第二章 第四节 指数与指数函数
高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)
课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。
人教版高一数学第二章指数函数知识点小结
人教版高一数学第二章指数函数知识点小结
人教版高一数学第二章指数函数知识点小结
新高一数学第二章的内容是基本初等函数，下面是查字典数学网整理的第二章指数函数知识点，请大家学习。
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(n th root)，其中 1，且 *.
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radical exponent)，叫做被开方数(radicand).
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号- 表示.正的次方根与负的次方根可以合并成 ( 0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
注意：当是奇数时，，当是偶数时，
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
3.实数指数幂的运算性质
纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快; 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢;
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
(1)在[a，b]上，值域是或 ;
(2)若，则 ; 取遍所有正数当且仅当 ;
(3)对于指数函数，总有 ;
(4)当时，若，则 ;
第二章指数函数知识点的全部内容就是这些，查字典数学网预祝大家在新学期取得更好的成绩。
第二章 函数-2.4 指数函数
)
A. > 1， < 0
C.0 < < 1， > 0
B. > 1， > 0D.0 < 1， < 0
√
解：由 的图象，可知函数 在定义域上单调递减. = − 是增函数，
所以0 < < 1.函数 的图象是将 = 的图象向左平移得到的，所以 < 0.
（3）函数 =
2 +1
> 1 的值域是 0, +∞ .
（4）若 > ，则 > .
( ×)
( ×)
( ×)
（5）函数 = 与 = − ( > 0，且 ≠ 1)的图象关于轴对称．( √ )
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2.设集合 = {| − 1 ≤ ≤ 2}, = {| = 2 , ∈ }，则 ∩ =(
1
1)的图象应抓住三个关键点(−1, )，
0,1 ， 1, .
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1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1）若函数 = 2 − 3 ⋅ 为指数函数，则 = 2.( √ )
（2）函数 = − ( > 0,且 ≠ 1)在上单调递增.
（2）当 > 0时，底大图高，即由图象判断底数大小时，在第一象限按照逆时针
方向观察，底数逐渐增大.
（3）指数函数 = ( > 0，且 ≠ 1)的图象以轴为渐近线； = + 恒过
定点 0,1 + ，且以 = 为渐近线.
（4）作指数函数 =
(
> 0,且 ≠
A.[−1,2]
B.(0,2]
解：因为 = [−1,2]， =
第二章幂函数、指数函数、对数函数
们.
(3)当自变量 x在定义域 D 内任取一个值 x 时,函数 y f (x) 0
对应的函数值记作:
f
(x ), 0
f
(x)
xx0
或y
xx0
.
例 4 设 f (x) x2 3x1,求 f (2), f (0), f (t 1).
解 f (2)(2)2 3(2)111; f (0)(0)2 3011 f (t 1) (t 1)2 3(t 1)1t2 t 1
3.互为反函数的两个函数关于什么图像对称？ 答 案
课堂练习题：
1.判断对或错.
(1) f x x3是R到R的映射.
(√ )
(2) y 2 x R不是函数.
( )
(3) 函数y x2在定义域内没有反函数.
(√ )
(4) 函数y 1 的定义域是9,9.
( )
9 x2
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2.设f x x2 4 ,求f 0, f a a 2.
y 是 x的函数,记作 y f (x),其中“ f ”是一个符号, 表示变量 x与 y 之间的对应关系.
注明：
(1) 由定义4知,函数就是从数集D到数集M的一种映射 (!映射是一种特殊的对应,一一映射是一种特殊的映射.)
(2)在同一个问题中,讨论几个不同的函数关系时,可用
几种不同的函数记号,如 F(x),G(x),g(x),(x), …分别表示它
y y 3x 2
yx
2
y 1 x2
3
1
1
O1 2
x
1
图2-6 y 3x 2 及其反函数的图像
今后,我们可以利用互为反函数的函数图像间的关系,由 函数 y f (x)的图像作出其反函数 y f 1(x).
课件7：2.5 指数与指数函数
所以 A＝{x|－1≤x<3}．
又因为 B＝{x|2－2x＋1<(12)3(x－1)}＝{x|2－2x＋1<2－3(x－1)}＝{x|－2x ＋1<－3(x－1)}＝{x|x<2}．
所以∁UA＝{x|x<－1 或 x≥3}， 所以(∁UA)∩B＝{x|x<－1}．
(理)(2014·新泰摸底)已知函数 f(x)是奇函数，当 x>0 时，f(x)
[答案] [34，57]
[解析] 令 t＝(12)x，∵x∈[－3,2]， ∴t∈[14，8]． y＝t2－t＋1＝(t－12)2＋34. 当 t＝12时，ymin＝34； 当 t＝8 时，ymax＝57. ∴所求值域为[34，57]．
[失误与防范] 用换元法求解时，易漏掉“将 x 的取值范 围转化为新元的取值范围”而导致错误，故只要用换元法解题 就要考虑换元后新元的变化是否影响问题的结论．
• 2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用 相应的指数型函数图象数形结合求解．
(文)已知实数a、b满足等式(
1 2
)a＝(
1 3
)b，下列五个关系式：
①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b，其中不可
能成立的关系式有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
• [答案] B
指数函数的性质
• (文)(2014·山东青岛质检)设a＝0.32，b＝20.3，c＝
log20.3，则a，b，c的大小关系为( )
• A．c<a<b
B．a<c<b
• C．a<b<c
D．b<c<a
第二章 第四节 指数与指数函数
一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函
数图像数形结合求解.
【变式备选】若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,a≠1)的图像有 两个公共点，求实数a的取值范围.
【解析】分底数0<a<1与a>1两种情况，分别在同一直角坐标系
中作出两函数的图像，如图：
从图中可以看出，只有当0<a<1，且0<2a<1， 即0<a< 1 时，两函数才有两个交点，所以0<a< 1 .
②由①知f（x）为偶函数，≨只需讨论x＞0时的情况. 当x＞0时，要使f（x）＞0，即 即 即
ax 1 1 1 ＞0， ＞0， x x-1＞0，ax＞1，aa ＞a） xx 10.又≧x＞0，≨a＞1. （ 2 即aa 1 2
因此a＞1时，f（x）＞0在定义域上恒成立.
1 1 3 （ x ）x ＞0， a 1 2
数指数幂，底数为小数的化成分数，然后运用幂的运算性质进 行计算.
