二、定义法求轨迹方程(高中数学解题妙法)

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高三高考数学中求轨迹方程的常见方法

高三高考数学中求轨迹方程的常见方法

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,方程为
(x
1) 2
( y 1) 2
13 . 故 M 的
2
轨迹方程为 ( x 1) 2 ( y 1) 2 13 .
五、参数法 参数法是指先引入一个中间变量 (参数) ,使所求动点的横、纵坐标
所求式子中消去参数,得到 x, y 间的直接关系式,即得到所求轨迹方程
x, y 间建立起联系,然后再从
.
例 5 过抛物线 y 2 2 px ( p 0 )的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA 、 OB ,求弦 AB 的中点
3

3
故 k 的取值范围是 1 k 1且 k
3

3
5.已知平面上两定点 M (0, 2) 、 N (0,2) , P 为一动点,满足 MP MN PN MN .
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (直接法) (Ⅱ)若 A 、 B 是轨迹 C 上的两动点,且 AN
NB .过 A 、 B 两点分别作轨迹 C 的切线,设其交点
9.过抛物线 y2 4 x 的焦点 F 作直线与抛物线交于 P、 Q 两点,当此直线绕焦点 F 旋转时,
弦 PQ 中点的轨迹方程为

解法分析: 解法 1 当直线 PQ 的斜率存在时,
设 PQ 所在直线方程为 y k( x 1) 与抛物线方程联立,
y k( x 1),
y2 4x
消去 y 得
k 2 x 2 (2 k 2
1, 即 x
y y1
x1
0 .②
联解①②得
x1
3x y 2
2
.又点 Q 在双曲线 C 上,
3x y 2 2 3y x 2 2
(
)(
)
1 ,化简整理

求轨迹方程的六种方法

求轨迹方程的六种方法

中学数学解题方法讨论-------求轨迹方程的方法道县五中 周昌雪内容提要:求轨迹方程是每年高考的必考内容且分值较高、难度较大,所以能否正确求轨迹方程对高考的成败至关重要。

本篇论文归纳了六种常用的求轨迹方程的方法。

曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题,一般用待定系数法求方程;直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x ,y ,得方程,即为所求动点的轨迹方程,用直译法求解;若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合,可直接根据定义建立动点的轨迹方程,用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式,再用待定系数法求之;当所求轨迹上的动点P 随着曲线f(x,y)=0而变动时,且Q 的坐标可且动点P 的坐标(x 0,y 0)代入动点Q 的曲线方程即得曲线P 的轨迹方程,这就是所谓的轨迹代入法,即相关点法;若动点坐标满足的等量关系不易直接找到,可选取与动点坐标有密切关系的量(如角、斜率k 、比值等)作参数t ,根据已知条件求出动点的参数式方程,然后消去参数t 即得动点的轨迹方程,这种求轨迹的方程的方法叫参数法;如果动点是某两条动曲线的交点,则可联立两动曲线方程,消去方程中的有关参数,即为所求动点的轨迹方程,“交轨法”实际上也属于参数法,但它不拘于求出动点的坐标后再消参。

曲线与方程包括求曲线的方程和由方程研究曲线的性质两个方面的内容,每年必考。

求曲线方程的一般思路是:在平面直角分会坐标系中找出动点P (x,y )的纵坐标y 和横坐标x 之间的关系式(),0f x y =,即为曲线方程,其核心步骤是建系、设点、列式、代入、化简、检验。

检验即为由曲线上的点所具备的条件确定x,y 的范围。

、交轨法等求之。

求曲线方程有两类基本题型:其一是曲线形状明确且便于使用标准形式,此时用待定系数法求方程;另一类是曲线形状不明确,或不便用标准形式表示,这时常用直译法、定义法、思恋法、参数法由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式求解,这时要加强等价转化思想的训练。

怎么求轨迹方程

怎么求轨迹方程

怎么求轨迹方程求轨迹方程是解决数学问题的一种方法,它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍如何求解轨迹方程的方法和技巧,希望能对读者有所帮助。

