花学号:2专业:数学与应用数学复、实变函数的比较与应用姓名:阮玲花班级:数学132 学号:2数域从实数域扩大到复数域后,便产生了复变函数论,并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。
复变函数论着重讨论解析函数,而解析函数的实部与虚部就是相互联系的,这与实函数有根本的区别。
有关实函数的一些概念,很多都就是可以推广到复变函数上。
例如:函数的连续性、函数的导数、有(无)界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。
在中学我们主要了解学习了实变函数,与大学期间我们又更加深入的学习研究了实变函数,与此同时,也开始复变函数的学习。
由此我们瞧到了:“数的扩展:正数→负数→实数→”,在实数范围内:当方程判别式小于0时,没有实根。
→扩大数域,引进复数,这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉,它们有很深的联系,然而事实上,她们有很大的不同,有很大的区别。
下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。
(一)实变函数实变函数论即讨论以实数为变量的函数,然而实变与常微分方程等不同,简单地说就就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。
由于诸如狄利克雷这样的简单函数都不可积,所以原有的积分范围太窄了,进而便产生了Lebesgue创立新积分的原始思路。
Lebesgue积分:(二)复变函数复变函数就是数学分析的继续,复变函数的定义:若在复数平面上存在一个点集E ,对于E 的每一点z,按照一定规律,有一个或多个复数值W 与之相对应,则称W 为z 的函数,记作)(z f W =,z ∈E 邻域:以复数0z 为圆心,以任意小正实数ε为半径做一个圆,则圆内所有点的集合称为0z 的邻域。
把复变函数的)(z f 的实部与虚部分别记作u(x,y)与v(x,y),)(z f =u(x,y)+iv(x,y),所以,复变函数可以归结为一对二元实变函数。
(三) 实变函数及与复变函数比较1.自变量的不同以实数作为自变量的函数就做实变函数;即实数→实变量→实变函数。
《复变函数的复杂性》论文
《复变函数的复杂性》论文
复变函数是数学里一个很有用的概念，它以抽象的形式表达因果对应关系，并将复杂的问题转化为简单易于理解的形式，成为数学和工程应用中的重要工具。
但当介入复变函数时，很容易不经意间将其复杂性忽略。
复变函数的复杂性来源于它的定义，数学定义是指复变函数在实数域上的可微性，即它不仅依赖于单个参数，而且还受到它所有参数的影响。
每个参数都会改变函数的值，使参数变化不能简单地按照单一参数进行建模，这就是复变函数的复杂性。
此外，它的复杂性还与函数的分析有关。
复变函数的可微性意味着，如果要确定函数的局部特征，那么就必须用分析的方法去推导这些特征，这意味着，需要深入的数学知识和工具，对于普通的学生来说，要想准确知道复变函数的特定特征，则非常困难。
在复变函数的应用中，它的复杂性也体现得淋漓尽致。
如果要用复变函数来解决实际问题，就必须将多个参数及其变化范围考虑在内，而参数的变化会改变函数的值，这就要求对复变函数的计算和求解必须更加灵活，以便在给定参数变化范围内正确预测函数的变化趋势。
因此，复变函数的复杂性不可忽视，也必须正确理解它。
它可以帮助我们简化复杂的问题，但只有通过深入的数学分析，才能更好地研究它的复杂性，并有效地推导出它的局部特征。
只
有认真地学习复变函数，才能充分利用它的多变性，为现实世界的问题提供更有效的解决方案。
复变函数的孤立奇点及其应用(小学期论文)
复变函数的孤立奇点及其应用数学科学学院 数学与应用数学专业指导教师： xxx摘要:本文讨论了孤立奇点的定义、判别方法以及孤立奇点在留数计算中的应用。
关键词:孤立奇点；定义；判别方法；留数孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用,而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题. 1 孤立奇点的定义如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域}{a K -:R a z <-<0内解析,点a 是)(z f 的奇点,则称a 为)(z f 的一个孤立奇点.2 孤立奇点的判别方法设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z z ,,,,321 外处处解析，C 是D 内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么)(Re 2)(1z f s i dz z f nk a z Ck ∑⎰===π.一般来说，求函数在其孤立奇点0z 处的留数只须求出它在以0z 为中心的圆环域内的洛朗级数中101---）（z z C 项系数1-C 就可以了.但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利.例如，如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re 0=z z f s .如果0z 是本质奇点，那就往往只能用把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求1-C .若0z 是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数. 2.1 函数在极点处留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（.2.2 函数在无穷远点留数设∞为)(z f 的一个孤立奇点，即)(z f 在圆环域+∞<<z R 内解 析，则称dz z f iC ⎰)(21π （R z C >=ρ：） 为)(z f 在点∞的留数，记为]),([Re ∞z f s ，这里-C 是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）.如果)(z f 在+∞<<z R 的洛朗展开式为∑∞-∞==n n nz Cz f )(，则有1],[Re --==∞C f s .这里，我们要注意，∞=z 即使是)(z f 的可去奇点，)(z f 在∞=z 的留数也未必是0，这是同有限点的留数不一致的地方.如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零. 关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.0)(Re )(Re 1=+∞===∑z f s z f s z nk a z k.3 孤立奇点的应用例1 指出下列函数在零点z=0的级： （1）)1(22-z ez（2）)6(sin 6633-+z z z .解（1）用求导数验证：记0)0(,)1()(22=-=f e z z f z ，不难计算,0)0(,)(22)(23='++-='f e z z z z f z ,0)0(,2)2104()(224=''-++=''f e z z z f z,0)0(,)24368()(235='''++='''f e z z z z f z,24)0(,)2415611216()()4(24642=+++=f e z z z z f z ）（故0=z 为函数)1(22-z e z 的四阶零点. 由泰勒展式：由展开式)(!1!2112422+∞<+++++=z z n z z en z 可知)()!21()1(442222z z z z z e z z ϕ=++=- 其中)(!1!211)(222+∞<++++=-z z n z z n 在 ϕ内解析，10=）（ϕ. 故0=z 为函数)1(22-z e z 的四阶零点. (2)由展开式)()!12()1(!51!31sin 3615933+∞<++-+-+-=+z n z z z z z n n可知 )6(sin 6633-+z z z393615936)!12()1(!51!316z z n z z z z n n -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-+-=+ )(15z z ϕ=其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-=+ )!12()1(!71!516)(1266n z z z n nϕ 在+∞<z 内解析，0560≠=！）（ϕ.故0=z 是函数)6(sin 6633-+z z z 的15阶零点.例 2 证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的.即若不恒为零的函数)(z f 在R a z <-内解析，0)(=a f ，则必有a 的一个领域，使得)(z f 在其中无异于a 的零点（解析函数零点的孤立性）.分析 由于解析函数)(z f 不恒为零且0)(=a f ，所以利用)(z f 在点a 的泰勒展开式可知，总存在自然数1≥m ，使0)()()()1(==='=-a f a f a f m ，0)()(≠a f m （否则独所有m ，0)()(=a fm ，由泰勒定理0)(!)()(0)(≡-=∑∞=m m m a z m a f z f 矛盾）.于是可设a 为)(z f 的m 阶零点，然后由零点的特征来讨论.证（不妨设）a 为)(z f 的m 阶零点)()()(z a z z f m ϕ-=⇔，其中R a z z <-在)(ϕ内解析，0)(≠a ϕ.因)(z ϕ在a 处解析，则有0)()(lim ≠=→a z az ϕϕ，可取)(a ϕε=，存在着0>δ，当δ<-a z 时，)()()(a a z ϕεϕϕ=<-，由三角不等式)()()(z a a z ϕϕϕϕ-≥-）（便知当δ<-a z 时)()()()(a a z z a ϕεϕϕϕϕ=<-≤-）（ 即有0>）（z ϕ，故在a 的δ邻域内使0)(≠z ϕ. 