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全等三角形中考真题

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(完整版)全等三角形证明中考题选(答案齐全)

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智皓教育姓名：全等三角形中考证明题一．解答题1．（2013•泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：BE=CF．2．（2013•河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是_________；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．3．（2013•大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB 边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．4．（2012•阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．5．（2009•仙桃）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：（1）若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是_________；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；（2）若AB=k•AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．6．（2008•台州）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE_________CF；EF_________|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．7．（2007•绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）8．（2007•常德）如图，已知AB=AC，（1）若CE=BD，求证：GE=GD；（2）若CE=m•BD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系．（只写结论，不证明）9．（2006•泰安）（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为_________；∠APB的大小为_________；（3）如图③，在△AOB和△COD中，若OA=k•OB，OC=k•OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为_________；∠APB的大小为10．（2005•南宁）（A类）如图，DE⊥AB、DF⊥AC．垂足分别为E、F．请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．①AB=AC；②BD=CD；③BE=CF已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=AC，BD=CD求证：BE=CF已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=AC，BE=CF求证：BD=CD已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，BD=CD，BE=CF求证：AB=AC（B类）如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．①AB=AC；②DE=DF；③BE=CF已知：EG∥AF，AB=AC，DE=DF求证：BE=CF参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2013•泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：BE=CF．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据中线的定义可得BD=CD，然后利用“角角边”证明△BDE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．解答：证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BE=CF．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．2．（2013•河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．考点：全等三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BE，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．解答：解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：DE∥AC；S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF=S△BDE，过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=2÷=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．3．（2013•大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB 边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）在△CBF和△DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解．解答：（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，又∵∠CFB=∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．4．（2012•阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．考点：全等三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）①BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；②BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°；（2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论成立了，所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适．解答：解：（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE；②结论：BD=CE，BD⊥CE…1分理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1分在△ABD与△ACE中，∵∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE…1分延长BD交AC于F，交CE于H．在△ABF与△HCF中，∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC∴∠CHF=∠BAF=90°∴BD⊥CE…3分（2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°…2分点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作为判定三角形全等的定理．注意：在全等的判定中，没有AAA（角角角）和SSA（边边角）（特例：直角三角形为HL，因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确定，属于SSS），因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状；另外三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形也全等．5．（2009•仙桃）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：（1）若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；（2）若AB=k•AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．考点：全等三角形的判定．专题：压轴题；探究型．分析：（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．（2）直接类比（1）中结果可知AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．解答：解：（1）①BD=CE；②AM=AN，∠MAN=∠BAC，∵∠DAE=∠BAC，∴∠CAE=∠BAD，在△BAD和△CAE中∵∴△CAE≌△BAD（SAS），∴∠ACE=∠ABD，∵DM=BD，EN=CE，∴BM=CN，在△ABM和△ACN中，∵∴△ABM≌△ACN（SAS），∴AM=AN，∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC；（2）AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．点评：本题考查三角形全等的判定方法和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目．6．（2008•台州）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE=CF；EF=|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠α+∠BCA=180°，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．考点：直角三角形全等的判定；三角形内角和定理．专题：几何综合题；压轴题．分析：由题意推出∠CBE=∠ACF，再由AAS定理证△BCE≌△CAF，继而得答案．解答：解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|BE﹣AF|．②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．∵∠BCA=180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，∴∠CBE=∠ACF，又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE=CF，CE=AF，又∵EF=CF﹣CE，∴EF=|BE﹣AF|．（2）EF=BE+AF．点评：本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识．注意对三角形全等，相似的综合应用．7．（2007•绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）考点：直角三角形全等的判定．专题：证明题；压轴题；开放型．分析：（1）如果：“∠B=∠D”，根据∠B与∠D互补，那么∠B=∠D=90°，又因为∠DAC=∠BAC=30°，因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=AC，那么AD+AB=AC．（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件．根据AAS可证两三角形全等，DF=BE．然后按照（1）的解法进行计算即可．解答：证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B=∠D，∴∠B=∠D=90°，∠CAD=∠CAB=∠DAB=30°，∵在△ADC中，cos30°=，在△ABC中，cos30°=，∴AB=AC，AD=．∴AB+AD=．（2）由（1）知，AE+AF=AC，∵AC为角平分线，CF⊥CD，CE⊥AB，∴CE=CF．而∠ABC与∠D互补，∠ABC与∠CBE也互补，∴∠D=∠CBE．∵在Rt△CDF与Rt△CBE中，∴Rt△CDF≌Rt△CBE．∴DF=BE．∴AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=AC．点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键．8．（2007•常德）如图，已知AB=AC，（1）若CE=BD，求证：GE=GD；（2）若CE=m•BD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系．（只写结论，不证明）考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题；探究型．分析：（1）要证GE=GD，需证△GDF≌△GEC，由已知条件可根据AAS判定．（2）若CE=m•BD（m为正数），那么GE=m•GD．解答：证明：（1）过D作DF∥CE，交BC于F，则∠E=∠GDF．∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC∵DF∥CE，∴∠DFB=∠ACB，∴∠DFB=∠ACB=∠ABC．∴DF=DB．∵CE=BD，∴DF=CE，在△GDF和△GEC中，，∴△GDF≌△GEC（AAS）．∴GE=GD．（2）GE=m•GD．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．本题的辅助线是解决题目的关键．9．（2006•泰安）（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为AC=BD；∠APB的大小为α；（3）如图③，在△AOB和△COD中，若OA=k•OB，OC=k•OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为AC=k•BD；∠APB的大小为180°﹣α．考点：全等三角形的判定；三角形内角和定理．专题：探究型．分析：（1）分析结论AC=BD可知，需要证明△AOC≌△BOD，围绕这个目标找全等的条件；（2）与图①比较，图形条件发生了变化，仍然可以证明△AOC≌△BOD，方法类似；（3）转化为证明△AOC∽△BOD．解答：解：（1）①∵∠AOB=∠COD=60°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC．即：∠AOC=∠BOD．又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD．∴AC=BD．②由①得：∠OAC=∠OBD，∵∠AEO=∠PEB，∠APB=180°﹣（∠BEP+∠OBD），∠AOB=180°﹣（∠OAC+∠AEO），∴∠APB=∠AOB=60°．（2）AC=BD，α（3）AC=k•BD，180°﹣α．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．10．（2005•南宁）（A类）如图，DE⊥AB、DF⊥AC．垂足分别为E、F．请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．①AB=AC；②BD=CD；③BE=CF已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=AC，BD=CD求证：BE=CF已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=AC，BE=CF求证：BD=CD已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，BD=CD，BE=CF求证：AB=AC（B类）如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．①AB=AC；②DE=DF；③BE=CF已知：EG∥AF，AB=AC，DE=DF求证：BE=CF友情提醒：若两题都做的同学，请你确认以哪类题记分，你的选择是A类类题．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；开放型．分析：本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，对应三角形全等条件求解；再根据全等三角形的性质得出结论．解答：解：（A类）已知：…，AB=AC，BD=CD求证：BE=CF．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．在△BDE和△CDF中∴△BDE≌△CDF．∴BE=CF．已知：…，AB=AC，DE=DF，求证：BE=CF．证明：∵EG∥AF，∴∠GED=∠F，∠BGE=∠BCA．∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，∴∠B=∠BGE，∴BE=EG．在△DEG和△DFC中∴△DEG≌△DFC，∴EG=CF，∴BE=CF．点评：这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种．同时还考查了全等三角形的性质．。

中考数学复习《全等三角形》专题(卷1)

中考数学复习《全等三角形》专题(卷1)

《全等三角形》中考复习一. 选择题1. 如图，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≅△ACD的是( )A.BD=CEB.∠BDC=∠BECC.∠ACD=∠ABED.BE=CD2. 如下图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N 为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC于点D．则下列说法中正确的是（）①AD是∠BAC的角平分线；②∠ADC=60∘；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3.A.①②③④B.②③④C.①②D.①②③3. 如图，若△MNP≅△MEQ，则点Q应是图中的()A.点AB.点BC.点CD.点D4. 全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC 和△A1B1C1是全等（合同）三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形如图①，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形如图②，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合如图①，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180∘如图②，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )A. B. C. D.5. 对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A.把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B.木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C.将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D.将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理6. 如图，已知∠AOB，用直尺和圆规按照以下步骤作图：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画射线O′A′，以O′为圆心，OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′③以C′为圆心，CD的长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′④过点D′画射线O′B′根据以上操作，可以判定△OCD≅ΔO′C′D′，其判定的依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.HL7. 如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD//OA交OB于点D，点I是△OCD 的内心，连结OI，BI，∠AOB=β，则∠OIB等于()A.180∘−βB.180∘−12β C.90∘+12β D.90∘+β8. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃.应该带( )A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块二. 填空题三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上________根木条．如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA=OB，再分别以点A、B 为圆心，以大于12AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为(3a,−a+8)，则a=________.如图，在菱形ABCD中，已知AB=4，∠ABC=60∘，∠EAF=60∘，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE=CF；②∠EAB=∠CEF；③△ABE∼△EFC；④若∠BAE=15∘，则点F到BC的距离为2√3−2.正确序号________.如图，△ABC中，点A的坐标为(0, 1)，点C的坐标为(4, 3)，如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是________．三. 解答题如图，小明用五根宽度相同的木条拼成了一个五边形，已知AE//CD，∠A=12∠C，∠B=120∘.(1)∠D+∠E=________度；(2)求∠A的度数；(3)要使这个五边形木架保持现在的稳定状态，小明至少还需钉上________根相同宽度的木条．根据要求完成下列各题．(1)如图1，在∠AOB的内部有一点P．①过点P画直线PC//OA交OB于点C；②过点P画直线PD⊥OA，垂足为D．(2)如图2，AB⊥BF,CD⊥BF,∠1=∠2，试说明∠3=∠E在下面解答中填空．解：∵AB⊥BF,CD⊥BF（已知），∴∠ABF=∠________=90∘（________），∴AB//CD（________）∵∠1=∠2（已知），∴AB//EF（________），∴CD//EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠3=∠E（________）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF= BD，连接BF．(1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．(3)当△ABC满足________条件时，四边形AFBD是正方形？（直接写出结论，不用说明理由）一条大河两岸的A、B处分别立着高压线铁塔，如图所示．假设河的两岸平行，你在河的南岸，请利用现有的自然条件、皮尺和标杆，并结合你学过的全等三角形的知识，设计一个不过河便能测量河的宽度的好办法．（要求，画出示意图，并标出字母，结合图形简要叙述你的方案）参考答案与试题解析一. 选择题1.【答案】D【解析】欲使△ABE≅△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．2.【答案】A【解析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≅△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30∘，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60∘；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30∘，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．3.【答案】D【解析】此题暂无解析4.【答案】B【解析】认真阅读题目，理解真正合同三角形和镜面合同三角形的定义，然后根据各自的定义或特点进行解答．5.【答案】B【解析】根据圆的有关定义、垂线段的性质、三角形的稳定性等知识结合生活中的实例确定正确的选项即可．6.【答案】A【解析】此题暂无解析7.【答案】B 【解析】此题暂无解析8.【答案】B【解析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．二. 填空题【答案】3【解析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．【答案】2【解析】此题暂无解析【答案】①②【解析】①只要证明△BAE≅△CAF即可判断；②根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质即可判断；③根据相似三角形的判定方法即可判断；④求得点F到BC的距离即可判断．【答案】(4, −1)或(−1, 3)或(−1, −1)【解析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．三. 解答题【答案】180(2)五边形的内角和为(5−2)×180∘=540∘，由(1)可知，∠D+∠E=180∘，又∠B=120∘，∠A=12∠C.设∠A=x，则∠C=2x，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540∘,即x+120∘+2x+180∘=540∘,解得x=80∘,∴∠A=80∘.2【解析】(1)根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补即可得到180∘.先由AE//CD，根据平行线的性质得出∠E+∠D=180∘．再根据∠B=120∘，∠A=12∠C，设∠A=x∘，则∠C=2x∘．利用五边形的内角和为540∘列出方程x+120+2x+180=540，求解即可.根据五边形不具有稳定性，而三角形具有稳定性即可求解．【答案】解：（1）①如图，直线PC即为所求；②如图，直线PD即为所求；（2）解：∵AB⊥BF,CD⊥BF（已知），∴∠ABF=∠CDF=90∘（垂直的定义），∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）∵∠1=∠2（已知），∴AB//EF（内错角相等，两直线平行），∴CD//EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠3=∠E（两直线平行，同位角相等）【解析】此题暂无解析【答案】解：(1)BD=CD．理由如下：依题意得AF // BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，{∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，∴△AEF≅△DEC(AAS)，∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；(2)当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF // BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90∘，∴四边形AFBD是矩形．AB=AC，∠BAC=90∘【解析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90∘，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【答案】解：在河南岸AB的垂线BF上取两点C、E，使CE=BE，再定出BF的垂线CD，使A、E、D在同一条直线上，这时测得CD的长就是AB的长．如图所示：【解析】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑AAS证明三角形全等，从而推出线段相等．。

全等三角形的判定中考题

全等三角形的判定中考题

全等三角形的判定中考题一、已知两个三角形两边及夹角分别相等，根据哪种全等判定定理可以确定这两个三角形全等？A. SSS（三边相等）B. SAS（两边及夹角相等）C. ASA（两角及夹边相等）D. AAS（两角及非夹边相等）（答案：B）二、在△ABC与△DEF中，若∠A=∠D，∠C=∠F，且AC=DF，则依据哪个判定定理可证明两三角形全等？A. SSSB. SASC. ASAD. AAS（答案：C）三、若△PQR与△STU中，PQ=ST，QR=TU，且∠Q=∠T，但∠Q并非PQ与QR的夹角，则根据哪个判定不能直接证明两三角形全等？A. SSSB. SASC. ASAD. 以上均不可（答案：D）四、两个三角形中，如果两个角和一条边分别相等，且这条边是这两个角的夹边，应使用哪个全等判定定理？A. SSSB. SASC. ASAD. AAS（答案：C）五、在△ABC与△MNP中，若AB=MN，BC=NP，且∠B=∠N，但∠B不是AB和BC的夹角，则不能直接通过哪个判定证明两三角形全等？A. SSSB. SASC. AASD. 以上都不是直接证明的依据（答案：B）六、若两个三角形的两个角及非夹边分别相等，应依据哪个全等判定定理来确定它们全等？A. SSSB. SASC. ASAD. AAS（答案：D）七、在△XYZ与△LMN中，若XY=LM，YZ=MN，且∠YZX=∠LMN，但∠YZX并非XY与YZ的夹角，则不能直接应用哪个全等判定？A. SSSB. SAS（答案）C. 这种情况无法判定三角形全等D. AAS八、已知△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，若要证明两三角形全等，还需满足以下条件中的哪一个？A. AB=DEB. AC=EF（非夹角对应的边）C. BC=DF（夹角对应的边，即SAS情况）（答案）D. ∠C=∠F（已有两角相等，再加一角无法判定全等）。

