乘法公式的综合应用
乘法公式应用综合
乘法公式应用综合在咱们的数学世界里，乘法公式那可真是个神奇的存在！就像一把万能钥匙，能帮咱们打开好多难题的锁。
先来说说完全平方公式吧，(a ± b)² = a² ± 2ab + b²，这玩意儿可太有用啦！我记得有一次，我去逛菜市场，看到一个卖水果的摊位。
摊主正在算着成本和利润。
他说一箱苹果进价是 a 元，他打算每箱加价 b 元出售。
那按照完全平方公式，他每箱的利润就是 (a + b)² - a² = 2ab +b²。
这可让他一下子就清楚了自己能赚多少钱。
还有平方差公式 (a + b)(a - b) = a² - b²，也是解决问题的好帮手。
比如在装修房子的时候，要计算房间地面的面积。
如果房间的长是 (a + b) 米，宽是 (a - b) 米，那么地面的面积就是 a² - b²平方米。
乘法公式在代数运算中更是大显身手。
比如化简式子 (x + 2y)² - (x - 2y)²，咱们就可以直接套用公式。
先把前面的 (x + 2y)²展开得到 x² +4xy + 4y²，后面的 (x - 2y)²展开得到 x² - 4xy + 4y²，然后一减，4xy 就抵消掉了，剩下 8xy 。
是不是很简单？再看这道题：已知 a + b = 5 ，ab = 3 ，求 a² + b²的值。
这时候咱们就可以用完全平方公式啦，(a + b)² = a² + 2ab + b²，变形一下，a² + b² = (a + b)² - 2ab ，把数值带进去，5² - 2×3 = 19 。
乘法公式在几何图形中也有出色的表现。
比如说一个正方形的边长增加了 x ，那它的面积增加多少呢？原来正方形的边长是 a ，面积就是 a²。
20242024用乘法公式
20242024用乘法公式乘法公式是数学中非常重要的一个概念，它给出了将两个数相乘的方法。
在这篇文章中，我们将详细介绍乘法公式以及它的应用。
文章将包含以下内容：1.乘法公式的定义2.乘法运算的基本原理3.乘法公式的应用举例4.乘法公式的扩展及推广一、乘法公式的定义乘法公式是数学中一种用来表示两个数相乘的方法，它是一种简单而直观的推理，我们可以利用它来完成复杂的乘法运算。
乘法公式通常使用乘号"×"表示，表示两个数的乘积。
二、乘法运算的基本原理在乘法运算中，我们常常使用乘法表来进行计算。
乘法表是一种由数字1到10组成的表格，可以用来帮助我们进行乘法运算。
在乘法表中，每一行表示被乘数，每一列表示乘数，交叉点处的数值表示乘积。
乘法运算的基本原理是将被乘数分解成若干个部分，然后分别与乘数相乘，最后将这些部分的乘积相加得到最终的乘积。
这一原理可以通过以下公式表示：被乘数×乘数=乘积三、乘法公式的应用举例乘法公式在实际生活中有着广泛的应用。
下面我们通过几个具体的例子来说明乘法公式的应用：1.计算面积和体积：乘法公式可以用来计算各种图形的面积和立体形状的体积。
以矩形为例，矩形的面积可以通过将长和宽相乘得到。
面积=长×宽类似地，计算长方体的体积也可以使用乘法公式。
体积=长×宽×高2.财务计算：乘法公式在财务计算中也经常使用。
例如，计算折扣后的价格，可以通过将原价格与折扣率相乘得到。
折扣后价格=原价格×折扣率同样地，计算税后价格也可以使用乘法公式。
税后价格=原价格×(1+税率)3.概率计算：乘法公式在概率计算中也经常使用。
例如，计算两次独立事件发生的概率，可以将每个事件发生的概率分别相乘得到。
综合概率=第一次事件发生的概率×第二次事件发生的概率四、乘法公式的扩展及推广乘法公式不仅适用于两个数相乘的情况，还可以通过推广应用于更多的数。
乘法公式的五个层次
(a-b-c) (a+b-c) (a-b-c) (a-b-c) (a-b-c) (-a+b+c) (a-b-c) (-a+b-c) (a-b-c) (-a-b+c) (a-b-c) (-a-b-c) (-a-b-c) (a+b-c) (-a-b-c) (-a+b+c) (-a-b-c) (-a+b-c) (-a-b-c) (-a-b+c) (-a-b-c) (-a-b-c) (-a+b-c) (a+b-c) (-a+b-c) (-a+b+c) (-a+b-c) (-a+b-c) (-a+b-c) (-a-b+c)
乘法公式的使用
例 计算： (2x+y-z+5)(2x-y+z+5)． =[(2x+5) +(y-z)] [(2x+5) -(y-z)] =(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2
已知： 25 x = 2000,80 y = 2000. 求 1 + 1 的值. x y x y ∵ 25 = 2000,80 = 2000.
