第二章 第四节 指数与指数函数

第四节 指数与指数函数

[考纲要求]

1．了解指数函数模型的实际背景．

2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，1

2，1

3

的指数函数的图象．

4．体会指数函数是一类重要的函数模型．

突破点一 指数幂的运算

[基本知识]

1．根式 (1)根式的概念

若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子n

a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．

(2)a 的n 次方根的表示

x n

＝a ⇒⎩⎨

⎧

x ＝ n a (当n 为奇数且n >1时)，

x ＝±n a (当n 为偶数且n >1时).

2．有理数指数幂

幂的有关概念

正分数指数幂：a

m n

＝n

a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1) 负分数指数幂：a

-

m n

＝1

a m n

＝

1n a m

(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)

0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义 有理数指数幂的性质

a r a s ＝a r ＋

s (a ＞0，r ，s ∈Q)

(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q) (ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)4

(－a )4＝－a .( )

(2)(－a)2

4＝(－a)

1

2＝－a.()

(3)(

n

a)n＝a.()

答案：(1)×(2)×(3)√

二、填空题

1．计算：π0＋2－2×⎝⎛⎭⎫

2

1

4

1

2＝________.

答案：

11

8

2．设a>0，将

a2

a·

3

a2

表示成分数指数幂的形式，其结果是________．解析：

a2

a·

3

a2

＝a2

a·a

2

3

＝a2

a

5

3

＝a2

a

51

×

32

＝a2·a-

5

6＝a-

5

2

6＝a

7

6.

答案：a

7

6

3．若(2a－1)2＝

3

(1－2a)3，则实数a的取值范围为________．

解析：(2a－1)2＝|2a－1|，

3

(1－2a)3＝1－2a.

因为|2a－1|＝1－2a.

故2a－1≤0，所以a≤1

2.

答案：⎝⎛⎦⎤

－∞，

1

2

指数幂的运算规律

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

[典例](1)

a3

a·

5

a4

(a>0)的值是()

A．1B．a

C ．a 15

D ．a

1710

(2)⎝⎛⎭⎫2 350＋2－2·⎝⎛⎭⎫2 14-1

2－(0.01)0.5＝________. [解析] (1)

a 3a ·5

a 4

＝

a 3a 12

·a

45

＝a

143--25

＝a

1710

.故选D.

(2)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫491

2－⎝⎛⎭⎫11001

2＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝16

15. [答案] (1)D (2)1615

[方法技巧]

化简指数幂常用的技巧

(1)⎝⎛⎭⎫b a －p ＝⎝⎛⎭⎫a b p (ab ≠0)； (2)a ＝()a

1

m

m

，a

n m

＝(a 1m

)n (式子有意义)；

(3)1的代换，如1＝a －1a,1＝a -12

a 1

2

等；

(4) 乘法公式的常见变形，如(a 12

＋b 12

)(a 12

－b 12

)＝a －b ，(a 12

±b 12)2

＝a ±2a 12

b 12

＋b ，

(a 13±b 13)(a 23∓a 13b 13＋b 23

)＝a ±b .

[针对训练] 1．化简

(a 23

·b －1

)-

12

·a

-

1

2

·b

1

3

6a ·b 5

(a >0，b >0)的结果是( )

A ．a

B ．ab

C ．a 2b

D.1a

解析：选D 原式＝

a

1-3

b 12

a -12

b

13

a 1

6

b

56

＝a

16

11---32·b

115

+-236

＝1a .

2．(2019·江西百校联盟联考)已知14a ＝7b ＝4c ＝2，则1a －1b ＋1

c ＝________.

解析：由题设可得21a

＝14,21b

＝7,21c

＝4， 则2

-11a b

＝14

7

＝2，