透镜的傅里叶变换性质 PPT课件

exp[ jkd0
jd 0
]
exp
jk
(x
x0
)2 ( 2d 0
y
y0
)2
可写成:
dUl (x0, y0; x, y)
1
jd0
exp
jk
(x
x0
)2 (y 2d0
y0
)2
x0, y0 平面上的一 个点源，在透镜前
平面上产生的分布。
§3.4 相干照明衍射受限系统的成像分析
1、透镜的点扩散函数 dUl (x0, y0; x, y)
(q
x
d0
)
,
(q
y
d0
)
仍为物体的F.T., 但
1.仍有二次位相因子 2. 频谱面取值fx =xf /qd0), fy = yf / qd0), 随距离d0 而变. 通过调整d0, 可改变频谱的尺度
当d0=0时，结果与物在透镜前相同，即物从两面紧贴透镜都
是等价的。
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
f0
f0=100, (q-d0) =3.610-3
I0
-0.36 -3.610-3 0 3.610-3
0.36
xf
作业
3.00: 一个边长为 a 的方孔，放在焦距为 f 的透镜的前
焦面上，孔中心位于透镜的光轴。用波长为 的单色
平面波垂直入射照明，求透镜后焦面上的光场复振幅 分布和光强度分布。
解：由几何关系可知，在物面上投影光瞳大于物体尺寸，故可
不考虑透镜孔径的效应。
单位振幅的单色平面波垂直照明，q=f, 透镜后焦面上出现物体的 傅里叶变换，但有一个二次位相因子。
复振幅分布：U
(x,
y)
c'
exp
j
2(q
k
d0
)
(x2
y2
)T
(q
x
d0
)
,
(q
y
d0
)
x’-y’
x0-y0
∑p
t(x,
y)
1 2
1
cos
2f0
x0
rect
x0 L
rect
y0 L
L=1cm, f0=100周/cm
将
fx
(
xf f d0)
代入,并取
=0.6mm:
I(xf
)
I
0
2
s
inc2
L
(
xf f
d0
)
1 4
s
inc2
L
xf
(
( f
f d0 d0)
)
f
0
1 4
s
inc
2
L
xf
( f d0) ( f d0)
Imaging Analysis of Diffraction-limited Systems under
Coherent Illumination
目的: 从单透镜的点扩散函数入手, 研究评价 透镜成像质量的频域方法
物平面上小面元的光振动为单位脉冲即δ函数时，通过透镜产生的像场
分布函数称为点扩散函数或脉冲响应。通常用 hxo , yo ; xi , yi 表示。
∑p
∑0
d0
f
S’
2
I (x,
y)
T
(q
x
d0 )
,
(q
y
d0 )
T(
fx,
fy)
L2 2
fx, fy
1
2
fx f0, fy
1
2
fx
f0,
fy
s
incLf
x
sinc
Lf y
T(
fx,
fy
)
I0
s
incLf
x
sinc
Lfy
1 2
sincL(
fx
f0 )sinc
Lfy
幅和位相.
fy = cosb = yf /f
∴ 透镜的后焦面是物体的频谱面. #
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
透镜的后焦面是输入物体的频谱面
透镜后焦面上不同位置的点,对应物体衍射光场的不同空 间频率分量
x0 fx2
xf fx2> fx1
fx1
f
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
透镜的后焦面是输入物体的频谱面
F.T.
F.T.
频谱点出现在与空间条纹结构垂直的方向上.
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
变换的尺度问题
对应于物的同一空频分量, 变换的尺度随波长和焦距而变
2
1
f1
f2
xf = f fx, yf = f fy
2>1
f2 > f1
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
3、透镜的孔径效应
透镜光瞳函数为P(x, y)
§3.2 透镜的傅里叶变换性质 物理解释
后焦面上光场分布与频谱的对应关系
物分布t (x0,y0)是一个复杂结构, 含有 多种空频成分.它调制入射的均匀平 面波,使透射光场携带物体的信息.
透射光场的角谱代表物函数的频谱,
即含有向不同方向衍射的许多平面
波. 其中向 角方向衍射的平面波分
量经过透镜后聚焦到(0, yf)点.