一、轨迹方程的定义轨迹方程是描述物体在运动过程中所经过的路径的数学函数。

它通常用一组参数表示,可以是时间、速度、加速度等。

在二维空间中,轨迹方程可以表示为x=f(t),y=g(t),其中t为时间参数,x和y分别表示物体在水平和垂直方向上的坐标。

在三维空间中,轨迹方程可以表示为x=f(t),y=g(t),z=h(t),其中x、y、z分别表示物体在三个方向上的坐标。

二、求解轨迹方程的方法1.解析法解析法是一种通过分析物体运动的规律,推导出轨迹方程的方法。

这种方法通常适用于简单的运动情况,如直线运动、匀加速运动等。

例如,对于一个匀加速运动的物体,可以通过运用物理学公式推导出它的轨迹方程。

2.几何法几何法是一种通过绘制物体运动的轨迹图像,从而推导出轨迹方程的方法。

这种方法适用于物体运动的轨迹比较规则的情况,如圆形运动、椭圆形运动等。

例如,对于一个绕着圆心旋转的物体,可以通过绘制其轨迹图像,推导出它的轨迹方程。

3.数值法数值法是一种通过数值计算的方法,求解轨迹方程的近似解。

这种方法通常适用于无法用解析法或几何法求解的复杂运动情况,如自由落体运动、抛体运动等。

例如,对于一个自由落体运动的物体,可以通过数值计算出其在每个时间点上的位置,从而近似地求解出它的轨迹方程。

三、求解轨迹方程的技巧1.选择合适的方法在求解轨迹方程时,需要根据具体的问题选择合适的方法。

如果物体运动比较简单,可以采用解析法或几何法;如果物体运动比较复杂,可以采用数值法。

不同的方法有不同的优缺点,需要根据具体情况选择。

2.确定参数在求解轨迹方程时,需要确定一组参数来表示物体的运动状态。

这些参数可以是时间、速度、加速度等。

需要根据具体问题选择合适的参数,并注意参数的物理意义。

3.运用数学工具在求解轨迹方程时,需要运用数学工具,如微积分、向量、矩阵等。

高中数学解题方法-----求轨迹方程的常用方法

高中数学解题方法-----求轨迹方程的常用方法

练习
1.一动圆与圆
外切,同时与圆 x2 + y2 − 6x − 91 = 0内切,求动圆圆心
M 的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。
2. 动圆 M 过定点 P(-4,0),且与圆 :C x2+ -y2 8x = 0 相切,求动圆圆心 M 的轨迹方程。 1.在∆ABC 中,B,C 坐标分别为(-3,0),(3,0),且三角形周长为 16,则点 A 的轨迹方 程是_______________________________.
高中数学解题方法
---求轨迹方程的常用方法
(一)求轨迹方程的一般方法: 物1线.)定的义定法义:,如则果可动先点设P出的轨运迹动方规程律,合再乎根我据们已已知知条的件某,种待曲定线方(程如中圆的、常椭数圆,即、可双得曲到线轨、迹抛 方程。 P 满2.足直的译等法量:关如系果易动于点建立P 的,运则动可规以律先是表否示合出乎点我P们所熟满知足的的某几些何曲上线的的等定量义关难系以,判再用断点,但P 点的 坐标(x,y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程。 3. 参数法:如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量y=tg,(以t)此,量进作而为通参过变消数参,化分为别轨建迹立的普P 点通坐方标程xF,(yx与,该y)参=数0。t 的函数关系 x=f(t), 4. 代入法(相关点法):如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的,而该点的 运出动相规关律点已P'知的,坐(标该,点然坐后标把满P足'的某坐已标知代曲入线已方知程曲),线则方可程以,设即出可得P(到x动,点y),P 的用轨(迹x,方y程)。表示
题目 6:已知点 P 是圆(x +1)2 + y2 =16 上的动点,圆心为 B ,A(1,0) 是圆内的定点;PA 的中垂线交 BP 于点Q .(1)求点Q 的轨迹C 的方程;

高中数学:求轨迹方程的几种常用方法

高中数学:求轨迹方程的几种常用方法

高中数学:求轨迹方程的几种常用方法
由已知条件求动点轨迹方程是解析几何的基本问题之一,也是解析几何的重点。

轨迹方程的常用方法可归纳为以下四种。

一、普通法
例1. 求与两定点距离的比为1:2的点的轨迹方程。

分析:设动点为P,由题意,则依照点P在运动中所遵循的条件,可列出等量关系式。

解:设是所求轨迹上一点,依题意得
由两点间距离公式得:
化简得:
二、定义法
例2. 点M到点F(4,0)的距离比它到直线的距离小1,求点M的轨迹方程。

分析:点M到点F(4,0)的距离比它到直线的距离小1,意味着点M到点F(4,0)的距离与它到直线
的距离相等。

由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。

解:依题意,点M到点F(4,0)的距离与它到直线的距离相等。

则点M的轨迹是以F(4,0)为焦点、为准线的抛物线。

故所求轨迹方程为。

三、坐标代换法
例3. 抛物线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线交于A、B两点,动点C在抛物线上,求△ABC重心P的轨迹方程。

分析:抛物线的焦点为。

设△ABC重心P的坐标为,点C的坐标为。

解:因点是重心,则由分点坐标公式得:

由点在抛物线上,得:
将代入并化简,得:
四、参数法
例4. 当参数m随意变化时,求抛物线的顶点的轨迹方程。

分析:把所求轨迹上的动点坐标x,y分别用已有的参数m
来表示,然后消去参数m,便可得到动点的轨迹方程。

解:抛物线方程可化为
它的顶点坐标为
消去参数m得:
故所求动点的轨迹方程为。


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高中数学求轨迹方程的六种常用技法

高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一,也是近几年来高考中的常见题型之一。

学生解这类问题时,不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系,动辄就是罗列一大堆的坐标关系,进行无目的大运动量运算,致使不少学生丧失信心,半途而废,因此,在平时教学中,总结和归纳探求轨迹方程的常用技法,对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。

本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。

1.直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式,点到直线的距离公式,直线的斜率公式等,直接列出动点满足的等量关系式,从而求得轨迹方程。

