人教版高中数学必修二圆与方程小结与复习

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高中数学必修二-圆与方程_小结与复习

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所以 x＋y 的最大值与最小值分别为 6＋2 3与 6－2 3.
初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果．圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质： (1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．
又因为圆心在直线 x y 2 0 上,解得圆心为1,1.
所以， r2 (11)2 [1 (1)]2 4.
所以，圆的方程为 x 12 y 12 4 .
【解答】方法一：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线 x－y＝0 的距离为|a－b|，
2
∴r2＝(|a－b|)2＋( 7)2，即 2r2＝(a－b)2＋14 ①； 2
(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理． (3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．
联立④⑤⑥，解得 D＝－6，E＝－2，F＝1 或 D＝6，E＝2，F＝1．
故所求圆的方程是 x2＋y2－6x－2y＋1＝0 或 x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
方法三：
∵所求圆的圆心在直线 x－3y＝0 上，且与 y 轴相切， ∴设所求圆的圆心为 C(3a，a)，半径为 r＝3|a|，又圆在直线 y＝x 上截得的弦长为 2 7，圆心 C(3a，a)到直线 y＝x 的距离为 d＝ |3a－a| ，

人教版必修二：《圆的方程》人教版必修二：《圆的方程》复习讲义(知识点总结及巩固练习)

圆的方程知识梳理：1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 其中圆心为C (a ，b )，，半径为r (r >0).(2)圆的一般方程:x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（其中 D 2＋E 2－4F >0）.圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F . 2.点与圆的位置关系判断点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系有几何法和代数法两种：(1)几何法：利用点与圆心的距离d 与半径r 的大小关系：①d >r ，点在圆外； ②d ＝r ，点在圆上； ③d <r ，点在圆内．(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，具体判断如下：①当(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2时，点在圆内；②当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2时，点在圆上；③当(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2时，点在圆外．3.求圆的标准方程时，一般有两种方法：(1)待定系数法：①根据题意，设出所求圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；②根据已知条件，建立关于a ，b ，r 的方程组；③解方程组，求出a ，b ，r 的值，从而得到圆的方程。

这种方法体现了方程的思想，思路直接，是通用方法，如本题法一、法二．(2)几何法：由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写出方程．这种方法要充分利用圆的几何性质，但计算相对较容易．4.直线与圆的位置关系的判定方法(1)代数法：直线与圆的方程联立消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，此方程的判别式为Δ，则①直线与圆相交⇔Δ>0； ②直线与圆相切⇔Δ＝0； ③直线与圆相离⇔Δ<0.(2)几何法：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则①直线与圆相交⇔d<r；②直线与圆相切⇔d＝r；③直线与圆相离⇔d>r.5.圆与圆位置关系的判断设两圆的半径分别为r、r，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：6．两圆公共弦所在的直线方程若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.7．公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．巩固练习：1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标是__________.2．以(-2,3)为圆心，2为半径的圆的标准方程是__________________.3．已知点A(3，－2)，B(－5,4)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝1004．已知圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是()5．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是________．6．点P(1，－1)在圆x2＋y2＝r的外部，则实数r的取值范围是________．7．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝08.求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．9．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为22，则a的值为_______.10．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是__________.11．直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于_________.12．以(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝913．设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是________．14．直线y＝x与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A，B，则|AB|＝________.15.求过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．16．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为_________,最小距离为________．17．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为________．18．已知圆x2＋y2＝2和直线y＝x＋b，当b为何值时，直线与圆(1)相交；(2)相切；(3)相离？19．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是___________.20．两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r的值是________.21．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程为_______________.22.已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．。

高中数学必修2知识点总结：第四章_圆与方程

高中数学必修2知识点总结第四章圆与方程4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(ED --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系．设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；4.2.3 直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．4.3.1空间直角坐标系1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖一、知识概述 1、圆的标准方程圆心为(a ，b)，半径为r 的圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2=r 2．由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．2、圆的一般方程对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．(1)当D2＋E2－4F>0时，方程表示以为圆心、为半径的圆．此时方程就叫做圆的一般方程．(2)当D2＋E2－4F=0时，方程表示一个点．(3)当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形．即圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2－4F>0）．圆的一般方程也含有三个待定的系数D，E，F，因此必须具备三个独立条件，才能确定一个圆．3、圆的参数方程（1）以（a，b）为圆心，r为半径的圆的参数方程为，特别地，以原点为圆心的圆的参数方程为.（2）θ的几何意义：圆上的点与圆心的连线与过圆心和x轴平行的直线所成的角.4、用待定系数法求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．二、重难点知识归纳：1、理解圆的定义，以及圆的标准方程与一般方程的推导．2、注意圆的一般方程成立的条件．3、利用待定系数法求圆的方程．三、典型例题剖析例1、(1)已知圆心在直线5x－3y=8上，又圆与坐标轴相切，求此圆的方程；(2)圆心在y=－2x上且与直线y=1－x相切于(2，－1)，求圆的方程．分析：(1)圆心在5x－3y=8上，又与两坐标轴相切，则圆心又在y=x或y=－x上，这样就能求出圆心及半径；(2)圆心在y=－2x上，与y=1－x相切于(2，－1)，知圆心在过(2，－1)且垂直于y=1－x的直线上；解：(1)设所求圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2=r2，圆心在5x－3y=8上，又与坐标轴相切，解得或∴圆心坐标为(4，4)或(1，－1)，半径为r=|x0|=4或r=|x0|=1．∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2=16，或(x－1)2＋(y＋1)2=1．(2)设圆心为(a，－2a)，由题意，圆与y=1－x相切于点(2，－1)，则．解得a=1，所求圆心为(1，－2)，半径r=．所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2=2．例2、已知曲线C：x2＋y2－2x－4y＋m=0 （1）当m为何值时，曲线C表示圆；（2）若曲线C与直线x ＋2y－4=0交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值．分析：要考虑圆的一般方程成立的前提条件．解：（1）由D2＋E2－4F=4＋16－4m=20－4m>0，得m<5．（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由OM⊥ON得x1x2＋y1y2=0．联立方程组消去y得5x2－8x＋4m－16=0．由韦达定理得x1＋x2=①，x1x2=②．又由x＋2y－4=0得y=(4－x)，∴x1x2＋y1y2=x1x2＋(4－x1)·(4－x2)=x1x2－(x1＋x2)＋4=0．将①、②代入得m=.例3、已知动点M到定点A(3，0)与定点O(0，0)的距离之比为常数k(k>0)，求动点M的轨迹．分析：按直接法求出轨迹方程．为说明轨迹类型，对k进行分类讨论．解：设M(x，y)，由题意得，即|MA|2=k2|MO|2．代入坐标得(x－3)2＋y2=k2(x2＋y2)，化简得(k2－1)x2＋(k2－1)y2＋6x－9=0．①当k=1时，方程化为，轨迹是线段AO的垂直平分线．②当k>0且k1时，方程化为，轨迹是以为圆心，为半径的圆．例4、已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20=0，其中k－1．(1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2)证明：曲线C过定点；(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．(1)证明：原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2=5(k＋1)2．①∵k－1，∴5(k＋1)2>0．故方程表示圆心在(－k，－2k－5)、半径为|k＋1|的圆．设圆心为(x，y)，有消去k，得2x－y－5=0．∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5=0上．(2)证明：将原方程变形为k(2x＋4y＋10)＋(x2＋y2＋10y＋20)=0．②上式关于参数k是恒等式．解得∴曲线C过定点(1，－3)．(3)解：∵圆C与x轴相切，∴圆心到x轴的距离等于半径，即|－2k－5|=|k＋1|．两边平方，得(2k＋5)2=5(k＋1)2．．例5、直线l经过点P(5，5)，且和圆C：x2＋y2=25相交，截得弦长为，求l的方程．解析：设直线l的方程为y－5=k(x－5)，且与圆C交于两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，消去y得，，解得k>0．，．由斜率公式，得．．两边平方，整理得2k2－5k＋2=0．解得k=或k=2符合题意．故直线l的方程为x－2y＋5=0或2x－y－5=0．判断直线l与圆C位置关系的两种方法：①判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l与圆C有公共点．有两组实数解时，直线l与圆相交；有一组实数解时，直线l与圆相切；无实数解时，直线l与圆C相离．②判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径长r的关系．如果d<r，直线与圆相交；如果d=r，直线l与圆相切；如果d>r，直线l与圆C相离．✧圆与圆的位置关系设圆CR，圆C2的半径是r，圆心距为d，则1的半径为①当d>R＋r时，两圆相离；②当d=R＋r时，两圆外切；③当|R－r|<d<R＋r时，两圆相交；④当d=|R－r|时，两圆内切；⑤当d<|R－r|时，两圆内含．✧空间直角坐标系空间直角坐标系三要素：原点、坐标轴方向、单位长．常用对称点坐标：x，－y，－z）；点P（x，y，z）关于x轴对称：点P1（x，y，－z）；点P（x，y，z）关于y轴对称：点P2（－x，－y，z）；点P（x，y，z）关于z轴对称：点P3（－点P（x，y，z）关于平面xOy对称：点Px，y，－z）；4（x，y，z）；点P（x，y，z）关于平面yOz对称：点P5（－x，－y，z）；点P（x，y，z）关于平面xOz对称：点P6（点P（x，y，z）关于原点成中心对称：点Px，－y，－z）.7（－✧空间两点间的距离公式空间点、间的距离是．典型例题剖析例1、(1)求圆心在C(2，－1)，且截直线y=x－1所得弦长为的圆的方程；(2)求圆x2＋y2=4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标．分析：(1)应用圆的标准方程，只需借助几何图形，用勾股定理求出r；(2)借助图形转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系，可求出过圆心与4x＋3y－12=0垂直的直线方程．解：(1)设圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2=r2，由题设圆心到直线y=x－1的距离．又直线y=x－1被圆截得弦长为，．所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2=4．(2)过圆心(0,0)作直线4x＋3y－12=0的垂线，垂线方程为．①直线①与圆x2＋y2=4的靠近直线4x＋3y－12=0的交点就是所要求的点．解方程组解得．点是与直线4x＋3y－12=0距离最远的点，而点是与直线4x＋3y－12=0距离最短的点．故所求点的坐标为.例2、设P在x轴上，它到点的距离为到点的距离的两倍，求点P的坐标．解析：因为点P在x轴上，设点P的坐标为(x,0,0)则，故点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．例3、求与两平行直线x＋3y－5=0和x＋3y－3=0相切，圆心在2x＋y＋3=0上的圆的方程．解析：设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2=r2．由已知，两平行线之间的距离是．所以，所求圆的半径长是．由于圆心(a,b)到直线x＋3y－5=0和x＋3y－3=0的距离都是，于是，且．即|a＋3b－5|=1，且|a＋3b－3|=1．又圆心在2x＋y＋3=0上，于是有2a＋b＋3=0．解方程组，得或当时，不满足|a＋3b－3|=1，所以，所以，所求圆的方程为．例4、求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4=0相切且和直线y=0相切的圆的方程．、解析：依题意，所求圆与直线y=0相切且半径为4，则圆心的坐标为或，又已知圆的圆心坐标为，半径r=3，若两圆相切，则或．(1)当圆心为时，有(a－2)2＋(4－1)2=72，解得，或(a－2)2＋(4－1)2=12，无解．故所求圆的方程为或．(2)当圆心为时，有(a－2)2＋(－4－1)2=72，解得，或(a－2)2＋(－4－1)2=12，无解．故所求的圆的方程为或．综合(1)(2)可知所求圆的方程为或或或例5、由一点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆C：x2＋y2－4x －4y＋7=0相切，求光线l所在直线的方程．解析：因为点A(－3,3)关于x轴的对称点为，设直线l1的斜率为k，则过点的直线l 的方程为y＋3=－k(x＋3)，将y=－k(x＋3)－3代入圆的方程，整理得(1＋k2)x2＋2(3k2＋5k－2)x＋(9k2＋30k＋8)=0，若直线l1与圆相切，则，即12k2＋25k＋12=0，解之得，或．所以，所求直线l的方程为y－3=(x＋3)，或y－3=(x＋3)，即3x＋4y－3=0，或4x＋3y＋3=0。

