几何与代数习题参考答案_一二三章
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T
⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ B = βα = (1, 2,3) ⎜ 1 ⎟ = 13. ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠
T
A4 = (α T β ) (α T β ) (α T β )(α T β ) = α T ( βα T )( βα T )( βα T ) β
5 x − 14 y + 2 z − 9 = 0 。
2． 2； −10 。
4． 3 y + z = 0 。 5．
5 。 3
6. 13 x + 2 z − 15 = 0
x−2 y − 3 z +1 =− = 。 8． 2 x + 3 y − 3 z + 12 = 0 。 3 3 4 x y +1 9． = = z − 3 ； (−3,1,2) ； (−6,3,1) 。 3 −2
习题四
一、解： 1) x1 = 2, x2 = 1, x3 = −3;
线性方程组
2） 无解。
---------- 用增广矩阵计算, 把矩阵化为阶梯形矩阵或简化阶梯形矩阵.
3 2 ⎞ ⎛1 1 3 2 ⎞ ⎛ 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 二、解： A = 1 2 4 3 → 0 1 1 1 ⎟， ⎜ ⎟ ⎜ ⎜1 3 a b ⎟ ⎜ 0 0 a − 7 b − 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
小结：注意向量的运算和普通数的加法乘法的相同与不同之处，特别注意不同之处。掌握内 积、外积、混合积在几何上的应用。
习题二 向量及其运算的坐标表示与运算
一、填空题 1． (0, y,0) 。 ----------知不知道坐标轴的方向、坐标平面的法向量呢
2
2． arccos
9 2 39
。
3． − 1 ；4。
由于上式中 (α − β ), ( β − γ ), (γ − α ) 的系数都是 1， 所以根据共面的充要条件得 α − β , β − γ , γ − α 共面。 ---------想清楚共面与上面等式的关系 四、判断题
1
1． （ 错 ） 2． （ 对 ） 3． （ 错 ） 4． （ 对 ） 五、填空题
---------- 外积可以用来求面积，是平行四边形的，注意计算准确。
六、解 1） ω × γ = (λα + β ) × (α − β ) = −(λ + 1)α × β ，
当 ω 与 γ 平行时， ω 与 γ 平行时，
ω × γ = 0,∵ α , β =
2π ,∴ α × β ≠ θ ， λ = −1 。 3
4） (3α − β ) × (α − 2 β ) = −6α × β − β × α = 5β × α = 5 ----------说明：因为 α与β 垂直，所以
β α = 60 。
2
α −β
ຫໍສະໝຸດ Baidu
= α
2
+ β
2
= 25 。
----------外积的运算和数的运算不同之处在于 β × γ = −γ × β ，就这一点
2）因为 α × β 与 α 垂直，所以
(α × β ) × α = α × β α = 12 × 3 = 36 ；
3）因为 α × β 与 α , β 都垂直，所以与 α − β 也垂直，因此，
(α × β ) × (α − β ) = α × β α − β = α β α − β = 3 × 4 × 5 = 60 。
即
5 x + 4 y + 3z − 15 = 0 。
---------- 一般把方程化为最简单形式。 三、解：设所给点为 A(3,1,−2), 在直线上取一点 B ( 4,−3,0), 直线的方向向量为 s = (5,2,1), 所求平面的法向量可取为 n = AB × s = (1,−4,2) × (5,2,1) = ( −8,9,22), 由点法式，所求平面方程为：
---------化简成 α ⋅ ( β − γ ) = 0 就明显了， ---------注意一些命题的不同说法 ---------外积是一个向量
1． 1） −6 ；2) 13；3) −61 。 ----------充分利用內积的运算性质：和数的加法、乘法没啥不
同，交换律、结合律、分配律
2．
15 。 4
4．0。 5． 2 。 6． ± (
−2 1 5 , , )。 30 30 30
二、解：设 α 的方向余弦为 cos α , cos β , cos γ ，则
cos α =
3 35
, cos β =
5 35
, cos γ = −
1 35
。
所以与 α 平行的单位向量为 ± (
5 5 1 , ,− )。 35 35 35
2） ω ⋅ γ = (λα + β ) ⋅ (α − β ) = λ
α − λα ⋅ β + β ⋅ α − β
5 。 2
2
2
= 2λ − 5 ，
因为 ω 与 γ 垂直，所以 ω ⋅ γ = 0, λ = −
---------- 内积和外积可以用来证明两向量是否垂直、平行。 七、解：1）
α × β = α β = 3 × 4 = 12 ；
i j k s1 × s2 = −2 6 −3 = (9, 2, −2); 2 −5 4
( AB, s1 , s2 ) = (−1, −2,1)·(9, 2, −2) = −15.
所以两异面直线的距离为
15 . 89
小结：用向量可以解决平面直线中的问题。解决的关键是几何上的垂直、平行、共面等概念 如何用向量的运算表示；表示完之后又如何计算出来. 另外计算要准确。
关于参考答案的说明
1、 2、 3、 4、 本答案仅仅具有参考作用，因为不少题目或许有多种解法，此处不过是给 了其中一种。况且偶尔也会出现错误。 有时应该相信自己。如果你能清楚说明为什么自己是正确的，则你已成功。 对自己的答案不太确定时，想办法证明自己对或不对，这种能力更为重要。 不可能每件事情都有现成的答案在那里等你参考、核对。 当你思考题目该怎么做？这样想、那样想对不对等诸如此类的问题时，不 知不觉中，你已在进步。所以重要的是想，是思考。
BA = (2,1,2) 与 s 的夹角 ϕ = arccos
所以点 A 到所给直线的距离为
BA ⋅ s BA s
= arccos
−9 9 2
=
3π , 4
4
d = BA sin ϕ = 3 ⋅
2 3 2 = 。 2 2
五、解：分别在直线 l1 , l2 上选取点 A(4, 0,1), B (3, −2, 2), 则
------有两个；单位向量实际上代表了向量的方向 三、证明：向量 α 在 β 上的投影向量为
(|| α || cos θ )
投影向量为:
β α ⋅β α ⋅β = β= β。 2 β ⋅β || β || || β ||
2 4 4 (− , , − ) ； 9 9 9
-------计算投影向量的公式最好记住，这样以后做题时会省却不少力气。 ----------注意：投影向量可以用于计算向量的分解。在后面计算反射光线的方向。
---------- 共面即说是线性组合，待定系数法。
小结：內积、外积、混合积何时为 0 最为重要，也经常使用。应用它们之前首先得清楚它们 的几何意义。当然如果不会计算一切都是空谈。计算分两种，一是用定义；一是用坐标。特
3
别要记住用坐标如何计算。
习题三 平面与直线
一、填空题 1． 5 x − 14 y + 2 z + 81 = 0 或 3． x − 1 = 0 7． −
特殊情况..
2． 1） 线性相关； 2）线性无关；3）线性相关； 4） 线性无关。 3． ( −2,−3,5) ； ( −2,3, −5) ； ( −2,3,5) ； ( −2,3, 0) ； (0,3, 0) ；2； 38 ； 34 。 二、证明： OP = OA + AP, ∵ AP 与 BA 平行，
⎧ x = 2t ⎪ x = 3t ⎪ 2 , 取 t = 1, 即 x1 = 2, x3 = 3, x3 = 12, x4 = 2 就可配平原方程式为。 ⎨ ⎪ x3 = 12t ⎪ ⎩ x4 = 6t
5
2C6 H 6 + 3O2 → 12C + 2 H 2O
------------配平方程式只需找到一组整数解即可，不需求出所有解。.
8 −3
四、解：因为 (α × β ) ⋅ γ = 0
2 −1 = 63 ≠ 0, 3
1
2 2
所以 α , β , γ 不共面，
以这三个向量为棱所作的平行六面体体积 V = (α × β ) ⋅ γ = 63 。 ----------直接用混合积计算体积,判断共面性.
五、解：由于 α , β 不共线，向量 α , β , γ 共面，则可设 γ = xα + y β , 而
− 8( x − 3) + 9( y − 1) + 22( z + 2) = 0,
即
− 8 x + 9 y + 22 z + 59 = 0 。
四、解：设所给点为 A(3,−1,2), 在直线上取一点 B (1,−2,0), 直线的方向向量 s 可取为
s = (1,1,−1) × (2,−1,1) = (0,−3,−3),
α + β = (α + β ) ⋅ (α + β ) > α − β = (α − β ) ⋅ (α − β )
从而得到:
(α + β , α + β ) > (α − β , α − β ) , 即 α ⋅ β > 0
---------注意零向量的方向任意,所以许多情况已包括零向量的情形了;注意是否有等号和一些
所以当 a = 7, b ≠ 5 时方程组无解； 当 a = 7, b = 5 时方程组有无穷多解。 三、解：根据方程式，得到方程组
⎧ 6 x1 = x3 ⎧ 6 x1 − x3 = 0 ⎪ ⎪ ⎨6 x1 = 2 x4 , 即 ⎨6 x1 − 2 x4 = 0 , 直接取 x1 为自由未知量得， ⎪ 2x = x ⎪ 2x − x = 0 4 ⎩ 2 ⎩ 2 4
习题五 矩阵的运算
一、填空题 1． E 2． AB = BA 。 ------------ 计算 A 即可。.
2
3． −3, −1. 。
⎛ 1 4 10 ⎞ ⎜ ⎟ 4． 7, ⎜0 1 4 ⎟ 。 ⎜0 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 ⎜ k 5． 0 3 ⎜ ⎜0 0 ⎝ 0⎞ ⎟ 0 ⎟; 8k ⎟ ⎠
β 2 = x + 3y = 3 || β || 3 ， α Pr ojα γ = Pr ojα ( xα + y β ) = ( xα + y β ) ⋅ = x + 2y = 3 || α ||
Pr ojβ γ = Pr ojβ ( xα + y β ) = ( xα + y β ) ⋅
9 3 9 3 6 3 解得 x = , y = . 所以 γ = α + β = (3, , ). 5 5 5 5 5 5
T
⎛ a 2b 3c ⎞ ⎛ a 2a 3a ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 b 2c ⎟ . ； ⎜ 0 b 2b ⎟ . ⎜ a 3b c ⎟ ⎜ c 3c c ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
T
⎛ 2 4 6⎞ ⎜ ⎟ 二、解： αβ = 13, βα = 1 2 3 。 ⎜ ⎟ ⎜3 6 9⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎛ 2 4 6⎞ ⎜ ⎟ ⎟ A = α β = ⎜ 1 ⎟ (1 2 3) = ⎜ ⎜ 1 2 3⎟; ⎜ 3⎟ ⎜ 3 6 9⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
二、1．解：平面的法向量 n = (1, 2,1) ，故由平面的点法式方程知平面方程为：
( x − 1) + 2( y − 2) + ( z − 1) = 0,
即
x + 2y + z − 6 = 0。
2．解：平面的法向量可取为 n = α × β = (5,4,3) ，由点法式知平面方程为：
5( x − 2) + 4( y + 1) + 3( z − 3) = 0,
习题一 几何向量及其运算
一、填空题 1. 1）
α, β =
π
2
；
2）
α , β = 0 ； 3 ） α , β = π , 且 α ≥ β ； 4 ） α ，β = 0 ；
5） 0 ≤
α, β <
π
2
且α，β为非零向量 。 或 α ⋅ β > 0 ，
---------以上题目还可以把长度用内积表示,然后得到内积满足的条件.如.
∴ 可设 AP = −λ BA ，所以，
OP = OA − λ BA = OA − λ (OA − OB)
= (1 − λ )OA + λ OB = (1 − λ )α + λβ .
---------注意证明时,条件,因果的先后次序,注意条理性和逻辑性;证明过程要完整. 三、 解：因为
(α − β ) + ( β − γ ) + (γ − α ) = θ ,
⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ B = βα = (1, 2,3) ⎜ 1 ⎟ = 13. ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠
T
A4 = (α T β ) (α T β ) (α T β )(α T β ) = α T ( βα T )( βα T )( βα T ) β
5 x − 14 y + 2 z − 9 = 0 。
2． 2； −10 。
4． 3 y + z = 0 。 5．
5 。 3
6. 13 x + 2 z − 15 = 0
x−2 y − 3 z +1 =− = 。 8． 2 x + 3 y − 3 z + 12 = 0 。 3 3 4 x y +1 9． = = z − 3 ； (−3,1,2) ； (−6,3,1) 。 3 −2
习题四
一、解： 1) x1 = 2, x2 = 1, x3 = −3;
线性方程组
2） 无解。
---------- 用增广矩阵计算, 把矩阵化为阶梯形矩阵或简化阶梯形矩阵.
3 2 ⎞ ⎛1 1 3 2 ⎞ ⎛ 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 二、解： A = 1 2 4 3 → 0 1 1 1 ⎟， ⎜ ⎟ ⎜ ⎜1 3 a b ⎟ ⎜ 0 0 a − 7 b − 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
小结：注意向量的运算和普通数的加法乘法的相同与不同之处，特别注意不同之处。掌握内 积、外积、混合积在几何上的应用。
习题二 向量及其运算的坐标表示与运算
一、填空题 1． (0, y,0) 。 ----------知不知道坐标轴的方向、坐标平面的法向量呢
2
2． arccos
9 2 39
。
3． − 1 ；4。
由于上式中 (α − β ), ( β − γ ), (γ − α ) 的系数都是 1， 所以根据共面的充要条件得 α − β , β − γ , γ − α 共面。 ---------想清楚共面与上面等式的关系 四、判断题
1
1． （ 错 ） 2． （ 对 ） 3． （ 错 ） 4． （ 对 ） 五、填空题
---------- 外积可以用来求面积，是平行四边形的，注意计算准确。
六、解 1） ω × γ = (λα + β ) × (α − β ) = −(λ + 1)α × β ，
当 ω 与 γ 平行时， ω 与 γ 平行时，
ω × γ = 0,∵ α , β =
2π ,∴ α × β ≠ θ ， λ = −1 。 3
4） (3α − β ) × (α − 2 β ) = −6α × β − β × α = 5β × α = 5 ----------说明：因为 α与β 垂直，所以
β α = 60 。
2
α −β
ຫໍສະໝຸດ Baidu
= α
2
+ β
2
= 25 。
----------外积的运算和数的运算不同之处在于 β × γ = −γ × β ，就这一点
2）因为 α × β 与 α 垂直，所以
(α × β ) × α = α × β α = 12 × 3 = 36 ；
3）因为 α × β 与 α , β 都垂直，所以与 α − β 也垂直，因此，
(α × β ) × (α − β ) = α × β α − β = α β α − β = 3 × 4 × 5 = 60 。
即
5 x + 4 y + 3z − 15 = 0 。
---------- 一般把方程化为最简单形式。 三、解：设所给点为 A(3,1,−2), 在直线上取一点 B ( 4,−3,0), 直线的方向向量为 s = (5,2,1), 所求平面的法向量可取为 n = AB × s = (1,−4,2) × (5,2,1) = ( −8,9,22), 由点法式，所求平面方程为：
---------化简成 α ⋅ ( β − γ ) = 0 就明显了， ---------注意一些命题的不同说法 ---------外积是一个向量
1． 1） −6 ；2) 13；3) −61 。 ----------充分利用內积的运算性质：和数的加法、乘法没啥不
同，交换律、结合律、分配律
2．
15 。 4
4．0。 5． 2 。 6． ± (
−2 1 5 , , )。 30 30 30
二、解：设 α 的方向余弦为 cos α , cos β , cos γ ，则
cos α =
3 35
, cos β =
5 35
, cos γ = −
1 35
。
所以与 α 平行的单位向量为 ± (
5 5 1 , ,− )。 35 35 35
2） ω ⋅ γ = (λα + β ) ⋅ (α − β ) = λ
α − λα ⋅ β + β ⋅ α − β
5 。 2
2
2
= 2λ − 5 ，
因为 ω 与 γ 垂直，所以 ω ⋅ γ = 0, λ = −
---------- 内积和外积可以用来证明两向量是否垂直、平行。 七、解：1）
α × β = α β = 3 × 4 = 12 ；
i j k s1 × s2 = −2 6 −3 = (9, 2, −2); 2 −5 4
( AB, s1 , s2 ) = (−1, −2,1)·(9, 2, −2) = −15.
所以两异面直线的距离为
15 . 89
小结：用向量可以解决平面直线中的问题。解决的关键是几何上的垂直、平行、共面等概念 如何用向量的运算表示；表示完之后又如何计算出来. 另外计算要准确。
关于参考答案的说明
1、 2、 3、 4、 本答案仅仅具有参考作用，因为不少题目或许有多种解法，此处不过是给 了其中一种。况且偶尔也会出现错误。 有时应该相信自己。如果你能清楚说明为什么自己是正确的，则你已成功。 对自己的答案不太确定时，想办法证明自己对或不对，这种能力更为重要。 不可能每件事情都有现成的答案在那里等你参考、核对。 当你思考题目该怎么做？这样想、那样想对不对等诸如此类的问题时，不 知不觉中，你已在进步。所以重要的是想，是思考。
BA = (2,1,2) 与 s 的夹角 ϕ = arccos
所以点 A 到所给直线的距离为
BA ⋅ s BA s
= arccos
−9 9 2
=
3π , 4
4
d = BA sin ϕ = 3 ⋅
2 3 2 = 。 2 2
五、解：分别在直线 l1 , l2 上选取点 A(4, 0,1), B (3, −2, 2), 则
------有两个；单位向量实际上代表了向量的方向 三、证明：向量 α 在 β 上的投影向量为
(|| α || cos θ )
投影向量为:
β α ⋅β α ⋅β = β= β。 2 β ⋅β || β || || β ||
2 4 4 (− , , − ) ； 9 9 9
-------计算投影向量的公式最好记住，这样以后做题时会省却不少力气。 ----------注意：投影向量可以用于计算向量的分解。在后面计算反射光线的方向。
---------- 共面即说是线性组合，待定系数法。
小结：內积、外积、混合积何时为 0 最为重要，也经常使用。应用它们之前首先得清楚它们 的几何意义。当然如果不会计算一切都是空谈。计算分两种，一是用定义；一是用坐标。特
3
别要记住用坐标如何计算。
习题三 平面与直线
一、填空题 1． 5 x − 14 y + 2 z + 81 = 0 或 3． x − 1 = 0 7． −
特殊情况..
2． 1） 线性相关； 2）线性无关；3）线性相关； 4） 线性无关。 3． ( −2,−3,5) ； ( −2,3, −5) ； ( −2,3,5) ； ( −2,3, 0) ； (0,3, 0) ；2； 38 ； 34 。 二、证明： OP = OA + AP, ∵ AP 与 BA 平行，
⎧ x = 2t ⎪ x = 3t ⎪ 2 , 取 t = 1, 即 x1 = 2, x3 = 3, x3 = 12, x4 = 2 就可配平原方程式为。 ⎨ ⎪ x3 = 12t ⎪ ⎩ x4 = 6t
5
2C6 H 6 + 3O2 → 12C + 2 H 2O
------------配平方程式只需找到一组整数解即可，不需求出所有解。.
8 −3
四、解：因为 (α × β ) ⋅ γ = 0
2 −1 = 63 ≠ 0, 3
1
2 2
所以 α , β , γ 不共面，
以这三个向量为棱所作的平行六面体体积 V = (α × β ) ⋅ γ = 63 。 ----------直接用混合积计算体积,判断共面性.
五、解：由于 α , β 不共线，向量 α , β , γ 共面，则可设 γ = xα + y β , 而
− 8( x − 3) + 9( y − 1) + 22( z + 2) = 0,
即
− 8 x + 9 y + 22 z + 59 = 0 。
四、解：设所给点为 A(3,−1,2), 在直线上取一点 B (1,−2,0), 直线的方向向量 s 可取为
s = (1,1,−1) × (2,−1,1) = (0,−3,−3),
α + β = (α + β ) ⋅ (α + β ) > α − β = (α − β ) ⋅ (α − β )
从而得到:
(α + β , α + β ) > (α − β , α − β ) , 即 α ⋅ β > 0
---------注意零向量的方向任意,所以许多情况已包括零向量的情形了;注意是否有等号和一些
所以当 a = 7, b ≠ 5 时方程组无解； 当 a = 7, b = 5 时方程组有无穷多解。 三、解：根据方程式，得到方程组
⎧ 6 x1 = x3 ⎧ 6 x1 − x3 = 0 ⎪ ⎪ ⎨6 x1 = 2 x4 , 即 ⎨6 x1 − 2 x4 = 0 , 直接取 x1 为自由未知量得， ⎪ 2x = x ⎪ 2x − x = 0 4 ⎩ 2 ⎩ 2 4
习题五 矩阵的运算
一、填空题 1． E 2． AB = BA 。 ------------ 计算 A 即可。.
2
3． −3, −1. 。
⎛ 1 4 10 ⎞ ⎜ ⎟ 4． 7, ⎜0 1 4 ⎟ 。 ⎜0 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 ⎜ k 5． 0 3 ⎜ ⎜0 0 ⎝ 0⎞ ⎟ 0 ⎟; 8k ⎟ ⎠
β 2 = x + 3y = 3 || β || 3 ， α Pr ojα γ = Pr ojα ( xα + y β ) = ( xα + y β ) ⋅ = x + 2y = 3 || α ||
Pr ojβ γ = Pr ojβ ( xα + y β ) = ( xα + y β ) ⋅
9 3 9 3 6 3 解得 x = , y = . 所以 γ = α + β = (3, , ). 5 5 5 5 5 5
T
⎛ a 2b 3c ⎞ ⎛ a 2a 3a ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 b 2c ⎟ . ； ⎜ 0 b 2b ⎟ . ⎜ a 3b c ⎟ ⎜ c 3c c ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
T
⎛ 2 4 6⎞ ⎜ ⎟ 二、解： αβ = 13, βα = 1 2 3 。 ⎜ ⎟ ⎜3 6 9⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎛ 2 4 6⎞ ⎜ ⎟ ⎟ A = α β = ⎜ 1 ⎟ (1 2 3) = ⎜ ⎜ 1 2 3⎟; ⎜ 3⎟ ⎜ 3 6 9⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
二、1．解：平面的法向量 n = (1, 2,1) ，故由平面的点法式方程知平面方程为：
( x − 1) + 2( y − 2) + ( z − 1) = 0,
即
x + 2y + z − 6 = 0。
2．解：平面的法向量可取为 n = α × β = (5,4,3) ，由点法式知平面方程为：
5( x − 2) + 4( y + 1) + 3( z − 3) = 0,
习题一 几何向量及其运算
一、填空题 1. 1）
α, β =
π
2
；
2）
α , β = 0 ； 3 ） α , β = π , 且 α ≥ β ； 4 ） α ，β = 0 ；
5） 0 ≤
α, β <
π
2
且α，β为非零向量 。 或 α ⋅ β > 0 ，
---------以上题目还可以把长度用内积表示,然后得到内积满足的条件.如.
∴ 可设 AP = −λ BA ，所以，
OP = OA − λ BA = OA − λ (OA − OB)
= (1 − λ )OA + λ OB = (1 − λ )α + λβ .
---------注意证明时,条件,因果的先后次序,注意条理性和逻辑性;证明过程要完整. 三、 解：因为
(α − β ) + ( β − γ ) + (γ − α ) = θ ,