江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学(理)试卷(有答案)

江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考
理科数学试卷
主命题：新余四中 辅命题：鹰潭一中 临川二中
第I 卷（选择题：共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分．每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意) 1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，1
{|
0,}4x B x x Z x
-=>∈-，则A B =I ( ) A ．{2,3} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2,3} D ．{1,2,3,5} 2．已知复数133i
z i
+=
-，则z =( ) A
．
2
B ．2
C ．1
D ．
12
3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，()()2log 1f x x =-，则()()7f f =
( )
A ．1-
B ．2-
C ．1
D ．2
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若136a a +=，10100S =，则5a =( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
5．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( )
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果，则判断框中应填入(
)
1320S =
A ．12k ≤
B ． 11k ≤
C ． 10k ≤
D ． 9k ≤
7．已知1,2a b ==，且()
a a
b ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为( )
A
B
C ．1
D 8．把函数())6
f x x π
=
-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移
3
π
个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为( ) A ．[,2]ππ B ．4[,]33ππ C ．[,]123ππ D ．5[,]44
ππ
9．已知右图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的棱的长度中，最大的是( )
10．
A ．
B ．
C
D 10．以双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上一点M 为圆心 作圆，该圆与x 轴相切于C 的
一个焦点F ，与y 轴交于,P Q 两点，若3
PQ =
，则双曲线C 的离心率是( ) A B C ．2 D 11．今有6个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有( )种
A ．204
B ．288
C ．348
D ．396
12．若曲线()(02)x
f x ae ax x =-<<和()3
2
(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ,使得
AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形,AB 交y 轴于点C ，且1
2
A
C C B =u u r u r ，则实数a
的取值范围是( ) A ．2
11,10(1)6(1)e e ⎛
⎫
⎪--⎝⎭ B ．11,6(1)2e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭
C ．1,11e ⎛⎫
⎪-⎝⎭ D ．2
11,10(1)2e ⎛
⎫
⎪-⎝⎭
第II 卷（非选择题：共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分。

请将正确答案直接填在答题卡的相应位置)
13．若0
sin a xdx π
=⎰
，则9(a x
的展开式中常数项为 ．
14．在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，
若2a =，2b c =，1
cos 4
A =，则ABC ∆的面积
等于 ．
15．已知关于实数,x y 的不等式组2190802140x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
构成的平面区域为Ω，若(),x y ∀∈Ω，
使得()()2
2
14x y m -+-≤恒成立，则实数m 的最小值是 ．
16．已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，SD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是
等腰梯形，//AB CD 且满足222A B A D D C
===
，SC =，则球O 的表面积是 ．
三．解答题：(本大题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 为正项等比数列，满足34a =，且546,3,a a a 构成等差数列，数列{}n b 满足221log log n n n b a a +=+.
(Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
(Ⅱ)若数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141
n n c S =
-，求数列{}n c 的前n 项和
n T ．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且1AD PD ==，平面PCD ⊥平面ABCD ，120PDC ∠=，点E 为线段PC 的中点，点F 是线段AB 上的一个动点． （Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面PBC ；
（Ⅱ）设二面角C DE F --的平面角为θ，试判断在线段AB 上是否存在
这样的点F ，使得tan θ=AF FB
的值；若不存在，请说明理由.
19．（本小题满分12分）
为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：（记成绩不低于
120分者为“成绩优秀”）
（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？
（Ⅱ）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为X ，求X 的分布列和期望．
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
临界值表
20.（本小题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2
，焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C
上的点，12PF F ∆面积的最大值是2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若,OM ON OD +=判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数()ln )f x a x =
-，a R ∈．
（Ⅰ）若()f x 在(0,1]上存在极大值点，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）求证：21
ln 1)n
i i =>∑，其中,2n N n +∈≥．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时用
2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲
在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线C 的极坐标方程为
22cos 4sin 4ρρθρθ=-+，直线1l 的极坐标方程为
(cos sin )3ρθθ-=．
（Ⅰ）写出曲线C 和直线1l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线2l 过点(1,0)P -与曲线C 交于不同两点,A B ，AB 的中点为M ，1l 与2
l 的交点为N ，求||||PM PN ⋅．
23．（本题满分10分）选修4-5；不等式选讲
若关于x
（Ⅰ）求实数t 的取值范围；
（Ⅱ）若实数t 的最大值为a ，且正实数,,m n p 满足23m n p a ++=，求证：
江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考理科数学参考答案
一、选择题：
二、填空题： 13．672 14.4
15. 37 16．5π 三、解答题：
17.解：(Ⅰ)设等比数列}{n a 的公比为，由题意，得
256466a a a q q +=⇒+= 解得2q =或3q =-（舍）…………………2分
又3141a a =⇒=所以 11
12n n n a a q --== ………………4分
221log log 121n n n b a a n n n +=+=-+=- ………………6分
(Ⅱ)21()[1(21)]
22
n n n b b n n S n ++-=
==．……………7分 ∴21
11141
22121n c n n n ⎛⎫
=
=
- ⎪--+⎝⎭
，…………………9分
∴
11111
112335212121
n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+
+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥
-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ …………………12分 18.解：（Ⅰ） 四边形ABCD 是正方形，∴BC DC ⊥. ∵平面PCD ⊥平面ABCD CD =，∴BC ⊥平面PCD .
)0(>q q
∵D E ⊂平面PDC ，∴BC DE ⊥.
∵AD PD DC ==，点E 为线段PC 的中点，∴PC DE ⊥. 又∵PC
CB C =，∴DE ⊥平面PBC .
又∵D E ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面PBC .………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知BC ⊥平面PCD ，∵//AD BC ，∴AD ⊥平面PCD . 在平面PCD 内过D 作DG DC ⊥交PC 于点G ，
∴AD DG ⊥，故DA ，DC ，DG 两两垂直，以D 为原点，
以DA ，DC ，DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -. 因为1AD PD ==，120PCD ∠=
，∴PC =∵AD ⊥平面PCD ， 则()0,0,0D ，()0,1,0C
，10,2P ⎛- ⎝⎭
又E 为PC
的中点，10,4E ⎛ ⎝⎭
，………………7分
假设在线段AB 上存在这样的点F ，使
得t a n 3θ=
,设()1,,0(0)F m m >
，
10,4DE ⎛= ⎝⎭
，()1,,0DF m =，
设平面DEF 的法向量为1(,,)n x y z =， 则110,0,
n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
∴
104x my y z +=⎧⎪⎨=⎪⎩，
令
y =，
则
1,3z x m =-=-，
则
1(,3,1
)n m =-
-………………9分 AD ⊥平面P C D ，∴平面P C D 的一个法向量2(1,0,0)n =
,tan θ=,
则
cos θ=
∴12cos cos ,n n θ=<>=
=
. 0m >，解得1
3m =
，∴12
AF FB =………………12分
19.解：（1）补充的22⨯列联表如下表：
根据22⨯列联表中的数据，得2
K 的观测值为2
40(941611)25152020
k ⨯-⨯=