例1.已知线段6=AB ,直线BM AM ,相交于M ,且它们的斜率之积是49,求点M 的轨迹方程。

解:以AB 所在直线为x 轴,AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系,则(3,0),(3,0)A B -,设点M 的坐标为(,)x y ,则直线AM 的斜率(3)3AM yk x x =≠-+,直线BM 的斜率(3)3AM yk x x =≠- 由已知有4(3)339y y x x x ∙=≠±+-化简,整理得点M 的轨迹方程为221(3)94x y x -=≠± 练习:1.平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2,则点P 的轨迹方程是 。

2.设动直线l 垂直于x 轴,且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点,P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点,求点P 的轨迹方程。

3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 ( ) A .直线 B .椭圆 C .抛物线 D .双曲线 2.定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形,再求其轨迹方程,这种方法叫做定义法,运用定义法,求其轨迹,一要熟练掌握常用轨迹的定义,如线段的垂直平分线,圆、椭圆、双曲线、抛物线等,二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。

轨迹方程的五种求法例题

轨迹方程的五种求法例题

动点轨迹方程的求法一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简整理,主要用于动点具有的几何条件比较明显时.例1已知直角坐标平面上点Q 2,0和圆C :,动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数如图,求动点M 的轨迹方程,说明它表示什么曲线.解析:设Mx ,y ,直线MN 切圆C 于N ,则有,,即,,.整理得,这就是动点M的轨迹方程.若,方程化为,它表示过点和x 轴垂直的一条直线;若λ≠1,方程化为,它表示以为圆心,为半径的圆.二、代入法若动点Mx,y 依赖已知曲线上的动点N 而运动,则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件,从而求得动点M 的轨迹方程,此法称为代入法,一般用于两个或两个以上动点的情况.例2,已知抛物线,定点A 3,1,B 为抛物线上任意一点,点P 在线段AB 上,且有BP :PA =1:2,当点B 在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程,并指出这个轨迹为哪种曲线. 解析:设,,由题设,P 分线段AB 的比,,∴,,解得, 又点B 在抛物线上,其坐标适合抛物线方程,∴,,整理得点P 的轨迹方程为其轨迹为抛物线.三、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程,在高考中常填空、选择题的形式出现. 例3,若动圆与圆外切且与直线x =2相切,则动圆圆心的轨迹方程是A ,,,,,,,,,,,,,,B122=+y x MQ ()0>λλλ=MQMN λ=-MQONMO 22λ=+--+2222)2(1y x y x 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x 1=λ45=x )0,45(2222222)1(3112-+=+-λλλλy x )-()0,12(22-λλ13122-+λλ12+=x y ),(),,(11y x B y x P 2==PBAPλ.2121,212311++=++=y y x x 2123,232311-=-=y y x x 12+=x y .1)2323()2123(2+-=-x y ),31(32)31(2-=-x y 4)2(22=++y x 012122=+-x y 012122=-+x yC ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D解析:如图,设动圆圆心为M ,由题意,动点M 到定圆圆心-2,0的距离等于它到定直线x =4的距离,故所求轨迹是以-2,0为焦点,直线x =4为准线的抛物线,并且p =6,顶点是1,0,开口向左,所以方程是.选B .例4,一动圆与两圆和都外切,则动圆圆心轨迹为 A 抛物线,,,,,,,,,B 圆,,,,,,,,C 双曲线的一支,,,,,D 椭圆解析:如图,设动圆圆心为M ,半径为r ,则有动点M 到两定点的距离之差为1,由双曲线定义知,其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支,选C .四、参数法若动点Px ,y 的坐标x 与y 之间的关系不易直接找到,而动点变化受到另一变量的制约,则可求出x 、y 关于另一变量的参数方程,再化为普通方程.例5设椭圆中心为原点O ,一个焦点为F 0,1,长轴和短轴的长度之比为t .1求椭圆的方程;2设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ,点P 在该直线上,且,当t 变化时,求点P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.解析:1设所求椭圆方程为由题意得解得,,,,,所以椭圆方程为. 2设点解方程组得,,,,,由和得其中t >1.消去t ,得点P 轨迹方程为和.其082=+x y 082=-x y )1(122--=x y 122=+y x 012822=+-+x y x .1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 12-=t t OQOP ).0(12222>>b a b x a y =+⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t ba b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a 222222)1()1(t y t x t t =-+-),,(),,(11y x Q y x P ⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 12-=t t OQ OP 1x x OQ OP =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222ty t x t y t x 或)22(222>=x y x )22(222-<-=x y x轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分. 五、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程.其过程是选出一个适当的参数,求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程.例6,已知两点以及一条直线:y =x ,设长为的线段AB 在直线上移动,求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程.解析:PA 和QB 的交点Mx ,y 随A 、B 的移动而变化,故可设,则PA :Q QB :消去t ,得当t =-2,或t =-1时,PA 与QB 的交点坐标也满足上式,所以点M的轨迹方程是以上是求动点轨迹方程的主要方法,也是常用方法,如果动点的运动和角度有明显的关系,还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程.但无论用何方法,都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围.y x 222=22=x y x 222-=22-=x )2,0(),2,2(Q P -ι2λ)1,1(),,(++t t B t t A ),2)(2(222-≠++-=-t x t t y ).1(112-≠+-=-t x t t y .082222=+-+-y x y x .0822222=+--+-y x x y x。