例3 确定函数[])1(/1)(33-=z e z z f 的孤立奇点的类型.解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=-1!2)(1)1(233333z z z ez z+++=1296!31!21z z z ， 所以 0=z 是分母的六阶零点，从而是函数)(z f 的六阶极点. 例4 判别函数11sin)(-=z z f 的有限奇点的类型. 解 因为)(z f 在1=z 没有定义，更不解析，所以1=z 是)(z f 的奇点，在+∞<-<10z 内，展开)(z f 为洛朗级数：+-+---=-53)1(!51)1(!311111sinz z z z∑∞=+-+-=012)1()!12(1)1(n n nz n ， 有无穷多负幂项，故1=z 是)(z f 的本性奇点. 例5 考察函数11sec)(-=z z f 在点1=z 的特性. 解 因为)(2/11,11cos111sec是整数k k z z z k ππ++=-=-是分母11cos-z 的零点，所以这些点是11sec-z 的极点..从而知1=z 是这些极点的极限点)(∞→n ，不是孤立奇点.例6 求出函数)1/()(44z z z f +=的全部奇点，并确定其类型.解 分母41z +有四个一阶零点)3,2,1,0(4)2(=+k e k i ππ，它们不是分子的零因此是函数)(z f 的一阶极点.又11lim44=+∞→z z z ，所以∞=z 是)(z f 的可去奇点.例7 求出函数zz z f 1cot )(-=的全部奇点，并确定其类型. 解 容易求得)(为整数k k z π=是z cot 的一阶极点，这是因为()0)1(cos sin ≠-=='=k k z k z ππ.当00==z k ，时，而z z z z z z z z sin sin lim 1cot lim 00-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→)!3/(!5/!3/lim3530+-+-=→z z z z z z 0=，所以，0=z 是函数)(z f 的可去奇点，)(为不等于零的整数k k z k π=是)(z f 的一阶极点.又∞=z 是极点k z 当∞→k 时的极限点，不是孤立奇点.例8求zz 1sin2所有孤立奇点处的留数： 解：函数zz z f 1sin )(2=有孤立奇点0和∞，而且易知在+∞<<z R 内有洛朗展开式⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-= 532215113111sinz z z z z z ！！ -+-=3151131z z z ！！ 这既可以看成是函数zz 1sin 2在0=z 的去心邻域内的洛朗展开式，也可以看成是函数zz 1sin 2在∞=z 的去心邻域内的洛朗展开式.所以!31,1sin Re ,!310,1sin Re 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z z s z z s .参考文献:[1] 钟玉泉. 复变函数论，高等教育出版社, 2003年.[2] 王玉玉. 复变函数习题全解， 中国时代经济出版社,2008年. [3] 方企勤. 复变函数教程， 北京大学出版社, 2009年. [4] 傅作梅. 复变函数的应用，高等教育出版社,1996年. [5] 杨巧玲. 复变函数与积分变换， 机械工业出版社,2002年.。
复变函数结课论文
复变函数结课论文——《论复变函数的历史发展及专业应用》复数的概念源于求解方程组的根。
二次、三次代数方程的求根公式中就出现了负数开方的情况。
在16世纪中期，意大利的数学家卡尔丹诺在解三次方程时，首先产生了复数开平方的思想。
在17世纪到18世纪，复数开始有了几何解释，把它与平面向量对应起来解决实际问题。
复变函数论产生于18世纪，由数学家欧拉做出。
同时，复变函数是我国数学工作者从事研究最早也是最有成效的数学分支之一。
我国老一辈的数学家在单复变函数及多复变函数方面的研究成果，也都达到了当时的国际水平。
复数的一般形式是a+bi，i是虚数单位。
一复数作为自变量的函数叫做复变函数，与之相关的呢就是欧拉所做的复变函数论了。
解析函数是复变函数中具有解析一类性质的函数，复变函数论就是研究复数域之中的解析函数。
复变函数的许多概念理论等都是实变函数在复数范围内的推广与发展。
所以他们之间有着很大的相似之处。
但复变函数和事变函数也同样有着不同之处。
函数的理论、方法和概念在数学、自然科学和工程技术中都有着广泛的应用。
能够解决例如流体力学、热学、电磁学和弹性理论值的平面理论等诸多问题，在自然科学和生产技术发展的同时极大的推动了复变函数的发展并丰富了其内容。
我们在学习之中要正确的理解和掌握复变函数的数学概念和方法，逐步培养利用这些方法概念去解决实际问题的能力。
