圆型限制三体问题平动点的稳定性
拉格朗日点和平面圆三体问题[转]
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拉格朗日点和平面圆三体问题[转]中文名称：拉格朗日点英文名称：Lagrangian point定义：圆型限制性三体问题中存在的五个秤动点的总称。
包括两个等边三角形点和三个共线点。
拉格朗日点指受两大物体引力作用下,能使小物体稳定的点.一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中的一点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。
这些点的存在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的。
1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。
在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。
每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角.，1767年数学家欧拉Leonhard Euler (1707-1783)根据旋转的二体引力场推算出其中三个点（特解）L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗日Joseph Lagrange(1736-1813) 推算出另外两个点（特解）L4、L5；但后来习惯上将这五个点都称为“拉格朗日Lagrange”或“拉格朗日点Lagrangian points”；有时也称为“平动点libration points”。
发现18世纪法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（拉格朗治）在1772年发表的论文“三体问题”中，为了求得三体问题的通解，他用了一个非常特殊的例子作为问题的结果，即：如果某一时刻，三个运动物体恰恰处于等边三角形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三角形队形运动。
A.D1906年，天文学家发现了第588号小行星和太阳正好等距离，它同木星几乎在同一轨道上超前60°运动，它们一起构成运动着的等边三角形。
同年发现的第617号小行星也在木星轨道上落后60°左右，构成第2个拉格朗日（拉格朗治）正三角形。
20世纪80年代，天文学家发现土星和它的大卫星构成的运动系统中也有类似的正三角形。
三体稳定解参数
三体稳定解参数《三体》是刘慈欣所著的科幻小说，其中涉及到了许多科学概念和理论，包括三体稳定解参数。
在小说中，三体稳定解参数是指三体星系中三个恒星之间的相对位置和运动状态，这些参数对于三体星系的稳定性至关重要。
然而，在现实世界中，三体稳定解参数是一个复杂的数学问题，涉及到天体力学和动力系统理论。
本文将详细解析三体稳定解参数的概念、计算方法和应用。
一、三体稳定解参数的概念在数学和物理学中，三体问题是指三个质点在相互作用下的运动问题。
三体稳定解参数是指三个质点在空间中的初始位置和初始速度，这些参数决定了三个质点在相互作用下的运动轨迹和稳定性。
三体问题是一个高度复杂的问题，因为三个质点之间的相互作用会产生非线性动力学行为，导致系统的运动轨迹非常复杂。
二、三体稳定解参数的计算方法三体稳定解参数的计算方法主要基于数值模拟和解析方法。
数值模拟方法是通过计算机模拟三个质点在相互作用下的运动，通过迭代算法求解三体问题的数值解。
解析方法是基于拉格朗日或哈密顿力学理论，通过求解微分方程或积分方程来得到三体问题的解析解。
然而，由于三体问题的非线性特性，解析解通常只能用于特定的初始条件或特殊的限制情况。
三、三体稳定解参数的应用三体稳定解参数在天体物理学和航天工程等领域有着重要的应用。
在天体物理学中，三体稳定解参数可以用于研究星系中的三星系统，了解它们的运动轨迹和稳定性。
在航天工程中，三体稳定解参数可以用于设计航天器的轨道和姿态控制系统，确保航天器在空间中的稳定性和安全性。
四、三体稳定解参数的挑战和研究进展三体问题是一个具有挑战性的数学问题，目前还没有找到通用的解析解。
然而，随着计算机技术的发展，数值模拟方法在解决三体问题上取得了重要的进展。
研究者们通过大量的数值模拟实验，发现了许多有趣的现象和规律，如周期解、准周期解和混沌解等。
此外，研究者们还在探索新的数学方法和理论，以解决三体问题。
结束语：总之，三体稳定解参数是一个复杂的数学问题，涉及到天体力学和动力系统理论。
变质量椭圆限制性三体问题
作者： 郑学塘[1];郁丽忠[2]
作者机构： [1]华东工程学院应用物理系;[2]华东工程学院应用物理系
出版物刊名： 南京理工大学学报：社会科学版
页码： 1-6页
主题词： 天体力学 三体问题 平动点 质量天体 琼斯定律
摘要： 该文利用Мещерскuu时空变换和波动坐标系研究了变质量椭圆限制性三体问题,得到小天体在波动坐标系中的运动方程、积分不变式和平动点的位置。
文中指出:当小天体的质量减少时,所有平动点都移向坐标原点,当小天体的质量增加时,所有平动点都离开原点。
天体的中三体问题
天体中的三体问题韩博伟谈三体问题算是经典力学里面的天体力学的老难题了，从牛顿那个时候起就是物理学家和数学家的恶梦。
先说一下什么叫三体。
用物理语言来说，在一个惯性参考系中有N个质点，求解这N个质点的运动方程就是N体问题。
参考系是惯性参考系，也就是说不受系统外的力的作用，所有的作用力都来自于体系内的这N个质点之间。
在天体力学里面，我们通常就只考虑万有引力。
用数学语言来说，经典力学的N体问题模型就是，在三维平直空间里有N个质点，每个质点的质量都已知而且不会变化。
在初始时刻，所有质点的位置和速度都已知。
每个质点都只受到来自其它质点的万有引力，引力大小由牛顿的同距离平方成反比的公式描述。
要求解的就是，任意一个时刻，某个质点的位置。
N=2，就是二体问题。
N=3，也就是我们要说的三体问题了。
N=2的情况，早在牛顿时候就已经基本解决了。
学过中学物理后，大家都会知道，两个质点在一个平面上绕着共同质心作圆锥曲线运动，轨道可以是圆、椭圆、抛物线或者双曲线。
然而三体运动的情况就糟糕得多。
攻克二体问题后，牛顿很自然地开始研究三体问题，结果也是十分自然的——头痛难忍。
牛顿自述对付这种头痛的方法是：用布带用力缠紧脑袋，直至发晕为止—虽则这个办法治标不治本而且没多少创意，然而毕竟还是有效果的。
其实，三体运动已经是对物理实际简化得很厉害了。
比如说对质点，自转啦、形状啦我们统统不用考虑。
但是只要研究实际的地球运动，就已经比质点复杂得多。
比如说，地球别说不是点，连球形都不是，粗略看来是个赤道上胖出来一圈的椭球体。
于是，在月球引力下，地球的自转轴方向就不固定，北极星也不会永远是那一颗。
而考虑潮汐作用时，地球都不能看成是“硬”的了，地球自转也因此越来越慢。