第三层次──活用 第三层次 活用
根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时 根据需要创造条件，灵活应用公式．
例3 化简 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1． 分析 直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增
添一个因式“2-1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．
第五层次──综合应用 第五层次 综合应用
人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》教案
人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》教案一. 教材分析人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》这一课时，是在学生掌握了平方差公式、完全平方公式等基本乘法公式的基础上进行教学的。
本课时主要让学生进一步理解乘法公式的结构特征，提高学生灵活运用乘法公式解决实际问题的能力，培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了平方差公式、完全平方公式等基本乘法公式，对公式有一定的理解，但在运用公式解决实际问题时，往往会因为对公式的理解不够深入而出现错误。
此外，学生的逻辑思维能力和创新思维能力还有待提高，因此，在教学中，需要引导学生深入理解乘法公式的结构特征，培养学生灵活运用公式解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生进一步理解乘法公式的结构特征，提高学生灵活运用乘法公式解决实际问题的能力。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生独立解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在生活中的重要性，培养学生的团队协作精神和积极进取的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生进一步理解乘法公式的结构特征，提高学生灵活运用乘法公式解决实际问题的能力。
2.教学难点：如何引导学生深入理解乘法公式的结构特征，如何培养学生灵活运用公式解决实际问题的能力。
五. 教学方法1.自主学习法：引导学生独立思考，自主探究，提高学生的独立解决问题的能力。
2.合作交流法：鼓励学生之间相互讨论、交流，培养学生的团队协作精神。
3.启发式教学法：教师通过提问、设疑，引导学生深入思考，激发学生的创新思维。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要对乘法公式有深入的了解，以便在教学中引导学生深入理解乘法公式的结构特征。
2.学生准备：学生需要预习平方差公式、完全平方公式等基本乘法公式，以便在课堂上更好地理解和运用。
小专题(一) 乘法公式的综合应用
小专题(一) 乘法公式的综合应用乘法公式是初中数学中的重要公式,也是中考常见的考点之一.平方差公式:(a+b )(a-b )=a 2-b 2,公式的左边是两个数的和乘这两个数的差,右边正好是这两个数的平方差,两边都有差的运算,关键要准确把握谁减去谁.完全平方公式:(a+b )2=a 2+2ab+b 2,(a-b )2=a 2-2ab+b 2,公式的左边是两个数的和(或差)的平方,右边是这两个数的平方和,再加上(或减去)这两个数积的2倍,两边的符号是一致的,要准确把握符号问题.在解决问题时,要注意观察式子的特点,选择合适的方法和解题思路,不要拘泥于公式的形式,而要深刻理解,加以灵活运用.完全平方公式的常见变形有:a 2+b 2=(a+b )2-2ab=(a-b )2+2ab ;ab=12[(a+b )2-(a 2+b 2)]=14[(a+b )2-(a-b )2]=(a+b 2)2−(a -b 2)2; (a+b )2+(a-b )2=2a 2+2b 2.类型1 直接应用公式1.计算:(x-3y+2z )(x+3y-2z ).解:原式=[x-(3y-2z )][x+(3y-2z )]=x 2-(3y-2z )2=x 2-[(3y )2-2×3y×2z+(2z )2]=x 2-9y 2+12yz-4z 2.类型2 逆用公式2.(上海中考)计算:(a+1)2-a 2.解:原式=2a+1.类型3 变形应用公式3.(枣庄中考)若m-1m =3,则m 2+1m 2= 11 .4.若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12.(1)求xy 的值;(2)求x 2+3xy+y 2的值.解:(1)由(x+2)(y+2)=12,得xy+2(x+y )+4=12,因为x+y=3,所以xy=2.(2)因为x2+3xy+y2=(x+y)2+xy,又x+y=3,xy=2,所以原式=(x+y)2+xy=32+2=11.类型4整合公式5.已知实数a,b满足(a+b)2=1,(a-b)2=25,求a2+b2+ab的值.解:由(a+b)2=1,得a2+2ab+b2=1,①由(a-b)2=25,得a2-2ab+b2=25,②①+②,得a2+b2=13,①-②,得ab=-6,所以a2+b2+ab=13+(-6)=7.类型5解决探究问题6.(1)如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示),通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积,可以得到乘法公式为a2-b2=(a+b)(a-b).(用含a,b的等式表示)(2)运用(1)中所得到的公式,计算下列各题:①20192-2020×2018;②2(x-y-3)(x-y+3).解:(2)①20192-2020×2018=20192-(2019+1)×(2019-1)=20192-(20192-1)=1.②2(x-y-3)(x-y+3)=2[(x-y)2-9]=2(x2-2xy+y2-9)=2x2-4xy+2y2-18.。
第1讲 乘法公式的综合应用(学生版)
