最新四种线性代数模型资料
线性代数模型
(1,1,0,0) (0,0,1,1) (1,0,1,0) (0,1,0,1) (1,1,1,1) (1,0,0,1) (0,1,1,0) (1,0,0,0) (0,1,1,1)
(不可取) (可取) (不可取) (不可取)
（第二次渡河）
性 、投入产出分析、商品销售量预测 、人口问题的差分 方程模型 ）
1距离问题
1 .1基因间“距离”的表示 1 .2常见的距离公式（聚类分析,相似性度量）
1 .1基因间“距离”的表示
1 .2常见的距离公式（聚类分析）
绝对值距离 欧式距离 明考斯基距离 兰氏距离 马氏距离
23 .2
例8 农场的植物园中某种植物的基因型 为AA,Aa和 aa。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物相 结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后， 这 结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种 植物的任一代的三种基因型分布情况如何？ 种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？
（a）假设：令n=0,1,2,…。 （i）设an,bn和cn分别表示第n代植物中，基因型 为AA,Aa和aa 的植物占植物总数的百分比 。令x (n)为第n代植物的基因型分 布： a0 a n
问题归结为由状态 (3,3)经奇数次可取运算，即由可取状 态到可取状态的转移，转化 为(0,0)的转移问题。和上题一样， 我们既可以用计算机求解，也可以分析求解，此外，本题还 可用作图方法来求解。 在H~W平面坐标中，以 “·”表示可取状态， 从A(3,3)经奇数 次转移到 达O(0,0)。奇数次转移时向左或下移 动1-2格而落 在一个可取状态上，偶数次转移时向右或上移 动1-2格而落在 一个可取状态上。为了区分起见 ,用红箭线表示奇数次转移， 用蓝箭线表示第偶数 次转移,下图给出了一种可实现的方案 , 故 这三对夫妻是可以过河的 。假如按 W A(3,3) 这样的方案过 河,共需经过十一次摆 渡。 不难看出 ,在上述规则下,4对夫妻就 无法过河了,读者可以自行证明之.类 似可以讨论船每次可载三人的情况, H其结果 是5对夫妻是可以过河的,而 O(0,0) 六对以上时就 无法过河了。
线性代数四阶知识点总结
线性代数四阶知识点总结1. 向量和矩阵•向量：向量是一种有序集合，可以表示为n x 1 的矩阵。
向量的加法、减法和数量乘法满足特定的运算规则。
•矩阵：矩阵是二维数组，具有行和列的结构。
可以表示为 m x n 的形式，其中 m 是矩阵的行数，n 是列数。
2. 线性方程组•线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合。
每个方程都可以写成如下形式：a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b其中a1, a2, …, an 是已知常数，x1, x2, …, xn 是未知变量，b 是常数。
•线性方程组的解：一个线性方程组可能有无穷多个解、唯一解或者无解。
通过高斯消元法、矩阵求逆或克拉默法则等方法可以求解线性方程组。
3. 矩阵运算•矩阵加法：两个矩阵的加法是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
•矩阵减法：两个矩阵的减法是将对应位置的元素相减得到新的矩阵。
•矩阵数量乘法：将矩阵的每个元素都乘以一个常数得到新的矩阵。
•矩阵乘法：矩阵乘法是将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行内积运算得到新的矩阵。
4. 线性变换•线性变换：线性变换是指从一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数量乘法的性质。
•线性变换的矩阵表示：对于一个线性变换，可以找到一个矩阵使得将原向量空间中的向量乘以该矩阵得到新的向量空间中的向量。
•线性变换的特性：线性变换保持向量的线性组合和零向量不变。
5. 特征值和特征向量•特征值和特征向量：对于一个方阵 A，如果存在一个非零向量 v 和一个实数λ，使得Av = λv，则λ 是 A 的特征值，v 是对应于特征值λ 的特征向量。
•特征值和特征向量的计算：通过求解线性方程组 (A - λI)v = 0 可以得到特征值和特征向量。