然而即使是极其简化了的三体问题，牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、庞加莱等等大师们为这个祭坛献上了无数脑汁也未能将它攻克。
当然，努力不会完全白费的，许多有效的近似方法被鼓捣了出来。
平动点轨道的动力学与控制研究综述
１３００宇航学报第３０卷解平动点附近相空间的框架。
事实上，关于周期轨道的寻找，可以追溯到非线性科学之父Ｐｏｉｎｃａｒ６，他曾认为周期轨道是解决三体问题的唯一办法ｐ３。
早期的研究仅限于平面情形，Ｓｔｒｆｉｍｇｒｅｎ找到了相应的周期轨道一ｏ，其中包括后文将涉及到的平面Ｌｙａ－ｐｕｎｏｖ轨道和大幅值逆行轨道；Ｍｏｕｈｏｎ在三维情形下研究了平动点附近的振荡运动旧１，并首先得到了后来被称为“Ｈａｌｏ轨道”的周期解和垂直Ｌｙａｐｕｎｏｖ轨道。
Ｈ６ｎｏｎ研究了平面轨道问题。
“，提出了“垂直稳定性指标”口．．用来判断平面轨道抵抗出平面扰动的能力；并指出Ｉ瓯Ｉ＝ｌ为平面轨道向三维情形分叉的临界点。
Ｂｏｂｉｎ和Ｍａｒｋｅｌｌｏｓ阐释了对称轨道（轴对称、面对称、双重对称）由二维向三维分叉的机理‘９１。
Ｚａｇｏｕｒａｓ和Ｋａｚａｎｔｚｉｓ研究了日一木系统共线型平动点附近的三维运动，由平面Ｌｙａｐｕｎｏｖ轨道分叉得到了Ｈａｌｏ轨道¨…。
Ｈｏｗｅｌｌ和Ｃａｍｐｂｅｌｌ研究了圆型限制性三体问题（ＣＲ３ＢＰ）的Ｈａｌｏ轨道的分叉情况，证明随着Ｊａｃｏｂｉ积分的增加，ｎ．周期（ｎ＝２，３，４，５，…）Ｈａｌｏ轨道会陆续出现。
“。
近百年来对周期轨道的研究过程中，连续、分叉等研究非线性动力学的有力工具也被逐步发展起来¨“。
到目前为止，关于周期轨道的探索已取得丰硕的成果，大量轨道簇被发现（见图１）。
图１ＣＲ３ＢＰ的周期轨道分叉图‘”１Ｆｉｇ．１ＴｈｅｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｓｏｆｐｅｒｉｏｄｉｃｏｒｂｉｔｓｉｎＣＲ３ＢＰ航天界对平动点的研究始于１９５０年，Ｃｌａｒｋｅ首先指出地月系厶点是实现月球背面通讯和广播的理想位置。
１４］。
Ｆａｒｑｕｈａｒ和Ｂｒｅａｋｗｅｌｌ认为实现月球背面与地球联系的最好方式是将卫星配置在￡：点附近的周期及拟周期轨道，并根据周期轨道的“晕”形状将其命名为“Ｈａｌｏ轨道”¨“。
Ｆａｒｑｕｈａｒ和Ｋａｍｅｌ研究了太阳引力下周期及拟周期轨道的高阶解析式（Ｆａｒｑｕｈａｒ—Ｋａｍｅｌ展开式）¨“。
三体系统运动规律及稳定性分析
三体系统运动规律及稳定性分析三体系统是指由三个天体组成的运动系统，这三个天体之间相互受到引力作用，相互影响彼此的运动轨迹。
三体问题是一个复杂而困难的物理问题，在天文学、力学等领域具有广泛的研究价值。
在三体问题中，主要研究天体的运动规律和系统的稳定性。
为了研究这一问题，我们需要引入一些基本的物理概念和数学方法。
首先，我们可以通过牛顿力学的运动方程来描述天体之间的相互作用力，即万有引力定律。
其次，我们可以使用质心系来描述系统的整体运动，通过定义质心坐标和质心动量来简化问题。
最后，我们可以通过数值模拟等方法来解决三体问题，以求得系统的运动轨迹和稳定性。
在研究三体系统的运动规律时，我们可以根据不同的初始条件和参数，得到不同的运动轨迹。
常见的运动形态包括：闭合轨道、周期轨道、混沌轨道等。
闭合轨道是指天体在一定的时间内重复运动轨迹，形成稳定的封闭曲线。
周期轨道是指天体在无限时间内重复运动轨迹，但不一定是闭合曲线。
而混沌轨道则是指天体的运动轨迹非常敏感于初始条件，表现出无规则、不可预测的运动形态。
在稳定性分析方面，我们可以通过判别确定性和混沌性来评估三体系统的稳定性。
确定性是指系统的运动规律能够由一组确定的初始条件完全确定，而不受微小扰动的影响。
混沌性则是指系统的微小扰动会导致运动轨迹的剧烈改变，表现出不可预测和敏感依赖于初始条件的特征。
对于稳定性分析，我们可以使用线性稳定性分析和非线性稳定性分析。
线性稳定性分析是指在给定初始条件附近进行小幅度线性扰动，通过求解线性化的运动方程来评估系统的稳定性。
非线性稳定性分析则是考虑系统的非线性效应，通过数值模拟等方法来研究系统的长期动力学行为。
三体系统的稳定性分析是一个复杂而有挑战性的问题。
在实际应用中，通过数值模拟等方法来研究三体系统的运动规律和稳定性是一种常用的手段。
这些方法的发展使得我们能够更加深入地理解三体系统的行为，探索宇宙中的奥秘。
总之，三体系统的运动规律和稳定性分析是非常繁琐而困难的问题，但也是极富挑战性和研究价值的。
限制性三体问题共线平动点相流结构研究
通 信 作 者 简 介 ： 言 俊 （ ９３ ）， ， 士 ， 授 ， 士 生 导 师 ， 李 １４ 一 男 博 教 博 研
究 方 向 ： 航 、 导 与控 制 。 导 制
２７ ２２
科
学
技
术
与
工
程
１ 卷 １
点 垂直于 ， 的超平 面 ， 对任 意充 分 接近 的 则
⑥
பைடு நூலகம்
２ １ Ｓｉ ｅｈ Ｅ ｇｇ ０ ｃ Ｔ ｃ ． ｎｎ ． １ ．
限 制 性 三 体 问 题 共 线 平 动 点 相 流 结 构 研 究
张 汉 清 李 言 俊 张 科 孙 小 炜
（ 西北 工业 大 学 航 天 学 院 ， 西安 ７ ０ ７ 西 安 应 用 光 学研 究 所 西 安 ７ ０６ ） １０ ２； ， １０ ５
区域相 流的扭 转特 性 ， 后 为 了 克服 流 形 管 道破 裂 然
的 问题 ， 设计 了一 种 打 靶 方 法 ， 算 并 分 析 了相 流 计 长 期演化 的转 移特 性 。
空 间物 资 运 输 方 便 ， 非 常 适 于 进 一 步 的 深 空 探 且
测， 是建 立太 空基 地和 星 际航 行 港 的最 佳选 择 。 Ｃ ｎｅ ｌ 于 １６ ｏｌ 】 ｙ ９ ８年 研 究 了 平 动 点 附 近 的 相 流 结 构 ， 为平 动点轨 道 的不 变 流形 将 分 离 转 移 与 非 认 转 移轨 道 ， 而转 移轨 道 即可 用 来 构 造 地月 之 间 的 低 能飞行 轨 道 。 同时 ， ｃ ｅｅ 也 研 究 了平 动 点 附 Ｍ Ｇ ｈｅ
１ ７０。
，
将 所得 截 面 曲线绘 制 于 同一 幅 图 中 ， ２显 图
受摄圆型限制性三体问题平动点渐近稳定性法则及应用
收 稿 日期 ：０ ０—０ ２１ ５—１ 。 ２
基 金项 目 ： 西 省 白然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ５ １２ ） 江 西 省 教 育 厅 科 技 项 Ｆ（ Ｊ ８ ７ ） 江 ０ １０ ５ ； １ＧＪ ３７ 。 ０ 作 者简 介 ： 云 辉 （９７一） 男 ， 师 ， 士 。 易 １７ ， 讲 硕
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第３ ５卷 第 １ 期 ２ １ 年 ２月 ０１
