考点16 三角函数性质——2021年高考数学专题复习讲义

周期为 的所有函数为
。
4．函数
y
cos2
x
4
sin
2
x
4
的最小正周期为
。
5． 给 出 四 个 函 数 （ 1） y 3 sin x cos x 3 cos x sin x ； （ 2） y sin4 x cos4 x ； （ 3）
y sin x ；（4） y sin 2x cos 2x .其中最小正周期为 的函数个数为 。
相消法、错位相减法、倒序相加法等）进行求解。如有其它问题，注意放缩法 证明，还有就是数列可以看成一个以 n 为自变量的函数。 第二题是立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法（判定定理、性质定 理），注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中 点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。计算题主要是体积， 注意将字母换位(等体积法)；线面距离用等体积法。理科还有求二面角、线面角 等，用建立空间坐标系的方法（向量法）比较简单，注意各个点的坐标的计 算，不要算错。 第三题是概率与统计题，主要有频率分布直方图，注意纵坐标（频率/组距）。求 概率的问题，文科列举，然后数数，别数错、数少了啊，概率=满足条件的个数 /所有可能的个数；理科用排列组合算数。独立性检验根据公式算 K 方值，别算 错数了，会查表，用 1 减查完的概率。回归分析，根据数据代入公式（公式中 各项的意义）即可求出直线方程，注意（x 平均，y 平均）点满足直线方程。理 科还有随机变量分布列问题，注意列表时把可能取到的所有值都列出，别少 了，然后分别算概率，最后检查所有概率和是否是 1，不是 1 说明要不你概率 算错了，要不随机变量数少了。 第四题是函数题，第一步别忘了先看下定义域，一般都得求导，求单调区间时 注意与定义域取交。看看题型，将题型转化一下，转化到你学过的内容（利用 导数判断单调性（含参数时要利用分类讨论思想，一般求导完通分完分子是二 次函数的比较多，讨论开口 a=0、a<0、a>0 和后两种情况下 delt<=0、 delt>0）、求极值（根据单调区间列表或画图像简图）、求最值（所有的极值点 与两端点值比较）等），典型的有恒成立问题、存在问题（注意与恒成立问题的
对称
。
B．关于直线 x 对称 4
D．关于直线 x 对称 3
2．函数 f (x) sin 2x 3 cos 2x 的对称中心坐标为
。
3．若函数
f
(x)
sin(2x
)(
0)
的图象关于点
3
,
0
对称，则
的最小值为
。
4．已知函数 f x 2
3 cos2
2
x
7 12
sin
4
x
6
【思维导图】
考点 16 三角函数性质
【常见考法】
考点一：周期
1．函数
f
(x)
cos2
x
3
的最小正周期为
。
2．函数 y tan x （其中 0 ）的最小正周期是 2 ，则
。
3．在下列四个函数，①
y
sin
x
②
y
cos 2x
③
y
2 sin
2x
3
④
y
2
tan
x
10
中，最小正
的取值范围是
。
42
5．若 f x cos x 3 sin x 在a, a上是减函数,则实数 a 的取值范围是
。
6．已知函数
f
(x)
2 cos x
3
(
0)
在
3
, 2
上单调递增，则
的取值范围
。
考点四：对称性
1．函数
y
sin
2
x
3
的图象
A．关于点
3
,
0
对称
C．关于点
4
,
0
6．已知函数
f
x
tanx 1 tan2 x
，则函数
f
x
的最小正周期为
。
1．函数 y 2 cos 2x 1 的定义域是
考点二：定义域 。
2．函数
y
3tan
2
x
π 4
的定义域是
。
3．求函数 y | sin x | cos x 的定义域
。
4．函数 f (x) x ln(sin x cos x) x 2 的定义域为
12
π
B．
6
π
C．
3
5π
D．
12
3．如图是偶函数 f x Asin(x ) A 0, 0, 0 的部分图像， KML 为等腰直角三角
形， KML
90 ，
KL
1 ，则
f
1 6
（
）
A． 3 4
B． 1 4
C． 1 2
D． 3 4
4．函数
f
x sin(x ) 1(
，则
f
x
的图象的对称中心为
。
5．函数
f
x
cos x sin 1 2 cos2
x x
的一个对称中心为
。
6．已知 f x
2
cos
x
3 4
且
1 2
，
xR
，若
f
x 的任何一条对称轴与
x
轴交点的横坐标都
不属于区间 3 , 4 ，则 的取值范围是
。
考点五：奇偶性
1．已知函数 f x sin 2x ， 0, 是偶函数，则 ______.
