高考数学经典专题：绝对值不等式含参数成立问题(含详解答案)
高三数学绝对值不等式试题
高三数学绝对值不等式试题1.已知函数(Ⅰ)a=-3时，求不等式的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围【答案】(Ⅰ) [-1，2] ；(Ⅱ) （-，]【解析】(Ⅰ) 当a="-3" 时，即为≤6，将分成，和三种情况，通过分类讨论去掉绝对值，将原不等式等价转化为三个一元一次不等式组，解这些不等式组即可得到原不等式的解集； (Ⅱ)利用绝对值不等式性质：求出的最小值，由关于x的不等式恒成立及不等式恒成立的知识知，＜，解这个不等式，即可得到实数的取值范围．试题解析：(Ⅰ) 当a="-3" 时，为≤6，等价于或或，解得或或，所以不等式的解集为[-1，2]；(5分)(Ⅱ) 因为=，所以＜，解得实数a的取值范围（-，]．(10分)【考点】含绝对值不等式解法，绝对值不等式性质，恒成立问题2.若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是()A．[3，+∞)B．(－∞，3]C．(-1,2)D．(-2,3]【答案】B【解析】当x≤－1时，|x＋1|＋|x－2|＝－x－1－x＋2＝－2x＋1≥3；当－1<x≤2时，|x＋1|＋|x－2|＝x＋1－x＋2＝3；当x>2时，|x＋1|＋|x－2|＝x＋1＋x－2＝2x－1>3；综上可得|x＋1|＋|x－2|≥3，所以只要a≤3.即实数a的取值范围是(－∞，3]，故选B.3.设A＝{x∈Z||x－2|≤5}，则A中最小元素为( )A．2B．－3C．7D．0【答案】B【解析】由|x－2|≤5，得－3≤x≤7，又x∈Z，∴A中的最小元素为－3，选B.4.不等式解集是_____________________.【答案】【解析】设，则.由，解得，所以解集为【考点】分段函数图像不等式5.解不等式：x＋|2x－1|＜3.【答案】{x|－2＜x＜}【解析】原不等式可化为或解得≤x＜或－2＜x＜.所以不等式的解集是{x|－2＜x＜}．6.若存在实数使得成立，则实数的取值范围为.【答案】【解析】在数轴上，表示横坐标为的点到横坐标为的点距离，就表示点到横坐标为1的点的距离，∵，∴要使得不等式成立，只要最小值就可以了，即，∴．故实数的取值范围是，故答案为：．【考点】绝对值不等式的解法．7.已知函数．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数．若关于的不等式的解集是.即等价于对恒成立.等价于恒成立.即的最小值大于或等于.由绝对值不等式的性质可得.所以即.所以填.【考点】1.绝对值不等式的性质.2.不等式中恒成立问题.3.最值问题.8.已知函数．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）当时，解不等式：．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）即求出即可；（2）去绝对值解答.试题解析：（1）即2分又5分（2）当时，当时，当时，综上，解集为10分【考点】不等式选讲、绝对值不等式.9.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】表示的是到的距离和到的距离之和，表示的是到的距离，当时，此时若时则不能保证的解集为；当时，此时若时则不能保证的解集为；当，即，此时当为时，所以.【考点】1.绝对值不等式的几何意义.10.已知函数(I)若不等式的解集为，求实数的值；(II)在(I)的条件下,若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围为（-∞，5]．【解析】（Ⅰ）不等式的解集为，求实数a的值，首先解不等式，解得，利用解集为，从而求出的值；（Ⅱ）若对一切实数恒成立，转化为求的最小值，只要实数的取值小于或等于它的最小值，不等式对一切实数恒成立，故关键点是求的最小值，由（Ⅰ）知，故，设，于是，易求出最小值为5，则的取值范围为（-∞，5]．试题解析：（Ⅰ）由得，解得．又已知不等式的解集为，所以，解得.（Ⅱ）当时，，设，于是，所以当时，；当时，；当时，．综上可得，的最小值为5．从而若，即对一切实数恒成立，则的取值范围为（-∞，5]．【考点】本题考不等式的解法，考查学生数形结合的能力以及化归与转化思想.11.设函数（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若函数有最小值，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）分类去掉绝对值符号，化为整式不等式再解，最后取并集即可.（Ⅱ）把函数f（x）化为分段函数，然后再找出f(x)有最小值的充要条件解之即可.试题解析：（Ⅰ）a=1时，f(x)=+x+3当x≥时，f(x)≤5可化为3x-1+x+3≤5,解得≤x；当x<时，f(x)≤5可化为-3x+1+x+3≤5,解得-,综上可得，原不等式的解集为（Ⅱ）f(x)= +x+3=函数有最小值的充要条件是，解得【考点】1.绝对值不等式；2.分段函数及其求函数值.12.设函数，．(1) 解不等式；(2) 设函数，且在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容.(1)利用数轴分段法求解；（2）借助数形结合思想，画出两个函数的图像，通过图像的上下位置的比较，探求在上恒成立时实数的取值范围.试题解析：(1) 由条件知，由，解得. (5分)(2) 由得，由函数的图像可知的取值范围是. (10分)【考点】（1）绝对值不等式；（2）不等式证明以及解法；（3）函数的图像.13.（Ⅰ）（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为．（Ⅱ）（不等式选讲）设函数＞1），且的最小值为，若，则的取值范围【答案】，3≤x≤8【解析】即，即，配方得，，所以，直线与圆相交的弦长为。
2021高三数学北师大版(理)：绝对值不等式含解析
考点1 平面直角坐标系中的伸缩变换伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：错误!的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′λ，y ＝y′μ代入y ＝f (x )，得y′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解．考点2极坐标系与直角坐标系的互化1.极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定方法因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θco s π4＋sin θsi n π4＝2， 即ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝2.所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22. 考点3 极坐标方程的应用利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，这种方法比在直角坐标系中求最值的运算量小．(3)根据极坐标方程判断曲线的位置关系时，只需联立曲线的极坐标方程得方程组，判断方程组解的情况即可．。
绝对值不等式中的含参问题(原创)
绝对值不等式中的含参问题在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些类型的题目作以梳理。
绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转化为一般不等式加以解决。
一、绝对值的最值问题1、当绝对值中x 的系数相同时。
运用三角不等式：||a |−|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |例1：求函数f (x )=|x −3|+|x −4|的最值解：|x −3|+|x −4|≥|(x −3)−(x −4)|=1，函数f (x )的最小值为1。
例2：求函数f (x )=|2x −1|−|2x −3|的最值解：||2x −1|−|2x −3||≤|(2x −1)−(2x −3)|=2，即得到−2≤|2x −1|−|2x −3|≤2，函数f (x )的最小值为−2，最大值为2。
2、当绝对值中x 的系数不相同时。
①零点分段，②写出分段函数，③画草图（或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处），在分界点处求最值。
例：求函数f (x )=|2x −2|+|x +2|的最值解：当{x ≤−2−(x +2)−(2x −2) 即{x ≤−2−3x ， 当{−2<x <1(x +2)−(2x −2) 即{−2<x <1−x +4， 当{x ≥1(x +2)+(2x −2) 即{x ≥13x。
则有f(x)={−3x, x≤−2−x+4, −2<x<13x, x≥1画出草图，或者由每一段的单调性判断直线的上升或者下降，图像从左往右先降，再降，后升，在x=1处，函数取得最小值3。
二、求绝对值中的参数范围1、恒成立问题∀x∈D,a<f(x)恒成立，则a<f min(x)∀x∈D,a>f(x)恒成立，则a>f max(x)例1：|x−3|+|x−4|>a对一切x∈R恒成立，求a的取值范围。
析：先求函数f(x)=|x−3|+|x−4|的最小值，再a<f min(x)解：由|x−3|+|x−4|≥|(x−3)−(x−4)|=1，得f min(x)= 1，则a<1。
绝对值不等式(高考版2)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（二） 例1：解不等式|23||3|4x x ++->；解：3339|23|3||||3||42222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为R 。
例2：3232≤-++x x解：3337|23|2||||2||32222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为φ。
解：（Ⅰ）()25212521213312≥-+≥-+-+-≥-+-=x x x x x x x f ，当仅当21=x 时，等号成立。
（Ⅱ）()()11--+>y y m x f ，由于2112≤--+≤-y y ，故()m x f 2>恒成立，即m 225>，故⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈45,m 。
解：（Ⅰ）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+--<-1312423x x x x x x ，令﹣x+4=4 或 3x=4，得x=0，x=34，所以，不等式 f （x ）≥4的解集是(][)+∞∞-,0,34；（Ⅱ）f （x ）在（﹣∞，1]上递减，[1，+∞）上递增，所以，f （x ）≥f （1）=3，由于不等式f （x ）＜|m ﹣2|的解集是非空的集合，所以，|m ﹣2|＞3，解之，m ＜﹣1或m ＞5，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．解：∵原方程有实根，Δ＝36－4[|a ＋2|＋|2a －1|]≥0，∴|a ＋2|＋|2a －1|≤9.①当a ≥12时，∵a ＋2＋2a －1≤9，∴12≤a ≤83.②当－2≤a ＜12时，∵a ＋2＋1－2a ≤9，∴－2≤a ＜12. 秒杀秘籍:()b x n a x m x f -+-=结论：在绝对值不等式中，系数大的决定不等式的最值。
绝对值之和只有最小值，并在大系数绝对值取到零点时取到最小值；书写过程：323221221≥-+≥-+-+-≥-+-x x x x x x③当a ＜－2时，∵－a －2＋1－2a ≤9，∴－103≤a ＜－2.综上所述，由①②③得a 的取值范围为108,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
高考数学(理)专题辅导：69 绝对值不等式 Word版含解析
课时分层训练(六十九) 绝对值不等式1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.[解] (1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1， 得1≤x ≤2，3分 ∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.5分 (2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1. 10分2．若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值． [解] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a ＜－1时，f (x )＝⎩⎨⎧－3x －1＋2a ，x ≤a ，x －1－2a ，a ＜x ≤－1，3x ＋1－2a ，x ＞－1，3分f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5， 解得a ＝－6；5分当a ＞－1时，f (x )＝⎩⎨⎧－3x －1＋2a ，x ≤－1，－x ＋1＋2a ，－1＜x ≤a ，3x ＋1－2a ，x ＞a ，7分f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5， 解得a ＝4.9分 综上所述，实数a 的值为－6或4.10分3．(·衡水中学调研)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝－3时，不等式f (x )≥3化为|x －3|＋|x －2|≥3.(*) 若x ≤2时，由(*)式，得5－2x ≥3，∴x ≤1.若2＜x ＜3时，由(*)式知，解集为∅. 若x ≥3时，由(*)式，得2x －5≥3，∴x ≥4. 综上可知，f (x )≥3的解集是{x |x ≥4或x ≤1}. 4分(2)原不等式等价于|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |，(**) 当1≤x ≤2时，(**)式化为4－x －(2－x )≥|x ＋a |， 解得－2－a ≤x ≤2－a .8分 由条件，[1,2]是f (x )≤|x －4|的解集的子集， ∴－2－a ≤1且2≤2－a ，则－3≤a ≤0， 故满足条件的实数a 的取值范围是[－3,0].10分 4．(·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1. 所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}.5分(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.因此|a ＋b |＜|1＋ab |.10分5．(·湖南长郡中学模拟)已知正实数a ，b 满足：a 2＋b 2＝2ab . (1)求1a ＋1b 的最小值m ；(2)设函数f (x )＝|x －t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1t (t ≠0)，对于(1)中求得的m 是否存在实数x ，使得f (x )＝m2成立，说明理由.【导学号：57962489】[解] (1)∵2ab ＝a 2＋b 2≥2ab ， ∴ab ≥ab (a ＞0，b ＞0)，则ab ≤1. 又1a ＋1b ≥2ab ≥2，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴1a ＋1b的最小值m ＝2. 5分(2)函数f (x )＝|x －t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1t ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1t －(x －t )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t ＋t ＝|t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t ≥2. 对于(1)中的m ＝2，m2＝1＜2. ∴满足条件的实数x 不存在.10分6．(·郑州质检)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式|x －1|＜f (x )；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n ＞0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a ＞0)恒成立，求实数a的取值范围．[解] (1)依题设，得|x －1|＜|3x ＋2|， 所以(x －1)2＜(3x ＋2)2，则x ＞－14或x ＜－32，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－14或x ＜－32. 4分(2)因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以1m ＋1n ＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝2＋m n ＋n m ≥4，当且仅当m ＝n ＝12时，等号成立． 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x ＜－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x ＞a ，8分则x ＝－23时，g (x )取得最大值23＋a ， 要使不等式恒成立，只需g (x )ma x ＝23＋a ≤4. 解得a ≤103.又a ＞0，因此0＜a ≤103. 10分。
2021届高考数学一轮复习第二章不等式第4节绝对值不等式及其应用含解析
第4节 绝对值不等式及其应用考试要求 1。
理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：｜a ＋b ｜≤｜a |＋｜b ｜（a ，b ∈R )；|a －b ｜≤|a －c ｜＋|c －b |（a ，b ∈R ）；2。
会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：｜ax ＋b ｜≤c ；｜ax ＋b |≥c ；|x －c |＋｜x －b |≥a .知 识 梳 理1。
绝对值不等式的解法(1）含绝对值的不等式|x ｜<a 与｜x ｜>a 的解集不等式a >0 a ＝0 a <0 |x |<a（－a ，a ） ｜x ｜〉a （－∞,－a )∪（a ，＋∞) (－∞，0）∪（0，＋∞) R（2）|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b ｜≥c （c 〉0）型不等式的解法 ①｜ax ＋b ｜≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ;②｜ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .（3）|x －a |＋|x －b ｜≥c (c ＞0)和|x －a ｜＋|x －b ｜≤c (c ＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2。
含有绝对值的不等式的性质（1)如果a,b是实数，则|a＋b|≤｜a｜＋|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立；(2）|a｜－｜b｜≤|a±b｜≤｜a｜＋|b|；（3）如果a，b，c是实数，那么|a－c｜≤｜a－b｜＋|b－c|，当且仅当（a－b)(b－c）≥0时，等号成立。
［常用结论与易错提醒］1。
绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法,数形结合法，构造函数法。
2。
不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决。
3。
可以利用绝对值三角不等式定理｜a｜－｜b|≤｜a±b|≤|a|＋|b｜求函数最值，要注意其中等号成立的条件。
高二数学绝对值不等式试题答案及解析
高二数学绝对值不等式试题答案及解析1.设函数（1）解不等式；（2）求函数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解含绝对值的不等式，关键是去掉绝对值符号，其方法有三种：①定义法；②平方法；③分区间讨论法，这里用的是分区间讨论法，遇到多个绝对值时常用此方法；（2）求绝对值函数的值域，通常是通过分区间讨论，去掉绝对值符号，将绝对值函数改写成分段函数，然后就每段求的范围，最后再将每段求得的范围求并集，注意不是求交集，从而得到绝对值函数的值域.试题解析：（1）不等式等价于：①；②；③，综合①②③得不等式的解集为：（2）①当时，；②当时，③当时，综合①②③得函数的值域为，因此求函数的最小值为.【考点】1.含绝对值的不等式的解法；2.绝对值函数的值域的求法；3.分类讨论思想.2.已知定义在R上的函数的最小值为.（1）求的值；（2）若为正实数，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】解题思路：（1）利用求得的最小值；（2）利用证明即可.规律总结：不等式选讲内容，一般难度不大，主要涉及绝对值不等式和不等式的证明，证明或求最值，要灵活选用有关定理或公式.试题解析：（1）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.（2）由（1）知,又因为是正数,所以,即.【考点】1.绝对值不等式；2.重要不等式.3.设函数(1)求不等式的解集；(2)若不等式（，，）恒成立，求实数的范围．【答案】（1）;(2).【解析】(1)欲解不等式，需去掉绝对值，考虑到含有两个绝对值，因此分三段去，然后解.（2）要使不等式恒成立，则,考虑到不等式性质,不等式右侧可化简.试题解析：去绝对值，函数可化为,分三段解不等式，可得解集为：.由, 可得, 由（1）可解得：【考点】（1）含绝对不等会的解法；（2）恒成立问题（一般采用分离常数）.4.已知函数（1）解关于的不等式；（2）若存在，使得的不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）【解析】（1）先去掉绝对值得到，然后遂个求解不等式最终可得解集；（2）利用含参不等式的求解方法先确定因为所以则．试题解析：（1）原不等式等价于①： 1分或②： 2分或③： 3分解不等式组①无解； 4分解不等式组②得： 5分解不等式组③得： 6分所以原不等式的解集为 7分；（2）依题意 9分因为，所以 11分所以， 12分所以实数的取值范围为 13分．【考点】1，分段函数2，含参函数不等式的求解．5.对于实数，若，则的最大值为（）A．4B．6C．8D．10【答案】B【解析】因为又因为，可得，故选B.【考点】绝对值不等式.6.不等式的解集为A．[-5.7]B．[-4,6]C．D．【答案】C【解析】本题利用绝对值的几何意义，结合数轴求解。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知函数.（1）解不等式: ；（2）当时, 不等式恒成立,求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于，可以转化为，所以分3种情况，，进行讨论去掉绝对值符号解不等式；第二问，，所以利用不等式的性质得到最大值代入上式，解不等式，得到a的取值范围.试题解析：（1）原不等式等价于:当时, ,即；当时, ,即；当时, ,即.综上所述,原不等式的解集为. （5分）（2）当时,=所以（10分）【考点】绝对值不等式的解法、不等式的性质.2.集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是______．【答案】(－2,2)【解析】A＝{x|<0}＝{x|－1<x<1}，B＝{x||x－b|<a}＝{x|b－a<x<b＋a}，因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2.3.不等式有实数解的充要条件是_____.【答案】．【解析】记，则不等式有实数解等价于，因为，故【考点】绝对值三角不等式.4.（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是_________．【答案】（﹣∞，8]【解析】由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．5.已知关于x的不等式的解集不是空集，则a的最小值是__________。
【答案】-9【解析】解：由关于x的不等式的解集不是空集得：即a的最小值是，所以答案应填．【考点】1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的解法．6.若存在实数使成立，则实数的取值范围_______【答案】【解析】由又因为存在实数使成立则，则【考点】绝对值不等式；存在性问题.7.已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为，则t＝()A．0B．-1C．-2D．-3【答案】A【解析】∵|2x－t|<1－t，∴t－1<2x－t<1－t，即2t－1<2x<1，，∴t＝0，选A.8.解不等式：|x＋1|>3.【答案】(－∞，－4)∪(2，＋∞)．【解析】由|x＋1|＞3得x＋1＜－3或x＋1＞3，解得x＜－4或x＞2.所以解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．9.解不等式：|2x－1|－|x－2|<0.【答案】{x|－1＜x＜1}．【解析】原不等式等价于不等式组①无解；②解得<x<1；③解得－1＜x≤.综上得－1＜x＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．10.解不等式：|x＋3|－|2x－1|<＋1.【答案】{x|x<－或x>2}【解析】①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3.②当－3≤x<时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，∴－3≤x<－.③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，解得x>2，∴x>2.综上可知，原不等式的解集为{x|x<－或x>2}．11.解不等式：|x－1|>.【答案】{x|x<0或x>2}【解析】当x<0时，原不等式成立；当x≥1时，原不等式等价于x(x－1)>2，解得x>2或x<－1，所以x>2；当0<x<1时，原不等式等价于x(1－x)>2，这个不等式无解．综上，原不等式的解集是{x|x<0或x>2}．12.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【答案】（1）x≤1或x≥4（2）－3≤a≤0【解析】(1)当a＝－3时，f(x)≥3，|x－3|＋|x－2|≥3，或或解得x≤1或x≥4.(2)原命题f(x)≤|x－4|在[1，2]上恒成立|x＋a|＋2－x≤4－x在[1，2]上恒成立－2－x≤a≤2－x在[1，2]上恒成立，故－3≤a≤0.13. A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为(为参数)，圆的参数方程为(为参数),则圆心到直线的距离为_________．B．（几何证明选讲）如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，,则_________．C．（不等式选讲）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．【答案】A.；B．；C．【解析】A.先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B．在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．C.由绝对值的基本不等式得：，解得－3≤m≤1.【考点】(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.14.设函数.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若存在，使，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据绝对值不等式公式可得的解集，根据其解集与集合可得的值。
高二数学绝对值不等式(含答案)
高二数学绝对值不等式一、选择题 ： 1．已知{}2,Ma a =≥{}2(2)(3)0,A a a a a M =--=∈则集合A 的子集共有（ ）A ．1个B ．2个C ．4个D ．8 个【答案】B2．不等式2|x 2|2-<的解集是（ ）A ．（﹣1，1）B ．（﹣2，2）C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．（﹣2，0）∪（0，2）【答案】D3．不等式||x －2>1的解集是( )A ．(1，3)B ．(－∞，1)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)【答案】D4．不等式|x ＋1|>x ＋1成立的充分不必要条件是( )A ．x <0B ．x >－1C ．x <－1D ．x <－2【答案】D5．不等式|x －2|＋|x ＋1|<5的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．(－2，4)D ．(－2，3)【答案】D6．不等式5310x x -++≥的解集是（ ）A ．[]5,7-B ．[]4,6-C ．(][),57,-∞-⋃+∞D ．(][),46,-∞-⋃+∞【答案】D7．不等式3≤|5﹣2x|<9的解集为（）A．[﹣2，1）∪[4，7）B．（﹣2，1]∪（4，7]C．（﹣2，﹣1]∪[4，7）D．（﹣2，1]∪[4，7）【答案】Dx－2＋||x>a恒成立”的()8．已知a∈R，则“a<2”是“||A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C9．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|>a2＋a＋1的解集为R，则a的取值范围是() A．(0，1) B．(－1，0) C．(1，2) D．(－∞，－1)【答案】B10．不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【答案】A11．已知不等式|x＋2|＋|x－3|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A．a<5 B．a≤5 C．a>5 D．a≥5【答案】D12．若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是()A．a＜－1 B．a≥1 C．|a|＜1 D．|a|≤1【答案】D二、解答题 ：13．选修4-5：不等式选讲已知函数|4||8|)(---=x x x f ． （1）作出函数)(x f y =的图像； （2）解不等式2|4||8|>---x x ． 【答案】解：（1）4()2124f x x ⎧⎪=-+⎨⎪-⎩，，4488.x x x ≤<≤>，图象如下：（2）不等式842x x --->，即()2f x >， 由2122x -+=得5x =．由函数()f x 图象可知，原不等式的解集为(5)-∞，．14．已知关于x 的不等式|x ﹣3|+|x ﹣4|<a ．（1）当a=2时，解上述不等式；（2）如果关于x 的不等式|x ﹣3|+|x ﹣4|<a 的解集为空集，求实数a 的取值范围．【答案】（1）原不等式|x ﹣3|+|x ﹣4|<2当x<3时，原不等式化为7﹣2x<2，解得5x 2>，∴5x 32<< 当3≤x≤4时，原不等式化为1<2，∴3≤x≤4 当x>4时，原不等式化为2x ﹣7<2，解得9x 2<，∴94x 2<<综上，原不等式解集为59xx 22⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）法一､作出y=|x ﹣3|+|x ﹣4|与y=a 的图象，若使|x ﹣3|+|x ﹣4|<a 解集为空集只须y=|x ﹣3|+|x ﹣4|图象在y=a 的图象的上方， 或y=a 与y=1重合，∴a≤1 所以，a 的范围为（﹣∞，1]，法二､：y=|x ﹣3|+|x ﹣4|=2x 7,x 41,3x 472x,x 3-≥⎧⎪≤≤⎨⎪-<⎩当x≥4时，y≥1 当3≤x<4时，y=1 当x<3时，y>1综上y≥1，原问题等价为a≤[|x ﹣3|+|x ﹣4|]min ∴a≤1 法三､：∵|x ﹣3|+|x ﹣4|≥|x ﹣3﹣x+4|=1， 当且仅当（x ﹣3）（x ﹣4）≤0时，上式取等号 ∴a≤1．15．已知函数f （x ）=log 2（|x+1|+|x ﹣2|﹣m ）．（1）当m=5时，求函数f （x ）的定义域；（2）若关于x 的不等式f （x ）≥1的解集是R ，求m 的取值范围【答案】（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x ﹣2|＞5， 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：2125x x x ≥⎧⎨++->⎩，或12125x x x ≤<⎧⎨+-+>⎩，或1125x x x >⎧⎨---+>⎩， 解得函数f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）； （2）不等式f （x ）≥1即|x+1|+|x ﹣2|＞m+2，∵x ∈R 时，恒有|x+1|+|x ﹣2|≥|（x+1）﹣（x ﹣2）|=3， 不等式|x+1|+|x ﹣2|＞m+2解集是R ，∴m+2＜3，m 的取值范围是（﹣∞，1）． 故答案为（﹣∞，1）．16．已知函数f （x ）=|x ﹣a|．（1）若不等式f （x ）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若f （x ）+f （x+5）≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）由f （x ）≤3得|x ﹣a|≤3， 解得a ﹣3≤x≤a+3．又已知不等式f （x ）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}， 所以3135a a -=-⎧⎨+=⎩解得a=2．（6分）（2）当a=2时，f （x ）=|x ﹣2|． 设g （x ）=f （x ）+f （x+5），于是()21,323532212x x g x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩所以当x<﹣3时，g （x ）>5； 当﹣3≤x≤2时，g （x ）=5； 当x>2时，g （x ）>5．综上可得，g （x ）的最小值为5． 从而，若f （x ）+f （x+5）≥m即g （x ）≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为（﹣∞，5]．17．设函数()3f x x a x =-+，其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集 （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值．【答案】解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．由此可得3x ≥或1x ≤-． 故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-． （Ⅱ）由()0f x ≤得：30x a x -+≤此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x a a a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-由题设可得2a-= 1-，故2a =18．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f (x)|2x 1||2x a |=-++，g(x)x 3=+． （Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f (x)g(x)<的解集； （Ⅱ）设a ＞﹣1，且当时，f (x)g(x)≤，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3＜0．设y=|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y ＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）． （Ⅱ）设a ＞﹣1，且当时，f （x ）=1+a ，不等式化为 1+a≤x+3，故 x≥a ﹣2对都成立．故﹣≥a ﹣2，解得 a≤，故a 的取值范围为（﹣1，]．19．设函数()|1|||f x x x a =-+-．（Ⅰ）若1,a =-解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）当()11a f x x x =-=-++时，． 由()3113f x x x ≥-++≥得．①1x ≤-时，不等式化为11323x x x ---≥-≥．即．不等式组1()3x f x ≤-⎧⎨≥⎩的解集为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．②当11x -<≤时，不等式化为113x x -++≥，不可能成立． 不等式组11()3x f x -<≤⎧⎨≥⎩的解集为∅．③当1x >时，不等式化为1323x x x x -++≥≥，即．不等式组1()3x f x >⎧⎨≥⎩的解集为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．综上得，()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．（Ⅱ）若1a =，()21f x x =-，不满足题设条件．若1a <，21,,1,1,2(1),1x a x a a a x x a x -++≤⎧⎪-<<⎨⎪-+≥⎩，f x （）的最小值为1-a ． 若1a >，21,1,1,1,2(1),.x a x a x a x a x a -++≤⎧⎪-<<⎨⎪-+≥⎩，f x （）的最小值为a-1． 所以x R ∀∈，()2f x ≥的充要条件是12a -≥，从而a 的取值范围为][(13)-∞-⋃+∞，，．20．已知()2f x x x a =--．（I ）当1a =时，解不等式()2f x x <-； （II ）当(0,1]x ∈时，()2112f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}|2x x <（2）12a ⎛∈- ⎝。
高考数学一轮复习第12章选修4系列第3讲绝对值不等式讲义理含解析
第3讲绝对值不等式1．绝对值不等式(1)定理如果a，b是实数，那么|a＋b|≤□01|a|＋|b|，当且仅当□02ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当□03(a－b)(b－c)≥0时，等号成立，即b落在a，c之间．(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式①|a1＋a2＋…＋a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|.②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.2．绝对值不等式的解法(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．(2)①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集．②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法．|ax＋b|≤c⇔□03－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔□04ax＋b≤－c或ax＋b≥c(c>0)．1．概念辨析(1)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( )(2)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( )(3)|ax＋b|≤c(c≥0)的解集，等价于－c≤ax＋b≤c.( )(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．小题热身(1)设a ，b 为满足ab <0的实数，那么( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |<||a |－|b || D ．|a －b |<|a |＋|b | 答案 B解析 ∵ab <0，∴|a －b |＝|a |＋|b |>|a ＋b |.(2)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 答案 2解析 由|kx －4|≤2⇔2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. (3)函数y ＝|x －3|＋|x ＋3|的最小值为________． 答案 6解析 因为|x －3|＋|x ＋3|≥|(x －3)－(x ＋3)|＝6，当－3≤x ≤3时，|x －3|＋|x ＋3|＝6，所以函数y ＝|x －3|＋|x ＋3|的最小值为6.(4)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是________． 答案 (－∞，4)解析 |x －1|－|x －5|表示数轴上对应的点x 到1和5的距离之差．而数轴上满足|x －1|－|x －5|＝2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x －1|－|x －5|<2的解集是(－∞，4)．题型 一 解绝对值不等式设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )>2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解 (1)解法一：令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4.原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－x －5>2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x <4，3x －3>2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ＋5>2.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－7或x >53. 解法二：f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x <－12，3x －3，－12≤x <4，x ＋5，x ≥4.画出f (x )的图象，如图所示．求得y ＝2与f (x )图象的交点为(－7,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2. 由图象知f (x )>2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－7或x >53. (2)由(1)的解法二知，f (x )min ＝－92.条件探究 把举例说明中函数改为“f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|”，解不等式|f (x )|>1.解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为{|x x <13或1<x <3或x >5.解|x －a |＋|x －b |≥c 或|x －a |＋|x －b |≤c 的一般步骤 (1)零点分段法①令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间； ③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集． (2)利用|x －a |＋|x －b |的几何意义数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解．见举例说明．提醒：易出现解集不全的错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．1．求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集．解 当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解； 当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2. 综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．2．若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为{|x －53<x <13，求a 的值．解 ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5. 当a >0时，－1a <x <5a ，－1a ＝－53，且5a ＝13无解； 当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符； 当a <0时，5a <x <－1a ，5a ＝－53，且－1a ＝13，解得a ＝－3.题型 二 绝对值不等式性质的应用角度1 用绝对值不等式的性质求最值 1．设函数f (x )＝|2x －3|.(1)求不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集；(2)若g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )的最小值为4，求实数m 的值． 解 (1)∵f (x )>5－|x ＋2|可化为|2x －3|＋|x ＋2|>5， ∴当x ≥32时，原不等式化为(2x －3)＋(x ＋2)>5，解得x >2，∴x >2；当－2<x <32时，原不等式化为(3－2x )＋(x ＋2)>5，解得x <0，∴－2<x <0；当x ≤－2时，原不等式化为(3－2x )－(x ＋2)>5，解得x <－43，∴x ≤－2.综上，不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)． (2)∵f (x )＝|2x －3|，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )＝|2x ＋2m －3|＋|2x －2m －3|≥|(2x ＋2m －3)－(2x －2m －3)|＝|4m |，∴依题意有4|m |＝4，解得m ＝±1.角度2 用绝对值不等式的性质证明不等式 (多维探究)2．设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .证明 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3， 所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)| ≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a .即|2x ＋y －4|<a .结论探究 举例说明条件不变，求证：|x －2y ＋1|<a ＋2. 证明 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|<|x －1|＋|2(y －1)|＝|x －1|＋|2(y －2)＋2|<|x －1|＋2|y －2|＋2a 3＋2·a3＋2＝a ＋2.1．证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明． 2．用绝对值不等式的性质求最值的方法利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R )，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值．(2018·江西南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|. (1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围； (2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值． 解 (1)由题意f (x )≤2－|x －1|，即为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1， 由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1≤1，即0≤a ≤4.∴实数a 的取值范围是[0,4]．(2)由2x －a ＝0得x ＝a2，由x －1＝0得x ＝1， 由a <2知a2<1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x <a 2，x －a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤x ≤1，3x －a －x函数的图象如图所示．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a2＋1＝3，解得a ＝－4.题型 三 与绝对值不等式有关的参数范围问题(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1，不符合题意；若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <2a ，所以2a≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．条件探究 把举例说明函数改为“f (x )＝|2x －1|－|x －a |”，若x ∈(－1,0)时，f (x )>1有解，求a 的取值范围．解 当x ∈(－1,0)时，f (x )>1有解⇔|x －a |<－2x 有解⇔2x <x －a <－2x 有解⇔3x <a <－x 有解，∵3x >－3，－x <1，∴－3<a <1，即实数a 的取值范围是(－3,1)．两招解不等式问题中的含参问题(1)第一招是转化．①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .(2)第二招是求最值．求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||；③利用零点分区间法．已知f (x )＝|x －a |，a ∈R .(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＋|2x －5|≥6的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )－|x －3|的值域为A ，且[－1,2]⊆A ，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式为|x －1|＋|2x －5|≥6. 当x ≤1时，不等式可化为－(x －1)－(2x －5)≥6， 解得x ≤0，所以x ≤0；当1<x <52时，不等式可化为(x －1)－(2x －5)≥6，解得x ≤－2，所以x ∈∅；当x ≥52时，不等式可化为(x －1)＋(2x －5)≥6，解得x ≥4，所以x ≥4.综上所述，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥4}． (2)因为|g (x )|＝||x －a |－|x －3|| ≤|x －a －(x －3)|＝|a －3|， 所以g (x )∈[－|a －3|，|a －3|]，所以函数g (x )的值域A ＝[－|a －3|，|a －3|]， 因为[－1,2]⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－|a －3|≤－1，|a －3|≥2，解得a ≤1或a ≥5.所以实数a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.（不等式选讲题）对于任意实数和不等式恒成立，则实数x的取值范围是_________.【答案】【解析】依题意可得恒成立，等价于小于或等于的最小值.因为.所以.【考点】1绝对值不等式的性质.2.恒成立问题.3.最值问题.2.关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解集不是空集,求a的取值范围.【答案】(1,+∞)【解析】∵|x-3|+|x-4|≥|(x-3)-(x-4)|=1,∴a>1.即a的取值范围是(1,+∞).3.设函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R.(1)求关于x的不等式f(x)≤5的解集.(2)若g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.【答案】(1) x∈[-,] (2) m>-2【解析】(1)或或不等式的解集为x∈[-,].(2)若g(x)=的定义域为R.则f(x)+m≠0恒成立,即f(x)+m=0在R上无解,又f(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2,f(x)的最小值为2,所以m>-2.4.若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．【答案】[－2,4]【解析】|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.5.若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，8]【解析】因为|x－5|＋|x＋3|表示数轴上的动点x到数轴上的点－3,5的距离之和，而(|x－5|＋|x＋＝8，∴当a≤8时，|x－5|＋|x＋3|<a无解，3|)min故实数a的取值范围为(－∞，8]．6.已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．【答案】（1）{x|0＜x＜2}（2）【解析】(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈时，f(x)＝1＋a，不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，所以x≥a－2对x∈都成立，应有－≥a－2，则a≤，从而实数a的取值范围是.7.若不等式的解集为，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】不等式的解集为，所以.，所以，.【考点】不等式8.设函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）当时，不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）原不等式的解集等价于不等式组或的解集的并集；（Ⅱ）当时，不等式的解集为，恒成立问题，对分类讨论，①，②.试题解析：（Ⅰ）当时，，或或，∴不等式的解集是. 5分[（Ⅱ）不等式可化为，∴，由题意，时恒成立，当时，可化为，，，，综上，实数的取值范围是. 10分【考点】绝对值不等式，恒成立问题.9.（本题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》已知函数(1)证明:(2)求不等式:的解集【答案】（1）；（2）【解析】（1）对于x进行分三类讨论，得到关于x的分段函数，进而分别求解得到解集取其并集得到。
2017-2021年高考真题 绝对值不等式 解答题全集 (学生版 解析版)
2017-2021年高考真题绝对值不等式解答题全集（学生版+解析版）1．（2021•乙卷）已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+3|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）＞﹣a，求a的取值范围．2．（2020•江苏）设x∈R，解不等式2|x+1|+|x|＜4．3．（2020•新课标Ⅲ）设a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1．（1）证明：ab+bc+ca＜0；3．（2）用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥√4 4．（2020•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集．5．（2020•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4的解集；（2）若f（x）≥4，求a的取值范围．6．（2020•新课标Ⅲ）设数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝3a n﹣4n．（1）计算a2，a3，猜想{a n}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n}的前n项和S n．7．（2020•新课标Ⅲ）设a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1．（1）证明：ab+bc+ca＜0；3．（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥√48．（2019•江苏）设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．9．（2019•新课标Ⅲ）设x，y，z∈R，且x+y+z＝1．（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥13成立，证明：a≤﹣3或a≥﹣1．10．（2019•新课标Ⅱ）已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．11．（2019•新课标Ⅰ）已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：（1）1a +1b+1c≤a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．12．（2018•北京）设n为正整数，集合A＝{α|α＝（t1，t2，…t n），t k∈{0，1}，k＝1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α＝（x1，x2，…，x n）和β＝（y1，y2，…y n），记M（α，β）=12[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（x n+y n﹣|x n﹣y n|）]．（Ⅰ）当n＝3时，若α＝（1，1，0），β＝（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；（Ⅱ）当n＝4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）＝0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．13．（2018•新课标Ⅰ）已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．14．（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．15．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．16．（2017•新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3＝2．证明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．17．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．2017-2021年高考真题 绝对值不等式 解答题全集 （学生版+解析版）参考答案与试题解析1．（2021•乙卷）已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +3|．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥6的解集；（2）若f （x ）＞﹣a ，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|+|x +3|={−2x −2，x ≤−34，−3＜x ＜12x +2，x ≥1， ∵f （x ）≥6，∴{x ≤−3−2x −2≥6或{−3＜x ＜14≥6或{x ≥12x +2≥6， ∴x ≤﹣4或x ≥2，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．（2）f （x ）＝|x ﹣a |+|x +3|≥|x ﹣a ﹣x ﹣3|＝|a +3|，若f （x ）＞﹣a ，则|a +3|＞﹣a ，两边平方可得a 2+6a +9＞a 2，解得a ＞−32，即a 的取值范围是（−32，+∞）．2．（2020•江苏）设x ∈R ，解不等式2|x +1|+|x |＜4．【解答】解：2|x +1|+|x |={3x +2，x ＞0x +2，−1≤x ≤0−3x −2，x ＜−1．∵2|x +1|+|x |＜4，∴{3x +2＜4x ＞0或{x +2＜4−1≤x ≤0或{−3x −2＜4x ＜−1， ∴0＜x ＜23或﹣1≤x ≤0或﹣2＜x ＜﹣1，∴﹣2＜x ＜23，∴不等式的解集为{x |﹣2＜x ＜23}．3．（2020•新课标Ⅲ）设a ，b ，c ∈R ，a +b +c ＝0，abc ＝1．（1）证明：ab +bc +ca ＜0；（2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 的最大值，证明：max {a ，b ，c }≥√43．【解答】证明：（1）∵a +b +c ＝0，∴（a +b +c ）2＝0，∴a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ＝0，∴2ab +2ac +2bc ＝﹣（a 2+b 2+c 2），∵abc ＝1，∴a ，b ，c 均不为0，∴2ab +2ac +2bc ＝﹣（a 2+b 2+c 2）＜0，∴ab +ac +bc ＜0；（2）不妨设a ≤b ＜0＜c ＜√43，则ab =1c ＞1√43， ∵a +b +c ＝0，∴﹣a ﹣b ＝c ＜√43，而﹣a ﹣b ≥2√ab ＞2√46=412416=413=√43，与假设矛盾， 故max {a ，b ，c }≥√43．4．（2020•新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝|3x +1|﹣2|x ﹣1|．（1）画出y ＝f （x ）的图象；（2）求不等式f （x ）＞f （x +1）的解集．【解答】解：函数f （x ）＝|3x +1|﹣2|x ﹣1|={ x +3，(x ≥1)5x −1，(−13≤x ＜1)−x −3，(x ＜−13)， 图象如图所示（2）由于f （x +1）的图象是函数f （x ）的图象向左平移了一个单位所得，（如图所示）直线y ＝5x ﹣1向左平移一个单位后表示为y ＝5（x +1）﹣1＝5x +4，联立{y =−x −3y =5x +4，解得横坐标为x =−76， ∴不等式f （x ）＞f （x +1）的解集为{x |x ＜−76}．5．（2020•新课标Ⅱ）已知函数f （x ）＝|x ﹣a 2|+|x ﹣2a +1|．（1）当a ＝2时，求不等式f （x ）≥4的解集；（2）若f （x ）≥4，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝|x ﹣4|+|x ﹣3|={−2x +7，x ≤31，3＜x ＜42x −7，x ≥4， ∴当x ≤3时，不等式f （x ）≥4化为﹣2x +7≥4，即x ≤32，∴x ≤32；当3＜x ＜4时，不等式f （x ）≥4化为1≥4，此时x ∈∅；当x ≥4时，不等式f （x ）≥4化为2x ﹣7≥4，即x ≥112，∴x ≥112．综上，当a ＝2时，不等式f （x ）≥4的解集为{x |x ≤32或x ≥112}；（2）f （x ）＝|x ﹣a 2|+|x ﹣2a +1|≥|x ﹣a 2﹣（x ﹣2a +1）|＝|（a ﹣1）2|＝（a ﹣1）2． 又f （x ）≥4，∴（a ﹣1）2≥4，得a ﹣1≤﹣2或a ﹣1≥2，解得：a ≤﹣1或a ≥3．综上，若f （x ）≥4，则a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．6．（2020•新课标Ⅲ）设数列{a n }满足a 1＝3，a n +1＝3a n ﹣4n ．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【解答】解：（1）法一：数列{a n }满足a 1＝3，a n +1＝3a n ﹣4n ，则a 2＝3a 1﹣4＝5，a 3＝3a 2﹣4×2＝7，…，猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n +1．证明如下：（i ）当n ＝1，2，3时，显然成立，（ii ）假设n ＝k 时，a k ＝2k +1（k ∈N +）成立，当n ＝k +1时，a k +1＝3a k ﹣4k ＝3（k +1）﹣4k ＝2k +3＝2（k +1）+1，故n ＝k +1时成立， 由（i ）（ii ）知，a n ＝2n +1，猜想成立，所以{a n }的通项公式a n ＝2n +1．法二：数列{a n }满足a 1＝3，a n +1＝3a n ﹣4n ，则a 2＝3a 1﹣4＝5，a 3＝3a 2﹣4×2＝7，…，猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n +1．证明：设a n +1+α（n +1）+β＝3（a n +αn +β），可得a n +1＝3a n +2αn +2β﹣α，∴{2α=−42β−α=0，解得{α=−2β=−1， ∴a n +1﹣2（n +1）﹣1＝3（a n ﹣2n ﹣1），（不能说明{a n ﹣2n ﹣1}是等比数列）∵a 1＝3，a 1﹣2×1﹣1＝0，并且a 2﹣2（2+1）﹣1＝0，所以a n ＝2n +1恒成立． 所以a n ＝2n +1．（2）令b n ＝2n a n ＝（2n +1）•2n ，则数列{2n a n }的前n 项和S n ＝3×21+5×22+…+（2n +1）2n ，…①两边同乘2得，2S n ＝3×22+5×23+…+（2n +1）2n +1，…②①﹣②得，﹣S n ＝3×2+2×22+…+2×2n ﹣（2n +1）2n +1＝6+8(1−2n−1)1−2−（2n +1）2n +1，所以S n ＝（2n ﹣1）2n +1+2．7．（2020•新课标Ⅲ）设a ，b ，c ∈R ，a +b +c ＝0，abc ＝1．（1）证明：ab +bc +ca ＜0；（2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max {a ，b ，c }≥√43．【解答】证明：（1）∵a +b +c ＝0，∴（a +b +c ）2＝0，∴a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ＝0，∴2ab +2ac +2bc ＝﹣（a 2+b 2+c 2），∵abc ＝1，∴a ，b ，c 均不为0，∴2ab +2ac +2bc ＝﹣（a 2+b 2+c 2）＜0，∴ab +ac +bc ＜0；（2）不妨设a ≤b ＜0＜c ＜√43，则ab =1c √43， ∵a +b +c ＝0，∴﹣a ﹣b ＝c ＜√43，而﹣a ﹣b ≥2√ab ＞√46=412416=413=√43，与假设矛盾， 故max {a ，b ，c }≥√43．8．（2019•江苏）设x ∈R ，解不等式|x |+|2x ﹣1|＞2．【解答】解：|x |+|2x ﹣1|={ 3x −1，x ＞12−x +1，0≤x ≤12−3x +1，x ＜0， ∵|x |+|2x ﹣1|＞2，∴{3x −1＞2x ＞12或{−x +1＞20≤x ≤12或{−3x +1＞2x ＜0， ∴x ＞1或x ∈∅或x ＜−13，∴不等式的解集为{x |x ＜−13或x ＞1}．9．（2019•新课标Ⅲ）设x ，y ，z ∈R ，且x +y +z ＝1．（1）求（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值；（2）若（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2≥13成立，证明：a ≤﹣3或a ≥﹣1．【解答】解：（1）x ，y ，z ∈R ，且x +y +z ＝1，由柯西不等式可得（12+12+12）[（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2]≥（x ﹣1+y +1+z +1）2＝4，可得（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2≥43，即有（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值为43； （2）证明：由x +y +z ＝1，柯西不等式可得（12+12+12）[（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2]≥（x ﹣2+y ﹣1+z ﹣a ）2＝（a +2）2，可得（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2≥(a+2)23， 即有（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2的最小值为(a+2)23， 由题意可得(a+2)23≥13， 解得a ≥﹣1或a ≤﹣3．10．（2019•新课标Ⅱ）已知f （x ）＝|x ﹣a |x +|x ﹣2|（x ﹣a ）．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）当x ∈（﹣∞，1）时，f （x ）＜0，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|x +|x ﹣2|（x ﹣1），∵f （x ）＜0，∴当x ＜1时，f （x ）＝﹣2（x ﹣1）2＜0，恒成立，∴x ＜1；当x ≥1时，f （x ）＝（x ﹣1）（x +|x ﹣2|）≥0恒成立，∴x ∈∅；综上，不等式的解集为（﹣∞，1）；（2）当a ≥1时，f （x ）＝2（a ﹣x ）（x ﹣1）＜0在x ∈（﹣∞，1）上恒成立； 当a ＜1时，x ∈（a ，1），f （x ）＝2（x ﹣a ）＞0，不满足题意，∴a 的取值范围为：[1，+∞）11．（2019•新课标Ⅰ）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．证明：（1）1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2；（2）（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24．【解答】证明：（1）分析法：已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．要证（1）1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2；因为abc ＝1．就要证：abc a +abc b +abc c ≤a 2+b 2+c 2；即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．故1a +1b+1c≤a2+b2+c2得证．（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）≥2√ab；（b+c）≥2√bc；（c+a）≥2√ac；当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8√ab•√bc•√ac=24abc ＝24；当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．故得证．12．（2018•北京）设n为正整数，集合A＝{α|α＝（t1，t2，…t n），t k∈{0，1}，k＝1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α＝（x1，x2，…，x n）和β＝（y1，y2，…y n），记M（α，β）=12[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（x n+y n﹣|x n﹣y n|）]．（Ⅰ）当n＝3时，若α＝（1，1，0），β＝（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；（Ⅱ）当n＝4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，M （α，β）＝0，写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由． 【解答】解：（I ） M （α，α）＝1+1+0＝2，M （α，β）＝0+1+0＝1． （II ）考虑数对（x k ，y k ）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的x k +y k −|x k −y k |2分别为0、0、0、1，所以B 中的每个元素应有奇数个1，所以B 中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）： （1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）， （0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0）， 对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M （α，β）是偶数，所以四元集合B ＝{（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}满足 题意，假设B 中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素， 除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M （α，β）＝1不合题意， 故B 中元素个数的最大值为4．（Ⅲ） B ＝{（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…， （0，0，0，…，1）}，此时B 中有n +1个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素α，β，满足M （α，β）＝0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B 有多于n +1个元素，由于α＝（0，0，0，…，0）与任意元素β都有M （α，β）＝0，所以除（0，0，0，…，0）外至少有n +1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足x i ＝y i ＝l ，此时M （α，β）≥1不满足题意， 故B 中最多有n +1个元素．13．（2018•新课标Ⅰ）已知f （x ）＝|x +1|﹣|ax ﹣1|． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞1的解集；（2）若x ∈（0，1）时不等式f （x ）＞x 成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣1|={2，x ＞12x ，−1≤x ≤1−2，x ＜−1，由f （x ）＞1，∴{2x ＞1−1≤x ≤1或{2＞1x ＞1， 解得x ＞12，故不等式f （x ）＞1的解集为（12，+∞），（2）当x ∈（0，1）时不等式f （x ）＞x 成立， ∴|x +1|﹣|ax ﹣1|﹣x ＞0， 即x +1﹣|ax ﹣1|﹣x ＞0， 即|ax ﹣1|＜1， ∴﹣1＜ax ﹣1＜1， ∴0＜ax ＜2， ∵x ∈（0，1）， ∴a ＞0， ∴0＜x ＜2a ， ∴a ＜2x ∵2x ＞2，∴0＜a ≤2，故a 的取值范围为（0，2]．14．（2018•新课标Ⅱ）设函数f （x ）＝5﹣|x +a |﹣|x ﹣2|． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥0的解集； （2）若f （x ）≤1，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝5﹣|x +1|﹣|x ﹣2|={2x +4，x ≤−12，−1＜x ＜2−2x +6，x ≥2．当x ≤﹣1时，f （x ）＝2x +4≥0，解得﹣2≤x ≤﹣1， 当﹣1＜x ＜2时，f （x ）＝2≥0恒成立，即﹣1＜x ＜2，当x ≥2时，f （x ）＝﹣2x +6≥0，解得2≤x ≤3， 综上所述不等式f （x ）≥0的解集为[﹣2，3]， （2）∵f （x ）≤1， ∴5﹣|x +a |﹣|x ﹣2|≤1， ∴|x +a |+|x ﹣2|≥4，∴|x +a |+|x ﹣2|＝|x +a |+|2﹣x |≥|x +a +2﹣x |＝|a +2|， ∴|a +2|≥4，解得a ≤﹣6或a ≥2，故a 的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．15．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝﹣x 2+ax +4，g （x ）＝|x +1|+|x ﹣1|． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[﹣1，1]，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝﹣x 2+x +4，是开口向下，对称轴为x =12的二次函数，g （x ）＝|x +1|+|x ﹣1|={2x ，x ＞12，−1≤x ≤1−2x ，x ＜−1，当x ∈（1，+∞）时，令﹣x 2+x +4＝2x ，解得x =√17−12，g （x ）在（1，+∞）上单调递增，f （x ）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f （x ）≥g （x ）的解集为（1，√17−12]；当x ∈[﹣1，1]时，g （x ）＝2，f （x ）≥f （﹣1）＝2．当x ∈（﹣∞，﹣1）时，g （x ）单调递减，f （x ）单调递增，且g （﹣1）＝f （﹣1）＝2． 综上所述，f （x ）≥g （x ）的解集为[﹣1，√17−12]； （2）依题意得：﹣x 2+ax +4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x 2﹣ax ﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需{12−a ⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解得﹣1≤a ≤1，故a 的取值范围是[﹣1，1]．16．（2017•新课标Ⅱ）已知a ＞0，b ＞0，a 3+b 3＝2．证明： （1）（a +b ）（a 5+b 5）≥4； （2）a +b ≤2．【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a +b ）（a 5+b 5）≥（√a ⋅a 5+√b ⋅b 5）2＝（a 3+b 3）2≥4，当且仅当√ab 5=√ba 5，即a ＝b ＝1时取等号， （2）∵a 3+b 3＝2，∴（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝2， ∴（a +b ）[（a +b ）2﹣3ab ]＝2， ∴（a +b ）3﹣3ab （a +b ）＝2， ∴(a+b)3−23(a+b)=ab ，由均值不等式可得：(a+b)3−23(a+b)=ab ≤（a+b 2）2，∴（a +b ）3﹣2≤3(a+b)34， ∴14（a +b ）3≤2，∴a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立． 17．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x +m 的解集非空，求m 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−12x −1，−1≤x ≤23，x ＞2，f （x ）≥1，∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）={−x 2+x −3，x ≤−1−x 2+3x −1，−1＜x ＜2−x 2+x +3，x ≥2，当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x =12＞−1， ∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x =32∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）=−94+92−1=54；当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x =12＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1； 综上，g （x ）max =54，∴m 的取值范围为（﹣∞，54]．。
高二数学绝对值不等式试题答案及解析
高二数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知函数（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）解决含绝对值的问题往往是要先去绝对值，而绝对值关系为：;本小题需要解不等式，考虑到函数含有两个绝对值，所以分三段去绝对值，建立三个不等式组，然后求出三个不等式，最后取并集；（2）要使非空，则.注意到两绝对值对含有，利用绝对值性质,巧妙消去.也可以利用（1）去绝对值得到分段函数然后求函数值域来解.试题解析：原不等式等价于或 3分解得或或.即不等式的解集为 . 5分（2） 8分或 10分.【考点】（1）含绝对值不等式的解法；（2）由条件求含参不等式参数取值范围.2.已知函数（1）解关于的不等式；（2）若存在，使得的不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）【解析】（1）先去掉绝对值得到，然后遂个求解不等式最终可得解集；（2）利用含参不等式的求解方法先确定因为所以则．试题解析：（1）原不等式等价于①： 1分或②： 2分或③： 3分解不等式组①无解； 4分解不等式组②得： 5分解不等式组③得： 6分所以原不等式的解集为 7分；（2）依题意 9分因为，所以 11分所以， 12分所以实数的取值范围为 13分．【考点】1，分段函数2，含参函数不等式的求解．3.若关于的方程有四个不同的实数解,则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】【解析】要求,方程化为,显然满足上述方程，是方程的一个根若则方程两边同除以有若则方程变为,即若则方程变为即若，(1)(2)均无解。
显然不是(1)(2)的解若方程有四个不同的实数根，之前已得到是原方程的根，则要求方程(1)(2)有3个根对(1)若判别式,则．对(2)若判别式,解得,前已分析若，则(1)有两个不相等实根，两根之积为，两根之和为,说明两根均为负值，但(1)方程前提条件是，因此时方程(1)在前提下无解，原方程不可能有4个不同的实数根。
高考数学 5.1绝对值不等式(含解析)
【师说 高中全程复习构想】（新课标）2015届高考数学 5－1 绝对值不等式（含解析）一、选择题1．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为( )A ．2 B. 2C ．4D ．6答案：A2．已知a ＞0，b ＞0且1a ＋3b＝1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．7＋2 6 B ．2 3C ．7＋2 3D ．14答案：A3．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax －1x ＞a 的解集为M ，且2∉M ，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 答案：B4．已知a ＞0，ab ＝1，则a2＋b2a －b的最小值是( ) A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．1答案：A5．设集合A ＝{x||x －a|＜1，x ∈R}，B ＝{x||x －b|＞2，x ∈R}．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b|≤3 B．|a ＋b|≥3C ． |a －b|≤3 D．|a －b|≥3答案：D6．已知命题p ：∀x ∈R ，|x ＋2|＋|x －1|≥m，命题q ：∃x ∈R ，x2－2mx ＋m2＋m －3＝0，那么，“命题p 为真命题”是“命题q 为真命题”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A二、填空题7．不等式|x ＋1|＋|2x －4|＞6的解集为__________．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8．不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)＞a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案：(－∞，2)9．已知x ，y ，z 均为正数，1x ＋1y ＋1z ＝1，则x yz ＋y zx ＋z xy的最小值是__________． 答案：1三、解答题10．设函数f(x)＝|2x －1|－|x －4|.(1)解不等式f(x)＞2；(2)求函数y ＝f(x)的最小值．解析：(1)令y ＝|2x ＋1|－|x －4|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －5 x≤－123x －3 －12＜x ＜4x ＋5 x≥4，作出函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图象，它与直线y ＝2的交点为(－7,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2. 所以|2x ＋1|－|x －4|＞2的解集为(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. (2)由函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图象可知，当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|－|x －4|取得最小值－92. 11．已知函数f(x)＝|2x －a|＋a.(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n 使得f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由|2x －a|＋a≤6，得|2x －a|≤6－a ，∴a －6≤2x－a≤6－a ，即a －3≤x≤3，∴a －3＝－2，∴a ＝1.(2)由(1)知f(x)＝|2x －1|＋1.令φ(n)＝f(n)＋f(－n)，则φ(n)＝|2n －1|＋|2n ＋1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧2－4n n≤－12，4 －12＜n ≤12，2＋4n n ＞12.) ∴φ(n)的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4，＋∞)． 12．已知函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝－3时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x≤2，1， 2＜x ＜3，2x －5， x≥3. 当x≤2时，由f(x)≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1； 当2＜x ＜3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x －5≥3，解得x≥4； 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x＋a|. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x＋a|， ⇔4－x －(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a 的取值范围为 [－3,0]．。
高二数学绝对值不等式试题答案及解析
高二数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式存在实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，不等式，化简可得，或，或．解出每个不等式组的解集，再取并集，即为所求．（2）令，则由绝对值的意义可得的最小值为，依题意可得，由此求得实数的取值范围．试题解析：（1）当时，不等式可化为，化简可得，或，或．解得或，即所求解集为．（2）令，则，所以的最小值为．依题意可得，即．故实数的取值范围是．【考点】绝对值不等式的解法；函数的零点．2.已知实数满足，证明：.【答案】见解析【解析】有已知条件，可得，，然后得到，展开进行整理即可。
证明：证法一，∴，，∴，. 2分∴，即， 4分∴，∴， 6分即，∴. 8分证法二：要证，只需证 2分只需证只需证 4分即. 6分，∴，，∴成立.∴要证明的不等式成立. 8分【考点】绝对值不等式；不等式证明的基本方法.3.设函数，．（1）解不等式：；（2）若的定义域为，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】（1）或或，不等式的解集为；（2）若的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，f（x）的最小值为2，所以m＞-2．【考点】本题考查了绝对值不等式的解法点评：问题（1）考查绝对值的代数意义，去绝对值的过程体现了分类讨论的思想方法，属中档题；问题（2）考查应用绝对值的几何意义求最值，体现了转化的思想，属中等题．4.若,使不等式在上的解集不是空集的的取值是A．B．C．D．以上均不对【答案】C【解析】不等式在上的解集不是空集，即不等式能够成立。
而由绝对值的几何意义，表示数轴上点到定点3,4的距离之和。
其最小值为1，所以，使不等式在上的解集不是空集的的取值是，选C。
【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义。
高一数学绝对值不等式试题答案及解析
高一数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围。
【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，或 6分（2）原命题在上恒成立在上恒成立在上恒成立 12分【考点】本题考查了绝对值不等式的解法点评：在解答含有绝对值不等式问题时，要注意分段讨论来取绝对值符号的及利用绝对值的几何意义来求含有多个绝对值的最值问题．2.不等式｜2－x｜≥1的解集是A．｛x｜1≤x≤3｝B．｛x｜x≤1或x≥3｝C．｛x｜x≤1｝D．｛x｜x≥3｝【答案】B【解析】∵｜2－x｜≥1，∴2-x≥1或2-x≤1，解得x≤1或x≥3, 故不等式｜2－x｜≥1的解集是｛x｜x≤1或x≥3｝，选B【考点】本题考查了绝对值不等式的解法点评：解含绝对值不等式的关键是脱掉绝对值符号，有时利用定义，有时利用公式，属基础题3.不等式的解集是。
【答案】-1<x<1或x<-1【解析】根据题意，当x 0时则有，当x<0时，则可知，综上可知满足不等式的解集为-1<x<1或x<-1，故答案为-1<x<1或x<-1。
【考点】一元二次不等式的解集点评：解决的关键是利用绝对值符号的讨论得到不同情况下的解集，然后取其并集即可，属于基础题。
4.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为不等式对任意实数恒成立，那么则可知，故选A.5.不等式的解集为：（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为，选B6.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为。
【答案】【解析】因为对任意实数恒成立，所以大于等于在定义域上的最大值。
当时，当时，当，综上可得，在定义域上的最大值为4，则解得，或7.不等式1≤|2x-3|≤5的解是__________。
【答案】【解析】略8.若，则正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略9.若不等式对一切恒成立，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略10.若，则下列不等式：中正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（3）（4）【答案】C【解析】略11.若，则下列不等式：中正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（3）（4）【答案】C【解析】略12.设函数，不等式的解集为（－1，2）（1）求的值；（2）解不等式．【答案】（1）a="2 " （2）同解析【解析】1）∵的解集为（－1，2）∴得a="2 "（2）由得①当，即时，②当，即时，无解③当，即时，13.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把x=1代入不等式组验算得x=1是不等式组的解，则排除(B)、(C), 再把x=-3代入不等式组验算得x=-3是不等式组的解，则排除(B)，所以选(D).14.设函数（1）当时，求函数的定义域；（2）若函数的定义域为R，试求的取值范围。