物在透镜前: 投影光瞳函数更复杂一些，暂不讨论。
例题
单位振幅的单色平面波垂直照明一个直径为5cm,焦距为80cm 的透镜。在透镜的后面20cm的地方，以光轴为中心放置一个余弦 型振幅光栅，其复振幅透过率为
t(x,
y)
1 2
1
cos
2f0
x0
rect
x0 L
rect
y0 L
假定L=1cm, f0=100周/cm, =0.6mm。 画出焦平面上沿 xf 轴的强
§3.2 透镜的傅里叶变换性质：小结
我们特别关注物在透镜前, q=f, d0=f 的特殊情形。此时
U (x, y) c
t(x0, y0 ) exp
j
2
x
f
x0
y
f
y0 dx0dy0
c
t(x0, y0 )
f
x
x f
,
f
y
y f
用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦面，则在 透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦 面称为频谱面。
不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光 源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之 间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都 是夫琅和费型。
透镜的作用
:透镜将照明光波变换成会聚球面波, 会聚点是照明点 光源的共轭像点.从而在此会聚点处(注意:不是物本身 的像点)得到物的F.T., 但比例尺度改变.
jdi
)
dUl(x0
,
y0
;
x,
y)
exp
jk
(xi
x)2 ( 2di
yi
y)2
dxdy
弃去常数位相因子,
h(x0 , y 0 ; xi ,
yi )
1
2 d 0 d i
exp jk
xi2 yi2 2d i
exp jk
x02 y02 2d 0
物像平面的共 轭关系满足高 斯公式
P(
x,
y)
exp
j
k 2
1 di
1 d0
1 f
(x 2
y
2
)
exp
jk
xi di
x0 d0
x
yi di
y0 d0
ydxdy
§3.4 相干照明衍射受限系统的成像分析
物平面上任一小 面元的光振动
成像 系统
像平面上所造成 的光振动分布
脉冲 响应
线
将透镜成像看成线性不变系统的变换
性 叠
任何物面
系统
像面光
像面强
加
光场分布
场分布
度分布
§3.4 相干照明衍射受限系统的成像分析 1、透镜的点扩散函数
单色光照明
紧靠物后的复振幅分布: U0(x0’,y0’)
x-y
(x0’,y0’)点处发出的单位脉冲为
(x0-x0’, y0 -y0’)
沿光波传播方向，逐面计算后面三
个特定平面上的场分布。可最终导
出一个点源的输入输出关系。
利用菲涅耳公式，透镜前表面:
dUl
( x0
',
y0 ';
x,
y)
exp( jkd0
jd0
)
( x0
ห้องสมุดไป่ตู้
x0
,
y0
y0
)
exp
jk
(x
x0
)2 ( 2d0
y
y0
)2
dx0dy0
透镜的复振 t(x透, y)镜的expF[.Tj.性k 质(x2 y 2 )]
幅透过率：
2f
物体放在焦距为 f 的透镜的前焦面，
用波长为 的单色平面波垂直入射
物函数t(x0,y0)的准 确的傅里叶变换
照明，在透镜后焦面上得到：
变换的空频坐标与后焦面 空间坐标 xf, yf 的关系：
fx
xf
f
,
fy
yf
f
数学表达式：U (x f
,
yf
)
c'T (
fx,
fy)
f
x
xf f
,
f
y
yf f
会聚球面波的 复振幅表达式
U (x, y) exp( jkz) exp[ j k (x2 y2 )]
jz
2z
exp( jkz)exp jz( fx2 fy2)
U
0
(
x0
,
y0 ) exp[
j
k 2z
1
jd0
exp
jk
(x
x0
)2 (y 2d0
y0
)2
透镜后的透射光场复振幅:
dU l( x0 ,
y0; x,
y)
P(x,
y) exp
jk
x2 y2 2f
dUl (x0,
y0; x,
y)
透镜后表面xi,yi平面: 再次运用菲涅耳衍射公式：
h(x0
,
y0 ;
xi
,
yi
)
exp( jkdi
物体紧靠透镜：有效物函数为 t(x0 , y0 )Px0 , y0
物在透镜后: 透镜形成会聚球面波, 在物面上形成投影光瞳函数:
P
x0
q
q d0
,
y0
q
q d0
x’-y’
x0-y0
x-y
∑p
有效物函数为
S’
∑0
t ( x0 ,
y0 )P
x0
q
q d0
,
y0
q
q d0
d0 q
在频谱面上得到有效物函数的傅里叶变换。
fx ,0)
I
0
s
incLf
x
1 sincL(
2
fx
f0 )
1 sincL(
2
fx
f
0
)