高中数学必修2知识点总结04 圆与方程

高中数学必修2知识点总结04 圆与方程高中数学必修2学问点总结04 圆与方程高中数学必修2学问点总结04圆与方程坐标法是以坐标系为桥梁，把讨论几何问题转化成代数问题，通过代数运算讨论几何图形性质的方法，是解析几何中最基本的讨论方法。

通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合。

教材要求：把握如何在直角坐标系中建立圆的方程；并通过圆的方程讨论直线与圆、圆与圆的位置关系；把握空间直角坐标系的有关学问；体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的力量。

一、圆与方程高考考试内容及考试要求：把握圆的标准方程和一般方程；了解参数方程的概念；理解直线与圆、圆与圆的位置关系；把握空间直角坐标系的有关学问；二、圆的方程课标要求：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探究并把握圆的标准方程与一般方程。

要点精讲：1．圆的方程（1）圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程为：(xa)2(yb)2r2(r0)。

（其参数方程为xarcos（θ为参数））特别地，当a=b=0时，圆心在原点的圆的方程为：x2y2r2（其参数ybrsinxrcos方程为（θ为参数））。

yrsinDE（2）圆的一般方程xyDxEyF0，圆心为点(,)，半径r222222其中DE4F0。

D2E24F，2（3）二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0，表示圆的方程的充要条件是：①、x2项y2项的系数相同且不为0，即AC0；22②、没有xy项，即B=0；③、DE4AF0。

（4）点M(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的关系的推断方法：1）(x0a)2(y0b)2r2，点在圆外；2）(x0a)2(y0b)2r2，点在圆上；3）(x0a)2(y0b)2r2，点在圆内三、直线、圆的位置关系课标要求：1．能依据给定直线、圆的方程，推断直线与圆、圆与圆的位置关系；2．能用直线和圆的方程解决一些简洁的问题；3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

人教版数学必修二第四章圆与方程知识点总结

第四章圆与方程4. 1圆的方程4. 1.1 圆的标准方程势冥星础1•以(3, - 1)为圆心，4为半径的圆的方程为()A . (x+ 3)2+ (y—1)2= 42 2B. (x—3) + (y+ 1) = 4C. (x—3)2+ (y+ 1)2= 16D. (x+ 3)2+ (y—1)2= 162. 一圆的标准方程为x2+ (y+ 1)2= 8，则此圆的圆心与半径分别为()A • (1,0), 4 B. (—1,0), 2 2C. (0,1) , 4D. (0,—1), 2 23. 圆(x+ 2)2+ (y—2)2= m2的圆心为________ ，半径为_________ .4•若点P(—3,4)在圆x2+ y2= a2上，则a的值是 ___________ .5. ____________________________________________________________________ 以点(一2,1)为圆心且与直线x+ y= 1相切的圆的方程是 ___________________________________6. 圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A . x2+ (y —2)2= 1B. x2+ (y+ 2)2= 1C. (x—1)2+ (y—3)2= 1D. x2+ (y —3)2= 1学隹提丹7. —个圆经过点A(5,0)与B( —2,1)，圆心在直线x—3y—10= 0上，求此圆的方程.&点P(5a + 1,12a)在圆(x—1)2+ y2= 1的内部，贝V a的取值范围是()A. |a|v 1a«13C . |a|v 11D . |a|v 石9. _____________________________________________________ 圆(x—1)2+ y2= 25上的点到点A(5,5)的最大距离是 ________________________________________1C. —1<a<;10 .设直线ax —y+ 3= 0与圆(x—1)2+ (y—2)2= 4相交于A, B两点，且弦AB的长为2 3,求a的值.4.1.2 圆的一般方程1. ____________________________________ 圆x2 1 3 4 5 6+ y2—6x= 0的圆心坐标是.2. 若方程X2+ y2+ Dx + Ey+ F = 0表示以（2, —4）为圆心，以4为半径的圆，贝V F =3^方程x2+ y2—4x+ 2y+ 5k= 0表示圆，贝V k的取值范围是（）A . k>1 B. k<1C. k> 1D. k w 14. 已知圆的方程是x2+ y2—2x+ 4y+ 3 = 0,则下列直线中通过圆心的是（）A . 3x+ 2y+ 1 = 0B. 3x+ 2y = 0C. 3x—2y = 0D. 3x—2y+ 1 = 05. 圆x2+ y2—6x+ 4y= 0 的周长是_______ .6. 点（2a,2）在圆x2+ y2—2y — 4 = 0的内部，贝V a的取值范围是（）A. —1<a<1B . 0<a<151D. —- <a<167. 求下列圆的圆心和半径.（1）x2+ y2—x= 0；（2）x2+ y2+ 2ax= 0（a^ 0）;（3）x2+ y2+ 2ay—1= 0.&过点A(11,2)作圆x2+ y2+ 2x—4y—164= 0的弦，其中弦长为整数的共有()A . 16 条B. 17 条C . 32 条D . 34 条9. 已知点A在直线2x —3y+ 5= 0上移动，点P为连接M(4, —3)和点A的线段的中点, 求P的轨迹方程.拓巒拜10•已知方程X7 8 9+ y2-2(t+ 3)x+ 2(1 - 4t2)y+ 16t10+ 9= 0 表示一个圆.(1) 求t的取值范围；(2) 求圆的圆心和半径；(3) 求该圆的半径r的最大值及此时圆的标准方程.4. 2直线、圆的位置关系4. 2.1 直线与圆的位置关系7 .直线y= x+ 3与圆x2+ /= 4的位置关系为()A .相切B .相交但直线不过圆心C.直线过圆心D .相离2. 下列说法中正确的是()A .若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切B .与半径垂直的直线与圆相切C.过半径外端的直线与圆相切D .过圆心且与切线垂直的直线过切点3. 若直线x+ y= 2与圆x2+ y2= m(m>0)相切，贝V m的值为()1 %"2 一A，2 B.Q C. .2 D. 24. (20XX年陕西)已知点M(a, b)在圆O: x2+ y2= 1夕卜，则直线ax+ by= 1与圆O的位置关系是()A .相切B .相交C.相离D .不确定5. 经过点M(2,1)作圆x2+ y2= 5的切线，则切线方程为()A. . 2x+ y= 5B. 2x+ y + 5= 0C. 2x+ y= 5 D . 2x+ y+ 5 = 06. _______________________________________________________________________ (20XX年浙江)直线y= 2x+ 3被圆x2+ y2- 6x- 8y= 0所截得的弦长等于_____________________ .7. 已知直线kx-y + 6 = 0被圆x2+ y2= 25所截得的弦长为8,求k的值.[字能提34]&由直线y= x+ 1上的一点向圆(x—3)2+ y2= 1引切线，则切线长的最小值为()A. 1B. 2 ,2C. 7D. 39. 已知圆C: (x—2)2+ (y—3)2= 4,直线I ：(m+ 2)x + (2m + 1)y= 7m+ 8.⑴证明：无论m为何值，直线I与圆C恒相交；(2)当直线I被圆C截得的弦长最短时，求m的值.孑石展探亦2 2 110. 已知圆C: x + y —8y+ 12 = 0，直线I : ax+ y+ 2a = 0.(1)当a为何值时，直线I与圆C相切；⑵当直线I与圆C相交于A, B两点，且AB = 2 .2时，求直线I的方程.422 圆与圆的位置关系分冥星础1.已知两圆的方程x + y2 = 4和X + y — 6x+ 8y+ 16= 0,则此两圆的位置关系是（）A .外离B .外切C.相交D .内切2. 圆x2+ y2 + 2x+ 1 = 0和圆x2+ y2—y+ 1 = 0的公共弦所在直线方程为（）A . x—2y= 0B . x+ 2y= 0C. 2x—y= 0 D . 2x+ y= 03. 已知直线x= a（a>0）和圆（x+ 1）2+ y2= 9相切，那么a的值是（）A . 2 B. 3C. 4D. 54. 两圆x2+ y2—4x+ 2y+ 1 = 0 与x2+ y2+ 4x—4y—1 = 0 的公切线有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条5. 已知两圆相交于两点A（1,3）, B（m,—1），两圆圆心都在直线2x—y+ c= 0上，贝U m+ c的值是（）A . —1B . 2C . 3D . 06. 圆x2+ y2—2x— 5 = 0与圆x2+ y2+ 2x—4y —4= 0的交点为AB，则线段AB的垂直平分线方程为（）A . x+y—1 = 0B . 2x—y+ 1 = 0C . x —2y+ 1 = 0D . x—y+ 1 = 07. 若圆x2+ y2= 4与圆x2+ y2+ 2ay—6 = 0（a>0）的公共弦长为2「3,求实数a的值.二学肖礙升|& 两圆(x —3)2+ (y—4)2= 25 和(x—1)2+ (y—2)2= r2相切，则半径r = ____________________9. 已知两圆C1：x2+ y2—10x—10y= 0 与C2: x2+ y2+ 6x—2y—40= 0, 求：(1)它们的公共弦所在直线的方程；(2)公共弦长.拓展逓茫10. 已知圆X2+ y2—4ax+ 2ay+ 20（a—1）= 0.⑴求证：对任意实数a,该圆恒过一定点；⑵若该圆与圆x2+ y2= 4相切，求a的值.4.2.3 直线与圆的方程的应用1. 方程X2+ y2+ 2ax—2ay= 0（a^ 0）表示的圆（）A .关于x轴对称B .关于y轴对称C .关于直线x —y = 0对称D .关于直线x+ y = 0对称2. 若直线x+ y+ m= 0与圆x2+ y2= m相切，则m为（）A . 0 或2B . 2C/ 2 D .无解3. 过原点的直线与圆（x+ 2）2+ y2= 1相切，若切点在第三象限，则该直线方程为（）A . y= , 3xB.y =—, 3xC.y=〒D 込D.y=—3x4. 若直线ax+ by= 1与圆x2+ y2= 1相离，则点P（a, b）与圆的位置关系是（） A .在圆上 B .在圆外C.在圆内 D .都有可能5. 圆x? + y2 —4x—4y—1 = 0上的动点P到直线x + y= 0的最小距离为（）A . 1 B. 0C. 2 .2D. 2 .2 —36.过点P（2,1）作圆C:x2+ y2—ax+ 2ay+ 2a+ 1 = 0的切线只有一条，则a的取值是（）A . a=—3B . a = 3C . a = 2D . a = —27. 与圆x2+ y2—4x—6y+ 12 = 0相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有（）A . 4条B . 3条C . 2条D . 1条学龍提丹&设圆X2+ y2-4x —5= 0的弦AB的中点P(3, 1),则直线AB的方程为 __________________9. 若实数x，y满足等式(x —2)2+ y2= 3,那么X的最大值为()X1 '3 '3A.2B.亏C.芬D. ,'3拓屋播亦10. 已知圆C: X2+ y2—4x—14y+ 45= 0 及点Q( —2, 3).⑴若点P(a, a+ 1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；⑵若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；(3)若实数m, n满足m2+ n2—4m —14n + 45= 0，求k= -—3的最大值和最小值.m + 24.3 空间直角坐标系4. 3.1 空间直角坐标系分冥星础1 . 点P( —1,0,1)位于()A . y轴上B. z轴上C . xOz平面内D. yOz平面内2 . 在空间直角坐标系中，点(一2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是()A . (—2,1 , —4)B . (—2, —1 , —4)C . (2, —1,4)D . (2,1, —4)3 .点P( —4,1,3)在平面yOz上的投影坐标是()A . (4,1,0)B . (0,1,3)C . (0,3,0)D . 都不对4 . 在空间直角坐标系中，点P(1, 2, 3)，过点P作平面yOz的垂线PQ垂足为Q,则Q的坐标为()A . (0, .2, 0)B. (0, 2, .3)C. (1,0, 3)D . (1, .2, 0)5. 点（2, - 3,0）在空间直角坐标系中的位置是在（）A. y轴上B. xOy平面上C. xOz平面上D .第一象限内6. 设x, y为任意实数，相应的点P（x, y,3）的集合是（）A . z轴上的两个点B .过z轴上的点（0,0,3），且与z轴垂直的直线C.过z轴上的点（0,0,3），且与z轴垂直的平面D .以上答案都有可能7. 点A（1,- 3,2）关于点（2,2,3）的对称点的坐标为（）A. (3,- 1,5)B . (3,7,4)C . (0, - 8,1)D . (7,3,1)寻能提H& 已知点A(3, y,4), B(x,4,2),线段AB 的中点是C(5,6, z),则x= __________ , y= ______ z= ________ .9. ____________________________________ 点P(2,3,5)到平面xOy的距离为.10. 如图K4-3-1，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a,棱PD 丄底面ABCD , |PD|= 2b,取各侧棱的中点E, F, G, H,试建立适当的空间直角坐标系，写出点E, F, G, H的坐标.图K4-3-14. 3.2 空间两点间的距离公式分冥星础1. 在空间直角坐标系中，点A(2,1,5)与点B(2,1 , - 1)之间的距离为()A. .' 6B. 6C. '3D. 22•坐标原点到下列各点的距离最大的是()A. (1,1,1)B. (2,2,2)C. (2, - 3,5)D. (3,3,4)3. 已知A(1,1,1), B( —3, —3, —3)，点P在x轴上，且|PA|=|PB|,则点P的坐标为( )A . (—3,0,0) B. (—3,0,1)C. (0,0, —3)D. (0, —3,0)4. 设点B是A(—3,2,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|=( )A . 10 B. . 10C. 2 10D. 405. 已知空间坐标系中，A(3,3,1), B(1,0,5), C(0,1,0), AB的中点为M ,线段CM的长|CM| 536. 方程(x—12)2+ (y+ 3)2+ (z—5)2= 36 的几何意义是_______________________________7. 已知点A在y轴上，点B(0,1,2)，且|AB|= 5，求点A的坐标.学能提丹i »■■&以A(1,2,1) , B(1,5,1), C(1,2,7)为顶点的三角形是_____________ 三角形.9. ________________________________________________________________________ 已知点A(x,5 —x,2x —1), B(1, x+ 2,2 —x)，当|AB|取最小值时，x的值为___________________J石展礙走10. 在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1 , 0,—3)，问：(1) 在y轴上是否存在点M，满足|MA|=|MB|;(2) 在y轴上是否存在点M，使△ MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标.4. 1圆的方程 4. 1.1圆的标准方程 1. C 2.D2 23. (- 2,2) |m|4. ±5.(x + 2) + (y — 1) = 26. A 解析：方法一(直接法):设圆心坐标为(0, b)，则由题意知.0— 1 2+ b -2 2= 1, 解得b = 2,故圆的方程为 x 2 + (y — 2)2= 1.方法二(数形结合法)：作图由点到圆心的距离为 1,易知圆心为(0,2)，故圆的方程为 x 2 +(y — 2)2=7. 解：方法一：设圆心P(a , b), a — 3b — 10 = 0,_________ ________________ 彳(a -5 b 2 =^(a + 2 2+ (b — 1),[a = 1,解得b =— 3.圆的半径 r =• a — 5 2+ b 2= 1 — 5 2+ — 3 2= 5.•••圆的标准方程为(x — 1)2+ (y + 3)2 = 25. 方法二：线段AB 的中点P '宁,号 •••弦AB 的垂直平分线的方程为 y — 2 = 7 x — 2 , 圆的半径 r = 1 — 5 2+ — 3 2= 5. •••圆的标准方程为(x — 1)2+ (y + 3)2 = 25. 8 D 9. .41 + 5|a — 2 + 3|10.解：•••弦AB 的长为2〔3,则由垂径定理，圆心(1,2)到直线的距离等于 1,「.——-\ a + 1 =1,• a = 0.4. 1.2圆的一般方程 1. (3,0) 2.43. B4.A5. 2 13n6. A7.解：(1) x — 2 2+ y 2 = 4 圆心 2, 0，半径 r = 2 (2) (x + a)2+ y 2= a 2,圆心(一a,0)，半径 r = |a|.(3) x 2 + (y + a)2= 1+ a 2，圆心(0, — a)，半径 r = 1 + a 2. 8.C 解析：圆的标准方程是：(x + 1)2+ (y — 2)2= 132，圆心(—1,2)，半径r = 13.过点A(11,2)的最短的弦长为10,最长的弦长为26(分别只有一条)，还有长度为11,12,…，25的各2条，所以共有长为整数的弦 2+ 2 X 15= 32(条).9.解：设点P 的坐标为(x , y), A 的坐标为(X 0, y °). •.•点 A 在直线 2x — 3y + 5= 0 上，则‘ 即P ' 2，1直线AB 的斜率k = 1 7.即 7x — y — 10= 0.x — 3y — 10= 0,解方程组*7x — y — 10= 0,得片1,即圆心P(1,y =— 3.―3).•有2x0—3y0+ 5 = 0.x o = 2x — 4,y o = 2y + 3. 代入直线的方程，得 2(2x — 4) — 3(2y + 3) + 5= 0,化简，得2x — 3y — 6= 0即为所求. 10. 解：(1)由圆的一般方程，得22 24[—2(t + 3)] + 4(1 — 4t ) — 4(16t + 9)>0,1解得—~<t<1. ⑵圆心为—¥，-叮, 即(t + 3,4t 2 — 1),半径「= 2 [ — 2 t + 3 ]2 + 4 1 — 4t 2 2 — 4 16t 4+ 9 =—7t 2+ 6t + 1.(3) r =V — 7t 2 + 6t + 1 =寸-7《—7； + 号,所以当 t = 3■时，「max = 47 7，故圆的标准方程为卜一24 2+ y+49 2=号.4. 2直线、圆的位置关系 4. 2.1直线与圆的位置关系1. D2.D3.D4. B 解析：点 M(a , b)在圆 O : x 2 + y 2= 1 夕卜，有---./a 2 + b 2>1，圆心到直线 ax + by = 11的距离为d= r -2^=2<1 = r ，所以直线与圆 O 相交.,a + b5. C 解析：因为点(2,1)在圆x 2 + /= 5上，所以切线方程为 2x + y = 5.6. 45 解析：圆(x — 3)2+ (y — 4)2= 25，圆心(3,4)到直线 2x — y + 3 = 0 的距离为 d =|6—节 3|= .5，弦长等于 2= 4 .5.7. 解：设直线kx — y + 6 = 0被圆x 2+ y 2 = 25所截得的弦长为 AB ，其中点为C,则厶OCB 为直角三角形.因为圆的半径为|OB| = 5,半弦长为*A2B |= BC| = 4, 所以圆心到直线 kx — y + 6= 0的距离为3. 由点到直线的距离公式得『$ = 3•解得k = ±3.J k 2+ 1 & C9. (1)证明：由(m + 2)x + (2m + 1)y = 7m + 8,得 mx + 2x + 2my + y = 7m + 8, 即 m(x + 2y — 7) + (2x + y — 8) = 0.x + 2y — 7 = 0, x = 3,由解得2x + y — 8 = 0,y = 2. •••无论m 为何值，直线I 恒过定点(3,2).(2)解：过圆内的一点的所有弦中，最长的弦是过该点的直径，最短的弦是垂直于过该4+ x o又••• P 为MA 的中点，.••有2—3+ y o 2点的直径的那条弦，•••圆心(2,3)，定点(3,2)，直径的斜率为一1, •••最短的弦的斜率为 1,故最短弦的方程为 X — y — 1 = 0. • m =— 1. 10.解：将圆C 的方程x 2+ y 2— 8y + 12= 0配方，得标准方程为 x 2 + (y —4)2 = 4,则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线I 与圆C 相切，则有马= 2. 解得a =—专.故当a = — 3时，直线1与圆C 相切. ⑵过圆心C 作CD 丄AB ,则根据题意和圆的性质，得 CD 2+ DA 2= AC 2= 22，解得 a = — 7 或 a =— 1..DA = 2AB = 2，•直线I 的方程是7x — y + 14= 0或x — y + 2= 0. 4. 2.2圆与圆的位置关系 1. B 2.D 3.A4. C 解析：圆化为标准方程，得(x — 2)2+ (y + 1)2= 11， (x + 2)2+ (y — 2)2= 9，•••圆心。

高中数学必修2--第四章《圆与方程》知识点总结与练习知识讲解

第三节圆_的_方_程[知识能否忆起]1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜14或m ＞1.2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4．(2012·潍坊调研)圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3＝1.答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0) ∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2，∴x 2＋y 2＝2. 答案：x 2＋y 2＝21.方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是： (1)B ＝0；(2)A ＝C ≠0；(3)D 2＋E 2－4AF ＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．典题导入[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________． [自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|b |，解得r ＝23，|b |＝33，即b ＝±33.故圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.(2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，F ＝－6.圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0由题悟法1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．以题试法1．(2012·浙江五校联考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△P AB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0(2)P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________． [自主解答] (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.(2)由C (1,1)得|OC |＝2，则|OP |min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.[答案] (1)A (2)3－2 2由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如u ＝y －bx －a的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题(如A 级T 9)；9．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：34(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．以题试法2．(1)(2012·东北三校联考)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C (－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C (－1，－1)到直线y ＝2－x 即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.答案：(1)322 (2)5＋5 5－5典题导入[例3] (2012·正定模拟)如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[自主解答] 设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心．由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)，则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y 2(y 0≠0)，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)，故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．由题悟法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．以题试法3．(2012·郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.[题后悟道] 该题是圆与集合，不等式交汇问题，解决本题的关键点有： ①弄清集合代表的几何意义；②结合直线与圆的位置关系求得m 的取值范围．针对训练若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a >0，b >0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D.14解析：选C 圆C 的圆心坐标为(－4，－1)，则有－4a －b ＋4＝0，即4a ＋b ＝4. 所以ab ＝14(4a ·b )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝14×⎝⎛⎭⎫422＝1.当且仅当a ＝12，b ＝2取得等号．1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选A 圆上任一点(x ，y )关于原点对称点为(－x ，－y )在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y )2＝5.即(x －2)2＋y 2＝5.2．(2012·辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．3．(2012·青岛二中期末)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：选B 依题意设圆心C (a,1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2012·海淀检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2013·杭州模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选A 将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 7．如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________________．解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝98．(2013·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝109．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：3410．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，求r 1r 2. 解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限，且在直线y ＝x 上，故可设两圆方程为 (x －a )2＋(y －a )2＝a 2，(x －b )2＋(y －b )2＝b 2，且r 1＝a ，r 2＝b .由于两圆都过点C ，则(3－a )2＋(4－a )2＝a 2，(3－b )2＋(4－b )2＝b 2 即a 2－14a ＋25＝0，b 2－14b ＋25＝0. 则a 、b 是方程x 2－14x ＋25＝0的两个根．故r 1r 2＝ab ＝25.11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．(2012·吉林摸底)已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝455，求m 的值．解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆．(2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ，则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15，因为|MN |＝455，所以12|MN |＝255，所以5－m ＝⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭⎫2552，解得m ＝4.1．(2012·常州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝3C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9解析：选B 双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋(±2)2＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y 2＝3.2．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝|PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x－4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．3．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |，又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |，而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.1．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：选B 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－(12＋22)＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.2．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32，则AB 边上的高的最小值为32－1. 故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝⎛⎭⎫32－1＝3－ 2.答案：3－ 23．(2012·抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)[小题能否全取]1．(教材习题改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离解析：选B由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝5，0＜d＜6，故该直线与圆相交但不过圆心．2．(2012·银川质检)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A.7B ．2 2C ．3D. 2解析：选A 由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0可化为(x －3)2＋y 2＝1，则圆心(3,0)到直线y ＝x ＋1的距离为42＝22，切线长的最小值为(22)2－1＝7.3．直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝r 2相交于A ，B 两点，且AB 的长为2，则圆的半径为( )A.322B.62C ．1D ．2解析：选B 圆心(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝12.则r 2＝⎝⎛⎭⎫12|AB |2＋d 2＝32，r ＝62. 4．(教材习题改编)若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意知21＋k2＞1，解得－3＜k ＜ 3.答案：(－3， 3)5．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．解析：两圆相减即得x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝01.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．典题导入[例1] (2012·陕西高考) 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能[自主解答] 将点P (3,0)的坐标代入圆的方程，得 32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，所以点P (3,0)在圆内．故过点P 的直线l 定与圆C 相交． [答案] A本例中若直线l 为“x －y ＋4＝0”问题不变．解：∵圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4， ∴圆心(2,0)，r ＝2. 又圆心到直线的距离为d ＝62＝32＞2. ∴l 与C 相离．由题悟法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．以题试法1．(2012·哈师大附中月考)已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝⎛⎭⎫－24，24D.⎝⎛⎭⎫－18，18 解析：选C 易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l 的方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点到直线的距离公式得|k ＋2k |k 2＋1＜1，即k 2＜18，解得－24＜k ＜24.典题导入[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．33B ．2 3 C. 3D ．1(2)(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)[自主解答] (1)圆x 2＋y 2＝4的圆心(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝532＋42＝1.故|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.(2)圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，所以m ＋n＋1＝mn ≤14(m ＋n )2，整理得[(m ＋n )－2]2－8≥0，解得m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.[答案] (1)B (2)D由题悟法1．圆的弦长的常用求法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. [注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．以题试法2．(2012·杭州模拟)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C ．[－3， 3]D.⎣⎡⎦⎤－23，0解析：选B 如图，设圆心C (2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若|MN |≥23，则d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫12|MN |2≤4－3＝1，即|2k |21＋k2≤1，解得－33≤k ≤ 33.典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝________. [自主解答] (1)两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2＜d ＜3＋2，∴两圆相交．(2)由题意可设两圆的方程为(x －r i )2＋(y －r i )2＝r 2i ，r i ＞0，i ＝1,2.由两圆都过点(4,1)得(4－r i )2＋(1－r i )2＝r 2i ，整理得r 2i －10r i ＋17＝0，此方程的两根即为两圆的半径r 1，r 2，所以r 1r 2＝17，r 1＋r 2＝10，则|C 1C 2|＝(r 1－r 2)2＋(r 1－r 2)2＝2×(r 1＋r 2)2－4r 1r 2＝2×100－68＝8. [答案] (1)B (2)8由题悟法两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．以题试法3．(2012·青岛二中月考)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．解析：依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △O O 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4. 答案：4[典例](2012·东城模拟)直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0[尝试解题]过点(－4,0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|1＋k2＝3，解得k＝－512，此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.[答案] D——————[易错提醒]—————————————————————————1.解答本题易误认为斜率k一定存在从而错选A.2.对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解.——————————————————————————————————————针对训练1．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为__________________．解析：显然x＝2为所求切线之一．当切线斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，k ＝34，即3x －4y ＋10＝0.答案：x ＝2或3x －4y ＋10＝02．已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为________________．解析：当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2；当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0一、选择题1．(2012·人大附中月考)设m ＞0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切解析：选C 圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆半径为m .因为d －r ＝1＋m 2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．2．(2012·福建高考)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3 C. 3D ．1解析：选B 因为圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为1，所以AB ＝24－1＝2 3.3．(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C 欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，化简得|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令x ＝0，y ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2.当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．5．(2013·兰州模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1, 2＋1)C ．(0, 2－1)D ．(0, 2＋1)解析：选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离 2＋1.6．(2013·临沂模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212C ．2 2D ．2解析：选D 圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1，所以四边形面积的最小值为2×⎝⎛⎭⎫12×1×d 2－1＝2，解得k 2＝4，即k ＝±2. 又k ＞0，即k ＝2.7．(2012·朝阳高三期末)设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33. 答案：±338．(2012·东北三校联考)若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为2 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3. 答案：2 39．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是( 2， 2)．答案：( 2， 2)10．(2012·福州调研)已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝223，又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP |＝ 12－89＝13，又∵|MQ |＝|MA |2|MP |，∴|MQ |＝3.设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5，则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q (q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx－2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎫0，32. 11．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB | ＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2. ∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k.1．已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．解析：由两圆的方程x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230. 答案：2x ＋y －5＝0 2302．(2012·上海模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，a 1，a 2，…，a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a 1，a 2，…，a 11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265. 答案：5－2653.(2012·江西六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO |＝|BO |＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ,·PF ,的最小值； (3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．解：(1)易得B (1，3)，A (－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2(a ＞0)，将点B (1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，因为点A (－1，－3)在准线l 上，所以p 2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由(1)得，M (2,0)，F (1,0)，设点P (x ，y )，则PM ,＝(2－x ，－y )，PF ,＝(1－x ，－y )，又点P 在抛物线y 2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x )(1－x )＋y 2＝x 2－3x ＋2＋4x ＝x 2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2. (3)证明：设点Q (－1，m )，则|QS |＝|QT |＝m 2＋5，以Q 为圆心，m 2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m )2＝m 2＋5，即x 2＋y 2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，②由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点⎝⎛⎭⎫23，0.1．两个圆：C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B 由题知C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，则圆心C 1(－1，－1)，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，两圆半径均为2，又|C 1C 2|＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13＜4，则两圆相交⇒只有两条外公切线．2．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知，问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max ＝43. 答案：43 3．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为 2，则直线l 的斜率为________．解析：将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，则|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，得k ＝1或k ＝177. 答案：1或1774．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)设圆O 2的半径为r 2，∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2.(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 因为圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为 |r 22－12|42＝ 4－⎝⎛⎭⎫2222＝2，解得r 22＝4或r 22＝20.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。

人教新课标版数学高一人教A版必修二第4章圆与方程复习小结教案

第四章圆与方程复习小结教学目标分析：知识目标：1、掌握圆的标准方程、一般方程，会根据条件求出圆心和半径，进而求得圆的标准方程；根据方程求得圆心和半径；掌握二元二次方程表示圆的等价条件；熟练进行互化.2、掌握直线和圆的位置关系，会用代数法和几何法判断直线和圆的位置关系；会求切线方程和弦长；能利用数形结合求最值.3、掌握空间直角坐标系的建立，能用(,,)x y z 表示点的坐标；会根据点的坐标求空间两点的距离. 重难点分析：重点：直线与圆的方程的运用难点：直线与圆的方程的运用互动探究：一、课堂探究：1、圆的方程（1）标准式：圆心在点(,)a b ，半径为r 的圆的标准方程为 .当圆心在坐标原点(0,0)时，圆的标准方程为 .（2）一般式： ______ .（3）圆的一般式方程化为标准式方程为 ___ .（4）是求圆的方程的常用方法.2、点与圆的位置关系有、、 .点00(,)M x y 与圆222()()(0)x a y b r r -+-=>的关系的判断方法：（1）22200()()x a y b r -+->，点在圆外；（2）22200()()x a y b r -+-=，点在圆上；（3）22200()()x a y b r -+-<，点在圆内. 3、直线与圆的位置关系有、、 .方法一：设直线的方程为:0l Ax By C ++=，圆的方程为022=++++F Ey Dx y x（0422>-+F E D ），圆的半径为r ，圆心(,)22D E --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：⑴当d r >时，直线l 与圆C 相离；⑵当d r =时，直线l 与圆C 相切；⑶当d r <时，直线l 与圆C 相交；方法二：如果直线的方程为y kx m =+，圆的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，将直线方程代入圆的方程，消去y 得到x 的一元二次方程式20Px Qx R ++=，那么：⑴当0∆<时，方程没有实数解，直线与圆没有公共点，直线l 与圆C 相离；⑵当0∆=时，方程有一组实数解，直线与圆有且只有一个公共点，直线l 与圆C 相切；⑶当0∆>时，方程有两组实数解，直线与圆有两个不同的公共点，直线l 与圆C 相交；4、圆的切线方程（1）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点00(,)M x y 的切线的方程为：200x x y y r +=. （2）已知圆的方程是222()()(0)x a y b r r -+-=>，则经过圆上一点00(,)M x y 的切线的方程为：200()()()()(0)x a x a y b y b r r --+--=>.（3）已知圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->，则经过圆上一点00(,)M x y 的切线的方程为：0000022x x y y x xy y D E F . （4）已知圆的方程是222()()(0)x a y b r r -+-=>，若点00(,)M x y 在圆外，则方程：200()()()()(0)x a x a y b y b r r --+--=>经过点00(,)M x y 引圆的两条切线的两切点相连的直线方程，即切点弦所在直线方程.5、圆的弦长的计算方法（1）几何法：222,l r d d 为弦心距；（2）代数法：2221212121221||(1)[()4](1)[()4]AB k x x x x y y y y k . 6、圆与圆的位置关系有、、、、 .设两圆的连心线长为d ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当12d r r >+时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当12d r r =+时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当1212||r r d r r -<<+时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当12||d r r =-时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当12||d r r <-时，圆1C 与圆2C 内含；7、圆系方程（1）经过直线:0l Ax By C 与圆22:0C x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程为： 22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=，当0λ时表示圆C ；（2）过相交两圆222211112222:0,:0C x y D x E y F C x y D x E y F ++++=++++=的交点的圆的方程是22223111222:()0C x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=.特殊地：当1λ时，圆系方程表示两圆公共弦所在的直线方程；当两圆相切（内切或外切）时，直线l 为过两圆公共切点的直线方程.8、空间直角坐标系（1）空间直角坐标系中点的坐标可以用一对有序实数对(,,)x y z 表示.（2）空间两点间的距离公式，如果11112222(,,),(,,)P x y z P x y z ，则两点间的距离为12||PP =.（3）坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点：x 轴上的点的坐标的特点：(,0,0)P m ，纵坐标和竖坐标都为零．y 轴上的点的坐标的特点：(0,,0)P m ，横坐标和竖坐标都为零．z 轴上的点的坐标的特点：(0,0,)P m ，横坐标和纵坐标都为零．xoy 坐标平面内的点的特点：(,,0)P m n ，竖坐标为零．yoz 坐标平面内的点的特点：(,0,)P m n ，纵坐标为零．zox 坐标平面内的点的特点：(0,,)P m n ，横坐标为零．（4）已知两点的中点坐标：平面上的中点坐标公式可以推广到空间，即设111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则AB 中点的坐标为（211212,,222z z x x y y +++）. （5）一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点：点(,,)P x y z 关于坐标原点的对称点为(,,)P x y z ---；点(,,)P x y z 关于坐标横轴（x 轴）的对称点为(,,)P x y z --；点(,,)P x y z 关于坐标纵轴（y 轴）的对称点为(,,)P x y z --；点(,,)P x y z 关于坐标竖轴（z 轴）的对称点为(,,)P x y z --；点(,,)P x y z 关于xoy 坐标平面的对称点为(,,)P x y z -；点(,,)P x y z 关于yoz 坐标平面的对称点为(,,)P x y z -；点(,,)P x y z 关于zox 坐标平面的对称点为(,,)P x y z -．例1、(1)求经过点(5,2),(3,2)A B ,圆心在直线230x y --=上的圆的方程；(2)求以(0,0),(2,0),(0,4)O A B 为顶点的三角形OAB 外接圆的方程.答案：(1)22(4)(5)10x y -+-=；(2)22240x y x y +--=.小结:用待定系数法求圆的方程有两种不同的选择,一般地,已知圆上三点时用一般式方程,已知圆心或半径关系时,用标准方程.例2、求圆224x y +=上点与直线43120x y +-=距离的最大值和最小值.点评：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想例3、已知圆O 的半径为3，直线l 与圆O 相切，一动圆与l 相切，并与圆O 相交的公共弦恰为圆O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程分析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？答案：26x y =.例4、由圆22:9C x y +=外一点(5,12)P 引圆的割线交圆于A B 、两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.答案：225120x y x y +--=.点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点” 例5、已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=.（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；（2）设l 与圆C 交于不同的两点A B 、，若||AB =l 的倾斜角；（3）求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（4）若定点(1,1)P 分弦AB 为12AP PB =,求此时直线l 的方程.答案：222(2);(3)210(1);(4):02033x y x y x l x y x y ππα=+--+=≠-=+-=或或. 二、课堂练习：1、已知圆C 的圆心在直线40x y --=上,并且通过两圆221:430C x y x +--=和221:430C x y y +--=的交点,(1)求圆C 的方程； (2)求两圆1C 和2C 相交弦的方程解：(1) 22:6230C x y x y +-+-=；(2)0x y -=2、求圆22412390x y x y ++-+=关于直线3450x y -+=的对称圆方程解：圆方程可化为22(2)(6)1x y ++-=, 圆心(2,6)O -,半径为1 设对称圆圆心为'(,)O a b ，则O 与'O 关于直线3450x y --=对称，因此有2634502263124a b b a -+⎧⋅-⋅-=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪+⎩解得42a b =⎧⎨=-⎩ ∴所求圆的方程为22(4)(2)1x y -++=点评：圆的对称问题可以转化为点(圆心)的对称问题，由对称性质知对称圆半径相等反思总结：1、本节课你学到了哪些知识点？2、本节课你学到了哪些思想方法？3、本节课有哪些注意事项？课外作业：补充：1、若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线:0l ax by +=的距离为，求直线l 的倾斜角的取值范围.答案：5[,]1212ππ.2、当c 为何值时，圆2260x y x y c ++-+=与直线230x y +-=的两个交点P Q 、满足OP OQ ⊥？其中O 是坐标原点？答案：3c =.3、已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=及直线:(32)(1)107l m x m y m +++=+.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交.（2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.答案：:250d l x y =--=.4、已知光线l 过点(1,1)P -，经y 轴反射后与圆22:(4)(4)1C x y -+-=相切，求光线l 所在的直线的方程.答案：43103410x y x y +-=++=或.5、已知点(5,0)P 和圆2216x y +=，过点P 任意作直线l 交圆于A B 、两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.答案：222250(16)x y x x y +-=+<.6、从点(4,5)P 向圆22:(2)4C x y -+=引切线，求切线的方程.答案：21201604x y x -+==或.7、已知直线l 过点(0,3)，且与圆22:240C x y y +--=交于A,B 两点，若O 为坐标原点，且OA OB ⊥，求直线l 的斜率.8、已知直线:l y x b =+与圆22:4C x y +=交于,A B 两点，求弦AB 中点M 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形？变式1：已知直线:1l y kx =+与圆22:4C x y +=交于,A B 两点，求弦AB 中点M 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形？变式2：已知直线:3l y kx =+与圆22:4C x y +=交于,A B 两点，求弦AB 中点M 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形？课后反思：。

高中数学必修2(人教A版)第四章圆与方程4.1知识点总结含同步练习及答案

3−1 (x − 2)，即 x + 3y + 1 = 0． 2+4
⎧ x = 7, { 2x + 3y − 6 = 0, 得 ⎨ ⎩y = − 8 . x + 3y + 1 = 0, 3 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 2 8 340 8 2 即圆心为 (7, − ) ，又半径为 r = √(7 − 3) + (− − 2) = √ ． 3 9 3
3a 2 3a2 2 a 2 − a + 1，由 − − a + 1 > 0 得 −2 < a < ． ) + ( y + a) 2 = − 4 4 3 2
2 ． 3
△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−1, 5) 、B(−2, −2)、C (5, 5) ，求其外接圆方程．解：设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，由题设得方程组 ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩
1 B．a < 13
1 C．|a| < 5
1 D．|a| < 13
）
由题意得 (5a + 1 − 1)2 + (12a)2 < 1，所以 |a| <
1 ． 13
已知点 (1, 1) 在圆 (x − a)2 + (y + a)2 = 4 的外部，则 a 的取值范围为______．解：(−∞, −1) ∪ (1, +∞)．由题意知 (1 − a)2 + (1 + a)2 > 4，所以 a > 1 或 a < −1 ．判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．（1）x 2 + y 2 + 2x + 1 = 0；（2）x 2 + y 2 + 2ay − 1 = 0 ；（3）x 2 + y 2 + 20x + 121 = 0 ；（4）x 2 + y 2 + 2ax = 0．解：（1）原方程可化为 (x + 1)2 + y 2 = 0，它表示点 (−1, 0) ，不表示圆． − − − − − （2）原方程可化为 x 2 + (y + a)2 = a2 + 1，它表示圆心在 (0, −a)，半径为 √a2 + 1 的圆， − − − − − 标准方程为 x 2 + (y + a)2 = (√a2 + 1)2 ．（3）原方程可化为 (x + 10)2 + y 2 = −21 < 0 ，此方程不表示任何曲线，故不表示圆．（4）原方程可化为 (x + a)2 + y 2 = a2 ． ①当 a = 0 时，方程表示点 (0, 0)，不表示圆； ②当 a ≠ 0 时，方程表示以 (−a, 0) 为圆心，以 |a| 为半径的圆，标准方程为 ( x + a) 2 + y 2 = a2 ．若方程 x 2 + y 2 + ax + 2ay + 2a2 + a − 1 = 0 表示圆，则 a 的取值范围为______．解：−2 < a < 配方得 (x +

必修二数学圆与方程知识点总结（精选3篇）

必修二数学圆与方程知识点总结（精选3篇）必修二数学圆与方程知识点总结篇11、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2、圆的方程(1)标准方程，圆心，半径为r；(2)一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形.(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.3、直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况:(1)设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；(2)过圆外一点的切线:①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r24、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定.设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定.当时两圆外离，此时有公切线四条。

当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条。

当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线。

当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线。

当时，两圆内含；当时，为同心圆。

注意:已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线。

圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点。

数学集合的运算知识点运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B 的并集.记作：AB(读作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).学数学的方法学习方法很多女生在学习数学的时候喜欢按部就班，注重基础，但是却很少做难题，所以便导致了解题能力薄弱。

高中数学必修二第四章小结与复习课件

例2 过点M(－3，－3)的直线l 被圆x2＋y2＋4y－21=0所截得的弦长为，求直线l的方程.
y A
C M
o
x
B
例3 求过点P（2，1），圆心在直线2x＋y=0上，且与直线x-y-1＝0 相切的圆方程.
2x+y=0
P
作业:
P128练习：2，3，4． P132习题4.2A组：2，3，5．
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如何求以线段AB为直径的圆方程？
思考2:一般地，已知点A(x1，y1)， B程(如x2，何y？2)，则y以线P段AB为直径的圆方
B
A
o
x
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
x2＋y2－6x－4＝0
例2 已知一个圆的圆心为M（2，1），且与圆C：x2＋y2－3x＝0相交于A、B两点，若圆心M到直线AB的距离为，求圆M的方程.
A
DC
M
B
x2＋y2－4x－2y－1＝0
作业：
P132习题4.2A组：4,6,9,10.
4.2.3 直线与圆的方程的应用
问题提出
通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决. 对此，我们必须掌握解决问题的基本思想和方法.
位于台风中心正北40 km处，如果这艘
轮船不改变航线，那么它是否会受到台