1
1
【规范解答】（1）原式 （a b a b ）
1 2 1 3 2 3 3 2 1 1 3 3
ab 1. （2）原式 1 1 1 3 3 3 1 ＝[( )4 ] 4 3 1 [31 ( ) 1 ] 2 10 [( )3 ]3 10 2 10 3 1 1 1 2 1 3 10 1 2 ( ) ( ) 10 3 0. 10 3 3 3 10 3 3 a b
图像如图所示. 向左平移
1个单位
（2）函数f(x)在（-≦，-1］上是增加的，在［-1，+≦)上是 减少的. （3）当x=-1时，函数
1 |x 1| y ） （ 3
第二章 函数2-4指数与指数函数
第2章 第4节一、选择题1．(2010·陕西文)下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数[答案] C[解析] ∵(x ＋y )α≠x α·y α，log a (x ＋y )≠log a x ＋log a y ，a x ＋y ＝a x ·a y ，cos(x ＋y )＝cos x cos y －sin x sin y ≠cos x cos y ，∴选C.2．(2010·南充市)若A ＝{x ∈Z |2≤22－x<8}，B ＝{x ∈R ||x －1|>1}，则A ∩(∁R B )的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由2≤22－x <8得，1≤2－x <3，∴－1<x ≤1，∵x ∈Z ，∴x ＝0或1，∴A ＝{0,1}； 由|x －1|>1得，x >2或x <0，∴B ＝{x |x >2或x <0}，∴∁R B ＝{x |0≤x ≤2}， ∴A ∩∁U B ＝{0,1}．3．(文)(2010·北京崇文区)设a ＝⎝⎛⎭⎫120.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b <a <cD ．a <c <b[答案] C[解析] y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，1>12>0.3，∴1>a >b ，又y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1，∴b <a <c .(理)(2010·重庆诊断)设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1B.12<⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b C ．a 2<ab <1 D ．log 12b <log 12a <0[答案] B[解析] 依题意得ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，因此A 不正确；同理可知C 不正确；由函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数得，当0<b <a <1时，有⎝⎛⎭⎫120>⎝⎛⎭⎫12b >⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛121，即12<⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b ，因此B 正确；同理可知D 不正确．综上所述，选B.[点评] 可利用a ，b 取值的任意性取特值检验，令b ＝14，a ＝12可得，14>18>116，∴a 2>ab >b 2，排除A 、C ；log1214＝2，log 1212＝1，∴log 12b >log 12a ，排除D ，故选B. 4．(文)(2010·泰安质检)某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2010年的年产量约为( )A ．60万吨B ．61万吨C ．63万吨D ．64万吨[答案] C[解析] 设年增长率为x ，则由题意知40(1＋x )10＝50，∴(1＋x )10＝54，∴2010年的年产量为40(1＋x )20＝40×⎝⎛⎭⎫542＝2504≈63万吨．(理)(2010·安徽安庆联考)如图是一个算法的程序框图，当输入x 的值为3时，输出y 的结果恰好为13，则？处的关系式是( )A ．y ＝log 9xB ．y ＝3xC ．y ＝3－xD ．y ＝x 13[答案] B[解析] 输入x ＝3≤0不成立，故x ＝3－2＝1,1≤0不成立，故x ＝1－2＝－1，－1≤0成立，执行？后输出y ＝13，故选B.5．(2010·安徽理，6)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )[答案] D[解析] 若a <0，则只能是 A 或B 选项，A 中－b2a<0，∴b <0，从而c >0与A 图不符；B 中－b2a>0，∴b >0，∴c <0与B 图也不符；若a >0，则抛物线开口向上，只能是C 或D 选项，则当b >0时，有c >0与C 、D 不符．当b <0时，有c <0，此时－b2a >0，且f (0)＝c <0，故选D.6．(文)(2010·山东理，4)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3[答案] D[解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，即0＝20＋b ，∴b ＝－1，故f (1)＝2＋2－1＝3，∴f (－1)＝－f (1)＝－3.(理)(2010·辽宁省实验中学)已知函数f (x )＝2x－1，对于满足0<x 1<x 2<2的任意实数x 1，x 2，给出下列结论：(1)(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0； (2)x 2f (x 1)<x 1f (x 2)； (3)f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； (4)f (x 1)＋f (x 2)2>f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 其中正确结论的序号是( ) A ．(1)(2) B ．(1)(3) C ．(2)(4)D ．(3)(4)[答案] C[解析] ∵f (x )为增函数，x 1<x 2，∴f (x 1)<f (x 2)，∴(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0，故(1)错； 排除A 、B ；A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是f (x )＝2x －1在(0,2)上任意两点，则k AB ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1不总大于1，故(3)错，排除D ，选C.7．(文)(2010·重庆南开中学)已知f (x )＝a x ，g (x )＝b x ，当f (x 1)＝g (x 2)＝3时，x 1>x 2，则a 与b 的大小关系不可能成立．．．．．的是( ) A ．b >a >1 B ．a >1>b >0 C ．0<a <b <1D ．b >1>a >0[答案] D[解析] ∵f (x 1)＝g (x 2)＝3，∴ax 1＝bx 2＝3， ∴x 1＝log a 3，x 2＝log b 3，当b >1>a >0时，x 1<0，x 2>0不满足x 1>x 2.(理)(2010·辽宁文，10)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20D ．100[答案] A[解析] ∵2a＝5b＝m ∴a ＝log 2m b ＝log 5m ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2 ∴m ＝10 选A.8．(文)(2010·吉林市质检、上海松江市模拟)若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )[答案] A[解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴k ＝2，f (x )＝a x －a －x ， 又f (x )为减函数，∴0<a <1， ∴g (x )＝log a (x ＋2)的图象为A.(理)(2010·烟台中英文学校质检、海淀期中)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )[答案] D[解析] 对于A ，y ＝x ＋a 中，0<a <1，故y ＝log a x 单减，与图象不符，排除A ；对于B 、C 由y ＝x ＋a 知，a >1，∴y ＝log a x 单调增，与图象不符，排除B 、C ，因此选D.9．