艺术生高考数学复习学案(83100)

§83 数系的扩张与复数的四则运算⑴

【基础知识】

1.数的扩展：数系扩展的脉络是： → → ，用集合符号表示为 ⊆ ⊆ ，实际上前者是后者的真子集.

2.复数的概念及分类：⑴概念：形如(,)a bi a b R +∈的数叫做 ，其中a b 与分别为它的 和 .

⑵分类：①若(,)a bi a b R +∈为实数，则 ，②若(,)a bi a b R +∈为虚数，

则 ，③若(,)a bi a b R +∈为纯虚数，则 ；

⑶复数相等：若复数(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈⇔ ； ⑷共轭复数：(,,,)a bi c di a b c d R ++∈⇔与共轭 ；

3.复数的加、减、乘、除去处法则：设12|||2(z z z a a ---=12｜z ｜|为正常数,2a<|z -z |）

则

⑴加法： 12()()z z a bi c di +=+++＝ ； ⑵减法： 12()()z z a bi c di -=+-+＝ ； ⑶乘法： 12()()z z a bi c di ∙=+∙+＝ ；

⑷乘方： m n

z z ∙= ；()m n z = ；12()n z z ∙= ；

⑸除法：

12z a bi z c di +==+12z a bi z c di

+==+ ＝ ； 4.复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ， 叫做实 轴， 叫做虚轴；实轴上的点表示 ，除原点外，虚轴上的点都表示 . 5.复数的模：向量OZ 的模叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 （或 ），

记作 （或 ），即||||z a bi =+＝ ；

复数模的性质：⑴121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+；⑵2

2

2

2

||||||||z z z z z z ====∙； 6. 常见的结论：

⑴4411n

n i +=4n+24n+34n+4n n+1n+2n+3的运算律：i

，i ＝i,i =-1,i =-i,i =1,i +i +i +i =0；

⑵2

(1)i ±= ；

11i i +=- ；11i

i

-=+ ；

⑶1,22

ωω-

±3设＝则＝ ；2ω＝ ；21ωω++＝ ； 【基本训练】

1．若i b i i a -=⋅-)2(，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则2

2

a b +等于 ． 2．设复数121,2()z i z x i x R =+=+∈，若12z z 为实数，则x 等于 ． 3．若cos sin (z i i θθ=+是虚数单位），则使21z =-的θ值可能是 ． 4．

2

2)

1(1)1(1i i

i i -+++-等于______________. 5．已知复数032z i =+，复数z 满足025z i z z -∙=，则复数z = _______________. 6．i 是虚数单位，234

82348i i i i i +++++ = ____________.

【典型例题】

例1．已知：复数z =)()65()67(2

2

R a i a a a a ∈--++-，试求实数a 分别取什么值时，复数z 分别为：

⑴实数；⑵虚数；⑶纯虚数；⑷复数z 在复平面上对应的点在x 轴上方；

练习：复数z 的实部和虚部都为整数，且满足z + z 10是实数，1 < z + z

10≤6，求复数z.

例2.计算下列各题：

⑴ 5

4)31()22(i i -+ ⑵

2007

)12(321,

32i i

i -+++- ⑶

)125)(1()32)(32(i i i i ---+ ⑷i

i

i i 2332)11(6-++

-+

【课堂检测】

1．下列命题中：⑴两个复数一定不能比较大小；⑵z m ni =+，当且仅当0,0m n =≠时，

z 为虚数；⑶如果22120z z +=，则120z z ==；⑷如果123,,z z z C ∈，则221223()()0z z z z -+-≥，其中正确的的命题的个数是 ．

2．

3

321i i ++＝_____； 2005)11(i i -+ = ______；复数4

)11(i +＝________；

复数z =i

-11

的共轭复数是______；

3．已知复数z =,2

321i +-则2320081z z z z +++++= ．

4．若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = ______________. 5．设)()11()11(

)(Z n i

i i i n f n

n ∈--+-+=，则集合中的元素个数为 ．

6．已知复数1z i =+，如果i z z b

az z -=+-++11

2

2，求实数a 、b 的值.

§84 数系的扩张与复数的四则运算⑵

【基础训练】

1．若复数2

(1)(1)z m m m i =++-是纯虚数，则实数m 的值为 ． 2．复数z =

111-++-i

i

在复平面内所对应的点在 ． 3．若u =,2321i +-

v =,2

321i --给出下列命题⑴1uv =;⑵33v u +2=;⑶11

1=+v

u ;⑷2u v =其中正确的命题是 ． 4．如果1z 、2z C ∈且满足1212||||||1z z z z ==-=，则12||z z += ． 【典型例题】

例3．设z 为虚数，z

z 1

+

=ω是实数，且21<<-ω， ⑴求||z 的值及z 的实部的取值范围； ⑵设z

z u +-=11，求证：u 为纯虚数；⑶求2

u -ω的最小值．

练习：设x 、y 是实数，且i

i y i x 315

211-=

---，求x y +的值.

例4. 若关于x 的方程2

2

(3)0x t t tx i +++=有纯虚数根，求实数t 的值和该方程的根.