6. 行列式•行列式：行列式是一个标量值，用于判断一个矩阵的线性相关性和可逆性。
•行列式的计算：对于一个 n x n 的矩阵，行列式的计算涉及到对矩阵的元素进行排列组合并进行运算。
线性代数中的数学模型(数学建模必看 姚江淮)
1 上述连分数可以看作是 x 中，把 1 x
x
x
1 1 1 1 x
反复迭代，就得到上述连分数。
x 1 1
1 1 1 1 1 1
上述这一全部由1构成的连分数， 是最简单的一个连分数。
通常，求连分数的值，如同求无理数的值
一样，我们常常需要求它的近似值。
如果把该连分数从第 n 条分数线截住，即
斐波那契协会和《斐波那契季刊》
1． 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子 问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，
13，…之后，并没有进一步探讨此序列，并且
在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没 想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世 纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活 跃起来，成为热门的研究课题。
解：
先直接推算。在第0月有1对兔子；第1月也只有1对兔子； 第2月这对兔子生了1对小兔，共有两对兔子； 第3月，老兔子又生了1对小兔，共有3对兔子； 第4月:老兔子和第2个月出生的小兔各生了一对小兔，共5对兔子； 第5月，第3个月的3对兔子各生了一对小兔，共有8对兔子； 第6月，第4个月的5对兔子各生了一对小兔，共有13对兔子…。
55或89个花瓣。
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
海棠（2）
铁兰（3）
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
洋紫荊（5）
黃蝉（5）
蝴蝶兰（5）
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
雏菊（13）
雏菊（13）
2）树杈的数目
13 8
5 3 2 1 1
3）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数
松果种子的排列
松果种子的排列
斐波那契数列中的任一个数，都叫 斐波那契数。斐波那契数是大自然的 一个基本模式，它出现在许多场合。 下面举几个例子。
第六章 线性代数模型
6.1、优良作物品种筛选问 题
背 景 •遗传学的研究告诉我们，在动植物 产生下一代的过程中，总是将自己 的特征遗传给下一代，从而完成一 种“生命的延续”。 •在常染色体遗传中，后代从亲体 的基因中各继承一个基因，形成 自己的基因。下面我们讨论一个 染色体遗传——植物后代问题
问题
植物基因的分布
设一农业研究所植物园中某植物的的基因 型为AA、Aa 和 aa 。研究所计划采用AA型 的植物与每一种基因型植物相结合的方案培
如果考虑的遗传特征是由两个基因 A、a控制的， 那么就有三种基因对，记为AA、Aa 和 aa 。
如
金鱼草花的颜色是由两个遗传因 子决定的，基 因型为AA的金鱼草开红花，Aa 型的开粉红花，而 aa型的开白花。 人类眼睛的颜色也是通过常染色体来控制的。 基因型为AA ，或Aa 型的人眼睛颜色为棕色，而 aa型的人眼睛颜色为蓝色。 这里AA ，Aa表示同一外部特征，我们认为基 因A支配基因a，即基因a对A来说是隐性的。
1
1 1 1 1 0 1 2 0 0 0 0 1
1 / 2n
0
0
0 1 1 1 0 0 0 1 2 x 0 0 0 1
1
1 1 (1 / 2 n ) 1 (1 / 2 n 1 ) 0 n n 1 0 1/ 2 1/ 2 x 0 0 0 a0 b0 c0 (1 / 2 n )b0 (1 / 2 n 1 )c0 1 (1 / 2 n )b0 (1 / 2 n 1 )c0 n n 1 n n 1 (1 / 2 )b0 (1 / 2 )c0 (1 / 2 )b0 (1 / 2 )c0 0 0
常见的数学模型
解法：通过矩阵运算或迭代法 求解线性代数方程
形式：Ax=b，其中A是矩阵，x 是未知数向量，b是常数向量
应用：在物理、工程、经济等 领域有广泛应用
多项式方程
定义：多项式方程 是数学中常见的方 程形式，一般形如 ax^n + bx^(n1) + ... + z = 0