∵f0>>1/L,
∴
T(
f x ,0) 2
I
0
2
s
inc2
Lf
x
1 sinc2L(
4
fx
f0 )
1 sinc2L(
4
fx
f
0
)
q =f
将
fx
xf
( f d0)
代入,并取 =0.6mm:
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
如果孔中心与光轴的距离为b,结果会如何？
3.01: 物体放在透镜前方，采用平面波垂直照明对物 体作傅里叶分析。设物体包含的最低空间频率为 20周/mm, 最高空间频率为200周/mm， 照明光波长为
=0.6mm。若希望谱面上最低频率成分与最高频率成
分之间间隔50mm，透镜的焦距应取多大？
§3.4 相干照明衍射受限系统的成像分析
y0
2
)]
fx
x
z
,
fy
y
z
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2. 物在透镜后方
对于平面波照明，得到：
U (x,
y)
cexp
jk
x2
2 f
y2 d0
T
(
fx,
fy)
fx
(
x0 , f d0)
fy
(
y0 f d0)
对于球面波照明，得到：
U
(x,
y)
c' exp
j
2(q
k
d0
)
(x2
y
2
)T
( x0 2
y0
2
)]
fx
x
z
,
fy
y
z
菲涅耳衍射的F.T. 表达式（空域）
U (x f
,
yf
)
c'T (
fx,
fy)
f
x
xf f
,
f
y
yf f
U (x,
y)
a0 z
exp( jkz) exp
j
k 2z
(x2
y 2 )
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2.物在透镜后方,平面波照明
x’-y’
透镜前|后平面
1 2
sincL(
f
x
f0 )sinc
Lfy
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
t(x,
y)
1 2
1
cos
2f0
x0
rect
x0 L
rect
y0 L
L=1cm, f0=100周/cm
强度分布:
I
(x,
y)
T
(q
x
d0
)
,
(q
y
d0
)
2
沿fx轴:
T(
度分布。标出各衍射分量之间的距离和各个分量的宽度（第一个
零点之间）的数值。
x’-y’ x0-y0
xf-yf
∑p
∑0
S’
d0
f
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
t(x,
y)
1 2
1
cos
2f0
x0
rect
x0 L
rect
y0 L
L=1cm, f0=100周/cm
由几何关系易见:
后焦面上(0, yf)点的复振幅,对应空频为
yf = ftan fsin (fx =0, fy = yf /f) 的平面波分量的振幅
= fcosb (近轴近似) 和位相.
方向余弦
推广之, 任意 (xf, yf)点的复振幅, 对应空频
此平面波分量的空频
为 (fx =xf /f, fy = yf /f) 的平面波分量的振
P1 | P2
x0- y0
x-y
Ul’
t (x0,y0)
∑p
d0
∑0: 输入面
f
z
S’
输出面
第一步：直接写出∑0 前表面的光场分布：
U (x0, y0 )
f
1 d0
exp
j
2(
f
k
d0
)
(
x02
y02
)
第二步：写出∑0后 表面的光场分布：
U '(x0, y0 )
f
1 d0
exp
j
2(
∑p
∑0: 输入面
输出面
d0
f
第三步：由x0-y0平面传输到观察平面x-y上造成的场分布为（利 用 Fresnel衍射的F.T.表达式，注意 z=f-d0 ）：
U (x, y) exp( jkz) exp[ j k (x2 y2 )]
jz
2z
U
'
(
x0
,
y0 ) exp[
j
k 2z
( x0 2
f
k
d0
)
( x0 2
y02
)t ( x0
,
y0
)
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2. 物在透镜后方，平面波照明
U
' ( x0
,
y0
)
c
exp
透j 2镜(xP’f前-1ky||后’Pd20平) (面x0
2
y02
)t ( x0 ,
x0-
y0
y0
)
x-y
Ul’
t (x0,y0)
z
x, y
S’
∑0
d0
f
xf-yf 强度分布:
2
S’
I
(x,
y)
T
(q
x
d0
)
,
(q
y
d0
)
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
t(x,
y)
1 2
1
cos
2f0
x0
rect
x0 L
rect
y0 L
L=1cm, f0=100周/cm
x’-y’
x0-y0
xf-yf 强度分布: