江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学(理)试卷(有答案)

江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考理科数学试卷主命题：新余四中 辅命题：鹰潭一中 临川二中第I 卷（选择题：共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分．每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意) 1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，1{|0,}4x B x x Z x-=>∈-，则A B =I ( ) A ．{2,3} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2,3} D ．{1,2,3,5} 2．已知复数133iz i+=-，则z =( ) A．2B ．2C ．1D ．123．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，()()2log 1f x x =-，则()()7f f =( )A ．1-B ．2-C ．1D ．24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若136a a +=，10100S =，则5a =( )A ．8B ．9C ．10D ．115．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果，则判断框中应填入()1320S =A ．12k ≤B ． 11k ≤C ． 10k ≤D ． 9k ≤7．已知1,2a b ==，且()a ab ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为( )ABC ．1D 8．把函数())6f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为( ) A ．[,2]ππ B ．4[,]33ππ C ．[,]123ππ D ．5[,]44ππ9．已知右图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的棱的长度中，最大的是( )10．A ．B ．CD 10．以双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点M 为圆心 作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，与y 轴交于,P Q 两点，若3PQ =，则双曲线C 的离心率是( ) A B C ．2 D 11．今有6个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有( )种A ．204B ．288C ．348D ．39612．若曲线()(02)xf x ae ax x =-<<和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ,使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形,AB 交y 轴于点C ，且12AC C B =u u r u r ，则实数a的取值范围是( ) A ．211,10(1)6(1)e e ⎛⎫⎪--⎝⎭ B ．11,6(1)2e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭C ．1,11e ⎛⎫⎪-⎝⎭ D ．211,10(1)2e ⎛⎫⎪-⎝⎭第II 卷（非选择题：共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分。

请将正确答案直接填在答题卡的相应位置)13．若0sin a xdx π=⎰，则9(a x的展开式中常数项为 ．14．在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若2a =，2b c =，1cos 4A =，则ABC ∆的面积等于 ．15．已知关于实数,x y 的不等式组2190802140x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩构成的平面区域为Ω，若(),x y ∀∈Ω，使得()()2214x y m -+-≤恒成立，则实数m 的最小值是 ．16．已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，SD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD 且满足222A B A D D C===，SC =，则球O 的表面积是 ．三．解答题：(本大题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为正项等比数列，满足34a =，且546,3,a a a 构成等差数列，数列{}n b 满足221log log n n n b a a +=+.(Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141n n c S =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且1AD PD ==，平面PCD ⊥平面ABCD ，120PDC ∠=，点E 为线段PC 的中点，点F 是线段AB 上的一个动点． （Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面PBC ；（Ⅱ）设二面角C DE F --的平面角为θ，试判断在线段AB 上是否存在这样的点F ，使得tan θ=AF FB的值；若不存在，请说明理由.19．（本小题满分12分）为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：（记成绩不低于120分者为“成绩优秀”）（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？（Ⅱ）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为X ，求X 的分布列和期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C上的点，12PF F ∆面积的最大值是2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若,OM ON OD +=判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln )f x a x =-，a R ∈．（Ⅰ）若()f x 在(0,1]上存在极大值点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求证：21ln 1)ni i =>∑，其中,2n N n +∈≥．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线C 的极坐标方程为22cos 4sin 4ρρθρθ=-+，直线1l 的极坐标方程为(cos sin )3ρθθ-=．（Ⅰ）写出曲线C 和直线1l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线2l 过点(1,0)P -与曲线C 交于不同两点,A B ，AB 的中点为M ，1l 与2l 的交点为N ，求||||PM PN ⋅．23．（本题满分10分）选修4-5；不等式选讲若关于x（Ⅰ）求实数t 的取值范围；（Ⅱ）若实数t 的最大值为a ，且正实数,,m n p 满足23m n p a ++=，求证：江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考理科数学参考答案一、选择题：二、填空题： 13．672 14.415. 37 16．5π 三、解答题：17.解：(Ⅰ)设等比数列}{n a 的公比为，由题意，得256466a a a q q +=⇒+= 解得2q =或3q =-（舍）…………………2分又3141a a =⇒=所以 1112n n n a a q --== ………………4分221log log 121n n n b a a n n n +=+=-+=- ………………6分(Ⅱ)21()[1(21)]22n n n b b n n S n ++-===．