8-4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理

令 ak 2 vr 称为科氏加速度
uuv uuv uuv uuv
aa ae ar ak
证毕
4
若动点的相对运动和绝对运动都是变速曲线运动，
则牵连运动为定轴转动时点的加速度合成公式可写
为 uuv uuv uuv uuv uuv uuv uuv
aan aa aen ae arn ar ak
的uuv加u速uv度u合uv 成uuv定理uuv，有
aa aen ae ar ak
(1)
建立X、Y轴，如图所示
将式(1)向X、Y轴投影，得
aa cos aen ar aa sin ae ak
解得：ar v2 sin3 L a cos
ae sin a v2 sin 2 L
19
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aax aen ar 0
uuv
ak (2)求M点绝对加速度
uuv aa
aay ae arn ak ak
aa 22R
18
通过以上两节加速度合成的实例分析可见：
应用加速度合成定理求解点的加速度时，其解题步 骤基本上相同。但须注意以下几点： (1)区分牵连运动是平动还是定轴转动，根据牵连 运动的情况，选用加速度合成定理。当牵连运动为 定轴转动时，应注意科氏加速度的计算。 (2)计算加速度合成问题时，一般宜采用解析法， 有时也可用几何法。采用解析法时应注意，合矢量 在某轴上的投影等于各分矢量在该轴上投影的代数 和。
由图中几何关系可得：
ve va sin vr va cos
Q O1A l2 r2 2r 300
ve r / 2 vr 3r / 2
Q ve 1g2r 1 / 4
(2)求角加速度ε1
x
uuv ak
ω
uuv ae
uuvφ
uuv ar
v
aa uuv
aen
φ
ω1
1
10
作加速度图
aa 2r
E
ae EA
sin2
L
a
v2
sin 2
L
15
问题
图示为由直角折杆OBA和
圆盘组成的平面机构
已知：
OB=AB=R,
B
角速度ω1=ω2=ω ， 角加速度α1=α2=α， α1
且ω2=α
ωo1
求：
图示瞬时圆盘边缘M点的
绝对速度和绝对加速度？
16
R
α2 ω2
A
M
答案：
R
B
α1 va
α2 ω2
A
va
ω ve
vr
曲柄 销钉 套筒
φ 摇杆
已知：OA r,,oo1 l 3r 求:当曲柄在水平位置时，
摇杆O1B的角速度ω1和角加 速9 度ε1 ？
解：(1)求角速度ω1
动点：曲柄OA上的销钉A 动系：固结在摇杆O1B上，
牵连运动为定轴转动 静系：固结在地面上
va r
根据速度合成定理， 作速度平行四边形。
C
φ
ve
动系：固结在导管E上， 定轴转动
静系：固结在地面上
L
(1)求 vr 和ωE
E
va vCD v
B
根据速度合成定理，作速
度平行四边形。
已知：水平杆CD的速度 v 和加速度 a，L、φ。
由图中几何关系可得：
求：导管E的角速度ωE和 vr va cos ve va sin
角加速度αE；摆杆AB在导
L
B
k
o i
j
uuv
L sin 450
ωα
uauvk
ae
o
uuv aen
M
将式(1)分别向X、Y、Z轴投影，得
aax ae ak 2 L 2U 2
aay aen ar sin 450 2 W 2L 2
aaz ar cos 450 2W 2
uuv uuv v v v aM aa aax i aay j aaz k
uuv d vr dt
ε
ωr
i'
ro'
k
o
ij
uv
uv
v
dve
dt
d dt
uv v
r
d
dt
v uv
r
dr dt
v v uv uuv
r va
v v uv uv uuv v v uv uv uv uuv uuv uv uuv
r
uuv d vr dt
d dt
•
x
'
ve
v i'
•
例3：正方形板ABCD
D
ω
C
α
MW U
A
L
B
k
o i
j
uuv
L sin 450
ωα
uauvk
ae
o
uuv aen
M
已知：板的角速度ω、角加速度α， AM=L,M点在AC槽中运动的速 度U和加速度W
求：图度示auuMv瞬时M点相对于地面的加速 解：动点：M点
动系：固结在板上，定轴转动 静系：固结在地面上
aen
12O1A
2r
8
ak 21vr 3 2r 4
根据牵连运动为定轴转动时
点的加速度合成定理，有
uuv uuv uuv uuv uuv
aa aen ae ar ak
(1)
建立X轴，如图所示
将式(1)向X轴投影，得
aa cos ae ak
解得： ae 32r 4
Q ae 12r 1 32 8
R
ak 21vr 2 2R
y
根据牵连运动为定轴转动时
B
α2 ω2
A
α1 ωo1
uuv
arn
uuv aen
vr
Muuv ae
uuv ar
x
点uuv的加uuv速度uuv合u成uv 定uu理v ，uuv有 aa aen ae arn ar ak (1) 建立X、Y轴，如图所示 将式(1)向X、Y轴投影，得
uuv 2 L 2U v
aM
