二、定义法求轨迹方程(高中数学解题妙法)

二、定义法求轨迹方程
本内容主要研究定义法求轨迹方程.通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法.运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．
先看例题：
例：已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y
=-的距离小2.求曲线Γ的方
程.
解：设P (x ,y )为曲线Γ上任意一点，依题意，
点P 到点F (0，1) 的距离与它到直线y =－1的距离相等 , 24=x y
归纳整理：
熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键.
圆：到定点的距离等于定长
椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）
双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）
抛物线：到定点与定直线距离相等.
再看一个例题，加深印象
例：已知(0,7),(0,7),(12,2),-A B C 以C 为一个焦点，作过A ,B 的椭圆，求椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程.
故由双曲线定义知，F 的轨迹是以A ,B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支， 其方程为2
2
1(1)48x y y -=≤-.
总结：
1.用定义法求轨迹方程.熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，例如圆到定点的距离等于定长，椭圆到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离），双曲线到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离），抛物线到定点与定直线距离相等.
2.求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量．
练习：
1.已知点()1,0F ，点A 是直线1:1l x =-上的动点，过A 作直线2l ，12l l ⊥，线段AF 的垂直平分线与2l 交于点P .求点P 的轨迹C 的方程.
2.已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又 与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
3.如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设
圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4a 2 (a >1)，A (1,0)，记点N 的轨迹为曲线E . 证明曲线E 是椭圆，并写
出当a ＝2时该椭圆的标准方程.
4. 已知圆2249:(1)4A x y ++=,圆221:(1)4
B x y -+=,动圆D 和定圆A 相内切,与定圆B 相外切,
(1)记动圆圆心D 的轨迹为曲线C ,求C 的方程;
(2)M ､N 是曲线C 和x 轴的两个交点,P 是曲线C 上异于M ､N 的一点,求证PM PN k k ⋅为定值;
(3)过B 点作两条互相垂直的直线12,l l 分别交曲线C 于E ､F ､G ､H ,求四边形EGFH 面积的取值范围.
答案：
1.解:依题意,点P 到点()1,0F 的距离等于它到直线1l 的距离,
∴点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线1:l 1x =-为准线的抛物线.
∴曲线C 的方程为24y x =.
2.解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x
轴建立平面直角坐标系．
由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)、O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则 由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1；
由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2.
3.证明 依题意，直线m 为线段AM 的垂直平分线， ∴|NA |＝|NM |.∴|NC |＋|NA |＝|NC |＋|NM |＝|CM |＝2a >2，
∴N 的轨迹是以C 、A 为焦点，长轴长为2a ，焦距为2的椭圆． 当a ＝2时，长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2，
∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.。