全等三角形32道经典题

全等三角形32道经典题

B O P A C Q E D
2.将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个 更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表： 所剪次数 正三角形个数 1 4 2 7 3 10 4 13 … … n an
则 an=________________（用含 n 的代数式表示）. O B E D C C A
9.如图（10），AC∥DE， BC∥EF，AC＝DE 求证：AF＝BD E C F A
A
C N M N E D B M E 图② D A
D B B
C
A 图①
10． 已知： 如图，B，C，E 三点在同一条直线上，AC ∥ DE ，AC CE ，ACD B ． 求证： △ABC ≌△CDE ． D A
三、简答题 1、已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:OD=OC
D O
C
A
B
2、如图，AB∥CD(1)用直尺和圆规作 C 的平分线 CP，CP 交 AB 于点 E(保留作图痕迹，不
写作法) (2)在(1)中作出的线段 CE 上取一点 F，连结 AF。要使△ACF≌△AEF，还需要添加 一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不 要求证明)。 A B
A E C E’
A E D l E
A E D ’ D l D’ F ’ B
A E
B
l B C’ C (2)
’ B ′ C (3) ′ ′
C (4)
D
16.如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 中点，连接 AE 并延长 AE 交 BC 的延长线于 ′ 点 F．（1）求证：CF=AD；（2）若 AD=2，AB ′ =8，当 BC 为多少时，点 B 在线段 AF 的垂 直平分线上，为什么？ A D

中考数学复习专题24全等三角形试题(A卷,含解析)

中考数学复习专题24全等三角形试题(A卷,含解析)

全等三角形一、选择题 1. (新疆建设兵团，4，5分）如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B =∠DEF ，AB =DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是（ ）A ．∠A =∠DB ．BC =EF C ．∠ACB =∠FD ．AC =DF【答案】D【逐步提示】本题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形常见判定方法．注意到题目中给出一组角相等，一组边相等，分别结合四个选项，找到不符号常见判定方法的那个选项．【详细解答】解：选项A 可采用“ASA ”来判定三角形全等，选项B 可采用“SAS ”来判定三角形全等，选项C 可采用“AAS ”来判定三角形全等，选项D 为两边和其中一边的对角不能判定三角形全等，故选择D . 【解后反思】此类问题容易出错的地方是由SSA 就判定三角形全等，从而错选D 选项.三角形全等的判定方法有：SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL (直角三角形)． 【关键词】 三角形全等的判定；(浙江金华，6，3分)如图，已知=ABC BAD ∠∠，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是( )A. AC=BDB.∠CAB ＝∠DBAC.∠C ＝∠DD.BC=AD 【答案】A【逐步提示】将题目中的条件表示到图形中，再结合图形条件判断已有哪些条件，然后根据三角形全等的判定方法确定正确的选项．【解析】题目中已给出一角相等，图形中有一条公共边，即已有一边及一角对应相等，再需要一边或一角相等即可，A 选项与两已知条件构成SSA 不能确定两个三角形全等；B 选项与两已知条件构成ASA 能确定两个三角形全等；C 选项与两已知条件构成AAS 能确定两个三角形全等；D 选项与两已知条件构成SAS 能确定两个三角形全等，故选择A.【解后反思】对于添加条件从而判断两个全等三角形全等类问题的解题策略：首先理解题目中已存在的条件(包括已知条件及图形条件)，再根据三角形全等的五种判定方法[(1)三边对应相等的两个三角形全等SSS ；(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等SAS ；(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等ASA ；(4)两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等AAS ；(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL]进行综合评判，从而确定需要添加的条件． 【关键词】三角形全等的识别 2.3. （ 四川省广安市，8，3分）下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内；AB（第6题图）DC②有一个角是直角的四边形是矩形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；④两边及一角对应相等的两个三角形全等；⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【逐步提示】本题考查了三角形的中线、高线、角平分线的概念，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定，平行四边形的判定等，解题的关键是掌握这些概念、定理等．因为直角三角形与钝角三角形的三条高不都在三角形内，故①错；至少有三个角是直角的四边形是才是矩形，故②错；③是菱形的定义，正确；满足④的条件时有可能形成“边边角”的情况，故错误；等腰梯形满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但它不是平行四边形，故⑤错误．【详细解答】解：只有③正确，故选择A.【解后反思】要理解三角形“三线”的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形的判定方法，这是正确解题的基础．能画图举反例，以排除不符合条件情形，也是解这类题的基本功，要多思考，勤积累．类似的问题还有：判断下列说法是否正确：（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.解：错误．如图1，作△ABC，使AB＝AC，在BC上取一点D（D点不与B、C重合且BD≠CD），连接AD.再以A为顶点，AD为一边，作∠EAD，使∠EAD＝∠ADC，且AE＝DC，连接DE.由上述画图方法，可知△ADC≌△DAE（SAS）.所以DE＝AC＝AB，∠AED＝∠C＝∠B.即四边形ABCD有一组对边相等（DE＝AB）、一组对角相等（∠AED＝∠B），但却不是平行四边形（另一组对边AE 和BD不平行也不相等）.（2）一组对边相等，且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.解：错误．如图2，画两条相交直线，交点为O，在其中一条直线上截取OA＝OC，分别过A、C两点向另一条直线作垂线，垂足分别为E、F.在线段OF上取一点D（D点不与O、F重合），连接CD.再在线段OE的延长线上取一点B，使EB＝FD，连接AB.由上述画图方法，易知△COF≌△AOE（AAS），则CF＝AE，由“SAS”可判定△CFD≌△AEB，则CD＝AB.连接AD、BC，则四边形ABCD满足条件，却不是平行四边形.（3）一组对角相等，且连接这一组对角的顶点的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.解：错误．如图，画一个“筝形”ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC且AO≠OC，则该“筝形”满足条件，但它不是平行四边形.【关键词】 中线、高线、角平分线；矩形的判定；菱形的判定；全等三角形的判定；平行四边形的判定二、填空题1. （ 山东省枣庄市，17，4分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC 2ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△A ´B ´C ´的位置，连接C ´B ，则C ´B ＝ ．31【逐步提示】本题考查了旋转、全等三角形、解直角三角形，解题的关键是通过旋转的性质及角度得出△ABB ´为等边三角形．连接BB ´，延长BC ´交AB ´于点H ，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可知△ABB ´为等边三角形，然后再证明△ABC ´≌△B ´BC ´，再利用等腰三角形三线合一，证明BH ⊥AB ´，然后分别求HC ´与BH 即可求C ´B ．【详细解答】解：连接BB ´，延长BC ´交AB ´于点H ，∵∠C ＝90°，AC ＝BC 2，∴AB 22AC BC +2，由题意可知：AB ´＝AB ＝2，且∠BAB ´＝60°，∴△ABB ´为等边三角形，∴BB ´＝AB ，∠ABB ´＝60°，又∵BC ´＝BC ´，B´C ´＝AC ´，∴△ABC ´≌△B ´B C ´，∴∠ABC ´＝∠B ´ BC ´＝30°，∴BH ⊥AB ´，且AH ＝12AB ´＝1，∴BH 22AB AH -3AC ´B ´＝90°，AH ＝B ´H ，∴C ´H ＝12AB ´＝1，∴ C ´B ＝BH －C ´H 31 ，故答案为31 .【解后反思】本题考查了旋转的知识，解这类题通常抓住变换前后的全等图形中对应边、对应角相等．当旋转角为60°时，可以得到等边三角形；当旋转角为45°时，可以得到等腰直角三角形． 【关键词】三角形全等的识别 ；全等三角形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；C ´ABHCB ´ABCB ´C ´2. （ 四川省成都市，12，4分）如图，△ABC ≌△A ´B ´C ´，其中∠A ＝36°，∠C ´＝24°，∠B ＝ ．【答案】120°．【逐步提示】本题考查了三角形全等的性质及三角形内角和定理，解题的关键是掌握有关的性质．先根据全等三角形对应角相等求出∠C ，再利用三角形内角和定理可求出∠B ．【详细解答】解：∵△ABC ≌△A ´B ´C ´，∴∠C ＝∠C ´＝24°，∴ ∠B ＝180°―∠A ―∠C ＝180°―36°―24°＝120° ，故答案为 120° .【解后反思】全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 【关键词】三角形的内角和；全等三角形的性质三、解答题1. （ 山东省枣庄市，24，10分）如图，把△EFP 放置在菱形ABCD 中，使得顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上，EP ＝FP ＝6，EF ＝3，∠BAD ＝60°，AB ＞63⑴求∠EPF 的大小；⑵若AP ＝10，求AE ＋AF ；⑶若△EFP 的三个顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值．【逐步提示】本题考查了菱形的性质、等腰三角形三线合一性及全等三角形等知识，解题的关键是熟练掌握图形的性质和判定，善于转化．⑴过点P 作PG ⊥EF 于G ．根据等腰三角形三线合一性，得∠EPF ＝2∠FPG ，再解Rt △PFG ，利用特殊角三角函数值求∠FPG 的大小，即可得∠EPF ；⑵作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AD 于N ．根据菱形的对角线平分对角的性质，可证明△PME ≌ △PNF ，得ME ＝NF ，再利用三角函数求出AM ＝AN ，通过线段和差得到AE ＋AF 与AM 、AN 的关系，即可求值；⑶当E 、F 分别与A 、B 重合时，AP 取最小值，当EF ⊥AC 时，AP 取最大值． 【详细解答】解：⑴如图，过点P 作PG ⊥EF 于G ． ∵PE ＝PF ＝6，PG ⊥EF ，∴FG ＝EG ＝12 EF ＝33FPG ＝∠EPG ＝12∠EPF ． 在Rt △FPG 中，sin ∠FPG ＝FG PF333．∴∠FPG ＝60°，∴∠EPF ＝2∠FPG ＝120°．AC BCA ´B ´ABDCFPE⑵作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AD 于N ．∵AC 为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ，AM ＝AN ，PM ＝PN ． 在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ， ∴Rt △PME ≌Rt △PNF ．∴ME ＝NF ． 又AP ＝10，∠PAM ＝12∠DAB ＝30°， ∴AM ＝AN ＝AP ·cos30°＝10×3＝53． ∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＝103．⑶如图，当△EFP 的三个顶E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上运动时，点P 在P 1，P 2之间运动，易知P 1O ＝P 2O ＝3，AO ＝9，∴AP 的最大值为12，AP 的最小值为6．【解后反思】运动型问题一般是图形在运动中产生函数关系问题或探究几何图形的变化规律问题，这类问题可细分为点动型、线动型、形动型．解答这类问题时，要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，揭示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径．【关键词】全等三角形的性质 ；三角形全等的识别；等腰三角形的性质；特殊角三角函数值的运用；动点题型2. (重庆A ，19，7分)如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，CE //DF ，EC =BD ，AC =FD . 求证：AE =FB .【逐步提示】由CE //DF ，可知∠ACE =∠D . 利用“SAS ”可以判定△ACE ≌△FDB ，即可判定AE =FB . 【详细解答】证明：∵CE //DF ，∴∠ACE =∠D . 在△ACE 和△FDB 中，OABDCFP 1EP 2M ABDCFPE N G∵EC=BD，∠ACE=∠D，AC=FD，∴△ACE≌△FDB(SAS).∴AE=FB.【解后反思】利用三角形全等是证明两条线段或两个角相等的重要方法. 证明两个三角形全等必须有一组对应边相等的条件，判定两个三角形全等的方法主要有“SAS”、“ASA”、“AAS”和“SSS”，对于直角三角形，还有“HL”，结合全等三角形的判定方法，可寻找所需要的条件. 当题目中出现平行线时，可根据平行线的性质得到相等的角，还要注意公共线段、公共角、重合线段、重合角在得到相等线段和相等角的作用.【关键词】全等三角形的识别；全等三角形的性质(重庆B，19，7分)如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．【逐步提示】根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ECD，再利用“边角边”证明△ABC≌△CED，然后根据全等三角形对应角相等即可证明∠B=∠E．【详细解答】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，在△ABC和△CED中，,,,AB CEBAC ECDAC CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△CED(SAS)，∴∠B=∠E．【解后反思】利用三角形全等是证明两个角或两条线段相等的重要方法. 证明两个三角形全等必须有一组对应边相等的条件，判定两个三角形全等的方法主要有“SAS”、“ASA”、“AAS”和“SSS”，对于直角三角形，还有“HL”，结合全等三角形的判定方法，可寻找所需要的条件. 当题目中出现平行线时，可根据平行线的性质得到相等的角，还要注意公共线段、公共角、重合线段、重合角在得到相等线段和相等角的作用.【关键词】全等三角形的识别；全等三角形的性质3.(重庆B，25，12分)已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，CD=12BC，DE⊥CE，DE=CE，连接AE，点M 是AE的中点.(1)如图1，若点D在BC边上，连接CM，当AB=4时，求CM的长；(2)如图2，若点D在△ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证MN⊥AE；(3)如图3，将图2中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD=30°，连接BD，点N是BD中点，连接MN，探索MNAC 的值并直接写出结果.EMCBA图1D图2NMEDCBAENMCBA图3D【逐步提示】(1)先证明△ACE是直角三角形，根据CM=12AE，求出AE即可解决问题．(2)如图，延长EN至点F，使NF=EN，连接BF，连接AF.先证明△NBF≌△NDE，可得BF=DE=CE，∠FBN=∠NDE.根据题意可得∠ACE=∠ACB+∠DCE-∠DCB=90°-∠DCB，只要证出∠ABF=90°-∠DCB.即可证明∠ACE=∠ABF，又AB=AC，利用“SAS”可证出△ABF≌△ACE，进而可得∠FAB=∠EAC，所以有∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE=∠BAC=90°，又MN是△EAF的中位线.根据三角形的中位线的性质可得MN∥AF，从而∠NME=∠FAE=90°，可证MN⊥AF.(3)如图5，连接DM并延长到点G，使MG=MD，连接AG、BG，延长AG、EC交于点F．可得△AMG≌△EMD，∴AG=DE=EC，∠GAM=∠DEM，∴AG∥DE，∴∠F=∠DEC=90°，∵∠FAC+∠ACF=90°，∠BCD+∠ACF=90°，∴∠FAC=∠BCD=30°∴∠BAG=∠ACE=120°，在△ABG和△CAE中，,,,AB ACBAG ACEAG EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG≌△CAE，∴BG=AE，∵BN=ND，DM=MG，∴MN是△DBG的中位线，∴BG=AE=2MN，设BC=2a，则CD=a，DE=EC=22a，AC=2a，CF=22a，AF=62a，EF=2a，∴AE=22142AF EF+=a，∴MN=144a，∴147442aMNAC a==.【详细解答】(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=4，∴AC=AB=4，BC=42，∠ACB=∠ABC=45°.∵CD=12BC，∴CD=22∵DE⊥CE，DE=CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠DCE=∠CDE=45°，∴CE=CD·sin45°=2.∵∠ACE=∠DCE+∠ACB=45°+45°=90°，∴在Rt△ACE中，AE2225AC CE+=∵点M是AE中点，∴CM=12AE5(2)证明：如图4，延长EN至点F，使NF=EN，连接BF，连接AF.∵点N是BD的中点，∴BN=DN.∵∠BNF=∠DNE，∴△NBF≌△NDE.∴BF=DE，∠FBN=∠NDE，∵DE=CE，∴BF=CE.∵∠ACE=∠ACB+∠DCE-∠DCB，∴∠ACE=45°+45°-∠DCB=90°-∠DCB.在△BCD中，∵∠DBC+∠BDC+∠DCB=180°，∠BDC=∠NDE+∠CDE，又∵∠CDE=45°，∴∠DBC+∠NDE=135°-∠DCB.∵∠ABF=∠DBC+∠FBN-∠ABC，∠FBN=∠NDE，∴∠ABF=∠DBC+∠NDE-∠ABC=135°-∠DCB-45°=90°-∠DCB.∴∠ABF=∠ACE.∵AB=AC，∴△ABF≌△ACE.∴∠FAB=∠EAC∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，∴∠FAB+∠BAE=90°，即∠FAE=90°.∵点M是AE中点，NF=NE，∴MN是△EAF的中位线.∴MN∥AF.∴∠NME=∠FAE=90°.∴MN⊥AF.(3)解：7 MNAC.【解后反思】本题综合考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形.在几何问题的求解或证明中，全等三角形起着很重要的作用，应该充分利用已知条件和图形找出图中的全等三角形，根据全等三角形对应边、对应角分别相等的性质可实现等边、等角的代换，而当要证明的两线段之间或两角之间没有直接联系时，往往需要通过等量代换适当转换来求解.．【关键词】三角形全等的识别；全等三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理4.5.（四川泸州，18，6分）如图，C是线段AB的中点，CD=BE， CD∥BE.求证：∠D=∠E.【逐步提示】要证明两个不同三角形中的两个角相等，可以证明这两个角所在的两个三角形全等，从而选择合适的判定方法证明两个三角形全等.【详细解答】证明：∵C 是线段AB 的中点，∴AC=CB ，∵CD ∥BE ，∴∠ACD=∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，AC CB ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBE, ∴∠D=∠E.【解后反思】证明两个三角形全等，一般情况下是已知两个条件去找第三个全等条件，有以下几种情况：（1）已知两边.⎧⎨⎩找第三边；找两边的夹角；（2）已知两角⎧⎨⎩找其中任意一角的对边找两角的夹边；（3）已知一边及其邻角⎧⎨⎩找任意一角找夹该已知角的边；（4）已知一边及其对角，找余下的任一角. 【关键词】三角形全等的判定方法5. （ 四川南充，19，8分）已知ΔABN 和ΔACM 位置如图所示，AB =AC ，AD =AE ，∠1=∠2. (1)求证：BD =CE ； (2)求证：∠M =∠N .21O ED MAN【逐步提示】本题考查了全等三角形的判定与性质；解题的关键是证明三角形全等．（1）由SAS 证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS 证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可． 【详细解答】解：（1）证明：在△ABD 和△ACE 中，12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD≌△ACE（SAS ）， ∴BD=CE；（2）证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE， 即∠BAN=∠CAM，由（1）得：△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠C，在△ACM 和△ABN 中，C BAC ABCAM BAN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M=∠N．已知条件寻找的条件选择的判定方法两角夹边或一角对边ASA或AAS一角及其对边任一角AAS一角及其邻边角的另一边或边的另一邻角或边的对角SA S或ASA或AAS 两边夹角或另一边或直角SAS或SSS或HL 【关键词】全等三角形的性质；三角形全等的识别6（四川省宜宾市，18，6分）如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC.求证：BC=AD【逐步提示】已知∠CAB=∠DBA，可得AO=BO,因而可证明△BOC≌△AOD,结论成立. 【详细解答】证明：∠CAB=∠DBA，所以AO=BO在△BOC和△AOD 中∠CBD=∠DAC（已知）OB=OA(已证)∠CBD=∠DAC（已证）△BOC≌△AOD（ASA）所以BC=AD【解后反思】除了上面的证明方法外，也可以证明△BAC≌△ABD(ASA)【关键词】全等三角形的性质与判定；等腰三角形的性质与判定。