高考解析几何轨迹问题解题策略

高考解析几何轨迹问题解题策略

高考解析几何轨迹问题解题策略
一、轨迹方程的求法
1. 直接法:直接法就是不设出动点的坐标,而是根据题设条件,直接列出轨迹上满足的点的几何条件,并从这个条件对方程进行整理,得到轨迹方程.
2. 定义法:定义法就是根据已知条件,结合所学过的圆锥曲线的定义直接写出曲线的方程.
3. 参数法:参数法是指先引入一个参数,如时间、速度等,根据已知条件,写出参数方程,再消去参数化为普通方程.
4. 交轨法:交轨法是指利用圆锥曲线统一定义,通过求交点坐标来求轨迹方程的方法.
二、轨迹问题的解题策略
1. 转化化归:将待求问题转化为已知问题,将复杂问题转化为简单问题,将抽象问题转化为具体问题,这是解决轨迹问题的基本策略.
2. 设而不求:在轨迹问题中,设点而不求出点的坐标是常用的一种解题策略.
3. 整体代换:在轨迹问题中,有时通过整体代换可以简化运算.
4. 坐标转移:在轨迹问题中,有时可以通过坐标转移来转化问题.
5. 逆向思维:在轨迹问题中,有时通过逆向思维可以简化运算.。

高中求轨迹方程的方法

高中求轨迹方程的方法

高中求轨迹方程的方法
答案:
1.直译法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,易于表述成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直译法。

用直接法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明可以省略,但要注意“挖”与“补”。

2.定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。

3.待定系数法:若动点轨迹题意已直接告知,即为椭圆、双曲线、抛物线、圆或直线,则据题意直接用待定系数法求解。

4.代入法:动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P (x,y)却随另一动点Q(x',y')的运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x',y'表示为x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然而整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法。

5.参数法:求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使x,y之间建立起联系,然而再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程。

6.交轨法:求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点时常用此法,也可以引入参数来建立这些动曲线的联系,然而消去参数得到轨迹方程。

可以说是参数法的一种变种。

高中数学解析几何|求轨迹方程方法最全总结

高中数学解析几何|求轨迹方程方法最全总结

高中数学解析几何|求轨迹方程方法最全总结一、直接法若动点运动的条件是一些较为明确的几何量的等量关系,而这些条件易于表达成关于x,y的等量关系式,可以较为容易地得到轨迹方程(即遵循求轨迹方程的一般程序),这种方法我们一般称之为直接法.用直接发求轨迹方程一般都要经过建系、设点、列式、化简、验证这五个环节.二、定义法若动点轨迹的条件符合某一基本而常见轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)已从定义来确定表示其几何特征的基本量而直接写出其轨迹方程,或从曲线定义来建立等量关系式从而求出轨迹方程.三、代入法若动点运动情况较为复杂,不易直接表述或求出,但是能够发现形成轨迹的动点P(x,y)随着另一动点Q (X,Y)的运动而有规律的运动,而且动点Q的运动轨迹方程已经给定或极为容易求出,故只要找出两动点P,Q之间的等量关系式,用x,y表示X,Y再代入Q的轨迹方程整理即得动点P的轨迹方程,称之为代入法,也叫相关点法.四、参数法若动点运动变化情况较为复杂,动点的纵坐标之间的等量关系式难以极快找到,可以适当引入参数,通过所设参数沟通动点横坐标之间的联系,从而得到轨迹的参数方程进而再消去所设参数得出轨迹的(普通)方程,称之为参数法.点悟:注意落实好图形特征信息提供的解题方向,前提是自信,实力是运算过关.本题还可有一些较为简捷的解法,不妨试试五、交轨法若所求轨迹可以看成是某两条曲线(包括直线)的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,也可引入参数来建这两条动曲线之间的联系,再消参而得到轨迹方程,称之为交轨法.可以认为交轨法是参数法的一种特殊情况.点悟:交轨是一种动态解题策略,注意特殊或极限情况处理. 六、几何法认真分析动点运动变化规律,可以发现图形明显的几何特征,利用有关平面几何的知识将动点运动变化规律与动点满足的条件有机联系起来,再利用直接法得到动点的轨迹方程,称之为几何法.七、点差法涉及与圆锥曲线中点弦有关的轨迹问题时,常可以把两端点设为(x1,y1),(x2,y2),代入圆锥曲线方程,然后作差法求出曲线的轨迹方程,此法称之为点差法,也叫平方差法.运用此法要注意限制轨迹方程中变量可能的取值范围.点悟:上述方法是通过设直线AB的方程引入参数b得到动点M 轨迹的参数方程再消去参数得到普通方程,注意参数的取值范围,因而轨迹是一条线段.本题较为简捷的求法还可考虑点差法:。