南 昌 大 学 学报 （ 科 版 ） 理 Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ａ ｅ ａ ｇ Ｕ ｉ ｒｉ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ） ｏ ｒａ ｏ Ｎ ｎ ｈ ｎ ｎｖ ｓ ｙ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｅ ｔ ｅ
Ｖ０ ． ５ Ｎｏ １ ３ ．１ Ｆｅ ２ ｂ． ０１１
摘
要 ： 用 著 名 的 霍 尔 维 茨 （ ｕｗｔ） 理 ， 到 ｒ受 摄 圆型 限 制 性 三 体 问 题 平 动 点 稳 定 的一 个判 别 条 件 ， 应 用 利 Ｈ ｒｉ 定 ｓ 得 并
它 讨 论 了与 速 度 有 关 的外 力摄 动 对 圆型 限制 性 三 体 问题 三 角 平 动 点 稳 定 性 影 响 ， 进 了文 Ｉ 的 主要 结 论 。 改 ２中
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十 二＝ ＋ ， ２ Ｆ
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后 的平动点 （ ， ） ， 。 一 易知 系统 （ ）的平动点 （ ， ）特征 方程为 １ Ｙ
地月三体问题下L1-地球低能转移轨道设计
地月三体问题下L1-地球低能转移轨道设计张汉清;李言俊【摘要】针对地月拉格朗日L1点流形无法到达地球附近的问题,介绍了基于扰动流形的L1-地球转移轨道设计方法,首先构造了扰动流形的参数化形式,通过搜索四维参数空间,给出了多种经过数值优化的转移轨道,在总结数值仿真结果的基础上提出采用轨道角动量定性分析轨道转移机理的方法,明确了L1-地球转移轨道的设计应以降低轨道角动量为目标,克服了以往优化方法搜索的盲目性,揭示了转移轨道所依据的动力学特征,最后给出了基于轨道转移机理设计的低能转移轨道,证明了该方法的有效性.【期刊名称】《哈尔滨工业大学学报》【年(卷),期】2011(043)005【总页数】5页(P84-88)【关键词】圆型限制性三体问题;拉格朗日点;转移轨道;扰动流形【作者】张汉清;李言俊【作者单位】西北工业大学,航天学院,710072,西安;西北工业大学,航天学院,710072,西安【正文语种】中文【中图分类】V412地月系拉格朗日L1点位于地球和月球之间，是圆形限制性三体问题(CR3BP)模型下距地球最近的动平衡点［1］，该点附近的周期轨道不受大气阻力影响，没有空间碎片、原子氧等侵袭，空间物资运输方便，且非常适于进一步的深空探测［2］，是建立太空基地和星际航行港的最佳选择.在空间飞行任务的历史中，利用拉格朗日点已完成了6项任务，所有的都是在日地系统中展开的，这一方面是由于日地系统中L1点流形能够到达地球附近，探测器可以方便地切入流形，使得转移轨道的设计较简单.在地月系统中，L1点流形无法到达地球附近，因此需要采用新的方法来设计转移轨道，Belbruno等［3］在1987年用数值方法发现了借助太阳引力的地月低能转移轨道，后来发展成为弱稳定边界理论.W.S.Koon等［4］应用不变流形理论在一定意义上证明了二维情况下地月低能转移轨道的存在.F.B.Zazzera等［5］基于Lambert弧拼接方法得到了地球-L1转移轨道，现有的数值优化方法基本上是“摸黑”搜索低能量转移轨道［6-8］，对轨道的转移机理缺乏认识.本文介绍了基于扰动流形的地月L1点和地球停泊轨道之间转移轨道的设计方法，给出了多种经过数值优化的转移轨道，然后在总结仿真结果的基础上提出了采用轨道角动量来分析轨道转移机理的方法，揭示了转移轨道所依据的动力学特征，最后给出了基于轨道转移机理设计的低能转移轨道.1 扰动流形方法由L1点Lyapunov轨道(Ax=10 470 km，Ay=31 068 km)向地球200 km停泊轨道的转移为例说明设计方法，由于CR3BP的对称性，地球向L1点Lyapunov轨道的转移为转移轨道沿x轴的镜像.由 CR3BP动力学［9-10］知，处在 L1点Lyapunov轨道上的探测器只需要很小的机动力便可进入L1点不稳定流形并零消耗地沿流形滑动，由于L1点不稳定流形不能到达地球附近，因此可以设法在流形上某处进行轨道机动，这种机动可以视作对原不稳定流形的速度扰动，这里将扰动后不稳定流形的演化称为扰动流形.若以探测器离开Lyapunov轨道的时刻为零时刻算起，设速度扰动施加的时刻为Δt，扰动大小为Δv1，扰动方向与轨道速度方向的夹角为α，则可将扰动流形表示为WL1，dis(Δt，Δv1，α)，由于流形上的每条轨道可以按其离开Lyapunov轨道的时刻t参数化，则扰动流形上的轨道可以表示为lL1，dis(t，Δt，Δv1，α)，因为引入速度扰动可使扰动流形到达距地球更近的位置，因此通过适当选择参数(Δt，Δv1，α)可使扰动流形与200 km地球停泊轨道相切，然后再选择合适的参数t，在流形上找到1条与停泊轨道相切的轨道，这样探测器就可以沿着该轨道从Lyapunov轨道出发经过2次轨道机动转移到地球停泊轨道，第1次机动Δv1使探测器离L1点不稳定流形进入扰动流形，第2次机动Δv2使探测器由扰动流形转移到地球停泊轨道.为计算扰动流形，需首先将L1点不稳定流形积分Δt时长，得到一系列状态向量，设其形式为(x，y，vx，vy)，则在施加大小为Δv、方向为α的扰动后得到的状态向量为对这一系列扰动状态向量进行积分，便可得到扰动流形.为计算探测器在切入地球停泊轨道时所需的第2次机动Δv2大小，需将切入点状态向量(设为Xr)由地月会合坐标系变换到惯性坐标系下其中，Xin为切入点在地月质心惯性系下状态向量，t为轨道机动时刻，则其中的速度分量;vpo为停泊轨道的轨道速度;R为地球半径;h为轨道高度，这里取作200 km.2 数值搜索结果由于地月三体问题的非线性，下面对L1-地球转移轨道进行数值求解，根据扰动流形上轨道的通用形式lL1，dis(t，Δt，Δv1，α)，算法分为如下步:1)根据实际探测任务和探测器性能指标对四维参数空间(t，Δt，Δv1，α)进行降维或约束，确定优化算法的参数搜索空间.2)以lL1，dis到地心的最近距离dmin(lL1，dis)为优化算法的目标函数.3)粗搜索.在搜索空间内均匀选择采样点，寻找满足dmin(lL1，dis)＜20 000 km的参数组合.4)精搜索.以上面得到的参数组合作为迭代初值，应用序列二次规划(SQP)优化算法，微调1个或多个参数，得到满足dmin(lL1，dis)=R+h的轨道.下面针对几种情况具体讨论转移轨道的数值搜索结果.2.1 Δv1机动方向与轨道速度方向相反的情况Δv1全部用于减小探测器动能，表1列出了所得到的3条转移轨道的相关轨道参数，其中ΔT为转移轨道的飞行时间.表1 反向机动的转移轨道参数?