江苏省泰兴中学高一数学苏教版必修2教学案：第1章17空间几何体的表面积(1)

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2019-2020年高中数学空间几何体的表面积教学案苏教版必修2

2019-2020年高中数学空间几何体的表面积教学案苏教版必修2总课题空间几何体的表面积和体积总课时第15课时分课题分课时第 1 课时教学目标了解柱、锥、台、球的表面积的计算公式．重点难点柱、锥、台、球的表面积计算公式的运用．平行六面体：．直平行六面体：．长方体：．正方体：． 2．直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式：，其中指的是．，其中指的是．． 3．圆柱、圆锥和圆台的侧面积公式：．．．例题剖析例1 设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是，底面的边长是，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（结果保留两位有效数字）．S 1.5 O 0.85E巩固练习1．已知正四棱柱的底面边长是，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的侧面积为．2．求底面边长为，高为的正三棱锥的全面积．3．如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是多少？课堂小结柱、锥、台、球的表面积计算公式的运用．课后训练班级：高一（____）班姓名：____________ 一基础题1．棱长都为的正三棱锥的全面积等于________________________．2．正方体的一条对角线长为，则其全面积为_________________．3．在正三棱柱中，，且，则正三棱柱的全面积为_____________________．4．一张长、宽分别为、的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此四棱柱的对角线长为___________________．5．已知正四棱锥底面边长为，侧棱长为，则棱锥的侧面积为_________．6．已知圆台的上、下底面半径为、，圆台的高为，则圆台的侧面积为____．二提高题7．一个正三棱台的上、下底面边长分别为和，高是，求三棱台的侧面积．8．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，求它的侧面积．三能力题9．已知六棱锥，其中底面是正六边形，点在底面的投影是正六边形的中心点，底面边长为，侧棱长为，求六棱锥的表面积．【例1】已知空间四边形中，，且，、分别是、的中点，是的中点，求证：．【例2】如图，已知平行六面体的底面是边长为的菱形，且1160C CB C CD BCD ===︒∠∠∠，⑴求证：；⑵当的值为多少时，能使平面？D 1C 1B 1A 1DCB A【例3】已知和都是以为直角顶点的直角三角形，且60AD BD CD BAC ==∠=，°．⑴求证：是平面的法向量；⑵若是的垂心，求证：是平面的法向量．【例4】如图，在五棱锥中，底面，2SA AB AE BC DE =====，120BAE BCD CDE ∠=∠=∠=°．证明：是平面的法向量．SEDCBA【例5】如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，，，．⑴求证：平面；⑵设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； ⑶求二面角的大小．PFEDCBA【例6】如图，在五面体中，平面，，，为的中点，12AF AB BC FE AD ====． ⑴求异面直线与所成的角的大小； ⑵证明平面平面； ⑶求二面角的余弦值．MFEDCBA【例7】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．⑴证明：平面； ⑵证明：平面； ⑶求二面角的大小．PFEDCBA【例8】如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，．⑴ 求证：平面；⑵ 当的长为何值时，二面角的大小为？FEDCBA【例9】如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，，点、分别为棱、的中点．FE DCBAP⑴求证：平面；⑵求证：平面平面； ⑶求三棱锥的体积．【例10】如图，已知矩形所在平面外一点，平面，、、分别是、、的中点，，⑴求证：平面； ⑵求证：，，且；⑶求直线与所成的角；⑷求直线与平面所成的角； ⑸求平面与平面所成的角．FE GPDCBA。

苏教版高中数学必修二空间几何体的表面积与体积体积教案(1)

普通高中课程标准实验教科书—数学必修Ⅱ[苏教版]空间几何体的体积（1）教学目标（1）了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题；（2）了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系；（3）培养学生空见想象能力、理性思维能力以及观察能力．教学重点柱、锥、台的体积计算公式及其应用．教学难点运用公式解决有关体积计算问题．教学过程一、问题情境 1．情境：回忆初中学过的计算长方体的体积公式．V abc =长方体或V Sh =长方体．2．问题：两个底面积相等、高也相等的棱柱，它们的体积是否一样？二、学生活动取一摞书堆放在桌面上，组成一个长方体，然后改变一下形状，比较改变形状前后这摞书的体积．三、建构数学1．棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S 和高h 的积，即V Sh =柱体． 2．类似于柱体，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等．棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到，由于底面积为S ，高为h 的棱柱的体积V Sh =棱锥，所以13V Sh =锥体．3．台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算．如果台体的上、下底面面积分别为S S '，，高为h ，可以推得它的体积是1()3V h S S '=+台体． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下：11()()(0)33V Sh S S V h S S S V Sh '''=⇐==+=⇒=柱体台体锥体．四、数学运用 1．例题：例1．有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg ．已知底面六边形边长是12mm ，高是10mm ，内孔直径是10mm ．那么约有毛坯多少个？（铁的比重是37.8/g cm ）分析六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由此比重算出一个六角螺帽毛坯的重量即可．解：因为23312610 3.7410(),4V mm =⨯⨯⨯≈⨯正六棱柱 233103.14()100.78510(),2V mm =⨯⨯≈⨯圆柱所以一个毛坯的体积为333333.74100.78510 2.9610() 2.96()V mm cm =⨯-⨯≈⨯=．约有毛坯 35.810(7.8 2.96)251⨯÷⨯≈（个）．答：这堆毛坯约有251个．例2．在长方体1111ABCD A B C D -用截面截下一个棱锥11C A DD -，求11C A DD -的体积与剩余部分的体积之比．解：将长方体看成四棱柱1111ADD A BCC B -，设它的底面11ADD A 的面积为S ，高为h体积为V Sh =．棱锥11C ADD -的底面积为12S ，高为h ，因此棱锥11C A DD -的体积1111326V Sh Sh =⨯=．所以棱锥11C A DD -的体积与剩余部分的体积之比为15．说明：棱柱的体积等于底面积与高的乘积，而长方体的各个面均可以作为底面，因此可以灵活“选底”．2．练习：（1）在ABC ∆中，2, 1.5,120AB BC ABC ==∠=o（如图）．若将ABC ∆绕直线BC 旋转一周，求形成的旋转体的体积．（2）课本56页第1，2，3，4．五、回顾小结：柱体、锥体、台体体积计算公式及其之间的关系．六、课外作业：课本第60页第2、5、8、9、10题．空间几何体的体积（2）教学目标（1）了解球的体积及表面积计算公式的推导过程，能用球的表面积和体积公式解决有关问题；（2）能用柱、锥、台、球等几何体的体积计算公式解决有关组合体的体积计算公式；（3）体会祖暅原理和积分思想．教学重点1．球的体积计算公式及表面积计算公式．2．柱、锥、台、球的体积计算公式的综合应用．教学难点在球的体积、表面积计算公式的推导过程中体会“无穷”“极限”的思想．教学过程一、问题情境 1．情境：练习：正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，求此三棱锥的体积．回忆柱体、锥体、台体体积计算公式，以及体积的推导过程． 2．问题：在空间几何体里面还有球的表面积和体积没有研究过，能否用研究柱、锥、台的表面积和体积公式的方法来研究球的表面积和体积呢？二、建构数学1运用祖暅原理类似的方法我们还能证实这样一个结论：一个地面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积相等．由此得到223112233V R R R R R πππ=-=g g 球，所以343V R π=球．这个结论可以通过“倒沙实验”得到．2．设想一个球由许多顶点在球心，底面都在球面上的“准锥体”组成，这些“准锥体”的底面并不是真正的多边形，但只要这些“准锥体”的底面足够地小，就可以把它们近似地看成棱锥．这时，这些“准锥体”的高趋向于球半径R ，底面积123,,,S S S ……的和趋向于球面积，所有这些“准锥体”的体积的和趋向于球的体积，因此312341113333R V RS RS RS π==+++球 (1)3RS =球面，所以24S R π=球面．三、数学运用 1．例题：例1．如图是一个奖杯的三视图（单位：cm ），试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积（精确到0．01cm ）．解：采用斜二测画法．先画底座，这是一个正四棱台；再画杯身，是长方体；最后画出球体．因为 153V =⨯⨯⨯≈22正四棱台（15+1511+11）851.667，6818864V =⨯⨯=长方体， 243113.0973V π=⨯≈球，所以这个奖杯的体积为： 31828.76()V V V V cm =++≈正四棱台长方体球．说明：计算组合体的体积时，考虑将其转化为计算柱、锥、台、球等常见几何体的体积．例2．一个正方体内接于半径为R 的球内，求正方体的体积．解：因为正方体内接于球内，所以正方体的8个定点均在球面上，又正方体和球体都是中心对称图形，所以它们的对称中心必重合，即球心就是正方体的中心，设正方体的棱长为a ，则2,R a R ==．所以，正方体的体积为333)V a ===． 2．练习：（1）课本57页第5、6题．（2）一个平面截一个球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，求该球的表面积和体积．四、回顾小结：1．球的表面积以及体积公式；2．运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式求一些组合体的表面积和体积．五、课外作业：课本第60页第6、7题．补充：1.棱长为a 的正方体内有一个球与这个正方体的12条棱都相切，求这个球的体积． 2．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，这样的三棱柱能否放进一个体积为16π的小球？为什么？五、课外作业：课本第60页第6、7题．补充：1.棱长为a 的正方体内有一个球与这个正方体的12条棱都相切，求这个球的体积． 2．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，这样的三棱柱能否放进一个体积为16的小球？为什么？。

