逃逸时间算法

f(z)=(2z3+1)/3z2
则z的三个根分别是
w1=1,w2=ei2π/3,w3=ei4π/3，三个根的吸引
域A(w1)，A(w2)，A(w3)的交界便是牛顿 函数的Julia集。经过迭代，在A(wi)上的 点都会被吸引到点wi上。设一个较大的 迭代次数N，以及一个距离小量r，当迭
代次数达到N，其与根点的距离小于r的
xk=x0*x0-y0*y0+p
ENDIF
yk=2*x0*y0+q
Loop2:
k=k+1
SetP(nx,ny,H)
r=xk*xk+yk*yk
ENDFOR
x0=xk
ENDFOR
y0=yk
END
IF r>m THEN
H=k;
goto Loop2
ENDIF
参考书：《分形算法与程序设计》
6
参考书：《分形算法与程序设计》
GOTO Loop
ENDIF
参考书：《分形算法与程序设计》fm=3*fnm(x,y)*fnm(x,1y2)
5.4 基于牛顿迭代的Julia集的逃逸时间算法
nx=2*x/3+(x*x-y*y)/fm ny=2*y/3-2*x*y/fm x=nx y=ny ENDFOR Loop ENDFOR ENDFOR END
参考书：《分形算法与程序设计》
5
5.2 Julia集的逃逸时间算法
FOR nx=0 TO Mx
IF k==K THEN
FOR ny=0 TO My
H=r
x0=xs+nx*xb
GOTO Loop2
y0=ys+ny*yb
ENDIF
k=0
IF r<=m && k<K THEN
Loop1:
GOTO Loop1
第5章
逃逸时间算法
5.1 基本思想 5.2 Julia集的逃逸时间算法
5.3 Mandelbrot集的逃逸时间 算法
5.4 基于牛顿迭代的Julia集的 逃逸时间算法
参考书：《分形算法与程序设计》
1
5.1 逃逸时间算法的基本思想
F(z)=z2+c
当c=0时，由于z是复数，即z=x+yi，则有
z2=z×z=(x+yi) ×(x+yi)=x2+y2i2+2xyi=(x2-y2)+(2xy)i
SetP(np,nq,H) ENDFOR ENDFOR END
参考书：《分形算法与程序设计》
9
参考书：《分形算法与程序设计》
10
5.4 基于牛顿迭代的Julia集的逃逸时间算法
牛顿迭代法求根公式：
zn+1=zn-f(zn)/f’(zn)
其中，f’(zn)是f(zn)的导数。
考虑f(z)=z3-1=0的情况,那么相应的牛顿 变换是
参考书：《分形算法与程序设计》
3
5.2 Julia集的逃逸时间算法
参考书：《分形算法与程序设计》
4
5.2 Julia集的逃逸时间算法
算法：Julia
标题：Julia集的逃逸时间算法
参数：K（逃逸时间） m（逃逸半径） Mx,My（绘图范围） xs,xl,ys,yl（窗口范围） p,q（复平面上C的坐标）
变量：x0,y0（坐标变量） r（膜变量）
函数：SetP (x,y,color) （画点函数）
FOR j=-150 TO 150 x=i/75 y=i/75 FOR k=1 TO n IF i=0 AND j=0 THEN GOTO Loop ENDIF IF fnm(x-1,y)<r THEN SetP (i,j)
变量：x0,y0（坐标变量） r（膜变量）
函数：SetP (x,y,color) （画点函数）
BEGIN //初始化 K=100 m=500 Mx=800 My=600 xs=-1.5 xl=1.5 ys=-1.5 yl=1.5 p=0.23 q=0.043
xb=(xl-xs)/Mx
yb=(yl-ys)/My
pl=0.9 ps=2.3 ql=1.2 qs=-1.2 K=100 m=500 Mx=800 My=600 p=(pl-ps)/Mx q=(ql-qs)/My
FOR np=0 TO Mx
FOR nq=0 TO My
p0=ps+np*p
q0=qs+nq*q

参考书：《分形算法与程序设计》
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k=0
5.3 Mandelbrot集的逃逸时间算法
x0=0 y0=0 Loop1: xk=x0*x0-y0*y0+p0 yk=2*x0*y0+q0 k=k+1 r=xk*xk+yk*yk x0=xk y0=yk IF r>m THEN
H=k GOTO Loop2 ENDIF
IF r<=m AND k<K THEN GOTO Loop1
ENDIF Loop2:
参考书：《分形算法与程序设计》
13
7
5.3 Mandelbrot集的逃逸时间算法
算法：Mandelbrot
BEGIN
标题： Mandelbrot集的逃逸时间算法
参数：K（逃逸时间） m（逃逸半径） Mx,My（绘图范围） xs,xl,ys,yl（窗口范围） p,q（复平面上C的坐标）
变量：x0,y0（坐标变量） r（膜变量）
函数：SetP (x,y,color) （画点函数）
被认为是收敛到某根上了，否则被认为
是逃逸了。
参考书：《分形算法与程序设计》
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5.4 基于牛顿迭代的Julia集的逃逸时间算法
算法：Julia_Newton
BEGIN
标题： Julia集的牛顿迭代 逃逸时间算法
fnm(x,y)=x*x+y*y FOR i=-150 TO 150
参数：N（迭代次数） r（距离小量） Mx,My（绘图范围） xs,xl,ys,yl（窗口范围） p,q（复平面上C的坐标）
若|z0|>1, 经过迭代z会趋向无穷， z向无穷逃逸。
参考书：《分形算法与程序设计》
2
若|z0|>1, z是平面上的单位圆。
5.1 逃逸时间算法的基本思想
当c≠0时，其吸引子不再是0，而是一个区域，称混沌区。 如图，假设有一个充分大的整数N，当未逃逸区域M中的初始点a 经过小于N次迭代就达到未逃逸区域M的边界，甚至超出了边界， 我们就认为点a逃逸出去了；而如果经过N次迭代后a的轨迹仍未 到达M的边界，我们就认为，a是A上的点。用这样的方法，描绘 出A的边界图形，这便是逃逸时间算法的基本思想。
设复数z=x+yi的绝对值，即
|z|= SQR(x2+y2)
|F(z0)|=|x02-y02+2x0y0i|
=SQR((x02-y02)2+(2x0y0)2)
=SQR(x04+y04-2x02y02+4x02y02)
=SQR((x02+y02)2)
=|z0|2
若0<|z0|<1, |F(z0)|<|z0|，对于每一次迭代z趋向0，即z向0收敛。