[经典]中考全等三角形历年真题全集

[经典]中考全等三角形历年真题全集

[经典]中考全等三角形历年真题全集第22章全等三角形一、选择题1.（2022安徽芜湖，6，4分）如图，已知△ABC中，ABC45，F是高AD和BE的交点，CD4，则线段DF的长度为（）.A．22B．4C．32D．42【答案】B2.（2022山东威海，6，3分）在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（）．A．EF∥ABB．BF=CFC．∠A=∠DFED．∠B=∠DFE【答案】C3.（2022浙江衢州，1,3分）如图，OP平分MON,PAON于点A，点Q 是射线OM上的一个动点，若PA2，则PQ的最小值为（）A.1B.2C.3D.4MPA（第6题）QON【答案】B4.（2022江西，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）.．．A.BD=DC，AB=ACB.∠ADB=∠ADCC.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC【答案】D5.（2022江苏宿迁,7,3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是．．．（▲）A．AB＝ACB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．∠BDA＝∠CDA【答案】B6.（2022江西南昌，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）.．．A.BD=DC，AB=ACB.∠ADB=∠ADCC.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC【答案】D7.（2022上海，5，4分）下列命题中，真命题是（）．(A)周长相等的锐角三角形都全等；(B)周长相等的直角三角形都全等；(C)周长相等的钝角三角形都全等；(D)周长相等的等腰直角三角形都全等．【答案】D8.（2022安徽芜湖，6,4分）如图，已知△ABC中，ABC45，F是高AD和BE的交点，CD4，则线段DF的长度为（）.A．22B．4C．32D．42【答案】B二、填空题1.（2022江西，16，3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。

2024年中考数学《全等三角形》专题练习附带答案

2024年中考数学《全等三角形》专题练习附带答案

2024年中考数学《全等三角形》专题练习附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识重点1、全等三角形的概念：（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（2）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

3、三角形全等的判定：(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。

(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。

(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。

(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

一、选择题1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC≌△EDC，AC=3cm，DC=5cm，则BE=（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．30°C．35°D．25°4．小亮设计了如下测量一池塘两端AB的距离的方案：先取一个可直接到达点A，B的点O，连接AO，BO，延长AO至点P，延长BO至点Q，使得OP=AO，OQ=BO再测出PQ的长度，即可知道A，B之间的距离．他设计方案的理由是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS5．如图，点F，E在AC上AD=CB，∠D=∠B添加一个条件，不一定能证明△ADE≌△CBF的是（）A．AD∥BC B．DE∥FB C．DE=BF D．AE=CF6．如图所示∠E=∠D，CD⊥AC于点C，BE⊥AB于点B，AE交BC于点F，且BE=CD，则下列结论不一定正确的是（）A．AB=AC B．BF=EF C．AE=AD D．∠BAE=∠CAD 7．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=5 F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（）A．4 B．5 C．5.5 D．68．如图，AD是△BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=32，DE=4，AB=9，则AC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题9．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF 相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是．10．若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点∠A=50°，∠B=60°则∠F=. 11．如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为；12．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知BC=8，DE=2则△BCE 的面积等于．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，则DE= cm．三、解答题14．如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：AB∥DF．15．如图，在Rt△ABC中∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE=AB.求证：△CED≅△ABC.16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE平分∠DAB．求证：CD+AB＝AD．17．已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：（1）OD=OE；（2）OB=OC．18．如图，在△ABC中AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上AF=AC，连接EF．（1）求证：△AEC≌△AEF．（2）若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB．（1）求∠AOE得度数；（2）求证：AC=AE+CD．参考答案1．A2．B3．C4．A5．D6．B7．A8．C9．HL10．70°11．12.5cm212．813．1214．解：∵ BE＝CF∴BE−CE=CF−CE∴BC=FE∵ AB＝DF，AC＝DE∴△ABC≌△DFE(SSS)∴∠B＝∠F∴AB∥DF．15．证明：∵DE⊥AC，∠DEC=90°又∵∠B=90°∴∠DEC=∠B=90°∵CD∥AB，∴∠A=∠DCE在△CED和△ABC中{∠DCE=∠A CE=AB∠DEC=∠B∴△CED≅△ABC(ASA).16．证明：如图，过点E作EF⊥AD于F∵∠B＝90°，AE平分∠DAB∴BE＝EF在Rt△EFA和Rt△EBA中{EF=EBAE=AE∴Rt△EFA和≌Rt△EBA（HL）．∴AF＝AB∵E是BC的中点∴BE＝CE＝EF在Rt△EFD和Rt△ECD中{EF=ECDE=DE∴Rt△EFD和≌Rt△ECD（HL）．∴DF＝CD∴CD+AB＝DF+AF＝AD∴CD+AB＝AD．17．（1）证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC ∴OD=OE（2）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC∴∠BDO=∠CEO=90°在△BDO和△CEO中{∠BDO=∠CEO DO=CO∠BOD=∠COE∴△BDO≌△CEO（ASA）∴OB=OC18．（1）证明：射线AD平分∠BAC∴∠CAE=∠FAE 在△AEC和△AEF中{AC=AF∠CAE=∠FAE AE=AE∴△AEC≌△AEF(SAS)；（2）解：∵△AEC≌△AEF(SAS)∴∠AEC=∠AEF∵∠AEB=50°∴∠AEC=180°−∠AEB=180°−50°=130°∴∠AEF=∠AEC=130°∴∠BEF=∠AEF−∠AEB=80°∴∠BEF为80°．19.18．（1）解：∵∠BAC=90°，∠ABC=60°∴∠ACB=30°∵AD平分∠BAC，CE平分∠BAC∴∠CAD=12∠BAC=45°，∠ACE=12∠ACB=15°∵∠AOE是△AOC的外角∴∠AOE=∠CAD+∠ACE=60°；（2）证明：在AC上截取CF=CD，连接OF∵CE平分∠ACB∴∠DCO=∠FCO在△DCO和△FCO中{CD=CF∠DCO=∠FCOOC=OC∴△DCO≌△FCO(SAS)∴∠COD=∠COF∵∠AOE=60°∴∠COD=∠COF=60°∴∠AOF=180°−∠AOE−∠COF==60°∴∠AOE=∠AOF∵AD平分∠BAC∴∠EAO=∠FAO在△EAO和△FAO中{∠EAO=∠FAO AO=AO∠AOE=∠AOF∴△EAO≌△FAO(ASA)∴AE=AF∵AC=AF+CF∴AC=AE+CD．。

人教版九年级数学中考全等三角形专项练习及参考答案

人教版九年级数学中考全等三角形专项练习及参考答案
人教版九年级数学中考全等三角形专项练习
基础达标
一、选择题
1.下列各图中 a,b,c 为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是(
A.甲和乙
B.乙和丙
C.甲和丙
D.只有丙
)
答案 B
解析在△ABC 和图乙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:SAS,
所以乙和△ABC 全等;
在△ABC 和图丙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:AAS,
上,C 符合题意;
利用 HL 判断出△PCA≌△PCB,∴CA=CB,∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,D 符合题意;
过线段外一点作已知线段的垂线,不能保证也平分此条线段,B 不符合题意.
故选 B.
2.
(2018 贵州安顺)如图,点 D,E 分别在线段 AB,AC 上,CD 与 BE 相交于 O 点,已知 AB=AC,现添加以下的
∴AE+EF=CF+FE,即 AF=CE.
又四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD=CB,AD∥BC.
∴∠DAF=∠BCE,
在△ADF 与△CBE 中
= ,
{∠ = ∠,
= .
∴△ADF≌△CBE(SAS).
(2)∵△ADF≌△CBE,
∴∠DFA=∠BEC,
∴DF∥EB.
3
C.取 AB 中点 C,连接 PC
D.过点 P 作 PC⊥AB,垂足为 C
答案 B
解析利用 SAS 判断出△PCA≌△PCB,∴CA=CB,∠PCA=∠PCB=90°,∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线
上,A 符合题意;
利用 SSS 判断出△PCA≌△PCB,∴CA=CB,∠PCA=∠PCB=90°,∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线

初二数学 三角形全等中考真题含解析

初二数学 三角形全等中考真题含解析

DEF一、选择题1．如图所示， ∠E = ∠F = 90，∠B = ∠C ， AE = AF ，结论：① EM = FN ；② CD = DN ；③ ∠FAN = ∠EAM ；④△ACN ≌△ABM ．其中正确的有A.1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个【答案】C2．如图 2 所示，AB = AC ，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不．能．是（ )BCA ．∠B ＝∠CB. AD = AEC ．∠ADC＝∠AEBD. DC = BE【答案】D3.如图 2 所示，在Rt ∆ABC 中， ∠A = 90︒ , BD 平分∠ABC ， 交 AC 于点 D ,且AB = 4, BD = 5 ,则点D 到 BC 的距离是：（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6【答案】A4．如图3，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线BD交AC 于D，若CD=3cm，则点D 到AB 的距离DE 是A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】C5．如图，△A BC≌△D E F，BE=4，A E=1，则DE的长是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A二、填空题1．如图，已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F 在一条直线上，要使△ ABC ≌△ FDE ，还需添加一．个．条件，这个条件可以是．ADCB EF第（13）题【答案】∠C=∠E（答案不惟一，也可以是AB=FD或AD=FB）2．（2010 广西钦州市）如图，在△ABC 和△BAD 中，BC = AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是_ ▲ _（只填一个）．C DA B第8 题【答案】AC =BD 或∠CBA＝∠DAB三、解答题CF1．如图，C 是线段 AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分 ∠BCD ，CD=CE ．(1) 求证：△ ACD ≌△ BCE ；(2)若∠D=50°，求∠B 的度数．【答案】2．如图，已知：点 B 、F 、C 、E 在一条直线上，FB =CE ，AC =DF ．能否由上面的已知条件证明 AB ∥ED ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一．个．合．适．的．条．件．，添加到已知条件中，使 AB ∥ED 成立，并给出证明． 供选择的三个条件（请从其中选择一个）：①AB =ED ； ②BC =EF ； ③∠ACB =∠DFE ．ABED（第 25 题）FDE ( 第 18 题⎨⎩【答案】解：由上面两条件不能证明AB//ED.有两种添加方法.第一种：FB=CE，AC=DF 添加①AB=ED证明：因为FB=CE，所以BC=EF，又AC=EF，AB=ED，所以ABC≅DEF所以∠ABC=∠DEF 所以AB//ED第二种：FB=CE，AC=DF 添加③∠ACB=∠DFE证明：因为FB=CE，所以BC=EF，又∠ACB=∠DFE AC=EF，所以ABC ≅DEF 所以∠ABC=∠DEF 所以AB//ED3．如图，在△ABC 中，D是BC 边上的点（不与B，C 重合），F，E 分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE. 请你添加一个条件，使△B D E≌△C A D F (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．（1）你添加的条件是：▲； B C（2）证明：【答案】解：（1）BD=DC(或点D是线段BC 的中点)，FD=ED，CF=BE中任选一个即可﹒（2）以BD =DC 为例进行证明：∵CF∥BE，∴∠FCD﹦∠EBD．又∵ BD =DC ，∠FDC﹦∠EDB，∴△BDE≌△CDF．4．（1）如图，点B、E、C、F 在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．(第 17(1)题)【答案】证明：∵ AB∥DE．∴ ∠B＝∠DEF．在△ABC 和△DEF 中，⎧∠B =∠DEF，⎪∠A =∠D，⎪BC =EF．∴ △ABC ≌△DEF ．5．如图，分别过点 C 、B 作△ABC 的 BC 边上的中线 AD 及其延长线的垂线，垂足分 别为 E 、F ．求证：BF =CE ．【答案】∵CE ⊥AF ，FB ⊥AF ，∴∠DEC ＝∠DFB ＝90°又∵AD 为 BC 边上的中线，∴BD ＝CD ， 且∠EDC ＝∠FDB （对顶角相等） ∴所以△BFD ≌△C D E （AAS ），∴BF =CE ． 6．如图，已知 AD 是△A BC 的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AE D≌△AFD ，需添加一个条件是：，并给予证明.ABD C【答案】解法一：添加条件：AE ＝AF ，证明：在△AED 与△AFD 中，∵AE＝AF ，∠EAD＝∠FAD，AD ＝AD ，∴△AED≌△AFD（SAS ）.解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，证明：在△AED 与△AFD 中，∵∠EAD＝∠FAD，AD ＝AD ，∠EDA＝∠FDA ∴△AED≌△AFD（ASA ）.EF⎨⎩7．如图，B，F，C，E 在同一条直线上，点A，D在直线BE 的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE．求证：AC=DF【答案】证明：∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEF∵AC∥DF，∴∠ABC=∠DEF∵BF=CE，∴BC=EF∴△ABC≌△DEF∴AC=DF8．已知：如图，点C 是线段 AB 的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE,求证：AE=BD．【答案】证明：∵点 C 是线段 AB 的中点，∴AC=BC，∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠BCD,题 20 图⎧AC =BC在△ACE 和△BCD 中，⎪∠ACE =∠BCD ，⎪CE∴△A CE≌△BCD（SAS），∴AE=BD.=CD9．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC．求证：∠ACE=∠DBF．⎨⎩EBCD⎨ ⎩【答案】证明：∵AB =DC∴AC =DB∵EA ⊥AD ，FD ⊥AD ∴∠A =∠D =90° 在△EAC 与△FDB 中⎧EA = FD ⎪∠A = ∠D ⎪AC = DB ∴△EAC ≌△FDB ∴∠ACE =∠DBF ．10．如图，点 A 、E 、B 、D 在同一条直线上，AE ＝DB ，AC ＝DF ，AC ∥DF .请探索 BC 与 EF 有怎样的位置关系？并说明理由．FAD【答案】解：BC ∥EF ．理由如下：∵AE ＝DB ，∴AE ＋BE ＝DB ＋BE ，∴AD ＝DE .∵AC ∥DF ， ∴∠A ＝∠D ，∵AC ＝DF ， ∴△ACB ≌△DFE ，∴∠FED ＝∠CBA ，∴BC ∥EF ． 11．如图，点 B 、D 、C 、F 在一条直线上，且 BC = FD ，A B = E F .（1） 请你只添加一个条件（不再加辅助线），使△A BC ≌△E FD ，你添加的条件是 ； （2） 添加了条件后，证明△ABC ≌△EFD.ABFE【答案】（1）∠B = ∠F 或 AB ∥EF 或 AC = ED .（2）证明：当∠B = ∠F 时在△ABC 和△EFD 中⎧A B = E⎪∠B = ∠F ⎪BC = FD求证：⑴ △ABC ≌△DEF ；⑵ BE ＝CF ．∴△ABC ≌△EFD (SAS)12．如图 4，已知 AC ∥DF ，且 BE =CF . （1） 请你只添加一．个．条件，使△ ABC ≌△D EF ，你添加的条件是；（2）添加条件后，证明△ ABC ≌△DEF.【答案】（１）添加的条件是 AC ＝DF （或 AB ∥D E 、∠B ＝∠D E F 、∠A ＝∠D ）（有一个即可）（２）证明：∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠F ，∵BE=CF ，∴BC ＝EF ，在△ ABC 和△ DEF 中，⎧BC = EF ⎪⎨∠ACB = ∠F ⎪⎩AC = DF ，∴△ABC ≌△DEF. 13．如图， ∠BAC = ∠ABD .（1） 要使OC = OD ，可以添加的条件为：或 ；（写出 2 个符合题意的条件即可）（2） 请选择(1)中你所添加的一个条件，证明OC = OD .CD【答案】解：（1）答案不唯一. 如∠C = ∠D ，或∠ABC = ∠BAD ，或∠OAD = ∠OBC ，或 AC = BD . ……4 分说明：2 空全填对者，给 4 分；只填 1 空且对者，给 2 分. （2）答案不唯一. 如选 AC = BD 证明 OC=OD.证明: ∵ ∠BAC = ∠ABD ，∴ OA=OB. ……………………6 分 DC又 AC = BD ， O∴ AC-OA=BD-OB ，或 AO+OC=BO+OD. AB∴ OC = OD......................................................... 8 分14．已知：点B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ∥ DF ．O AB⎨⎩【答案】证明：(1)∵AC ∥DF∴∠ACB ＝∠F ...................................................................................................... 2 分 在△ABC 与△DEF 中⎧∠ACB = ∠F ⎪∠A = ∠D ⎪ AB = DE ∴△ABC≌△DEF ................................................... 6 分(2) ∵△ABC≌△DEF∴BC=EF ∴BC–EC=EF –EC即 BE=CF ......................................................... 10 分 15．如图，已知点E ，C 在线段 BF 上， BE = CF ，请在下列四个等式中，①AB ＝DE ，②∠ACB ＝∠F ，③∠A ＝∠D ，④AC ＝DF ．选出两．个．作为条件，推出 △ABC ≌△DEF ．并予以证明．（写出一种即可）已知： ， ． 求证： △ABC≌△DEF ．证明：A DBECF【答案】解：已知：①④（或②③、或②④） .........3 分AD证明：若选①④ ∵ BE = CFB EC C ∴ BE + EC = CF + EC ,即BC = EF ． .............................. 5 分在△ABC 和△DEF 中AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ． ..................... 8 分∴ △ABC ≌△DEF ． .......................... 9 分 16．八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：⎨⎩（Ⅰ）∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M 、N 重合，即 PM=PN ，过角尺顶点 P 的射线 OP 就是∠AOB 的平分线. （Ⅱ）∠AOB 是一个任意角，在边 OA 、OB 上分别取 OM=ON ，将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M 、N 重合，即 PM=PN ，过角尺顶点 P 的射线 OP 就是∠AOB 的平分线.（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由. （2） 在方案（Ⅰ）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使 PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.【答案】解：（1）方案（Ⅰ）不可行.缺少证明三角形全等的条件. …………………………… 2 分（2）方案（Ⅱ）可行 ...................... 3 分证明：在△OPM 和△OPN 中⎧OM = OP ⎪PM = PN ⎪ OP = OP ∴△OPM≌△OPN(SSS)∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等) ............................................. 5 分（3）当∠AOB 是直角时，此方案可行 ...................... 6 分∵四边形内角和为 360°，又若 PM⊥OA,PN⊥OB, ∠OMP=∠ONP=90°, ∠MPN=90°,∴∠AOB=90° ∵若 PM⊥OA,PN⊥OB, 且 PM=PN∴OP 为∠AOB 的平分线.(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上) 当∠AOB 不为直角时，此方案不可行 .......... 8 分 17．如图，AB 是∠D AC 的平分线，且 AD =AC 。

全等三角形(优选真题60道)：三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)

