第六章 弯曲应力(张新占 主编 材料力学)

6
4) 作截面C上正应力沿高度的分布规律图
例6-2 工字形截面梁的尺寸及荷载情况如图所示。试求： (1)截面B、C上a、b两点处的正应力；(2)作出截面B、C上 正应力沿高度的分布规律图；(3)求梁的最大拉应力和最大 压应力。 解：1)画梁的弯矩图。
2)确定中性轴的位量并计算截面对中性轴的惯性矩。 由于该工字形截面关于y轴对称的截面， 形心必位于y轴上。将该截面划分为上、 中、下三个矩形，利用组合图形的形心位 量计算方法可得，该截面的形心到截 面上边缘的距离为
bh h bh Iz , ymax ,Wz 12 2 6
3
2
Iz
Iz
d

4
64
, ymax
4
d d ,Wz 2 32
4
3
64 3 D d 4 Wz [1 ( ) ] 32 D
二、正应力强度条件
等直梁
( D d ), ymax
D 2
max
M max ymax Iz
6
max
26 10 130 10 6 46.5 10
3
3
72.69 10 Pa 72.69MPa<
可见，此梁的抗拉、抗压强度都是足够的。
例6-6 如图所示┻形截面铸铁梁。已如a＝2m；梁横截面形心 至上边缘、下边缘的距离分别为y1＝120mm，y2＝80mm；截面 对中性轴的惯性矩为IZ＝52×106mm4；铸铁树料的许用拉应力 [σ+]＝30MPa，许用压应力[σ-] ＝70MPa。试求： (1)此梁的许用荷载[F]；(2)将截面倒置时梁的许用荷载[F]。
3．静力学关系
dA 0
A
z d A 0
A
y d A M
E dA ydA S
A A
y
E
A
E
z
0
Sz 式中，
ydA 为横截面A对中性轴z的静矩。
A
SZ 0 ，这表明，中性轴z为横截面的形心轴。
z d A
A
E

yz d A
脆性材料制成的梁

max
M max y Iz
max


max与
max
y y 式中， 点距中性轴的距离。
(1)校核梁的强度
max 分别代表最大拉应力与最大压应力所在
M max y Iz
max


三、正应力强度计算
(2)设计梁的截面 (3)确定粱的许用荷载
(2)单向受力假设：即将架设想成由众多平行于粱轴线的纵 向纤维所组成．在梁内告纵向纤维之间无挤压．仅承受拉应 力或压应力。
梁弯曲时，一部分纤维伸长，另一部分纤维缩短，其间必存 在一既不伸长也不缩短的过渡层，称为中性层。中性层与横 截面的交线称为中性轴。
横截面上任一点处的纵向线应变与该点到中性轴的距离成正 比，中性轴上各点处的线应变为零。
截面B上b点处的正应力为
Bb
M B yb 8 10 94 10 6 Iz 19.46 10
3 6
3
38.6 10 Pa 38.6MPa(拉应力）
4)绘制截面B、截面C上正应力沿高度的分布规律图。
C截面
B截面
5)确定最大正应力。 可知梁的最大拉应力发生在截面B的下边缘处，梁的最大压应 力发生在截面C的下边缘处，其值分别为
二、纯弯曲时横截面上的正应力
1、变形几何关系
(1)粱表面的横向线变形后仍 为直线．只是转动了一个小 角度。 (2)梁表面的纵向线变形后均 成为曲线，但仍与转动后的 横向线保持垂直，且靠近凹 边的纵向线缩短。而靠近凸 边的纵向线伸长。 对梁的变形做如下假设： (1)平面假设：即变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，且 仍与弯曲后的纵向线保持垂巨，只是绕横截面内某根轴转过了 一个角度。
yc
Ay A
i i
i
160 200 100 120 160 80 70mm 160 200 120 160 3 160 200 2 Iz 160 200 30 12 3 120 160 2 120 160 50 12
M EI z
1
My Iz
My Iz
横截面上任一点处的弯曲正应力与该截面的弯矩成正比，与截 面对中性轴的惯性矩成反比，与点到中性轴的距离成正比即沿 截面高度线性分布，而中性轴上各点处的弯曲正应力为零。
三、纯弯曲公式的推广
对于一般的细长梁(梁的跨度与横截面高度之比大于5)，横 截面上的正应力分布规律与纯弯曲时几乎相同，即切应力和 挤压应力对正应力的影响很小，可以忽略不计。所以，纯弯 曲的公式可以推广应用于横力弯曲时的细长梁。 例6-1 箱形截面简支梁荷载情况及横截面尺寸如图所示。试 求：(1)梁最大弯矩所在截面上a，b，c，d四点处的正应力； (2)绘出最大弯矩所在截面上正应力沿高度的分布规律图。
46.5 10 mm 46.5 10 m
6 4
6
4
(3)核核粱的强度。

