直角三角形知识点及复习

直角三角形知识点
一、直角三角形的性质
1、Rt △的两个锐角互余（∠A+∠B=90°）
2、斜边上的中线等于斜边的一半（若D 为斜边AB 的中点，则CD ＝12
AB ） 3、30°角所对直角边等于斜边的一半（若∠A ＝30°，∠C=90°，CB=12AB ）
4、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方（若∠C=90°，则222a b c +=） 二、直角三角形的判定
1、有两个锐角互余的△是直角三角形。

2、如果一个三角形中，一条边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角为90°
3、勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足222a b c +=，则∠C ＝90°。

用法：（1）选出最大边；（2）计算较小两边的平方和；（3）比较最大边的平方与较小两边的平方和；（4）如果两者相等，则最大边所对的角为直角。

三、常用几个结论：
（1）
（2）直角三角形斜边上的高＝两直角边乘积除以斜边。

公式为c ab h c
=
（3）常见的勾股数： （3k ，4k ，5k ）（5k ，12k ，13k ）（7k ，24k ，25k ）（8k ，15k ，17k ）（9k ，40k ，41k ）
（4）在求曲面上的最短距离时，先把曲面展开成平面图形，画出起点到终点的线段，就是最短距离，一般需要用到勾股定理。

（1）蚂蚁沿着圆柱表面爬行，最短距离
例1 如图1有一个圆柱,它的高等于12cm ,底面周长为10cm ，在圆柱的下底面A 点上有一只蚂蚁，他想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是多少?
分析：可以把圆柱的侧面展开，其展开图为矩形，如图3所示。

连接AC ，则AC 即为小
虫爬行的最短路线，可用勾股定理求得其长。

300x 2x
3x 45
0x 2x
x
图1 图2 半周长
解：①若沿着曲面走，则：AB=12
×10=5，BC=12，所以AC=2251213+=
②若走折线A=>D=>C ，则AC+DC=12+10
π
∵12+
10
π
>13 ∴最短路程为13cm 。

一般情况：①走曲面221()l r h π=+，②走折线22l r h =+，只需比较这两者的大小即可。

变式1如图2，已知圆柱体底面圆的半径为π
2
，高为2，AB 、CD 分别是两底面的直径。

若一只小虫从A 点出发，一直沿侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是
____________________。

（结果保留根式）22
变式2如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度。

解：如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点S ，F 各自所在的母线为矩形的一组对边，上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边。

该矩形上的线段SF 即为所求的最短路线。

过点S 作点F 所在母线的垂线，得到SEF Rt ∆。

)(34)1118(3022cm SF =--+=。

（2）蚂蚁沿着长方体表面爬行，最短距离
例2 如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A 爬到点1C ，需要爬行的最短距离是多少？
A B C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
a
b
c
P 1
P 2P 3
分析：假设长方体的长宽高为a b c 、、，则可能有三条路径：
①22111=AP C ()l a b c =++，②22221=AP C ()l a b c =++ ③ 22331=AP C ()l a c b =++ 然后比较三者大小。

变式1：如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B 到点C 的距离是5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是多少？（课本P29,12）
A
B
C
变式2：一只蚂蚁欲爬一棵3米高的树，树的直径为1米，若蚂蚁绕着树爬了三圈到达树顶，（1）求蚂蚁爬行的最短距离。

（2）若爬n 圈到达树顶呢？
〖解析〗因树为圆柱形，蚂蚁在树的表面上爬行，所以本题应该先分析蚂蚁的爬行路线，将圆柱形展开，所以蚂蚁的爬行路线如图二所示：A →C →D →B 且AC=CD=BD ，从图
中可以知道，AM 为圆柱的底面圆的周长，CM 的长为1，AC==，
所以蚂蚁行走的最短距离为3。

或者用下图（n 圈类推），
22222(3)331AC BC ππ+=+=+
A
变式4：一个台阶如图，阶梯每一层高20cm ，宽40cm ，长50cm ，一只蚂蚁从A 点爬到B
点，最短的路程是多少？
解答：按照直棱柱的表面展开图知识，最短距离为
()()cm AB 13040204020502
2=++++=
但
在我们作业中却出现了
()()5405020204040502
2+=++++
=AB （cm ）
《1.勾股定理》复习学习路线图
一、温故知新 勾股定理： 勾股定理的逆定理：
二、示例
类型一 已知两边求第三边
例1．在直角三角形中,若两边长分别为1cm ，2cm ，则第三边长为_____________． 类型二 构造Rt △，求线段的长
例2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，求EB 的长． C
P
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
B
A
例3．如图，P 为边长为2的正方形ABCD 对角线AC 上一动点，E 为AD 边中点，求EP+DP 最小值。

5040
40
20
20B
A
c
b a C B A
例4、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是_________dm.
类型三 判别一个三角形是否是直角三角形
例5、如图，正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且CE=1
4BC ．你能说明
∠AFE 是直角吗？ F
E D C B A
类型四 实际运用
例6、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭。

近日，A 城气象局测得沙尘暴中心在A 城的正西方向240km 的B 处，以每时12km 的速度向北偏东 60度方向移动（如图），距沙尘暴中心150km 的范围为受影响区域。

①A 城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？②若A 城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？
东
西
北
A
B
类型五、拼图
例6、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则1234S S S S +++＝_______．
练习：
1、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．
2、如图4为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?
5米
3米
3、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？
A
B
l
321S 4S 3S 2S 1
A B C D E
F 9米
12米
4、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm
5、在直角△ABC 中，斜边长为2，周长为6，求△ABC 的面积．
6、 如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落立离旗杆底部12米处，旗杆折断之
前有多高？
7、 在下图中，BC 长为3厘米，AB 长为4厘米，AF 为12厘米，求正方形CDEF 的面积。

8、 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？ 9、小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度．
10、点A 是一个为半径300m 的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，在BC 两个村庄之间修一条长1000m 的笔直公路将两村连通，经测量得∠ABC=45°，∠ACB=30°，问次公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。

A
B C D
C B A
11、如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，其中，BC=6，AD ＝4，AB ＝5，．求证：
AB ＝AC 。

12、如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，则不难证明123S S S =+. (1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，那么1S 、2S 、3S 之间有什么关系？(不必证明) (2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，请你确定
1S 、2S 、3S 之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向
外作三个正多边形，其面积分别用1S 、
2S 、3S 表示，请你猜想1S 、2S 、3S 之间的关系?.
用勾股定理解题应注意的几个问题
一、注意分清直角边和斜边
1、在Rt △ABC 中，a=8㎝，b=10㎝，90B ∠=，求第三边长c ．
二、注意定理的应用条件
2 、已知△ABC 中，三边长a 、b 、c 为整数，其中a=3㎝，b=4㎝，求第三边c 的长．
三、注意定理和逆定理的区别（语言的叙述）
3、判断下列三条线断能否构成直角三角形：a=3、b=
4、c=5．
四、注意分类讨论
4、在Rt ABC 中，已知两边长为3、4，（1）求第三边的长．（2）求斜边上的高。

5、已知在△ABC 中，AB=4，AC=3，BC 边上的高等于2.4，求△ABC 的周长．
6、已知在Rt △ABC 中，两直角边的长为20和15，90BAC ∠=，，CD
为斜边上的
高，求BD 的长．
练习1
1、在△ABC 中，∠B =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若a =3，b =4，求c 的长．
2、在△ABC 中，AB =5，AC =10，BC 边上的高AD =4，求BC 的长．
3、一个三角形的三边的长分别是32a =
，5
2
b =，2
c =．问这个三角形是直角三角形吗？
4、已知△ABC 的三边的长分别是BC=41，AC=40，AB=9．试说明△ABC 是直角三角形． 小华是这样解的：因为BC=41，AC=40，AB=9，所以2
2
2
BC AC AB =+， 所以∠C=90°，
所以△ABC 是直角三角形．
小华的解题是否有错误，如果有错，错误的原因是什么？
5、下列长度的各组线段构成勾股数的是（ ） ①0.07, 0.24, 0.25 ② 6,8,10 ③7,8,10 ④ 34 155
，， 小丽选择了①,②,④.她的选择正确吗?为什么?。