积分公式：常见 的积分公式包括 牛顿-莱布尼茨公 式、换元积分公 式、分部积分公 式等。
01
0 2
03
04
级数与无穷级数
定义：级数是无穷多个数相加的结果，无穷级数是级数的极限状态。 类型：有正项级数、交错级数、幂级数等。
应用：在数学、物理、工程等领域有广泛应用，如计算曲线的长度、求解微分方程等。 收敛与发散：级数收敛时，所有项的和是有限的；发散时，所有项的和是无穷大。
值。
特征值与特征向量 的应用：在解决实 际问题时，特征值 和特征向量可以用 于分析系统的稳定
性和动态行为。
计算方法：通过求 解矩阵的特征方程， 可以得到矩阵的特 征值和特征向量。
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线性变换与矩阵运算
矩阵运算：基本的矩阵加法、 减法、乘法等运算规则
线性变换：通过矩阵表示几 何变换的过程
微分方程
定义：微分方程是 描述数学模型中变 量之间变化关系的 方程
类型：常微分方程、 偏微分方程等
解法：常用的解法 包括分离变量法、 常数变异法等
应用：在物理学、 工程学、经济学等 领域有广泛应用
线性代数模型
向量与矩阵
向量：由一组有序 数构成的数学对象， 可以表示空间中的 点或方向
线性代数知识点归纳
线性代数知识点归纳线性代数是一门研究向量、向量空间、线性变换以及有限维线性方程组的数学分支。
它广泛应用于各个领域，如物理、计算机科学、工程学等。
线性代数的核心概念和工具包括行列式、矩阵、向量组以及线性方程组等。
下面将详细介绍线性代数的相关知识点。
一、行列式1.1 行列式的概念：行列式是一个函数，它从n×n阶方阵到实数（或复数）的映射。
行列式记作|A|，其中A是一个n×n的方阵。
1.2 逆序数：在n×n阶方阵A中，将行列式中元素a_ij与a_ji互换，所得到的新的行列式称为原行列式的逆序数。
1.3 余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij删去，剩下的(n-1)×(n-1)阶方阵的行列式称为原行列式的余子式，记作M_ij。
1.4 代数余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij替换为它的相反数，然后计算得到的新的行列式，称为原行列式的代数余子式，记作A_ij。
1.5 行列式的性质：行列式具有以下性质：（1）交换行列式中任意两个元素的位置，行列式的值变号。
（2）行列式中某一行（列）的元素乘以常数k，行列式的值也乘以k。
（3）行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相加，行列式的值不变。
（4）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相减，行列式的值变号。
1.6 行列式的计算方法：行列式的计算方法有：降阶法、按行（列）展开法、克拉默法则等。
二、矩阵2.1 矩阵的概念：矩阵是一个由数组元素构成的矩形阵列，矩阵中的元素称为矩阵的项。
矩阵记作A，其中A是一个m×n的矩阵，A_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2.2 矩阵的线性运算：矩阵的线性运算包括加法、减法、数乘等。
2.3 矩阵的乘法：两个矩阵A和B的乘法，记作A×B，要求A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵。
矩阵的乘法满足交换律、结合律和分配律。
线代必备资料：线性代数知识框架(word版)
( Am )n ( A)mn
√ 设 Amn , Bns , A 的列向量为1,2 ,,n , B 的列向量为 1, 2 , , s ，
b11 b12 b1s
则 AB Cms
1
,
2
,
,
n
b21
b22
b2
BT
CT
DT
分块矩阵的逆矩阵：
A
B
1
A1
B
1
B
A 1
A1
B1
A
O
C B
1
A1 O
A1CB1
B
A
C
O 1
B
A1 B 1CA1
⑤任意一个 n 维向量都可以用 e1, e2 ,, en 线性表示.
a11 a12 a1n
行列式的定义
Dn
a21
a22
a2 n
( j1 j2 jn )
( 1) a a a j1 j2 jn
1 j1 2 j2
njn
an1 an2 ann
√ 行列式的计算：
17 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. 18 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.