max
M max y Iz
6
max
26 10 70 10 6 46.5 10
3
3
39.14 10 Pa 39.14MPa<

max
M max y Iz
ydA y dA I
2 A A
E
E
z
M
Iz 式中，
2 y dA 为横截面A对中性轴z的惯性矩。 A
这是用曲率1/ρ表示的梁弯曲变形的计算公式。它表示梁弯 曲时，弯矩对其变形的影响。梁的EIz越大，曲率1/ρ小越小， 故将EIz称为梁的弯曲刚度，它反映了梁抵抗弯曲变形的能力。
3
查型钢规格表，选10号工字钢。
例6-5 槽形截面梁的尺寸及荷载情况如图所示。已如梁的材 料为铸铁，其许用拉应力[σ]=40MPa ，许用压应力 [σ]=80MPa。试按弯曲正应力强度条件校核梁的强度。
解：(1)求梁的最大弯矩。作梁的弯矩图
M max 26kN m
(2)确定中性轴的位置并计算截面对中性轴的惯性矩。
M C yb 10 10 94 10 6 Iz 19.46 10
3 6
3
48.3 10 Pa 48.3MPa(压应力）
截面B上a点处的正应力为
Ba
M B ya 8 10 66 10 6 Iz 19.46 10
3 6
3
27.13 10 Pa 27.13MPa(压应力）
ya 70mm, yb 50mm, yc 0mm, yd 70mm
a点处的 正应力为
M C ya 20 10 70 10 a 6 Iz 14.96 10
3
3
93.6 10 Pa 93.6MPa
6
b点处的 正应力为
M C yb 20 10 50 10 b 6 Iz 14.96 10
解：(1)求粱的最大弯 矩。作梁的弯矩图如 图所示，可见，最大 负弯矩位于截面A上， 最大正弯矩位于截面D 上，其弯矩绝对值分 别为
Fa Fa MA ,MD 2 4
(2)求梁的许用荷载: 1) 求┻形截面梁的许可荷载[F]。 截面A

max
MAy Iz
max
M A y1 Iz
yc
Ay A
i i
i
120 20 10 120 20 80 60 20 150 120 20 120 20 60 20 66mm
根据组合图形惯性矩的计算方法，利用惯性矩的平行移轴公式， 可计算得该截面对中性轴的惯性矩为
120 20 2 Iz 120 20 56 12 3 20 120 2 20 120 14 12 3 60 20 2 60 20 84 12 6 4 19.46 10 mm
3
19.46 10 m
6
4
3)计算截面C、截面B上a，b两点处的正应力。
截面C上a点处的正应力为
Ca
M C ya 10 10 66 10 6 Iz 19.46 10
3 6
3
33.9 10 Pa 33.9MPa(拉应力）
截面C上b点处的正应力为
Cb
F 3 2 120 10 6 2 30 10 6 12 52 10 10

可得
F 13 10 N=13kN
3

max
MAy Iz
max
2．物理关系
根据单向受力假设，梁上各点旨处于单向应力状态。在应力不 超过材料的比例极限即材料为线弹性，以及材料在拉(压)时弹 性模量相同的条件下，由胡克定律，得 横截面上任一点处的弯曲正应力与该点 y 到中性轴的距离y成正比，即弯曲正应 E E 力沿截面高度按线性分布，中性轴上各 点处的弯曲正应力为零。
3
6
3
梁满足强度条件。 例6-4 如图所示悬臂梁用型钢制成，已如[σ]=170MPa 。 试按弯曲正应力强度条件选择工字钢的型号。
解：(1)求梁的最大弯矩。 作梁的弯矩图
M max 8kN m
(2)设计梁的截面。
Wz
M max

80 10 6 170 10 3 3 3 3 0.047 10 m 47 10 mm
例6-3 如图所示简支梁由20a号槽钢制成，已知其弯曲许用正 应力[σ]=170MPa。试按弯曲正应力强度条件校核梁的强度。