苏教版高中数学必修2《空间几何体的表面积》教案设计

1．3．1空间几何体的表面积
【教学目标】
1．理解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念.
2．让学生经历空间几何体的侧面展开过程，感知侧面展开图的形状，了解空间几何体的侧面积计算公式的推导过程.
3．能用侧面积的计算公式解决具体问题.
４．培养学生观察、分析、归纳的能力，以及数学应用意识与辨证的思想.
【教学重点】
1．正棱柱、正棱锥、正棱台概念的理解.
2．柱、锥、台的侧面展开图的结构以及侧面积计算的结构特征.
【教学难点】
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式的确定.
2．数学应用.
【课时安排】1课时
【教学流程】
注：M：表示实例 P：课件
H：几何画板
【教学设计】。

高中数学第1章立体几何初步 17 空间几何体的表面积(1)教学案苏教版必修2

江苏省泰兴中学高一数学教学案(134) 必修 2 空间几何体的表面积（一）班级姓名目标要求1、了解多面体的平面展开图；2、理解并掌握直棱柱、正棱柱的概念和侧面积公式;3、理解并掌握正棱锥、正棱台的概念和侧面积公式;4、领悟正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系．重点难点重点：正棱柱、正棱锥、正棱台的概念和侧面积公式; 难点：正棱柱、正棱锥、正棱台的概念和侧面展开图．典例剖析例1、(1) 判断下列命题是否正确:①侧棱长相等的三棱锥是正三棱锥 ( ) ②有两个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱 ( ) ③底面是正三角形,且侧棱长相等的三棱锥是正三棱锥 ( ) ④有两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱 ( ) (2)设集合{},{},{}A B C ===直四棱柱正四棱柱长方体, 则,,A B C 之间的包含关系是．(3)侧面为直角三角形的正三棱锥, 侧面与底面所成角为θ, 则cos θ= ．例2、（1）正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为对角线1AC 长为13，则此正四棱柱的侧面积为．(2)正三棱台上、下底面面积之比为1:9, 上底边长为a , 侧棱与底面成060, 它的全面积是．例3、如图，长方体交于点A 的三条棱长分别为D 1C 1B 1A 1DCBAABC PN M14,3,5AD AA AB ===, 则从点A 沿表面到1C 的最短距离为多少？例4、已知正三棱锥P —ABC 的侧棱长为1，∠APB=40°，N 、N 分别是棱PB 、PC 上的点，求ΔAMN 的周长的最小值。

学习反思1、简单的多面体可以沿多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的．2、侧棱与底面垂直的棱柱叫做，直棱柱的侧面展开图是，S 直棱柱侧＝．3、如果一个棱锥的底面是，并且顶点在底面内的正投影是，这样的棱锥为，正棱锥的侧棱长都， S 正棱锥侧＝．4、正棱锥被于底面的平面所截，之间的部分叫做正棱台，S 正棱台侧＝．5、正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系可以图示为6、长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则其对角线长为．课堂练习1、底面边长为10，高为5的正四棱锥的侧面积是．2、一个正三棱锥的侧面展开图的顶角为平角，侧面积为 _____．3、已知正四棱柱的底面边长为3，侧面的对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为 ____________．4、正四棱台两底面边长分别是2和6,侧面和下底面成︒60,则棱台的高为______________.5、已知正四棱锥底面正方形的边长是4,高与斜高的夹角为︒30,求该正四棱锥的侧面积和表面积.江苏省泰兴中学高一数学作业(134)班级姓名得分1、长方体的高为1，底面积为2，过相对侧棱的截面面积为3，则此长方体的侧面积为______.2、将一个边长为a 的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了____________.3、侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，则该三棱锥的侧面积为___________.4、正六棱柱的高为5cm ，最长的对角线为13cm ，则它的侧面积为 _____________.5、底面是菱形的直棱柱，它的对角线的长分别是9和15，高是5，则这个棱柱的侧面积是___________________.6、已知直四棱柱的底面是菱形，过其不相邻的两对侧棱的截面面积分别是1S 和2S ，则该四棱柱的侧面积是．7、已知正三棱锥的一个侧面面积与底面面积之比是43：，则此三棱锥的高与斜高之比为．8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,将正方体沿对角面BB 1D 1D 切成两块. (1)将两块拼接成一个不是正方体的四棱柱求所得四棱柱的全面积; (2)若两块拼接成一个三棱锥,求所得三棱锥的全面积.9、一个正三棱锥的高和底面边长都为a ，求它的侧棱和底面所成角的余弦值．10、一个长方体的全面积为220cm，所有棱长的和为24cm，求长方体的对角线长．11、已知正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是32 cm。

苏教版高中数学必修二空间几何体的表面积与体积表面积教案

普通高中课程标准实验教科书—数学必修Ⅱ[苏教版]空间几何体的表面积教学目标（1）了解平面展开图的概念，会识别一些简单多面体的平面展开图；（2）了解直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积的计算公式；（3）会求一些简单几何体的表面积．教学重点多面体的平面展开图,求简单几何体的表面积．教学难点多面体的平面展开图．教学过程一、问题情境1．情景：通过演示一些多面体的平面展开图的过程，让学生了解平面展开图的概念． 2．问题：哪些图形是空间图形的平面展开图？二、学生活动仔细观察这些平面图形，说说它们是哪些空间图形的平面展开图？三、建构数学1．多面体的平面展开图的概念一些简单多面体沿着它的某些棱剪开而形成的平面图形叫做该多面体的平面展开图． 2．直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台（1）侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱．把直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开图的面积就是棱柱的侧面积．直棱柱的侧面展开图是矩形,这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c ，宽等于直棱柱的高h ，因此直棱柱的侧面积是S ch =直棱柱侧．（2）底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱．（3）底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．如果正棱锥的底面周长为c ，斜高为h '，由图可知它的侧面积是12S ch '=侧．（4）正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．与正棱锥的侧面积公式类似,若设正棱台的上、下底面的周长分别为,c c '，斜高为h '，则其侧面积是1()2S c c h ''=+侧．项目名称直棱柱正棱柱正棱锥正棱台定义侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面多边形的中心的棱锥叫做正棱锥正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台侧面积的计算公式,S ch =侧c 为底面的周长，h为棱柱的高1,2S ch c '=侧为底面周长，h '是斜高（侧面等腰三角形底边上的高）1(),2S c c h c '''=+侧为上底面周长，c 为下底面周长，h '是斜高（侧面等腰梯形的高）性质每个侧面都是矩形，底面是多边形每个侧面都是矩形，底面是正多边行侧面是全等的等腰三角形，底面是正多边形，每条侧棱都相等侧面是全等的等腰梯形，底面是正多边形，每条侧棱都相等说明：（1）当且仅当正棱锥，正棱台时才有斜高．（2）正棱柱，正棱锥，正棱台的侧面积公式之间的关系可用下图表示：练习：如图是正方体纸盒的展开图，那么直线AB 、CD 在原来正方体中所成的角是多少？提示：把平面展开图还原为正方体。

高中数学《空间几何体的表面积和体积》教案(1) 苏教版必修2(1)

空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积教学目标（1）了解平面展开图的概念，会识别一些简单多面体的平面展开图；（2）了解直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积的计算公式；（3）会求一些简单几何体的表面积．教学重点多面体的平面展开图,求简单几何体的表面积．教学难点多面体的平面展开图．教学过程一、问题情境1．情景：通过演示一些多面体的平面展开图的过程，让学生了解平面展开图的概念． 2．问题：哪些图形是空间图形的平面展开图？二、学生活动仔细观察这些平面图形，说说它们是哪些空间图形的平面展开图？三、建构数学1．多面体的平面展开图的概念一些简单多面体沿着它的某些棱剪开而形成的平面图形叫做该多面体的平面展开图． 2．直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台（1）侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱．把直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开图的面积就是棱柱的侧面积．直棱柱的侧面展开图是矩形,这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c ，宽等于直棱柱的高h ，因此直棱柱的侧面积是S ch =直棱柱侧．（2）底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱．（3）底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．如果正棱锥的底面周长为c ，斜高为h '，由图可知它的侧面积是12S ch '=侧．（4）正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．与正棱锥的侧面积公式类似,若设正棱台的上、下底面的周长分别为,c c '，斜高为h '，则其侧面积是1()2S c c h ''=+侧．项目名称直棱柱正棱柱正棱锥正棱台定义侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面多边形的中心的棱锥叫做正棱锥正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台侧面积的计算公式,S ch =侧c 为底面的周长，h为棱柱的高1,2S ch c '=侧为底面周长，h '是斜高（侧面等腰三角形底边上的高）1(),2S c c h c '''=+侧为上底面周长，c 为下底面周长，h '是斜高（侧面等腰梯形的高）性质每个侧面都是矩形，底面是多边形每个侧面都是矩形，底面是正多边行侧面是全等的等腰三角形，底面是正多边形，每条侧棱都相等侧面是全等的等腰梯形，底面是正多边形，每条侧棱都相等（2）正棱柱，正棱锥，正棱台的侧面积公式之间的关系可用下图表示：练习：如图是正方体纸盒的展开图，那么直线AB 、CD 在原来正方体中所成的角是多少？提示：把平面展开图还原为正方体。

高中数学第1章立体几何初步第16课时空间几何体的表面积教学案(无答案)苏教版必修2

第16课时空间几何体的表面积
一、教学目标
1．了解平面展开图的概念，会识别一些简单多面体的平面展开图；
2．了解直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积的计算公式；
3．会求一些简单几何体的表面积．
本课内容简析：
通过分析柱、锥、台体的侧面展开图的构成进行空间几何体的侧面积、表面积的求解，
培养将空间问题平面化的转化思想；同时适当介绍直棱柱、正棱柱、正棱锥等概念．
二、数学活动
问题1：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你觉得它们
的展开图与其表面积有什么关系吗？
问题2：阅读教材P47直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念，试作出下列多面体的侧面展开图．
正六棱柱正四棱锥正四棱台
问题3：试作出下列旋转体的侧面展开图．
圆柱圆锥圆台
若设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则其侧面展开图的圆心角为．三、数学建构
直棱柱的侧面积公式
正棱锥、正棱台的侧面积公式
正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的联系与区别：
上底扩大上底缩小
圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式
四、数学应用
例 1 设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m，底面的边长是 1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）
例 2 一个直角梯形上底、下底和高之比为2：4：．将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比．
例 3 如图，在长方体中，，求沿着长方体表面顶点A到的
最短路线长．
五、巩固与小结
P55练习 T1、 T4、小结：
D1C
1
B1
A
1
D C
B
A。

2021高中数学《空间几何体的表面积和体积》教案（2）苏教版必修2(1)