知识总结典型例题1计算：2已知3若4当5已知6解答下列问题．7设8知识总结典型例题9若10已知：11已知12已知13阅读下列材料，并利用材料中使用的方法解决问题．这样的“走马灯” 性质实在是让人啧啧称奇．于是我们开始好奇，142857 为什么会具有这样神奇的性质？是否还会有其他数具有这样的性质呢？先回答第一个问题．数学系的人也许会高冷地回答你：因为 10 是模 7 的一个原根．但这个回答，一定是令 99 % 的人懵逼的．大部分普通人恐怕会问：“原根” 是什么？当然，也许还有些连初中数学都还给老师的人，会问：“模” 是什么，哈这个问题，其实正是让数学小白们叩开初等数论大门的伟大机会啊！我相信，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，大概也就需要半个小时而已~当然，需要 3 个很简单的前提条件：你知道质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道互质的含义（最大公约数为1）；你会竖式计算；你已经知道：142857*7=999999；那么，下面我们开始吧~一、竖式计算的奥秘既然你已经知道了 142857*7=999999，那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节．毕竟1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：仔细观察一下竖式计算，你会发现一个很有趣的现象：前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环．这个现象揭示了一个简单的定理：定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1．如果循环节恰好为 n-1 ，在竖式计算的每一步中，余数一定遍历了 1，2，…，n-1，那么显然，1/n, 2/ n,…， (n-1)/n 的竖式计算，一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来，循环节会形成 “走马灯” 的效果．反之，对于任意一个“走马灯数”，我们可以把它当做循环小数的循环节，而循环小数必然可以表示成分数 k/n，若循环节小于 n-1，那么余数必然不能遍历 1，2，…，n-1，那么 “走马灯” 的效果则不会出现．于是我们得到了另一个定理：定理 1.2：对每一个 “走马灯数” ，都存在自然数 n，走马灯数为 1/n 的小数展开后的循环节，且这个循环节恰好有 n-1 位．接下来，我们需要寻找满足条件的 n，初等数论的大门将缓缓打开．14如图，在边长为15已知16若17已知18如果多项式19关于多项式20若21已知22已知。
乘法公式的运用
乘法公式的运用乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ．从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法. 常见公式变形有： (1)ab b a b a 2)(222 ±=+， 2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++； (3) ab b a b a 4)()(22=--+；（4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ）A ．M>NB ． M<NC ． M=ND ．无法确定思路点拨 运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小．【例3】 计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1；(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452．【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式yx xy +的值． (2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值．(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2b a +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论：(1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；(2)ab b a 222≥+ 揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题．【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数．证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数．思路点拨 从222c b a =+的变形入手；222b c a -=，运用质数、奇偶数性质证明． 学力训练1．观察下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ．2．已知052422=+-++b a b a ，则ba b a -+= ． 3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ；(3)2199919991999199719991998222-+ ． 4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ．5．已知51=+a a ，则2241a a a ++= ． 6．已知5,3-=+=-c b b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )．A ．一15B ．一2C ．一6D ．6 7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001 8．若（x －y ）2＋N=x 2＋xy ＋y 2,则N 为（ ）。
微探究小专题9 乘法公式的综合应用【习题课件】八年级上册人教版数学
S3
∵ S1＋ S2＝ a2＋ b2－ ab ＝28，
∴ S3＝ ×28＝14.
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微探究小专题9
乘法公式的综合应用
利用乘法公式进行简便运算
2. 利用乘法公式进行简便运算.
(1)1 007×993＋49；
解：原式＝(1 000＋7)(1 000－7)＋49＝1 0002－49＋49＝106.
(2)2 0232－2 024×6＋15.
解：原式＝(2 024－1)2－2 024×6＋15＝2 0242－2 024×8＋16＝(2 024
2×4]2－2×42＝257.
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微探究小专题9
乘法公式的综合应用
利用乘法公式对数式的关系进行探究
6. [发现] 两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，
且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
[验证]如，(2＋1)2＋(2－1)2＝10为偶数，请把10的一半表示为两个正整
第十四章
整式的乘法与因式分解
微探究小专题9
乘法公式的综合应用
微探究小专题9
乘法公式的综合应用
乘法公式的应用
1. 计算：
(1)( x2＋1)2－4 x2；
解：原式＝ x4＋2 x2＋1－4 x2＝ x4－2 x2＋1.
(2)[( a ＋2 b )(2 b － a )]2.
解：原式＝(4 b2－ a2)2＝16 b4－8 a2 b2＋ a4.
乘法公式的复习讲义
乘法公式的复习讲义乘法是数学中非常重要的运算法则之一、掌握好乘法公式对于学生来说尤为重要，因此本讲义将以学生易于理解和操作的方式介绍乘法公式的内容。
一、乘法公式的基础1.乘法交换律：乘法运算中，乘数的先后顺序不影响最后的结果。
例如：3×4=4×3=122.乘法结合律：乘法运算中，不同乘数进行相乘后再乘以另一个数，结果相同。
例如：2×(3×4)=(2×3)×4=243.乘法分配律：乘法运算中，一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘再相加。
例如：2×(3+4)=2×3+2×4=14二、乘法公式的应用1.加法乘法运算律：利用乘法分配律可以进行更加复杂的计算。
例如：(3+2)×4=3×4+2×4=202.幂运算：乘方运算是指一个数连乘几次自己的运算。
例如：2的3次方表示为2³，即2×2×2=83.积的计算：乘法运算中，两个整数相乘得到的结果称为积。
例如：7×6=424.乘法的逆运算：除法是乘法的逆运算，可以通过除法运算求解未知数。
例如：如果6×x=12，那么x=12÷6=2三、乘法公式的综合应用1.平方的乘法公式：一个数的平方是指这个数乘以自己。
例如：(x + y)² = x² + 2xy + y²2.两个不同数的乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²例如：(3+2)(3-2)=3²-2²=9-4=53.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)例如：4²-3²=(4+3)(4-3)=7×1=74.立方的乘法公式：一个数的立方是指这个数乘以自己两次。
例如：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³注意：(a+b)³不等于a³+b³四、乘法公式的例题应用1.计算16×8÷4=32解析：首先乘法运算，16×8=128，然后除以4，128÷4=322.计算(5+3)×2-7=9解析：先计算括号中的加法，5+3=8，然后乘以2，8×2=16，最后减去7，16-7=93.计算6²+3²=45解析：首先计算平方运算，6²=6×6=36，然后再计算3²=3×3=9，最后相加，36+9=45通过以上的学习和例题应用，相信同学们对乘法公式有了更加深入的理解和掌握。
七年级数学下册《乘法公式的综合应用》教案、教学设计
（3）在课堂上进行汇报，其他小组进行评价、提问。
作业布置注意事项：
1.作业量适中，难度适中，确保学生能在课后有效巩固所学知识。
2.鼓励学生在完成作业时积极思考，遇到问题主动寻求帮助。
3.教师在批改作业时，要及时给予反馈，关注学生的进步和问题所在，为后续教学提供依据。
3.拓展题：鼓励学有余力的学生参加拓展题的挑战，培养其逻辑思维能力和创新精神。
例如：
（1）已知一个数的平方比这个数大10，求这个数。
（2）已知一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求长方体对角线的长度。
4.小组作业：分组进行课题研究，探讨乘法公式在其他学科领域的应用，例如物理学、几何学等。
要求：
（1）每组选取一个主题，进行深入研究。
4.对于完成作Leabharlann 有困难的学生，教师要给予个别辅导，帮助他们克服困难，提高学习效果。
（3）教师强调本节课的重难点，提醒学生加强课后练习。
（4）布置课后作业，要求学生在作业中运用乘法公式解决问题，巩固所学知识。
五、作业布置
为了巩固学生对乘法公式综合应用的理解和掌握，特布置以下作业：
1.基础题：完成课本相关练习题，要求学生在规定时间内独立完成，旨在巩固平方差公式、完全平方公式的运用。
例如：
（3）学生互评，交流解题心得。
（4）教师针对学生的练习情况进行点评，强调解题方法和技巧。
（五）总结归纳
1.教学活动设计：
对本节课所学内容进行总结，帮助学生巩固知识点，形成体系。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学的平方差公式、完全平方公式及其应用。
（2）学生总结自己在乘法公式综合应用方面的收获和不足。
乘法公式的综合应用
2
（４） a 3b a 3b （５）
2
x 2 y 3 x 2 y 3
使用公式进行运算时要注意：
１、两个多项式相乘，只要两项一样,一项符号 相同，另一项符号相反，就可以用平方差公式。 ２、用平方差公式计算，直接用相同项的平方减 去相反项的平方。 ３、用完全平方公式时，应注意“首平方，尾平 方，首尾乘积两倍在中央”，最后运算结果有三 项。 ４、公式中ａ，ｂ可代表多项式，要能够把一些 项结合起来看作一项进行运算。如（５）
２、会用公式简化一些数的运算。 ３、学会了灵活运用公式求一些 式子的值。
１、已知
x 3x 1 0, 求
2
1 x 2 x
2
的值。
2
２、若 a b
2, a c 1,
试求
2a b c .