(2010·深圳市调研)已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( )A ．a 3＋a 7>2a 5B ．a 3＋a 7<2a 5C ．a 3＋a 7＝2a 5D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 [答案] A[解析] 因为所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，所以有a n＝a n，故a 3＋a 7＝a 3＋a 7，由基本不等式得：a 3＋a 7>2a 3·a 7＝2a 10＝2a 5，∴a 3＋a 7>2a 5(因为a >0，a ≠1，从而基本不等式的等号不成立)，故选A.10．(文)(2010·青岛市质检)过原点的直线与函数y ＝2x 的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图象于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是( )A ．(1,2)B ．(2,4)C ．(12，2)D ．(0,1) [答案] A[解析] 设A (x 0，y 0)，则y 0＝2x 0，由条件知C (x 0,4x 0)，∴y B ＝4x 0＝22x 0，∴B (2x 0,22x 0)，∵直线AB 过原点，∴k OA ＝k OB ，∴22x 02x 0＝2x0x 0，∴x 0＝1，∴A (1,2)．(理)(2010·湖南八校联考)已知函数f (x )＝log 12(4x －2x ＋1＋1)的值域是[0，＋∞)，则它的定义域可以是( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0] [答案] A[解析] 由题意知，log 12(4x －2x ＋1＋1)≥0，则有0<4x －2x ＋1＋1≤1，解得x ≤1且x ≠0，排除C 、D.经检验，当x ∈(0,1]时，f (x )的值域是[0，＋∞)．故选A.[点评] 由函数f (x )的值域为[0，＋∞)知，令u ＝4x－2x ＋1＋1，则log 12u ≥0，∴0<u ≤1，而u ＝(2x －1)2，∴x ≤1且x ≠0，而当x ＝1时，u ＝1，当x ＝0时，u ＝0，故0<x ≤1时，0<u ≤1，因此集合{x |x ≤1且x ≠0}的所有包含{x |0<x ≤1}的子集都可以取作该函数的定义域．二、填空题11．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x x ∈[－1，0]3x x ∈(0，1]，则f ⎝⎛⎭⎫log 312＝________. [答案] 2[解析] ∵－1<log 312<0，∴f (log 312)＝⎝⎛⎭⎫13log 312＝(3log 312)－1＝2.(理)(2010·北京东城区)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x x ≤0f (x －1)－f (x －2) x >0，则f (－1)＝______，f (33)＝________.[答案] 4，－2[解析] f (－1)＝21－(－1)＝4，f (33)＝f (32)－f (31)＝f (31)－f (30)－f (31)＝－f (30)，同理f (30)＝－f (27)，∴f (33)＝f (27)，∴f (33)＝f (3)＝－f (0)＝－2.12．(文)(2010·常德市检测)定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________，最小值为________．[答案] 4 2[解析] 由3|x |＝1得x ＝0，由3|x |＝9得x ＝±2，故f (x )＝3|x |的值域为[1,9]时，其定义域可以为[0,2]，[－2,0]，[－2,2]及[－2，m ]，0≤m ≤2或[n,2]，－2≤n ≤0都可以，故区间[a ，b ]的最大长度为4，最小长度为2.(理)(2010·柳州市模考)已知⎝⎛⎭⎫2x －229的展开式的第7项为214，则x 的值为________．[答案] －13[解析] T 7＝C 96(2x )3·⎝⎛⎭⎫－226＝212×8x＝214，∴3x ＝－1，∴x ＝－13.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x x ≤1log 2(x －1) x >1，则f (x )≤12的解集为________．[答案] [1，2＋1] [解析] 由f (x )≤12⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ≤12x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x －1)≤12x >1， ∴x ＝1或1<x ≤2＋1，∴1≤x ≤2＋1，故解集为[1，2＋1]．14．函数f (x )的定义由程序框图给出，程序运行时，输入h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，φ(x )＝log 2x ，则f (12＋f (4)的值为________．[答案] －1516[解析] 由程序框图知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧φ(x ) h (x )>φ(x )h (x ) h (x )≤φ(x )，∵h ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212＝22，φ⎝⎛⎭⎫12＝－1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝－1， ∵h (4)＝116，φ(4)＝2，∴f (4)＝116，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (4)＝－1＋116＝－1516. 三、解答题15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)，∴f (－x )＝2－x 4－x ＋1＝2x1＋4x ，∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x1＋4x ，∴f (x )在(－1,1)上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1x ∈(0，1)－2x 4x＋1 x ∈(－1，0)0 x ＝0.(2)当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋12x 24x 2＋1＝(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)(4x 1＋1)(4x 2＋1)，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．16．已知关于x 的方程9x －2×3x ＋(3k －1)＝0有两个实数根，求实数k 的取值范围． [解析] 令3x ＝t ，则方程化为t 2－2t ＋(3t －1)＝0，①要使原方程有两个实数根，方程①必须有两个正根 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－2)2－4(3k －1)≥0t 1t 2＝3k －1>0t 1＋t 2＝2>0解得13<k ≤23[点评] ∵t ＝3x >0，∴原方程有两个实数根x 1、x 2，则对应的方程①应有两个正根t 1＝3x 1，t 2＝3x 2，而不是两个任意实数根．17．(文)(2010·辽宁省锦州市通考)已知函数f (x )＝m ·2x ＋t 的图象经过点A (1,1)，B (2,3)及C (n ，S n )，S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)若数列{c n }满足c n ＝6na n －n ，求数列{c n }的前n 项和T n . [解析] (1)∵函数f (x )＝m ·2x＋t 的图象经过点A 、B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋t ＝14m ＋t ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1t ＝－1，∴f (x )＝2x－1，∴S n ＝2n －1，∴a n ＝2n －1.(2)c n ＝3n ·2n－n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝3×(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n)－(1＋2＋…＋n )，令P n ＝1×2＋2×22＋…＋n ·2n ① 则2P n ＝1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1② ①－②得－P n ＝2＋22＋ (2)－n ·2n ＋1＝2×(2n －1)2－1－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴P n ＝(n －1)2n ＋1＋2， ∴T n ＝3(n －1)2n ＋1＋6－n (n ＋1)2. (理)(2010·浙江台州模拟)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ·⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x . (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝1＋⎝⎛12x ＋⎝⎛⎭⎫14x. 因为f (x )在(－∞，0)上递减，所以f (x )>f (0)＝3，即f (x )在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．故不存在常数M >0，使|f (x )|≤M 成立． 所以函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立． ∴－3≤f (x )≤3，即－4－⎝⎛⎭⎫14x ≤a ·⎝⎛⎭⎫12x ≤2－⎝⎛⎭⎫14x ， ∴－4·2x －⎝⎛⎭⎫12x ≤a ≤2·2x －⎝⎛⎭⎫12x 在[0，＋∞)上恒成立，设2x ＝t ，h (t )＝－4t －1t p (t )＝2t －1t，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1，设1≤t 1<t 2，h (t 1)－h (t 2)＝(t 2－t 1)(4t 1t 2－1)t 1t 2>0p (t 1)－p (t 2)＝(t 1－t 2)(2t 1t 2＋1)t 1t 2<0所以h (t )在[1，＋∞)上递减，p (t )在[1，＋∞)上递增，h (t )在[1，＋∞)上的最大值为h (1)＝－5，p (t )在[1，＋∞)上的最小值为p (1)＝1， 所以实数a 的取值范围为[－5,1]．。
高考数学统考一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第四节 指数与指数函数(教师文档)教案 文 北师
学习资料第四节指数与指数函数授课提示：对应学生用书第20页［基础梳理]1．根式（1）根式的概念①若x n＝a，则x叫作a的n次方根,其中n＞1且n∈N＋。
式子na叫作根式，这里n叫作根指数，a叫作被开方数．②a的n次方根的表示:x n＝a⇒x＝错误!(2)根式的性质①（错误!)n＝a（n∈N＋）．②错误!＝错误!2．有理数指数幂(1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a错误!＝错误!（a＞0，m，n∈N＋,且n＞1）；②负分数指数幂：a＝错误!＝错误!(a＞0，m，n∈N＋,且n＞1）;③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2)有理数指数幂的运算性质：①a r a s＝a r＋s（a＞0，r,s∈Q)；②(a r)s＝a rs（a＞0，r,s∈Q）；③(ab）r＝a r b r（a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图像及性质函数y＝a x（a＞0，且a≠1)图像0＜a＜1a＞1图像特征在x轴上方,过定点(0，1）当x逐渐增大时，图像逐渐下降当x逐渐增大时，图像逐渐上升性质定义域R值域（0，＋∞）单调性减增函数值变化规律当x＝0时,y＝1当x＜0时，y＞1；当x＞0时,0＜y＜1当x＜0时,0＜y＜1；当x＞0时,y＞11．一个关注点错误!开方化简,要看n的奇偶性．2．指数函数图像和性质的注意点(1)指数函数y＝a x（a＞0,a≠1）的图像和性质与a的取值有关，应分a＞1与0＜a＜1来研究．（2)画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图像,应抓住三个关键点：(1，a），（0,1)，错误!. 3．指数函数的图像与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝a x,(2)y＝b x，（3)y＝c x，(4)y＝d x的图像，底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b。
规律：在y轴右（左）侧图像越高(低)，其底数越大．4．指数函数图像的对称规律函数y＝a x的图像与y＝a－x的图像关于y轴对称,y＝a x的图像与y＝－a x的图像关于x轴对称，y＝a x的图像与y＝－a－x的图像关于坐标原点对称．［四基自测]1．(基础点：有理数指数幂运算)化简［(－2)6］错误!－（－1)0的结果为()A．－9B．7C．－10 D．9答案：B2．（基础点：指数函数图像)函数f(x）＝1－e x的图像大致是（)答案：A3．（基础点：指数函数解析式)若函数f(x）＝a x（a＞0，且a≠1）的图像经过点A错误!,则f （－1）＝________．答案:错误!4．(易错点：指数函数性质)函数y＝(ax＋1)e x过定点________．答案：(0，1)授课提示：对应学生用书第21页考点一实数指数幂的化简与求值［例]（1)化简错误!(x＜0,y＜0）的结果为（)A．2x2y B．2xyC．4x2y D．－2x2y[解析]错误!＝(16x8y4）错误!＝[24（－x）8·（－y）4］错误!＝24·错误!·（－x）8·错误!·（－y)4·错误!＝2（－x)2（－y）＝－2x2y.[答案］ D（2）错误!错误!＋2－2·错误!错误!－（0.01)0.5.[解析］原式＝1＋错误!×错误!错误!－错误!错误!＝1＋错误!×错误!－错误!＝1＋错误!－错误!＝错误!.[破题技法］指数幂运算的一般原则（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4）若是根式，应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式来表示，运用指数幂的运算性质来解答．将本例(1)中的“x＜0，y＜0”去掉后，如何化简该式．解析：416x8y4＝2｜x2y|＝错误!。
第2章 第4节 指数与指数函数-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
3.指数函数的图象与性质
y＝ax(a＞0 且 a≠1)
a＞1
图象
0＜a＜1
定义域 值域
R (_0_，__＋__∞__) 过定点_(_0_，__1_)_
性质
当x＞0时，_y_＞__1_； 当x＞0时，0_＜__y_＜__1_； 当x＜0时，_0_＜__y_＜__1_ 当x＜0时，__y_＞__1__
命题点 2 与指数函数有关的复合函数的单调性
[例 3－2] 若函数 f(x)＝13ax2＋2x＋3的值域是0，19， 则 f(x)的单调递增区间是(_－__∞__，__－_.1]
[自主解答] 令 g(x)＝ax2＋2x＋3， 由于 f(x)的值域是0，19，所以 g(x)的值域是[2，＋∞).
a＞0， 因此有12a4－ a 4＝2，解得 a＝1， 这时 g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝13x2＋2x＋3. 由于 g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]， 所以 f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].
核心考点·讲练互动
►考向一 指数幂的运算[自主练透] [例 1] 化简下列各式： (1)2350＋2－2·214－12－(0.01)0.5； (2)（a14ba123）b234aa－b132b13(a＞0，b＞0).
[自主解答] (1)原式＝1＋14×4912－110012 ＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1165.
关系是( C ) A.a＜b＜c
B.a＜c＜b
C.b＜a＜c
D.b＜c＜a
解析 根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5 ＜0.60.6＜0.60＝1，而c＝1.50.6＞1，∴b＜a＜c.
6.函数y＝ex＋1的值域为_(0_，__＋__∞__). 解析 易知y＝ex＋1的定义域为R，令φ(x)＝x＋1， 则φ(x)∈R， 又由指数函数的性质知y＝ex＋1∈(0，＋∞).
004指数与指数函数(二)生
高一数学基础教材（A ）—04第二章 基本初等函数2-1 指数与指数函数（二）✍基础知识：1、指数函数的定义函数 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R.指数函数xy a =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图象和性质：(1)指数函数中，底数是一个常量，自变量出现在指数位置上.显然y ＝x a不是指数函数，这一点要特别注意．(2)指数函数中，系数一定为1，指数一定为x.例如，y ＝3·2x 不是指数函数，y ＝2x＋1也不是指数函数．(3)当0<a<1时，x →＋∞，y →0；当a>1时，x →－∞，y →0. (其中“x→＋∞”的意义是“x 接近于正无穷大”)✍例题讲解：[例1] 下列函数中，哪些是指数函数？(1)y ＝10x ；(2)y ＝10x ＋1；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝x x ；(5)y ＝x α(α是常数)．【一点通】 判定一个函数为指数函数：①___________________；②_________________________；③________________________________________． 【巩固】1．给出下列函数： ①y ＝2·(2)x；②y ＝2x －1；③y ＝(π2)x；④y ＝31x -；⑤y ＝x 13.其中是指数函数的是________(填序号)．【巩固】2．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x是指数函数，求a 的值．[例2] 如图，曲线C 1，C 2，C 3，C 4是指数函数y ＝ax的图象，而a ∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫23，13，5，π，则图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的函数的底数依次是______，______，________，________．【一点通】(1)指数函数的图象随底数变化的规律：①无论指数函数的底数a 如何变化，指数函数y ＝a x的图像都与直线_________相交于点(__，________)，由图像可知：在y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由___变_____．②指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，图高则底_____(填大小)． (2) 指数函数图象问题的处理方法①抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点(___，____)； ②利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)； ③利用函数的__________与______________．【巩固】3．函数y ＝2－|x |的大致图象是 ( )【巩固】4．函数f (x )＝ax －1＋1(a >0且a ≠1)的图像过定点A ，则A 点的坐标为________．[例3] 比较下列各组数的大小：(1)1.82.2，1.83；(2)0.7－0.3，0.7－0.4；(3)1.90.4，0.92.4；(4)(45)12，(910)13.【一点通】 比较幂的大小的方法：(1)对于底数相同但指数不同的幂，可以利用指数函数的______________来比较． (2)对于底数不同但指数相同的幂，可利用指数函数__________________来比较． (3)对于底数不同且指数不同的幂，则应通过________________来比较． 【巩固】5．下列判断正确的是 ( )A ．2.52.5>2.53B ．0.82<0.83C ．π2<π2D ．0.90.3>0.90.5【巩固】6．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x.若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．【巩固】7．比较下列各组数的大小：(1)(54)2.3和(45)2.3；(2)0.6－2和(43)23-.【巩固】8．如果a －5x >ax ＋7(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．[例4] (12分)求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x －4；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |；(3)y ＝22x －x 2.【一点通】(1)函数y ＝af (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同．(2)函数y ＝af (x )的值域的求法如下：①换元，令t ＝f (x )；②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ；③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝at 的单调性求y ＝at ，t ∈M 的值域．【巩固】9．函数y ＝ a x－1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围为________．【巩固】10．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ∈[－1，2]的值域为________． 【巩固】11．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝ 1－2x； (2)y ＝(13)3－x .(1)应用指数函数y ＝ax 的单调性时，如果底数a 大小不确定，必须分________________和_____________________两种情况讨论.(2)当_____________时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快.当_________时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快.课堂练习一、选择题：1、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ）A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭2、44366399a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（ ）A 、16aB 、8aC 、4aD 、2a3、若1,0a b ><,且22b ba a -+=,则b b a a --的值等于（ ）A 、6B 、2±C 、2-D 、24、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A 、1>a B 、2<a C 、2a < D 、12a <<5、下列函数式中，满足1(1)()2f x f x +=的是( )A 、1(1)2x + B 、14x + C 、2x D 、2x -6、下列2()(1)x x f x a a -=+是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、非奇非偶函数D 、既奇且偶函数7、已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22ab>；(3)b a 11<；(4)1133a b >；(5)1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中恒成立的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、函数2121x x y -=+是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数9、函数121x y =-的值域是（ ）A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞10、已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（ ）A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限11、2()1()(0)21x F x f x x ⎛⎫=+⋅≠ ⎪-⎝⎭是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x ( )A 、是奇函数 B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数 D 、不是奇函数，也不是偶函数12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ）A 、(1%)na b -B 、(1%)a nb -C 、[1(%)]n a b -D 、(1%)na b - 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上） 13、若103,104xy==，则10x y-= 。
指数与指数函数
(1) (-4)4 =π-4.( × )
(2) 与( )n 都等于 a(n∈N*).( × )
2
1
(3)(-1)4 =(-1)2
=
-1.( × )
(4)函数 y=3·2x 与 y=2x+1 都不是指数函数.(
(5)若 am>an,则 m>n.( × )
)
考向一
指数幂的运算
例 1 化简下列各式(其中各字母均为正数)．
2
－
1
27 3
(1)－ 8 ＋0.002－2－10( 5－2)－1＋π0
a3b2 3 ab2
(2)
1 1(a>0，b>0)
1 1
（a4b2）4a－3b3
1
5
2
3
(3) [(0.064 ) 2.5]
1
2
1
1
23 1
3
2
a
b
a
b
(4)
6
a b5
3
3
38－π0；
成假分数.
(4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运
算性质来解答.
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指
数幂.
（Ⅰ）
（
【解析】
（Ⅰ）原式＝
；
；
对点训练1
求值与化简:
1
若 2
+
1
2 +-2 −2
2 =3,求 3 3 的值.
-
2 + 2 −3
（3）（2019·福建泉州五中模拟）设 a>0，且 a≠1，函数 y＝a2x＋2ax－1 在[－1，1]上的最大值是 14，则实数 a 的值为________．
第二章 函数2-4指数与指数函数
解法2：当a>0，a≠1时，y＝ax是定义域上 的单调函数，因此其最值在x∈[0,1]的两个 端点得到，于是必有1＋a＝3，∴a＝2. 答案：B 点评：指数函数的最值问题一般都是用单调 性解决．
(理)函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最 a 小值大 ，则a的值是________． 2 解析：当a>1时，y＝ax在[1,2]上递增，
( B．2ab>2b D．log2(ab)<－2
)
[答案] D [解析] 易知y＝2x在R上单调递增， y＝log2x在R＋上单调递增， 故2ab<2a,2ab<2b，
1 log2(ab)<log222＝－2，故选D.
4x＋1 2．(2010· 重庆理，5)函数f(x)＝ x 的图象 ( 2 A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
0<y<1
x<0 y>1
误区警示 1．忽视底数a>1与0<a<1时性质的区别及函 数的值域致误． 2．比较幂值大小时，要注意区分底数相同 还是指数相等．是用指数函数的单调性，还 是用幂函数的单调性或指数函数的图象解 决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、 1等的运用．指数函数的图象在第一象限内 底大图高(逆时针方向底数依次变大)．
[例1]
化简： 4 1 3＝________； a－1
(1)(1－a) 3
(2) xy2· xy－1· xy＝________； (3)0.25
－0.5
1 1 ＋27－ －6250.25＝________. 3
答案：(1)－ a－1 (2)xy
第二章 幂函数、指数函数、对数函数第四节对数函数
第一节 第二节 第三节 第四节
函数 幂函数 指数函数 对数函数
第四节 对数函数
一、对数的定义及运算
1.对数的定义 我们知道 23 8,现在提出相反的问题,2 的多少次幂等于 8?如何表示这种逆运算?我们采用一个新
的式子:log 83表示,这里的 2 称为底数,8 称为真数,3 称为 2
(3) 在 0,+ 内单调递增
(4) 当x +,y +; x 0时,y -
(1) x > 0
(2) 当x = 1时,y = 0; 当x > 1时,y 0; 当0 < x < 1时,y 0
(3) 在 0,+ 内单调递减
(4) 当x +,y ; x 0时,y
例 7 比较下列各组里两个数的大小.
例 3 用loga x,loga y,loga z表示下列各式
(1) loga x2 y3;
(2)
loga
xy z2
.
解 (1) loga x2 y3 2loga x3loga y;
(2)
loga
xy z2
loga
xy
loga
z2
loga
x
loga
y
2loga
z.
4.常用对数、自然对数、对数的换底公式 我们规定,以
x
,
y
10x
,
y
ex
的反函数.
三、对数函数的图像和性质
y
y a x a>1
y
y= x
y ax
0<a<1
y log a x
1
a>1
高考数学函数的概念与基本初等函数第四节指数与指数函数课件理
1
23
为分数指数幂][(0.0645)－2.5]3－
338－π 0＝____________.
解析 原式＝1 6040051－5223－28713－1
＝140315×－25×23－32313－1＝52－32－1＝0.
答案 0
知识点二 指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
图象
0<a<1
定义域 值域
性质
R
(0，＋∞)
过定点 (0，1)
当 x>0 时， y>1 ； 当 x>0 时， 0<y<1 ；
x<0 时， 0<y<1
x<0 时， y>1
在(－∞，＋∞)上是 在(－∞，＋∞)上是
增函数
减函数
►两个易错点；单调性，值域.
是( )
A.1.72.5＞1.73
B.0.6－1＞0.62
C.0.8－0.1＞1.250.2
D.1.70.3＜0.93.1
(2)(2016·河北衡水中学调研)已知函数f(x)是定义在R上的单
调递增函数，且满足对任意的实数x都有f[f(x)－3x]＝4，则f(x)
＋f(－x)的最小值等于( )
A.2
B.4
(5)不等式 9－x－13x－2≥0 的解集为________.
解析 原不等式即为13x2－13x－2≥0，所以13x≥2 或13x≤
－1，由13x＞0
得
x≤log12.
3
答案 (－∞，log12]
3
指数函数图象及其应用解题方略
答案 (1)A (2)0
[点评] 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本 的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩，对称变换得到， 当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
【新部编版】2019-2020届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第4节指数与指数函数练习新人教A版
第二章 第4节 指数与指数函数[基础训练组]1．已知f (x )＝2x ＋2－x，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：B [由f (a )＝3得2a＋2－a＝3，两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.]2．函数y ＝2x－2－x是( ) A ．奇函数，在(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在(－∞，0)上单调递减解析：A [根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，借助指数函数的图象及相关结论判断单调性．令f (x )＝2x－2－x，则f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以函数是奇函数，排除C 、D.又函数y ＝2x ，y ＝－2－x都是R 上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f (x )＝2x－2－x是R 上的增函数，故选择A.]3．(理科)(2018·宜宾市诊断)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a|x ＋b |的图象为( )解析：A [∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>1，∴f (x )＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，取等号．∴a ＝2，b ＝1.因此g (x )＝2|x ＋1|，该函数图象由y ＝2|x |向左平移一个单位得到，结合图象知A 正确．]3．(文科)函数y ＝xa x|x |(0<a <1)图象的大致形状是( )解析：D [函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >0，－a x，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，因为0<a <1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数；当x <0时，函数图象与指数函数y ＝a x(x <0,0<a <1)的图象关于x 轴对称，在(－∞，0)上是增函数．]4．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]5．若函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则实数a 的值是( ) A ．3 B.13C ．3或13D ．5或15解析：C [设a x ＝t ，则原函数的最大值问题转化为求关于t 的函数y ＝t 2＋2t －1的最大值问题．因为函数图象的对称轴为t ＝－1，且开口向上，所以函数y ＝t 2＋2t －1在t ∈(0，＋∞)上是增函数．当a >1时，a －1≤t ≤a ，所以t ＝a 时，y 取得最大值14，即a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3(舍去－5)；当0<a <1时，a ≤t ≤a －1，所以t ＝a －1时，y 取得最大值14，即a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去－15.综上，实数a 的值为3或13，选C.]答案：9答案：(－∞，8]10．已知函数f (x )＝4x＋m2x 是奇函数．(1)求m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．解析：(1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点， 即方程4x－12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x>0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 方法一：由于a ＝t ＋1t≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．方法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0， ∴只须⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2>0，解得a ≥2.∴a 的取值范围为[2，＋∞)．[能力提升组]11．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x K ，K ，f x K ，给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1解析：D [根据给出的定义，f K (x )是在函数y ＝f (x )，y ＝K 中取较小者．对任意的x ∈(－∞，1]上恒有f K (x )＝f (x )，等价于对任意的x ∈(－∞，1]上恒有f (x )≤K ，等价于f (x )max ≤K ，x ∈(－∞，1]．令t ＝2x∈(0,2]，则函数f (x )＝2x ＋1－4x ，即为函数φ(t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1≤1，故函数f (x )在(－∞，1]上的最大值为1，即K ≥1.故选D.]12．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：D [方程|a x－1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点． ①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.]13．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是 ________ .解析：原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.答案：(－1,2) 14．已知函数f (x )＝3x－13|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值； (2)判断x >0时，f (x )的单调性；(3)若3tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)当x ≤0时，f (x )＝3x －3x ＝0，∴f (x )＝2无解．当x >0时，f (x )＝3x －13x ，令3x－13x ＝2.∴(3x )2－2·3x－1＝0，解得3x＝1± 2. ∵3x>0，∴3x＝1＋ 2.∴x ＝log 3(1＋2)．(2)∵y ＝3x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝13x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )＝3x－13x 在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴f (t )＝3t－13t >0.∴3t f (2t )＋mf (t )≥0化为3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －132t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －13t ≥0，即3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t＋13t ＋m ≥0，即m ≥－32t－1.令g (t )＝－32t－1，则g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上递减，∴g (x )max ＝－4.∴所求实数m 的取值范围是[－4，＋∞)．。
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第四节 指数与指数函数[考纲要求]1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象．4．体会指数函数是一类重要的函数模型．突破点一 指数幂的运算[基本知识]1．根式 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的表示x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝ n a (当n 为奇数且n >1时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n >1时).2．有理数指数幂幂的有关概念正分数指数幂：am n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1) 负分数指数幂：a-m n＝1a m n＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义 有理数指数幂的性质a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q) (ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)4(－a )4＝－a .( )(2)(－a)24＝(－a)12＝－a.()(3)(na)n＝a.()答案：(1)×(2)×(3)√二、填空题1．计算：π0＋2－2×⎝⎛⎭⎫21412＝________.答案：1182．设a>0，将a2a·3a2表示成分数指数幂的形式，其结果是________．解析：a2a·3a2＝a2a·a23＝a2a53＝a2a51×32＝a2·a-56＝a-526＝a76.答案：a763．若(2a－1)2＝3(1－2a)3，则实数a的取值范围为________．解析：(2a－1)2＝|2a－1|，3(1－2a)3＝1－2a.因为|2a－1|＝1－2a.故2a－1≤0，所以a≤12.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，12指数幂的运算规律(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．[典例](1)a3a·5a4(a>0)的值是()A．1B．aC ．a 15D ．a1710(2)⎝⎛⎭⎫2 350＋2－2·⎝⎛⎭⎫2 14-12－(0.01)0.5＝________. [解析] (1)a 3a ·5a 4＝a 3a 12·a45＝a143--25＝a1710.故选D.(2)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. [答案] (1)D (2)1615[方法技巧]化简指数幂常用的技巧(1)⎝⎛⎭⎫b a －p ＝⎝⎛⎭⎫a b p (ab ≠0)； (2)a ＝()a1mm，an m＝(a 1m)n (式子有意义)；(3)1的代换，如1＝a －1a,1＝a -12a 12等；(4) 乘法公式的常见变形，如(a 12＋b 12)(a 12－b 12)＝a －b ，(a 12±b 12)2＝a ±2a 12b 12＋b ，(a 13±b 13)(a 23∓a 13b 13＋b 23)＝a ±b .[针对训练] 1．化简(a 23·b －1)-12·a-12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：选D 原式＝a1-3b 12a -12b13a 16b56＝a1611---32·b115+-236＝1a .2．(2019·江西百校联盟联考)已知14a ＝7b ＝4c ＝2，则1a －1b ＋1c ＝________.解析：由题设可得21a＝14,21b＝7,21c＝4， 则2-11a b＝147＝2，∴2-+111a b c＝2×4＝23，∴1a －1b ＋1c ＝3. 答案：33．若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x -12(x －x 12)＝________.解析：因为x >0，所以原式＝(2x 14)2－(332)2－4x -12·x ＋4x-12·x 12＝4x⨯124－33×22－4x-1+12＋4x-11+22＝4x12－33－4x 12＋4x 0＝－27＋4＝－23.答案：－23突破点二 指数函数的图象及应用[基本知识]1．指数函数的图象 函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)0<a <1a >1图象图象特征在x 轴上方，过定点(0,1)当x 逐渐增大时，图象逐渐下降当x 逐渐增大时，图象逐渐上升画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 3．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)y ＝2x －1是指数函数．( )(2)y ＝a x＋1的图象恒过定点(－1,1)．( )(3)要得到y ＝3x ＋2的图象只需将y ＝3x 的图象向左平移2个单位即可．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题1．函数y ＝a x －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象过定点________．解析：因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中，令x －3＝0，得x ＝3，此时y ＝1＋3＝4，即函数y ＝a x －3＋3的图象过定点(3,4)．答案：(3,4) 2．函数y ＝2x＋1的图象是________(填序号)．解析：由y ＝2x 的图象向左平移1个单位可得y ＝2x ＋1的图象．答案：①3．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫12a －4x 的图象与指数函数y ＝a x 的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是________．解析：由两函数的图象关于y 轴对称，可知12a －4与a 互为倒数，即a 2a －4＝1，解得a＝4.答案：4[全析考法]考法一 与指数函数有关的图象辨析[例1] (2019·河北武邑中学调研)函数y ＝e－|x －1|的大致图象是( )[解析] 因为－|x －1|≤0，所以0<e －|x －1|≤e 0，即0<y ＝e －|x －1|≤1，故选B. [答案] B考法二 指数函数图象的应用一些指数方程、不等式问题，往往利用相应指数型函数的图象数形结合求解．[例2] (2019·西安八校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)>1的x的取值范围是________．[解析] 画出函数f (x )的大致图象如图所示，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．又x >x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1， 所以要使f (x )＋f (x －1)>1成立， 结合函数f (x )的图象知只需x －1>－1， 解得x >0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)． [答案] (0，＋∞)[方法技巧]有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A 由f (x )＝1－e |x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D.又e |x |≥1，所以f (x )的值域为(－∞，0]，排除C.2.[考法二]函数y ＝a x －b (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．无法确定解析：选C 因为函数y ＝a x －b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y ＝a x －b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x ＝0，则y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，1－b <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b >1，故a b ∈(0,1)，故选C. 3.[考法二]若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]突破点三 指数函数的性质及应用[基本知识]指数函数的性质函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意分a >1与0<a <1两种情况来研究．(2)对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的取值范围．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)，当x >0时，y >1.( )(2)若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值为2，则a 为 2.( ) (3)若a m >a n (a >0，且a ≠1)，则m >n .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、填空题1．函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 的单调递增区间为________． 答案：(－∞，＋∞)2．若－1<x <0，a ＝2－x ，b ＝2x ，c ＝0.2x ，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：因为－1<x <0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x <1,2－x >1,0.2x >1，又因为0.5x <0.2x ，所以b <a <c .答案：b <a <c3．函数y ＝3x 2－2x 的值域为________．解析：设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ，u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以y ＝3u ≥3－1＝13，所以函数y ＝3x 2－2x的值域是⎣⎡⎭⎫13，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞[全析考法]考法一 比较指数式大小或解不等式[例1] (1)已知f (x )＝2x －2－x，a ＝⎝⎛⎭⎫79-14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a )(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析] (1)易知f (x )＝2x－2－x在R 上为增函数，又a ＝⎝⎛⎭⎫79-14＝⎝⎛⎭⎫9714>⎝⎛⎭⎫9715＝b >0，c ＝log 279<0，则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )．(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a －7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3， 因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1， 所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)． [答案] (1)B (2)C [方法技巧]有关指数不等关系的常见题型及求解思路(1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．考法二 与指数函数有关的函数最值问题[例2] (2019·昆明第一中学月考)已知集合A ＝{x |(2－x )(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x －2x＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4[解析] 由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x ＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.[答案] D [方法技巧]形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．考法三 与指数函数有关的函数单调性问题[例3] (1)若函数f (x )＝a |2x－4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2](2)若函数f (x )＝a x (a x －3a 2－1)(a >0，且a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，23B.⎣⎡⎭⎫33，1C ．(1， 3 ]D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ [解析] (1)由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.(2)令t ＝a x (t >0)，则原函数转化为y ＝t 2－(3a 2＋1)t ，其图象的对称轴为直线t ＝3a 2＋12.若a >1，则t ＝a x ≥1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数， 则3a 2＋12≤1，解得－33≤a ≤33，与a >1矛盾；若0<a <1，则0<t ≤1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数，则3a 2＋12≥1，解得a ≥33或a ≤－33，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.故选B.[答案] (1)B (2)B [方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．[集训冲关]1.[考法一]已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >aD ．c >a >b解析：选D a ＝0.80.7>0.80.9＝b ，a ＝0.80.7<0.80＝1，∴b <a <1，而c ＝1.20.8>1.20＝1，∴c >a >b .2.[考法二]函数y ＝16－2x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)D ．(0,4)解析：选C 函数y ＝16－2x 中，因为16－2x ≥0，所以2x ≤16.因为2x ∈(0,16]，所以16－2x ∈[0,16)．故y ＝16－2x ∈[0,4)．故选C.3.[考法三]函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12 B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选D 令x －x 2≥0，得0≤x ≤1，所以函数f (x )的定义域为[0,1]，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12t是减函数，所以函数f (x )的增区间就是函数y ＝－x 2＋x 在[0,1]上的减区间⎣⎡⎦⎤12，1，故选D.4.