空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积一、课标要求：了解一些简单的几何体的表面积的计算方式，了解棱柱、棱锥、台的表面积计算公式（不要求经历公式）二、教学目标：(1)了解平面展开图的概念及柱、锥、台的表面积公式；(2)会求一些简单几何体的表面积公式；(3)让学生经历空间几何体的侧面展开进程，感知几何体的形状；(4)让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体侧面积之间的转换关系，体会“数”和“形”的完美结合.(5)通过学习使学生感受到空间几何体侧面积的求解进程，对自己空间思维能力的阻碍，从而增强学习数学的信心.三、教学重点、难点：重点；空间几何体侧面积的计算难点；空间几何体侧面展开四、设计思路：借助多媒体，通过动态演示一些多面体的平面展开图的进程，让学生在直观感知的基础上了解平面展开图的概念，进而结合前面已研究的柱、锥、台这三类几何体的概念，介绍正棱柱、正棱锥、正棱台的概念，结合模型组织学生感知探讨侧面展开图的形成进程及侧面展开图的组成，得出它们侧面积的计算公式。

五、活动设计六、同行点评：这节课设计专门好，它让学生经历了从直观感受、操作确认、思维论证、气宇计算的进程，符合新课程标准的要求。

“问题是数学的心脏”在设计中表现得十分准确和淋漓尽致，该设计刚开始借助多媒体通过动态演示，创设了一个有利于学生生动活泼、主动进展的数学学习环境，再通过这些问题把学生引入探讨学习之路。

空间几何体的体积教学目标：一、了解单位正方体的意义，把握柱、锥、台体的体积公式及公式之间的关系；二、把握等体积法在求距离中的应用；3、体会积分思想在计算体积中的运用。

教学重点：柱、锥、台体的体积计算。

教学难点：组合体的体积计算及积分、极限思想的明白得。

教学进程：一、知识探讨：一、柱体的体积（1）单位长方体：棱长为1个长度单位的正方体。

一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么那个几何体的体积的数量确实是多少。

某长方体纸盒的长、宽、高别离为7cm、5cm、4cm，那么每层有___________个单位正方体，共有______层，它的体积为_________________.（2）长方体的长、宽、高别离为a、b、c，那么它的体积为V长方体=___________________ 或V长仿体=__________________（3）问题：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？引导学生阅读祖原理。

苏教版必修2第一章学生版教案立体几何第17课时

第17课时空间几何体的表面积(1)
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学习要求
1.理解棱柱棱锥棱台的侧面积公式的推导。
2.会求一些简单多面体的表面积.
自学评价
1.侧面展开图:
2.直棱柱
3.直棱柱侧面积公式
4.正棱柱
5.正棱锥
6.正棱锥侧面积公式7Leabharlann 正棱台8.正棱台侧面积公式
9.三个公式之间的关系
【精典范例】
例1：一个正六棱锥的侧面都是正方形,底面边长为a,求它的表面积.
【解】
例2：设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶,高是0.85m ,底面的边长是1.5m ,制造这种塔顶需要多少平方米铁板? (保留两位有效数字)
【解】
思维点拨
记清记准各种侧面积公式，然后结合几何体性质解题．
追踪训练
1．下列图形中，不是正方体的展开图的是（）
少图
２．如图，Ｅ，Ｆ分别为正方形ＡＢＣＤ的边ＢＣ，ＣＤ的中点，沿图中虚线折起来，它能围成怎样的几何体？
少图
３．已知正四棱柱的底面边长为３，侧面的对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为．
４．一个正三棱锥的侧面都是直角三角形, 底面边长为a , 求它的表面积.
５．一个正六棱台的两个底面的边长分别等于8cm和18cm ,侧棱长等于13cm ,求它的侧面积.
学生质疑
教师释疑

苏教版高中数学必修二空间几何体教案(1)

棱柱、棱锥和棱台的结构特征教学目标：理解棱锥、棱台的基本概念教学重点：理解棱锥、棱台的基本概念教学过程：1．“一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形”是棱锥的本质特征．正棱锥是一种特殊棱锥．正棱锥除具有棱锥的所有特征外，还具有：①底面为正多边形；②顶点在过底面正多边形的中心的铅垂线上．“截头棱锥”是棱台的主要特征，因此，关于棱台的问题，常常将其恢复成相应的棱锥来研究．2．正棱锥的性质很多，但要特别注意：(1)平行于底面截面的性质如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么：①棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段．②所得的截面和度面是对应边互相平行的相似三角形．③截面面积和底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比．(2)有关正棱锥的计算问题，要抓住四个直角三角形和两个角：正棱锥的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四个直角三角形．四个直角三角形是解决棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握．3．棱台的性质都由截头棱锥这个特征推出的，掌握它的性质，就得从这个特征入手同棱锥一样，棱台也有很多重要性质，但要强调两点：(1)平行于底面的截面的性质：设棱台上底面面积为S1，下底面面积为S2，平行于底面的截面将棱台的高分成距上、下两底的比为m∶n，则截面面积S满足下列关系：(2)有关正棱台的计算问题，应抓住三个直角梯形、两个直角三角形：正棱台的两底面中心的连线、相应的边心距、相应的外接圆半径，侧棱，斜高，两底面边长的一半，组成三个直角梯形和两个直角三角形(上、下底面内各一个直角三角形)．正棱台中的所有计算问题的基本依据就是这三个直角梯形、两个直角三角形和两个重要的角，必须牢固掌握．4．棱锥、棱台的侧面展开图的面积，即侧面积，是确定其侧面积公式的依据．(1)正棱锥的侧面是彼此全等的等腰三角形，由此可得其侧面积公式：(2)正棱台的侧面是彼此全等的等腰梯形，由此可得其侧面积公式：棱锥的全面积等于：S全=S侧+S底棱台的全面积等于：S全=S侧+S上底+S下底(3)棱柱、棱锥和棱台的侧面公式的内在联系必须明确，它有利认识这三个几何体的本质，也有利于区分这三个几何体，在正棱台侧面积公式中：当C'=C时，S棱柱侧=Ch可以联想：棱柱、棱锥都是棱台的特例．6．关于截面问题关于棱锥、棱台的截面，与棱柱截面问题要求一样，只要求会解对角面、平行于底面的截面(含中截面)、以及已给出图形的截面，或已给出全部顶点的截面，但对于基础较好，能力较强的同学，也可以解一些其他截面，比如：平行于一条棱的截面，与一条棱垂直的截面，与一个面成定角的截面，与一个面平行的截面等．作截面就是作两平面的交线，两平面的交线就是这两个平面的两个公共点的连线，或由线面平行、垂直有关性质确定其交线，这是画交线，即作截面的基本思路．课堂练习：小结：本节课学习了棱锥、棱台的基本概念课后作业:圆柱、圆锥、圆台和球教学目标：1、理解球面、球体和组合体的基本概念，2、掌握球的截面的性质,3、掌握球面距离的概念.教学重点：球的截面的性质及应用，会求球面上两点之间的距离教学过程：复习引入1、圆柱、圆锥、圆台，它们分别由矩形、直角三角形、直角梯形旋转而成的。

苏教版高中数学(必修2)1.3《空间几何体的表面积和体积》(空间几何体的表面积)word教案

高二年级数学教学案（20XX年9月27日）．几种简单几何体的侧面展开图与侧面积
）这三种几何体侧面积之间的关系
）求这三种几何体侧面积的常见策略
①正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数。

②棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积可由大小棱锥侧面积作差得到。

a，∠DCB＝60°，旋转一周，求旋转体的表面积。

．旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系，在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用。

．棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积据平面几何知识求解，侧面积关键是求斜高和底面边长。

斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长这四条线段可以构成直角，因此利用好这些直角三角形（或梯形）是解题的关键。

．三视图与求空间几何体的表面积问题结合是常见的例题形式，此类问题要先从几何体三视。

苏教版高中数学必修二空间几何体的表面积与体积学案(1)

空间几何体的表面积和体积学习目的：1：掌握等积变换，能灵活运用公式；2：会用函数思想方法解面积和体积的最值问题; 3：掌握分类的方法和用运动的思想方法解题。

学习过程：一复习：柱、锥、台、球的面积和体积公式二例1：三棱柱ABC —A 1B 1C 1中三个三棱锥的体积大小有什么关系呢？例2：用一块面积为16的矩形铁皮制成一个长方体，长方体的一条棱长为1。

如何裁剪，使制成的长方体体积最大？解设长方体另两条棱长分别为x 、y ，长方体的体积为V则16)(2=++xy y xxxy +-=180>y 且80<<⇒x181)8(2+-=+-==x x x x x x xy V 0)8(2=+-+⇒V x V x04)8(2≥--=∆⇒V V416≤≥⇒V V 或164,16=-=⇒=⇒V x V 不合题意，舍去时当.24=⇒=⇒x V 时当答：把这块铁皮剪裁,制成的长方体的棱长分别为1、2、3,时，长方体的体积最大,是4。

3：例三：已知：用钢板做了一个正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1水桶，它的棱长为16。

在下列情况下，这个水桶最多可装多少体积的水？(孔的半径可忽略不计)：（1）：若棱CC 1上有一个孔E ；（2）：若正方体的棱BC 上又多了一个孔F; （3）：若正方体面上再出现一个孔G ,且G 在棱CD 上,CE=CF=1/2，CG=3 (4): 若水桶上只有两个孔，一个孔H 在棱CC 1上,且C 1H=3,另一个孔I 在A 1C 1的连线上，且I 到C 1D 1的距离是2。

解：（1）(2)略（3）连结EF 、EG 、FG ，则408763321311631=⨯⨯⨯⨯-=--CEF G AC V V 答：―――――（4）过I 点，在平面A 1B 1C 1D 1过I 作直线交11D C 于N ，令x M C =1,204821603＝时可装水为=x ，当40481632211623＝时，可装水⨯⨯⨯-=x221671611-=⇒-≤≤x xN C MN C H x 是三棱锥，时，当ID1C1B1H③ID1C1B1NM QH④,8424).2(2222.3..21.3121=+--≥-=-=-X X X X X X X V HMC N 当且仅当16716242≤≤-=-x x x4=⇒x由此可见，此桶最多可装4088.，当x>16时,y N C =1令， 71621<<N C ,即7162<<yIC IC C A N C M A 111111-=y M B y M A 716711-=⇒=⇒,yyQ B N C M B H C Q B 214811111-=⇒=, 0168)16813(843)716(8)716(8816]2)716(3)716(3)716(21321[3122211=⨯+⨯⨯+-⨯⇒-+-+=⨯-+-⨯-+⨯=-y V y y yy y y y y y y V NH C MQ B7.14166443256)43256()16813(1122≈-≥⇒≥⨯⨯+⇒-NH C MQ B V V716,4.2434316843216813<≈=⨯⨯⨯⨯+=y V y 又时当⑤当7160<<x 时，依据正方形的对称性和所截得的图象，可知这种情况与当x>16时一样，该桶最多可装小于4081。

