艺术生高考数学复习学案(83100)
2013艺术生高考数学复习学案(三)
数系的扩张与复数的四则运算⑴【考点及要求】了解数系的扩充过程;理解复数的基本概念、代数表示法及复数相等的充要条件。
理解复数代数形式的四则运算法则,能进行复数代数形式的四则运算。
【基础知识】1.数的扩展:数系扩展的脉络是: → → ,用集合符号表示为 ⊆⊆ ,实际上前者是后者的真子集.2.复数的概念及分类:⑴概念:形如(,)a bi a b R +∈的数叫做 ,其中a b 与分别为它的 和 .⑵分类:①若(,)a bi a b R +∈为实数,则 ,②若(,)a bi a b R +∈为虚数,则 ,③若(,)a bi a b R +∈为纯虚数,则 ;⑶复数相等:若复数(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈⇔ ; ⑷共轭复数:(,,,)a bi c di a b c d R ++∈⇔与共轭 ;3.复数的加、减、乘、除去处法则:设12|||2(z z z a a ---=12|z ||为正常数,2a<|z -z |)则⑴加法: 12()()z z a bi c di +=+++= ; ⑵减法: 12()()z z a bi c di -=+-+= ; ⑶乘法: 12()()z z a bi c di •=+•+= ;⑷乘方: m n z z •= ;()m n z = ;12()n z z •= ;⑸除法:12z a bi z c di +==+12z a bi z c di+==+ = ;4.复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 , 叫做实轴, 叫做虚轴;实轴上的点表示 ,除原点外,虚轴上的点都表示 .5.复数的模:向量OZ 的模叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 (或 ),记作 (或 ),即||||z a bi =+= ;复数模的性质:⑴121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+;⑵2222||||||||z z z z z z ====•;6. 常见的结论:⑴4411n n i +=4n+24n+34n+4n n+1n+2n+3的运算律:i ,i =i,i =-1,i =-i,i =1,i +i +i +i =0;⑵2(1)i ±= ;11i i +=- ;11ii-=+ ;⑶1,2ωω-±3设=则= ;2ω= ;21ωω++= ;【基本训练】1.若i b i i a -=⋅-)2(,其中,,a b R i ∈是虚数单位,则22a b +等于 .2.设复数121,2()z i z x i x R =+=+∈,若12z z 为实数,则x 等于 .3.若cos sin (z i i θθ=+是虚数单位),则使21z =-的θ值可能是 . 4.22)1(1)1(1i ii i -+++-等于______________. 5.已知复数032z i =+,复数z 满足025z i z z -•=,则复数z = _______________.6.i 是虚数单位,23482348i i i i i +++++ = ____________.【典型例题】例1.已知:复数z =)()65()67(22R a i a a a a ∈--++-,试求实数a 分别取什么值时,复数z 分别为:⑴实数;⑵虚数;⑶纯虚数;⑷复数z 在复平面上对应的点在x 轴上方;练习:复数z 的实部和虚部都为整数,且满足z +z10是实数,1 < z + z10≤6,求复数z.例2.计算下列各题: ⑴ 54)31()22(i i -+ ⑵2007)12(321,32i ii -+++- ⑶ )125)(1()32)(32(i i i i ---+ ⑷iii i 2332)11(6-++-+【课堂检测】1.下列命题中:⑴两个复数一定不能比较大小;⑵z m ni =+,当且仅当0,0m n =≠时,z 为虚数;⑶如果22120z z +=,则120z z ==;⑷如果123,,z z z C ∈,则221223()()0z z z z -+-≥,其中正确的的命题的个数是 . 2.3321i i ++=_____; 2005)11(i i -+ = ______;复数4)11(i +=________;复数z =i-11的共轭复数是______;3.已知复数z =,2321i +-则2320081z z z z +++++= .4.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数(i 是虚数单位,b 是实数),则b = ______________. 5.设)()11()11()(Z n ii i i n f nn ∈--+-+=,则集合中的元素个数为 .6.已知复数1z i =+,如果i z z baz z -=+-++1122,求实数a 、b 的值.§84 数系的扩张与复数的四则运算⑵【基础训练】1.若复数2(1)(1)z m m m i =++-是纯虚数,则实数m 的值为 . 2.复数z =111-++-ii在复平面内所对应的点在 .3.若u =,2321i +- v =,2321i --给出下列命题⑴1uv =;⑵33v u +2=;⑶111=+vu;⑷2u v =其中正确的命题是 .4.如果1z 、2z C ∈且满足1212||||||1z z z z ==-=,则12||z z += . 【典型例题】例3.设z 为虚数,zz 1+=ω是实数,且21<<-ω, ⑴求||z 的值及z 的实部的取值范围; ⑵设zzu +-=11,求证:u 为纯虚数;⑶求2u -ω的最小值.练习:设x 、y 是实数,且ii y i x 315211-=---,求x y +的值.例4. 若关于x 的方程22(3)0x t t tx i +++=有纯虚数根,求实数t 的值和该方程的根.练习:关于x 的方程2(2)10,()x i x mi m R -+++=∈有一实根为n ,设复数(2)(12)z m i ni =+-,求m 、n 的值及复数z 的值.例5.设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=.(1)若方程有实数根,求锐角θ和方程的实根; (2)证明:对任意()2k k Z πθπ≠+∈,方程无纯虚数根.练习:已知关于t的方程2(2)2()0,(,)t i t xy x y i x y R++++-=∈.(1)当方程有实根时,求点(,)x y的轨迹方程;(2)若方程有实根,求此实根的取值范围.【课堂小结】【课堂检测】1.复数i i+1在复平面上对应的点位于第_______象限.2.复数(m2–3m –4) + (m2–5m –6)i表示的点在虚轴上,则实数m的值是___________.3.若复数z 满足|z| - z =i2110-,则z = _____________. 4.若复数z 满足方程220z +=,则3z = _______;5.若关于x 的一元二次实系数方程20x px q ++=有一根为1(i i +为虚数单位),则q = . 6.设286z i =+,求310016z z z--的值.【课堂作业】1.已知复数z 1、z 2满足|z 1| = |z 2| = 1,且z 1 + z 2 = i ,求z 1、z 2 .2.已知复数z 满足|z – (4 – 5i)| = 1,求|z + i|的最大值与最小值.3.已知复数z 、w 满足w = iz+2,(1+3i)z 为纯虚数,|w| = 52,求w.4.已知()23,()63f z z z i f z i i =+-+=-. 求()f z -.5.已知关于x 的方程x 2 – (6 +i)x + 9 + ai = 0(a ∈R )有实数根b. (1)求实数a 、b 的值;(2)若复数z 满足|- a – bi| - 2|z| = 0,求z 为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的值.§85 复数的几何意义⑴【考点及要求】了解复数的代数表示法及几何意义;理解复数及复数加、减运算的几何意义,并能根据几何意义解决简单问题。
艺术生高考数学复习学案(1-36)
§1集合〔1〕【根底知识】集合中元素与集合之间的关系:文字描述为和符号表示为和常见集合的符号表示:自然数集 正整数集 整数集有理数集 实数集集合的表示方法1 2 3集合间的根本关系:1相等关系:_________A B B A ⊆⊆⇔且 2子集:A 是B 的子集,符号表示为______或B A ⊇ 3 真子集:A 是B 的真子集,符号表示为_____或____不含任何元素的集合叫做,记作,并规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的【根本训练】1.以下各种对象的全体,可以构成集合的是(1)某班身高超过1.8m 的女学生; 〔2〕某班比拟聪明的学生;〔3〕本书中的难题 〔4〕使232x x -+最小的x 的值2. 用适当的符号(,,,,)∈∉=⊂⊃填空:___;Q π{}3.14____Q ; *___;N N {}{}21,____21,x x k k Z x x k k z =+∈=-∈3.用描述法表示以下集合: 由直线1y x =+上所有点的坐标组成的集合;4.假设A B B ⋂=,那么____A B ;假设A B B ⋃=那么_____;_____A B A B A B ⋂⋃5.集合{}{}35,A x x B x x a =-<=<,且A B ⊆,那么a 的围是【典型例题讲练】例1 设集合11,,,2442k k M x x k Z N x x k Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,那么_______M N练习: 设集合11,,,3663k k P x x k Z Q x x k Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,那么______P Q 例2集合{}2210,,A x ax x x R a =++=∈为实数。
(1) 假设A 是空集,求a 的取值围;(2) 假设A 是单元素集,求a 的取值围;(3) 假设A 中至多只有一个元素,求a 的取值围; 练习:数集1,,a P b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,数集{}20,,Q a b b =+,且P Q =,求,a b 的值【【课堂小结】集合的概念与集合元素的三个特性【课堂检测】1. 设全集,U R =集合{}1M x x =>,{}21P x x =>,那么______M P 2. 集合{}{}2320,10,P x x x Q x mx =-+==-=假设P Q ⊇,那么实数m 的值是 3.集合A 有n 个元素,那么集合A 的子集个数有个,真子集个数有个4.集合A ={-1,3,2m -1},集合B ={3,2m }.假设B A ⊆,那么实数m = .5.含有三个元素的集合2{,,1}{,,0},b a a a b a=+求20042005a b +的值.§2集合〔2〕【典型例题讲练】 例3 集合{}23100A x x x =--≤ (1) 假设{},121B A B x m x m ⊆=+≤≤-,数m 的取值围。
人教A版高三艺术特长生一轮复习函数的概念教案
函数的概念一、学习目标:通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域. 二、知识要点: 1. 设A 、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y =()f x ,x A ∈.其中,x 叫自变量,x 的取值范围A 叫作定义域,与x 的值对应的y 值叫函数值,函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域2. 设a 、b 是两个实数,且a <b ,则:{x |a ≤x ≤b }=[a ,b ] 叫闭区间; {x |a <x <b }=(a ,b ) 叫开区间;{x |a ≤x <b }=[,)a b , {x |a <x ≤b }=(,]a b ,都叫半开半闭区间.符号:“∞”读“无穷大”;“-∞”读“负无穷大”;“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞,{|}[,)x x a a ≥=+∞,{|}(,)x x b b <=-∞,{|}(,]x x b b ≤=-∞,(,)R =-∞+∞.3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时,函数才是同一函数. 三、典例精析例1 下列函数中哪个与函数y = x 相等?(1)2y =;(2)y =3)y =;(4)2x y x=.例2 求下列函数的定义域 (1)2112y x =-+; (2)224x y x -=-;(3)1||3y x -;(4) 0)3(2-+-=x x y四、基础达标1.下列各组函数中,表示同一函数的是( ).A.1,xy y x== B. 11,y x y =+= C. ,y x y ==2||,y x y ==2.函数y 的定义域为( ).A. (,1]-∞B. (,2]-∞C. 11(,)(,1]22-∞--D. 11(,)(,1]22-∞--3.集合{}22M x x =-≤≤,{}02N y y =≤≤,给出下列四个图形,其中能表示以M 为定义域,N 为值域的函数关系的是( ).4.下列四个图象中,不是函数图象的是( ).5.已知()f x =2x +x +1,则f =______;f [(2)f ]=______. 6.已知函数()f x 的定义域为[1,2)-,则(1)f x -的定义域为( ).A .[1,2)-B .[0,2)-C .[0,3)-D .[2,1)- 7. 已知函数f(2x-3)的定义域为[2,5),则f(x)的定义域为 。
2020年江苏专版艺考生高考数学二轮复习学案设计:第二十课时 三角函数图像的应用
第二十课时 三角函数的图像的应用知识记忆1.)sin(ϕω+=x A y 的有关概念2.用五点法画)sin(ϕω+=x A y 一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示:3.函数x y sin =的图象经变换得到)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象的步骤如下【知识拓展】1.由x y ωsin =到)0,0)(sin(>>+=ϕωϕωx y 的变换:向左平移ωϕ个单位长度而非ϕ个单位长度.2.函数)sin(ϕω+=x A y 的对称轴由Z ∈+=+k k x ,2ππϕω确定;对称中心由Z ∈=+k k x ,πϕω确定其横坐标.课前预习1.)32sin(2π-=x y 的振幅,频率和初相分别为______________. 2.将x y sin 21=的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,便得到函数)(x f 的图象,则=)(x f ________.3.函数)sin(ϕω+=x A y 的部分图象如图所示,则函数的表达式为______________.4.若函数)0)(sin(>+=ωϕωx y 的部分图象如图所示,则=ω________.5.在同一平面直角坐标系中,画出三个函数2sin()(),42sin(2)(=+=x g x x f π)6cos()(),3ππ-=+x x h x 的部分图象(如图),则c b a ,,对应的函数依次是______________.课堂讲解题型一 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象及变换例1 某同学用“五点法”画函数)2,0)(sin(πϕωϕω<>+=x A y 在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:)1(请将上表数据补充完整,并直接写出函数)(x f 的解析式;)2(将)(x f y =图象上所有点向左平行移动)0(>θθ个单位长度,得到)(x g y =的图象.若)(x g y =图象的一个对称中心为)0,125(π,求θ的最小值. 引申探究在本例)2(中,将)(x f 图象上所有点向左平移6π个单位长度,得到)(x g 的图象,求)(x g 的解析式,并写出)(x g 图象的对称中心.把函数x y sin =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把所得函数图象向左平移4π个单位,得到的函数图象的解析式是________________. 题型二 由图象确定)sin(ϕω+=x A y 的解析式例2 如图是函数)2,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的图象,求ϕω,,A 的值,并确定其函数解析式.(2017·徐州模拟)已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω<>+-x x f 的部分图象如图所示,则)6(π+=x f y 取得最小值时x 的集合为__________________.题型三 三角函数图象性质的应用 考点1 三角函数模型的应用例3 如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数k x y ++=)6sin(3ϕπ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m )的最大值为________.考点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程012sin 3sin 22=-+-m x x 在),2(ππ上有两个不同的实数根,则m 的取值范围是________. 引申探究例4中,若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则m 的取值范围是__________. 考点3 图象与性质的综合应用例5 已知函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图象关于直线3π=x 对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.)1(求ω和ϕ的值;)2(当]2,0[π∈x 时,求函数)(x f y =的最大值和最小值.已知函数)33cos()(π+=x x f ,其中],6[m x π∈,若)(x f 的值域是]23,1[--,则m 的取值范围是__________.课后练习1.函数)52sin(2π+=x y 的最小正周期是________. 2.将函数x x f 2sin 2)(=的图象上每一点向右平移6π个单位长度,得函数)(x g y =的图象,则=)(x g __________.3.已知函数R ∈>+=x x x x f ),0(cos sin 3)(ωωω.在曲线)(x f y =与直线1=y 的交点中,若相邻交点距离的最小值为3π,则)(x f 的最小正周期为________. 4.函数)2,0)(sin(2)(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图所示,则ϕω,的值分别是________.5.函数)2)(2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移6π个单位后所得函数图象的解析式是奇函数,则函数)(x f 在]2,0[π上的最小值为________.6.已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期是π,若将)(x f 的图象向右平移3π个单位后得到的图象关于原点对称,则下列关于函数)(x f 的图象说法正确的是________. ①关于直线12π=x 对称①关于直线π125=x 对称 ①关于点)0,12(π对称 ①关于点)0,125(π对称 7.函数)0)(sin(2)(>+=ωϕωx x f 的部分图象如图所示,若5=AB ,则ω的值为________.8.设函数)0)(3sin(ππω<<+=x x y ,当且仅当12π=x 时,y 取得最大值,则正数ω的值为________.9.(2017·扬州期末)已知函数)0)(32sin()(ππ<≤+=x x x f ,且)(21)()(βαβα≠==f f ,则=+βα________.10.先把函数)6sin()(π-=x x f 的图象上各点的横坐标变为原来的21(纵坐标不变),再把新得到的图象向右平移3π个单位,得到)(x g y =的图象.当)43,4(ππ∈x 时,函数)(x g 的值域为________.11若函数)0)(6sin()(>+=ωπωx x f 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π,且该函数图象关于点)0,(0x 成中心对称,]2,0[0π∈x ,则=0x ________.12将x y 2sin =的图象向右平移ϕ个单位)0(>ϕ,使得平移后的图象仍过点)23,3(π,则ϕ的最小值为________.13.设函数)sin(ϕω+=x A y .若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性,且)6()32()2(πππf f f -==,则)(x f 的最小正周期为________. 14.函数)20,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示.)1(求)(x f 的解析式; )2(设2)]12([)(π-=x f x g ,求函数)(x g 在]3,6[ππ-∈x 上的最大值,并确定此时x 的值.15.若()πsin 26f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像关于直线π3x =对称,其中15,22ω⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的解析式; (2)将()y f x =的图像向左平移π3个单位,再将得到的图像的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)后得到()y g x =的图像,若函数()π,,3π2y g x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的图像与y a =的图像有三个不同的交点且交点横坐标成等比数列,求a 的值.第二十课时 三角函数图像的应用 参考答案课前预习1.答案 3,41,2ππ- 2.答案 x sin3.答案 )62sin(2πx y -= 4.答案 45.答案 )(),(),(x g x f x h解析 由于函数)(),(),(x h x g x f 的最大值分别是1,1,2,因此结合图形可知,曲线b 为)(x f 的图象;又)(),(x h x g 的最小正周期分别是ππ2,,因此结合图形可知,曲线c a ,分别是)(x h ,)(x g 的图象.课堂讲解题型一 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象及变换例1 答案 (1))62sin(5)(π-=x x f (2)当1=k 时,θ取得最小值6π解析 )1(根据表中已知数据,解得6,2,5πϕω-===A .数据补全如下表:且函数解析式为)62sin(5)(π-=x x f .)2(由)1(知)62sin(5)(π-=x x f ,得)622sin(5)(πθ-+=x x g .因为函数x y sin =图象的对称中心为Z ∈k k ),0,(π.令ππθk x =-+622,解得Z ∈-+2=k k x ,12θππ. 由于函数)(x g y =的图象关于点)0,125(π成中心对称, 所以令πθππ125122=-+k ,解得Z ∈-=k k ,32ππθ. 由0>θ可知,当1=k 时,θ取得最小值6π. 引申探究 答案 (1)()5sin(2)6g x x π=+(2)Z ∈-k k ),0,122(ππ 解析 由)1(知)62sin(5)(π-=x x f ,因此]6)62sin[(5)(ππ-+=x x g)62sin(5π+=x .因为x y sin =的对称中心为Z ∈k k ),0,(π.令Z ∈=+k k x ,62ππ,解得Z ∈-=k k x ,122ππ. 即)(x g y =图象的对称中心为Z ∈-k k),0,122(ππ.思维升华 )1(五点法作简图:用“五点法”作)sin(ϕω+=x A y 的简图,主要是通过变量代换,设ϕω+=x z ,由z 取πππ2,23,,2,0来求出相应的x ,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.)2(图象变换:由函数x y sin =的图象通过变换得到)sin(ϕω+=x A y 的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.答案 x y 2cos =解析 由x y sin =图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,所得图象的解析式为x y 2sin =,再向左平移4π个单位得)4(2sin π+=x y ,即x y 2cos =. 题型二 由图象确定)sin(ϕω+=x A y 的解析式例2 答案 3sin(2)3y x π=+解析 方法一 (逐一定参法) 由图象知振幅3=A , 又22,)6(65==∴=--=TT πωπππ. 由点)0,6(π-在图象上,令026=+⨯-ϕπ,得)32sin(3,3ππϕ+=∴=x y . 方法二 (待定系数法)由图象知3=A ,又图象过点)0,3(π和)0,65(π,根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点),有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+πϕπωπϕωπ2653解得⎪⎩⎪⎨⎧==32πϕω.)32sin(3π+=∴x y .方法三 (图象变换法) 由π=T ,点3),0,6(=-A π可知图象由x y 2sin 3=向左平移6π个单位长度而得, )6(2sin 3π+=∴x y ,即)32sin(3π+=x y ,且3,2πϕω==.思维升华 求)0,0()sin(>>++=ωϕωA B x A y 解析式的步骤(1)求B A ,,确定函数的最大值M 和最小值m ,则2,2mM B m M A +=-=. (2)求ω,确定函数的周期T ,则Tπω2=. (3)求ϕ,常用方法如下:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.②五点法:确定ϕ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为0=+ϕωx ;“第二点”(即图象的“峰点”)为2πϕω=+x ;“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为πϕω=+x ;“第四点”(即图象的“谷点”)为πϕω23=+x ;“第五点”为πϕω2=+x .答案 {|,}3x x k k ππ=-∈Z解析 根据所给图象,周期πππ=-⨯=)3127(4T ,故2,2=∴=ωωππ,因此)2sin()(ϕ+=x x f ,另外图象经过点)0,127(π,代入有)(1272Z ∈=+⨯k k πϕπ,再由2πϕ<,得)62sin()6(,6πππϕ+=+∴-=x x f ,当)(2262Z ∈+-=+k k x πππ,即)(3Z ∈+-=k k x ππ时,)6(π+=x f y 取得最小值. 题型三 三角函数图象性质的应用 命题点1 三角函数模型的应用 例3 答案 8解析 由题干图易得23min =-=k y ,则5=k .83max =+=∴k y .命题点2 函数零点(方程根)问题 例4 答案 )1,2(--解析 方程012sin 3sin 22=-+-m x x 可转化为12sin 3sin 22++-=x x m x x 2sin 32cos +=),2(),62sin(2πππ∈+=x x .设t x =+62π,则)613,67(ππ∈t , ∴题目条件可转化为t m sin 2=,)613,67(ππ∈t 有两个不同的实数根. 2m y =∴和t y sin =,)613,67(ππ∈t 的图象有两个不同交点,如图:由图象观察知,2m 的范围为)21,1(--, 故m 的取值范围是)1,2(--.引申探究 答案 )1,2[-解析 由例4知,2m 的范围是)21,1[-,12<≤-∴m ,m ∴的取值范围是)1,2[-. 命题点3 图象与性质的综合应用例5 答案 )1(6,2πϕω-== (2)2-解析 )1(因为)(x f 的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以)(x f 的最小正周期π=T ,从而22==Tπω. 又因为)(x f 的图象关于直线3π=x 对称,所以Z ∈+=+⨯k k ,232ππϕπ,由22πϕπ<≤-,得0=k ,所以6322πππϕ-=-=.,综上,6,2πϕω-==. )2(由)1(知)62sin(3)(π-=x x f , 当]2,0[π∈x 时,πππ65626≤-≤-x , ∴当262ππ=-x ,即3π=x 时,3)(max =x f ;当662ππ-=-x ,即0=x 时,23)(max -=x f . 思维升华 )1(三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型,再利用三角函数的有关知识解决问题.)2(方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.)3(研究)sin(ϕω+=x A y 的性质时可将ϕω+x 视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.答案 ]185,92[ππ 解析 画出函数的图象.由],6[m x π∈,可知333365πππ+≤+≤m x , 因为2365cos )6(-==ππf 且1cos )92(-==ππf ,要使)(x f 的值域是]23,1[--,只要ππ18592≤≤m ,即]185,92[ππ∈m . 课后练习1.答案 π42.答案 )32sin(2π-x3.答案 π4.答案 3,2π-5.答案 23-6.答案 ②7.答案3π 8.答案 2 9.答案π67 10.答案 ]1,23(-11.答案π125 12.答案6π 13.答案 π14.答案 )1()423sin(2)(π+=x x f )2(4π=x 时,4)(max =x g解析 )1(由题图知34,2π==T A , 则23,342=∴⨯=ωπωπ. 又])6(23sin[2)6(ϕππ+-⨯=-f 0)4sin(2=+-=ϕπ,0)4sin(=-∴πϕ, 444,20ππϕππϕ<-<-∴<<Θ,04=-∴πϕ,即4πϕ=,)(x f ∴的解析式为)423sin(2)(π+=x x f .)2(由)1(可得]4)12(23sin[2)12(πππ+-=-x x f )823sin(2π+=x ,2)43cos(14)]12([)(2ππ+-⨯=-=∴x x f x g )43cos(22π+-=x , πππππ45434],3,6[≤+≤-∴-∈x x Θ, ∴当ππ=+43x ,即4π=x 时,4)(max =x g .15.答案 (1)()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭(2)12a =-. 解析 (1)由sin x 的对称轴为ππ,2x k k =+∈Z ,得ππ2π,62x k k ω-=+∈Z , 又π3x =是其一条对称轴,所以2ππππ,362k k ω-=+∈Z ,即31,2k k ω=+∈Z , 又15,22ω⎛⎫∈-⎪⎝⎭,所以1ω=.故()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2) 根据平移可知第一步平移后为()πππsin 2sin 2362G x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 第二步平移后为()πsin cos 2g x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.根据()g x 的图像,可知()1,0a ∈-, 设()g x a =的三个解分别是123,,x x x ,则有12,x x 关于πx =对称,23,x x 关于2πx =对称,因此122πx x =-,324πx x =-,又123,,x x x 成等比数列,所以2132x x x =,即()()22222π4πx x x --=,化简得228π6πx =⋅,∴24π3x =,故()24π1cos 32a g x ===-.。
人教A版高三艺术特长生一轮复习幂函数教案
幂函数一、学习目标 通过实例,了解幂函数的概念;结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, y =1/x , y=x 1/2 的图像,了解它们的变化情况. 二、要点梳理1. 幂函数的基本形式是 ,其中 是自变量, 是常数. 要求掌握,2y x =,3y x =, 1/2y x =,1y x -=这五个常用幂函数的图象.2. 观察出幂函数的共性,总结如下:(1)当时,图象过定点 ;在(0,)+∞上是 .(2)当时,图象过定点 ; 在(0,)+∞上是 ;在第一象限内,图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象,在第一象限内,直线的右侧,图象由下至上,指数由小到大. 轴和直线之间,图象由上至下,指数由小到大. 三、典例精析例1、已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3),试讨论其单调性.例2、已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()my x m Z -=∈的图象都与、轴都没有公共点,且 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称,求的值.例3、幂函数m y x =与ny x =在第一象限内的图象如图所示,则( ).A .101n m -<<<<B .1,01n m <-<<C .10,1n m -<<>D .1,1n m <->例4本市某区大力开展民心工程,近几年来对全区的老房子进行平改坡(“平改坡”是指在建筑结构许可条件下,将多层住宅平屋面改建成坡屋顶,并对外墙面进行整修粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为),且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时,所用时间需10年. 已知到今年为止,平改坡剩余面积为原来的22.(1)求每年平改坡的百分比;(2)问到今年为止,该平改坡工程已进行了多少年? (3)若通过技术创新,至少保留的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年?四、基础达标1.如果幂函数()f x x α=的图象经过点2(2,)2,则的值等于( ).A. 16B. 2C.D. 2.下列函数在区间上是增函数的是( ).A. B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =-- 3.设120.7a =,120.8b =,c 3log 0.7=,则( ). A. c <b <a B. c <a <b C. a <b <c D. b <a <c4.如图的曲线是幂函数ny x =在第一象限内的图象. 已知分别取,四个值,与曲线、、、相应的依次为( ).A .112,,,222-- B. 112,,2,22--425c 4c 3c 2c 1C. 11,2,2,22-- D. 112,,,222-- 5.下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( ). A.12y x = B. 4y x = C. 2y x -= D.13y x = 6.幂函数()y f x =的图象过点,则的值为 .7.比较下列各组数的大小: 32(2)a + ; 223(5)a -+ ; .8.1992年底世界人口达到亿,若人口的平均增长率为x %,2022年底世界人口数为y (亿). (1)写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数; (2)求2022年底的世界人口数y 与x 的函数解析式. 如果要使2022年的人口数不超过亿,试求人口的年平均增长率应控制在多少以内?9.请把相应的幂函数图象代号填入表格.① 23y x =; ② 2y x -=;③ 12y x =; ④ 1y x -=;⑤ 13y x =;⑥ 43y x =;⑦ 12y x -=;⑧ 53y x =.函数代号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 图象代号。
2015艺术生高考数学[文理]复习学案(3)
§84数系的扩张与复数的四则运算⑴【考点及要求】了解数系的扩充过程;理解复数的基本概念、代数表示法及复数相等的充要条件。
理解复数代数形式的四则运算法则,能进行复数代数形式的四则运算。
【基础知识】1.数的扩展:数系扩展的脉络是: → → ,用集合符号表示为 ⊆ ⊆ ,实际上前者是后者的真子集.2.复数的概念及分类:⑴概念:形如(,)a bi a b R +∈的数叫做 ,其中a b 与分别为它的 和 .⑵分类:①若(,)a bi a b R +∈为实数,则 ,②若(,)a bi a b R +∈为虚数,则 ,③若(,)a bi a b R +∈为纯虚数,则 ;⑶复数相等:若复数(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈⇔ ; ⑷共轭复数:(,,,)a bi c di a b c d R ++∈⇔与共轭 ;3.复数的加、减、乘、除去处法则:设12|||2(z z z a a ---=12|z ||为正常数,2a<|z -z|) 则 ⑴加法: 12()()z z a bi c di +=+++= ; ⑵减法: 12()()z z a bi c di -=+-+= ; ⑶乘法: 12()()z z a bi c di ∙=+∙+= ;⑷乘方: mnz z ∙= ;()m nz = ;12()n z z ∙= ;⑸除法:12z a bi z c di +==+12z a bi z c di+==+ = ; 4.复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 , 叫做实轴, 叫做虚轴;实轴上的点表示 ,除原点外,虚轴上的点都表示 . 5.复数的模:向量OZ 的模叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 (或 ),记作 (或 ),即||||z a bi =+= ;复数模的性质:⑴121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+;⑵2222||||||||z z z z z z ====∙; 6. 常见的结论: ⑴4411nn i +=4n+24n+34n+4n n+1n+2n+3的运算律:i,i =i,i =-1,i =-i,i =1,i +i +i +i =0;⑵2(1)i ±= ;11i i +=- ;11ii-=+ ;⑶1,22ωω-±3设=则= ;2ω= ;21ωω++= ; 【基本训练】1.若i b i i a -=⋅-)2(,其中,,a b R i ∈是虚数单位,则22a b +等于 . 2.设复数121,2()z i z x i x R =+=+∈,若12z z 为实数,则x 等于 . 3.若cos sin (z i i θθ=+是虚数单位),则使21z =-的θ值可能是 . 4.22)1(1)1(1i ii i -+++-等于______________. 5.已知复数032z i =+,复数z 满足025z i z z -∙=,则复数z = _______________. 6.i 是虚数单位,23482348i i i i i +++++ = ____________.【典型例题】例1.已知:复数z =)()65()67(22R a i a a a a ∈--++-,试求实数a 分别取什么值时,复数z 分别为: ⑴实数;⑵虚数;⑶纯虚数;⑷复数z 在复平面上对应的点在x 轴上方;练习:复数z 的实部和虚部都为整数,且满足z + z 10是实数,1 < z + z10≤6,求复数z.例2.计算下列各题: ⑴ 54)31()22(i i -+ ⑵2007)12(321,32i ii -+++- ⑶ )125)(1()32)(32(i i i i ---+ ⑷iii i 2332)11(6-++-+【课堂检测】1.下列命题中:⑴两个复数一定不能比较大小;⑵z m ni =+,当且仅当0,0m n =≠时,z 为虚数;⑶如果22120z z +=,则120z z ==;⑷如果123,,z z z C ∈,则221223()()0z z z z -+-≥,其中正确的的命题的个数是 . 2.3321ii ++=_____; 2005)11(i i -+ = ______;复数4)11(i +=________; 复数z =i-11的共轭复数是______;3.已知复数z =,2321i +-则2320081z z z z +++++= .4.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数(i 是虚数单位,b 是实数),则b = ______________. 5.设)()11()11()(Z n ii i i n f nn ∈--+-+=,则集合中的元素个数为 .6.已知复数1z i =+,如果i z z baz z -=+-++1122,求实数a 、b 的值.§84 数系的扩张与复数的四则运算⑵【基础训练】1.若复数2(1)(1)z m m m i =++-是纯虚数,则实数m 的值为 . 2.复数z =111-++-ii在复平面内所对应的点在 . 3.若u =,2321i +-v =,2321i --给出下列命题⑴1uv =;⑵33v u +2=;⑶111=+v u ;⑷2u v =其中正确的命题是 .4.如果1z 、2z C ∈且满足1212||||||1z z z z ==-=,则12||z z += . 【典型例题】例3.设z 为虚数,zz 1+=ω是实数,且21<<-ω, ⑴求||z 的值及z 的实部的取值范围; ⑵设zz u +-=11,求证:u 为纯虚数;⑶求2u -ω的最小值.练习:设x 、y 是实数,且ii y i x 315211-=---,求x y +的值.例4. 若关于x 的方程22(3)0x t t tx i +++=有纯虚数根,求实数t 的值和该方程的根.练习:关于x 的方程2(2)10,()x i x mi m R -+++=∈有一实根为n ,设复数(2)(12)z m i ni =+-,求m 、n 的值及复数z 的值.例5.设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=.(1)若方程有实数根,求锐角θ和方程的实根; (2)证明:对任意()2k k Z πθπ≠+∈,方程无纯虚数根.练习:已知关于t 的方程2(2)2()0,(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈.(1)当方程有实根时,求点(,)x y 的轨迹方程; (2)若方程有实根,求此实根的取值范围.【课堂小结】【课堂检测】 1.复数ii+1在复平面上对应的点位于第_______象限. 2.复数(m 2– 3m – 4) + (m 2– 5m – 6)i 表示的点在虚轴上,则实数m 的值是___________. 3.若复数z 满足|z| - z =i2110-,则z = _____________. 4.若复数z 满足方程220z +=,则3z = _______;5.若关于x 的一元二次实系数方程20x px q ++=有一根为1(i i +为虚数单位),则q = .6.设286z i =+,求310016z z z--的值.【课堂作业】1.已知复数z 1、z 2满足|z 1| = |z 2| = 1,且z 1 + z 2 = i ,求z 1、z 2 .2.已知复数z 满足|z – (4 – 5i)| = 1,求|z + i|的最大值与最小值.3.已知复数z 、w 满足w = iz+2,(1+3i)z 为纯虚数,|w| = 52,求w.4.已知()23,()63f z z z i f z i i =+-+=-. 求()f z -.5.已知关于x 的方程x 2– (6 +i)x + 9 + ai = 0(a ∈R )有实数根b. (1)求实数a 、b 的值;(2)若复数z 满足|z - a – bi| - 2|z| = 0,求z 为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的值.§85 复数的几何意义⑴【考点及要求】了解复数的代数表示法及几何意义;理解复数及复数加、减运算的几何意义,并能根据几何意义解决简单问题。
艺术生高考数学复习学案.docx
§ 1集合(1)【考点及要求】了解集合含义,体会"属于〃和“包含于"的关系,全集与空集的含义【基础知识】集合中元素与集合之间的关系:文字描述为_______ 和______ 符号表示为______ 和_____常见集合的符号表示:自然数集_______ 正整数集_________ 整数集__________有理数集_______ 实数集__________集合的表示方法1 ______________ 2 ______________ 3 ______________集合间的基本关系:1相等关系:A^BRB Q A<=> _____________ 2子集:力是B的子集,符号表示为 ________ 或B^A 3真子集:/是〃的真子集,符号表示为______________ 或 _____不含任何元素的集合叫做____________ ,记作__________ ,并规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的—【基本训练】1・下列各种对象的全体,可以构成集合的是___________(1 )某班身高超过1.8m的女学生;(2)某班比较聪明的学生;(3)本书中的难题(4 )使卜2 _ 3x + 2|最小的x的值2.用适当的符号(w,g,=,u,n)填空:7T_2; {3.14} _______ Q ; N_N*; {x\x = 2k^-l y kez} _______________ {x\x = 2k-\,ke z]3・用描述法表示下列集合:由直线y = x + l上所有点的坐标组成的集合;4•若AcB二B,则力______ B ;若AuB = B则力__________ B;AcB _________ AuB5•集合/ = {x|卜一3| v5},B = {x卜va},且A Q B,则d的范围是_________________【典型例题讲练】例1 设集合A/ = |x|x = -| + |^e Z^,N = ^x\x = ^^,ke zj,则M____________________ N练习:设集合P = x = £ + = = £ + ,则尸例2 已知集合A={x\ax2^2x-^l = 0,xeR}y a为实数。
艺术生高考数学复习学案
§1集合(1)【考点及要求】了解集合含义,体会“属于”和“包含于”的关系,全集与空集的含义【基础知识】集合中元素与集合之间的关系:文字描述为 和 符号表示为 和常见集合的符号表示:自然数集 正整数集 整数集有理数集 实数集集合的表示方法1 2 3集合间的基本关系:1相等关系:_________A B B A ⊆⊆⇔且 2子集:A 是B 的子集,符号表示为______或B A ⊇ 3 真子集:A 是B 的真子集,符号表示为_____或____不含任何元素的集合叫做 ,记作 ,并规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的【基本训练】1.下列各种对象的全体,可以构成集合的是(1) 某班身高超过1.8m 的女学生;(2)某班比较聪明的学生;(3)本书中的难题 (4)使232x x -+最小的x 的值2. 用适当的符号(,,,,)∈∉=⊂⊃填空:___;Q π {}3.14____Q ; *___;N N {}{}21,____21,x x k k Z x x k k z =+∈=-∈3.用描述法表示下列集合: 由直线1y x =+上所有点的坐标组成的集合;4.若A B B ⋂=,则____A B ;若A B B ⋃=则_____;_____A B A B A B ⋂⋃5.集合{}{}35,A x x B x x a =-<=<,且A B ⊆,则a 的范围是【典型例题讲练】例1 设集合11,,,2442k k M x x k Z N x x k Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,则_______M N 练习: 设集合11,,,3663k k P x x k Z Q x x k Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,则______P Q 例2已知集合{}2210,,A x ax x x R a =++=∈为实数。
(1) 若A 是空集,求a 的取值范围;(2) 若A 是单元素集,求a 的取值范围;(3) 若A 中至多只有一个元素,求a 的取值范围; 练习:已知数集1,,a P b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,数集{}20,,Q a b b =+,且P Q =,求,a b 的值 【【课堂小结】集合的概念及集合元素的三个特性【课堂检测】1. 设全集,U R =集合{}1M x x =>,{}21P x x =>,则______M P2. 集合{}{}2320,10,P x x x Q x mx =-+==-=若P Q ⊇,则实数m 的值是3.已知集合A 有n 个元素,则集合A 的子集个数有 个,真子集个数有 个4.已知集合A ={-1,3,2m -1},集合B ={3,2m }.若B A ⊆,则实数m = . 5.已知含有三个元素的集合2{,,1}{,,0},b a a a b a=+求20042005a b +的值. §2集合(2)【典型例题讲练】例3 已知集合{}23100A x x x =--≤(1) 若{},121B A B x m x m ⊆=+≤≤-,求实数m 的取值范围。
高中数学艺考生备考学案2016版
艺考生备考指南2016年10月一、有目标,有信心,用数学思维思考问题 例、“若昨天是明天,则今天是周六”,问这句话中的今天是周几?练习1、,αβ是锐角,求2βα-的范围练习2、判断正误:“若8x y +≠,则5x ≠或3y ≠” 练习3、求方程0.52|log |10x x -=的实根的个数练习4、设函数()f x 定义域为D ,若存在常数T ,使得任给x D ∈,()()f x T Tf x +=,则称()f x 为T 函数,判断()2x f x -=是T 函数吗?知识可以使我们的思维插上翅膀,让我们走的更远,还记得牛顿的话吗? 二、通过高考卷看我们的目标和平时努力的方向 填空 选择 大题三、小题知识点分析 1、集合、不等式①(2016山东卷文(1)) 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===,则()U A B ð= (A ){2,6}(B ){3,6}(C ){1,3,4,5}(D ){1,2,4,6}②(2015山东文)已知集合{}24A x x =<< ,()(){}130B x x x =--< ,则A B = (A )()1,3 (B )()1,4 (C )()2,3 (D )()2,4 2、复数①(2016山东卷文(2))若复数21iz =-,其中i 为虚数单位,则z = (A )1+i(B )1−i (C )−1+i (D )−1−i②(2013山东)若复数z 满足(3)(2)5z i --=(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为(A) 2i + (B) 2i - (C)5i + (D)5i - 3、统计、推理①(2016山东文(3))某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20), [20,22.5), [22.5,25),[25,27.5),[27.5,30).根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 (A )56(B )60(C )120(D )140②(2016山东文(12))观察下列等式:22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯;2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯;2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯;2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯;……照此规律,2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_________. ③(2011山东文13).某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生,为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数为 . 4、线性规划①(2016山东文(4))若变量x ,y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x 2+y 2的最大值是(A )4(B )9(C )10(D )12②(2015山东文(12))若,x y 满足约束条件1,3,1,y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+ 的最大值为 .5、三视图①一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的表面积。
江苏专版艺考生高考数学二轮复习学案设计第十课时函数图像
第十课时函数的图像知识记忆1.描点法作图方法步骤: (1)确立函数的定义域; (2)化简函数的分析式; (3) 谈论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值 (甚至变化趋向 );(4) 描点连线,画出函数的图象 .2.图象变换(1)平移变换(2)对称变换关于 x轴对称①y= f ( x) ―――――→ y=- f ( x) ;关于 y轴对称① y= f ( x) ―――――→ y= f (- x) ;关于原点对称① y= f ( x) ――――――→ y=- f (- x) ;① y= a x关于 y= x对称0 且 a 1 ). ( a 0且a 1 ) ―――――→y=log a x ( a【知识拓展】1.函数对称的重要结论(1) 函数y=f (x)与y=f (2a-x)的图象关于直线x= a 对称.(2)函数 y= f (x) 与 y=2b- f (2a- x) 的图象关于点 (a,b) 中心对称.(3)若函数 y= f (x) 对定义域内任意自变量 x 满足: f (a+ x)= f (a- x) ,则函数 y= f (x) 的图象关于直线x= a 对称.2.函数图象平移变换八字目标(1)左“加右减”,要注意加减指的是自变量 .(2)上“加下减”,要注意加减指的是函数值 .课前预习1.设M={ x | 0x 2}, N={ y | 0 y2} ,给出如图四个图形:此中,能表示从会集M 到会集 N 的函数关系的有______.( 填序号 )2.函数y=2 x2-e|x|在[-2,2]上的图象大体为________.3.若函数y=f ( x)的图象经过点(1,1) ,则函数 y= f (4- x) 的图象经过点的坐标为________.4.(2016 苏·州中学月考)使log2(-x)<x+1成立的 x 的取值范围是 __________.5.已知函数= log 2 x, x 0,且关于 x 的方程f ( x)-a=0有两个实根,则实数 a 的取f (, x 02x值范围是 ________.课堂讲解题型一作函数的图象例 1作出以下函数的图象.1 |x|= 2x-1y ; (2) y= |log 2 ( x+1) | ; (4) 2;(3) y = x- 2| x |-1 .(1) = 2 x-1作出以下函数的图象.(1) y=| x-2 |g( x+1);(2) y=x+2. x+3题型二识图与辨图例 2已知定义在区间[0,2] 上的函数 y= f ( x) 的图象以以下图,则 y=- f (2- x) 的图象为________.题型三函数图象的应用考点 1研究函数的性质例 3若函数y=f (2x+1)是偶函数,则函数y= f ( x) 图象的对称轴方程是________.考点 2 解不等式例4 函数 f (x) 是定义域为(-,0) (0,+) 的奇函数,在(0,+) 上单调递加,图象以以下图,若x·[f ( x)- f (-x)] 0 ,则x 的取值范围为________.考点 3求解函数零点问题|x|,x≤m,此中 m 0 ,若存在实数 b ,使得关于x的例 5 已知函数f (x)=x2- 2mx+4m, x>m,方程 f (x)= b 有三个不一样的根,则m 的取值范围是________.x+a的图象关于直线 y=- x 对称,且(1) 设函数y=f ( x)的图象与y=2,则 a=f (-2)+ f (- 4)=1________.(2) 已知函数 f ( x)= | x-2 |+1,g (x)= kx .若方程 f (x)= g ( x) 有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是__________.课后练习1.如图,函数 f (x) 的图象是曲线OAB,此中点 O,A,B 的坐标分别为 (0, 0),(1, 2), (3,1),则f 1 = ______.f 32.函数f (x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线y= e x关于y轴对称,则 f (x) 的分析式为 ______________.3.(2016 淮·安调研 )已知函数f (x)=log a(x+b)(a 0 且 a 1, b R ) 的图象以以下图,则a+ b= ________.4.函数y=1的图象与函数y=2sin x(-2 x 4) 的图象全部交点的横坐标之和等于-1 x________.5.已知函数 f (x)= e|ln x|,则函数 y=f ( x+1) 的大体图象为________.6.关于函数 f (x)= lg (| x-2 |+1) ,给出以下三个命题:① f ( x+ 2) 是偶函数;① f (x) 在区间 (-,2) 上是减函数,在区间(2, + ) 上是增函数;①f ( x) 没有最小值.此中正确的个数为________.7.设函数y=f ( x+1)是定义在(-,0)(0,+数,且图象过点(1,0) ,则不等式( x-1) f ( x)0) 上的偶函数,在区间(-,0)上是减函的解集为 ___________________________.8.设 f ( x)= | lg ( x-1) | ,若 0 a b 且f (a)= f (b) ,则ab 的取值范围是________.9.如图,定义在[- 1,+ ) 上的函数 f ( x) 的图象由一条线段及抛物线的一部分构成,则 f (x) 的分析式为________________.=x2 x , x 1 ,g ( x)=| x-k |+| x-1|,若对任意的x1, x2 R ,10.已知函数f ( x) x , x 1都有 f (x1) g(x2 ) 成立,则实数k的取值范围为________________.11.(2016 徐·州模拟 ) 设函数 f ( x)= | x+ a | , g( x)=x-1 ,关于任意的x R ,不等式f ( x) g( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.12.已知f ( x)是定义在 R 上的偶函数,且关于任意的x [0,+ ) ,满足 f ( x+2)= f ( x) .若当 x [0,2) 时, f ( x)= | x2- x-1| ,则函数 y= f ( x)-1 在区间 [- 2,4] 上的零点个数为________.13. 已知函数x2 1,x 0,2 ) f (2x) 的 x 的取值范围是f (x)=则满足不等式 f (1 x1, x 0,__________.14. 已知f ( x)是定义在R上且周期为 3 的函数,当x 0,3 时, f (x) x2 2x 1 ,2若函数 y f (x) a 在区间3,4 上有10个零点(互不同样),则实数a的取值范围是.15. 已知函数f ( x) | ln x |,g( x)0,0 x 1g( x) | 1 实根的个24 |,则方程 | f ( x)| x 2, x 1数为.第十课时函数的图像参照答案课前预习1 答案y x 12 32 答案2,83.答案3,14.答案1,05.【答案】3,【分析】画出函数图象以以下图所示:由图所示,要 f x b 有三个不一样的根,需要红色部分图像在深蓝色图像的下方,即m m22m m 4m,m23m 0 ,解得 m 3 .课堂讲解题型一作函数的图象例 11 x1 x1 解 (1) 作出 y 的图象,保留 y的图象中 x ≥ 0 的部分,加上22 y21x中 x>0 部分关于 y 轴的对称部分,即得y的图象,如图 ① 实线部分 . 2x的图象(2) 将函数 y log 2 x 的图象向左平移 1 个单位, 再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去, 即可 获得函数 ylog 2 x 1 的图象,如图 ②.2 x 1 1,故函数图象可由 y1 1 个单位, 再向上平移(3) ∵ y12的图象向右平移 xx 1x2 个单位而得,如图③ .x 2 2x 1, x 0[0,+ ∞ )上的图象,再根(4) ∵ y2 x 1, x,且函数为偶函数,先用描点法作出x 2 0据对称性作出 (- ∞ , 0)上的图象,如图 ④ .思想升华图象变换法作函数的图象(1) 娴熟掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比率函数、指数函数、对数函数、幂函1数、形如 y = x + x 的函数 .(2) 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩获得,可利用图象变换作出,但要注意变换序次 .解(1)当 x ≥ 2,即 x - 2≥ 0 时,19y =(x -2)(x + 1)=x 2-x - 2= (x - ) 2- ;2 4当 x<2,即 x -2<0 时,y =- (x - 2)(x +1)=- x 2+ x + 219=- (x - 2)2+ 4.1 9∴y = x -2 2- 4, x ≥ 2,1 9- x - 2 2+ 4, x<2.这是分段函数,每段函数的图象可依据二次函数图象作出 (如图).x +2 1y =- 1(2) y= 1- x +3 ,该函数图象可由函数x 向左平移 3 个单位,再向上平移1 个单=x +3位获得,以以下图 .题型二识图与辨图例 2答案(1) ①d ,② a ,③ b (2)②分析(1) 离家不久发现自己作业本忘在家里,回到家里,这时离家的距离为0,故①与图象 d 相切合;途中有一段时间交通拥堵,则这段时间与家的距离必为必定值,故②与图象 a相切合;加快赶向学校,图象上涨地就愈来愈快,故③与图象b 相切合 .(2) 方法一 由 y = f ( x ) 的图象知,x0≤ x≤1 ,f(x)=1 1< x≤2 .当 x∈ [0, 2]时, 2- x∈[0, 2],10≤ x<1 ,所以 f(2 -x)=2-x 1≤x≤2,-1 0≤ x<1 ,故 y=- f(2- x)=x-2 1≤x≤2 .图象应为② .方法二当 x= 0 时,- f(2-x) =- f(2) =- 1;当 x= 1 时,- f(2-x)=- f(1) =- 1.观察各图象,可知应填②.分析如图作出函数 f ( x)=| x+a|与 g( x)= x-1的图象,观察图象可知:当且仅当- a≤1,即 a≥-1时,不等式 f ( x)≥ g( x)恒成立,所以 a 的取值范围是[-1,+∞).答案 [ -1,+∞ )题型三函数图象的应用命题点 1研究函数的性质例 3答案(1) ③(2)x= 1命题点 2解不等式例 4答案(- 3, 0)∪(0, 3)1答案(1)(2, 1)分析先作出函数 f(x)= |x-2|+ 1 的图象,以以下图,当直线g(x)= kx 与直线 AB 平行时斜1率为1,当直线 g(x)= kx 过 A 点时斜率为2,故 f(x) =g( x)有两个不相等的实根时, k 的取值1范围为 (2, 1).课后练习1.答案 2-x-12.答案f(x)=e93.答案 24.答案85.分析对任意x∈R,都有f(x)≤-|k1|成立,即f(x)max≤-|k1|.由于 f(x) 的草图以以下图,- x2+ x, x≤1,观察 f(x) = 1log 3x, x>11 1 的图象可知,当x=2时,函数f(x)max =4,13 5所以 |k- 1| ≥,解得 k≤或 k≥ .44 43 5答案-∞,4∪ 4,+∞6.答案 27.答案{ x|x≤ 0 或 1<x≤ 2}8.答案(4,+∞ )9.x+ 1,- 1≤ x≤ 0,答案f(x)= 14 x- 2 2- 1, x>0*10.3 5答案(-∞,4]∪ [4,+∞ )分析对任意的 x1, x2∈ R,都有 f( x1)≤ g(x2)成立,即 f(x)max ≤ g(x)min ,- x 2+x , x ≤ 1,观察 f( x)= log 1 x ,x>1的图象可知, 31当 x = 2时,1函数 f( x)max = 4;由于 g(x)= |x - k|+ (x - 1)≥ |x - k -|x - 1||= |k - 1|,所以 g(x) min = |k - 1|,13 5 所以 |k - 1|≥ 4,解得 k ≤ 4或 k ≥ 4.3 5故实数 k 的取值范围是 (-∞ , 4]∪ [4,+ ∞ ).11.答案[ - 1,+∞ )分析 如图,要使 f(x)≥ g(x)恒成立,则- a ≤ 1,∴ a ≥- 1.12.答案 7分析作出函数 f(x)的图象 (如图 ),则它与直线 y = 1 在 [- 2, 4]上的交点的个数,即为函数y =f(x) - 1 在 [- 2,4] 的零点的个数, 由图象观察知共有 7 个交点,从而函数 y = f(x)-1 在 [ - 2, 4] 上的零点有 7 个.。
艺术生高考数学复习学案(83-100)
§83 数系的扩张与复数的四则运算⑴【基础知识】1.数的扩展:数系扩展的脉络是: → → ,用集合符号表示为 ⊆ ⊆ ,实际上前者是后者的真子集.2.复数的概念及分类:⑴概念:形如(,)a bi a b R +∈的数叫做 ,其中a b 与分别为它的 和 .⑵分类:①若(,)a bi a b R +∈为实数,则 ,②若(,)a bi a b R +∈为虚数,则 ,③若(,)a bi a b R +∈为纯虚数,则 ;⑶复数相等:若复数(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈⇔ ; ⑷共轭复数:(,,,)a bi c di a b c d R ++∈⇔与共轭 ;3.复数的加、减、乘、除去处法则:设12|||2(z z z a a ---=12|z ||为正常数,2a<|z -z |)则⑴加法: 12()()z z a bi c di +=+++= ; ⑵减法: 12()()z z a bi c di -=+-+= ; ⑶乘法: 12()()z z a bi c di •=+•+= ;⑷乘方: m nz z •= ;()m n z = ;12()n z z •= ;⑸除法:12z a bi z c di +==+12z a bi z c di+==+ = ; 4.复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 , 叫做实 轴, 叫做虚轴;实轴上的点表示 ,除原点外,虚轴上的点都表示 . 5.复数的模:向量OZ 的模叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 (或 ),记作 (或 ),即||||z a bi =+= ;复数模的性质:⑴121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+;⑵2222||||||||z z z z z z ====•; 6. 常见的结论:⑴4411nn i +=4n+24n+34n+4n n+1n+2n+3的运算律:i,i =i,i =-1,i =-i,i =1,i +i +i +i =0;⑵2(1)i ±= ;11i i +=- ;11ii-=+ ;⑶1,2ωω-3设=则= ;2ω= ;21ωω++= ; 【基本训练】1.若i b i i a -=⋅-)2(,其中,,a b R i ∈是虚数单位,则22a b +等于 . 2.设复数121,2()z i z x i x R =+=+∈,若12z z 为实数,则x 等于 . 3.若cos sin (z i i θθ=+是虚数单位),则使21z =-的θ值可能是 . 4.22)1(1)1(1i ii i -+++-等于______________. 5.已知复数032z i =+,复数z 满足025z i z z -•=,则复数z = _______________. 6.i 是虚数单位,23482348i i i i i +++++ = ____________.【典型例题】例1.已知:复数z =)()65()67(22R a i a a a a ∈--++-,试求实数a 分别取什么值时,复数z 分别为:⑴实数;⑵虚数;⑶纯虚数;⑷复数z 在复平面上对应的点在x 轴上方;练习:复数z 的实部和虚部都为整数,且满足z + z 10是实数,1 < z + z10≤6,求复数z.例2.计算下列各题:⑴ 54)31()22(i i -+ ⑵2007)12(321,32i ii -+++-⑶)125)(1()32)(32(i i i i ---+ ⑷iii i 2332)11(6-++-+【课堂检测】1.下列命题中:⑴两个复数一定不能比较大小;⑵z m ni =+,当且仅当0,0m n =≠时,z 为虚数;⑶如果22120z z +=,则120z z ==;⑷如果123,,z z z C ∈,则221223()()0z z z z -+-≥,其中正确的的命题的个数是 .2.3321i i ++=_____; 2005)11(i i -+ = ______;复数4)11(i +=________;复数z =i-11的共轭复数是______;3.已知复数z =,2321i +-则2320081z z z z +++++= .4.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数(i 是虚数单位,b 是实数),则b = ______________. 5.设)()11()11()(Z n ii i i n f nn ∈--+-+=,则集合中的元素个数为 .6.已知复数1z i =+,如果i z z baz z -=+-++1122,求实数a 、b 的值.§84 数系的扩张与复数的四则运算⑵【基础训练】1.若复数2(1)(1)z m m m i =++-是纯虚数,则实数m 的值为 . 2.复数z =111-++-ii在复平面内所对应的点在 . 3.若u =,2321i +-v =,2321i --给出下列命题⑴1uv =;⑵33v u +2=;⑶111=+vu ;⑷2u v =其中正确的命题是 . 4.如果1z 、2z C ∈且满足1212||||||1z z z z ==-=,则12||z z += . 【典型例题】例3.设z 为虚数,zz 1+=ω是实数,且21<<-ω, ⑴求||z 的值及z 的实部的取值范围; ⑵设zz u +-=11,求证:u 为纯虚数;⑶求2u -ω的最小值.练习:设x 、y 是实数,且ii y i x 315211-=---,求x y +的值.例4. 若关于x 的方程22(3)0x t t tx i +++=有纯虚数根,求实数t 的值和该方程的根.练习:关于x 的方程2(2)10,()x i x mi m R -+++=∈有一实根为n ,设复数(2)(12)z m i ni =+-,求m 、n 的值及复数z 的值.例5.设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=.(1)若方程有实数根,求锐角θ和方程的实根; (2)证明:对任意()2k k Z πθπ≠+∈,方程无纯虚数根.练习:已知关于t 的方程2(2)2()0,(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈.(1)当方程有实根时,求点(,)x y 的轨迹方程;(2)若方程有实根,求此实根的取值范围. 【课堂检测】 1.复数ii+1在复平面上对应的点位于第_______象限. 2.复数(m 2 – 3m – 4) + (m 2 – 5m – 6)i 表示的点在虚轴上,则实数m 的值是___________. 3.若复数z 满足|z| - z =i2110-,则z = _____________. 4.若复数z 满足方程220z +=,则3z = _______;5.若关于x 的一元二次实系数方程20x px q ++=有一根为1(i i +为虚数单位),则q = .6.设286z i =+,求310016z z z--的值. 【课堂作业】1.已知复数z 1、z 2满足|z 1| = |z 2| = 1,且z 1 + z 2 = i ,求z 1、z 2 . 2.已知复数z 满足|z – (4 – 5i)| = 1,求|z + i|的最大值与最小值. 3.已知复数z 、w 满足w =iz+2,(1+3i)z 为纯虚数,|w| = 52,求w. 4.已知()23,()63f z z z i f z i i =+-+=-. 求()f z -.5.已知关于x 的方程x 2 – (6 +i)x + 9 + ai = 0(a ∈R )有实数根b. (1)求实数a 、b 的值;(2)若复数z 满足|z - a – bi| - 2|z| = 0,求z 为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的值.§85 复数的几何意义⑴【基础知识】1.复平面内两点间的距离公式:两个复数 的就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离;设两个复数12z z 、在复平面内对应点分别为12,Z Z d 、为点12Z Z 、间的距离,则d = ;2.常见的复数对应点的轨迹有:已知复平面内定点12z z 、,及动点z ①方程12||||z z z z -=-表示 ; ②1||(0z z r r -=>为常数)表示 ;③12||2(z z z a a -+-=12|z |为正常数,2a>|z -z |)表示 ; ④12|||2(z z z a a ---=12|z ||为正常数,2a<|z -z |)表示 ; 【基础训练】1.满足条件|z – i| = |3 + 4i|的复数z 在复平面内对应点的轨迹是____________. 2.若关于x 的方程x 2 – mx + 2 = 0有一个虚根1 + i ,则实数m 的值为__________. 3.已知3z ai =+,且|2|2z -<,则实数a 的取值范围是_____________.4.已知复数z 满足|z + 1| + |z – 1| = 2,则z 在复平面内对应点的轨迹是____________. 5.“复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数”是“0a =”的 条件. 6. 若35(,)44ππθ∈,则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在第_________象限.7.ABC ∆三个顶点所对应的复数1z 、2z 、3z ,复数z 满足123||||||z z z z z z -=-=-,则复数z 对应点的是ABC ∆的 .8.非零复数12z z 、满足关系1212z z z z |+|=|-|,则12z z 一定是__________. 【典型例题】例1.已知复数z 满足2z i +、iz -2均为实数(i 为虚数单位),且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围.练习:已知集合}{}{22(3)(1),8,3,(1)(2)M a b i N i a b i =++-=-++,同时满足M ∩,M N M M N ⊂≠Φ,求整数a 、b .例2.已知四边形OABC ,顶点O 、A 、C 对应的得数为0、32i +、24i -+,试求: ⑴AO 表示的复数, BC 表示的复数;⑵对角线CA 表示的复数;⑶求B 点对应的复数.练习:1.复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1,2i ,5 + 2i ,则A 、B 、C 所构成的三角形是____________.2.复平面内有三点A 、B 、C ,点A 对应的复数为2i +,向量BA 对应的复数为12i +,向量BC 对应的复数是3i -,求C 点对应的复数. 【课堂检测】 1.若|z| = 1,则21zz+一定是___________. 2.如果ABC ∆是锐角三角形,则复数(cos sin )(sin cos )z B A i B A =-+-对应的点位于 .3.已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 分别对应复数0,1 + i ,3 – i. 试求: (1)AO 和CA 表示的复数;(2)点B 对应的复数.§86复数的概念及几何意义⑵【典型例题】例3.设复数(,)z x yi x y R =+∈,在下列条件下求动点(,)Z x y 的轨迹.⑴ |2|2z i +=; ⑵|1||1|z i z i ++=--; ⑶|5||5|8z i z i +--=;⑷ |1|2|1|z z +=-; ⑸||||z i z i ++-=; ⑹||1||1|z z +--=;⑺ 3z i =-; ⑻ 3cos 4sin z i θθ=+.例4.已知z ∈C ,|z – 2| = 1,求|z + 2 + 5i|的最大值和最小值.练习:1.已知复数z 满足|34|2z i ++≤,则||z 的最大值为 . 2.已知复数(2)(,)z x yi x y R =-+∈的模为3,则12++x y 的最大值和最小值分别为 .例5.设复数1(,,0)z x yi x y R y =+∈≠,2cos sin ()z i R ααα=+∈,且2112z z R +∈,1z 在复平面上所对应的点在直线y x =上,求12||z z -的取值范围.例6.已知复数(,)z x yi x y R =+∈满足方程||||6z z ++-=, ⑴.求动点(,)P x y 的轨迹方程;⑵.试问是否存在直线l ,使l 与动点(,)P x y 的轨迹交于不同的两点M N 与,且线段MN 恰被直线12x =-平分?若存在,求出直线l 的斜率取值范围;若不存在,请说明理由; 【课堂检测】1.已知|z 1| = 1,|z 2| = 1,|z 1 + z 2| =3,求|z 1 – z 2|.2.复平面内有A B C 、、三点,点A 对应的复数为2i +,向量BA 对应的复数为12i +,向量BC 对应的复数是3i -,求C 点对应的复数.3.复数1z 满足1222123(,z z iz ai a R z z •+=+∈为的共轭复数),且其对应的点在第二象限,求a 的取值范围.§87命题的四种形式及充分条件与必要条件⑴【基础知识】1.原命题:若p q 则;逆命题为: ;否命题为: ;逆否命题为: ;2. 四种命题的真假关系:两个命题互为逆否命题,它们有 的真假性;四种命题中真命题或假命题的个数必为 个.3. 充分条件与必要条件:⑴如果,p q p q ⇒则是的 ,q p 是 ;⑵如果,p q q p ⇒⇒,则p 是q ;⑶如果 ,p q 则是的充分而不必要条件; ⑷如果 , p q 则是的必要而不充分条件; ⑸如果 ,p q 则是的既不充分也不必要条件;【基础训练】1.设集合}30|{≤<=x x M ,}20|{≤<=x x N ,那么“M a ∈”是“N a ∈” 的 条件.2.设原命题“若a+b ≥2,则a,b 中至少有一个不小于1”则原命题与其逆命题的真假情况是 .3.命题:“若a 2+b 2=0(a , b ∈R ),则a=b=0”的逆否命题是 . 4.设a ∈R ,则a>1是a1<1 的 条件. 5.若a 与c b -都是非零向量,则“c a b a ⋅=⋅”是“a ⊥(c b -)”的条件6.一次函数nx n m y 1+-=的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是 .7.已知p ,q 都是r 的必要条件,s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件,则s 是q 的 条件,r 是q 的 条件,p 是s 的 条件.8.用充分、必要条件填空:①x ≠1且y ≠2是x+y ≠3的 ②x ≠1或y ≠2是x+y ≠3的 . 【典型例题】例1.填空:⑴B A ⊇是(A ∩C )⊇(B ∩C )成立的 条件. ⑵在空间四点中,无三点共线是四点共面的 条件.⑶“在△ABC 中,A =60°,且 co s B +co s C =1”是“△ABC 是等边三角形”的 条件. ⑷设集合A ={长方体},B ={正四棱柱},则“x ∈A ”是“x ∈B ”的 条件.⑸一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 . ⑹命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<<a ,则命题甲是命题乙成立的 条件.⑺已知0>h ,设命题甲为:两个实数b a ,满足h b a 2<-,命题乙为:两个实数b a , 满足h a <-1且h b <-1,那么甲是乙的 条件.⑻给出下列命题①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件;②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件;③已知R y x ∈,,“若0=xy ,则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ” ;④“若a 和b 都是偶数,则b a +是偶数”的否命题是假命题 。
2013艺术生高考数学复习学案(二)
【考点及要求】
12.. 理掌解握平平面面向向量量的的坐加标减表及示数;乘的坐标运算; 3. 理解向量平行的等价条件的坐标形式. 【基础知识】
【课堂小结】 向量是既有大小又有方向的量,应用概念解题,注意数形结合;能够从图形和代
数式两个角度理解向量的加减以及数乘运算。 【课堂检测】 1.如图,△ABC中,D,E,F 分别是边 BC,AB,CA 的中点,在以 A、B、C、D、E、F 为端点的有向线段
2
A
F
E
B
D
C
2013 届高三艺术生数学一轮复习教学案
【基本4.训平练面】向量基本定理. 1.判断下列命题是否正确: ⑴两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同; ( )
⑵若四边形 ABCD是平行四边形,则 AB = DC ;
()
⑶若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;
()
⑷若 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点共线; ( )
3
2013 届高三艺术生数学一轮复习教学案
试用 a,b 表示O→C.
例 4.某人在静水中游泳,速度为 4 3千米/时,他在水流速度为 4 千米/时
的河中游泳. (1)若他垂直游向河对岸,则他实际沿什么方向前进?实际前进的速度
为多少? (2)他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度
中所表示的向量中,
(1)与向量 FE 共线的有
.
(2)与向量 DF 的模相等的有
.
(3)与向量 ED 相等的有
.
2.已知正方形 ABCD边长为 1, AB + BC + AC 模等于( )
A.0
B.3
C.2 2 D. 2
艺术生高考数学复习学案(四)
集合周测试卷
一. 填空题 (5 分*14)
1. 下面四个命题 :
① 集合 N 中最小的数是 1; ② 0 是自然数 ; ③ {1,2,3} 是不大于 3
的自然数组成的集合 ; ④ a N , b N , 则 a b 2.其中正确命题的
个数有
个
2. 集合 A { y y x2 4, x N , y N} 的真子集的个数有
(4 )的值为 =
5. y x2 4x 6, x 1,5 的值域为
6. 下列函数:① y x 1 ;② y log 2 (x 1) ;③ y x 1 ;④ y 2x 1 .其
中定义域与值域都不是 R 的是
7.函数 f x
1 ln
x (-1 <x<1 =奇偶性是
1x
函数 .
-12-
1
8. 0.064 3
g(x)=f(x)+f(-x) 的定义域为
。
12 、设 f ( x)
1
x 1 (x 0)
2
,则 f[f(-1)]=
1
(x 0)
x
13 、已知集合 A={a 2,a+1 ,- 3},B={a -3,2a -1 ,a2+1} ,若
A∩B={ -3} ,则 a= ;
14 、已知集合 A={ ( x,y) | y 1 1},B={ (x ,y )|y=x+2} ,则
lg x
lg y ,求 log
2
x y
的值.
-14-
20. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 2x
a
x
, a 为常数.
2
(1) 如果 f (x) 满足 f ( x) f ( x) ,求 a 的值;
高三艺术生数学第一轮复习教学案第3-4课时集合2
§3集合(3)【考点及要求】了解并掌握集合之间交,并,补的含义与求法【基础知识】1.由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫做A 与B 的 记作2.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫做A 与B 的 记作3.若已知全集U ,集合A U ⊆,则U C A =4.________A A ⋂=,_________A ⋂∅=,__________A A ⋃=,_________A ⋃∅= _________U A C A ⋂=,_________U A C A ⋃=,若A B ⊆,则____,___A B A B ⋂=⋃= ()_______________U C A B ⋂= ()____________U C A B ⋃= 【基本训练】1.集合{}33|>-<=x x x A 或,{}41|><=x x x B 或,A B ⋂=__ _______.2.设全集{}{}1,2,3,4,5,1,4I A ==,则______I C A =,它的子集个数是3.若U ={1,2,3,4},M ={1,2},N ={2,3},则()__________U C M N ⋃=4.设{1,2,3,4,5,6,7,8}U =,{3,4,5},{4,7,8}.A B ==则:()()U U C A C B ⋂= , ()()U U C A C B ⋃=【典型例题讲练】例1已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()________U C A B =练习:设集合{}22,A x x x R =-≤∈,{}2|,12B y y x x ==--≤≤,则()________R C A B =例2已知}4{<-=a x x A ,}056{2>+-=x x x B ,且R B A = ,则a 的取值范围是 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
§83 数系的扩张与复数的四则运算⑴【基础知识】1.数的扩展:数系扩展的脉络是: → → ,用集合符号表示为 ⊆ ⊆ ,实际上前者是后者的真子集.2.复数的概念及分类:⑴概念:形如(,)a bi a b R +∈的数叫做 ,其中a b 与分别为它的 和 .⑵分类:①若(,)a bi a b R +∈为实数,则 ,②若(,)a bi a b R +∈为虚数,则 ,③若(,)a bi a b R +∈为纯虚数,则 ;⑶复数相等:若复数(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈⇔ ; ⑷共轭复数:(,,,)a bi c di a b c d R ++∈⇔与共轭 ;3.复数的加、减、乘、除去处法则:设12|||2(z z z a a ---=12|z ||为正常数,2a<|z -z |)则⑴加法: 12()()z z a bi c di +=+++= ; ⑵减法: 12()()z z a bi c di -=+-+= ; ⑶乘法: 12()()z z a bi c di ∙=+∙+= ;⑷乘方: m nz z ∙= ;()m n z = ;12()n z z ∙= ;⑸除法:12z a bi z c di +==+12z a bi z c di+==+ = ; 4.复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 , 叫做实 轴, 叫做虚轴;实轴上的点表示 ,除原点外,虚轴上的点都表示 . 5.复数的模:向量OZ 的模叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 (或 ),记作 (或 ),即||||z a bi =+= ;复数模的性质:⑴121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+;⑵2222||||||||z z z z z z ====∙; 6. 常见的结论:⑴4411nn i +=4n+24n+34n+4n n+1n+2n+3的运算律:i,i =i,i =-1,i =-i,i =1,i +i +i +i =0;⑵2(1)i ±= ;11i i +=- ;11ii-=+ ;⑶1,22ωω-±3设=则= ;2ω= ;21ωω++= ; 【基本训练】1.若i b i i a -=⋅-)2(,其中,,a b R i ∈是虚数单位,则22a b +等于 . 2.设复数121,2()z i z x i x R =+=+∈,若12z z 为实数,则x 等于 . 3.若cos sin (z i i θθ=+是虚数单位),则使21z =-的θ值可能是 . 4.22)1(1)1(1i ii i -+++-等于______________. 5.已知复数032z i =+,复数z 满足025z i z z -∙=,则复数z = _______________. 6.i 是虚数单位,23482348i i i i i +++++ = ____________.【典型例题】例1.已知:复数z =)()65()67(22R a i a a a a ∈--++-,试求实数a 分别取什么值时,复数z 分别为:⑴实数;⑵虚数;⑶纯虚数;⑷复数z 在复平面上对应的点在x 轴上方;练习:复数z 的实部和虚部都为整数,且满足z + z 10是实数,1 < z + z10≤6,求复数z.例2.计算下列各题:⑴ 54)31()22(i i -+ ⑵2007)12(321,32i ii -+++- ⑶)125)(1()32)(32(i i i i ---+ ⑷iii i 2332)11(6-++-+【课堂检测】1.下列命题中:⑴两个复数一定不能比较大小;⑵z m ni =+,当且仅当0,0m n =≠时,z 为虚数;⑶如果22120z z +=,则120z z ==;⑷如果123,,z z z C ∈,则221223()()0z z z z -+-≥,其中正确的的命题的个数是 .2.3321i i ++=_____; 2005)11(i i -+ = ______;复数4)11(i +=________;复数z =i-11的共轭复数是______;3.已知复数z =,2321i +-则2320081z z z z +++++= .4.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数(i 是虚数单位,b 是实数),则b = ______________. 5.设)()11()11()(Z n ii i i n f nn ∈--+-+=,则集合中的元素个数为 .6.已知复数1z i =+,如果i z z baz z -=+-++1122,求实数a 、b 的值.§84 数系的扩张与复数的四则运算⑵【基础训练】1.若复数2(1)(1)z m m m i =++-是纯虚数,则实数m 的值为 . 2.复数z =111-++-ii在复平面内所对应的点在 . 3.若u =,2321i +-v =,2321i --给出下列命题⑴1uv =;⑵33v u +2=;⑶111=+vu ;⑷2u v =其中正确的命题是 . 4.如果1z 、2z C ∈且满足1212||||||1z z z z ==-=,则12||z z += . 【典型例题】例3.设z 为虚数,zz 1+=ω是实数,且21<<-ω, ⑴求||z 的值及z 的实部的取值范围; ⑵设zz u +-=11,求证:u 为纯虚数;⑶求2u -ω的最小值.练习:设x 、y 是实数,且ii y i x 315211-=---,求x y +的值.例4. 若关于x 的方程22(3)0x t t tx i +++=有纯虚数根,求实数t 的值和该方程的根.练习:关于x 的方程2(2)10,()x i x mi m R -+++=∈有一实根为n ,设复数(2)(12)z m i ni =+-,求m 、n 的值及复数z 的值.例5.设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=.(1)若方程有实数根,求锐角θ和方程的实根; (2)证明:对任意()2k k Z πθπ≠+∈,方程无纯虚数根.练习:已知关于t 的方程2(2)2()0,(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈.(1)当方程有实根时,求点(,)x y 的轨迹方程;(2)若方程有实根,求此实根的取值范围. 【课堂检测】 1.复数ii+1在复平面上对应的点位于第_______象限. 2.复数(m 2 – 3m – 4) + (m 2 – 5m – 6)i 表示的点在虚轴上,则实数m 的值是___________. 3.若复数z 满足|z| - z =i2110-,则z = _____________. 4.若复数z 满足方程220z +=,则3z = _______;5.若关于x 的一元二次实系数方程20x px q ++=有一根为1(i i +为虚数单位),则q = .6.设286z i =+,求310016z z z--的值. 【课堂作业】1.已知复数z 1、z 2满足|z 1| = |z 2| = 1,且z 1 + z 2 = i ,求z 1、z 2 . 2.已知复数z 满足|z – (4 – 5i)| = 1,求|z + i|的最大值与最小值. 3.已知复数z 、w 满足w = iz+2,(1+3i)z 为纯虚数,|w| = 52,求w.4.已知()23,()63f z z z i f z i i =+-+=-. 求()f z -. 5.已知关于x 的方程x 2 – (6 +i)x + 9 + ai = 0(a ∈R )有实数根b. (1)求实数a 、b 的值;(2)若复数z 满足|- a – bi| - 2|z| = 0,求z 为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的值.§85 复数的几何意义⑴【基础知识】1.复平面内两点间的距离公式:两个复数 的就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离;设两个复数12z z 、在复平面内对应点分别为12,Z Z d 、为点12Z Z 、间的距离,则d = ;2.常见的复数对应点的轨迹有:已知复平面内定点12z z 、,及动点z ①方程12||||z z z z -=-表示 ; ②1||(0z z r r -=>为常数)表示 ;③12||2(z z z a a -+-=12|z |为正常数,2a>|z -z |)表示 ; ④12|||2(z z z a a ---=12|z ||为正常数,2a<|z -z |)表示 ; 【基础训练】1.满足条件|z – i| = |3 + 4i|的复数z 在复平面内对应点的轨迹是____________. 2.若关于x 的方程x 2 – mx + 2 = 0有一个虚根1 + i ,则实数m 的值为__________. 3.已知3z ai =+,且|2|2z -<,则实数a 的取值范围是_____________.4.已知复数z 满足|z + 1| + |z – 1| = 2,则z 在复平面内对应点的轨迹是____________. 5.“复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数”是“0a =”的 条件. 6. 若35(,)44ππθ∈,则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在第_________象限.7.ABC ∆三个顶点所对应的复数1z 、2z 、3z ,复数z 满足123||||||z z z z z z -=-=-,则复数z 对应点的是ABC ∆的 .8.非零复数12z z 、满足关系1212z z z z |+|=|-|,则12z z 一定是__________. 【典型例题】例1.已知复数z 满足2z i +、iz -2均为实数(i 为虚数单位),且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围.练习:已知集合}{}{22(3)(1),8,3,(1)(2)M a b i N i a b i =++-=-++,同时满足M ∩,M N M M N ⊂≠Φ,求整数a 、b .例2.已知四边形OABC ,顶点O 、A 、C 对应的得数为0、32i +、24i -+,试求: ⑴AO 表示的复数, BC 表示的复数;⑵对角线CA 表示的复数;⑶求B 点对应的复数.练习:1.复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1,2i ,5 + 2i ,则A 、B 、C 所构成的三角形是____________.2.复平面内有三点A 、B 、C ,点A 对应的复数为2i +,向量BA 对应的复数为12i +,向量对应的复数是3i -,求C 点对应的复数. 【课堂检测】 1.若|z| = 1,则21zz+一定是___________. 2.如果ABC ∆是锐角三角形,则复数(cos sin )(sin cos )z B A i B A =-+-对应的点位于 .3.已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 分别对应复数0,1 + i ,3 – i. 试求: (1)和表示的复数;(2)点B 对应的复数.§86复数的概念及几何意义⑵【典型例题】例3.设复数(,)z x yi x y R =+∈,在下列条件下求动点(,)Z x y 的轨迹.⑴ |2|2z i +=; ⑵|1||1|z i z i ++=--; ⑶|5||5|8z i z i +--=;⑷ |1|2|1|z z +=-; ⑸||||z i z i ++-=; ⑹||1||1|z z +--=;⑺ 3z i =-; ⑻ 3cos 4sin z i θθ=+.例4.已知z ∈C ,|z – 2| = 1,求|z + 2 + 5i|的最大值和最小值.练习:1.已知复数z 满足|34|2z i ++≤,则||z 的最大值为 . 2.已知复数(2)(,)z x yi x y R =-+∈的模为3,则12++x y 的最大值和最小值分别为 .例5.设复数1(,,0)z x yi x y R y =+∈≠,2cos sin ()z i R ααα=+∈,且2112z z R +∈,1z 在复平面上所对应的点在直线y x =上,求12||z z -的取值范围.例6.已知复数(,)z x yi x y R =+∈满足方程||||6z z ++-=, ⑴.求动点(,)P x y 的轨迹方程;⑵.试问是否存在直线l ,使l 与动点(,)P x y 的轨迹交于不同的两点M N 与,且线段MN 恰被直线12x =-平分?若存在,求出直线l 的斜率取值范围;若不存在,请说明理由; 【课堂检测】1.已知|z 1| = 1,|z 2| = 1,|z 1 + z 2| =3,求|z 1 – z 2|.2.复平面内有A B C 、、三点,点A 对应的复数为2i +,向量BA 对应的复数为12i +,向量BC 对应的复数是3i -,求C 点对应的复数.3.复数1z 满足1222123(,z z iz ai a R z z ∙+=+∈为的共轭复数),且其对应的点在第二象限,求a 的取值范围.§87命题的四种形式及充分条件与必要条件⑴【基础知识】1.原命题:若p q 则;逆命题为: ;否命题为: ;逆否命题为: ;2. 四种命题的真假关系:两个命题互为逆否命题,它们有 的真假性;四种命题中真命题或假命题的个数必为 个.3. 充分条件与必要条件:⑴如果,p q p q ⇒则是的 ,q p 是 ; ⑵如果,p q q p ⇒⇒,则p 是q ;⑶如果 ,p q 则是的充分而不必要条件; ⑷如果 , p q 则是的必要而不充分条件; ⑸如果 ,p q 则是的既不充分也不必要条件;【基础训练】1.设集合}30|{≤<=x x M ,}20|{≤<=x x N ,那么“M a ∈”是“N a ∈” 的 条件.2.设原命题“若a+b ≥2,则a,b 中至少有一个不小于1”则原命题与其逆命题的真假情况是 .3.命题:“若a 2+b 2=0(a , b ∈R ),则a=b=0”的逆否命题是 . 4.设a ∈R ,则a>1是a1<1 的 条件. 5.若与-都是非零向量,则“⋅=⋅”是“⊥(-)”的条件6.一次函数nx n m y 1+-=的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是 .7.已知p ,q 都是r 的必要条件,s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件,则s 是q 的 条件,r 是q 的 条件,p 是s 的 条件.8.用充分、必要条件填空:①x ≠1且y ≠2是x+y ≠3的 ②x ≠1或y ≠2是x+y ≠3的 . 【典型例题】例1.填空:⑴B A ⊇是(A ∩C )⊇(B ∩C )成立的 条件. ⑵在空间四点中,无三点共线是四点共面的 条件.⑶“在△ABC 中,A =60°,且 co s B +co s C =1”是“△ABC 是等边三角形”的 条件. ⑷设集合A ={长方体},B ={正四棱柱},则“x ∈A ”是“x ∈B ”的 条件. ⑸一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 . ⑹命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<<a ,则命题甲是命题乙成立的 条件.⑺已知0>h ,设命题甲为:两个实数b a ,满足h b a 2<-,命题乙为:两个实数b a , 满足h a <-1且h b <-1,那么甲是乙的 条件.⑻给出下列命题①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件;②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件;③已知R y x ∈,,“若0=xy ,则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ” ;④“若a 和b 都是偶数,则b a +是偶数”的否命题是假命题 。