３、已知两个两位数的平方差为220，且它们的十 位数字相同，一个数的个位是6，另一个数的个位 是4，求这两个数。
2
2
x 2 xy y _______ 6xz 6 yz 9z
2 2
2
２、计算：
（１）
4a 2b 2b 4a
1 1 （２） a b a b a 2 b 2 2 2
（３）
3x 5 y
2
2
（４） 2a 3b c
１、填空：
2a 3 2a 3 4a 2 9 _____
2
2 2
5x 2 5x 2 ________ 25 x 4
2
x y 3z
2 y x x 2 y _____ x 4y 2 3x 4 y 9x 24xy 16 y _____
乘法公式的综合应用
2、若x -y =6，x+y=-3，则4（x-y ）=______3、若9x +4y =(3x +2y )+M ，则M =______.4、+2a=+2b （）25、.8.、已知，求和ab 的值专题：因式分解1、十字相乘法分解因式：(1)x 2+3x +2(2)x 2−3x +2(3)x 2+2x −3(4)x 2−2x −3(5)x 2+5x +6(6)x 2−5x −6(7)x 2+x −6(8)x 2−x −6(9)x 2−5x −36(10)x 2+3x −182、分解因式：(1)2a +2a 2+4a 3(2)5x 3y −5xy (3)a 2+b 2+2ab −16(4)4x 3−8x 2+4x(5)(x +y )2−2x −2y +1(6)(m 2−2m )2n +2n (m 2−2m )+n(7)(x 2+y 2−1)2−4x 2y 2(8)a (2a −b )+2a (b −2a )2−a (b −2a )3.3、已知有理数a ,b 满足a (a +1)−(a 2+2b )=1,求a 2−4ab +4b 2−2a +4b 的值。
4、已知x 2−y 2=20,求[(x −y )2+4xy ][(x +y )2−4xy ]的值。
5、已知：a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且2a 2+2b 2+2c 2=2ab +2ac +2bc ，试判断△ABC 的形状，并证明你的结论。
运用平方差公式计算。
①(3a+b)(3a−b)②9(−x+2y)(−x−2y)③(12a−b)(−12a−b)④59.8×60.2⑤(2x−3y)(3y+2x)−(4y−3x)(3x+4y)运用完全平方公式计算①(−xy+5)2②(−x−y)2.先化简，再求值：（ x ＋2 y ）（ x －2 y ）－（2 x － y ）·（－2 x － y ），其中 x ＝8， y ＝－8．已知x+1x=3,求①x 2+1x2;②x4+1x4.：对任意正整数n，求证：(3n+1)(3n−1)−(3−n)(3+n)的值是10的倍数。
乘法公式的综合应用
乘法公式的综合应用乘法公式是数学中常见的一个工具，它可以在各种实际问题中得到广泛的应用。
本文将介绍乘法公式的几个重要应用，包括比例关系、面积和体积计算、概率问题等。
第一部分：比例关系的应用乘法公式在比例关系的建立和求解中起着关键作用。
比例关系是两个或多个量之间的等比关系，常用形式为a:b=c:d。
乘法公式可以用来求解未知量或进行比较。
例子1：若一辆汽车每小时行驶60公里，则2小时行驶的里程是多少？解：根据题意可知，汽车的行驶速度为60公里/小时，行驶时间为2小时。
我们可以用乘法公式来求解问题。
令行驶里程为x公里，则60公里/小时乘以2小时等于x公里，即60*2=x。
通过计算可得，x=120公里。
例子2：一桶水中液位每分钟下降0.5厘米，若桶里的水先后下降了10厘米和15厘米，则这两段时间的时间差是多少？解：设时间差为t分钟，根据题意可得水面下降的速度为0.5厘米/分钟。
利用乘法公式，可以得到0.5厘米/分钟乘以t分钟等于水位下降的总高度，即0.5t=25、通过计算可得，t=50分钟。
第二部分：面积和体积的计算乘法公式在计算面积和体积时也起到重要的作用。
对于不规则图形和立体图形，乘法公式可以通过将各个边长或高度相乘得到最终的结果。
例子3：一个长方形花坛的长为5米，宽为3米，求其面积是多少？解：面积可以通过将长和宽相乘得到，即5米*3米=15平方米。
因此，该花坛的面积为15平方米。
例子4：一个正方体的边长为2厘米，求其体积是多少？解：体积可以通过将边长相乘三次得到，即2厘米*2厘米*2厘米=8立方厘米。
因此，该正方体的体积为8立方厘米。
第三部分：概率问题乘法公式在概率问题中也发挥着重要的作用。
通过乘法公式，可以计算得到事件发生的概率。
例子5：有一个有15个白色球和10个红色球的箱子，从箱子中随机抽取两个球，不放回。
求抽出两个白色球的概率。
解：首先计算抽出第一个白色球的概率，为15/25；然后计算抽出第二个白色球的概率，为14/24、通过乘法公式，可以得到两个白色球同时被抽出的概率为(15/25)*(14/24)=7/20。
第1讲 乘法公式的综合应用(教师版)
知识总结典型例题1已知2若3当4已知知识总结典型例题5若6若7若8填空：9已知10请回答下列各题：1112若13如果我相信，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，大概也就需要半个小时而已~当然，需要 3 个很简单的前提条件：你知道质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道互质的含义（最大公约数为1）；你会竖式计算；你已经知道：142857*7=999999；那么，下面我们开始吧~一、竖式计算的奥秘既然你已经知道了 142857*7=999999，那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节．毕竟1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：仔细观察一下竖式计算，你会发现一个很有趣的现象：前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环．这个现象揭示了一个简单的定理：定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1．如果循环节恰好为 n-1 ，在竖式计算的每一步中，余数一定遍历了 1，2，…，n-1，那么显然，1/n, 2/ n,…， (n-1)/n 的竖式计算，一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来，循环节会形成 “走马灯” 的效果．14已知15已知16已知实数17已知18当19已知20关于多项式21当22已知23阅读材料：把形如。