7
19 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
20 若 A 是 m n 矩阵,则 r( A) min m, n ,若 r( A) m ， A 的行向量线性无关；
线性代数知识点归纳
线性代数知识点归纳线性代数是数学的一个分支，研究向量空间、线性变换、矩阵、行列式等问题。
它是数学的基础，也是应用数学、工程和计算机科学的基础之一、下面将对线性代数的一些重要概念和知识点进行归纳。
1.向量和向量空间：向量是线性代数的基本对象之一，可以表示为一列有序的数或者一个坐标点。
向量可以进行加法和数乘操作。
向量空间是由一组向量构成的集合，满足加法和数乘的封闭性、结合律、交换律、恒等元素等性质。
2.矩阵和矩阵运算：矩阵是由数构成的矩形数组，用于表示线性变换、线性方程组等。
矩阵的加法、数乘、乘法等运算可以定义。
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。
3.行列式：行列式是一个方阵所对应的一个标量值，可以用来判断方阵的可逆性。
行列式的值为0时，方阵不可逆；不为0时，可逆。
4.线性方程组：线性方程组由一组线性方程组成，每个线性方程中的未知数的次数都是1，并且每个未知数的最高项的次数为1、线性方程组的解可以通过高斯消元法等方法求解。
5.特征值和特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量在变换后与原向量方向相同或相反，那么这个向量称为该线性变换的特征向量，相应的特征向量对应的标量值称为特征值。
特征值和特征向量可以用于解析几何、物理中的力、振动等问题。
6.线性变换：线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足线性性质。
线性变换保持加法和数乘的运算。
7.正交性：在向量空间中，两个向量的内积为0时，称这两个向量正交。
正交的向量空间在许多应用中非常有用，例如正交矩阵在旋转变换中用到。
8.基和维度：向量空间中的一个线性无关的向量组称为基。
向量空间中最大线性无关向量组的向量个数称为维数，也就是向量空间的维度。
9.矩阵的转置、迹和逆：矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
矩阵的迹是指主对角线上元素的和。
可逆矩阵的逆矩阵是指与原矩阵相乘等于单位矩阵的矩阵。
10.最小二乘法：最小二乘法是一种通过最小化误差的平方和来求解线性方程组的方法，适用于实际应用中存在误差的情况。
线性代数数学建模案例PPT课件
2021/7/24
20
2021/7/24
21
Matlab实验题
蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但 过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消 耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每 100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟 消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表。
3
网络流的基本假设是（1）网络中流入与流 出的总量相等；（2）每个节点上流入和流出 的总量也相等。例如，上面两图（a）、（b）。 流量在每个节点守恒。 在类似的网络模式中， 每个结点的流量都可以用一个线性方程来表示。
网络分析要解决的问题是：在部分信息(如 网络的输入量)已知的情况下，确定每一分支中 的流量。
【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.
2021/7/24
24
【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x元, y元, z元刚好满足需求. 则有下表
产出(1元)
产出
煤
电
运
煤0
0.6 0.5
x
分配 0.6y + 0.5z
订单 60000
消 电 0.3 0.1 0.1
y
耗
运 0.2 0.1
0
z
0.3x + 0.1y + 0.1z 100000
理? 。
2021/7/24
8
【模型假设】： （1） 每条道路都是单行线 （2） 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.
【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④ 四个路口进出车辆数目分别满足：
02我的线性代数模型介绍
2 x1 x2 6 x3 10 x1 4 x1 5 x2 x3 10 x1 4 x 4 x 3 x 10 x 2 3 1 1
线性代数模型（8/59）
求解
计算
>>A=[-8 1 6;4 -5 1;4 4 -7] >>rref(A)
ans = 1 0 0
线性代数模型介绍
线性代数的思想已经渗透到数学的每个分 支。当我们研究多变量函数及其微分时，矩 阵便成为不可缺少的工具，计算机更为线性 代数的应用开拓了广泛的天地。 有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感 觉，难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩 展到线性空间，利用线性代数的基本知识建 立模型，就可以掌握事物的内在规律，预测 其发展趋势。
线性代数模型（10/59）
构建模型
设P表示番茄的收获的价格， 2表示玉米的收获 P 1 价格，3表示茄子的收获价格，据题意，得收入— P 支出矩阵（或称交换矩阵）为
1 2 1 E 3 1 6
1 3 1 3 1 3
1 4 1 4 1 2
E0
线性代数模型（11/59）
线性代数模型（24/59）
排名 132456 合理吗
循环比赛的结果——竞赛图
每对顶点间都有边相连的有向图
2 2
3个顶点 的竞赛图 名次
4个顶点 的竞赛图
4 1
1
(1)
3
1
(2)
3
{1，2，3}
1 1
{(1,2,3)}并列
1
2
3
(1)
2
4
(2)
2
3 4
(3)
2
3 4 3
(4)
名次
数学建模简明教程课件-第4章-线性代数模型
第4章 线性代数模型4.1 行列式与矩阵本节案例主要涉及线性代数中矩阵与方阵的行列式等概念，通过案例建立数学模型，加深对行列式、矩阵及矩阵运算等相关知识的进一步理解以及了解这些概念的实际应用。
4.1.1 过定点的多项式方程的行列式1.问题提出求通过空间中三个点(1,2,3)，(3,5,6)，(2,2,4)的平面方程。
2.模型建立与求解已知三个点可以确定一个平面，设平面方程为+0ax by cz d ++=，而三个点在这个平面上，所以它们均满足这个平面方程，因而有0,230,3560,2240.ax by cz d a b c d a b c d a b c d +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 这是一个以,,,a b c d 为未知量的齐次线性方程组，且,,,a b c d 不全为0，说明该齐次线性方程组必有非零解，于是系数行列式等于零，即11231035612241x y z =，从而得到平面方程为3340x y z +-+=。
计算的MATLAB 程序如下： clc, clear, syms x y zD=[x,y,z,1;1,2,3,1;3,5,6,1;2,2,4,1]; s=det(D) 3.模型拓展对于n 次多项式2012n n y a a x a x a x =++++L ，其系数为011,,,n a a a +L ，可由其曲线上1n +个横坐标互不相同的点112211(,),(,),,(,)n n x y x y x y ++L 所唯一确定。
因为1n +个点满足这个多项式，则有201121112012222220112111,,.n n nn n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ++++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L L L L L L L L L L L L 这是一个含有1n +个方程，以011,,,n a a a +L 为1n +个未知量的线性方程组，其系数行列式为21112222221111111nn nnn n n n n n x x x x x x D x x x x x x +++=L L M MMM LL .(4.1)这是一个范德蒙行列式。
第四章,线性代数模型
第四章线性代数模型§4.1 几个数学游戏向量、向量空间、矩阵等都是线性代数中的重要概念，本节将通过一些简单的实例来说明它们在实际中的应用。
例4.1（人、狗、鸡、米过河问题）这是一个人所共知而又十分简单的智力游戏。
某人要带狗、鸡、米过河，但小船除了需要有人去划以外，最多只能载一物过河，而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如何过河。
要知道例4.1的答案并不困难。
第一次，人只能带鸡过河。
到了对岸，人只有自己回来，将鸡留在对岸，否则，又返回了初始状态。
接下来，人可以带狗过河，也可以带米过河，但回来时有一定要将鸡带回，……，按此推导下去，读者不难找到过河方法。
我们研究本例的目的不在于找出答案，而是想设计出一种让计算机自行搜索寻找答案的方法。
为此目的，我们先把例1转化为状态转移问题。
首先，应当如何表达状态呢？不同的情况应采取不同的方法，在本例中，人鸡狗米都只有两种可能状态，即在此岸或在彼岸（不在此岸）。
我们将用向量来表示状态，可采取如下方法：一物在此岸时相应分量取1，而在彼岸时则相应分量取为0，例如（1,0,1,0）表示人和鸡在此岸，而狗和米则在彼岸。
（i）可取状态：根据题意，并非所有状态都是允许的，例如（0,1,1,0）就是一个不可取的状态，因为狗会咬鸡。
本题中可取状态（即系统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是：人在此岸人在对岸(1，1，1，1) (0，0，0，0)(1，1，1，0) (0，0，0，1)(1，1，0，1) (0，0，1，0)(1，0，1，1) (0，1，0，0)(1，0，1，0) (0，1，0，1)总共有十个可取状态。
对一般情况，也可找出状态为可取的充要条件，让计算机根据充要条件来检查得到的状态是否为可取状态。
（ii）可取运算：状态转移需要经过状态运算来实现。
在实际问题中，摆一次渡即可改变现有状态。
为此再引入一个四维向量（转移向量），用它来反映摆渡情况。
例如（1，1，0，0）表示人带狗摆渡过河。
线性代数模型
S4
S5
S6
S7
0.0602 0.0813 0.3516 0.3867 0.4314 0.5721
0.0700 0.2852 0.4341 0.3491 0.4800 0.4980
0.3205 0.0974 0.4093 0.4240 0.4540 0.3112
0.3289 0.4247 0.1007 0.3249 0.2134 0.1017
出:
pij 2880
qij 320
tij
pij qij 40 i j 2 62
i, j 0,1,........6
2.计算第i条波线被第j个网格所截线段的 长度 dij . （i=1,2,…84; j=1,2,…,36)
波 线 PiQ j的 方 程 为 :
y 0 6 0 x i 6 x + i j y 6i i, j 0,1, .......6 ji
3.) tij 或 ij 传 播 时 间 观 测 值 .
4.) miijj 无空洞时传播时间理论值.
5.) ij 观测误差.
注:
tiijj
p iijj 2880
q iijj 320
.iijj
iijj
6.) dij 第i条波线被第j个网格所截线段的长度.
B2 q0' 1q0' 2 .....q0' 6 ; q1'0q1' 2 .....q1' 6 ;..........; q6' 0q6' 1.....q6' 5 T
qij 或qi'j 弹性波经过空气的长度
线性代数模型
B
d2 d3
1 2
1 1
问题二 机床订购模型
兴兴机械厂生产甲乙丙三种规格的机床，其价格和 成本见下表：
甲
乙
丙
单价（万元/台)
7
6
5
成本(万元/台)
6
4.5
4
1月份,工厂收到北京、上海与广东的订购数量见下表。
请帮兴兴机械厂算一算各地订购三种机床的总价值、总 成本和总利润各是多少？
S公司占的市场份额 69% 69%
使得每年市场份额不变的初始市场份额分配为R公 司31%，S公司69%
问题7 T恤销售量模型
小明百货商店销售四种型号的T衫：小号、中号、 大号和加大号。各种型号的T衫的销售价格分别为：22 元/件、24元/件、26元/件、30元/件。某日盘点时，小 明把各种型号的T衫销售数量弄混了，但他知道共售出 了13件T衫，收入为320元，且大号的销售量为小号与加 大号销售之和，大号的销售收入也为小号与加大号销售 收入之和。问小明当日销售了各种型号的T衫各多少件 ？
三 模型的建立
• 将以上两表转化为矩阵A,B为：
甲乙 丙
A
7 6
6 4.5
54
单价 成本
北京 上海 广东
4 B 5
5 6
7 8
甲 乙
3 4 9 丙
• 北京订购三种机床的数量分别乘以相应的单价7*4+6*5+5 *3为北京订购三种机床的总价值......以此类推，利用矩阵 的乘法运算，得
1 0 1
A 0 1 1
1
1 1
问原信号B是什么？
一 模型的假设
• 假设信号在传输过程中使用相同的密钥
线性代数相关知识培训教程PPT课件( 93页)
例如A162
6 8
1 0
为对称. 阵
1 0 6
说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相
等.
同型矩阵与矩阵相等
1）两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
例如
1 5
2 6
与
14 8
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
Aij (1)i j Mij, Aij叫做元素 aij的代数余子.式
A a i1 A i1 a i2 A i2 a iA n in ( i 1 ,2 , ,n ) A a i1 A j1 a i2 A j2 a iA n jn ( i j)
例1 3 1 1 2 5 1 3 4
p1p2pn
列取 . 和
N阶行列式是一个数,该数是n!项的代数和, 每项为取自表中不同行不同列n个元素的乘 积,符号由这n个元素列标排列的逆序数决定 (行标按自然顺序排列),奇排列带负号,偶排 列带正号.
2. 行列式的性质
1)行列式与它的转置行式列相等,即D DT. 2)互换行列式的两行 (列),行列式变号. 3)如果行列式有两行 (列)完全相同,则此行列式 等于零. 4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 一数k,等于用数k 乘此行列式.
6）逆矩阵
伴随矩阵定义
行列式 A 的各个元素的代数余子式A ij 所
构成的如下矩阵
A11
A
A12
A1n
A21 An1 A22 An2 A2n Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
伴随矩阵性质
AA A AA E .
逆矩阵定义
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线性代数是高等学校理工科和经济类学科相关专业的一门重要基础课，它不仅是其他数学课程的基础，也是物理、力学、电路等专业课程的基础。
作为处理离散问题工具的线性代数，也是从事科学研究和工程设计的科研人员必备的数学工具之一。
实验一 生物遗传模型1.工程背景设一农业研究所植物园中某植物的基因型为AA 、Aa 和aa 。
常染色体遗传的规律是：后代是从每个亲体的基因对中个继承一个基因，形成自己的基因对。
如果考虑的遗传特征是由两个基因A 、a 控制的，那末就有三种基因对，记为AA 、Aa 和aa 。
研究所计划采用Aa(AA)型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。
问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何?2.问题分析分析双亲体结合形成后代的基因型概率，如表6-4所示。
表6-4基因型概率矩阵 后代 基因对 父体—母体的基因对AA —AAAA —Aa AA —aa Aa —Aa Aa —aa aa —aa AA 1 1/2 0 1/4 0 0 Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0 aa1/41/213.模型建立与求解设,,n n n a b c 分别表示第n 代植物中基因型AA 、Aa 、aa 型的植物占植物总数的百分率。
则第n 代植物的基因型分布为()n n n n a x b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，0(0)00a x b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭表示植物型的初始分布。
依据上述基因型概率矩阵，有1112n n n a a b --=+，1112n n n b b c --=+，0n c =，1n n n a b c ++=，表示为矩阵形式11111/2001/21000n n n n n n a a b b c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭记11/2001/21000M ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()(1)2(2)3(3)(0)n n n n n x MxM x M x M x ---=====。
于是问题归结为如何计算nM ，可将M 对角化。
易于计算M 的特征值为1、1/2、0，其相应的特征向量为(1,0,0)T ，(0,1,0)T -，(1,2,1)T-。
令101012001P ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，则111/2001/21000M P P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
于是()(0)1(0)11/2001/21000nn n xM x P P x -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭1(0)1011001010120(1/2)0012001000001nn x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11000001(0)10011(1/2)1(1/2)(1/2)(1/2)01/21/2(1/2)(1/2)0000n n n n n n n n a b c b c x b c ----⎛⎫⎛⎫--++-- ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1001001(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)0n n n n b c b c --⎛⎫-- ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭。
当n →∞，1,0n n a b →→，因此，可以认为经过若干年后，培育出的植物基本上呈现AA 型。
实验二 员工培训问题 1.工程背景某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将1/6熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。
新、老非熟练工经培训及实践至年终考核有2/5成为熟练工。
若记第n 年一月份统计的熟练工与非熟练工所占比例分别为n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭。
2.问题问题1：第n+1年熟练工与非熟练工所占比例11n n x y ++⎛⎫⎪⎝⎭与第n 年熟练工与非熟练工所占比例n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭的关系。
问题2：若第1年熟练工与非熟练工所占比例为111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭。
3.模型建立与求解 依据题意，有1521()656n n n n x x x y +=++，131()56n n n y x y +=+。
整理化简得119210513105n n n n n n x x y y x y ++⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即119210513105n n n n x x y y ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，记9210513105A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，亦有11n n n n x x A y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
