江苏省南通市启东市2020-2021学年高一上学期期末数学试题
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【详解】
，则 ，由正余混弦的定义可得 .
则有 ，解得 ，因此， .
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数的新定义，涉及同角三角函数基本关系的应用，根据题意建立方程组求解 和 的值是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
9．BD
【分析】
根据题意，做出韦恩图，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：根据题意得，集合 、 、 关系如图所示：
向量 ， ， ，
又 且 ， ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.
7．B
【分析】
利用幂函数的单调性得出 与 的大小关系，由指数函数的单调性可得出 与 的大小关系，由此可得出 、 、 三个数的大小关系.
【详解】
幂函数 在区间 上为减函数， ，即 ；
全集 ，集合 、 满足 ，
则 ， ， ， ．
故选：BD．
10．ABD
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的定义可判断出A、C选项的正误；利用共线向量的定义可判断出B选项的正误；在等式 两边平方，可判断出D选项的正误.
4．在梯形 中， ， ， 是边 上的点，且 .若记 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
5．已知 ， 是第三象限角，则 的值为（）
A． B．
C． D．
6．已知向量 ， ， ，若 ， ，则 （）
A． B． C． D．
7．已知 ， ， ，则（）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，设角 的终边上任意一点 的坐标是 ，它与原点的距离是 ，规定：比值 叫做 的正余混弦，记作 .若 ，则 （）
4．A
【解析】
【分析】
作出图形，由向量加法的三角形法则得出 可得出答案.
【详解】
如下图所示：
由题意可得 ，
由向量加法的三角形法则可得 .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用基底来表示向量，涉及平面向量加法的三角形法则的应用，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
5．A
【分析】
利用同角三角函数的平方关系求出 的值，然后利用两角差的余弦公式求出 的值.
【详解】
为第三象限角，所以， ，
因此， .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用两角差的余弦公式求值，在利用同角三角函数基本关系求值时，要结合角的取值范围确定所求三角函数值的符号，考查计算能力，属于基础题.
6．C
【解析】
【分析】
计算出向量 的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于实数 的等式，解出即可.
【详解】
18．已知函数 .
（1）求 的周期和单调区间；
（2）若 ， ，求 的值.
19．已知函数 .
（1）判断并证明 的奇偶性；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值.
20．如图， 、 分别是 的边 、 上的点，且 ， ， 交 于 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ， ，求 的值.
21．“百姓开门七件事，事事都会生垃圾，垃圾分类益处多，环境保护靠你我”，为了推行垃圾分类，某公司将原处理垃圾可获利 万元的一条处理垃圾流水线，通过技术改造后，开发引进生态项目.经过测算，发现该流水线改造后获利 万元与技术投入 万元之间满足的关系式： .该公司希望流水线改造后获利不少于 万元，其中 为常数，且 .
四、双空题
16．如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 、 分别在 轴非负半轴和 轴的非负半轴上滑动，顶点 在第一象限内， ， ，设 .若 ，则点 的坐标为______；若 ，则 的取值范围为______.
五、解答题
17．设全集 ，集合 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，求实数 的取值范围.
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知全集 ，集合 、 满足 ，则下列选项正确的有（）
A． B． C． D．
10．已知 、 、 是三个非零向量，则下列结论正确的有（）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．下列函数中，既是偶函数，又在区间 上单调递减的函数是（）
A． B．
C． D．
12．如图所示，点 、 是函数 的图象与 轴的交点，点 在 、 之间的图象上运动，若 ，且当 的面积最大时， ，则（）
A．
B．
C． 的单调增区间为
D． 的图象关于直线 对称
三、填空题
13．计算： __来自百度文库___.
14．已知函数 ，若 ，则 ______.
15．已知函数 ，若函数 恰有 个不同的零点，则实数 的取值范围是______.
故选：C.
【点睛】
本题考查具体函数定义域的求解，解题时要结合一些常见的求函数定义域的基本原则列不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于基础题.
3．B
【分析】
列举出符合条件的集合 ，即可得出答案.
【详解】
满足 的集合 有： 、 、 .
因此，满足 的集合 的个数为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查符合条件的集合个数的计算，只需列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
（1）试求该流水线技术投入 的取值范围；
（2）求流水线改造后获利 的最大值，并求出此时的技术投入 的值.
22．已知函数 ， ， .
（1）若 ，解关于 的方程 ；
（2）设 ，函数 在区间 上的最大值为3，求 的取值范围；
（3）当 时，对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不大于1，求 的取值范围.
江苏省南通市启东市2020-2021学年高一上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． 的值是（）
A． B．
C． D．
2．函数 的定义域为（）
A． B．
C． D．
3．满足 的集合 的个数为（）
A． B． C． D．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
利用诱导公式可求出 的值.
【详解】
根据诱导公式可得 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.
2．C
【分析】
根据偶次根式被开方数非负，分母不为零，得出关于 的不等式组，即可求出函数 的定义域.
【详解】
由题意可得 ，解得 且 ，
因此，函数 的定义域为 .
指数函数 在 上为增函数， ，即 .
因此， .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用指数函数和幂函数的单调性来比较指数幂的大小关系，解题时要结合指数幂的结构选择幂函数和指数函数的单调性来判断，考查推理能力，属于基础题.
8．D
【分析】
由 可得出 ，根据题意得出 ，结合 可得出关于 和 的方程组，解出这两个量，然后利用商数关系可求出 的值.