最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版)•、基本公式1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 22例：计算 1999 -2000 X 199822 22. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b)例：运用公式简便计算3. 完全平方公式a+b(或a-b)、ab 、a 2+b 2这三者任意知道两项就可以求出第三项(a+b)2、(a-b) 2、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项① a 2 b 2 = (a b)2 - 2aba 2b 2 = (a-b) 2+2ab2 2 2 2② (a-b) =(a+b) -4ab(a+b) =(a-b) +4ab(2)完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合2 2 2 2(a+b) + (a-b) =2 (a+b)例1 •已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。
2例 2.已知 a • b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。
例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。
2 2例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值.例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值.例6.已知a +丄=5,求(1) a 2+W , (2) (a —丄)2的值.a a a(1)完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项2 2 2=a -2ab+b (1) 1032(2) 19821 1例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。
x x3=a -b二、公式的灵活运用1. 对公式的基本变用 _ 2 2(1)位置变化，x y -y x =x_y(2 )符号变化，(彳勺片—x j_y 2= x 2-y 22. 整体思想的应用(1 )应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”2 2例1计算(-a +4b )分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时， ______ 就是公式中的a, _____ 就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则 ________ 是公式中的a ,而 _______ 就是公式中的b .(解略)练习 1•计算：5x 23y 25x 2-3y 2练习2•计算： x -y z x -y —z 练习 3.计算：Ixy z m Jlxy- z m 1练习 4.计算：x ■ y -2z x y 6z(2 )应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号 例计算：(-2 x 2-5)(2 x 2-5)分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“2x 2”符号相反，因而 ______ 是公式(a +b )( a -b )= a 2-b 2中的a,而 _____ 则是公式中的b .解：原式=(3 )应用整体思想，要善于分组加括号例&解下列各式(1) (2) (3) 已知 a 24b 2=i3, ab=6,求(a^bj ,(a_b j 的值。
学习乘法公式的十个层次
学习乘法公式的十个层次乘法公式是初中数学中极其重要的公式，应用十分广泛．解题时，若能根据题目特点灵活运用，则能达到迅速解题的目的．下面谈谈学习乘法公式的十个层次．一、对号入座，直接套用公式分清题中哪些数或式可以看作公式中的a、b，对号入座，直接套用公式．例1 计算：(－85＋13x2)(－85－13x2)．分析两个因式中的－85完全相同，而13x2与－13x2互为相反数，因而可运用平方差公式计算．解原式＝（－85）2－（13x2）2＝7225－169 x2．二、连续运用乘法公式例2 化简：(a－1)(1＋a)(1＋a2)(－1－a4)．分析观察式子的结构特征，若将（－1－a4）变为－(1＋a4)，可连续运用平方差公式．解原式＝－（a2－1）(a2＋1)（a4＋1）＝－（a4－1）（a4＋1）＝－（a8－1）＝1－a8．三、符号变形后连续运用乘法公式例3 化简：(a－2)(－2－a)(4＋a2) (16＋a4)．分析观察式子的结构特征，发现将（－2－a）变为－（a＋2）后，连续运用平方差公式既简单又快捷．解原式＝－(a＋2)(a－2)(a2＋4) (a4＋16)＝－（a2－4)(a2＋4)(a4＋16)＝－（a4＋16）（a4－16）＝256－a8．四、拆项变形后运用乘法公式例4 化简：（7x－5y＋3）（－7x－5y－9）．分析若将本题两个因式中的项分别进行拆项变形：前一因式的“3”拆成“－3＋6”，后一因式的“－9”拆成“－3－6”，再通过合理分组，即符合平方差公式的特征，从而巧用公式，简捷求解．解原式＝(7x－5y－3＋6)(－7x－5y－3－6)＝[(－5y－3)＋(7x＋6)][(－5y－3)－（7x＋6）]＝（－5y－3）2－（7x＋6）2＝25 y2－49x2＋30y－84x－27．五、添项变形运用乘法公式在不改变原式值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算．例5 计算：[3(22＋1](24＋1)(28＋1)－216]2018．分析将“3”写成(22－1)，如此变形后即可连续运用平方差公式．解原式＝[(22－1) (22＋1) (24＋1) (28＋1)－216 ) 2018＝[(24－1)(24＋1) (28＋1)－216] 2018＝[(28－1) (28＋1)－216]2018＝[ (216－1)－216]2018＝(－1)2018＝1．