由问题1结果，有112111212n n n n n n n x x x A A A y y y +-+-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭。
问题归结为求nA ，可将A 对角化。
易于计算1、1/2是矩阵A 的两个特征值，且相应的特征向量为()()4,1,1,1TT-。
记4111P -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1921010511302105P P -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11104()44()411111221111411550()1()14()222n n n n n n A ⎛⎫+-⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪-+ ⎪⎝⎭⎝⎭。
因此111183()122111023()22n n n n n x A y ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
实验三 多金属分选流程计算1. 工程背景设,j γγ—原矿产率及第j 种产品产率，%，100%γ=；i α—原矿中第i 种金属品位，%；ij β—第j 种产品中第i 种金属品位，%；ijβε—第j 种产品中第i 种金属的理论回收率，%；按照金属平衡和产率平衡进行计算。
为了计算方便，尾矿视为产品。
金属平衡， 1,1,2,,ni jij j i m γαγβ===∑产品平衡，1100%njj γ==∑其中，尾矿产率及金属品位为,n i in θγγθβ== 解次多元线性方程组求出产品产率。
各产品任一金属回收率1100%ijj ijnjijj βγβγβε=⨯=∑。
2. 问题某铅锌矿选矿厂生产的产品为铅、锌、硫精矿和尾矿，已化验知各产品的金属品位（见下表），试计算各产品产率和回收率。
表6-5各产品的化验品位产品名称 品位铅（金属1）锌（金属2）硫（金属3）原矿 3.14 3.63 15.41 铅 71.04 3.71 15.70 锌 1.20 51.50 30.80 硫 0.38 0.35 42.38 尾矿0.340.101.403. 模型建立与求解设铅、锌、硫和尾矿的产率为123,,x x x 和4x ，按照金属平衡与产率平衡，可建立以下线性方程组：123412341234123471.04 1.200.380.34100 3.143.7151.500.350.10100 3.6315.7030.8042.38 1.4010015.41100x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⨯⎧⎪+++=⨯⎪⎨+++=⨯⎪⎪+++=⎩ MATLAB 源代码：A=[71.04 1.20 0.38 0.34;3.71 51.50 0.35 0.10;15.70 30.80 42.38 1.40;1 1 1 1] %创建系数矩阵b=[314 363 1541 100]’; %常数列矩阵 x=A\b %利用x=inv(A)*b x =3.86596.459028.204661.4706又x0=repmat(x,[1,4]); %创建多维数组B0=repmat(b,[1 4])’;s=x0.*A’./B0 %计算各产品的理论回收率，最后一列为产率s=87.4623 3.9511 3.9386 3.86592.4684 91.6361 12.9096 6.45903.4133 2.7194 77.5671 28.20466.6560 1.6934 5.5846 61.4706将计算结果填入下表表6-6各产品产率及回收率计算结果产品名称产率/%回收率/%铅锌硫原矿100 100 100 100铅 3.8659 87.4623 3.9511 3.9386锌 6.4590 2.4684 91.6361 6.4590硫28.2046 3.4133 2.7194 28.2046尾矿61.4706 6.6560 1.6934 61.4706实验四交通流量模型1. 问题图6-8给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数），计算各线路上车辆数.x3 100 x6300 x4 400 200x2 x5 x7300 x1 600 x8200300 500 400 500x9 x10600700图6-8假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量．（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量．2. 模型的建立与求解由假设可知，所给问题满足如下线性方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==-==+=+=+=-=+=+-1006002004001008008002005003006381091098751216754432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3. Matlab 程序实现A=[0,1,-1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0;1,1,0,0,0,0,0,0,0,0;1,0,0,0,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,1,0,0,1,0,1,0,0] % 矩阵A b=[300;500,200;800;800;100;400;200;600,100]B=[A,b] % 增广矩阵B Rank(A) % 计算矩阵A 的秩Rank(B) % 计算增广矩阵B 的秩，若秩相等，则有解 rref(B) % 将增广矩阵B 化为最简型4.结果分析 增广矩阵系数矩阵的秩Rank(A)=8增广矩阵的秩Rank(B)=8<10，说明该非齐次线性方程组有无穷多个解． 增广矩阵的最简型为:其对应的齐次同解方程组为:⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+=+=+==-=+600400100800500200080010987865435251x x x x x x x x x x x x x 以85,x x 做为自由变量，将最简形方程转化为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==+-=+-=+-==+=+-=600400100800500200080010987865435251x x x x x x x x x x x x x 求得其通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6004000100080005002000800001110000000000110112110987654321C C x x x x x x x x x x。