该类轨道与F.B.Zazzera基于Lambert弧拼接方法所得到的转移轨道类似，具有飞行时间较短的优点，对于地球到L1点的转移轨道，在实际任务中Δv2通常由运载火箭提供，而Δv1需由探测器本身提供，由于探测器本身携带的燃料有限，因此希望Δv1尽可能小，由表1看出，该类轨道Δv1较大，实现起来较困难.2.2 Δv1机动方向与轨道速度方向一致的情况该情况下，Δv1将使探测器动能增加，图1(a)显示了在(t=0，Δv1=180.4，α=0)时，dmin随机动时间Δt变化的曲线，可看出由于三体问题的非线性，轨道距地心的最近距离随机动时间剧烈变化，并且没有明显规律，取曲线上dmin等于停泊轨道半径的点p，其对应的转移轨道如图1(b)所示，表2总结了该类轨道的相关参数，该类轨道借助于增大的动能到达了月球附近，充分利用月球的引力作用使转移总能量消耗显著降低，另外该类轨道Δv1较小，但转移时间较长.图1 dmin的变化曲线及点p的径向机动转移轨道表2 径向机动的转移轨道参数?2.3 机动时间Δt较长的情况Δt较长也意味着总飞行时间较长，因此探测器有可能充分利用CR3BP轨道动力学特征，从而得到总能量消耗较小的转移轨道，表3总结了该类轨道的相关参数.从表中看出，该类轨道中确实有总Δv较小的情况，但也发现飞行时间较长并不总意味着能量消耗较小.表3 飞行时间较长的转移轨道参数?3 转移轨道机理分析第2节的参数空间数值搜索和优化方法并没有反映转移轨道内在的动力学原理，搜索过程具有相当的盲目性，并且由于三体问题的非线性和混沌效应，盲目地搜索并不总是能得到满足条件的优化轨道.通过对大量数值仿真结果的观察分析，发现虽然在CR3BP会合坐标系下探测器相对于原点的角动量不再守恒，但其取值依然存在一定的规律，并且是理解L1-地球转移轨道的关键.首先设探测器某时刻的状态向量为(x，y，，相对于坐标原点的角动量为h，探测器到原点的距离为d，则为了说明角动量变化的规律，选取3条Jacobi能量相同而初始角动量不同的轨道，求取轨道上每一点所对应的(d，h)值，并将其绘制在d-h平面，得到的d-h曲线如图2所示.图2 三条角动量不同的轨道对应的d－h曲线由轨道的d-h曲线图看出，同1轨道上每1点的角动量随离原点距离的增大而减小，并且d-h点均处于1个弧形区域内，随着轨道初始角动量的增大，d-h曲线所处的弧段逐渐缩短并向上移动，轨道所能达到的距地球最近的距离dmin变大.图3显示了3条初始角动量相同但Jacobi能量不同的轨道所对应的d-h曲线，可看出即使Jacobi能量不同，3条轨道的d-h曲线却基本重合，并具有相同的dmin值.根据此算例和大量数值仿真数据，可以得到以下的结论:1)轨道d-h曲线所处弧段与dmin值有对映关系，若要使轨道能够到达地球附近，其d-h曲线必须处在相应弧段内;2)轨道dmin值越小，则其d-h曲线所处弧段越低，对应的角动量越小;3)L1不稳定流形上的轨道普遍具有大角动量，其d-h曲线处于较高弧段，因此dmin值较大，无法到达地球附近.由以上分析可以看出，为使探测器由L1不稳定流形转移到地球附近，必须使d-h 曲线由高弧段转移到低弧段.显然，可行的方法是降低轨道角动量，一旦探测器处于低弧段内，它便能沿该弧段滑行到达地球附近.观察第2节采用优化算法所得到的各种转移轨道，可发现其轨道机动无一不是通过降低角动量来完成L1不稳定流形到地球停泊轨道的转移.图3 角动量相同而Jacobi能量不同的轨道对应的d－h点降低角动量得到转移轨道的原理，也可通过分析简化二体模型看出，由于L1-地球转移轨道本身的特点，在探测器飞向地球的轨道段可将月球引力视作一种小摄动，探测器仍近似遵循二体模型轨道动力学，为使探测器能到达地球附近，其轨道必须满足一定条件，设二体模型下探测器在惯性坐标系内的角动量为h，能量为C，则其中v为探测器速度向量，v⊥为v在垂直于探测器-地球连线方向上的分量，r为探测器位置向量，探测器在轨道近地点时有代入式(1)可解得其中|vperi|为探测器近地点速度，|rperi|为近地距.将|rperi|对|h|求导得于是，|rperi|为|h|的单调增函数，也就是说，在能量C不变的情况下，若要使轨道近地距等于地球停泊轨道半径，则角动量h的绝对值必须减小到一定程度，根据惯性坐标系到旋转坐标系的变换公式，旋转坐标系下的角动量也必需相应降低.4 基于转移机理的转移轨道设计根据降低角动量的方法不同，L1-地球转移轨道设计可归为如下2类:1)人工降低角动量.这种方法纯粹依靠变轨机动力来降低轨道角动量，对于大小相同的速度增量Δv1，其作用的位置距地球越远，且方向垂直于探测器-地球连线时，改变角动量的效果越明显，该类轨道的优点是总的转移时间较短，轨道稳定性较好，但相对下述第2类轨道总Δv增量稍大.2)借助月球引力降低角动量.数值仿真表明，当探测器飞越月球附近时，轨道角动量将受月球引力的影响而改变，例如图4(a)显示了t= 9.7、Δt=25.7，Δv1=100时，α在(0，2π)之间变化时得到的一族轨道，图4(b)显示了其中1条轨道s的d-h曲线，可以看出探测器飞离月球越近，月球引力对角动量的影响越显著，进一步分析发现探测器从图4(a)中A区域飞越月球时角动量将降低，从B区域飞越月球时角动量将增大.图4 月球引力对一族转移轨道的影响及其中1条轨道s的d－h曲线基于以上原理，可设计转移轨道使其尽可能多地穿越A区域，并且尽可能少地穿越B区域，从而使角动量下降到需要的水平，得到接近地球的转移轨道.该类轨道的优点是充分利用月球引力加速作用，总能量消耗较小，但由于该类轨道依赖于和月球精确的相对位置关系，微小的轨道误差便可能使探测器完全偏离预定轨道(如图1(a)所示)，因此对轨道测量和控制精度要求较高.以上2种方法并不相互排斥，因此可结合起来设计最优转移轨道，首先采用方法1)确定施加Δv1的位置和方向，然后采用方法2)结合优化算法得到Δv1的大小，最后计算得到Δv2.图5显示了结合2种方法设计的转移轨道以及对应的d-h曲线，轨道机动不但本身能降低角动量，而且使转移轨道2次穿越A区域，充分利用月球引力作用，该轨道具有能耗较小且稳定性较高的优点，但转移时间较长.图5 结合2种方法设计的转移轨道及其对应的d－h曲线，总Δv=3 136 m/s，Δ T=159 d5 结论本文介绍了基于扰动流形的L1-地球转移轨道设计方法，给出了各种经过数值优化的转移轨道，在总结数值仿真结果的基础上提出了采用轨道角动量分析轨道转移机理的方法，利用该方法可以克服数值优化方法在大范围参数空间搜索的盲目性，极大的降低计算量并提高轨道设计效率，能对轨道的转移机理进行定性的分析，类似地，该方法同样可以用来分析和设计地月低能转移轨道.本文是在平面模型下对设计方法进行论述的，但所介绍的方法也可扩展到三维模型下，这时轨道角动量是一空间矢量，设计方法应以减小该矢量模值为目标.参考文献:［1］KOON W S，LO M W，MARSDEN J E，et al.Dynamical systems，the three-body problem and space mission design［M］.New York:Springer-Verlag New York Inc，2007.［2］徐明.平动点轨道的动力学与控制研究综述［J］.宇航学报，2009，30(4):1299-1313.