[考法一、三]已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是___________________________________________________________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a |x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1)[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·郑州一中开学考试)函数y ＝ln(2x －1)的定义域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C 由2x －1>0，得x >0，所以函数的定义域为(0，＋∞)． 2.(2019·菏泽联考)函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2的值域为( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 设t ＝2x －x 2，则t ≤1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12t ，t ≤1，所以y ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞，故选A. 3．化简4a 23·b -13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a -13b 23的结果为( ) A ．－2a3bB ．－8abC ．－6a bD ．－6ab解析：选C 原式＝－6a⎛⎫- ⎪⎝⎭21-33b12--33＝－6ab －1＝－6ab .4．(2019·贵阳监测)已知函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(0,5)D ．(5,0)解析：选A 由于函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)，当x ＝1时，f (x )＝4＋2＝6，故函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过定点P (1,6)．5．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：选A 由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c ；因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·衡水中学模拟)已知ab ＝－5，则a －ba ＋b－ab 的值是( )A ．25B ．0C ．－2 5D ．±2 5解析：选B 由题意知ab <0，a －ba ＋b －a b ＝a －ab a 2＋b －ab b 2＝a 5a 2＋b5b 2＝a 5|a |＋b 5|b |＝0.故选B. 2．已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.2，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <aD ．b <c <a解析：选C ∵b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.2＝20.2<21.2＝a ，∴a >b >1.又∵c ＝2log 52＝log 54<1，∴c <b <a . 3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132+1x 的值域为( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选D 由题2x ＋1≠0，得y ＝⎝⎛⎭⎫132+1x ≠1，又y >0，所以值域为(0,1)∪(1，＋∞)，故选D.4．(2019·山西省45校第一次联考)函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与函数y ＝(a －1)x 2－2x －1在同一个坐标系内的图象可能是( )解析：选C 两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A 、D ；二次函数的对称轴为直线x ＝1a －1，当0<a <1时，指数函数递减，1a －1<0，C 符合题意；当a >1时，指数函数递增，1a －1>0，B 不符合题意，选C.5．(2019·河南六市一模)设x >0，且1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <aD ．1<a <b解析：选C ∵1<b x ，∴b 0<b x ，∵x >0，∴b >1，∵b x <a x ，∴⎝⎛⎭⎫a b x >1，∵x >0，∴a b >1⇒a >b ，∴1<b <a .故选C.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，此时－x <0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时－x >0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.7．(2019·衡阳三中月考)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－3,4)D ．(－1,2)解析：选D ∵(m 2－m )·4x －2x <0在(－∞，－1]上恒成立．∴(m 2－m )<12x 在x ∈(－∞，－1]上恒成立．∵y ＝12x 在(－∞，－1]上单调递减，∴当x ∈(－∞，－1]时，y ＝12x ≥2，∴m 2－m <2，∴－1<m <2，故选D.8．(2019·中山一中摸底)化简：(23a 2·b )(－6a ·3b )÷(－36a ·6b 5)＝________. 解析：(23a 2·b )(－6a ·3b )÷(－36a ·6b 5)＝⎝⎛⎭⎫2a 23b 12⎝⎛⎭⎫－6a 12·b 13÷⎝⎛⎭⎫－3a 16·b 56＝4a 1621+-32·b5611+-23＝4a 1·b 0＝4a .答案：4a9．(2019·烟台海阳一中期中)已知函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]，则实数m 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝2|x －2|－1的对称轴为直线x ＝2，且在(－∞，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．由于函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]且函数关于直线x ＝2对称，f (0)＝f (4)＝3，f (2)＝0，所以结合图象可知m ∈[2,4]．答案：[2,4]10．(2019·湖南八校联考)对于给定的函数f (x )＝a x －a －x (x ∈R ，a >0，且a ≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________(填序号)．①函数f (x )的图象关于原点对称； ②函数f (x )在R 上不具有单调性； ③函数f (|x |)的图象关于y 轴对称； ④当0<a <1时，函数f (|x |)的最大值是0； ⑤当a >1时，函数f (|x |)的最大值是0.解析：∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，f (x )的图象关于原点对称，①是真命题；当a >1时，f (x )在R 上为增函数，当0<a <1时，f (x )在R 上为减函数，②是假命题；y ＝f (|x |)是偶函数，其图象关于y 轴对称，③是真命题；当0<a <1时，y ＝f (|x |)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x ＝0时，y ＝f (|x |)的最大值为0，④是真命题；当a >1时，f (|x |)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x ＝0时，y ＝f (|x |)的最小值为0，⑤是假命题．综上，真命题是①③④.答案：①③④11．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1， 令t ＝2x ，x ∈[－3,0]，则t ∈⎣⎡⎦⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝⎛⎭⎫t －142－98，t ∈⎣⎡⎦⎤18，1， 故值域为⎣⎡⎦⎤－98，0. (2)设2x ＝m >0，关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解， 等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解， 记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立．当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a<0，过点(0，－1)，不成立．当a >0时，开口向上，对称轴m ＝14a >0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a >0.故a 的取值范围为(0，＋∞)．12．(2019·上海松江期末)已知函数f (x )＝a |x＋b |(a >0，且a ≠1，b ∈R)．(1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件． 解：(1)∵f (x )为偶函数，∴对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )． 即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |， 解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， ∴－b ≤2，即b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2.[C 级 难度题——适情自主选做]1．(2019·绵阳第一次诊断)已知0<a <b <1，给出以下结论：①⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫13b；②a 12>b 13；③log 12a >log 13b .则其中正确的结论个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 对于①，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，所以⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫12b .又函数y ＝x b 为增函数，所以⎝⎛⎭⎫12b >⎝⎛⎭⎫13b ，因此⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫13b ，故①正确；对于②，函数y ＝x 12为增函数，所以a 12<b 12.又函数y ＝b x 为减函数，所以b 12<b 13，所以a 12<b 13，故②不正确；对于③，函数y ＝log 12x为减函数，所以log 12a >log 12b .又log 12b >log 13b ，因此log 12a >log 13b ，故③正确．综上可得①③正确．故选B.2．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )解析：选A 因为x ∈(0,4)，所以x ＋1>1， 所以f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29x ＋1·(x ＋1)－5＝1， 当且仅当x ＝2时取等号，此时函数有最小值1， 所以a ＝2，b ＝1，此时g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x <－1，此函数图象可以看作由函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，⎝⎛⎭⎫12x ，x <0的图象向左平移1个单位得到．结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.3．已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．解析：①当0<a <1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象如图(1)．若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23.②当a >1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象如图(2)，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 答案：⎝⎛⎭⎫0，23。