……………7分 ∴211114122121n c n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，…………………9分∴11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ …………………12分 18.解：（Ⅰ） 四边形ABCD 是正方形，∴BC DC ⊥. ∵平面PCD ⊥平面ABCD CD =，∴BC ⊥平面PCD .)0(>q q∵D E ⊂平面PDC ，∴BC DE ⊥.∵AD PD DC ==，点E 为线段PC 的中点，∴PC DE ⊥. 又∵PCCB C =，∴DE ⊥平面PBC .又∵D E ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面PBC .………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知BC ⊥平面PCD ，∵//AD BC ，∴AD ⊥平面PCD . 在平面PCD 内过D 作DG DC ⊥交PC 于点G ，∴AD DG ⊥，故DA ，DC ，DG 两两垂直，以D 为原点，以DA ，DC ，DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -. 因为1AD PD ==，120PCD ∠=，∴PC =∵AD ⊥平面PCD ， 则()0,0,0D ，()0,1,0C，10,2P ⎛- ⎝⎭又E 为PC的中点，10,4E ⎛ ⎝⎭，………………7分假设在线段AB 上存在这样的点F ，使得t a n 3θ=,设()1,,0(0)F m m >，10,4DE ⎛= ⎝⎭，()1,,0DF m =，设平面DEF 的法向量为1(,,)n x y z =， 则110,0,n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴104x my y z +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令y =，则1,3z x m =-=-，则1(,3,1)n m =--………………9分 AD ⊥平面P C D ，∴平面P C D 的一个法向量2(1,0,0)n =,tan θ=,则cos θ=∴12cos cos ,n n θ=<>==. 0m >，解得13m =，∴12AF FB =………………12分19.解：（1）补充的22⨯列联表如下表：根据22⨯列联表中的数据，得2K 的观测值为240(941611)25152020k ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 5.227 3.841≈>， 所以有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.………………5分 （2）X 的可能取值为0，1，2，3，311315(0)C P X C ==1653345591==，………………6分21114315(1)C C P X C ==2204445591==，………………7分12114315(2)C C P X C ==66455=，………………8分 (3)P X ==343154455C C =，………………9分所以X 的分布列为……………10分33446644012391914554555EX =⨯+⨯+⨯+⨯=………………12分 20.解：(1)由2222c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,2a b == 得椭圆C 的方程为22142x y +=.………………4分（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN 的5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立椭圆方程22142y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(12)4240k x kmx m ⇒+++-= 228(42)0k m ∆=+->，2121222424,1212km m x x x x k k --+==++121222()212my y k x x m k +=++=+……………7分MN =………………8分 点O 到直线MN的距离是d =9分由,OM ON OD +=得2242,1212D Dkm mx y k k -==++ 因为点D 在曲线C 上，所以有222242()()1212142km m k k -+++=整理得22122k m +=………………10分由题意四边形OMDN 为平行四边形，所以四边形OMDN 的面积为OMDNS MN d ===………………11分由22122k m +=得OMDN S =, 故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为．………………12分21.解：（1）由于121'()(12ln )2f x x a a x -=--，则①当0a >时，12'()0ln af x x a->⇔<，即当12(0,e)a a x -∈时，'()0f x >，()f x 单调递增； 当12(e ,)aa x -∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；故()f x 在12eaa x -=处取得极大值， 则120e 1aa -<≤，解得：12a ≥； ………………………………3分 ②当0a =时，'()0f x >恒成立，()f x 无极值，不合题意舍去；………………4分③当0a <时，12'()0ln a f x x a ->⇔>， 即当12(0,e)a a x -∈时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当12(e ,)aa x -∈+∞时， '()0f x >，()f x 单调递增；故()f x 在12eaa x -=处取得极小值，不合题意舍去； 因此当12a ≥时，()f x 在(0,1]上存在极大值点； ………………6分（2）法一：令12a =，1()ln )2f x x =-， 由（1）得：()f x 在1x =处取得极大值1，且该极值是唯一的，1ln )12x -≤，即ln 2(1x ≥，当且仅当1x =时取“=”，………………8分 故当2i ≥时，4l 2(1)i i i i i >-->，………………10分 因此212ln n n n i i i i i n ====>-=--=∑∑∑．………………12分法二：下面用数学归纳法证明：21ln 1)n i i =>∑，对,2n N n +∀∈≥恒成立．（1）当2n =时，左边1ln 2ln 2=>=，右边22111)2()22=<⋅=， 左边>右边，结论成立；（2）假设当n k =时，结论成立，即21ln 1)k i i =>∑，当1n k =+时，左边1211ln ln ln(1)1)ln(1)k k i i i i k k +====++>++∑∑21)2(1ln(1)k =-+++，而ln(1)2(1k +-+ln(1)2ln(1)2k k =+->+-，令12a =，1()ln )2f x x =-， 由（1）得：()f x 在1x =处取得极大值1，且该极值是唯一的，则1ln )12x -≤，即ln 2(1x ≥-，当且仅当1x =时取“=”， ………………10分 则ln(1)20k +-+>对k N +∀∈恒成立，即221)2(1ln(1)1)k -+++>成立故当1n k =+时，结论成立，因此，综合（1）（2）得21ln 1)n i i =>∑，对,2n N n +∀∈≥恒成立． (12)分22.（Ⅰ）曲线2:2cos 4sin 4C ρρθρθ=-+的直角坐标方程为：22244x y x y +=-+； 即22(1)(2)9x y -++= 1:(cos sin )3l ρθθ-=的直角坐标方程为：30x y --=.……………4分 （Ⅱ）直线2l 的参数方程1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 将其代入曲线C 的普通方程并整理得24(cos sin )10t t αα---=， 设,A B 两点的参数分别为12,t t ，则124(cos sin )t t αα+=-…………………………………………………7分 因为M 为AB 的中点，故点M 的参数为8分 设N 点的参数分别为3t ，把1c o s s i n x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入30x y --=整理得………10分23.解：（13分 所以3t ≤………………………5分（2）由（1）可知，3a =,则123m p n p∴+≥++………………………10分123m p n p ∴+≥++…………………10分。