高中数学必修2(人教A版)第四章圆与方程4.2知识点总结含同步练习及答案

− |3 × 0 &#+ 12 − |AB| − − − − − − √− 10 设直线 l 与圆 C 的交点为 A 、B ，则． = √r2 − d 2 = 2 2 − |AB| = √−
为 √5 ，点 (0, 1) 到直线 l 的距离为 d =
可知 Δ = 4m(3m + 4)．
4 时，直线与圆相切； 3 4 当 Δ > 0 ，即 m > 0 或 m < − 时，直线与圆相交； 3 4 当 Δ < 0 ，即 − < m < 0 时，直线与圆相离． 3
当 Δ = 0 ，即 m = 0 或 m = −
2.圆的切线描述：圆的切线长过圆外一点P (x 0 , y 0 ) 向圆 M 作两条切线，其中圆心 M 的坐标为 (a, b) ，如图，
切：d = r；直线与圆相离：d > r． 2. 代数法：把直线的方程与圆的方程联立，得方程组，消去 y 或 x 整理得到关于 x 或 y 的一元二次方程，其判别式为Δ ，直线与圆相交：Δ > 0 ；直线与圆相切：Δ = 0 ；直线与圆相离：Δ < 0 ．例题：当 m 为何值时，直线 mx − y − m − 1 = 0 与圆 x2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0 相交？相切？相离？解：法一：（几何法）由已知，得圆心坐标为 (2, 1)，半径 r = 2，圆心 (2, 1) 到直线 mx − y − m − 1 = 0 的距离
解得 A(
4.圆与圆的位置关系描述：圆与圆的位置关系
平面上两圆的位置关系有五种：
判断两圆的位置关系判断圆C1 ：(x − a1 )2 + (y − b 1 )2 = r2 与圆C2 ：(x − a2 )2 + (y − b 2 )2 = r2 的位置关系，主要 1 2 有两种方法： ①几何法：比较圆心距与两圆半径的关系，设两圆的圆心距为d ，当d > r1 + r2 时，两圆外离；当d = r1 + r2 时，两圆外切；当|r1 − r2 | < d < r1 + r2 时，两圆相交；当d = |r1 − r2 | 时，两圆内切；当0 ≤ d < |r1 − r2 | 时，两圆内含． ②代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．圆 C1 的方程与圆 C2 的方程联立，消去 x 或 y 得到关于y 或关于x的一元二次方程，当Δ > 0 ⇒ 两圆相交；当Δ = 0 ⇒ 两圆内切或外切；当Δ < 0 ⇒ 两圆外离或内含．例题： a 为何值时，两圆 C1 ：x 2 + y 2 − 2ax + 4y + a2 − 5 = 0 和C2 ： x2 + y 2 + 2x − 2ay + a2 − 3 = 0 ．（1）外切；（2）相交；（3）外离．解：将两圆方程写成标准方程，

高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点总结

第四章圆与方程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上当2200()()x ay b -+-<2r ，点在圆内; （2 （x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线k ，②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

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（1）标准方程：以（a,b）为圆心，r（r>0）为半径的圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2.
（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0. 当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，其
D E 圆心的坐标为（ , ），
半径 r 1
2
2
当D2+E2-4F=0时，只表示一个点；
d PC
2 2 1 4 25 r， 2
1 1
2
4 20 故所求
2
所以点P在圆外.
(Ⅱ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
因为三点 A(4,1) ， B(6 ， -3) ， C(-3,0) 都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解，将它们的坐标代入方程得，
因为圆过A（1,4）,B（3,2）两点，
42 为kAB= =-1,故l的斜率为1, 1 3
所以圆心必在线段AB的中垂线l上,又因又AB的中点为（2，3）,故线段AB的中
垂线l的方程为x-y+1=0.
又知圆心在直线y=0上,故圆心为C(-1，0)，所以半径 r AC 圆的方程为(x+1)2+y2=20. 又点P(2,4)到圆心(-1，0)的距离为
题意，
设圆C2的圆心为（a，b），则依
a 1 b1 1 0 a=2 2 2 ，解得： b1 b=-2. 1 a 1
有
对称圆的半径不变，为1，故填(x-2)2+ （y+2）2=1.
5.若圆x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0关于直线xy+1=0对称，则实数a= 3 .
依题意直线 x-y+1=0 ，过已知圆的 a2 1 a2 1 圆心（所以 , a ）， a 1 0，
重点突破：圆的方程
例1 （Ⅰ）求过两点A（1,4）,B（3,2）,且
圆心在直线 y=0上的圆的标准方程，并判断点 P （2,4）与圆的位置关系. （Ⅱ）求过A（4,1），B（6，-3）C（-3,0）三点的圆的方程，并求这个圆半径长和圆心 C 坐标.
（Ⅰ）欲求圆的标准方程，只需求出圆心坐标和圆的半径，而要判断点P 与圆的位置关系，只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系 . （ Ⅱ ）设出圆的方程，解方程组即可.
(Ⅱ)解法1：设圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=10，由圆心在直线y=2x上，得b=2a， ① 由圆在直线x-y=0截得的弦长为4 ，将y=x代入(x-a)2+(y-b)2=10. 2 整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0. 由弦长公式得化简得a-b=±2.2 (a b)2 2(a 2 b 2 10) ② 4 2，解①②得a=2,b=4或a=-2,b=-4, 所以所求圆方程为(x-2)2+(y-4)2=10或 (x+2)2+(y+4)2=10.
解法2：根据图形的几何性质：半径，弦长的一半，弦心距构成直角三角形，由勾股定理，
2
因为弦心距等于圆心（a,b）到直线x-y=0 的距离， ab 2，又已知b=2a，所以 d
2
4 2 2 （） 10 8 2 可得弦心距 d r 2
解得a=2,b=4或a=-2,b=-4. 所以所求圆方程为（x-2）2+（y-4）2=10 或（x+2）2+（y+4）2=10.
若点M（x0,y0）在圆C内，则（x0-a）2+（y0-b）2<r2.
4.直线与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系有三种：相离，相切，相交。判断直线与圆的位置关系的方法常见的有两种方法： ① 代数法：由圆C方程及直线L的方程，消去一个未
知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为Δ 则圆C与l相离Δ＜0,
设圆心为（0，b），由题意，则圆的方程为x2+（y-b）2=b2.
因为半径为5.所以 b =5,b=±5.
故圆的方程为x2+y2+10y=0或x2+y210y=0.选B. 易错点：圆心的位置可能在y轴上半轴或下半轴.
4.已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程 2+(y+2)2=1 ( x -2) 为 .
8.过圆上一点的切线方程：
①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0) ，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2． ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2．
9. 两圆相交的弦的方程 ⊙O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和
（ Ⅱ ） x 2 + y 2 表示圆上一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值. 2 2 又圆心到原点的距离为（2 0 ）（ 00 ） 2，所以x2+y2的最大值是(2+ 3)2=7+4 3 ;最小值是(2- 3 )2=7-4 3 . 涉及与圆有关的最值，可以借助圆的几何性质，依照数形结合思想进行求解；联想过两点的直线的斜率公式，两点间距离公式，过定点的直线系或平行线系等知识的应用.
∵圆心C应在公共弦AB所在直线上
，
∴ 所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0．
重点突破：与圆有关的最值问题例3.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0 （Ⅰ）求y-x的最大值和最小值, （Ⅱ）求x2+y2的最大值和最小值. 根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解.
——小结与复习
1.圆心为点C(8，-3)，且过点A(5，1)的圆的标准方程为（ D ） A.(x+8)2+(y-3)2=5 B.(x-8)2+(y+3)2=5 C.(x+8)2+(y-3)2=25 D.(x-8)2+(y+3)2=25
半径 r CA (8 5)2 ( 3 1)2 5，所以所求的圆的标准方程为 (x-8)2+(y+3)2=25.选D.
42+12+4D+E+F=0 (-3)2+02-3D+0· E+F=0 D=-2 F=-15. 62+(-3)2+6D-3E+F=0 ，解得 E=6
所以圆的方程为x2+y2-2x+6y-15=0，
即（x-1）2+（y+3）2=25，
所以圆心坐标为（1，-3），半径为r=5.
“待定系数法”是求圆的方程的常用方法 . 一般的，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较简便，否则选用一般方程方便些.
2 2
解得a=3或a=-1，当a=-1时，方程x2+y2+ （a2-1）x+2ay-a=0不能表示圆，所以只能取 a=3.填3.
易错点：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0仅在D2+E2-4F ＞0时才表示圆，因此需检验不等式是否成立.
1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径. 2.圆的方程
2
D 2 E 2 4F ；
当D2+E2-4F<0时，不表示任何图形.
3.点与圆的位置关系
圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，
圆心C（a,b），半径r，
若点M（x0,y0）在圆C外，则（x0-a）2+（y0-b）2>r2; 若点M（x0,y0）在圆C上，则（x0-a）2+（y0-b）2=r2;
2.方程y= 4 x 2 对应的曲线是（ A ）
原曲线方程可化为x2+y2=4 （y≤0），表示下半圆,选A.
3.半径为5且圆心在y轴上的圆与x轴相切，则圆的方程为（ B ） A.x2+y2+10y=0
B.x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0
C.x2+y2-10y=0
D.x2+y2+10x=0或x2+y2-10x=0
⊙O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时，
公共弦方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
10.圆系方程：
①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆 C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)． ②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l： Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．
R O1 外离 r O2 R O1 外切 r O2 R O1 相交 r O2
|O1O2|>R+r