［3］BELBRUNO E A，MILLERr J K.Sun-perturbed earthto-moon transfers with ballistic capture［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，1993，16(4): 770-775.［4］KOON W S，LO M W，MARSDEN J E，et al.Low energy transfer to the moon［J］.Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy，2001，81(1/2):63-73.［5］ZAZZERA F B，TOPPUTO F，MASSARI M.Assessment of mission design Including utilization of libration points and weak stability boundaries，final report，ESTEC contract No.18147/04/NL/MV［R］.Politecnico di Milano:ESTEC，2004.［6］BOOKLESS J，MCLNNES C.Control of lagrange point orbits using solar sail propulsion［J］.Acta Astronautica，2008，62:159-176.［7］ANDREU M A.The quasi-bicircular problem［D］.PhDthesis.Universitat de Barcelona，1999.［8］LI Mingtao，ZHENG Jianhua.The optimization of transfer trajectory for small amplitude halo orbits［J］.Measurement and Control，2008，41(3):81-84.［9］HOWELL K C，BECKMAN，PATTERSON C，et al. Representations of invariant manifolds for applications in three body systems［J］.Journal of the Astronautical Sciences，2006，54(1):69-93.［10］ANDERSON R L，LO M W，BORN G H.Application of local lyapunov exponents to maneuver design and navigation in the three-body problem ［C］//AAS/AIAA. Astrodynamics Specialist Conference Big Sky，AAS 03-569.Montana:Jet Propulsion Laboratory，2003:1-18.。
太阳摄动下的地-月系统特性
太阳摄动下的地-月系统特性张云燕;李楠;李言俊【摘要】分析了太阳引力摄动下地-月系统的动力学特性.以地-月圆型限制性三体问题为基础,考虑与其非共面的太阳运动,建立了受摄地-月问题的动力学模型;求解此模型的平衡点位置,考察了它们的变化规律及稳定性;构造了非自治系统的类Jacobi积分,从而得到受摄三体系统的零速度面,分析了其连通域随地-月相位的变化情况.计算结果表明,在太阳引力摄动下,地-月系统的平衡点位于无摄三体系统的平动点附近,稳定性也与其附近的平动点保持一致,受摄系统的Hill连通域与地月相位有关,并呈非周期性变化.【期刊名称】《火力与指挥控制》【年(卷),期】2014(039)002【总页数】4页(P25-28)【关键词】受摄地-月系统;平衡点;稳定性;Hill区域【作者】张云燕;李楠;李言俊【作者单位】西北工业大学航天学院,西安710072;上海卫星工程研究所,上海200240;西北工业大学航天学院,西安710072【正文语种】中文【中图分类】V142.4多体问题的力学特性以及小天体在多体力场中的运动目前正成为深空探测任务中的研究热点。
迄今为止，研究最多、应用最广的当数二体问题和三体问题，尤其是三体问题，因其特殊的力学特性，正得到越来越广泛的应用。
三体问题中最常用也是最简单的模型是圆型限制性三体模型，它的研究对象是任何一个相互旋转的两大天体和一个小天体所组成的系统，其中小天体的质量很小，对两大天体的运动几乎没有影响。
随着航天任务的不断发展，出现了许多对三体模型的改进和特性研究。
文献［1-3］建立了BCP模型，在地-月三体问题中引入了太阳引力的影响，但这个模型假定太阳和地月运行于同一平面内，忽略了黄白交角。
文献［4］的模型考虑了第四体的引力摄动，但模型中的三个大天体也位于同一平面内，其模型结构类似于BCP模型。
文献［5-6］研究了QBCP模型，它对BCP 模型中大天体的运动进行了改进使其自洽，比较复杂，适用范围小。
圆形限制性三体问题
圆形限制性三体问题圆形限制性三体问题（Circular Restricted Three-Body Problem，简称CRTBP）是物理学家和天文学家研究系统动力学的一个重要实例，它描述了一个受两个大质量物体（太阳和月球）的引力影响，而另一个质量很小的物体（卫星）在其中轨道运动的系统。
CRTBP可以用来描述太阳-地球-月球系统，也可以用来描述任何其他两个大质量物体和一个质量很小的物体之间的关系。
CRTBP是一个复杂的非线性系统，它描述了三个物体之间的相互作用。
这个系统的特征是，它是一个非线性系统，即每个物体的行为可以有许多不同的解，而且这些解可能会影响其他两个物体的行为。
此外，由于物体之间的相互作用，系统的力学行为可能会发生混乱的变化，这种变化被称为“混沌”。
在CRTBP中，第一个物体被称为“主体”，第二个物体被称为“助力”，而第三个物体被称为“小物体”。
主体和助力可以是任何两个质量不同的物体，如太阳和月球，或是任何其他两个质量不同的物体，比如行星和小行星。
小物体的质量必须比主体和助力的质量都要小得多，因此它的运动受到主体和助力的合力影响。
圆形限制性三体问题最早是由法国天文学家和数学家J. L. Lagrange 在18th世纪提出的，但它直到20世纪中叶才得到了广泛的应用。
当时，CRTBP被用来模拟太阳-地球-月球系统，这样就可以更准确地预测月球的运动轨道。
后来，CRTBP被广泛应用于模拟行星、小行星和其他多体系统的运动。
CRTBP的数学模型非常复杂，它涉及到多个变量，因此它的解是非常困难的。
为了解决这个问题，物理学家和天文学家们必须使用各种数学工具，如微分方程、偏微分方程和矩阵方程，来求解CRTBP。
此外，由于CRTBP的复杂性，研究者们还必须使用计算机模拟，以确定三体系统的轨道运动。
CRTBP在现代物理学和天文学中仍然是一个重要的研究课题，它可以用来研究太阳系中的行星、小行星、卫星和其他多体系统的运动。
《天体力学基础》课程教学大纲