求点的轨迹方程的六种常见方法

求点的轨迹方程的六种常见方法
BC CD DA
解:以AB所在直线为x轴,过o垂直AB 直线为y轴,建立如图直角坐标系.
DF
y
C
依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)
P
E
设 BE CF DG =k(0≤k≤1),由此有
G
BC CD DA
A
o
Bx
E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak) 直线OF的方程为 2ax+(2k-1)y=0……………①
且 BE CF DG .P为GE与OF的交点(如图). BC CD DA
问:是否存在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值?若存在, 求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.
y
DF
C
E P
G设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在两点,
使得P到两定点距离的和为定值.按题意有A(2, 0),B(2, 0),C(2, 4a),D(, 2, 4a).
整理得
x2 1
(y a)2 a2
1.
2
当a2 1 时,点P的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点 2
当a2 1 时,点P的轨迹为椭圆的一部分,点P到该椭圆焦点的距离的和为定长. 2
当a2 1 时,点P到椭圆两个焦点( 1 a2 , a)和( 1 a2 , a)的距离之和为定值 2.
2
2
• 以下举一个例子说明:
1.定义法
【例1】在ΔABC中,已知BC=a,当动点A满足条件sinC-sinB= 1 sinA时, 2
求动点A的轨迹方程.
解:以BC边所在直线为x轴,以线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.
因为sinC-sinB= 1 sinA,由正弦定理得:AB - AC = 1 BC ,

几种常见求轨迹方程的方法

几种常见求轨迹方程的方法

几种常见求轨迹方程的方法1.直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代替这等式,化简得曲线的方程,这种方法叫直接法.例1:(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程;(2)过点A(a,o)作圆O∶x2+y2=R2(a>R>o)的割线,求割线被圆O截得弦的中点的轨迹.对(1)分析:动点P的轨迹是不知道的,不能考查其几何特征,但是给出了动点P的运动规律:|OP|=2R或|OP|=0.解:设动点P(x,y),则有|OP|=2R或|OP|=0.即x2+y2=4R2或x2+y2=0.故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0.对(2)分析:题设中没有具体给出动点所满足的几何条件,但可以通过分析图形的几何性质而得出,即圆心与弦的中点连线垂直于弦,它们的斜率互为负倒数.由学生演板完成,解答为:设弦的中点为M(x,y),连结OM,则OM⊥AM.∵kOM·kAM=-1,其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点).2.定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,这种方法叫做定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件,或利用平面几何知识分析得出这些条件.直平分线l交半径OQ于点P,当Q点在圆周上运动时,求点P的轨迹方程.分析:∵点P在AQ的垂直平分线上,∴|PQ|=|PA|.又P在半径OQ上.∴|PO|+|PQ|=R,即|PO|+|PA|=R.故P点到两定点距离之和是定值,可用椭圆定义写出P点的轨迹方程.解:连接PA ∵l⊥PQ,∴|PA|=|PQ|.又P在半径OQ上.∴|PO|+|PQ|=2.由椭圆定义可知:P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆.3.相关点法若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y0)的变动而变动,且x0、y0可用x、y表示,则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P的轨迹方程.这种方法称为相关点法(或代换法).例3 已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1)、B为抛物线上任意一点,点P在线段AB上,且有BP∶PA=1∶2,当B点在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程.分析:P点运动的原因是B点在抛物线上运动,因此B可作为相关点,应先找出点P与点B的联系.解:设点P(x,y),且设点B(x0,y0) ∵BP∶PA=1∶2,且P为线段AB 的内分点.4.待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求.例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析:因为双曲线以坐标轴为对称轴,实轴在y 轴上,所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0 ∵抛物线和双曲线仅有两个公共点,根据它们的对称性,这两个点的横坐标应相等,因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根.∴△=1664-4Q4b2=0,即a2=2b.(以下由学生完成) 由弦长公式得:即a2b2=4b2-a2.。

求轨迹方程的方法

求轨迹方程的方法

求轨迹方程的方法(一)求轨迹方程的一般方法:1. 待定系数法:如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程,也有人将此方法称为定义法.2. 直译法:如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点P满足的等量关系易于建立,则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系,再用点P 的坐标(x,y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程.3. 参数法:如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个几何量t,以此量作为参变数,分别建立P点坐标x,y与该参数t的函数关系x=f(t),y=g (t),进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y)=0.4. 代入法(相关点法):如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的,而该点的运动规律已知,(该点坐标满足某已知曲线方程),则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.5.几何法:若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线,角平分线的性质等),可以用几何法,列出几何式,再代入点的坐标较简单.6:交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这灯问题通常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程),该法经常与参数法并用.(二)求轨迹方程的注意事项:1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律,即P点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变.2. 求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解,(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解.(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示),出现增解则要舍去,出现丢解,则需补充.检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形.3.求轨迹方程还有整体法等其他方法.。

轨迹方程的五种求法

轨迹方程的五种求法

轨迹方程的五种求法一、直接法:直接根据等量关系式建立方程.例1:已知点(20)(30)A B -,,,,动点()P x y ,满足2PAPB x =u u u r u u u r·,则点P 的轨迹是( ) A .圆 B .椭圆 C .双曲线 D .抛物线解析:由题知(2)PA x y =---u u u r ,,(3)PB x y =--u u u r ,,由2PA PB x =u u u r u u u r·,得22(2)(3)x x y x ---+=,即26y x =+,P ∴点轨迹为抛物线.故选D .二、定义法:运用有关曲线的定义求轨迹方程.例2:在ABC △中,24BC AC AB =,,上的两条中线长度之和为39,求ABC △的重心的轨迹方程. 解:以线段BC 所在直线为x 轴,线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系,如图1,M 为重心,则有239263BM CM +=⨯=.M ∴点的轨迹是以B C ,为焦点的椭圆,其中1213c a ==,.225b a c =-=∴.∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠. 三、转代法:此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3:已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -,,,,顶点A 在抛物线2y x =上运动,求ABC △的重心G 的轨迹方程. 解:设()G x y ,,00()A x y ,,由重心公式,得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,,00323x x y y =+⎧⎨=⎩, ①∴. ②又00()A x y ,∵在抛物线2y x =上,200y x =∴. ③将①,②代入③,得23(32)(0)y x y =+≠,即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠.四、参数法:如果不易直接找出动点坐标之间的关系,可考虑借助中间变量(参数),把x ,y 联系起来 例4:已知线段2AA a '=,直线l 垂直平分AA '于O ,在l 上取两点P P ',,使其满足4OP OP '=u u u r u u u u r·,求直线AP与A P ''的交点M 的轨迹方程.解:如图2,以线段AA '所在直线为x 轴,以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系.设点(0)(0)P t t ≠,, 则由题意,得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭,.由点斜式得直线AP A P '',的方程分别为4()()t y x a y x a a ta =+=--,.两式相乘,消去t ,得222244(0)x a y a y +=≠.这就是所求点M 的轨迹方程.评析:参数法求轨迹方程,关键有两点:一是选参,容易表示出动点;二是消参,消参的途径灵活多变. 五、待定系数法:当曲线的形状已知时,一般可用待定系数法解决.例5:已知A ,B ,D 三点不在一条直线上,且(20)A -,,(20)B ,,2AD =u u u r ,1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r.(1)求E 点轨迹方程;(2)过A 作直线交以A B ,为焦点的椭圆于M N ,两点,线段MN 的中点到y 轴的距离为45,且直线MN 与E 点的轨迹相切,求椭圆方程.解:(1)设()E x y ,,由1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r知E 为BD 中点,易知(222)D x y -,.又2AD =u u u r,则22(222)(2)4x y -++=. 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠; (2)设1122()()M x y N x y ,,,,中点00()x y ,.由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-,直线MN 方程为(2)y k x =+.∵直线MN 与E 点的轨迹相切,1=,解得k =.将y =(2)x +代入椭圆方程并整理,得222244(3)41630a x a x a a -++-=,2120222(3)x x a x a +==--∴, 又由题意知045x =-,即2242(3)5a a =-,解得28a =.故所求的椭圆方程为22184x y +=.配套训练一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2. 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点,P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点,则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y x D.14922=-x y二、填空题3. △ABC 中,A 为动点,B 、C 为定点,B (-2a ,0),C (2a ,0),且满足条件sin C -sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距10 m ,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (-5,0)、B (5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 三、解答题5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点,且|AB |=|BC |=6,⊙O ′切直线l 于点A ,又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线,设这两切线交于点P ,求点P 的轨迹方程.6. 双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2,点P 是双曲线上的一个动点,引A 1Q ⊥A 1P ,A 2Q ⊥A 2P ,A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ,求Q 点的轨迹方程.7. 已知双曲线2222ny m x -=1(m >0,n >0)的顶点为A 1、A 2,与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程;(2)当m ≠n 时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x +=1(a >b >0),点P 为其上一点,F 1、F 2为椭圆的焦点,∠F 1PF 2的外角平分线为l ,点F 2关于l 的对称点为Q ,F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时,求R 形成的轨迹方程;(2)设点R 形成的曲线为C ,直线l :y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点,当△AOB 的面积取得最大值时,求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析:∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案:A2.解析:设交点P (x ,y ),A 1(-3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,-y 0)∵A 1、P 1、P 共线,∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线,∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案:C二、3.解析:由sin C -sin B =21sin A ,得c -b =21a , ∴应为双曲线一支,且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-.答案:)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析:设P (x ,y ),依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2-85x +100=0.答案:4x 2+4y 2-85x +100=0三、5.解:设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点,两切线交于点P .由切线的性质知:|BA |=|BD |,|PD |=|PE |,|CA |=|CE |,故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18>6=|BC |,故由椭圆定义知,点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆,以l 所在的直线为x 轴,以BC 的中点为原点,建立坐标系,可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0)6.解:设P (x 0,y 0)(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(-a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上,∴b 2x 02-a 2y 02=a 2b 2,即b 2(-x 2)-a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为:a 2x 2-b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解:(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1),则Q 点坐标为(x 1,-y 1),又有A 1(-m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为:y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为:y =-)(11m x mx y -- ②①×②得:y 2=-)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上,故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时,M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m >n 时,焦点坐标为(±22n m -,0),准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-;(ⅱ)当m <n 时,焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解:(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ,连接PQ ,∴∠F 2PR =∠QPR ,|F 2R |=|QR |,|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线,故点F 1、P 、Q 在同一直线上,设存在R (x 0,y 0),Q (x 1,y 1),F 1(-c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0-c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2,∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为:x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图,∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时,S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中,∠AOC =45°,.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。

高考数学难点:轨迹方程的求法

高考数学难点:轨迹方程的求法

高考数学难点:轨迹方程的求法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义,性质等基础知识的掌握,还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力,因此这类问题成为高考命题的热点,也是同学们的一大难点.●难点磁场(★★★★)已知A 、B 为两定点,动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程,并注明轨迹是什么曲线.●案例探究[例1]如图所示,已知P (4,0)是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足∠APB =90°,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.命题意图:本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程,属★★★★★级题目.知识依托:利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程.错解分析:欲求Q 的轨迹方程,应先求R 的轨迹方程,若学生思考不深刻,发现不了问题的实质,很难解决此题.技巧与方法:对某些较复杂的探求轨迹方程的问题,可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程,再以此点作为主动点,所求的轨迹上的点为相关点,求得轨迹方程.解:设AB 的中点为R ,坐标为(x ,y ),则在Rt △ABP 中,|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点,依垂径定理:在Rt △OAR 中,|AR |2=|AO |2-|OR |2=36-(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x -4)2+y 2=36-(x 2+y 2),即x 2+y 2-4x -10=0因此点R 在一个圆上,而当R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y ),R (x 1,y 1),因为R 是PQ 的中点,所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2-4x -10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x -10=0 整理得:x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.[例2]设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p >0)上原点以外的两个动点,已知OA ⊥OB ,OM ⊥AB ,求点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)命题意图:本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程,属★★★★★级题目. 知识依托:直线与抛物线的位置关系.错解分析:当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时,注意对“x 1=x 2”的讨论.技巧与方法:将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来,然后再消掉这些量,从而就建立了关于x 、y 的关系.解法一:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y ①-②得(y 1-y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1-x 2) 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=-- ⑥①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2③代入上式有y 1y 2=-16p 2 ⑦ ⑥代入④,得yxy y p -=+214⑧⑥代入⑤,得pyx y y x x y y y y p442111121--=--=+ 所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px -y 12=y (y 1+y 2)-y 12-y 1y 2⑦、⑧代入上式,得x 2+y 2-4px =0(x ≠0)当x 1=x 2时,AB ⊥x 轴,易得M (4p ,0)仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2-4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.解法二:设M (x ,y ),直线AB 的方程为y =kx +b由OM ⊥AB ,得k =-yx由y 2=4px 及y =kx +b ,消去y ,得k 2x 2+(2kb -4p )x +b 2=0所以x 1x 2=22kb ,消x ,得ky 2-4py +4pb =0① ② ③ ④ ⑤所以y 1y 2=kpb4,由OA ⊥OB ,得y 1y 2=-x 1x 2 所以k pk4=-22kb ,b =-4kp故y =kx +b =k (x -4p ),用k =-yx代入,得x 2+y 2-4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2-4px =0(x ≠0),它表示以(2p ,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.[例3]某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱,检测一个直径为3 cm 的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱,问这两个标准圆柱的直径为多少?命题意图:本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程,及将实际问题转化为数学问题的能力,属★★★★★级题目.知识依托:圆锥曲线的定义,求两曲线的交点.错解分析:正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.技巧与方法:研究所给圆柱的截面,建立恰当的坐标系,找到动圆圆心的轨迹方程.解:设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ,问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切,与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系,并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5-r =2.5∴点P 在以A 、O 为焦点,长轴长2.5的椭圆上,其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点,长轴长为2的椭圆上,其方程为 (x -21)2+34y 2=1 ② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ,∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ●锦囊妙计求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化,我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程.求轨迹方程,一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F 1、F 2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.(★★★★)设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点,P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点,则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y xD.14922=-x y二、填空题3.(★★★★)△ABC 中,A 为动点,B 、C 为定点,B (-2a ,0),C (2a,0),且满足条件sin C -sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________. 4.(★★★★)高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距10 m ,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (-5,0)、B (5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(★★★★)已知A 、B 、C 是直线l 上的三点,且|AB |=|BC |=6,⊙O ′切直线l 于点A ,又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线,设这两切线交于点P ,求点P 的轨迹方程.6.(★★★★)双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2,点P 是双曲线上的一个动点,引A 1Q ⊥A 1P ,A 2Q ⊥A 2P ,A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ,求Q 点的轨迹方程.7.(★★★★★)已知双曲线2222ny m x -=1(m >0,n >0)的顶点为A 1、A 2,与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程;(2)当m ≠n 时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.(★★★★★)已知椭圆2222by a x +=1(a >b >0),点P 为其上一点,F 1、F 2为椭圆的焦点,∠F 1PF 2的外角平分线为l ,点F 2关于l 的对称点为Q ,F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时,求R 形成的轨迹方程;(2)设点R 形成的曲线为C ,直线l :y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点,当△AOB 的面积取得最大值时,求k 的值.参考答案难点磁场解:建立坐标系如图所示, 设|AB |=2a ,则A (-a ,0),B (a ,0). 设M (x ,y )是轨迹上任意一点.则由题设,得||||MB MA =λ,坐标代入,得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1-λ2)x 2+(1-λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1-λ2)a 2=0(1)当λ=1时,即|M A|=|M B|时,点M 的轨迹方程是x =0,点M 的轨迹是直线(y 轴).(2)当λ≠1时,点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2=0.点M 的轨迹是以 (-221)1(λ-λ+a ,0)为圆心,|1|22λ-λa 为半径的圆. 歼灭难点训练一、1.解析:∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆. 答案:A2.解析:设交点P (x ,y ),A 1(-3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,-y 0) ∵A 1、P 1、P 共线,∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 共线,∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案:C二、3.解析:由sin C -sin B =21sin A ,得c -b =21a ,∴应为双曲线一支,且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-.答案:)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析:设P (x ,y ),依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2-85x +100=0.答案:4x 2+4y 2-85x +100=0三、5.解:设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点,两切线交于点P .由切线的性质知:|BA |=|BD |,|PD |=|PE |,|CA |=|CE |,故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18>6=|BC |,故由椭圆定义知,点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆,以l 所在的直线为x 轴,以BC 的中点为原点,建立坐标系,可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解:设P (x 0,y 0)(x ≠±a ),Q (x ,y ). ∵A 1(-a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上,∴b 2x 02-a 2y 02=a 2b 2. 即b 2(-x 2)-a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为:a 2x 2-b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解:(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1),则Q 点坐标为(x 1,-y 1),又有A 1(-m ,0),A 2(m ,0), 则A 1P 的方程为:y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为:y =-)(11m x mx y -- ②①×②得:y 2=-)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上,故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时,M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m >n 时,焦点坐标为(±22n m -,0),准线方程为x =±222nm m -,离心率e =mn m 22-;(ⅱ)当m <n 时,焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =nm n 22-.8.解:(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ,连接PQ , ∴∠F 2PR =∠QPR ,|F 2R |=|QR |,|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线,故点F 1、P 、Q 在同一直线上,设存在R (x 0,y 0),Q (x 1,y 1),F 1(-c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0-c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2,∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为:x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图,∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时,S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中,∠AOC =45°,.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。

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二、定义法求轨迹方程
本内容主要研究定义法求轨迹方程.通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形,再求其轨迹方程,这种方法叫做定义法.运用定义法,求其轨迹,一要熟练掌握常用轨迹的定义,如线段的垂直平分线,圆、椭圆、双曲线、抛物线等,二是用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量,提高解题速度与质量.
先看例题:
例:已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y
=-的距离小2.求曲线Γ的方
程.
解:设P (x ,y )为曲线Γ上任意一点,依题意,
点P 到点F (0,1) 的距离与它到直线y =-1的距离相等 , 24=x y
归纳整理:
熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键.
圆:到定点的距离等于定长
椭圆:到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)
双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)
抛物线:到定点与定直线距离相等.
再看一个例题,加深印象
例:已知(0,7),(0,7),(12,2),-A B C 以C 为一个焦点,作过A ,B 的椭圆,求椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程.
故由双曲线定义知,F 的轨迹是以A ,B 为焦点,实轴长为2的双曲线的下支, 其方程为2
2
1(1)48x y y -=≤-.
总结:
1.用定义法求轨迹方程.熟练掌握常用轨迹的定义,如线段的垂直平分线,圆、椭圆、双曲线、抛物线等,例如圆到定点的距离等于定长,椭圆到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离),双曲线到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离),抛物线到定点与定直线距离相等.
2.求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型,从而再用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量.
练习:
1.已知点()1,0F ,点A 是直线1:1l x =-上的动点,过A 作直线2l ,12l l ⊥,线段AF 的垂直平分线与2l 交于点P .求点P 的轨迹C 的方程.
2.已知两个定圆O 1和O 2,它们的半径分别是1和2,且|O 1O 2|=4.动圆M 与圆O 1内切,又 与圆O 2外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心M 的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线.
3.如图,点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点,动点M 在圆周上,将纸片折起,使点M 与点A 重合,设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中,设
圆C :(x +1)2+y 2=4a 2 (a >1),A (1,0),记点N 的轨迹为曲线E . 证明曲线E 是椭圆,并写
出当a =2时该椭圆的标准方程.
4. 已知圆2249:(1)4A x y ++=,圆221:(1)4
B x y -+=,动圆D 和定圆A 相内切,与定圆B 相外切,
(1)记动圆圆心D 的轨迹为曲线C ,求C 的方程;
(2)M 、N 是曲线C 和x 轴的两个交点,P 是曲线C 上异于M 、N 的一点,求证PM PN k k ⋅为定值;
(3)过B 点作两条互相垂直的直线12,l l 分别交曲线C 于E 、F 、G 、H ,求四边形EGFH 面积的取值范围.
答案:
1.解:依题意,点P 到点()1,0F 的距离等于它到直线1l 的距离,
∴点P 的轨迹是以点F 为焦点,直线1:l 1x =-为准线的抛物线.
∴曲线C 的方程为24y x =.
2.解 如图所示,以O 1O 2的中点O 为原点,O 1O 2所在直线为x
轴建立平面直角坐标系.
由|O 1O 2|=4,得O 1(-2,0)、O 2(2,0).设动圆M 的半径为r ,则 由动圆M 与圆O 1内切,有|MO 1|=r -1;
由动圆M 与圆O 2外切,有|MO 2|=r +2.
3.证明 依题意,直线m 为线段AM 的垂直平分线, ∴|NA |=|NM |.∴|NC |+|NA |=|NC |+|NM |=|CM |=2a >2,
∴N 的轨迹是以C 、A 为焦点,长轴长为2a ,焦距为2的椭圆. 当a =2时,长轴长为2a =4,焦距为2c =2,
∴b 2=a 2-c 2=3.∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.。

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