六、分组结合后逆用乘法公式例6 计算：20202－20192＋20182－20172＋…＋10002－9992＋…＋1002－992＋982－972＋…＋22－12．七、变形后逆用乘法公式例7 求满足方程5x2－12xy＋10y2－6x－4y＋13＝0的x、y的值．分析观察到，通过配方并逆用完全平方公式将方程左边化成三个完全平方式和的形式，再利用非负数的性质即可．解通过拆项、配方原方程可化为(4x2－12xy＋9y2)＋(x2－6x＋9)＋(y2－4y＋4)＝0，即(2x －3y)2＋(x－3)2＋(y－2)2＝0．八、正逆联用乘法公式根据题设条件和待求式的结构特征，乘法公式既可顺用，又可逆用．例8 已知14（b －c ）2＝(a －b)(c －a)，且a ≠c ，求b c a+的值． 分析 欲求b c a +的值，则需b ＋c 与a 之间的等量关系，而条件等式正好是a 、b 、c 之间的关系式，因此运用完全平方公式和多项式乘法将原式变形，再逆用完全平方公式即可达到求值目的．九、综合运用乘法公式例9 正数x 、y 、z 满足xy ＋yz ＝1022，求x 2＋5y 2＋4z 2的最小值．十、乘法公式变式的应用乘法公式常见的变形有：a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ；a 2＋b 2＝（a －b ）2＋2ab ；a 2＋b 2＝()()222a b a b ++-； ()()()22222a b a b a b ++-=+；()()221144ab a b a b =+-- 2222a b a b +-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()224ab a b a b =+--这些变形公式，在解题中有着广泛的应用．在运用公式时，不应拘泥于公式的形式需要深刻理解、灵活运用． 例10 已知a ＋b ＝70，c 2＝ab －1225，求a 、b 、c 的值．分析 此题运用积化和差公式ab 2222a b a b +-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解题过程极为简捷． 解 ∵ab 2222a b a b +-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而a ＝b ，c ＝0．代入已知式，解得a ＝b ＝35，c ＝0．。
七年级数学下册乘法公式6种解题方法
七年级数学下册乘法公式6种解题方法一、对号a、b，正确运用【例题】计算(-2+3x)(-2-3x)．【分析】两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．二、适当变形，灵活运用【例题】计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．【分析】两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2．三、分析情况，合理选用【例题】计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．【分析】前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕=(8a3+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用【例题】计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．【分析】从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．五、避繁就简，逆向运用【例题】计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2【分析】若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；③(a+b)2-(a-b)2=4ab；④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．【例题】已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．∵a+b=5，ab=2∴(a-b)2=52-4×2=17。
第6讲 乘法公式的综合运用(教师版)
典题精练例题4答案解析标注式>整式的乘除>乘法公式>题型：配方求最值配方法求下列式子的最值：当为何值时，有最小值．(1)当为何值时，有最大值．(2)．(1)．(2)，故当时，最小值为．(1)，故当时，最大值为．(2)例题5答案解析标注式>整式的加减>整式的定义配方法求的最值．，所以有最小值．例题6典题精练标注式>整式的乘除>乘法公式>题型：利用完全平方公式计算例题12答案解析标注式>整式的乘除>乘法公式>题型：和与差的立方公式已知，求证：．证明见解析例题13答案解析已知：，，求：．(1)．(2)．(3)．(4)．(1)．(2)．(3)．(4)．(1)．(2)(3)标注式>整式的乘除>乘法公式>题型：配方思想的运用；或．；或．(4)例题14答案解析已知，，求的值．．方法一：∵，∴．又因为，∴，．标注式>整式的乘除>整式的乘除运算>题型：多乘多∵，∴．方法二：可得，则，．例题15答案解析已知：，求下列各式的值．．(1)．(2)．(3)．(1)．(2)．(3)∵，∴，∴，即．(1)∵，∴，∴．(2)∵，∴，∴．(3)解析标注式>整式的乘除>乘法公式>题型：利用完全平方公式计算得，，原式巩固8答案解析若，求的值．．方法一：由，故．方法二：．标注式>整式加减>整式加减化简求值>题型：整体代入化简求值方法三：由，故， 从而可知，．方法四：由，故．巩固9答案解析标注式>因式分解>因式分解综合应用已知，求的值．．由题意得，．巩固10答案解析已知，．求下列各式的值．．(1)．(2)．(1)．(2)由可知，．(1)，(2)。
乘法公式的综合应用课件
• 乘法公式基础 • 乘法公式在数学中的应用 • 乘法公式在实际生活中的应用 • 乘法公式的扩展应用 • 乘法公式的注意事项与陷阱
01
乘法公式基础
乘法交换律
总结词
乘法交换律是指两个数的乘积不改变，只改变它们的排列顺 序。
详细描述
乘法交换律是基本的数学定理之一，表示乘法满足交换律， 即无论两个数的排列顺序如何，它们的乘积都是相同的。例 如，a × b = b × a。
概率问题
概率的基本性质
在概率论中，乘法公式可以用来计算两个事件同时发生的概率。例如，A和B同时发生的概率是$P(A cap B) = P(A) times P(B | A)$。
贝叶斯定理
在贝叶斯定理中，乘法公式是一个重要的工具，它可以用来计算条件概率。例如，在给定事件A发生的条件下， 事件B发生的概率是$P(B | A) = frac{P(A cap B)}{P(A)}$。
矩阵乘法的本定义
矩阵乘法是线性代数中的一种基本运算，它按照一定的规则将两个矩阵
相乘，得到一个新的矩阵。
02
矩阵乘法的规则
矩阵乘法需要满足结合律、交换律和分配律，并且要求第一个矩阵的列
数等于第二个矩阵的行数。
03
矩阵乘法的计算方法
矩阵乘法需要按照一定的顺序逐步计算，首先计算前两行第一列的元素
，然后计算前两行第二列的元素，以此类推，直到得到整个结果矩阵。
乘法公式在资源分配中也有着重要的应用， 它可以用来计算每个项目或部门所需的资源 量，从而实现资源的合理分配。
详细描述
在资源分配中，需要将有限的资源合理地分 配给各个项目或部门。利用乘法公式，可以 更准确地计算出每个项目或部门所需的资源 量，从而实现资源的合理分配。
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即两数和与这两数差的积. 右边是 这两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项:
使用平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²时，关键在
于找准a与b。
回顾 & 思考☞
a b2 a2 2ab b2
a b2 a2 2ab b2
口诀：首平方，尾平方，首尾乘积两倍放中央
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的 两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；
(1)(a2)4
基础训练:口答 (2) x4·x4 (3) (-2xy3z2)4
(4) (3m−2n)(3m+2n) (5) (−2s−t)(2s−t)
基础训练：计算
1、（a-2)(a+2)(a2 + 4) 2、 ( x +2y-3) (x- 2y +3)
解：x2+y2+2x-6y+10
=(x2+2x+1)+(y2-6y+9)
=(x+1)2+(y-3)2
提示：两个
=0
未知数但只有一个方
又∵ (x+1)2≥0，(y-3)2 ≥0 ∴x+1=0 y-3=0 ∴x=-1,y=3 ∴ xy=(-1)3= -1
程，一般需要对式子 进行变形，多数利用 非负数的性质或者整 体的思想。
巩固提高：求代数式的值
1、若 am = 2, 则a3m =___8__. 2、若 mx = 2, my = 3 ,
则 mx+y =___6_, m3x+2y =___72___. 3、已知x2n=2(n为正整数) ，
求 ( 2x3n ) 2－3(xn)4的值 提示：对幂的运算几个公式的运用，
特别要注意公式的逆用，灵活变形。
即两数和与这两数差的积. 右边是 这两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项:
使用平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²时，关键在
于找准a与b。
回顾 & 思考☞
a b2 a2 2ab b2
a b2 a2 2ab b2
口诀：首平方，尾平方，首尾乘积两倍放中央
练习：
1、 已知x+y=3，xy=-12，求下列各式的值：
（1）(x-y)2 (2) x4+y4
2、若
x 1 3 ，则 x2
x
1 x2
=
。
巩固提高：简便运算
例2 计算： （1ຫໍສະໝຸດ 1022（2） 103×97
（3）
1 8
2010
82011
思考：这三题分别用什么公式进行简便运算？ 完全平方公式和平方差公式进行简便运 算时，怎样 快速确定a,b。
常用公式变形： （1）x2+y2=(x+y)2-2xy （2）x2+y2=(x-y)2+2xy （3）(x+y)2=(x-y)2+4xy
巩固提高：简便运算
（1）20102－2009×2011 （2）24 × 45 ×(-0.125)4
课堂拓展
例3.已知x2+y2+2x-6y+10=0, 求xy的值；
课堂拓展练习
证明: 代数式x2+y2+6x-4y+14的 值恒为正数。
课堂拓展练习(备用)
阅读下列材料解决下面的问题
立方和公式： a b(a2 ab b2 ) a3 b3 立方差公式： a b(a2 ab b2 ) a3 b3
利用以上公式计算： (1)(x+2)(x2-2x+4) (2) (2x-y)(4x2+2xy+y2)
巩固提高：求代数式的值
例1 已知x+y=4，x2+y2=9，求xy和x -y的值.
常用公式变形： 分析：观察题目中的代数式 （1）x2+y2=(x+y)2-2xy
x2+y2，xy，你会联想哪个公式？（（23））x(x2++yy2)=2=(x(x-y-y)2)+2+24xxyy
巩固提高：求代数式的值
回顾与反思
1 看清运算,用准法则 2 注意公式的灵活运用 3 数学方法和思想：
配方法 、逆向变换、分类讨论
=9991
巩固提高：简便运算
例2 计算：
(3)
1 8
2010
82011
解：
1 8
2010
82011
(
1 8
)
8
2010
8
1 8
8
回顾 & 思考☞
公式的结构特征:
(a+b)(a−b)= a2 − b2;
左边是 两个二项式的乘积,
回顾 & 思考☞
同底数幂的乘法法则：
am·an＝am＋n
幂的乘方法则：
(am )n amn
amn am an
amn (am )n (an )m
积的乘方法则：
(ab)n = an·bn
a n bn (ab)n
回顾 & 思考☞
公式的结构特征:
(a+b)(a−b)= a2 − b2;
巩固提高：简便运算
例2 计算： （1） 1022 解: 1022=（100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10 000+400+4 =10 404
巩固提高：简便运算
例2 计算： （2） 103×97
解: 103×97=（100+3）×（100-3） =1002 － 32 =10000 －9