《天体力学基础》课程中英文简介课程编码：TF课程中文名称：天体力学基础课程英文名称：The Fundamentals of Celestial Mechanics总学时：40 学分：2.5课程简介：《天体力学基础》是空间科学与技术专业的一门专业基础课程，本课程主要讲授天体的运动和形状方面的知识，主要包括二体问题，受摄二体问题，N体问题等内容。
通过教学使学生掌握二体问题、受摄二体问题、三体问题的基本概念、原理及其特性，掌握天体运动的方程建立的方法，认识三体问题与二体问题及其解法的区别。
初步掌握N体问题的基本运动方程、圆形限制性三体问题定性理论和摄动理论及其摄动方程的推导方法，使学生能利用常数变易法解摄动问题。
Course Description：《The Fundamentals of Celestial Mechanics》is a basic course for the discipline of Space Science & Technology. This course mainly introduces Celestial Mechanics that deals with the mechanical motion and shape of celestial objects, including the 2-body problem , 2-body problem with perturbation and N-body problem. The student will be taught to master the essential concept, principal and characteristic of 2-body problem , 2-body problem with perturbation and 3-body problem, as well as the method to derive the motion equation of celestial objects. Furthermore, the difference between 2-body problem and 3-body problem will be realized by the student during the education. The motion equation of n-body problem, the theory of circle restricted 3-bdoy problem and the derivation method of perturb equation could be mastered by the students priliminarily. In this way, the student can use the method of constant variation to solve perturbation problem.《天体力学基础》课程教学大纲课程编码： TF课程名称：天体力学基础课程英文名称：The Fundamentals of Celestial Mechanics总学时：40 讲课学时：40学分：2.5开课单位：航天工程系授课对象：空间科学与技术专业本科生开课学期：3春先修课程：理论力学基础天文学主要教材及参考书：《天体力学基础讲义》自编；《天体力学基础讲义》南京大学周济林编著《天体力学基础讲义》武汉大学汪海洪编著《天体力学基础讲义》南京大学周礼勇编著《The Foundations of Celestial Mechanics》 George W. Collins, 2004 by the Pachart Foundation dba Pachart Publishing House and reprinted by permission 《轨道力学》（美）Howard D.Curtis 著周建华等译科学出版社 2009《天体力学方法》刘林南京大学出版社 1998一、课程教学目的《天体力学基础》是空间科学与技术专业的一门专业基础课程，是作为将来从事空间应用领域工作的学生应该掌握的一门专业知识。
拉格朗日点
拉格朗日点科技名词定义中文名称：拉格朗日点英文名称：Lagrangian point定义：圆型限制性三体问题中存在的五个秤动点的总称。
包括两个等边三角形点和三个共线点。
所属学科：天文学（一级学科）；天体力学（二级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布百科名片拉格朗日点指受两大物体引力作用下,能使小物体稳定的点. 一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中的一点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。
这些点的存在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的。
1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。
在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。
每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角.目录概述发现现象拉格朗日点的五个特解L11L21L31L41L5天文学中的用途理性在太空闪光展开编辑本段概述就平面圆型三体问题，1767年数学家欧拉Leonhard Euler (1707-1783) 根据旋转的二体引力场推算出其中三个点（特解）L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗日Joseph Lagrange (1736-1813) 推算出另外两个点（特解）L4、L5；但后来习惯上将这五个点都称为“拉格朗日Lagrange”或“拉格朗日点Lagrangian points”；有时也称为“平动点libration points”。
编辑本段发现18世纪法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（拉格朗治）在1772年发表的论文“三体问题”中，为了求得三体问题的通解，他用了一个非常特殊的例子作为问题的结果，即：如果某一时刻，三个运动物体恰恰处于等边三角形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三角形队形运动。
A.D 1906年，天文学家发现了第588号小行星和太阳正好等距离，它同木星几乎在同一轨道上超前60°运动，它们一起构成运动着的等边三角形。
太阳摄动下的地-月系统特性
了系统 零速 度面 的变 化情 况 。
地一 月三体 系统受到各种摄动力影响 ， 其 中量 级高的当数太 阳引力 ［ 。考虑太阳引力 的影响 ， 建 立 日 一地 一月 质心 惯性 坐 标 系 ０ — ， ｌ ， ， 原 点 。为 日 一地 一月 质 心 ， 轴垂 直 于 黄道 面 ，其 指 向 由地 月质心绕太阳的旋转运动确定。 建立地 一月质心坐标系 Ｂ — ｌ ， ， 其坐标轴指 向与 ０ ， ｙ ， ｚ ， 各坐标轴相 同。 令Ｂ — ｘ ｙ ｚ为 以地 一 月质 心 Ｂ为 原点 的质 心 旋转