2
i
2 W 2L v
j 2
2W
v k
2
12
问题
图示两种情况的 科氏加速度分别 为多少？
D
ω
WC
α
U M
A
B
k
o i
j
(a)
D
ω
C
α
UW
M
A
B
k
o i
j
(b)
答案： a ak 0 b ak 2U 方向与X轴相反
13
例4：平面机构
解： 动点：销钉A点
v
a
Avr Dva
ae r ve
相对加速度
uuv •• v •• uv •• uuv ar x 'i ' y ' j ' z ' k '
2
根据速度合成定理，有
uuv uv uuv
va ve vr
k' j' r'
将上式两边对时间t求导，可得
绝对速度 其中：
uuv aa
uuv d va dt
uv d ve dt
ve
ωo1
vr
M
17
(1)求M点的绝对速度 va
动点：圆盘边缘M点 动系：固结在直角折杆OBA上，
牵连运动为定轴转动 静系：固结在地面上
ve vr R
根据速度合成定理， 作速度平行四边形。
由图中几何关系可得：
va ve2 vr2 2 R
450
答案：
作加速度图
aen arn 2R ae ar R
vr U
ar W
aen 2L sin 450 2 2L 2
ae L sin 450 2 L 2
ak 2vr sin 450 2U
11
根据牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理，有
uuv uuv uuv uuv uuv
aa aen ae ar ak
(1)
D
ω
C
α
MW U
A
§8-4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理
一.内容
当牵连运动为定轴转动时，某瞬时动点的绝对 加速度等于它的牵连加速度、相对加速度和科氏加 速度的矢量和，即
uuv uuv uuv uuv
aa ae ar ak
a
1
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二.证明
静系:OXYZ
动系:O’X’Y’Z’,绕Z轴作定轴转动 角速度ω，角加速度ε， iv'、ujv' 、kuuv' 为变矢量。
管E中的运动速度 vr 和加 速度 ar 。
E
ve AE
va sin L sin
v sin2
L
14
y
x
v
a
Avr ar
C L
φ
aa aen
ae
D
ak
E ωE
B
(2)求 ar 和αE
作加速度图
aa aCD a
aen
2 E
AE
v2
sin3
L
ak 2Evr 2v2 sin2 cos L 根据牵连运动为定轴转动时点
(b)
其中
uuv aan
va2
a
,
uuv aen
ve2
e
,
uuv arn
vr2
r
a 、r 分别为绝对轨迹、相对轨迹在此瞬时动点 所在位置的曲率半径，e 则是该瞬时牵连点的绝 对轨迹的曲率半径。
5
三.科氏加速度
uuv uv uuv
ak 2 vr
科氏加速度是由于牵连运 动和相对运动相互影响而 产生的附加加速度。
动点:M点，相对动系O’X’Y’Z’有运 动
根据定轴转动刚体上各点速
ε ωr
k o ij
k' j' r'
i' ro'
度和加速度的矢量表示，有
牵连速度 相对速度
uv uv v
ve r
牵连加速度
uuv • v • uv • uuv
vr x 'i ' y ' j ' z 'k '
uuv v v uv uv
大小： ak 2vr sin
方向：按右手法则确定
若
uv
uuv vr
则
ak 2vr
若
uv
‖
uuv vr
则
ak
0
6
uuv vr
θ
uv
uuv ak
(1)
uv
uuv
uuv
ak
vr
(2)
四.举例
例1:某一河流在北半球纬度为φ处沿经线自南向北以速度 vr流动。考虑地球自转的影响，求河水的科氏加速度。
北 zω
y
vr
uv ' j'
•
z'
uuv k'
r
••
x'
v i'
ve
••
y'
uv j'
vr
••
z'
uuv k'
ae vr
• v• • u•v x 'i ' y ' j '
•
z
'
uu•v k'
uuv
(1)
(2)
(1) ＝ ar
3
由第八章第四节的内容可知
v• uv v
i' i'
u•v uv uv
Vr φ
M
西
oφ y
x
南
7
解：
动点：北半球纬度为φ处的河水水滴M
动系：与地球固连，定轴转动
uuv uv uuv
Q ak 2 vr ak 2vr sin
北
z
Vr
ω
ω
φ
西
k
M
oφ
y
x
uuv ak
的方向由右手螺旋法则确定，
南
它垂直于ω与vr所在的平面，沿纬线在点M的切线指向
西边，如图所示。
8
例2：牛头刨床的急回机构
j' j'
uu•v uv uuv
k'k'
2
•
x
v• • 'i ' y
'
u•v • uu•v j ' z ' k '
uuv d vr dt
uuv ar
uv
•
x
'
v i'
uv uuv
vr
•
y
'
j
'
•
z'
k
'
来自百度文库
uv
uuv vr
uuv uuv uuv uv uuv
uuv uv uuv aa ae ar 2 vr