，则 ，由正余混弦的定义可得 .
则有 ，解得 ，因此， .
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数的新定义，涉及同角三角函数基本关系的应用，根据题意建立方程组求解 和 的值是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
9．BD
【分析】
根据题意，做出韦恩图，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：根据题意得，集合 、 、 关系如图所示：
向量 ， ， ，
又 且 ， ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.
7．B
【分析】
利用幂函数的单调性得出 与 的大小关系，由指数函数的单调性可得出 与 的大小关系，由此可得出 、 、 三个数的大小关系.
【详解】
幂函数 在区间 上为减函数， ，即 ；
全集 ，集合 、 满足 ，
则 ， ， ， ．
故选：BD．
10．ABD
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的定义可判断出A、C选项的正误；利用共线向量的定义可判断出B选项的正误；在等式 两边平方，可判断出D选项的正误.
4．在梯形 中， ， ， 是边 上的点，且 .若记 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
5．已知 ， 是第三象限角，则 的值为（）
A． B．
C． D．
6．已知向量 ， ， ，若 ， ，则 （）
A． B． C． D．
7．已知 ， ， ，则（）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，设角 的终边上任意一点 的坐标是 ，它与原点的距离是 ，规定：比值 叫做 的正余混弦，记作 .若 ，则 （）
4．A
【解析】
【分析】
作出图形，由向量加法的三角形法则得出 可得出答案.
【详解】
如下图所示：
由题意可得 ，
由向量加法的三角形法则可得 .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用基底来表示向量，涉及平面向量加法的三角形法则的应用，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
5．A
【分析】
利用同角三角函数的平方关系求出 的值，然后利用两角差的余弦公式求出 的值.
【详解】
为第三象限角，所以， ，
因此， .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用两角差的余弦公式求值，在利用同角三角函数基本关系求值时，要结合角的取值范围确定所求三角函数值的符号，考查计算能力，属于基础题.
6．C
【解析】
【分析】
计算出向量 的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于实数 的等式，解出即可.
【详解】
18．已知函数 .
（1）求 的周期和单调区间；
（2）若 ， ，求 的值.
19．已知函数 .
（1）判断并证明 的奇偶性；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值.
20．如图， 、 分别是 的边 、 上的点，且 ， ， 交 于 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ， ，求 的值.
21．“百姓开门七件事，事事都会生垃圾，垃圾分类益处多，环境保护靠你我”，为了推行垃圾分类，某公司将原处理垃圾可获利 万元的一条处理垃圾流水线，通过技术改造后，开发引进生态项目.经过测算，发现该流水线改造后获利 万元与技术投入 万元之间满足的关系式： .该公司希望流水线改造后获利不少于 万元，其中 为常数，且 .
四、双空题
16．如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 、 分别在 轴非负半轴和 轴的非负半轴上滑动，顶点 在第一象限内， ， ，设 .若 ，则点 的坐标为______；若 ，则 的取值范围为______.
五、解答题
17．设全集 ，集合 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，求实数 的取值范围.
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知全集 ，集合 、 满足 ，则下列选项正确的有（）
A． B． C． D．
10．已知 、 、 是三个非零向量，则下列结论正确的有（）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．下列函数中，既是偶函数，又在区间 上单调递减的函数是（）
A． B．
C． D．
12．如图所示，点 、 是函数 的图象与 轴的交点，点 在 、 之间的图象上运动，若 ，且当 的面积最大时， ，则（）
A．
B．
C． 的单调增区间为
D． 的图象关于直线 对称
三、填空题
13．计算： __来自百度文库___.
14．已知函数 ，若 ，则 ______.
15．已知函数 ，若函数 恰有 个不同的零点，则实数 的取值范围是______.
故选：C.
【点睛】
本题考查具体函数定义域的求解，解题时要结合一些常见的求函数定义域的基本原则列不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于基础题.
3．B
【分析】
列举出符合条件的集合 ，即可得出答案.
【详解】
满足 的集合 有： 、 、 .
因此，满足 的集合 的个数为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查符合条件的集合个数的计算，只需列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
（1）试求该流水线技术投入 的取值范围；
（2）求流水线改造后获利 的最大值，并求出此时的技术投入 的值.
22．已知函数 ， ， .
（1）若 ，解关于 的方程 ；
（2）设 ，函数 在区间 上的最大值为3，求 的取值范围；
（3）当 时，对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不大于1，求 的取值范围.
江苏省南通市启东市2020-2021学年高一上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． 的值是（）
A． B．
C． D．
2．函数 的定义域为（）
A． B．
C． D．
3．满足 的集合 的个数为（）
A． B． C． D．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
利用诱导公式可求出 的值.
【详解】
根据诱导公式可得 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.
2．C
【分析】
根据偶次根式被开方数非负，分母不为零，得出关于 的不等式组，即可求出函数 的定义域.
【详解】
由题意可得 ，解得 且 ，
因此，函数 的定义域为 .
指数函数 在 上为增函数， ，即 .
因此， .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用指数函数和幂函数的单调性来比较指数幂的大小关系，解题时要结合指数幂的结构选择幂函数和指数函数的单调性来判断，考查推理能力，属于基础题.
8．D
【分析】
由 可得出 ，根据题意得出 ，结合 可得出关于 和 的方程组，解出这两个量，然后利用商数关系可求出 的值.