太阳摄动下的地 一月系统特性
张 云 燕 ， 李 楠 ， 李 言俊
（ １ ． 西北工业大学航天学院， 西安 ７ １ ０ ０ ７ ２ ； ２ ． 上海卫星工程研究所， 上海 ２ ０ ０ ２ ４ ０ ）
摘
要： 分析了太 阳引力摄动下地 一月系统 的动力学特性 。 以地 一月 圆型限制性 三体 问题为基础 ， 考虑 与其非共
面 的： 阳运动 ， 建立 了受摄地 一月问题 的动力学模型 ； 求解 此模 型的平衡点位置 ， 考察了它们的变化规律及稳定性 ； 构造了非 自治 系统的类 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 积分 ， 从而得到受摄三体系统的零速度面 ， 分析了其连通域随地 一月相位 的变化情况 。 计算结果表明 ， 在太阳引力摄动下 ， 地 一月系统 的平衡点位于无摄 三体 系统 的平动点附近 ， 稳定性也与其附近的平动
共线平动点附近的周期和拟周期轨道
轨道 ，并通过分析一个周期处的状态转移矩 阵 （ Ｍ矩 阵 ）分析 了各种轨道 的稳定 性 以及几 种周 期和 拟周期 轨道之 间 的关 系 。最后给出 了圆型限制型三体 模型下 Ｈ ｌ ａ ｏ轨道的牛顿迭代算 法。 关键字 ：共线平动点 ；Ｍ矩阵 ；Ｈ ｏ轨道 ；Ｌｓａ ｕ 轨道 ；Ｌａ ｕ ｏ ｌ ａ ｉ ｊｓ ｓｏ ｙｐ ｎｖ轨道
∑
，， ∑Ｖ 。 １ ＝
然后由线性解 的形式中得到这个迭代方程的
初值 ： ｏ ＝ ， ｖ０ Ｖ， ｏ ＝－１ ／１＝Ｋ， ０ ＝ １ ｏ ，Ｔｏ ｌ０
ｆ ＝ ａ ｏ（ｔ － ｃｓ ＋ ） ２ ｛ ＝￣ ｓ （ｔ ｒ ＇ ｉＡ＋ ） ／ ａｎ Ｉ ＝ｆ ｉ ｖ＋ ｌ ｎ ｔ ） ｓ（
（＝ ∑（∑ ￣ｍｏｋ ＋ Ｏ） ） ： ｃ（ ，ｍ２ａ ｆ ｓＯ ｋ ）
ｉ ＝ ｋ ｉｍ＜ ， ｌ ｌ， ｌ ｊ Ｊ＜ Ｉ ￣ ＿ ｊ
ｒ＝ｔ Ｃ ｅ 一￣ Ｃ２一 一ａ ｃ３ ｏ ｄ ｔ（ ） ／ ￣ ｌ却 １ ｅ ２ ｓ ２ ２ ｃ
刀） ∑（∑ ｑｍｎ ０ ｍ２ （ （＝ ｏｓ（ １ Ｏ） ５ ｋｉｋ ＋ ） ａ ）
上述 过 程 中 ，如 果 得 到 的 结 果 中 系 数 是 Ｃ
（ ）的表达式 ，就得到 了分析解 ，如 Ｒｃａ ｓ ｉ ｒｏ ｈｄｎ
标 系 （ Ｊｃｂ 坐 标 系 ） 中研 究 小 天 体 的 运 动 。 即 ａｏ ｉ
（） １
ｉ
２ｘ ２ ２， Ｆ＋＋ ／ ｙ半＋ ２
如图 １ ，此 模 型 下存 在 着 五个 特 解 ，即 五 个 平 动
对 此方 程在 共 线 平 动 点 附近 线 性 展 开后 ，分 析线性 化矩 阵 的特 征 值 可 知 ：ｚ方 向上 是 简 谐 振 动 ，运 动稳 定 ；Ｘ Ｙ平 面 内 特 征 值 有 两 个 异 号 实 根 ，两个 纯 虚根 ，运动 不 稳 定 ，可 知 共 线平 动 点 是 鞍点 。在 以 平 动 点 为 原 点 的 旋 转 坐 标 系 （ ，
受摄圆型限制性三体问题平动点渐近稳定性法则及应用
受摄圆型限制性三体问题平动点渐近稳定性法则及应用易云辉;舒斯会【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2011(035)001【摘要】A criterion for the asymtotically stability of libration points in the perturbed circular three-body problem.The effects of nebular drag on the stability of triangular libration points in the restricted circular three-body problem is investigated by the criterion. Some of Murray C D et al. ' s results are improved.%利用著名的霍尔维茨(Hurwits)定理,得到了受摄圆型限制性三体问题平动点稳定的一个判别条件,并应用它讨论了与速度有关的外力摄动对圆型限制性三体问题三角平动点稳定性影响,改进了文[1-2]中的主要结论.【总页数】3页(P35-37)【作者】易云辉;舒斯会【作者单位】江西科技师范学院数学与计算机科学学院,江西,南昌,330013;江西科技师范学院数学与计算机科学学院,江西,南昌,330013【正文语种】中文【中图分类】O177.91;O177.92【相关文献】1.考虑一个主体有强辐射的限制性三体问题平动点的线性稳定性 [J], 舒斯会;李嫣2.有摄圆型限制性三体问题平动点稳定的充要条件及应用 [J], 舒斯会;陆本魁;陈务深;刘福窑3.受摄限制性三体问题平动点线性稳定性的判断条件及在Robe问题的应用 [J], 舒斯会;陆本魁;陈务深;文福窑4.平动点线性稳定条件及阻力对限制性三体问题三角平动点线性稳定性的影响 [J], 舒斯会;陆本魁;刘福窑;陈务深5.含扁率J2和J3项的限制性三体问题平动点及其稳定性 [J], 孙威;王玉诏;黄国庆因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
动点问题三则(初三)
动点问题三则(初三)
陈永
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2016(0)9
【摘要】解决动点问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握动点运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量、不变关系或特殊关系．
【总页数】2页(P19-20)
【作者】陈永
【作者单位】江苏省涟水中等专业学校
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.平动点线性稳定条件及阻力对限制性三体问题三角平动点线性稳定性的影响
2.动点路径迷人眼抓住主动现原形
——中考主从动点路径问题的解题策略3.从特殊到一般从定点到动点
——以一堂初三复习课为例4.从特殊到一般从定点到动点——以一堂初三复习课为例5.初中数学动点问题教学实践研究——以二次函数动点问题为例
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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xy
0
=
2 xy
0
xz
0
yz
0,
0
zz 0
1
r13
r23
0
令
A
zz
0
0,可 将
z 方向的运动分离出来：
Z&& A Z
Z0cost, 2A
这是一个简谐振动的方程,所以 在 z 方向的运 动是稳定的.