全等三角形(优选真题60道)：三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）全等三角形（优选真题60道）一．选择题（共14小题）1．（2023•凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（）A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；当AB＝DC时，利用SAS可得△≌△DCE，故C不符合题意；当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．2．（2023•长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C ．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例D ．两点之间线段最短【分析】根据点O 为AA '、BB '的中点得出OA ＝OA '，OB ＝OB '，根据对顶角相等得到∠AOB ＝∠A 'OB '，从而证得△AOB 和△A 'OB '全等，于是有AB ＝A 'B '，问题得证．【解答】解：∵点O 为AA '、BB '的中点，∴OA ＝OA '，OB ＝OB '，由对顶角相等得∠AOB ＝∠A 'OB '，在△AOB 和△A 'OB '中，{OA =OA′∠AOB =∠A′OB′OB =OB′，∴△AOB ≌△A 'OB '（SAS ），∴AB ＝A 'B '，即只要量出A 'B '的长度，就可以知道该零件内径AB 的长度，故选：A ．【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．3．（2022•成都）如图，在△ABC 和△DEF 中，点A ，E ，B ，D 在同一直线上，AC ∥DF ，AC ＝DF ，只添加一个条件，能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．BC ＝DEB ．AE ＝DBC ．∠A ＝∠DEFD ．∠ABC ＝∠D【分析】先根据平行线的性质得到∠A ＝∠D ，加上AC ＝DF ，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：∵AC ∥DF ，∴∠A ＝∠D ，∵AC ＝DF ，∴当添加∠C ＝∠F 时，可根据“ASA ”判定△ABC ≌△DEF ；当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．4．（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F 与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根据AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．【解答】解：∵OB平分∠∴∠DOE＝∠FOE，又OE＝OE，若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意，故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理并会应用．5．（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO 的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO ≌△DCO 的依据．【解答】解：在△AOB 和△DOC 中，{OA =OD∠AOB =∠DOC OB =OC，∴△AOB ≌△DOC （SAS ），故选：B ．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，写出△AOB 和△DOC 全等的证明过程．6．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC ，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）A ．AB ，BC ，CA B ．AB ，BC ，∠B C ．AB ，AC ，∠BD ．∠A ，∠B ，BC【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】解：A ．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；B ．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；C ．AB ，AC ，∠B ，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；D ．根据∠A ，∠B ，BC ，三角形形状确定，故此选项不合题意；故选：C ．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．7．（2022•湘西州）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，M 为BC 的中点，H 为AB 上一点，过点C 作CG ∥AB ，交HM 的延长线于点G ，若AC ＝8，AB ＝6，则四边形ACGH 周长的最小值是（ ）A ．24B ．22C ．20D ．18【分析】通过证明△BMH ≌△CMG 可得BH ＝CG ，可得四边形ACGH 的周长即为AB +AC +GH ，进而可确定当MH ⊥AB 时，四边形ACGH 的周长有最小值，通过证明四边形ACGH 为矩形可得HG 的长，进而可求解．【解答】解：∵CG ∥AB ，∴∠B ＝∠MCG ，∵M 是BC 的中点，∴BM ＝CM ，在△BMH 和△CMG 中，{∠B =∠MCGBM =CM ∠BMH =∠CMG，∴△BMH ≌△CMG （ASA ），∴HM ＝GM ，BH ＝CG ，∵AB ＝6，AC ＝8，∴四边形ACGH 的周长＝AC +CG +AH +GH ＝AB +AC +GH ＝14+GH ，∴当GH 最小时，即MH ⊥AB 时四边形ACGH 的周长有最小值，∵∠A ＝90°，MH ⊥AB ，∴GH ∥AC ，∴四边形ACGH 为矩形，∴GH ＝8，∴四边形ACGH 的周长最小值为14+8＝22，故选：B ．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH 的值是解题的关键．8．（2021•攀枝花）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（）去最省事．A．①B．②C．③D．①③【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去．【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是带③去．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．9．（2021•重庆）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB 全等的是（）A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D【分析】根据证明三角形全等的条件AAS，SAS，ASA，SSS逐一验证选项即可．【解答】解：在△ABC和△DCB中，∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，A：当∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB（ASA），故A能证明；B：当AB＝DC时，不能证明两三角形全等，故B不能证明；C：当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SAS），故C能证明；D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS），故D能证明；故选：B．【点评】本题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．10．（2021•重庆）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD【分析】根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断△ABC≌△DEF，本题得以解决．【解答】解：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，又∵∠B＝∠E，∴当添加条件AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意；当添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故选项B不符合题意；当添加条件AC＝DF ABC≌△DEF，故选项C符合题意；当添加条件AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．11．（2021•盐城）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M 的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】根据全等三角形的判定定理SSS 推出△COM ≌△DOM ，根据全等三角形的性质得出∠COM ＝∠DOM ，根据角平分线的定义得出答案即可．【解答】解：在△COM 和△DOM 中{OC =ODOM =OM MC =MD，所以△COM ≌△DOM （SSS ），所以∠COM ＝∠DOM ，即OM 是∠AOB 的平分线，故选：D ．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ，全等三角形的对应角相等．12．（2021•青海）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝3，BC ＝5，对角线BD 平分∠ABC ，则△BCD 的面积为（ ）A ．8B ．7.5C ．15D ．无法确定【分析】过D 点作DE ⊥BC 于E ，如图，根据角平分线的性质得到DE ＝DA ＝3，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D 点作DE ⊥BC 于E ，如图，∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DA ⊥AB ，∴DE ＝DA ＝3，∴△BCD 的面积=12×5×3＝7.5．故选：B ．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．13．（2021•哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（）A．30°B．25°C．35°D．65°【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF 的度数．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∵∠BCE＝65°，∴∠ACD＝∠BCE＝65°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF+∠ACD＝90°，∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，故选：B．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键．14．（2021•台湾）已知△ABC与△DEF全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AC上，B、F、C、D四点共线，如图所示．若∠A＝40°，∠CED＝35°，则下列叙述何者正确？（）A．EF＝EC，AE＝FC B．EF＝EC，AE≠FCC．EF≠EC，AE＝FC D．EF≠EC，AE≠FC【分析】由△ABC与△DEF全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，可得∠A＝∠D＝40°，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，可得EF＝EC；∠CED＝35°，∠D＝40°可得∠D＞∠CED，由大角对大边可得CE ＞CD；利用AC＝DF，可得AC﹣CE＜DF﹣CD，即AE＜FC，由上可得正确选项．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D＝40°，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，∵∠ACB＝∠DFE，∴EF＝EC．∵∠CED＝35°，∠D＝40°，∴∠D＞∠CED．∴CE＞CD．∵AC＝DF，∴AC﹣CE＜DF﹣CD，即AE＜FC．∴AE≠FC．∴EF＝EC，AE≠FC．故选：B．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质．利用全等三角形对应角相等，对应边相等是解题的关键．二．填空题（共16小题）15．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为．【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝8，计算即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝8，∴EF＝8，∵EC＝5，∵CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．16．（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC=12AC•CD+12AB•DE=12AC•BC，即12×6•CD+12×10•CD=12×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．17．（2022•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON ⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝度．【分析】方法一：根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，从而可证Rt△OMB≌Rt△ONB （HL），根据全等三角形的性质可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度数．方法二：根据角平分线的判定定理求解即可．【解答】解：方法一：∵OM⊥，ON⊥BC，∴∠OMB＝∠ONB＝90°，在Rt△OMB和Rt△ONB中，{OM=ON，OB=OB∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．方法二：∵OM⊥AB，ON⊥BC，又∵OM＝ON，∴OB平分∠ABC，∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．故答案为：15．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法（HL）是解题的关键．18．（2022•牡丹江）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEC．【分析】根据等式的性质可得∠DCE＝∠ACB，然后再利用全等三角形的判定方法SAS，ASA或AAS即可解答．【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，∵CA＝CD，CB＝CE，∴△ABC≌△DEC（SAS），故答案为：CB＝CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．19．（2022•南通）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是．【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，然后再利用全等三角形的判定方法即可解答．【解答】解：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（AAS），故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．20．（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD=12×2×1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．21．（2022•宁夏）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是.（只写一个）【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答．【解答】解：∵OB ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ，OA ＝OC ，∴△AOB ≌△COD （SAS ），∴要使△AOB ≌△COD ，添加一个条件是OA ＝OC ，故答案为：OA ＝OC （答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．22．（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA ＝OC ，请你添加一个条件 ，使△AOB ≌△COD ．【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：添加的条件是OD ，理由是：在△AOB 和△COD 中，{AO =CO∠AOB =∠COD BO =DO，∴△AOB ≌△COD （SAS ），故答案为：OB ＝OD （答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理是SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL 等．23．（2022•湖北）如图，已知AB ∥DE ，AB ＝DE ，请你添加一个条件 ，使△ABC ≌△DEF ．【分析】添加条件：∠A ＝∠D ，根据ASA 即可证明△ABC ≌△DEF ．【解答】解：添加条件：∠A ＝∠D ．∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEC ，在△ABC 和△DEF 中，{∠A =∠DAB =DE ∠B =∠DEC，∴△ABC ≌△DEF （ASA ），故答案为：∠A ＝∠D ．（答案不唯一）【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．24．（2021•福建）如图，AD 是△ABC 的角平分线．若∠B ＝90°，BD =√3，则点D 到AC 的距离是 ．【分析】由角平分线的性质可求DE ＝BD =√3，即可求解．【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AC 于E ，∵AD 是△ABC 的角平分线．∠B ＝90°，DE ⊥AC ，∴DE ＝BD =√3，∴点D 到AC 的距离为√3，故答案为√3．【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．25．（2021•齐齐哈尔）如图，AC ＝AD ，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△AED ，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）【分析】利用∠1＝∠2得到∠BAC＝∠EAD，由于AC＝AD，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，即∠BAC＝∠EAD，∵AC＝AD，∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．26．（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为．【分析】由角平分线的性质可知CD＝DE＝1.6，得出BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵DE＝1.6，∴CD＝1.6，∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．故答案为：2.4【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．27．（2021•成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为．【分析】由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB，则CD＝DH＝1，进而求解．【解答】解：过点D作DH⊥AB，则DH＝1，由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，则CD＝DH＝1，∵△ABC为等腰直角三角形，故∠B＝45°，则△DHB为等腰直角三角形，故BD=√2HD=√2，则BC＝CD+BD＝1+√2，故答案为：1+√2．【点评】本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．28．（2021•德州）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．请添加一个条件，使△ABF≌△DCE．【分析】求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：∵BE ＝CF ，∴BE +EF ＝CF +EF ，∴BF ＝CE ，添加∠B ＝∠C ，在△ABF 和△DCE 中，{∠B =∠C∠A =∠D BF =CE，∴△ABF ≌△DCE （AAS ），故答案为：∠B ＝∠C （答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．29．（2021•常德）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若CD ＝3，BD ＝5，则BE 的长为 ．【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得DE ＝DC ＝3，再由勾股定理求得BE 的长即可．【解答】解：∵AD 平分∠CAB ，又∵DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC ＝3，∵BD ＝5，∴BE =√BD 2−DE 2=√52−32=4，故答案为4．【点评】本题考查了角平分线的性质．角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．比较简单，属于基础题．30．（2021•济宁）如图，四边形ABCD 中，∠BAC ＝∠DAC ，请补充一个条件 ，使△ABC ≌△ADC ．【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：添加的条件是AD ＝AB ，理由是：在△ABC 和△ADC 中{AC =AC∠BAC =∠DAC AD =AB，∴△ABC ≌△ADC （SAS ），故答案为：AD ＝AB （答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ．三．解答题（共30小题）31．（2023•长沙）如图，AB ＝AC ，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ．（1）求证：△ABE ≌△ACD ；（2）若AE ＝6，CD ＝8，求BD 的长．【分析】（1）利用“AAS ”可证明△ABE ≌△ACD ；（2）先利用全等三角形的性质得到AD ＝AE ＝6，再利用勾股定理计算出AC ，从而得到AB 的长，然后计算AB ﹣AD 即可．【解答】（1）证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠AEB ＝∠ADC ＝90°，在△ABE 和△ACD 中，{∠AEB =∠ADC∠BAE =∠CAD AB =AC ，∴△ABE ≌△ACD （AAS ）；（2）解：∵△ABE ≌△ACD ，∴AD ＝AE ＝6，在Rt △ACD 中，AC =√AD 2+CD 2=√62+82=10，∵AB ＝AC ＝10，∴BD ＝AB ﹣AD ＝10﹣6＝4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．32．（2023•吉林）如图，点C 在线段BD 上，△ABC 和△DEC 中，∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ．求证：AC ＝DC ．【分析】由两个三角形的全等判定ASA 直接可判断两个三角形全等，得出结论．【解答】解：在△ABC 和△DEC 中，{∠A =∠DAB =DE ∠B =∠E，∴△ABC ≌△DEC （ASA ），∴AC ＝DC ．【点评】本题考查了三角形全等的判定ASA ，掌握ASA 判定两个三角形全等的方法是解题的关键．33．（2023•大连）如图，在△ABC 和△ADE 中，延长BC 交DE 于F ．BC ＝DE ，AC ＝AE ，∠ACF +∠AED ＝180°．求证：AB ＝AD ．【分析】由“SAS ”可证△ABC ≌△ADE ，可得结论．【解答】证明：∵∠ACB +∠ACF ＝∠ACF +∠AED ＝180°，∴∠ACB ＝∠AED ，在△ABC 和△ADE 中，{BC =DE∠ACB =∠AED AC =AE，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴AB ＝AD ．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．34．（2023•福建）如图，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∠AOD ＝∠COB ．求证：AB ＝CD ．【分析】根据角的和差求得∠AOB ＝∠COD ，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠AOD ＝∠COB ，∴∠AOD ﹣∠BOD ＝∠COB ﹣∠BOD ，即∠AOB ＝∠COD ．在△AOB 和△COD 中，{OA =OC∠AOB =∠COD OB =OD，∴△AOB ≌△COD （SAS ），∴AB ＝CD ．【点评】本题考查了等式的基本性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．35．（2023•聊城）如图，在四边形ABCD 中，点E 是边BC 上一点，且BE ＝CD ，∠B ＝∠AED ＝∠C ．（1）求证：∠EAD ＝∠EDA ；（2）若∠C ＝60°，DE ＝4时，求△AED 的面积．【分析】（1）利用AAS 证明∴△ABE ≌△ECD ，即可证明结论；（2）先证明△AED 为等边三角形，可得AE ＝AD ＝ED ＝4，过A 点作AF ⊥ED 于F ，利用等边三角形的性质可得EF ＝2，再根据勾股定理求得AF 的长，利用三角形的面积公式可求解．【解答】（1）证明：∵∠B ＝∠AED ＝∠C ，∠AEC ＝∠B +∠BAE ＝∠AED +∠CED ，∴∠BAE ＝∠CED ，在△ABE 和△ECD 中，{∠BAE =∠CED∠B =∠C BE =CD，∴△ABE ≌△ECD （AAS ），∴AE ＝ED ，∴∠EAD ＝∠EDA ；（2）解：∵∠AED ＝∠C ＝60°，AE ＝ED ，∴△AED 为等边三角形，∴AE ＝AD ＝ED ＝4，过A 点作AF ⊥ED 于F ，∴EF =12ED ＝2，∴AF =√AE 2−EF 2=√42−22=2√3，∴S △AED =12ED •AF =12×4×2√3=4√3．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识的综合运用，证明△ABE ≌△ECD 是解题的关键．36．（2023•陕西）如图，在△ABC 中，∠B ＝50°，∠C ＝20°．过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，延长EA 至点D ．使AD ＝AC ．在边AC 上截取AF ＝AB ，连接DF ．求证：DF ＝CB ．【分析】利用三角形内角和定理得∠CAB 的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．【解答】证明：在△ABC 中，∠B ＝50°，∠C ＝20°，∴∠CAB ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝110°．∵AE ⊥BC ．∴∠AEC ＝90°．∴∠DAF ＝∠AEC +∠C ＝110°，∴∠DAF ＝∠CAB ．在△DAF 和△CAB 中，{AD =BC∠DAF =∠CAB AF =AB，∴△DAF ≌△CAB （SAS ）．∴DF ＝CB ．【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．37．（2023•乐山）如图，已知AB 与CD 相交于点O ，AC ∥BD ，AO ＝BO ，求证：AC ＝BD ．【分析】由平行线的性质可得∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D ，利用AAS 即可判定△AOC ≌△BOD ，从而得AC ＝BD ．【解答】证明：∵AC ∥BD ，∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D ，在△AOC 和△BOD 中，{∠C =∠D∠A =∠B AO =BO，∴△AOC ≌△BOD （AAS ），∴AC ＝BD ．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．38．（2023•苏州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为△ABC 的角平分线．以点A 圆心，AD 长为半径画弧，与AB ，AC 分别交于点E ，F ，连接DE ，DF ．（1）求证：△ADE ≌△ADF ；（2）若∠BAC ＝80°，求∠BDE 的度数．【分析】（1）由角平分线定义得出∠BAD ＝∠CAD ．由作图知：AE ＝AF ．由SAS 可证明△ADE ≌△ADF ；（2）由作图知：AE ＝AD ．得出∠AED ＝∠ADE ，由等腰三角形的性质求出∠ADE ＝70°，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ．由作图知：AE ＝AF ．在△ADE 和△ADF 中，{AE =AF∠BAD =∠CAD AD =AD，∴△ADE ≌△ADF （SAS ）；（2）解：∵∠BAC ＝80°，AD 为△ABC 的角平分线，∴∠EAD =12∠BAC ＝40°，由作图知：AE ＝AD ．∴∠AED ＝∠ADE ，∴∠ADE =12×（180°﹣40°）＝70°，∵AB ＝AC ，AD 为△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ．∴∠BDE ＝90°﹣∠ADE ＝20°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．39．（2023•宜宾）已知：如图，AB ∥DE ，AB ＝DE ，AF ＝DC ．求证：∠B ＝∠E ．【分析】由AF ＝DC ，得AC ＝DF ，由AB ∥DE ，得∠A ＝∠D ，即可证△ABC ≌△DEF （SAS ），故∠B ＝∠E ．【解答】证明：∵AF ＝DC ，∴AF +CF ＝DC +CF ，即AC ＝DF ，∵AB ∥DE ，∴∠A ＝∠D ，在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE∠A =∠D AC =DF，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠B ＝∠E ．【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．40．（2023•云南）如图，C 是BD 的中点，AB ＝ED ，AC ＝EC ．求证：△ABC ≌△EDC ．【分析】求出BC ＝DC ，根据全等三角形的判定定理证明即可．【解答】证明：∵C 是BD 的中点，∴BC ＝DC ，在△ABC 和△EDC 中，{AB =EDAC =EC BC =DC，∴△ABC ≌△EDC （SSS ）．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ．41．（2023•泸州）如图，点B 在线段AC 上，BD ∥CE ，AB ＝EC ，DB ＝BC ．求证：AD ＝EB ．【分析】由平行线的性质可得∠A ＝∠EBC ，由“AAS ”可证△ABD ≌△BEC ，可得BD ＝EC ．【解答】证明：∵BD ∥CE ，∴∠ABD ＝∠C ，在△ABD 和△ECB 中，{AB =EC ，∠ABD =∠C ，DB =BC ，∴△ABD ≌△ECB （SAS ），∴AD ＝EB ．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到平行线的性质，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键．42．（2022•益阳）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，CD ∥AB ，DE ⊥AC 于点E ，且CE ＝AB ．求证：△CED ≌△ABC ．【分析】由垂直的定义可知，∠DEC ＝∠B ＝90°，由平行线的性质可得，∠A ＝∠DCE ，进而由ASA 可得结论．【解答】证明：∵DE ⊥AC ，∠B ＝90°，∴∠DEC ＝∠B ＝90°，∵CD ∥AB ，∴∠A ＝∠DCE ，在△CED 和△ABC 中，{∠DCE =∠ACE =AB ∠DEC =∠B，∴△CED ≌△ABC （ASA ）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题基础．43．（2022•长沙）如图，AC 平分∠BAD ，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，垂足分别为B ，D ．（1）求证：△ABC ≌△ADC ；（2）若AB ＝4，CD ＝3，求四边形ABCD 的面积．【分析】（1）由AC 平分∠BAD ，得∠BAC ＝∠DAC ，根据CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，得∠B ＝90°＝∠D ，用AAS 可得△ABC ≌△ADC ；（2）由（1）△ABC ≌△ADC ，得BC ＝CD ＝3，S △ABC ＝S △ADC ，求出S △ABC =12AB •BC ＝6，即可得四边形ABCD 的面积是12．【解答】（1）证明：∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴∠B ＝90°＝∠D ，在△ABC 和△ADC 中，{∠B =∠D∠BAC =∠DAC AC =AC，∴△ABC ≌△ADC （AAS ）；（2）解：由（1）知：△ABC ≌△ADC ，∴BC ＝CD ＝3，S △ABC ＝S △ADC ，∴S △ABC =12AB •BC =12×4×3＝6，∴S △ADC ＝6，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC ＝12，答：四边形ABCD 的面积是12．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．44．（2022•西藏）如图，已知AD 平分∠BAC ，AB ＝AC ．求证：△ABD ≌△ACD ．【分析】由角平分线的定义得∠BAD ＝∠CAD ，再利用SAS 即可证明△ABD ≌△ACD ．【解答】证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，在△ABD 和△ACD 中，{AB =AC∠BAD =∠CAD AD =AD，∴△ABD ≌△ACD （SAS ）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．45．（2022•衡阳）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是BC 边上的点，且BD ＝CE ．求证：AD ＝AE ．【分析】由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE ，可得AD ＝AE ．【解答】证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△ABD 和△ACE 中，{AB =AC∠B =∠C BD =CE，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD ＝AE ．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．46．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAD ＝∠EAC ，∠C ＝50°，求∠D 的大小．【分析】由∠BAD ＝∠EAC 可得∠BAC ＝∠EAD ，根据SAS 可证△BAC ≌△EAD ，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠BAD ＝∠EAC ，∴∠BAD +∠CAD ＝∠EAC +∠CAD ，即∠BAC ＝∠EAD ，在△BAC 与△EAD 中，{AB =AE∠BAC =∠EAD AC =AD，∴△BAC ≌△EAD （SAS ），∴∠D ＝∠C ＝50°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．47．（2022•衢州）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB ＝AD ．【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB ＝∠ACD ，利用ASA 证明△ACB ≌△ACD ，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵∠3＝∠4，∴∠ACB ＝∠ACD ，在△ACB 和△ACD 中，{∠1=∠2AC =AC∠ACB =∠ACD ，∴△ACB ≌△ACD （ASA ），∴AB ＝AD ．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA 证明△ACB ≌△ACD 是解题的关键．48．（2022•福建）如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF ＝EC ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ．求证：∠A ＝∠D ．【分析】利用SAS 证明△ABC ≌△DEF ，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵BF ＝EC ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE ∠B =∠EBC =EF ，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠A ＝∠D ．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS 证明△ABC ≌△DEF 是解题的关键．49．（2022•乐山）如图，B 是线段AC 的中点，AD ∥BE ，BD ∥CE ．求证：△ABD ≌△BCE ．【分析】根据ASA 判定定理直接判定两个三角形全等．【解答】证明：∵点B 为线段AC 的中点，∴AB ＝BC ，∵AD ∥BE ，∴∠A ＝∠EBC ，∵BD ∥CE ，∴∠C ＝∠DBA ，在△ABD 与△BCE 中，{∠A =∠EBCAB =BC ∠DBA =∠C，∴△ABD ≌△BCE ．（ASA ）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．50．（2022•陕西）如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD ＝AB ，DE ∥AB ，∠DCE ＝∠A ．求证：DE ＝BC ．。