。
6
A．向右平移 个单位
6
B．向右平移 个单位
12
C．向左平移 个单位
6
D．向左平移 个单位
12
3．已知函数
f
x sin x ，
0,
2
图象相邻两条对称轴的距离为
2
，将函数
y f x 的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于 y 轴对称，则函数 y f x 的图象
。
B．
f
(x)
在
19 12
,
31 12
上单调递增
D．直线 x 17 是曲线 y f (x) 的一条对称轴 12
2．已知函数 f (x) Asin( x ) ( A 0, 0, π )的部分图象如图所示，若 2
f (a x) f (a x) 0 ，则 a 的最小值为
。
π
A．
3
A．关于直线 x 2 对称 3
B．关于直线 x 2 对称 3
C．关于点
2 3
,
0
对称
D．关于点
2 3
,
0
对称
4．已知函数
f(x)＝cos
x
2 3
(x∈R，ω>0)的最小正周期为
2
，为了得到函数
g(x)＝sinωx
的图象，只
要将 y＝f(x)的图象
。
7
7
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
数学无耻得分综合篇！ 做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇 到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特 殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证
法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。填空题也 是，比较简单的会的就正常做，复杂的题如果答案是一个确定的值时，看能否 用特殊值代入法以及特例求解法。选择填空题的答题时间要自己掌握好，遇到 不会的先放下往后答，我们的目标是把卷子上所有会的题都答上了、都答对 了，审题要仔细（一个字一个字读题），计算要准确（一步一步计算），千万不 要有马虎的地方。 大题文科第一题一般是三角函数题，第一步一般都是需要将三角函数化简成标 准形式 Asin（wx+fai）+c，接下来按题做就行了，注意二倍角的降幂作用以及 辅助角（合一）公式，周期公式，对称轴、对称中心、单调区间、最大值、最 小值都是用整体法求解。求最值时通过自变量的范围推到里面整体 u=wx+fai 的 范围，然后可以直接画 sinu 的图像，避免画平移的图像。这部分题还有一种就 是解三角形的问题，运用正弦定理、余弦定理、面积公式，通常有两个方向， 即角化成边和边化成角，得根据具体问题具体分析哪个方便一些，遇到复杂的 题就把未知量列成未知数，根据定理列方程组，然后解方程组即可。 理科如果考数列题的话，注意等差、等比数列通项公式、前 n 项和公式；证明 数列是等差或等比直接用定义法（后项减前项为常数/后项比前项为常数），求数 列通项公式，如为等差或等比直接代公式即可，其它的一般注意类型采用不同 的方法（已知 Sn 求 an、已知 Sn 与 an 关系求 an（前两种都是利用 an=Sn-Sn1，注意讨论 n=1、n>1）、累加法、累乘法、构造法（所求数列本身不是等差 或等比，需要将所求数列适当变形构造成新数列 lamt，通过构造一个新数列使 其为等差或等比，便可求其通项，再间接求出所求数列通项）；数列的求和第一 步要注意通项公式的形式，然后选择合适的方法（直接法、分组求和法、裂项
。
考点三：单调性
1．函数
y
sin
x
4
的一个单调递减区间是
。
A．
2
,
3 2
B．
4
,
5 4
C．
2
,
2
D．
3 4
,
4
2．函数
y
sin
4
2x
的单调递减区间为
。
3．函数 y tan x 1 的单调递增区间是
。
4．已知
0
，函数
f
(x)
sin( x
)
在(
, )
上单调递减，则
0)
个单位长度后得到函数
g(x)
的图象，若函数
g(x) 的图像关于 y 轴对称，则 的最小值为
。
A．
2
B．
3
C．
6
D．
12
如何学好数学
1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致 k 算不出，这时你可以取特殊值 法强行算出 k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解 的表达式，就 ok 了 2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差 2 倍的小的 就是答案，体积找到差 3 倍的小的就是答案，屡试不爽！ 3.三角函数第二题，如求 a(cosB+cosC)/(b+c)coA 之类的先边化角然后把第一题算
5．已知函数 f (x) (1 cos 2x)(1 cos2 x), x R ，则 f (x) 是
。
A．最小正周期为 的奇函数
C．最小正周期为 的奇函数
2
B．最小正周期为 的偶函数
D．最小正周期为 的偶函数
2
6．若函数
y
2 sin2
x
sin
3x 2
4
既存在最大值
M
，又存在最小值
m
，则 M
6
6
7
7
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
24
24
5．已知函数 f x cos 2x
3
sin
2x
2
的图象向右平移 12
个单位后关于 y 轴对称，
则
f
x
在区间
é êêë
p 2
ù , 0úúû上的最小值为______.