⨯⨯⨯ 5.227 3.841≈>， 所以有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.………………5分 （2）X 的可能取值为0，1，2，3，
311315(0)C P X C ==16533
45591
==，………………6分
211143
15(1)C C P X C ==22044
45591
==，………………7分
121143
15(2)C C P X C ==66
455
=，………………8分 (3)P X ==
343154
455
C C =，………………9分
所以X 的分布列为
……………10分
33446644012391914554555
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=………………12分 20.解：(1)由2222c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩
解得2,2a b == 得
椭圆C 的方程为
22
142
x y +=.………………4分
（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN 的
5分
当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立椭圆方程
22142
y kx m x y
=+⎧⎪⎨+
=⎪⎩222(12)4240k x kmx m ⇒+++-= 2
2
8(42)0k m ∆=+->，2121222
424
,1212km m x x x x k k --+==++
12122
2()212m
y y k x x m k +=++=
+……………7分
MN =………………8分 点O 到直线MN
的距离是d =
9分
由,OM ON OD +=得22
42,1212D D
km m
x y k k -=
=++ 因为点D 在曲线C 上，所以有22
2242()()1212142
km m k k -+++=整理得
22122k m +=………………10分
由题意四边形OMDN 为平行四边形，所以四边形OMDN 的面积为
OMDN
S MN d ===………………11分
由22
122k m +=
得
OMDN S =, 故四边形OMDN 的面积是定值，其定值
为
．………………12分
21.解：（1）由于1
21'()(12ln )2
f x x a a x -=--，
则①当0a >时，12'()0ln a
f x x a
->⇔<
，
即当12(0,e
)a a x -∈时，'()0f x >，()f x 单调递增； 当12(e ,)a
a x -∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；
故()f x 在12e
a
a x -=处取得极大值， 则120e 1a
a -<≤，解得：12
a ≥； ………………………………3分 ②当0a =时，'()0f x >恒成立，()f x 无极值，不合题意舍去；………………4分
③当0a <时，12'()0ln a f x x a ->⇔>
， 即当12(0,e
)a a x -∈时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当12(e ,)a
a x -∈+∞时， '()0f x >，()f x 单调递增；
故()f x 在12e
a
a x -=处取得极小值，不合题意舍去； 因此当12
a ≥时，()f x 在(0,1]上存在极大值点； ………………6分
（2）法一：令12a =，1()ln )2
f x x =-， 由（1）得：()f x 在1x =处取得极大值1，且该极值是唯一的，
1ln )1
2x -
≤，即ln 2(1x ≥，当且仅当1x =时取“=”，………………8分 故当2i ≥时，4
l 2(1)
i i i i i >
-->，………………10分 因此
212l
n n n n i i i i i n ====>-=--=∑∑∑．………………12分
法二：下面用数学归纳法证明：21ln 1)n i i =>∑，对,2n N n +∀∈≥恒成立．
（1）当2n =时，左边1ln 2ln 2=>=，右边22111)2()22
=<⋅=， 左边>右边，结论成立；
（2）假设当n k =时，结论成立，即
21ln 1)k i i =>∑，
当1n k =+时，左边1
211ln ln ln(1)1)ln(1)k k i i i i k k +====++>++∑∑
21)2(1ln(1)k =-+++，
而ln(1)2(1k +-+ln(1)2ln(1)2
k k =+->+-，
令12a =，1()ln )2
f x x =-， 由（1）得：()f x 在1x =处取得极大值1，且该极值是唯一的，
则
1ln )1
2x -≤，即ln 2(1x ≥-，当且仅当1x =时取“=”， ………………10分 则ln(1)20
k +-+>对k N +∀∈恒成立，即
221)2(1ln(1)1)k -+++>成立
故当1n k =+时，结论成立，
因此，综合（1）（2）得
21ln 1)n i i =>∑，对,2n N n +∀∈≥恒成立． (12)
分
22.（Ⅰ）曲线2:2cos 4sin 4C ρρθρθ=-+的直角坐标方程为：22244x y x y +=-+； 即22(1)(2)9x y -++= 1:(cos sin )3l ρθθ-=的直角坐标方程为：30x y --=.……………4分 （Ⅱ）直线2l 的参数方程1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 将其代入曲线C 的普通方程并整理得24(cos sin )10t t αα---=， 设,A B 两点的参数分别为12,t t ，则
124(cos sin )t t αα+=-…………………………………………………7分 因为M 为AB 的中点，故点M 的参数为8分 设N 点的参数分别为3t ，把1c o s s i n x t y t αα=-+⎧⎨=⎩
代入30x y --=整理得
………10分
23.解：（1
3分 所以3t ≤………………………5分
（2）由（1）可知，3a =,则
123m p n p
∴+≥++………………………10分
123m p n p ∴
+≥++…………………10分。