《全等三角形》中考专练附答案

《全等三角形》中考专练附答案
【解答】解：∵CF∥AB,
∴∠A＝∠FCE, ∠ADE＝∠F,
在△ADE和△FCE中 ,
∴△ADE≌△CFE〔AAS〕,
∴AD＝CF＝3,
∵AB＝4,
∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1．
应选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质的应用,能判定△ADE≌△FCE是解此题的关键,解题时注意运用全等三角形的对应边相等,对应角相等．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义,证明三角形全等是解题的关键．逸夫中学2021-2021学年八〔下)数学校本作业 ---完全平方公式
在△ABE和△DBE中, ,
∴△ABE≌△DBE〔SAS〕；
〔2〕解：∵∠A＝100°,∠C＝50°,
∴∠ABC＝30°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE＝∠DBE＝ ∠ABC＝15°,
在△ABE中,∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣100°﹣15°＝65°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义,证明三角形全等是解题的关键．
3．〔2021•山东威海•3分〕如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,过点C作CE⊥BC,交AD于点E,连接BE, ∠BEC＝∠DEC,假设AB＝6,那么CD＝3．
【分析】延长BC、AD相交于点F,可证△EBC≌△EFC,可得BC＝CF,那么CD为△ABF的中位线,故CD＝ 可求出．
【解答】解：如图,延长BC、AD相交于点F,
全等三角形
1.〔2021·贵州安顺·3分〕如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加以下一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是〔 〕

天津市河北区中考《全等三角形》复习练习题及答案

天津市河北区中考《全等三角形》复习练习题及答案

中考数学复习专题练习全等三角形一、选择题：1、如图，已知△ABC≌△ADE，∠D=55°，∠AED=76°，则∠C的大小是（）A．50° B．6O° C．76° D．55°2、如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA3、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是( )A．PO B．PQ C．MO D．MQ4、如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（）A. △BPQ是等边三角形B. △PCQ是直角三角形C. APB=150°D. APC=135°5、如图，△ABD≌△ACE，∠AEC=110°，则∠DAE的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°6、如图，点E、F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是（）A．AD∥BC B．DF∥BE C．∠D=∠B D．∠A=∠C7、玻璃三角板摔成三块如图，现在到玻璃店在配一块同样大小的三角板，最省事的方法（）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．609、如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A． B．2 C．5 D．410、如图所示，m∥n，点B，C是直线n上两点，点A是直线m上一点，AB与AC的长不相等，在直线m上另找一点D，使得以点D，B，C为顶点的三角形和△ABC全等，这样的点D（）A．不存在 B．有1个 C．有3个 D．有无数个11、边长为7,24,25的△ABC内有一点P到三边的距离相等，则这个距离是（）A．1 B. 3 C．4 D．612、如图，已知BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④二、填空题：13、如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若△ABC的面积为9，DE=2，AB=5，则AC长是．14、如图,已知△ABC的周长是21,OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,△ABC面积是．15、如图△ABC≌△ADE,BC延长线交DA于F，交DE于G,∠D=25°,∠E=105°,∠DAC=15°,则∠DGB= ．16、如图，方格纸中△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，图中与△ABC全等的格点三角形共有个（不含△ABC）．17、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上点F处，如果∠BAF=60°，则∠DAE= 度．18、如图所示，△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=8cm，BC=6cm，S△ABC=14cm2，则DE的长是 cm．19、如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为．20、如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点F，则∠AFE=______．21、如图，在△ABC中（AB＜BC），在BC上截取BD=BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC，若△ABC的面积为3，则△BPC的面积为．22、如图，在面积为4的等边△ABC的BC边上有一点D，连接AD，以AD为边作等边△ADE，连接BE．则四边形AEBD的面积是．23、如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC于E，若线段AE=5，则S四边形ABCD= ．24、如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有．（把你认为正确的序号都填上）三、简答题:25、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．求证：（1）△BEC≌△CDA；（2）DE=AD﹣BE．26、如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，DF=DC．求证：BF=AC．27、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：DC⊥BE．28、如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．29、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 交 AB于点 E，点 F 在 AC 上，BD=DF.证明：（1）CF=EB;（2）AB=AF+2EB．参考答案1、C.2、D．3、B．4、B.5、B.6、C．7、C．8、B．9、D．10、B．11、B. 12、D．13、答案为：4 14、答案为：31.5．15、答案为：65°16、答案为：7．17、答案为:15．18、答案为：2．19、答案为：60°．20、答案为：60°．21、答案为：．22、答案为：4．23、答案为25．24、答案为：①②③⑤．25、【解答】证明：（1）∵∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△CDA和△BEC中，，∴△CDA≌△BEC（AAS）；（2）∵△CDA≌△BEC，∴CD=BE，CE=AD，∵DE=CE﹣CD，∴DE=AD﹣BE．26、【解答】证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=90°，∠AEF=90°，∵∠AFE+∠CAD+∠AEF=180°，∠FBD+∠BFD+∠BDA=180°，∠AFE=∠BFD，∴∠FBD=∠CAD，在△BDF和△ADC中，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴BF=AC27、解：（1）∵△ABC，△DAE是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE，在△BAE和△DAC中∴△BAE≌△CAD（SAS）．（2）由（1）得△BAE≌△CAD．∴∠DCA=∠B=45°．∵∠BCA=45°，∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°，∴DC⊥BE．28、【解答】解：PE=PF，理由是：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，则∠PME=∠PNF=90°，∵OP平分∠AOB，∴PM=PN，∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中∴△PEM≌△PFN，∴PE=PF．29、证明：（1）∵ AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴ DE=DC．又∵ BD=DF，∴ Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴ CF=EB.（2）∵ AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴△ADC≌△ADE，∴ AC=AE，∴ AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．。

中考数学专题《全等三角形》

中考数学专题《全等三角形》

专题01 全等三角形一、单选题1．（2021·全国）在ABC V 中，B C ∠=∠，与ABC V 全等的三角形有一个角是100︒，那么在ABC V 中与这100︒角对应相等的角是（ ）A ．A ∠B ．BÐC ．C ∠D ．B Ð或C ∠2．（2021·山西襄汾县·七年级期末）如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在直线向右平移到Rt △DEF ，则下列结论中，错误的是（ ）A ．BE EC =B ．BC EF =C ．AC DF =D ．ABC DEF △≌△3．（2021·山西七年级期末）下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．②③4．（2021·哈尔滨市第四十七中学）如图，ABD BAC ∆∆≌，若AD BC =，则BAD ∠的对应角（ ）A ．ADB ∠B ．BCD ∠C ．ABC ∠D ．CDA ∠5．（2021·全国八年级课时练习）如图，,40,30ABD CDB ABD CBD ∠=︒∠=︒V V ≌，则C ∠等于（ ）A ．20︒B ．100︒C ．110︒D ．115︒6．（2021·重庆巴南区·）已知△ABC 的三边的长分别为3，5，7，△DEF 的三边的长分别为3，7，2x ﹣1，若这两个三角形全等，则x 的值是（ ）A ．3B ．5C ．﹣3D ．﹣57．（2021·大连市第三十四中学八年级月考）如图，ABC A B C '''≅V V ，其中36A ∠=︒，24C '∠=︒，则B ∠=（ ）A ．150︒B ．120︒C ．90︒D ．60︒8．（2021·全国七年级课时练习）如图，在ABC V 中，D ，E 分别是边AC ，BC 上的点，若ADB EDB EDC V V V ≌≌，则C ∠的度数为（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30°9．（2021·甘肃榆中县·七年级期末）如图，90A B ∠=∠=︒，6AB =，E 、F 分别为线段AB 和射线BD 上的一点，若点E 从点B 出发向点A 运动，同时点F 从点B 出发向点D 运动，二者速度之比为1:2，运动到某时刻同时停止，在射线AC 上取一点G ，使AEG △与BEF V 全等，则AG 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．2或610．（2021·全国）如图，锐角△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，△ADC ≌△ADC ′，△AEB ≌△AEB ′，且C ′D //EB ′//BC ，BE 、CD 交于点F ，若∠BAC ＝α，∠BFC ＝β，则（ ）A ．2α+β＝180°B ．2β﹣α＝180°C ．α+β＝150°D ．β﹣α＝60°11．（2021·全国八年级课时练习）如图，AOB ADC △≌△，点B 和点C 是对应顶点，90O D ∠=∠=︒，记,,OAD ABO ABC ACB αβ∠=∠=∠=∠，当//BC OA 时，α与β之间的数量关系为（ ）A ．αβ=B ．2αβ=C ．90αβ+=︒D ．2180αβ+=︒12．（2021·河南川汇区·八年级期末）如图，点D ，E ，F 分别在ABC V 的边AB ，BC ，CA 上（不与顶点重合），设BAC α∠=，FED θ∠=．若BED CFE ≌△△，则α，θ满足的关系是（ ）A ．90αθ+=︒B ．2180αθ+=︒C ．90αθ-=︒D ．2180αθ+=︒第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．（2021·吉林铁西区·八年级期中）如图所示，ABC ECD ≌△△，48A ∠=︒，62D ∠=︒，则图中B Ð的度数是______度．14．（2021·全国八年级课时练习）如图，ABE ACD △≌△，且D ∠与E ∠是对应角，顶点C 与顶点B 对应，若10cm BE =，则CD =__________．15．（2021·全国）如图，长方形ABCD 沿AM 折叠，使D 点落在BC 上的N 点处，AD ＝7cm ，DM ＝5cm ，∠DAM ＝39°，则△ANM ≌△ADM ，AN ＝_____cm ，NM ＝_____cm ，∠NAB ＝_______．17．（2021·浙江东阳市·七年级期末）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为3cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为3k cm，宽为2k cm，则（1）裁去的每个小长方形面积为___cm2；（用k的代数式表示）（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍，则正整数k的值为___．18．（2021·山东莱州市·七年级期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于_______．19．（2021·辽宁本溪市·七年级期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝80，点E和点F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，点E和点F运动速度之比为2：3，运动到某时刻点E和点F同时停止运动，在射线AC 上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为________．20．（2021·全国）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．当点Q 的运动速度为________厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD 与△CQP 全等．三、解答题21．（2021·全国八年级课时练习）已知：如图，,8cm,5cm ABC DEF BC EC ==V V ≌，求线段CF 的长．22．（2020·铜陵市第二中学八年级月考）如图，ABF V ≌CDE △，已知30B ∠=︒，25DCF ∠=︒，求EFC ∠的度数．23．（2021·河南邓州市·七年级期末）我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转，这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法，是一种重要而且有效的方法．同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样的一道题目：（1）如图，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．试说明AD ＝BE ；聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法：请你帮小亮把说理过程补充完整．解：∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，（等边三角形的性质）∴∠ACD ＝ （等式的性质）∴△ACD 绕点C 按逆时针方向旋转 度，能够与 重合∴△ACD ≌ （旋转变换的性质）∴AD ＝BE （ ）；（2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：试求∠AEB 的度数．聪明的同学们你会解决吗？请写出你的求解过程．（此题不用写推理依据即可）． 24．（2021·全国八年级课时练习）如图，,ABF CDE B ∠V V ≌和D ∠是对应角，AF 和CE 是对应边．（1）写出ABF V 和CDE △的其他对应角和对应边；（2）若30,40B DCF ∠=︒∠=︒，求EFC ∠的度数；（3）若10,2BD EF ==，求BF 的长．25．（2021·河南伊川县·七年级期末）如图，点A、B、C、D在同一直线上，△ACE≌△DBF，AD ＝8，BC＝2．（1）求AC的长；（2）求证：CE∥BF，AE∥DF．⊥于点B，26．（2021·辽宁铁西区·）如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB BCCE=．BC=，3DEF ABCV V≌，且6（1）求CF的长；（2）判断DE与EF的位置关系，并说明理由．27．（2021·浙江浙江省·八年级期末）如图，已知正方形ABCD 边长为4cm ，动点M 从点C 出发，沿着射线CD 的方向运动，动点P 从点B 出发，沿着射线BC 的方向运动，连结,BM DP ，（1）若动点M 和P 都以每秒2cm 的速度运动，问t 为何值时DPC △和BCM V 全等？（2）若动点P 的速度是每秒3cm ，动点M 的速度是每秒1.5cm 问t 为何值时DPC △和BCM V 全等？28．（2020·浙江浙江省·）在56⨯的方格纸中，每格的边长为1，请按下列要求画图．（1）在图1中画一个格点ADE V ，使ADE V 与ABC V 全等，且所画格点三角形的顶点均不与点B ，C 重合．（2）在图2中画一个面积为7的格点四边形ABCD ，且BAD ∠为锐角．29．（2021·云南盘龙区·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，ABC V 的边BC 在x 轴上，A 、C 两点的坐标分别为()0,A m ，(),0C n ，()5,0B -，且()231230m n -+-=点P 从B 出发，以每秒1个单位的速度沿射线BO 匀速运动，设点P 运动时间为t ．（1）点A 的坐标为 ；点C 的坐标为 ；（2）连接PA ，当POA V 的面积等于ABC V 的面积的一半时，求t 的值；（3）当P 在线段BO 上运动时，在y 轴上是否存在点Q ，使POQ △与AOC △全等？若存在，请直接写出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．30．（2021·江苏姑苏区·苏州草桥中学七年级期末）如图，将一副三角板按如图所示的方式放置，其中ABC V 中，90ACB ∠=︒，45BAC ∠=︒，ADE V 中，90ADE ∠=︒，30DAE ∠=︒，AB AD =，点C 在线段AE 上．射线AB '从AB 出发，绕点A 以5︒/秒的速度顺时针旋转；同时，射线DA '从DA 出发，绕点D 顺时针旋转．设射线AB '运动的时间为t 秒（09t <≤），AB '与BC 交于点M ，DA '与AB '交于点N ．（1）若射线DA '旋转的速度为5︒/秒，则AND ∠=________︒；（2）设射线DA '旋转的速度为x ︒/秒，当射线AB '与DA '旋转到某处时，ABM V 与AND △全等，求相应的t 、x 的值．。

(完整版)全等三角形经典例题(含答案)

(完整版)全等三角形经典例题(含答案)

全等三角形证明题精选一．解答题（共30小题）1．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．4．如图，点O是线段AB和线段CD的中点．（1）求证：△AOD≌△BOC；（2）求证：AD∥BC．5．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．6．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．7．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．9．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．10．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．12．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．13．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．14．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．16．如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数．17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．18．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．19．已知：点A、C、B、D在同一条直线，∠M=∠N，AM=CN．请你添加一个条件，使△ABM≌△CDN，并给出证明．（1）你添加的条件是：；（2）证明：．20．如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．21．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．22．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．23．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：；结论：．（均填写序号）证明：24．如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1．求证：AC=DF．（要求：写出证明过程中的重要依据）25．如图，已知AB=DC，AC=DB．求证：∠1=∠2．26．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点．现有四个条件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是和，命题的结论是和（均填序号）；（2）证明你写出的命题．27．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明．28．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，点E是BC边上的中点．求证：AE=DE．29．如图，给出下列论断：①DE=CE，②∠1=∠2，③∠3=∠4．请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．30．已知：如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F，求证：CE=BF．全等三角形证明题精选参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•连云港）四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．【分析】（1）根据已知条件得到BF=DE，由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵BE=DF，∴BE﹣EF=DF﹣EF，即BF=DE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△ADE与Rt△CBF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CBF；（2）如图，连接AC交BD于O，∵Rt△ADE≌Rt△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2016•曲靖）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．【分析】（1）首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE=∠DEF，进而可得AC∥DE；（2）根据△ABC≌△DFE可得BC=EF，利用等式的性质可得EB=CF，再由BF=13，EC=5进而可得EB的长，然后可得答案．【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS），∴∠ACE=∠DEF，∴AC∥DE；（2）解：∵△ABC≌△DFE，∴BC=EF，∴CB﹣EC=EF﹣EC，∴EB=CF，∵BF=13，EC=5，∴EB==4，∴CB=4+5=9．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．3．（2016•孝感）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．【分析】要证明BE=CD，只要证明AB=AC即可，由条件可以求得△AEC和△ADB全等，从而可以证得结论．【解答】证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠ADB=∠AEC=90°，在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（ASA）∴AB=AC，又∵AD=AE，∴BE=CD．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4．（2016•湘西州）如图，点O是线段AB和线段CD的中点．（1）求证：△AOD≌△BOC；（2）求证：AD∥BC．【分析】（1）由点O是线段AB和线段CD的中点可得出AO=BO，CO=DO，结合对顶角相等，即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△AOD≌△BOC；（2）结合全等三角形的性质可得出∠A=∠B，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出结论．【解答】证明：（1）∵点O是线段AB和线段CD的中点，∴AO=BO，CO=DO．在△AOD和△BOC中，有，∴△AOD≌△BOC（SAS）．（2）∵△AOD≌△BOC，∴∠A=∠B，∴AD∥BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理，解题的关键是：（1）利用SAS证出△AOD≌△BOC；（2）找出∠A=∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等，结合全等三角形的性质找出相等的角，再依据平行线的判定定理证出两直线平行即可．5．（2016•云南）如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．【分析】根据全等三角形的判定方法SAS，即可证明△ABC≌△CDE，根据全等三角形的性质：得出结论．【解答】证明：∵点C是AE的中点，∴AC=CE，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE，∴∠B=∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形还有HL．6．（2016•宁德）如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．【分析】根据平行线的性质找出∠ADE=∠BAC，借助全等三角形的判定定理ASA证出△ADE≌△BAC，由此即可得出AE=BC．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAC．在△ADE和△BAC中，，∴△ADE≌△BAC（ASA），∴AE=BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．7．（2016•十堰）如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．【分析】欲证明AF=DF只要证明△ABF≌△DEF即可解决问题．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠FED，在△ABF和△DEF中，，∴△ABF≌△DEF，∴AF=DF．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判断和性质，熟练掌握平行线的性质，属于基础题，中考常考题型．8．（2016•武汉）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．【分析】证明它们所在的三角形全等即可．根据等式的性质可得BC=EF．运用SSS证明△ABC与△DEF全等．【解答】证明：∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ABC=∠DEF，∴AB∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等．9．（2016•昆明）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，再根据全等三角形的判定定理AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案．【解答】证明：∵FC∥AB，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AE=CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解题的关键．10．（2016•衡阳）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．【分析】求出AD=BC，根据ASA推出△AED≌△BFC，根据全等三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，∴AD=BC，在△AED和△BFC中，，∴△AED≌△BFC（ASA），∴DE=CF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△AED≌△BFC是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等．11．（2016•重庆）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．【分析】根据CE∥DF，可得∠ACE=∠D，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵CE∥DF，∴∠ACE=∠D，在△ACE和△FDB中，，∴△ACE≌△FDB（SAS），∴AE=FB．【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．12．（2016•南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；（2）证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM，由（1）得：△ABD≌△ACE，∴∠B=∠C，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M=∠N．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．13．（2016•恩施州）如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．【分析】通过全等三角形（Rt△CBE≌Rt△BCD）的对应角相等得到∠ECB=∠DBC，则AB=AC．【解答】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CEB=∠BDC=90°．∵在Rt△CBE与Rt△BCD中，，∴Rt△CBE≌Rt△BCD（HL），∴∠ECB=∠DBC，∴AB=AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．14．（2016•重庆）如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ECD，再利用“边角边”证明△ABC和△CED全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（SAS），∴∠B=∠E．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出两边的夹角是解题的关键．15．（2016•湖北襄阳）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．【分析】（1）先证明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可证明．（2）先证明AD⊥BC，再在RT△ADC中，利用30°角性质设CD=a，AC=2a，根据勾股定理列出方程即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，在RT△DEB和RT△DFC中，，∴△DEB≌△DFC，∴∠B=∠C，∴AB=AC．（2）∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2，∠DAC=30°，∴AC=2CD，设CD=a，则AC=2a，∵AC2=AD2+CD2，∴4a2=a2+（2）2，∵a＞0，∴a=2，∴AC=2a=4．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30°性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，属于中考常考题型．16．（2016•吉安校级一模）如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数．【分析】根据全等三角形的性质得到CD=AF，证明∴△DGC≌△AGF，根据全等三角形的性质和角平分线的判定得到∠CBG=∠FBG，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∴BC=BF，BD=BA，∴CD=AF，在△DGC和△AGF中，，∴△DGC≌△AGF，∴GC=GF，又∠ACB=∠DFB=90°，∴∠CBG=∠FBG，∴∠GBF=（90°﹣28°）÷2=31°．【点评】本题考查的是全等三角形的性质角平分线的判定，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．17．（2016•武汉校级四模）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．【分析】由垂直的定义可得到∠C=∠D，结合条件和公共边，可证得结论．【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90，在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴△ACB≌△BDA（HL）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．18．（2016•济宁二模）已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．【分析】求出BC=FE，∠ACB=∠DFE，根据SAS推出全等即可．【解答】证明：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=FE，∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．19．（2016•诏安县校级模拟）已知：点A、C、B、D在同一条直线，∠M=∠N，AM=CN．请你添加一个条件，使△ABM≌△CDN，并给出证明．（1）你添加的条件是：∠MAB=∠NCD；（2）证明：在△ABM和△CDN中∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD∴△ABM≌△CDN（ASA）．．【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL，所以可添加条件为∠MAB=∠NCD，或BM=DN或∠ABM=∠CDN．【解答】解：（1）你添加的条件是：①∠MAB=∠NCD；（2）证明：在△ABM和△CDN中∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD∴△ABM≌△CDN（ASA），故答案为：∠MAB=∠NCD；在△ABM和△CDN中∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD∴△ABM≌△CDN（ASA）．【点评】本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．20．（2016•屏东县校级模拟）如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．【分析】要证∠B=∠C，可利用判定两个三角形全等的方法“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”证△ABE≌△ACD，然后由全等三角形对应边相等得出．【解答】证明：在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C．【点评】本题主要考查了两个三角形全等的其中一种判定方法，即“边角边”判定方法．观察出公共角∠A是解决本题的关键．21．（2016•沛县校级一模）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．【分析】易证△BED≌△CFD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题．【解答】解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE=CF．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键．22．（2016•福州）一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，有，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．23．（2012•漳州）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E 在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：可以为①②③；结论：④．（均填写序号）证明：【分析】此题可以分成三种情况：情况一：题设：①②③；结论：④，可以利用SAS定理证明△ABC≌△DEF；情况二：题设：①③④；结论：②，可以利用AAS证明△ABC ≌△DEF；情况三：题设：②③④；结论：①，可以利用ASA证明△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的性质可推出结论．【解答】情况一：题设：①②③；结论：④．证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠1=∠2；情况二：题设：①③④；结论：②．证明：在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC=EF，∴BC﹣FC=EF﹣FC，即BF=EC；情况三：题设：②③④；结论：①．证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，此题为开放性题目，需要同学们有较强的综合能力，熟练应用全等三角形的全等判定才能正确解答．24．（2009•大连）如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1．求证：AC=DF．（要求：写出证明过程中的重要依据）【分析】因为BE=CF，利用等量加等量和相等，可证出BC=EF，再证明△ABC≌△DEF，从而得出AC=DF．【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC（等量加等量和相等）．即BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠1，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．∴AC=DF（全等三角形对应边相等）．【点评】解决本题要熟练运用三角形的判定和性质．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．25．（2006•平凉）如图，已知AB=DC，AC=DB．求证：∠1=∠2．【分析】探究思路：因为△ABO与△DCO有一对对顶角，要证∠1=∠2，只要证明∠A=∠D，把问题转化为证明△ABC≌△DCB，再围绕全等找条件．【解答】证明：在△ABC和△DCB中∵，∴△ABC≌△DCB．∴∠A=∠D．又∵∠AOB=∠DOC，∴∠1=∠2．【点评】本题是全等三角形的判定，性质的综合运用，可以由探究题目的结论出发，找全等三角形，再寻找判定全等的条件．26．（2006•佛山）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点．现有四个条件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是①和③，命题的结论是②和④（均填序号）；（2）证明你写出的命题．【分析】本题实际是考查全等三角形的判定，根据条件可看出主要是围绕三角形ABE和ACD 全等来求解的．已经有了一个公共角∠A，只要再知道一组对应角和一组对应边相等即可得出三角形全等的结论．可根据这个思路来进行选择和证明．【解答】解：（1）命题的条件是①和③，命题的结论是②和④．（2）已知：D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且AB=AC，∠ABE=∠ACD．求证：OB=OC，BE=CD．证明如下：∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，∠BAC=∠CAB，∴△ABE≌△ACD．∴BE=CD．又∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=∠ABC﹣∠ABE=∠CBE，∴△BOC是等腰三角形．∴OB=OC．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，要注意的是AAA和SSA是不能判定三角形全等的．27．（2005•安徽）如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明．【分析】本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏．【解答】解：此图中有三对全等三角形．分别是：△ABF≌△DEC、△ABC≌△DEF、△BCF≌△EFC．证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D．又∵AB=DE、AF=DC，∴△ABF≌△DEC．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．28．（2004•昆明）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，点E是BC边上的中点．求证：AE=DE．【分析】利用已知条件易证△AEB≌△DEC，从而得出AE=DE．【解答】证明：∵AD∥BC，∠B=∠C，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，在△AEB与△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（SAS），∴AE=DE．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．29．（2004•淮安）如图，给出下列论断：①DE=CE，②∠1=∠2，③∠3=∠4．请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．【分析】可以有三个真命题：（1）②③⇒①，可由ASA证得△ADE≌△BCE，所以DE=EC；（2）①③⇒②，可由SAS证得△ADE≌△BCE，所以∠1=∠2；（3）①②⇒⑧，可由ASA证得△ADE≌△BCE，所以AE=BF，∠3=∠4．【解答】解：②③⇒①证明如下：∵∠3=∠4，∴EA=EB．在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE．∴DE=EC．①③⇒②证明如下：∵∠3=∠4，∴EA=EB，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE，∴∠1=∠2．①②⇒⑧证明如下：在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE．∴AE=BE，∠3=∠4．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；题目是一道开放型的问题，选择有多种，可以采用多次尝试法，证明时要选择较为简单的进行证明．30．（2011•通州区一模）已知：如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F，求证：CE=BF．【分析】根据AE⊥CD，BF⊥CD，求证∠BCF+∠B=90°，可得∠ACF=∠B，再利用（AAS）求证△BCF≌△CAE即可．【解答】证明：∵AE⊥CD，BF⊥CD∴∠AEC=∠BFC=90°∴∠BCF+∠B=90°∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACF=90°∴∠ACF=∠B在△BCF和△CAE中∴△BCF≌△CAE（AAS）∴CE=BF．【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质这一知识点，解答此题的关键是利用（AAS）求证△BCF≌△CAE，要求学生应熟练掌握．。

全等三角形证明中考题精选(有答案)

全等三角形证明中考题精选(有答案)

新人教版八年级上学期全等三角形证明题一．解答题（共10小题）1．（泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：BE=CF．2．（河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是_________；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA 上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．3．（大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．4．（阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．5．（仙桃）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE 绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：（1）若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是_________；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；（2）若AB=k•AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN 与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．6．（四川）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE_________CF；EF_________|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．7．（绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD 特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）8．（常德）如图，已知AB=AC，（1）若CE=BD，求证：GE=GD；（2）若CE=m•BD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系．（只写结论，不证明）9．（泰安）（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为_________；∠APB的大小为_________；（3）如图③，在△AOB和△COD中，若OA=k•OB，OC=k•OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为_________；∠APB的大小为10．（南宁）（A类）如图，DE⊥AB、DF⊥AC．垂足分别为E、F．请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．①AB=AC；②BD=CD；③BE=CF已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=AC，BD=CD求证：BE=CF已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=AC，BE=CF求证：BD=CD已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，BD=CD，BE=CF求证：AB=AC（B类）如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．①AB=AC；②DE=DF；③BE=CF已知：EG∥AF，AB=AC，DE=DF求证：BE=CF新人教版八年级上学期全等三角形证明题参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：BE=CF．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据中线的定义可得BD=CD，然后利用“角角边”证明△BDE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．解答：证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BE=CF．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．2．（河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA 上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．考点：全等三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BE，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN 和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE 中求出BE的长，即可得解．解答：解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：DE∥AC；S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF=S△BDE，过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=2÷=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．3．（大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）在△CBF和△DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解．解答：（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，又∵∠CFB=∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．4．（阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．考点：全等三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）①BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；②BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE 于H）BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°；（2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论成立了，所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适．解答：解：（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE；②结论：BD=CE，BD⊥CE…1分理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1分在△ABD与△ACE中，∵∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE…1分延长BD交AC于F，交CE于H．在△ABF与△HCF中，∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC∴∠CHF=∠BAF=90°∴BD⊥CE…3分（2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°…2分点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作为判定三角形全等的定理．注意：在全等的判定中，没有AAA（角角角）和SSA（边边角）（特例：直角三角形为HL，因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确定，属于SSS），因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状；另外三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形也全等．5．（仙桃）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE 绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：（1）若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；（2）若AB=k•AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN 与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．考点：全等三角形的判定．专题：压轴题；探究型．分析：（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．（2）直接类比（1）中结果可知AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．解答：解：（1）①BD=CE；②AM=AN，∠MAN=∠BAC，∵∠DAE=∠BAC，∴∠CAE=∠BAD，在△BAD和△CAE中∵∴△CAE≌△BAD（SAS），∴∠ACE=∠ABD，∵DM=BD，EN=CE，∴BM=CN，在△ABM和△ACN中，∵∴△ABM≌△ACN（SAS），∴AM=AN，∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC；（2）AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．点评：本题考查三角形全等的判定方法和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目．6．（台州）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE=CF；EF=|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠α+∠BCA=180°，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．考点：直角三角形全等的判定；三角形内角和定理．专题：几何综合题；压轴题．分析：由题意推出∠CBE=∠ACF，再由AAS定理证△BCE≌△CAF，继而得答案．解答：解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|BE﹣AF|．②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．∵∠BCA=180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，∴∠CBE=∠ACF，又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE=CF，CE=AF，又∵EF=CF﹣CE，∴EF=|BE﹣AF|．（2）EF=BE+AF．点评：本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识．注意对三角形全等，相似的综合应用．7．（绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD 特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）考点：直角三角形全等的判定．专题：证明题；压轴题；开放型．分析：（1）如果：“∠B=∠D”，根据∠B与∠D互补，那么∠B=∠D=90°，又因为∠DAC=∠BAC=30°，因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=AC，那么AD+AB=AC．（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件．根据AAS可证两三角形全等，DF=BE．然后按照（1）的解法进行计算即可．解答：证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B=∠D，∴∠B=∠D=90°，∠CAD=∠CAB=∠DAB=30°，∵在△ADC中，cos30°=，在△ABC中，cos30°=，∴AB=AC，AD=．∴AB+AD=．（2）由（1）知，AE+AF=AC，∵AC为角平分线，CF⊥CD，CE⊥AB，∴CE=CF．而∠ABC与∠D互补，∠ABC与∠CBE也互补，∴∠D=∠CBE．∵在Rt△CDF与Rt△CBE中，∴Rt△CDF≌Rt△CBE．∴DF=BE．∴AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=AC．点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键．8．（常德）如图，已知AB=AC，（1）若CE=BD，求证：GE=GD；（2）若CE=m•BD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系．（只写结论，不证明）考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题；探究型．分析：（1）要证GE=GD，需证△GDF≌△GEC，由已知条件可根据AAS判定．（2）若CE=m•BD（m为正数），那么GE=m•GD．解答：证明：（1）过D作DF∥CE，交BC于F，则∠E=∠GDF．∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC∵DF∥CE，∴∠DFB=∠ACB，∴∠DFB=∠ACB=∠ABC．∴DF=DB．∵CE=BD，∴DF=CE，在△GDF和△GEC中，，∴△GDF≌△GEC（AAS）．∴GE=GD．（2）GE=m•GD．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．本题的辅助线是解决题目的关键．9．（泰安）（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为AC=BD；∠APB的大小为α；（3）如图③，在△AOB和△COD中，若OA=k•OB，OC=k•OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为AC=k•BD；∠APB的大小为180°﹣α．考点：全等三角形的判定；三角形内角和定理．专题：探究型．分析：（1）分析结论AC=BD可知，需要证明△AOC≌△BOD，围绕这个目标找全等的条件；（2）与图①比较，图形条件发生了变化，仍然可以证明△AOC≌△BOD，方法类似；（3）转化为证明△AOC∽△BOD．解答：解：（1）①∵∠AOB=∠COD=60°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC．即：∠AOC=∠BOD．又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD．∴AC=BD．②由①得：∠OAC=∠OBD，∵∠AEO=∠PEB，∠APB=180°﹣（∠BEP+∠OBD），∠AOB=180°﹣（∠OAC+∠AEO），∴∠APB=∠AOB=60°．（2）AC=BD，α（3）AC=k•BD，180°﹣α．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．10．（南宁）（A类）如图，DE⊥AB、DF⊥AC．垂足分别为E、F．请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．①AB=AC；②BD=CD；③BE=CF已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=AC，BD=CD求证：BE=CF已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=AC，BE=CF求证：BD=CD已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，BD=CD，BE=CF求证：AB=AC（B类）如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．①AB=AC；②DE=DF；③BE=CF已知：EG∥AF，AB=AC，DE=DF求证：BE=CF友情提醒：若两题都做的同学，请你确认以哪类题记分，你的选择是A类类题．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；开放型．分析：本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，对应三角形全等条件求解；再根据全等三角形的性质得出结论．解答：解：（A类）已知：…，AB=AC，BD=CD求证：BE=CF．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．在△BDE和△CDF中∴△BDE≌△CDF．∴BE=CF．已知：…，AB=AC，DE=DF，求证：BE=CF．证明：∵EG∥AF，∴∠GED=∠F，∠BGE=∠BCA．∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，∴∠B=∠BGE，∴BE=EG．在△DEG和△DFC中∴△DEG≌△DFC，∴EG=CF，∴BE=CF．点评：这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种．同时还考查了全等三角形的性质．。

