第六章共形映射详解

l
v
w f (z)
w0
z0
z
C


Hale Waihona Puke oC : z z(t ), t : w f ( z(t )), t
在w0 f ( z0 )处的切线与实轴正向夹 角为：
u
argw(t0 ) arg[ f ( z0 ) z(t0 )] arg f ( z0 ) arg z(t0 )
华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案
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二、共形映射的概念
定义：设w f ( z)在某N ( z0 )有定义，若w f ( z)在z0
处具有保角性和保伸缩 率不变性，则称 w f ( z)
在z0处是保角的；
z0 保角性 : w f ( z ) 在处具有保持两曲线夹角的大小、
方向不变性。
s
f ( z 0 ) 的几何意义：
i
z0
r
z

w
w0
i

令 z z0 re , w w0 e
w w0 f ( z ) - f ( z0 ) ei i z z0 z - z0 re
z z0 当t t 0 ( z z0 )时， z(t 0 ) t t0
z0
T
l
z
C

割线l的极限位置是切线T
于是切线T的方向与z(t0 )一致。
即 arg z(t0 )
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§6.1 共形映射的概念
一、解析函数的导数的几何意义
f ( z0 ) 0 设w f ( z )在区域D内解析，z0是D内任意一点，
考察f ( z0 )的几何意义：
设C是z平面内一条过z0点的有向光滑曲线，
其参数方程为C : z z ( t ) t
l
其正向为t增大的方向。
伸缩率的不变性:伸缩率|f ( z0 ) | 只与 z0 有关,而与 过 C 的曲线的形状无关。
定理：设w f ( z )在区域 D内解析， z0 D, f ( z0 ) 0, 则映射 w f ( z )在z0点具有性质：
(1)保角性; (2)伸缩率不变性。
例 求映射 w= f (z)=z2 2z 在 z0 1 2i 转动角及伸缩率。
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第六章
共形映射
共形映射的概念 分式线性映射 几个常见区域间的分式线性映射 几个初等函数所构成的映射
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取极限 :
s i ( ) e s r
| f ( z0 ) | lim z z0 s
称为曲线在 z0点的伸缩率(导数模的几何意义)。
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arg f ( z0 )
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于是
arg f ( z0 ) arg w( z0 ) arg z(t0 )
上式表明：
在w f ( z )的映射下，
若w f ( z )在D内每一点都是保角的， 且为 1 - 1映射， 则称之为 共形映射。
C1、C2 经 w f ( z) 映射后,像曲线 1、2 的夹角为:
( 2 arg f ( z0 )) (1 arg f ( z0 )) 2 1
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所以 f ( z ) 在 1 2i 转动角为 arg 4i ,伸缩率为|4i|=4。 2
f ( z ) 2 z 2 2 ( x 2 ) 2 y 2
而 1 f ( z ) 1 ( x 2 ) y 4
2 2
2
1 所以，映射w z 4 z把以z 2为圆心，半径为 2 的圆内部缩小，外部放 大。
并说明映射将z平面的哪一部分放大？ 哪一部分缩小？
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解 : f ( z) 2 z 2 2( z 1)
f (1 2i) 2(1 2i 1) 4i
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设 C1、C2 在 z0 处切线与 x 轴正向夹角为1、2，则 C1、C2 夹角 ( 切线正向)为2 1。
y
v
2 1
2 1
o
x
o
u
z0
z
C
z ( t 0 ) 0, z 0 z ( t 0 ) t 0 ( , )
割线l的正向为z0 z的方向。
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z z0 所以l的方向与 方向相同。 t t0
(1) 像曲线 在 w0 的切线方向可由曲线 C 在 z0 处的切 线旋转角度 arg f ( z0 ) 得到, 称 arg f ( z0 ) 为 w f ( z ) 在点 z0 转动角(导数辐角的几何意义);
(2) 转动角的大小、方向与过 z0 的曲线 C 的形状无关 (转动角的不变性);