概率统计模型讲座PPT

1、保险公司有多大可能性亏本？
2、有多大可能性保险公司一年获利不少于10万元？
3、对这2500个参保对象每人每年至少收取多少保险费 才能使公司以不小于0.99的概率每年获利不少于10万元？
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人寿保险问题
4、由于保险公司之间竞争激烈，为了吸引参保者、挤 垮对手，保险费还可以降低，比如20元，只要不亏本就 行。因此，保险公司将考虑这样的问题：在死亡率和赔 偿金不变的情况下，每人每年交给保险公司20元保险费， 保险公司至少要吸引多少个参保者才能以不小于0.99的 概率不亏本？
实际上这个值很难计算，改用正态分布计算会方便很多：
P { X 1 5 } 1 P { X 1 5 } 1 ( 1 5 0 .2 5 ) 1 ( 2 9 .5 ) 0 0 .5
2、“一年获利不少于10万元”等价于“X≦10”
P { X 1 0 } (1 0 0 .2 5 ) (1 9 .5 ) 1 0 .5
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模型构成
用随机变量X表示一年之中死亡的人数，则 X~B(2500,0.0001),一年之中有k个人死亡的概率为：
P { X k } C 2 k 5 0 0 ( 0 . 0 0 0 1 ) k ( 0 . 9 9 9 9 ) 2 5 0 0 k , k 0 , 1 , 2 ,, 2 5 0 0
4、设y为参保人数，X仍为参保死亡人数，那么此时
X ~N(0.0001y,0.0001×0.9999y)，则不亏本的条件变
为：20y-20000X≥0,即X≤y/1000.
P{X
y
} (
y 0.0001y 1000
) 0.99
1000
0.00010.9999y
y 0.0001y
1000
2.33 y 671
0.00010.9999y
即保险公司至少要吸引671人参加保险。
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理论依据
德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De MoivreLaplace) 设随机变量ξn(n=1, 2, ...)服从参数为n, p(0<p<1)的二 项分布，则
n npw ~N(0,1).
npq
对于二项分布，当n很大时，可以应用 中心极限定理用正态分布近似计算。
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人寿保险问题的数学模型
问题分析
问题的关键在于，保险公司会面临多少理赔，即会 有多少参保者死亡？而这是具有随机性的。可以引 入随机变量X来表示参保者中的死亡人数。
容易理解： X是服从二项分布B(n,p)的，其中n为 参保总人数，p为死亡概率。根据中心极限定理还 可以知道，X近似服从正态分布N(np,npq)，可据 此解决上述问题。
概率统计模型讲座
主讲：吕 佳 数学与计算机科学学院
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随机模型
确定性因素和随机性因素
随机因素可以忽略 随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现
随机因素影响必须考虑
确定性电梯问题
有r个人在某栋大楼的一楼进入电梯， 大楼共有n层。如果每个乘客在任何一 层楼出电梯的可能性相同，那么直到电
在概率论里,把研究在什么条件下,大量独立随机变 量和的分布以正态分布为极限这一类定理称为中心 极限定理.
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关于中心极限定理
一般说来,如果某些偶然因素对总和的影响是均匀 的,微小的,即没有一项起特别突出的作用,那么就可 以断定描述这些大量独立的随机因素的总和的随机 变量是近似的服从正态分布.
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关于中心极限定理
在客观实际中有这样一种随机变量,它们是由大量 的相互独立的随机因素的综合影响所形成的。而其中 每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的。 这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就 是中心极限定理的客观背景。
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关于中心极限定理
正态分布在随机变量的各种分布中,占有特别重要的 地位.在某些条件下,即使原来并不服从正态分布的一 些独立的随机变量,它们的和的分布,当随机变量的个 数无限增加时,也是趋于正态分布的.
这是数理统计中大样本的理论基础,用数学形式来 表达就是李雅普诺夫定理.
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关于中心极限定理
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模型求解
3、设x为每人每年所交保险费，“获利不少于10万元”
即 2500x-20000X≧100000,等价于X≦x/8-5.
P{X
x
5}
(
x 8
5
0.25 )
0.99
8
0.5
x 5 0.25
8
2.33 x 51.32
0.5
即每人应交给保险公司51.32元保险费。
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模型求解
根据
E(X)=2500×0.0001=0.25,
D(X)=2500×0.0001×0.9999 ≈0.25,
由中心极限定理知；X~N(0.25,0.52)。
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模型求解
1、保险公司亏本的概率为：
2 5 0 0
P { X 1 5 } C 2 k 5 0 0 (0 .0 0 0 1 )k(0 .9 9 9 9 )2 5 0 0 k 0 .0 0 0 0 0 1 k 1 6
for k=1:N %模拟N次
机 模
s1=0; for i=1:n x(i)=0;
拟
end
程 序
for j=1:r %对每个人是否下电梯进行模拟 i=1+floor（rand(1,1)*n); x(i)=1; %第i层有人下
end
s1=sum(x); %该次模拟中总共要下的人数
s=s+s1; %累加各次模拟中要下的人数
梯中的人下完为止，电梯平均需要停多 少次？如果在一楼共进入电梯14人， 而这栋大楼共有28层高，请用计算机 模拟验证你的理论。
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Matlab 模拟程序 dianti.m:
N=5000; %模拟次数
n=28; %电梯层数
r=14; %电梯开始进的人数
计
s=0; x=zeros(n,1);
算
end
eq=s/N %模拟平均值输出
ei=n*(1-(1-1/n)^r) %理ppt论课件值输出
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二、聪明的保险公司
人寿保险问题
假设有2500个同一年龄段同一社会阶层的人参 加某保险公司的人寿保险。根据以前的统计资料， 在一年里每个人死亡的概率为0.0001.每个参加保 险的人一年付给保险公司120元保险费，而在死亡 时其家属从保险公司领取20000元，那么，