2024河南中考数学真题分类卷 第十四讲 全等三角形 (含答案)

2024河南中考数学真题分类卷 第十四讲 全等三角形 (含答案)

2024河南中考数学真题分类卷第十四讲全等三角形命题点1全等三角形的判定与性质类型一平移型1.(2023益阳)如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C 作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为()第1题图A.5B.4C.3D.22.(2023乐山)如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE.求证：△ABD≌△BCE.第2题图3.(2023柳州)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF.有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE.(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF.你选取的条件为(填写序号)________(只需选一个条件，多选不得分)，你判定△ABC≌△DEF 的依据是________(填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”)；(2)利用(1)的结论△ABC≌△DEF.求证：AB∥DE.第3题图类型二轴对称型4.(2023金华)如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是()第4题图A.SSSB.SASC.AASD.HL5.(2023云南)如图，OB平分∠AOC，D，E，F分别是射线OA，射线OB，射线OC上的点，D，E，F与O点都不重合，连接ED，EF.若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE.你认为要添加的那个条件是()第5题图A.OD＝OEB.OE＝OFC.∠ODE＝∠OEDD.∠ODE＝∠OFE6.(2023兰州)如图①是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图②所示，AB＝AE，AC ＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．第6题图7.(2023衡阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，且BD＝CE.求证：AD ＝AE.第7题图8.(2023南充)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF 分别与AC交于点M，N.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)ME＝NF.第8题图类型三旋转型考向1共顶点旋转9.(2022宜宾)如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BO D.求证：△AOB≌△CO D.第9题图10.(2020徐州)如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F.(1)求证：AE＝BD；(2)求∠AFD的度数．第10题图11.(2022北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE.(1)比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；(2)过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．第11题图考向2不共顶点旋转12.(2023成都)如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC ＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是()第12题图A.BC＝DEB.AE＝DBC.∠A＝∠DEFD.∠ABC＝∠D源自北师七下P94第12题13.(2023青岛)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°.(1)求证：△ABF≌△CDE；(2)连接AE，CF，已知________(从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号)，请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．条件①：∠ABD＝30°；条件②：AB＝B C.(注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分)第13题图类型四三垂直型14.(2022陕西)如图，AB，BC，CD，DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A，C，E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度为()第14题图A.6cmB.7cmC.62cmD.8cm15.(2023益阳)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝A B.求证：△CED≌△AB C.第15题图16.(2023恩施州)如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG 于点E，DF⊥CE于点F.求证：DF＝BE＋EF.第16题图其他类型17.(2023包头)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边上一点，且BD＝BC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E(异于点C)，连接DE，则BE的长为________．第17题图18.(2023陕西)如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A.求证：DE＝B C.第18题图19.(2020温州)如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE.(1)求证：△ABC≌△DCE；(2)连接AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．第19题图命题点2全等三角形的实际应用20.(2023扬州)如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据．配出来的玻璃不一定．．．符合要求的是()第20题图A.AB，BC，CAB.AB，BC，∠BC.AB，AC，∠BD.∠A，∠B，BC21.(2022柳州)如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA,连接BC并延长到点E，使CE＝CB,连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．证明：在△DEC和△ABC中，，∴△DEC≌△ABC(SAS)，∴________．第21题图参考答案与解析1.C【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠A＝∠CBF，∵DE∥CF，∴∠DEA＝∠CFB，∴△ADE≌△BCF(AAS)，∴BF＝AE＝3.2.证明：∵AD∥BE，BD∥CE，∴∠A＝∠EBC，∠DBA＝∠C，∵B是线段AC的中点，∴AB＝BC，在△ABD和△BCE中，A＝∠EBC＝BCDBA＝∠C，∴△ABD≌△BCE(ASA).3.(1)解：①，SSS或②，SAS；(2)证明：由△ABC≌△DEF得∠BAC＝∠EDF，∵点A，D，C，F在同一条直线上，∴AB∥DE(同位角相等，两直线平行).4.B【解析】在△ABO与△DCO＝ODAOB＝∠DOC＝OC，∴△ABO≌△DCO(SAS).5.D【解析】由题意得：∠AOB＝∠BOC，OE＝OE，若使△DOE≌△FOE，则需OD＝OF或除已知外的一组对应角相等即可．根据选项可知∠ODE＝∠OFE.6.解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD＋∠DAC＝∠EAC＋∠DAC，∴∠BAC＝∠EAD.在△ABC和△AED ＝AEBAC＝∠EAD＝AD，∴△ABC≌△AED(SAS).∴∠C＝∠D＝50°.7.证明：∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，又∵BD＝CE，∴在△ABD和△ACE ＝ACB＝∠C＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE.8.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC＝AB＝CB，∠DAE＝∠DCF，又∵BE＝BF，∴AB－BE＝CB－BF，∴AE＝CF，在△ADE和△CDF中，＝CDDAE＝∠DCF＝CF，∴△ADE≌△CDF(SAS)；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB＝∠DCB，AC平分∠DAB，∠DCB，∴∠EAM＝∠FCN，又∵△ADE≌△CDF，∴∠AEM＝∠CFN，又∵AE＝CF，∴△MAE≌△NCF，∴ME＝NF.9.证明：∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC－∠AOD＝∠BOD－∠AOD，∴∠DOC＝∠BOA.在△AOB和△COD中，＝OC，BOA＝∠DOC＝OD∴△AOB≌△COD(SAS).10.(1)证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，＝BC，ACE＝∠BCD＝CD∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD；(2)解：如解图，设BC与AE交于点N，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ANC＝90°，∵△ACE≌△BCD，∴∠A＝∠B，∵∠ANC＝∠BNF，∴∠B＋∠BNF＝∠A＋∠ANC＝90°，∴∠AFD＝∠B＋∠BNF＝90°.第10题解图11.解：(1)∠BAE＝∠CAD，BM＝BE＋MD.证明：由旋转的性质得，∠DAE＝α，AE＝AD，∵∠BAC＝α，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠BAE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD，∴∠BAE＝∠CAD.∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴BE＝CD.∵M是BC的中点，∴BM＝CM＝CD＋MD＝BE＋MD；(2)NE＝ND.证明：如解图，连接AM、AN，∵AB＝AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC，即∠AMB＝∠AMC＝90°，∴∠AMN＋∠BMN＝90°.∵MN⊥AB，∴∠ABC＋∠BMN＝90°，∴∠AMN＝∠ABC.∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，∴∠ABC＝∠ADE，∴∠AMN＝∠ADN，∴A、D、M、N四点共圆，∴∠AND＝∠AMD＝90°.∵AD＝AE，∴NE＝ND.第11题解图12.B13.(1)证明：∵BE＝FD，∴BE＋EF＝FD＋EF，即BF ＝DE .∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CDE .在△ABF 和△CDE BAF ＝∠DCEABF ＝∠CDE ＝DE，∴△ABF ≌△CDE (AAS)；(2)解：若选择条件①：四边形AECF 是菱形，证明：如解图①，由(1)可知△ABF ≌△CDE ，第13题解图①∴AF ＝CE ，∠AFB ＝∠CED ，∴AF ∥CE ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵∠BAF ＝90°，∠ABD ＝30°，∴AF ＝12BF ，∵BE ＝EF ，∵AE 为△ABF 的中线，∴AE ＝12AF ，∴AE ＝AF ，∴平行四边形AECF 是菱形．若选择条件②：四边形AECF 是菱形．证明：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，第13题解图②由(1)可知△ABF ≌△CDE ，∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，∴AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．∴AO＝CO.∵AB＝BC，∴BO⊥AC，即EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形．14.D【解析】如解图，分别过点B、D作BF⊥AC于点F，DG⊥CE于点G，∴∠BFC＝∠CGD＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.∵CD⊥BC，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.∵AB＝BC＝CD＝5，AC＝6，∴CF＝3，△BCF≌△CDG，∴CG＝BF＝BC2－CF2＝4，∴CE＝8.第14题解图15.证明：∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠A，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝∠B＝90°，∵CE＝AB，∴△CED≌△ABC(ASA).16.证明：∵CE⊥BG，DF⊥CE，∴∠BEC＝∠CFD＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCE＋∠DCF＝90°，BC＝CD，∴∠EBC＝∠FCD，在△EBC和△FCD中，BEC＝∠CFD＝90°，EBC＝∠FCD＝CD∴△EBC≌△FCD，∴BE＝CF，CE＝DF，∴CE＝CF＋EF＝BE＋EF，∴DF＝BE＋EF.17.32－3【解析】∵AC＝BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝32，∠A＝∠B，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠DCB，∵DC＝DE，∴∠DCB＝∠DEC，∴∠BDC＝∠DEC，∴∠ADC＝∠DEB，∴△ADC≌△BED(AAS)，∴AD＝BE＝AB－DB＝AB－BC＝32－3.18.证明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B.又∵CD＝AB，∠DCE＝∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA).∴DE＝BC.19.(1)证明：∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠D，又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，∴△ABC≌△DCE(AAS)；(2)解：由(1)得CE＝BC＝5，∵∠ACE＝90°，AC＝12，∴AE＝AC2＋CE2＝144＋25＝13.20.C【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A 已知AB，BC，CA，根据SSS，得到三角形与原三角形全等√B 已知∠B是AB，BC的夹角，根据SAS，得到三角形与原三角形全等√C 已知∠B不是AB，AC的夹角，无法得到三角形与原三角形全等×D 已知∠A，∠B，BC，根据AAS，得到三角形与原三角形全等√21.解：CA，∠DCE＝∠ACB，CB，DE＝AB.。

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全等三角形2016中考试题
一、选择题
1、（2016厦门）如图1，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（） A．∠B B．∠A C．∠
E M
F D．∠AF B
2、（2016金华）如图，已知=
∠∠，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD
ABC BAD
的是（ )A. AC=BD B.∠CAB＝∠DBA C.∠C＝∠D=AD
3、（2016黔西南州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）
4、（2015义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。

此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE。

则说明这两个三角形全等的依据是（）
A. SAS
B. ASA
C. AAS
D. SSS
5、（2016德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65° B．60°C．55°D．45°
6、（2016南充）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点,
下列说法错误的是（）A．AM=BMB．AP=BN C．∠MAP=∠MBPD．∠ANMP=∠BNM
7、（2016聊城）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（）A．115° B．120°C．130° D．140°
8、（2016厦门）已知△ABC的周长是l，BC＝l－2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（）A．△ABC的边AB的垂直平分线 B．∠ACB的平分线所在的直线C．△ABC的边BC上的中线所在的直线 D．△ABC的边AC 上的高所在的直线
9、（2016黄冈）在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以
看作轴对称图形的是
A B C D
10、（2016邵阳）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．
11、（2016呼伦贝尔）将点A（3，2）向左平移4个单位长度得点A′，则点A′关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣3，2）B．（﹣1，2） C．（1，﹣2）D．（1，2）
二、填空题、
1、（2016成都）如图，△ABC≌△'''
A B C，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B=___°.
2、（2016济宁）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB．
3、（2016南京）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下
列结论
①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC，其中正确结论的序号是_______.
4、如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为．
5、（2016六盘水）我们知道：“两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”．但是，小亮发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等，除小亮的发现之外，当这两个三角形都是钝角三角形或直角三角形时，它们也会全等；当这两个三角形其中一个三角形是锐角三角形，另一个是钝角三角形时，它们一定不全等．
6、（2016赤峰）下列图表是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是（填序号）
三、解答题
1、（2016泉州）如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，0
∠DCE
ACB，点
=
=
90
∠
E在AB上。

求证：△CDA≌△CEB
2、（2016曲靖）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；
（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．
3（2016怀化）如图，已知AD=BC，AC=BD．
（1）求证：△ADB≌△BCA；
（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．
4、（2016南充）已知ΔABN和ΔACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.
(1)求证：BD=CE；
(2)求证：∠M=∠N.
5、（2016孝感）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．
6、（2016铜仁）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF,点E，
F分别在AC，BC上，求证：DE=DF.
7、（216宜昌）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB=20米，请根据上述信息求标语CD的长度．。

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