质点系运动学

第十章 质点系动力学基础

习题解析

10-1质点系的内力是否影响质点系的动量改变和质心运动？是否影响质点系的动量矩改变？是否影响质点系的动能改变？

答：质点系的内力总是成对地出现的，内力的矢量和等于零，或者说内力的冲量和等于零。所以质点系的内力不影响质点系的动量改变和质心运动。

质点系的内力成对出现，内力的力矩和为零，即内力的主矩为零。所以质点系的内力不影响质点系的动量矩改变。

如果质点系内各质点之间的距离可变, 作用于两个质点之间的内力虽成对出现且等值、反向、共线，但内力作功的和并不等于零。例如炸弹爆炸、内燃机汽缸活塞工作等都是内力作功。在此情况下，质点系的内力影响质点系的动能改变。

10-2 人站在初始静止的小车上，小车可沿水平直线轨道运动，不计摩擦，人由一端慢慢走向另一端和快跑到另一端，车后退的距离是否相等？为什么？

答：由于不计摩擦，系统在水平方向所受外力为0。按照质心运动守恒定理，不论人由一端慢慢走向另一端还是快跑到另一端，系统质心总是不变的，所以车后退的距离是相等的。 10-3 动量和动量矩有何异同？

答：质点的动量是质量与速度的乘积。质点系的动量为质点动量的矢量和。

质点的动量矩是定点O 到质点的矢径与质点动量的叉积。质点系的动量矩为质点的动量矩的矢量和。

10-4 质点系的质量为m ，质心速度为C v ，各质点质量为i m ，速度为i v ，使用以下公式计算质点系对z 轴的动量矩是否正确？为什么？

)()(1C z n

i i i z mv M v m M =∑=

答：不正确。

以图10-3所示为例,设AB 杆质量不计，二端固定的质点m 1、m 2质量均为m/2，AB 杆绕z 轴转动，已知r OB OA ==，v v v ==21 , 则

图10-3

mvr r v m r v m v m M n

i i i z =+=∑=22111)(

0)(=C z mv M

所以使用)()(1C z n

i i i z mv M v m M =∑=公式计算质点系对z 轴的动量矩是不正确的。

10-5 在什么条件下质点系的动量矩守恒？

答：当作用在质点系的外力对某固定点之矩的矢量和为零，质点系对该点的动量矩保持不变，即质点系对固定点的动量矩守恒。

若作用于质点系的外力对某轴之矩的代数和为零，质点系对该轴的动量矩保持不变，即质点系对该轴的动量矩守恒。

10-6 如图10-4所示，均质圆盘质量为m ，半径为r ，角速度为ω，计算其动能。

图10-4 题10-6图

解 a) 均质圆盘绕质心O 转动，动能为

4

21222ωωmr J T O == b) 均质圆盘绕边缘上O 点转动，动能为

2222224

3)2(2121ωωωmr mr mr J T O =+== c) 均质圆盘作纯滚动，即作平面运动。作平面运动的刚体的运动可分解为随质心O 的平动及绕质心O 的转动。质心速度为r v v O C ω==，绕质心O 转动的角速度为ω，则圆盘的动能为

222121ωC C J mv T += 224

3ωmr = 10-7质点的惯性力是否作用在质点上？什么叫达朗贝尔原理？

答：质点的运动状态改变时，由于质点的惯性，质点将给予施力体一个反作用力，这个反作用力称惯性力。质点的惯性力是作用在施力物体上的，它并不作用在质点上。

质点的达朗贝尔原理：在质点运动的任一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和质点的惯性力构成一组平衡力系。

质点系的达朗贝尔原理：在质点系运动的每一瞬时, 作用在质点系上的所有外力和所有质点的惯性力在形式上组成一平衡力系。

10-8 跳伞运动员质量为70kg, 从停留在空中的直升飞机跳出（初速度为零），落下100m 后降落伞打开，开伞前的空气阻力不计，开伞后的空气阻力为常数，经5秒后跳伞者的速度减为4m/s ，求空气阻力的大小。

解 如图10－5所示，分二个阶段：

1）运动员从停留在空中的直升飞机A 点跳出，自由下落100m 到O 点

2）O 点开伞，经5秒后跳伞者到达B 点

图10－5

第一阶段：

1222gh v v A O =-

其中0=A v ，m h 1001=，故s m gh v O /3.4421==

第二阶段： ma F mg O =- 其中加速度22/06.8/5

3.444s m s m t v v a O B -=-=-=，空气阻力的大小 N s m ma mg F O 1250/)]06.8(708.970[2=-⨯-⨯=-=

10-9 质量为3kg, 倾角为30°的斜面C 可在光滑水平轨道上运动，物块A 的质量kg m A 6=，轮O 的质量不计。当A 在斜面无初速地下滑过0.4m 时，斜面在水平轨道上滑过的距离为0.2m ，求物体B 的质量。

图10－6 题10-9图

解 如图10－6所示，作用在质点系上的外力在某水平轴x 上的投影为零， 系统质心初速度为0。由质心运动守恒定理可知，当物块A 在斜面上滑动时，系统质心在水平轴x 上的坐标不变。即

0=∆+∆+∆C C B B A A x m x m x m

030cos A C A s s x -=∆，=∆=∆C B x x C s ，所以物体B 的质量

kg kg x m x m m B C C A A B 78.111.03)30cos 4.01.0(60=⨯+⨯-⨯-=∆+∆-= 10-10 重物A 和B 的质量分别为kg m ,kg m B A 1510==，通过质量不计的绳索缠绕在半径为1r 和2r 的塔轮上，其中m r 12.01=，m r 18.02=，塔轮的质量不计，如图10-7所示。系统在重力作用下运动，求塔轮的角加速度。

图10－7 题10-10图

解 由于A m 1r

1r v A ω=，2r v B ω=

计算系统对O 轴的动量矩

ω)(2221210r m r m r v m r v m H B A B B A A +=+=

系统外力对O 轴的力矩为

12gr m gr m M A B o -=

根据动量矩定理

o o M dt

dH =