6．已知函数
f
(x)
cos
2x
3
的图象向右平移 (
m 的值为
。
sin2 x 2 cos2 x
7．设函数
f
(x)
(sin x 1)2 sin2 x 1
的最大值为 M
，最小值为 m
，则 M
m
________.
考点六：值域
1．函数
y
sin
x
π 4
cos
π 4
x
的最大值为
。
2．函数
f
x
sin
x
Leabharlann Baidu 3
，
x
2
,
3
的值域是
。
3．函数
2．已知 f (x) sin(2x ),
2
, 2
，且
f
x
6
为偶函数，则
φ=________.
3．已函数
y
f
(x) cos x 是奇函数，且
f
3
1 ，则
f
3
。
4．已知 f x sin x 3 cos x 是偶函数,则所有满足条件的 的值组成的集合为______
0，
) 的部分图像如图所示，将
f
x 的图像向右平移 个单位
2
4
长度后得函数 g x 的图像，则 g x
。
A．
sin
2
x
2 3
C．
sin
2
x
3
1
B．
sin
2x
3
D．
sin
2
x
3
1
考点八：图像变换
1．要得到函数
y
sin
2x
的图象，只需要将函数
y
cos
2
x
3
的图象
。
A．向右平移 个单位长度
6 C．向右平移 个单位长度 12
B．向左平移 个单位长度
6 D．向左平移 个单位长度 12
2．已知函数
f
(x) sin(x ) （其中
0,
）图象相邻对称轴的距离为
，一个对称中心为
2
2
( , 0) ，为了得到 g(x) cosx 的图象，则只要将 f (x) 的图象
f
(x)
cos 2x
π 6 cos(
x)
的最大值为
。
2
4．函数 y 2 cos x (x R) 的最大值为
。
2 cos x
5．函数 f x (1 3 tan x) cos x 的最大值为__________.
6．设当 x 时，函数 f (x) sin x 2 cos x 取得最大值，则 cos ______.
的比如角 A 等于 60 度直接假设 B 和 C 都等于 60°带入求解。省时省力！ 4.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想 不出的那个结论即可。如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直 接用！用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有 2 分可以 得！ 5.立体几何中第二问叫你求余弦值啥的一般都用坐标法！如果求角度则常规法简 单！ 6.高考选择题中求条件啥的充要和既不充分也不必要这两个选项可以直接排除！ 考到概率超小 7.选择题中考线面关系的可以先从 D 项看起前面都是来浪费你时间的 7.选择题中求取值范围的直接观察答案从每个选项中取与其他选项不同的特殊点 带入能成立的就是答案 8.线性规划题目直接求交点带入比较大小即可（这个看楼下的说用这条要碰运 气，文科可以试试。） 9.遇到这样的选项 A 1/2 B 1 C 3/2 D 5/2 这样的话答案一般是 D 因为 B 可以看 作是 2/2 前面三个都是出题者凑出来的 如果答案在前面 3 个的话 D 应该是 2(4/2).
wx
cos
wx
(w
0)
在区间
4
,
3
上恰有一个最大值点和一个最小值点，
则实数 的取值范围是
。
考点七：解析式
1．函数 f (x) Asin( x )( A 0, 0) 的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是 。
A． f (x) 的最小正周期是 2
C．
f
(x)
在
17 12
,
5 12
上单调递增
7．函数 f x sin x 2 cos x 的值域为
。
8．函数
f
x
cos x
3
0 在0,
上的值域为
1 2
,1
，则
的取值范围是
。
9．函数
f
x
sin
x
3
0 ，当 x 0, 时函数
f
x
的值域为
3 ,1 ，则函数
2
f
x 的最
小正周期的取值范围是
。
10．已知函数 f (x)
3
sin