复变函数在很多领域都有非常重要的应用，其涵盖的范围十分广泛，甚至也已用来解决一些复杂的计算问题。
作为最富饶的科学的一类分支，复变函数在数学领域的应用尤为可见。
特别是在解析函数的微分理论（cauchy-riemann方程），积分理论（cauchy积分定理与积分公式），weierstrass的级数理论（taylor级数和laurent级数）等方面的应用。
除了这些之外，在别的领域里面的应用也是非常常见的。
比如说，物理学上有很多的不稳定场，所谓的场就是每点对应的有物理量的一个区域，对他们的计算就是通过复变函数来解决的。
论复变函数在专业中的应用复变函数论文-V1
论复变函数在专业中的应用复变函数论文-V1正文：复变函数是数学中极为重要的一个分支，也是物理、工程、计算机科学等众多领域的基础前提。
因此，复变函数在专业中的应用不可小觑。
本文将以下面的结构，重新整理《论复变函数在专业中的应用复变函数论文》的内容：一、复变函数定义及性质简介复变函数是指定义在复数域上的函数，其自变量和函数值均为复数。
在数学中，复变函数具有诸多性质，比如围道积分、柯西—黎曼方程、罗朗级数表示等等。
这些性质使得复变函数在实际应用中具有广泛的应用。
二、物理学中的应用物理学中有很多理论是基于复变函数的。
比如，复数阻抗在电路中的应用、量子力学中的路径积分、电动力学中的矢量分析等等。
更重要的是，在波动理论中，复变函数是频率域和时域之间转换的媒介，进而实现了信号处理和通信技术的快速发展。
三、工程学中的应用复变函数在工程学中的应用也尤为广泛，如控制理论、通信工程、机械工程、化学工程等。
比如，控制理论中的反向模型、通信工程中的信号处理、机械工程中的振动分析及优化、化学工程中的模拟和反应分析等。
四、计算机科学中的应用计算机科学中，复变函数的应用更是多方面，如图像处理、数据挖掘、计算机图形学等等。
比如，图像处理中的空间频率、数据挖掘中的神经网络、计算机图形学中的三维建模等。
五、结语综上所述，复变函数在专业中的应用是十分广泛的。
虽然每个领域有其具体的应用形式，但都离不开复变函数的数学基础。
因此，在学习复变函数理论的同时，我们也必须注重其实际应用，才能更好地把握它在专业中的价值。
复变函数论文
复变函数泛谈首先，复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。
而对于复变产生的意义，书中是这样给出的：由于解代数方程的需要，人们引出了复数。
复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。
复数的集合——复平面是一个二维平面，但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。
可以说复平面在现实世界中完全找不到具体的一一对应，是一个纯粹缔造出来的二维平面。
而就在最近我弄清了两个概念：数学与科学。
结论为：数学不是科学。
数学不属于科学的范畴，是一种逻辑学，作为工具的学科；而科学则是理论的集合。
哪怕是假命题如地心说，也是科学。
而区别一个学科是否是科学的，则需要另一门学科作为其判定依据：证伪学。
最终令我信服秉洁说的一个理论是：可被证明或证伪的属于科学；而数学，是不可被证伪的。
这一定程度上说明了数学是一门形而上学的学科，甚至包括几何学在内。
而在数学当中，在我看来复数领域的形而上学兴则更加突出。
曾见过有人在论述形而上学时拿虚数和量子理论作为例证。
我也曾一度认为量子理论中无观察者的不可知的事物量子状态可以用虚数来表示。
当然现在看来，这是一种很浅薄的想法。
就好比将著名的佯谬——薛定谔的猫的生死与否映射到复数域上。
我曾看到有人对此作过一个类似性形而上学的证明，若将猫的生死，即铀的衰变与否映射到复数域上，那么为了对应铀的衰变概率分布的均匀，不妨将其对应到一队共轭复数上。
当观察者出现，猫的生死被确定，不确定性即消失，那么其映射的复数的不存在性也应该消失，即将复数反映到实数域上，相应的运算即取模，可知共轭复数的模是相等的，这与确定后猫的生死的不同是矛盾的。
当然，这种简单的推理本身便不甚科学。
但结论应为正解：不确定不等于不存在，二者不可相互映射。
为了对虚数进行深入的认知，下面介绍一下虚数的发展历史：16世纪意大利米兰学者卡当（1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。
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复变函数论文《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用系别：专业名称：学号：姓名：指导老师：年月日《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用摘录：随着现代科学技术理论的发展，学课间的联系越来越紧密，通过相互协助，使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷的解决。
由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。
文章主要介绍了：1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；2，怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算； 3，复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的；4，复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。
关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。
1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier 级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier 变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域域频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。
例1：已知描述某稳定的连续时间LTI 系统的微分方程为''''()3()2()2()3(),y t y t y t x t x t ++=+系统的输入激励3()()t x t e u t -=，求该系统的零状态响应()zs y t 。
解：由于输入激励()x t 的频谱函数为1()3x j j ωω=+， 根据微分方程可得到该系统的频率响应为22()32()3()()3()2(1)(2)j j H j j j j j ωωωωωωω++==++++， 故该系统的零状态响应()zs y t 的频谱函数()zs Y j ω为2()3()()()(1)(2)(3)zs j Y j X j H j j j j ωωωωωωω+==+++，将()zs Y j ω表达式用部分分式法展开，得13122()23zs Y j j j j ωωωω-=++++， 由Fourier 反变换，可得系统()zs y t 的零状态响应为2313()()()22t t t zs y t e e e u t ---=+-例2：已知某连续时间LTI 系统的输入激励()()t x t e u t -=，零状态 响应2()()()t t zs y t e u t e u t --=+，求该系统的频率响应()H jw 和单位冲 激响应()h t 。
解：对()x t 和()zs y t 分别进行Fourier 变换，得1()1X jw jw=+， 1132()12(1)(2)zs jwY jw jw jw jw jw +=+=++++ 由于 ()()()zs Y jw H jw X jw =， 故 1()22H jw jw=-+， 对()H jw 进行Fourier 反变换，即得系统的单位冲激响应h(t)，2()2()()t h t t e u t δ-=-分析：由上述例题可知，对连续时间LTI 系统零状态响应的时域求解，如果利用冲激响应与输入信号的卷积的方法，则较为复杂（过于复杂，上述例题未做解析），则在有限的时间内不能作出很好的作答，难于解出；而利用上述方法，对连续时间LTI 系统零状态响应的频域求解，将时域的卷积运算转换成频域的乘积运算，再通过Fourier 反变换求其时域的解比在其时域的直接求解较为清晰，简捷，因此使用Fourier 变换进行信号系统的频域分析比较方便，实用。
推广：Fourier 变换不仅在信号系统领域的运用比较广泛，而且在其他领域的运用也比较多，例如电路分析中的单位脉冲函数，，振动力学，电工学，无线电技术，自动控制理论，无源静电场内电势的边值问题等，Fourier 变换都占有很重要的地位。
2， 怎样利用留数定理对Laplace 反变换进行计算；由于信号的时域表示和S 域表示是一一对应的，当由信号的的Laplace 变换X （s ）求解信号的时域表示x(t),即为Laplace 反变换，在信号系统中计算Laplace 反变换的方法主要是留数法和部分分式展开法，前者根据Laplace 反变换的定义入手，利用复变函数中的留数定理得到时域信号，后者是将S 域表示式分解成许多简单的表示式之和，然后分别得到原时域信号。
（1）留数的定义：设Zo 为f(z)的孤立奇点，那么f(z)在Zo 的留数Res[f(z),Zo]=C-1=1()2cf z dziπ⎰,其中C 为去心邻域0Z Zo R <-<内的任意一条正向简单闭曲线。
如果Z=∞ 为f(z)的孤立奇点，那么f(z)在Z=∞ 的留数Res[f(z), ∞ ]= 1()2C f z dz i π-⎰,其中C 为R 内绕原点的任意一条正向简单闭曲线。
（2）留数定理：设函数f(z)在区域D 内除有限个孤立奇点1z ，2z ，…n z 外处处解析，C 为D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么1()2Re [(),]nk k cf z dz i s f z Z π==∑⎰，这个定理把求沿封闭曲线C 的积分，转化为求被积函数在C 中的各孤立奇点处的留数。
（3）根据留数的定义及留数定理对Laplace 反变换的计算可以直接从其定义，即1()()()2j Lst j x t X s X s e ds j σσπ+∞-∞←−→=⎰，上式为一复变积分，积分路径是s 平面上平行于虚轴的直线0C σσ=>。
为了应用留数定理，必须补上一个半径充分大的圆弧，使圆弧与直线构成闭合围线，用围线积分来代替线积分。
由Jordan （约当）引理，若满足条件lim()0s R X s =−−→∞=，则1lim()0,0R st R C X s e ds t →∞=>⎰，2lim()0,0R st R C X s e ds t →∞=<⎰，因此Laplace 反变换积分等于围线积分乘以12jπ，即111()()[()()],022R j c j stst st j c j C x t X s e ds X s e ds X s e ds t j jσσππ+∞+∞-∞-∞==+>⎰⎰⎰或21[()()],02R c j st st c j C X s e ds X s e ds t jπ+∞-∞+<⎰⎰，由留数定理，复平面上任意闭合围线积分等于围线内被积函数所有极点的留数之和。
举例如下:例（1）：已知信号x(t)的Laplace 变换为22(),Re{}0(3)(1)s X s s s s s +=>++,试用留数法求x(t). 解：X （s ）具有两个单极点120,3P P =-和一个二阶极点31P =-.则分别求出相应极点的留数为0222Re {()}(3)(1)3st sts s s s X s e ses s s ==+==++，332321Re {()}(3)(3)(1)12st st ts s s s X s e s e e s s s -=-=-+=+=++，21111213Re {()}(1)()(21)!(3)24st ststt t s s s dd s s X se s X s e ete e dsds s s --=-=-=-+=+==---+所以: x(t)= 32113()31224t t t e te e u t ---⎛⎫+-- ⎪⎝⎭.即得解例（2）：利用留数法对信号22(),Re{}1(1)(2)sse X s s s s -=>-++,进行Laplace 反变换，求x(t).解：由Jordan 引理，02t ≤<范围内，Laplace 反变换可表示为2(2)(2)221()[],2(1)(2)(1)(2)R s t s t c j c j c se se x t ds ds js s s s π--+∞-∞=+++++⎰⎰ 由于围线内无极点，所以x(t)=0.当2t ≥时，Laplace 反变换可表示为由于X （s ）有一个单极点P1=-1和一个1(2)(2)22211()[]Re [()],2(1)(2)(1)(2)R s t s t c j sts pk c j c k se se x t ds ds s X s e js s s s π--+∞=-∞==+=++++∑⎰⎰二重极点P2=-2,其相应的留数为2(2)121Re [()](2)s ststt s s se s X s e e e s ---=-=-==-+, 22(2)2(2)2212Re [()][(1)()][]32(3)st st stt t s s s dd s s X se s X s e e e te dsds s s ----=-=-=-+=+==-++,所以:(2)2(2)2(2)()[32](2)t t t x t e e te u t ------=--+-.即得解。
例3：已知信号x(t)的Laplace 变换为22(),Re{}143s X s s s s +=>-++，利用部分分式法求Laplace 反变换。
解：X （s ）为有理真分式，极点均为一阶，因此有12222()43(1)(3)13k k s s X s s s s s s s ++===+++++++，11121(1)()32s s s k s X s s =-=-+=+==+，23321(3)()12s s s k s X s s =-=-+=+==+，故Laplace 反变换为311()()()22t t x t e u t e u t --=+。
分析：从以上可以典型例题看出：运用复变函数与积分变换中的留数及其应用对求解信号系统中Laplace 反变换的计算具有很大的帮助，能够很好的解决信号系统中有关Laplace 变换的问题，与部分分式法相比，虽然比较复杂，但留数法适用的范围却比较广，能够更好的辅助信号系统的学习，对信号系统有很大的促进作用。
推广：Laplace 变换除了在信号系统中有很好的应用外，其在力学系统，无线电技术，电学系统，自动控制系统，可靠性系统，随机服务系统也有很多的运用，在学科的建立中起着重要作用。