重庆市梁平区2021届高三上学期第一次调研考试数学试题

高2021届第一次调研考试

数 学 试 题

本试卷分第I 卷和第II 卷两部分。满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的） 1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A ．M N ⊆ B ．{1,1}M =- C ．M ∅⊆

D ．1M ∈

2．复数

1

13i -的虚部是（ ） A ．310

- B ．

310 C ．110 D ． 110

- 3．已知命题p ：∀x ∈R ，cos x ＞1，则p ⌝是（ ） A ．∃x ∈R ，cos x ＜1 B ．∀x ∈R ，cos x ＜1 C ．∀x ∈R ，cos x ≤1 D ．∃x ∈R ，cos x ≤1

4．函数()f x =3log 3x x +-的零点所在的区间是（ ）

A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，3)

D ．(3，+∞)

5．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )（t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)

()=

1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病

例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则（*t －53）的值约为（ln19≈3）（ ） A ．10 B ．13 C ．63 D ．66 6. 某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处，他沿南偏西60°方向走3km 到达C 处，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为（ ） A ．3或32 B ．3或23 C ．2或32

D ．22

7．如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，∠BOP =x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）

A. B. C. D.

8．已知函数2()2020ln(1)20201x x f x x x -=+++-+，则关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+<的解集为（ ） A ．1(,)4

-∞

B ．1(,)2

-∞

C ．1(,)4

+∞

D ．1(,)2

+∞

二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9. 下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ） A ．()f x x =与2()g x x =

B ．()|1|f t t =-与()|1|g x x =-

C ．()f x x =与2()log 2x

g x =

D ．21

()1

x f x x -=+与()1g x x =-

10．已知向量()()()2,1,1,1,2,,a b c m n ==-=--其中,m n 均为正数，且()

//a b c -，下列说法正确

的是（ ） A ．a ·b =1

B ．a 与b 的夹角为钝角

C ．向量a 在b 方向上的投影为

55

D ．

24m n +=

11. 已知符号函数1,0

sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

下列说法正确的是（ ）

A ．函数sgn()y x =是偶函数

B ．对任意的1,sgn(ln )1x x >=

C ．0x <时，函数sgn()x y e x ⋅-＝的值域为(0,1)

D ．对任意的,sgn()x R x x x ∈⋅＝

12．已知函数()2sin()6

f x x π

ω=-

的图象的一条对称轴为x π=，其中ω为常数，且(0,1)ω∈，则以

下结论正确的是（ ）

A ．函数()f x 的最小正周期为3π

B ．3

(

)34

f π= C ．将函数()f x 的图象向左平移6

π

所得图象关于原点对称

D ．函数()f x 在区间(0,100)π上有67个零点

第II 卷（非选择题，共90分）

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置） 13. 已知向量12(6,),(3,2)e e λ==-，若12e e ⊥，则λ的值为_____________. 14．复数z 满足2z z i +=+，则z =______________.

15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值

约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒. 若2

4m n +=，

则212cos 27m n

-︒＝__________．（用数字作答）

16．对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()''f x 是函数()y f x =的导数

()'y f x =的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．有

同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答问题：若已知函数()3

231

324f x x x x =-

+-，则()f x 的对称中心为____________；计算12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫++++

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

=______________．

四、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

已知全集为R . 函数()log (1)f x x π=-的定义域为集合A ，集合{}

2

20B x x x =--≥.

（1）求A

B ；（2）若{}1

C x m x m =-<≤，()R C B ⊆，求实数m 的取值范围.

18.（本小题满分12分）

从①4

B π

=

，②32sin a B =这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答. 已知ABC

∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且222sin sin sin sin sin A B C B C =++. （1）求角A ；

（2）已知6b =，且_________，求sin C 的值及ABC ∆的面积.（注：如果选择多个条件分别解

答，按第一个解答计分）

19.（本小题满分12分）已知函数()(

)

2cos 3sin cos 1f x x

x x =+-．

（Ⅰ）求()f x 在区间[]0,π上的单调递增区间； （Ⅱ）若()0,απ∈，2

23

f α⎛⎫=

⎪

⎝⎭，求sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 20.（本小题满分12分）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水

果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千

克）满足如下关系：()

253,02()50,251x x W x x x x

⎧+≤≤⎪

=⎨<≤⎪

+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如

培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）． （Ⅰ）求()f x 的函数关系式；

（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?

21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,cos )A x ，(1sin ,cos )B x x +，且

0,2x π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，A ，B ，C 三点满足2133OC OA OB =+.

（1）求证：A ，B ，C 三点共线； （2）若函数2

1()2||3f x OA OC m AB m ⎛⎫=⋅++

⋅+ ⎪⎝⎭的最小值为143

，求实数m 的值. 22.（本小题满分12分）已知函数()x x f x e e -=+，其中e 是自然对数的底数．

（1）若关于x 的不等式)(x mf ≤1x e m -+-在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；

（2）已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(03

00x x a x f +-<成立．试比较1a e -与1e a -的大小，

并证明你的结论．