高中数学苏教版必修2讲义：第一章 1.3 空间几何体的表面积和体积

第1课时空间几何体的表面积(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱．(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱．(3)正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥．(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分.观察下列多面体：问题1：直棱柱的侧面展开图是什么？提示：以底面周长为长，高为宽的矩形．问题2：正棱锥的侧面展开图是什么？提示：若干个全等的等腰三角形．问题3：正棱台的侧面展开图是什么？提示：若干个全等的等腰梯形．几个特殊的多面体的侧面积公式(1)S 直棱柱侧＝ch (h 为直棱柱的高)； (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(h ′为斜高)；(3)S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′(h ′为斜高).观察下列旋转体：问题1：圆柱的侧面展开图是什么？提示：以底面周长为长，高为宽的矩形．问题2：圆锥的侧面展开图是什么？提示：扇形．问题3：圆台的侧面展开图是什么？提示：扇环．几种旋转体的侧面积公式 (1)S 圆柱侧＝cl ＝2πrl ． (2)S 圆锥侧＝12cl ＝πrl ．(3)S 圆台侧＝12(c ＋c ′)h ＝π(r ＋r ′)l ．1．柱、锥、台的表面积即全面积应为侧面积与底面积的和．2．柱、锥、台的侧面积的求法要注意柱、锥、台的几何特性，必要时要展开． 3．柱、锥、台的侧面积之间的关系(1)正棱柱、正棱锥、正棱台侧面积之间的关系： S 正棱柱侧――→h ′＝hc ′＝cS 正棱台侧――→c ′＝0S 正棱锥侧. (2)圆柱、圆锥、圆台表面积之间的关系： S 圆柱侧――→r 1＝r 2S 圆台侧――→r 1＝0S 圆锥侧.[例1] 正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积．[思路点拨] 由S 侧与S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．[精解详析] 如图，设PO ＝3，PE 是斜高，∵S 侧＝2S 底，∴4·12·BC ·PE ＝2BC 2.∴BC ＝PE .在Rt △POE 中，PO ＝3，OE ＝12BC ＝12PE .∴9＋(PE2)2＝PE 2.∴PE ＝2 3.∴S 底＝BC 2＝PE 2＝(23)2＝12. S 侧＝2S 底＝2×12＝24. ∴S 表＝S 底＋S 侧＝12＋24＝36.[一点通] 求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．1．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为________．解析：三棱锥的每个面(正三角形)的面积都是34，所以三棱锥的表面积为4×34＝ 3. ★★答案★★： 32．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是________．解析：设直棱柱底面边长为a ，高为h ，则h ＝6－2＝2，a ＝2×22＝1，所以S 棱柱侧＝4×1×2＝8. ★★答案★★：83．正四棱台的高是12 cm ，两底面边长之差为10 cm ，表面积为512 cm 2，求底面的边长．解：如图，设上底面边长为x cm ，则下底面边长为(x ＋10)cm ，在Rt △E 1FE 中，EF ＝x ＋10－x2＝5(cm)．∵E 1F ＝12 cm ，∴斜高E 1E ＝13 cm. ∴S 侧＝4×12(x ＋x ＋10)×13＝52(x ＋5)，S 表＝52(x ＋5)＋x 2＋(x ＋10)2＝2x 2＋72x ＋360. ∵S 表＝512 cm 2， ∴2x 2＋72x ＋360＝512. 解得x 1＝－38(舍去)，x 2＝2. ∴x 2＋10＝12.∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm 、12 cm.[例2] 圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？[思路点拨] 解答本题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积．[精解详析]如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，∴S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．故圆台的表面积为1 100πcm2.[一点通](1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面．(2)对于与旋转体有关的组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的半径和母线长，注意方程思想的应用．4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是________．解析：根据轴截面面积是3，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.★★答案★★：3π5．如图所示，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．解：设圆柱的底面半径为x，圆锥高h＝42－22＝23，画轴截面积图(如图)，则3 23＝2－x2.故圆锥内接圆柱的底半径x＝1.则圆柱的表面积S＝2π·12＋2π·1·3＝(2＋23)π.6．一个直角梯形的上、下底的半径和高的比为1∶2∶3，求它绕垂直于上、下底的腰旋转后形成的圆台的上底面积、下底面积和侧面积的比．解：如图所示，设上、下底的半径和高分别为x、2x、3x，则母线长l＝（2x－x）2＋（3x）2＝2x，∴S上底＝πx2，S下底＝π(2x)2＝4πx2，S侧＝π(x＋2x)·2x＝6πx2，∴圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶4∶6.1．正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．2．棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积可由大小棱锥侧面积作差得到．3．旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系．在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用．课下能力提升(十)1．一个圆锥的底面半径为2，高为23，则圆锥的侧面积为________．解析：S侧＝πRl＝π×2×（23）2＋22＝8π.★★答案★★：8π2．正三棱锥的底面边长为a，高为33a，则此棱锥的侧面积为________．解析：如图，在正三棱锥S-ABC中，过点S作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连结AO并延长与BC相交于点M，连结SM，SM即为斜高h′，在Rt△SMO中，h ′＝（33a ）2＋（36a ）2＝156a ，所以侧面积S ＝3×12×156a ×a ＝154a 2. ★★答案★★：154a 23．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．解析：设圆台的上、下底面半径分别为r ′、r ，则母线l ＝12(r ′＋r )．∴S 侧＝π(r ＋r ′)·l ＝π·2l ·l ＝2πl 2＝32π.∴l ＝4.★★答案★★：44．一个圆柱的底面面积是S ，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为________．解析：设圆柱的底面半径为R ，则S ＝πR 2，R ＝Sπ，底面周长c ＝2πR . 故圆柱的侧面积为S 圆柱侧＝c 2＝(2πR )2＝4π2Sπ＝4πS .★★答案★★：4πS5．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为________．解析：设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D 1AB 1C 为正四面体，每个面都是边长为2的正三角形，其表面积为4×12×2×62＝23，所以三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为1∶ 3.★★答案★★：1∶ 36．以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径．解：如图所示，设圆柱底面圆的半径为R ，高为h ，则圆锥的底面半径为R ，高为h ，设圆锥母线长为l ，则有l ＝R 2＋h 2.①依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2πRh ＝6，πRl ＝5，②由①②，得R ＝2ππ，即圆柱的底面半径为2ππ.7．设正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的全面积．解：设正三棱锥底面边长为a ，斜高为h ′，如图所示，过O 作OE ⊥AB ，则SE ⊥AB ，即SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴12×3a ×h ′＝34a 2×2，∴a ＝3h ′. ∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2， ∴32＋(36×3h ′)2＝h ′2. ∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6. ∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 全＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3. 8.如图所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(π取3.1)?解：圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3＝9.3(m 2)，半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×(12)2≈1.6(m 2)，所以S 1＋S 2≈9.3＋1.6＝10.9(m 2)． 10．9×150≈1 635(朵)．答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花．第2课时空间几何体的体积观察下列几何体：问题1：你能否求出上述几何体的体积吗？提示：能．问题2：要求上述几何体的体积，需要知道什么？提示：底面积和高．柱体、锥体、台体的体积公式(1)柱体体积：V 柱体＝Sh ．其中S 为柱体的底面积，h 为高． (2)锥体体积：V 锥体＝13Sh ．其中S 为锥体的底面积，h 为高．(3)台体体积：V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．其中S ，S ′分别为台体的两底面面积，h 为台体的高.2009年12月4日，阿迪达斯和国际足联在开普敦共同发布2010年南非世界杯官方比赛用球“JABULANI ”，“JABULANI ”源于非洲祖鲁语，意为“普天同庆”，新的比赛用球在技术上取得历史性突破，设计上融入了南非元素．问题1：根据球的形成定义，体育比赛中用到的足球与数学中的球有何不同？提示：比赛中的足球是空心的，而数学中的球是实体球．问题2：给你一个足球能否计算出这个足球表皮面积和体积？提示：能，只要知道球的半径即可求出．1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3．1．求柱、锥、台的体积要注意底面积与高的确定，必要时注意分割． 2．柱体、锥体、台体之间体积公式的关系3．要求球的表面积，只需求出球的半径．4．球的体积与球的半径的立方成正比，即球的体积是关于球的半径的增函数．[例1] (1)底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长为2.且与该侧面内的底边所成的角为45°，求此三棱柱的体积．(2)如图，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝ 2.求此四棱锥的体积．[思路点拨] (1)由条件求出高和底面边长，再利用公式求体积；(2)解本题的关键是求四棱锥的高，可证明P A ⊥底面ABCD ，再利用公式求体积．[精解详析] (1)如图，由条件知此三棱柱为正三棱柱．∵正三棱柱的面对角线AB 1＝2. ∠B 1AB ＝45°.∴AB ＝2×sin 45°＝2＝BB 1. ∴V 三棱柱＝S △ABC ·BB 1＝34×(2)2×2＝62. (2)在△P AD 中，P A ＝AD ＝1，PD ＝2， ∴P A 2＋AD 2＝PD 2.∴P A ⊥AD ，又P A ⊥CD ，且AD ∩CD ＝D ， ∴P A ⊥平面ABCD ，从而P A 是底面ABCD 上的高， ∴V 四棱锥＝13S 正方形ABCD ·P A ＝13×12×1＝13.[一点通] 求柱体、锥体的体积，关键是求其高，对柱体而言，高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成直角三角形，对棱锥而言，求高时，往往要用到线面垂直的判定方法，因为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线，垂线段的长度．1．一圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240°，则该圆锥的体积为________．解析：设圆锥侧面展开图的弧长为l ，则l ＝240°×π×1180°＝4π3.设圆锥的底面半径为r ，则4π3＝2πr ，r ＝23.V ＝π3·⎝⎛⎭⎫232·12－49＝4π33·59＝4581π. ★★答案★★：4581π2．一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积之比为________．解析：设正方体棱长为1，则S 正方体侧＝S 圆柱侧＝4，设圆柱的底面半径为r ，则2πr ×1＝4，r ＝2π，V 正方体＝1，V 圆柱＝π⎝⎛⎭⎫2π2·1＝4π.∴V 正方体∶V 圆柱＝π∶4. ★★答案★★：π∶4[例2] 圆台上底的面积为16π cm 2，下底半径为6 cm ，母线长为10 cm ，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？[思路点拨] 解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解决问题．[精解详析]如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm ，于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)．圆台的高h ＝BC＝BD 2－（OD －AB ）2 ＝102－（6－4）2＝46(cm)，V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π)＝3046π3(cm 3)．[一点通] 求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算．对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．3．正四棱台两底面边长为20 cm 和10 cm ，侧面积为780 cm 2，求其体积．解：如图所示，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm.取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，连结E 1E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高．设O 1，O 分别是上，下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形．S 侧＝4×12×(10＋20)·E 1E ，即780＝60E 1E ，解得E 1E ＝13 (cm)．在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5 (cm)，OE ＝12AB ＝10 (cm)，所以O 1O ＝E 1E 2－（OE －O 1E 1）2＝132－52＝12(cm)．所以V ＝13×12×(102＋202＋102×202)＝2800(cm 3).[例3] 一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2.求球的表面积．[思路点拨] 由于题中没有说明截面的位置，故需分类讨论．[精解详析] (1)当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面．由球的截面性质知，AO 1∥BO 2，且O 1，O 2分别为两截面圆的圆心，则OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2.设球的半径为R.因为圆O2的面积为49π，即π·O2B2＝49π，所以O2B＝7.同理，因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20.设OO1＝x，则OO2＝(x＋9)．在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，所以，x2＋202＝(x＋9)2＋72，解得x＝15.即R2＝x2＋202＝252.故S球＝4πR2＝2 500π.所以，球的表面积为2 500πcm2.(2)当截面位于球心O的两侧时，如图所示为球的轴截面．由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥O2B.设球的半径为R.因为圆O2的面积为49π，即π·O2B2＝49π，所以O2B＝7.同理，因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20.设O1O＝x，则OO2＝(9－x)．在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋72.所以x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为2 500πcm2.[一点通]球的截面性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面，本题利用球的截面将立体几何问题转化为平面几何问题，借助于直角三角形中的勾股定理解决问题．4．(新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为________ cm3.解析：设球半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面的距离为(R－2) cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝43πR3＝43π×53＝500π3cm3.★★答案★★：500π35．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为________．解析：过球心作球的截面，如图所示，设球的半径为R，截面圆的半径为r，则有r＝R2－⎝⎛⎭⎫R22＝32R，则球的表面积为4πR2，截面的面积为π⎝⎛⎭⎫32R2＝34πR2，所以截面的面积与球的表面积的比为34πR24πR2＝316.★★答案★★：3166．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积和体积是多少？解：设球的半径为R，则由已知得(2R)2＝32＋42＋52，故R2＝252，∴R＝522，∴S球＝4πR2＝50π，∴V球＝43πR3＝43π·(522)3＝12532π.1．求柱、锥、台体的体积时，由条件画出直观图，然后根据几何体的特点恰当进行割补，可能使复杂问题变得直观易求．2．求球与多面体的组合问题，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图．3．球的截面是一个圆面、圆心与球心的连线与截面圆垂直，且满足d ＝R 2－r 2(d 为球心到截面圆的距离)．课下能力提升(十一)1．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为________．解析：设球的半径为r ，则圆锥的底面半径是3r ，设圆锥的高为h ，则43πr 3＝13π(3r )2h ，解得h ＝49r ，所以圆锥的高与底面半径之比为427.★★答案★★：4272．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于________．解析：设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π. ★★答案★★：2π3．(福建高考)三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P -ABC 的体积等于________．解析：依题意有，三棱锥P -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·|P A |＝13×34×22×3＝ 3.★★答案★★： 34．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．解析：V ＝V 大圆锥－V 小圆锥＝13π(3)2(1＋1.5－1)＝32π.★★答案★★：32π5．(天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．解析：设正方体的棱长为x ，其外接球的半径为R ，则由球的体积为9π2，得43πR 3＝9π2，解得R ＝32.由2R ＝3x ，得x ＝2R3＝ 3.★★答案★★： 36．如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面AC 的距离为2，求该多面体的体积．解：如图，设G ，H 分别是AB ，DC 的中点，连结EG ，EB ，EC ，EH ，HG ，HB ，∵EF ∥AB ，EF ＝12AB ＝GB ，∴四边形GBFE 为平行四边形，则EG ∥FB ，同理可得EH ∥FC ，GH ∥BC ，得三棱柱EGH -FBC 和棱锥E AGHD . 依题意V E AGHD ＝13S AGHD ×2＝13×3×32×2＝3，而V EGH FBC ＝3V B EGH ＝3×12V E BCHG ＝32V E AGHD ＝92，∴V 多面体＝V E AGHD ＋V EGH FBC ＝152.7．已知正四棱台两底面面积分别为80 cm 2和245 cm 2，截得这个正四棱台的原棱锥的高是35 cm ，求正四棱台的体积．解：如图，SO ＝35，A ′O ′＝25，AO ＝752，由SO ′SO ＝A ′O ′AO ，得SO ′＝35×25752＝20.∴OO ′＝15.∴V 正四棱台＝13×15×(80＋80×245＋245)＝2 325.即正四棱台的体积为2 325 cm 3.8．如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．(1)证明：平面P AC ⊥平面PBD ；(2)若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P -ABCD 的体积．解：(1)证明：因为PH 是四棱锥P -ABCD 的高，所以AC ⊥PH .又AC ⊥BD ，PH ，BD 都在平面PBD 内，且PH ∩BD ＝H ，所以AC ⊥平面PBD ，故平面P AC ⊥平面PBD .(2)因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6，所以HA ＝HB ＝ 3. 因为∠APB ＝∠ADB ＝60°，所以P A ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝1，可得PH ＝ 3.等腰梯形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝2＋ 3.所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋3)×3＝3＋233.一、空间几何体1．多面体与旋转体(1)棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形．但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱”．(2)有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥．注意：一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体．(3)棱台是利用棱锥来定义的，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个称之为棱台，截面叫做上底面，原棱锥的底面叫做下底面．注意：解决台体常用“台还原成锥”的思想．(4)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转一周而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．2．直观图画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z 轴，最大区别是空间几何体的直观图有实线与虚线之分，而平面图形的直观图全为实线．二、平面的基本性质1．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内A∈α，B∈α⇒AB⊂α公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α公理3的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．三个公理的主要作用(1)公理1的作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内．②用直线检验平面．(2)公理2的作用：①判定两个平面是否相交；②证明点共线．(3)公理3的作用：①确定平面；②证明点线共面．三、空间直线与直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．注意：两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种．1．证明线线平行的方法 (1)线线平行的定义；(2)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行； (3)线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b ； (4)线面垂直的性质定理：a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ； (5)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b .2．证明线线垂直的方法(1)线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；(2)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； (3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . 四、空间直线与平面的位置关系空间中直线与平面有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．注意：直线在平面外包括平行和相交两种关系． 1．证明线面平行的方法 (1)线面平行的定义；(2)判定定理：a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α； (3)平面与平面平行的性质：α∥β，a ⊂α⇒a ∥β. 2．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理：⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)面面平行的性质：α∥β，l ⊥α⇒l ⊥β；(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β . 五、空间平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系有且只有平行和相交两种． 1．证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝A ⇒α∥β； (3)线面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面平行．2．证明面面垂直的方法(1)面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； (2)面面垂直的判定定理：a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β. 3．证明空间线面平行或垂直需注意三点 (1)由已知想性质，由求证想判定； (2)适当添加辅助线(面)；(3)用定理时先明确条件，再由定理得出相应结论．六、空间几何体的表面积和体积1．棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系S 正棱台侧＝12（c ＋c ′）h ′ ――→c ′＝0 S 正棱锥侧＝12ch ′――→c ＝c ′h ＝h ′S 正棱柱侧＝ch 2．圆锥、圆台、圆柱的侧面积公式间的联系S 圆台侧＝π（r ′＋r ）l ――→r ′＝0 S 圆锥侧＝πrl ――→r ′＝rS 圆柱侧＝2πrl 3．锥、台、柱的体积之间的联系V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ――→S 上＝0 V 锥体＝13Sh ――→S 上＝S下V 柱体＝Sh 4．球的表面积与体积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，体积V ＝43πR 3.一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．下列几何体是旋转体的是________．①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．答案：①④2．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线________．解析：由于直线分别位于两平行平面内，因此它们无公共点，因此它们平行或异面．答案：平行或异面3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长l ＝3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．解析：设圆台较小底面半径为r ，则S 侧面积＝π(r ＋3r )l ＝84π，r ＝7. 答案：74．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2＝24，解得a ＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长22等于球的直径，则球的半径是2，则此球的体积为43π(2)3＝823π.答案：823π5．一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是________．解析：如图所示，将△A ′B ′C ′还原后为△ABC ，由于O ′C ′＝2C ′D ′＝2×1×32＝62，所以CO ＝2O ′C ′＝ 6.∴S △ABC ＝12×1×6＝62.答案：626．如图，如果MC ⊥菱形ABCD 所在的平面，那么MA 与BD 的位置关系是________．解析：连结AC ，由于四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又MC ⊥平面ABCD ，所以MC ⊥BD ，又MC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面AMC ，所以MA ⊥BD .答案：垂直7．已知直线a ∥平面α，平面α∥平面β，则直线a 与平面β的位置关系为________．解析：∵a ∥α，α∥β，∴a ∥β或a ⊂β. 答案：a ∥β或a ⊂β8．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m ，则全面积的最大值为________．解析：设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则有2l ＋2πr ＝2m . ∴S 全＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr (m －πr )＝(π－π2)r 2＋πrm . ∴当r ＝πm 2（π2－π）＝m2（π－1）时，S 全有最大值πm 24（π－1）.答案：πm 24（π－1）9．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于________．解析：如图设点A 为圆O 和圆K 公共弦的中点，则在Rt △OAK 中，∠OAK 为圆O 和圆K 所在的平面所成的二面角的一个平面角，即∠OAK ＝60°.由OK ＝32，可得OA ＝3，设球的半径为R ，则(3)2＋⎝⎛⎭⎫R 22＝R 2，解得R ＝2，因此球的表面积为4π·R 2＝16π.答案：16π10．如图，二面角α-l -β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连结OB ，OC ，则OC ⊥l .设AB 与β所成角为θ，则∠ABO ＝θ，由图得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34.答案：3411．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中错误的是________．①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n .解析：对于①，m ，n 均为直线，其中m ，n 平行于α，则m ，n 可以相交也可以异面，故①不正确；对于②，③，α，β还可能相交，故②，③错；对于④，m ⊥α，n ⊥α，则同垂直于一个平面的两条直线平行，故④正确．答案：①②③12．若一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比是________．解析：设球的半径为R ，圆柱、圆锥的底面半径为r ，高为h ，则r ＝R ，h ＝2R ，V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3，V圆锥＝13πR 2×2R ＝23πR 3，所以V 圆柱∶V 球∶V圆锥＝2πR 3∶43πR 3∶23πR 3＝3∶2∶1.答案：3∶2∶113.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .解析：由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x ，由Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ，得ACA 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x ＝x a.整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a . 答案：a 或2a14．球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC 的体积的最大值为________．解析：记球O 的半径为R ，作SD ⊥AB 于D ，连线OD 、OS ，易求R ＝23，又SD ⊥平面ABC ，注意到SD ＝SO 2－OD 2＝R 2－OD 2，因此要使SD 最大，则需OD 最小，而OD 的最小值为12×23＝33，因此高SD 的最大值是⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫332＝1，又三棱锥S -ABC 的体积为13S △ABC ·SD ＝13×34×22×SD ＝33SD ，因此三棱锥S -ABC 的体积的最大值是33×1＝33.答案：33二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形ABCD ，圆柱侧面上从A 到C 的最短距离是多少？解：如图，底面半径为52cm ，母线长为5 cm.沿AB 展开，则C 、D 分别是BB ′、AA ′的中点．依题意AD ＝π×52＝52π.∴AC ＝（52π）2＋52＝5 π2＋42. ∴圆柱侧面上从A 到C 的最短距离为5π2＋42cm.16．(14分)如图所示，已知ABCD 是矩形，E 是以DC 为直径的半圆周上一点，且平面CDE ⊥平面ABCD .求证：CE ⊥平面ADE .证明：∵E 是以DC 为直径的半圆周上一点，∴CE ⊥DE . 又∵平面CDE ⊥平面ABCD ，且AD ⊥DC ， ∴AD ⊥平面CDE .又CE ⊂面CDE ，∴AD ⊥CE .又DE ∩AD ＝D ，∴CE ⊥平面ADE .17．(14分)(新课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C -A 1DE 的体积．解：(1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D . 所以VC A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.18．(16分)已知等腰梯形PDCB 中(如图①)，PB ＝3，DC ＝1，PD ＝BC ＝2，A 为PB 边上一点，且DA ⊥PB .现将△P AD 沿AD 折起，使平面P AD ⊥平面ABCD (如图②)．(1)证明：平面P AD ⊥平面PCD ；(2)试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成两部分，其两部分体积比为V PDCMA ∶V M ACB ＝2∶1.解：(1)证明：依题意知，CD ⊥AD ，又∵平面P AD ⊥平面ABCD ， ∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ， ∴平面P AD ⊥平面PCD . (2)由题意知P A ⊥平面ABCD ，∴平面P AB ⊥平面ABCD .如上图，在PB 上取一点M ，作MH ⊥AB ，则MH ⊥平面ABCD ，设MH ＝h ，。