3.5.1 变分方程与线性稳定性
在上述方程中将z自由度分离,只考虑关于X,YT的方程：
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z .
X,Y,Z是小量
代入运动方程：
d 2 x0 X
dt2
d 2
y0 Y dt
x
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
d 2 y 0 Y
dt2
d 2
x0 X
dt
y
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
x& v x ,
v&x
2vy
x
,
y& v y ,
v&y
2vx
y
,
z& v z ,
v&z
z
.
令方程组的右端全部为零则可解得平动点.
3.5.1 变分方程与线性稳定性
假 定 m 稍 微 偏 离 一 点 平 动 点 的 位 置 x0, y0, z0 T 到 新 的 位 置 x, y, z T ,其 中 ：
0 0 0
xx
0
V&Y V&Z
yx
0
zx 0
0 0 0
xy 0 yy 0 zy 0
0 0 0
xz 0
yz 0
zz 0
1 0 0 0
2
0
0 1 0 2
0
0
0 0 1
X Y Z
0
V
X
0 0
V V
Y Z
在 平 动 点 有 z 0, 显 然 地 ：
d 2 z 0 Z
dt2
z
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
而 上 述 方 程 组 的 右 端 可 以 在 x0, y0, z0 T 附 近 作 展 开 ,比 如 ：
x
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
0 表 示 求 导 在 x 0 ,y 0 ,z 0 T 处 进 行
Yi cieit
可 见 X & = A X 解 ( 由 X = B - 1 Y 给 出 ) 的 稳 定 性 情 况 由 系 数 矩 阵 A 的 特 征 根 决 定 .
3.5.1 变分方程与线性稳定性
考 虑 平 动 点 的 稳 定 性 ,系 数 矩 阵 为 :
0
0 1 0
0
0
0
1
A
x x 0
r15 0
x0 r25
0
1
y0
,
x பைடு நூலகம் 0
1
A
3
1
x0
r15 0
2
x0
12
r25 0
,
yy
0
1
A
3
1
r15 0
r25
0
y
2 0
.
其中
A
zz
0
1 r13
0
r
3 2
0
3.5.2 共线平动点线性稳定性
对 共 线 平 动 点 ,有 y0 0,则
X&
Y&
VV& &YX
0
0
xx0
yx 0
0 0
xy 0 yy 0
1 0 0
2
1002VVYXYX
.
各变量之间有耦合关系
例如VX VX X,Y,VY
平动点是否稳定,可以从X,Y,Z随时间的变化情况反映.Z是稳定的,而X,Y
的动力学演化情况则由上述常微分方程决定.
一般地,一个关于向量XX1,X2,L,XnT的常微分方程可写成如下形式:
xx
0
yy 0
2
2
xx 0
yy
0
xy 0
0.
这 个 方 程 的 根 是 容 易 求 出 的.
这 是 关 于 2 的 二 次 方 程
3.5.1 变分方程与线性稳定性
为 讨 论 平 动 点 的 稳 定 性 ,首 先 计 算 系 数 矩 阵 中 的 元 素 :
xy
0
3
1
x0
x
0
X
x
x
0
Y
y
x
0
Z
z
x
0
高
阶
项
3.5.1 变分方程与线性稳定性
在 上 述 方 程 中 略 去 高 阶 项 ,考 虑 到 平 动 点 的 性 质 ,最 终 可 以 将 关 于 X ,Y , Z T
的方程写成一阶形式：
X&
Y&
Z&
V&X
Y&= BAB-1Y
X = B -1Y , X&= B -1Y&
并且其中的系数矩阵 Λ=BAB-1 是一个对角矩阵 :
B -1Y& AB -1Y
1 0 L 0
Λ =B A B -1
0
2
L
0
.
M M O M
0 0 L n
一般地,这样的变换矩阵 B 可以这样构造:
B = B1, B2,L , Bn ,
天体力学基础
第三章
限制性三体问题
3.5 平动点的线性稳定性
圆型限制性三体问题中 m的运动方程为：
&x&
2
y&
x
1 n 2 x 2 y 2 1 ,
2
r1 r2
&y&
2 x&
y
其中
r12 x y 2 z 2 ,
&z&
z
r
2 2
x
1
y2
z2.
该运动方程可以改写成一阶方程组的形式：
xy 0
0
2 .
yx 0 yy 0 2 0
特征根由下述方程给出
01
0
0
d e t
xx
0
xy 0
0
1
2 0
yx 0 yy 0 2
即
Axx AEx0 detAE 0为特征方程
由特征方程可以解出特征根
4
4
xy
0,
0
xx
0
1
2A,
特征根方程:
yy
1 A.
0
4 2 A 2 1 2A 1 A 0.
令 2 B 2 A, C 2 1 2A 1 A 0,方 程 成 为 :
X &=AX.
A是nn矩阵
方程的解的情况由系数矩阵A决定.特别地,如果矩阵A是一个对角矩阵,该
方程的各个变量之间没有耦合关系,那么这个方程就可以解出来：
Adiag1,2,L,n X&i iXi Xi cieit i1,2,L,n
3.5.1 变分方程与线性稳定性
实际上,可以构造一个变换矩阵 B 使得 Y BX 从而将 X&= AX 变成
Y& BAB -1Y
若存在向量 x和数量 使 Ax x 则 x为矩阵A的特征向量 而 为相应的特征根
其中的 Bi 是矩阵 A 的第 i 个特征向量,并且这样的构造使得对角矩阵 Λ 中的 第i个对角元素是矩阵 A 的第i个特征根.
根据前述对角系数矩阵常微分方程解的情况,Y&= BAB-1Y ΛY 的解是: