3.6 函数图形的描绘-习题

1．求下列函数的渐近线：

⑴2

1

x y x =+；

【解】因为曲线2

1

x y x =+的定义域(,1)(1,)-∞-⋃-+∞是无限区间，

①水平渐近线

由于2lim lim 1x x x y x →∞→∞=+1

lim(1)1

x x x →∞=-++=∞非常数，

（且无论是lim x y →-∞

还是lim x y →+∞

，极限结果与上面相同，）

知曲线2

1

x y x =+无水平渐近线。

②铅直渐近线

由于函数21x y x =+在点1x =-处间断，2

11lim lim

1

x x x y x →-→-==∞+， （且无论是1

lim x y -→-还是1

lim x y +→-，极限结果与上面相同）

知曲线2

1

x y x =+有一条铅直渐近线1x =-。

③斜渐近线

由于2

1lim lim x x x y x x x →∞→∞+=2lim

(1)x x x x →∞=+1lim 11x x

→∞=+

1

1010

=

=≠+，（且-+lim lim x x y y

x x →∞→∞=），知曲线21

x y x =+有斜渐近线，其斜率为1k =， 又2lim()lim(

)1x x x y kx x x →∞→∞-=-+lim 1x x x →∞-=+1

lim 11x x

→∞-=+

1110-==-+，（且-+lim()lim ()x x y kx y kx →∞→∞-=-）知曲线2

1

x y x =

+的斜渐近线的截距为1b =-， 得曲线2

1

x y x =+的斜渐近线为1y x =-。

⑵1x

y e

-

=；

【解】①水平渐近线

由于函数1x

y e

-=的定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞是无限区间，

1lim lim x

x x y e

-

→∞

→∞

=110lim x

x

e

-

-→=01e ==，

知函数1x

y e -=有水平渐近线1y =。（双侧渐近）。

②铅直渐近线 由于函数1x

y e

-=在点0x =处间断，且

1

x

在点0x =处的左右极限不相等，故应分左右极限进行讨论：

Ⅰ、1

lim lim x

x x y e --

-

→→=11

lim x

x

e

-

-→+∞==∞，知曲线1x

y e -

=有铅直渐近线0x =（左侧

渐近）。

Ⅱ、1

lim lim x

x x y e ++

-

→→=11

lim x

x

e

-

-→-∞=0=非无穷大，此情况无铅直渐近线。

③斜渐近线

由于1lim

lim x

x x y e x x -

→∞

→∞=111lim x x

x e →∞=0100e =⨯=，（且-+lim lim x x y y x x

→∞→∞=） 知曲线1x

y e

-=无斜渐近线。

⑶ln(1)y x =+。 【解】①水平渐近线

由于函数ln(1)y x =+的定义域(1,)-+∞是右无限区间，（不须考察lim x y →-∞

）

有lim lim ln(1)x x y x →+∞

→+∞

=+=+∞，

知函数ln(1)y x =+无水平渐近线。 ②铅直渐近线

由于函数ln(1)y x =+在点1x =-处无定义，且其定义域为(1,)-+∞，故只须考

察1x +

→-的情形：1

1

lim lim ln(1)x x y x ++→-→-=+=-∞，

知曲线ln(1)y x =+有铅直渐近线1x =-（右侧向下渐近）。 ③斜渐近线

由于ln(1)

lim lim x x y x x x →+∞→+∞+=1

1lim 01

x x →+∞+==，知曲线ln(1)y x =+无斜渐近线。

2．作出下列函数的图形： ⑴2

4(1)

2x y x +=

-； 【解】⑴分析定义域和基本属性：

函数2

4(1)

2x y x

+=

-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，函数非奇非偶，无周期性， ⑵分析单调性、极值、凹凸性、拐点，

24(1)2'4x x x y x -+=34(2)x x -+=，4

8(3)"x y x

+=， 得函数有间断点0x =，驻点2x =-，二阶导零点3x =-，无一、二阶不可导点， 作图表分析：

o 2 0 2 ' x x y y ---++-++−−−−−−−−−→+-+g Z ]Z

o

3 0

3 '' x x y y ---++-++−−−−−−−−−→+-+⋃⋂g ⋃

知函数分别在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调增加，在(2,0)-上单调减少，

在点2x =-处有极大值2

4(21)

(2)23(2)

f -+-=

-=--，无极小值， 曲线分别在(,3)-∞-和(0,)+∞上是凹的，在(3,0)-上是凸的，

由于2

4(31)26

(3)2(3)9f -+-=-=--有拐点26(3,)9

--。 ⑶分析渐近线