离散时间系统结构
第五章 时域离散系统的基本网络结构
本章的主要内容就是描述数字滤波器的基 本网络结构。（IIR、FIR）
引言
时域离散系统或网络可以用差分方程、单 位脉冲响应以及系统函数进行描述。
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
系统函数H(z)为
M
H (z)
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。
信号流图表达的系统含义
每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变 量等于所有输入支路的输出之和.
根据信号流图可以求出系统函数（节点法、梅逊 公式法）。
1(n) 2 (n 1) 2 (n) 2 (n 1) 2 (n) x(n) a12 (n) a21n y(n) b21(n) b12 (n) b02(n)
画出H(z)的直接型结构和级联型结构。
级联型
解： 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构如图所示。
x(n)
0.6
z－ 1 0.5
1.6 z－ 1
2 z－ 1
3
y(n) x(n)
z－ 1
z－ 1
z－ 1
0.96 2
2.8 1.5 y(n)
0 j
y(n)
1 j
z－ 1 1j
1 j
z－ 11 j
(a)
2 j
z－
1
2
j
(b)
一阶和二阶直接型网络结构 (a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构
IIR的级联型例题
第一章 离散时间信号与系统
k =−∞
∑ δ (k )
n
u (n )
1
1
1
1 L n
-1
0
1
2
3
单位阶跃序列示意图
3. 矩形序列
• 矩形序列又称门函数序列，定义如下：
1 (0 ≤ n ≤ N −1) Rn (n) = 0 (n < 0 orn ≥ N) = u(n) −u(n − n0 )
R (n )
k
1
1
1
1
卷积和计算的步骤
•置换： z(n) →z(m) •翻转：x(m) ，z(m) →z(-m) 翻转： • 移位：z(-m) → z(n-m) 移位： •相乘：z(n-m) • x(m) （m值相同） 相乘： 相加： =∑ • 相加：y(n) =∑{z(n-m) • x(m)}
图解法举例
• 设两离散信号如图，求卷积和
四、用单位抽样序列表示 任意序列
• 任意序列都可以表示成单位抽样序列的加 ∞ 权和。 x(n) = ∑ x(m)δ (n − m)
m = −∞
x ( n) x(n)δ (n − m) = 0
m=n 其他
五、序列的能量
• 序列的能量为：序列各序列值的平方和：
∞
E=
n = −∞
∑ x ( n)
L
-1 0 1 2 k −1 k n
矩形序列示意图
4. 斜变序列
单位斜变序列R(n)可以看成是单位斜变信号 R(t)的抽样信号，如下图所示，表示为：
n R (n) = nu ( n) = 0
n
0
n<0
R (n) 2 1
3
L n -1 0 1 2 3
离散时间系统
系统处于零状态时对应的响应。
没有激励时系统的响应。
线性离散时间系统 对任意一组常数ak ( 1 k N )，满足条件
N xk (n) yk (n) , (1 k N ) a k x k ( n) k 1 否则，为非线性离散时间系统。
4.1-2 线性离散系统的差分方程表示
离散时间系统中，输入输出信号均是离散变量的函数，描述其输入输 出序列关系的数学模型一般用差分方程来描述。 有三种基本的内部数学运算关系：单位延时、乘系数、相加。
x(n) ax(n) x1(n) x2(n) ax(n) x1(n) x2(n)
x(n)
z
-1
× a a
方格平移法求得的卷积值
离散系统时域分析
以上方法适用于求短序列的卷积，当序列较长时，这种方式的工作量 太大。对于有规律性的长序列的卷积运算，一般还是用离散卷积和的公式 求解。下面举一例说明。
离散系统时域分析
4.2-2 离散卷积法
与连续时间系统一样，离散卷积法也只能用于求解零状态下的离散系统 的响应——零状态响应 。
原理：▼分解——输入序列分解为多个具有不同延时和加权的单位抽样序
列之和； ▼求解——求每个延时的抽样序列单独作用的响应；
▼叠加——将各个响应叠加，得出系统对输入序列的总的响应。
离散系统卷积和的推导：
x ( n) y ( n)
m
x(m)δ (n m) x ( m) h ( n m)
激励信号
δ ( n)
m
零状态响应
h( n)
y(n) x(n) 析
离散卷积运算仍然服从交换律、结合律和分配律。
时间离散系统网络结构共37页文档
15
还可以如下式这样进行分解： H (z ) 1 1 0 0 . .4 6 z z 1 1 1 1 0 0 . .3 5 z z 1 1 H 3 (z )H 4 (z )
3
如果系统输入和输出服从N阶差分方程：
M
N
y(n ) b ix(n i) a ky(nk)
i 0
k 1
则系统函数H(z)用下式表示：
M
H(z)
Y(z) X(z)
bizi
i0 N 1 akzk
k1
基本运算：加法，乘法（乘以常数），移位（时延）
Hale Waihona Puke 4两种图形表示方法介绍(方框图，信号流图)： 加法：
3.有N个极点和M个零点。为了保持系统稳定，所有极点应在单位 圆内
4.基本网络结构有三种：直接型，级联型，并联型.
10
5.3 无限长脉冲响应（IIR）的基本网络结构
1 直接型网络结构
将N阶差分方程重写如下：
M
N
y(n ) b ix(ni) a ky(nk)
i 0
k 1
为简单起见, 假设M=N=2
9
IIR数字网络的特点：
M
N
差分方程： y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
M
bi Z i
系统函数： H (z)
i0 N
h(n) Z n
1 ak Z k n0
k 1
1.单位脉冲响应h(n)为无限长（存在无限多个n，使h(n)不为零）
2.存在输出到输入的反馈，即信号流图中含有环路
2
2
y(n) b ix(ni) aky(nk)
第05章离散时间系统的相位结构2讲解
上述对称有四种情况： N : 偶数
偶对称 N : 奇数
奇对称
N : 偶数 N : 奇数
h(n)偶对称:
1. N 为奇数
N 1
H (e j ) h(n)e jn
n0
(N 3) n0
2
h(n)e
j n
N 1 n( N 1) / 2
h(n)e
j n
h
N 1 2
e
j
N21
即：相位延迟 p (0 )反映了载波信号的延迟， 而群延迟 g (0 )反映了输出包络的延迟。
思考：如何实现对信号的零相位滤波？若 要保证系统是因果的，又如何实现？
5.2 FIR 系统的线性相位 在绝大部分信号处理的场合，人 们都期盼系统具有线性相位，但是， 如何实现线性相位？
对于FIR 系统，如果保证：h(n)是实数，且
则： y(n) cos(0n (0 ) ) cos[0 (n (0 ) 0 ) ]
y(n) cos(0n (0 ) )
cos[0 (n (0 ) 0 ) ]
定义：
p
(
)
(
)
为系统的相位延迟 (Phase Delay, PD)
如果系统的相频响应不是线性的，那么系统 的输出将不再是输入信号作线性移位后的组 合，因此，输出将发生失真。
n0
n0
h
N 1 2
e
j
N 1 2
( N 3) n0
2
h(n)(e
jn
e
j ( N 1n)
)
h
N
2
1
e
j
N 1 2
e
j
N 1 2
( N 3)/2
离散时间信号与离散时间系统
§7-1 概述一、 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。
二、 连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、 离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。
例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、 典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ下图表示了)(n k -δ的波形。
连续信号离散信号 数字信号 取样量化这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。
例如：)()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+(a) 0.9a = (d) 0.9a =-(b) 1a = (e) 1a =-(c) 1.1a = (f) 1.1a =-双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、 离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
第8章 线性离散时间控制系统
一阶保持器复现原信号的准确度与零阶保持器相比有所 提高。但由于在式(8-16)中仍然忽略了高阶微分,一阶保持器 的输出信号与原连续信号之间仍有不同。
第8章 线性离散时间控制系统 由式(8-16)可知,一阶保持器的响应可以分解为阶跃响应
和斜坡输入响应之和。将式(8-16)的微分形式变换成式(8-17) 的差分形式,对应的传递函数为式(8-18)。
第8章 线性离散时间控制系统
图8-6 零阶保持器输入信号与输出信号的关系
第8章 线性离散时间控制系统 下面推导零阶保持器的表达式。利用泰勒级数展开公式,
可以得到
如果略去含 Δt、(Δt)2等项,可得
第8章 线性离散时间控制系统 这就是零阶保持器的公式。由式(8-11)可得零阶保持器输出 信号的完整表达式为
第8章 线性离散时间控制系统
第8章 线性离散时间控制系统
8.1 信号采样与采样定理 8.2 信号保持器 8.3 离散系统的数学模型 8.4 离散系统的稳定性分析 8.5 离散系统的稳态误差 8.6 离散系统的动态性能 8.7 离散系统的校正
第8章 线性离散时间控制系统
8.1 信号采样与采样定理
8.1.1 概述 离散时间系统(简称离散系统)是指系统中全部或一部分
进而输入给计算机控制器。也就是说,采样后的离散信号必 须能够保留有原连续信号的完整或近似完整的信息。因此, 周期T 的设定非常重要。
采样定理(也叫Shannon定理)从理论上给出了必须以多 快的采样周期(或多高的采样频率)对连续信号进行采样,才能 保证采样后离散信号可以不失真地保留原连续信号的信息。 换句话说,采样定理给出了对采样周期的限定条件,即采样周 期要在多短时间之内,才能保证采样后的离散信号保留有采 样之前的连续信号的尽量多的信息。
第2章离散时间系统
Φ e1 0.3679
Γ0
0.4 esds 1 e0.4 0.3297
0
Γ1 e0.4
0.6 esds e0.4 e1 0.3024
0
具有内部时延的系统
设系统由下列方程描述：
S1 :
dx1 (t ) dt
得到：
eh a 1 ln a
h
(eh 1) b
1 lna b
h
a 1
表明：当a>0时，才能得到一个具有实系数的连续时间系统。
一般情况下，从式(2.6)可以得到：
A
0
B
0
1 h
ln
Φ
0
Γ
I
此处的ln()为矩阵对数函数。 表明：连续时间系统可由对一个方阵取它的矩阵对数得到。当
矩阵在负实轴上没有特征值时。对数才唯一存在。
第2章 离散时间系统
2.1 引 言
问题： 通过考察信号在采样时刻的行为，如何把一个连续时间系 统转换为一个离散时间系统？
注意： 1. 采样数据系统是一个时变系统，本章回避这个问题，仅研 究与计算机时钟相同步的那些时刻的信号。 2. 面向计算机的数学模型仅仅给出在采样点上的特性，而物 理过程本身仍是一个连续时间系统。
式(2.8)在一个采样周期上的积分为：
x(kh h) eAh x(kh)+ khh eA(khh-s)Bu(s )ds kh
(2.9)
1. 信号u(t)在整个采样间隔上是分段恒定的，故，延迟信号
u(t-)也是分段恒定的；
2. 延迟信号在各个采样时刻之间会有变化。 要计算式(2.9)的积分项，方便的办法是：把积分区间分成
1.2 离散时间系统
——电子信息工程 电子信息工程 3、线性时不变系统的性质 、 （1）交换律 ）
x(n)
h(n)
y(n)
h(n)
x(n)
y(n)
y( n) = x( n) ∗ h( n) =
k =n→ −m
∞
m = −∞
∑ x(m )h(n − m )
∞ k = −∞
∞
k = −∞
∑ x(n − k )h(k ) = ∑ h(k ) x(n − k ) = h( n) * x(n)
任何序列可分解成如下irlti电子信息工程113线性时不变系统的性质1交换律电子信息工程12级联系统的冲激响应等于子系统的冲激响应的卷积和电子信息工程13并联系统的冲激响应等于子系统的冲激响应之和电子信息工程14例125
——电子信息工程 电子信息工程
1.2 线性移不变系统
——电子信息工程 电子信息工程 离散时间系统定义: 离散时间系统定义 离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。 离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
线性系统,零输入产生零输出 线性系统 零输入产生零输出
——电子信息工程 电子信息工程 例1－2－1 判断下列系统是否为线性系统。 － － 判断下列系统是否为线性系统。
1 （）y( n) = 2 x( n) + 5
2 （ ）y( n) = nx ( n)
增量线性 系统
解答： 1 解答：（）y1 ( n) = T [ x1 ( n)] = 2 x1 ( n) + 5
k
-1 0 1 2 3 4
y 3 [ k ] = x3 [ 2 k ] k
抽取器时变特性的图示说明
——电子信息工程 电子信息工程 二、单位冲激响应与系统响应 1、线性时不变系统的单位冲激响应 、
数字信号处理讲义--第6章离散时间系统结构
数字信号处理讲义--第6章离散时间系统结构第６章离散时间系统结构教学⽬的1．掌握线性常系数差分⽅程的⽅框图表⽰； 2．掌握IIR 系统、FIR 系统的基本结构；3．了解有限精度数值效应的概念，系数量化的影响，极限环的概念和产⽣原因。
教学重点与难点重点：IIR 系统、FIR 系统的基本结构；难点：有限精度数值效应的概念，系数量化的影响，极限环的概念和产⽣原因。
6.1 线性常系数差分⽅程的⽅框图表⽰时域离散系统或者⽹络⼀般⽤差分⽅程、单位脉冲响应以及系统函数进⾏描述。
如果系统输⼊和输出服从N 阶差分⽅程： (6-1)则系统函数H (z )⽤下式表⽰： (6-2)数字信号处理中有三种基本算法，即加法、乘法和移位，它们的⽅框图如图7-1(a)所⽰。
三种基本算法的流图则如图6-1(b)所⽰。
图6-1例6-1 1y[n-1]+p 0x[n]+p 1x[n-1]的结构图. 解:.此结构图包含了这三种算法的各部分.∑∑-----=M i i M i i i n y a i n x b n y 00)()()(∑∑=-=-+==N i i i M i i i z a z b z X z Y z H 001)()()((a )(b )x － 1)x (－ 1)－1x 1(2n )＋x 2(n )x 1(n 2x 1(n )＋x 2图6-2 例6-1的结构框图6.2线性常系数差分⽅程的信号流图表⽰图6-3表⽰的是⼀种信号流图，流图中每⼀个节点都⽤⼀个节点变量表⽰，输⼊x (n ) 称为输⼊节点变量，y(n)表⽰输出节点变量，w 1(n ), w 2(n ), w 3(n )和w 4(n )也是节点变量。
这些节点变量和其他节点变量之间的关系⽤下式表⽰： w 1(n ) =x (n)+aw 3(n ) w 2(n ) =w 1(n ) w 3(n ) =w 2(n -1)w 4(n ) =b 0w 2(n )+b 1w 3(n ) y (n )=w 4(n )基本信号流图以上这些公式是⽤序列形式写的，也可以通过Z 变换写成下式： W 1(z )=X (z )+aW 3(z ) W 2(z )=W 1(z ) W 3(z )=z -1W 2(z )W 4(z)=b 0W 2(z )+b 1W 3(z ) Y (z)=W 4(z)从基本运算考虑，如果满⾜以下条件，则称为基本信号流图:(1) 信号流图中所有⽀路都是基本的，即⽀路增益是常数或者是z -1;(2) 流图环路中必须存在延时⽀路;(3) 节点个数和⽀路个数都是有限的。
离散时间控制系统
离散时间控制系统离散时间控制系统（Discrete-time control system）是工程系统中常用的一种控制系统。
它是指系统在离散时间点上进行观测和控制的一种方法，与连续时间控制系统相对应。
在离散时间控制系统中，系统的状态、输入和输出均在特定的离散时间点上进行采样和更新。
这些离散时间点称为采样时间点，通常由控制系统的设计要求和性能要求决定。
与连续时间控制系统相比，离散时间控制系统具有采样和计算简单、实时性好等优势。
离散时间控制系统通常由以下基本元素组成：传感器（sensors）、执行器（actuators）、系统状态（system states）、控制器（controller）、采样器（sampler）和计算器（calculator）。
其中，传感器用于采集系统的输入和输出信号，执行器用于控制系统的行为，系统状态用于表示系统的内部状态，控制器用于根据输入信号和系统状态生成控制信号，采样器用于确定采样时间点，计算器用于执行控制算法和计算控制信号。
离散时间控制系统的设计和分析主要涉及系统建模、传递函数、状态空间和系统稳定性等概念。
通过对系统进行建模和分析，可以确定适当的控制策略和参数，实现对系统的控制和优化。
离散时间控制系统广泛应用于自动化控制领域，如工业生产过程控制、机械设备控制、电力系统控制等。
它可以根据离散时间点上的观测和控制信号，对系统进行实时监测和调整，以满足设计要求和性能要求。
总之，离散时间控制系统是一种在特定离散时间点上进行观测和控制的控制系统。
它具有采样和计算简单、实时性好等优势，并广泛应用于自动化控制领域。
通过合理的设计和分析，离散时间控制系统可以实现对系统的控制和优化。
离散时间控制系统（Discrete-time control system）在工程系统中扮演着至关重要的角色。
它可以帮助工程师们实时监测和调整系统状态，以满足设计要求和性能要求。
在本文中，我们将进一步探讨离散时间控制系统的一些关键概念、方法和应用。
第四章 线性时不变离散时间系统
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
x(n)和 y(n) 分别表示输入和输出序列，则系统的输入输出
关系可记为：
y(n) T[x(n)]
其中，T 表示将输入信号转换为输出信号，系统的一般
输入输出关系图为：
x(n)
y(n)
h(n)
系统的输入输出关系图
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
系统的举例
线性
线性系统基本特征就是满足叠加原理。假设系统的输 入分别为 x1(n) 和 x2 (n) ，相应的输出分别为 y1(n) 和 y2 (n) ， 即：
y1(n) T [x1(n)]
y2(n) T[x2(n)]
则当且仅当
T[ x1(n) x2(n)] T[x1(n)] T[x2(n)]
y1(n) y2(n)
s (n)
1 M
M 1
x(n
l 0
l)
1 M
M
1
x
(n
l0
l)
x(n
M)
x(n
M
)
1 M
M l1
x(n
l)
x(n)
x(n
M )
1 M
M
1
x(n
l0
1 l)
x(n)
x(n
M )
M 1 s (n 1) 1 x(n) x(n M )
M
M
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
假设输入信号经过m 步移位得到 x(n m) ，送入同一系
统，若系统的输出为 y(n m) ，用公式表示就是:
时，系统为线性系统，其中, 为任意常数。
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
举例
第5章 离散时间系统的相位结构与状态变量描述
定义：
g
(
)
d ( d
)
为系统的群延迟 (Group Delay, GD)
显然，若系统具有线性相位，则其GD为常数。
若：
x(n) xa (n) cos(0n), c 0
x(n) : Narrowband Signal
则： y(n) H (e j0 ) xa (n g (0 )) cos(0n p (0))
即：相位延迟 p (0 )反映了载波信号的延迟， 而群延迟 g (0 )反映了输出包络的延迟。
思考：如何实现对信号的零相位滤波？若 要保证系统是因果的，又如何实现？
5.2 FIR 系统的线性相位 在绝大部分信号处理的场合，人 们都期盼系统具有线性相位，但是， 如何实现线性相位？
对 FIR 系统，如果保证：
H (z) 1
1
M
ak zk
1 A( z )
k 1
看作是FIR系 统的逆形式。
Y(z) 1 , Y(z) 1 Pm (z) Am (z) Qm (z) Am (z)
H (z)
Y (z) PM (z)
1 AM (z)
1
1
M
a(i) M
z
i
i 1
系数
及
的求解方式同FIR系统Lattice结构的计算方
法, 只是将多项式的系数 换成
.
注意：在递推求解的过程中，反射系数
有关反射系数的更多讨论见第12章信号建模。
3. 极－零系统的Lattice结构
N
bk zk
H(z)
r0 N
1 ak zk
B(z) A( z )
k 1
两组Lattice系数
k1, k2 , , kN c0 , c1, , cN
第一章 离散时间信号与系统
式中: A为幅度; φ为起始相位; ω0为数字域的频率，它反映了序列 变化的速率。 ω0=0.1π时, x(n)序列如图1-8所示，该序列值每20个重复一
次循环。
sin( n 0 )
1
o
n
－1
图 1-8 正弦序列(ω0=0.1π)
6． 复指数序列 序列值为复数的序列称为复指数序列。 复指数序列的每
（N，k必须为整数）。可分几种情况讨论如下。 （1） 当2π/ω0为正整数时，周期为2π/ω0，见图1-8。 （2） 当2π/ω0不是整数，而是一个有理数时 N 式中，k, N为互素的整数，则 k k N 为最小正整数， 序 0 k 列的周期为N。
变量n不一定表示“时间”（例如，n可以表示温度或距离），
但x(n)一般被认为是时间的函数。因为离散时间信号x(n)对于非 整数值n是没有定义的，所以一个实值离散时间信号——序列可以 用图形来描述，如图1-1所示。横轴虽为连续直线，但只在n为整 数时才有意义。纵轴线段的长短代表各序列值的大小。
x(n)
出将是一串周期为T，宽度为τ的脉冲。而脉冲的幅度却是重复着 在这段τ时间内信号的幅度。如果以xa(t)代表输入的连续信号，如 所示。显然，这个过程可以把它看作是一个脉冲调幅过程。被调 制的脉冲载波是一串周期为T、宽度为τ的矩形脉冲信号，如图1-9 （c）所示，并以p(t)表示，而调制信号就是输入的连续信号。因 而有
（3）当2π/ω0是无理数时，则任何k皆不能使N取正整数。 这 时，正弦序列不是周期性的。 这和连续信号是不一样的。
同样，指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的
情况相同。
下面，我们来进一步讨论，如果一个正弦型序列是由一个连
续信号采样而得到的，那么，采样时间间隔T和连续正弦信号的
2.离散系统状态空间表达式
y 1
0
x1 (k ) x2 ( k ) 0 xn ( k )
离散时间系统差分方程表示：
y (k n) an1 y (k n 1) a1 y k 1 a0 y (k )
bnu (k n) bn1u (k n 1) b1u k 1 b0u (k )
2、把高阶差分方程化为一阶差分方程组：
x1k 1 y(k 1) x2 k
x2 k 1 y (k 2) x3 k
xn1 k 1 y (k n 1) xn k 1 y (k n) a0 x1 (k ) a1 x2 (k ) an1 xn (k ) b 0u (k )
x(k 1) Gx(k ) Hu (k ) y (k ) Cx(k ) Du k
D u(k) x(k+1) H + G
Z 1
x(k
C
+ y(k)
图 1.6.1
一、差分方程中不包含输入函数的差分情况
y (k n) an1 y (k n 1) a1 y k 1 a0 y (k ) b0u k
2.6 离散时间系统状态空间表达式
线性离散系统状态空间描述，形式上类似于 连续系统，一般形式为
x(k 1) G (k ) x(k ) H (k )u (k ) y (k ) C (k ) x(k ) D(k )u (k )
其中： x(k ) R n ：n 维状态向量
1、选择状态变量：
x1k y(k ) x2 k y(k 1)
xn1 k y (k n 2) xn k y (k n 1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
假定M = N 不相等情况：某些系数为零
直接П型
例6.2 一个LTI系统的直接I型和直接II型实现 系统函数： 比较：
H ( z)
k b z k
M
得b0=1, b1=2, a1=1.5和a2=-0.9 k 1 参照标准的直接I型和II型方框图画出其直接I型和II型方框图：
1 ak z k
a y[n - k ]= b x[n - k ]
k 0 k k 0 k
N
ห้องสมุดไป่ตู้
M
系统函数：
H ( z)
k b z k
M
1 ak z k
k 1
k 0 N
将差分方程改写为：
y[n] ak y[n - k ]+ bk x[n - k ]
k 1 k 0
N
M
可以用两个差分方程来表示：
可等效为一对方程：
M -k V ( z ) H1 ( z ) X ( z ) bk z X ( z ) k 0
1 Y ( z ) H 2 ( z )V ( z ) N 1 a z k k k 1 V ( z )
v[n] bk x[n - k ]
M k 0 N
y[n] ak y[n - k ]+v[n ]
k 1
一种方框图结构可以以不同的方式表示而不改变总的系统函数。 不同的方框图 实现同一系统的不同运算算法 上述的方框图 ------ 两个系统的级联 第一个系统：由x[n] v[n] 第二个系统：由v [n] y[n] 两个级联的系统顺序交换 ------ 不改变总的系统
b0 +b1 z H (z )= , -1 1-az
z>a
单位脉冲响应： h[n] b0anu[n] b1a n-1u[n -1] 输入输出的差分方程：
y[n]-ay[n -1] b0 x[n] b1x[n -1]
为无限长序列
可重写为： y[n] ay[n -1]+b x[n] b x[n -1] 0 1 表示：y[n] 前一个输出y[n-1]，当前输入x[n]，前一个输入 x[n-1] 递推计算 若 x[n] = 0，n＜0，则y[n] = 0， n＜0 ------- 线性时不变系统 递推算法 N阶差分方程 但这种递推的算法不是系统实现的唯一运算算法 （一种最不可取的算法） 事实上x[n]与 y[n]之间的运算结构 -------- 无穷种 理论上：系统实现的各种运算结构的结果相同 实际上（数值精度，运算速度，内存容量、误差等）： 性能差别很大 研究不同实现结构的意义
X ( z)
M -k Y ( z ) H1 ( z )W ( z ) bk z W ( z ) k 0
相应的时域差分方程表示：
w[n] ak w[n - k ]+x[n]
k 1
N
y[n] bk w[n - k ]
k 0
M
两者结构（级联互换）的差别： （1）H1(z)表示H (z)的零点； H2(z)表示H (z)的极点，实现零极点 的顺序不同 ------ 对实际有限精度运算产生的误差等不同 （2）延迟单元数量的不同，第二种结构可以将延迟器进行合并 可以减少将近一半的延迟器数量 （具有最少延迟器数量） 称为规范型实现或直接П 型（canonic form or direct form П） 第一种类型称为：直接I 型（direct form I） 直接I 型可以用差分方程直接画出
6.0 引言
有理系统函数的LTI 线性常系数差分方程 系统函数 单位脉冲响应 （z变换） 差分方程、单位脉冲响应、系统函数 LTI （等效表征） 系统 离散时间模拟，数字硬件实现： 差分方程（系统函数）转换 算法 或 结构 （根据具体的技术） 结构：加法、乘以常数和延迟 基本运算的互联组成 如系统： -1
k 0 N
直接I型 直接II型 记住：方框图中反馈系数ak的符号（差分方程）与系统函数表示式 中相反。
6.2 线性常系数差分方程的信号流图表示（flow graph） 信号流图 与 方框图 基本相同（除几个符号外） 信号流图组成：节点（变量）， 支路（两个节点之间的通路，方向箭头） 具有一个输入，一个输出 输出表示对输入的一个线性变换 如图：
b0 H (z )= 1-a1 z -1 a2 z -2
根据差分方程可以画出系统的方框图： 表现出：算法的复杂性 算法的步骤 硬件数量（存储器等）
推广到一般形式的差分方程（高阶）：
y[n] ak y[n - k ]= bk x[n - k ]
k 1 k 0
N
M
前面的表示形式(a0 = 1)：
两个级联系统交换顺序：
1 M -k H ( z ) H1 ( z ) H 2 ( z ) bk z N k 0 1 a z k k k 1
等效为：
1 W ( z) H 2 ( z) X ( z) N 1 a z k k k 1
6.1 线性常系数差分方程的方框图表示（block diagram） 实现LTI系统（算法结构）的基本单元： 加法器、乘法器、延迟存储器（延迟器） 基本符号（方框图）：
加法器 乘法器 z-M 通常用M个单位延迟来实现 各个基本单元的具体实现：软件，硬件
（单位）延迟器
例6.1 一个差分方程的方框图表示 二阶差分方程： y[n] a1 y[n -1]+a2 y[n - 2]+b0 x[n] 系统函数：
用系统函数表示：
1 H ( z ) H 2 ( z ) H1 ( z ) N 1 a z k k k 1
M -k bk z k 0
Y ( z) H ( z) X ( z) H 2 ( z)H1( z) X ( z )