概率统计试题选讲1-6章

0,
FY
(
y)
2
arcsin 1,
y,
y0 0 y 1
y 1
(2)所以
2
fY ( y)
1 ,0 y 1 1 y2
0, 其它
17、已知二维随机变量 (X,Y)的概率密度为
2xy,0 x 1,0 y 2x f (x, y) 0,其它
试求：（1）Z=max(X,Y)的分布函数FZ(z)； （2）Z=max(X,Y)的概率密度FZ(z). 解 （1） Z=max(X,Y)的分布函数为
(3)当-1≤y<0时，
FY ( y) P{Y y} P{sin X y}
f (x)dx 0 sin y
(4)当0≤y<1时，
FY ( y) P{Y y} P{sin X y}
f (x)dx
sin x y
arcsin y 0
2x
2
dx
arcsin
y
2
x
2
dx
2 arcsin y
6、有n个白球与n个黑球任意地放入两 个袋中,每袋装n个球.现从两袋中各取 一球,则所取两球颜色相同的概率为 _______
P(A) n 1 2n 1
7、某城市内有N部卡车,车牌号从1到N,有 一个外地人到该城去,把遇到的n部车子的 牌号抄下来(可能重复抄到某些车牌号),则 抄到的最大号码正好为k的概率为
（1）试写出X的分布律，求Y的分布律; （2）求EX,EY
解 （1） 以Ai和Bi分别表示甲乙在第i轮 射击中击中目标.显然X,Y是离散型随机 变量.
根据题意知
{X 1} A1 A1B1 P{X 1} P( A1 ) P( A1B1 ) P( A1 ) P( A1 )P(B1 ) 0.79
y2 2
e
y2 2
dy
5
2
6
e
y2 2
dy
5
2
6
y2
e2
5y4dy
2
5 6
y2
e2
y 4 dy
2
5 6
y4
(
1
)de
y2 2
2
y
5 6
y3
de
y2 2
2
5 6
y3
e
y2 2
e
y2 2
dy
3
2
5 6
e
y2 2
dy
3
2
5 6
y2
e2
ex
|
a
2
得 a 2
(2) X的分布函数为
x
xa
F (x) f (t)dt
et et dx
2
x et
e2t
dt 1
2
arctan
et
|x
2 arctan ex
x
(3) P{0 X ln 3} F (ln 3) F (0)
2 ( ) 1 3 4 6
12、有甲、乙两炮向同一目标轮流射击,直 至有一炮击中目标为止.甲、乙两炮击中的 概率分别为0.3和0.7,规定甲炮先射.以X和Y 分别表示甲、乙两炮所用炮弹数.
___________
k n (k 1)n Nn
(1 k N)
提示：最大号码小于等于K的概率
P
kn Nn
8、袋中装有r红球,w个白球,从中作有放回 的抽取,每次取一球，这样抽取n次(n>2)， 则在n次抽取中恰好有两次取到白球的概率 为 ______
Cn2
(
w w
r
)2
(
w
r
)n2 r
Cn2
P{Y a} p, P{Y b} 1 p, (0 p 1)
并且X与Y相互独立，则随机变量 Z=X+Y的分布函数FZ(z)=_______
FZ (z) P{X Y z}
P{Y a, X z a} P{Y b, X z b}
P{Y a} P{X z a} P{Y b} P{X z b}
P( X 1)
P( X 1) P( X 4)
0.2 0.2 0.3
10、设F1(x)与F2(x)分别为两个随机变量 的分布函数， F (x)=aF1(x)+ bF2(x)
则下列各组数中能使F(x)为某随机变 量的分布函数的有____(B__)__
(A) a 2 , b 2
3
3
(C) a 3 , b 1
0, x 1
F
(
x)
0.2,1 0.7,3
x x
3 4
1, x 4
则P{X<4|X≠3}=__0_.4___
提示：由分布函数可知分 布律为
X1 P 0.2
3
4
0.5 0.3
0, x 1
F
(
x)
0.2,1 0.7,3
x3 x4
1, x 4
则 P(X 4 | X 3) P( X 4, X 3) P( X 3)
fY ( y) f (x, y)dx
y 2
3e(x y)dx
3e y
(1
e
y 2
),
y
0
0
0, y 0
(4) P{X 1,Y 2} f (x, y)dxdy x1, y2
dy
y
2 3e( x y) dx
3e y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(e 1
y
e2
)dy
2
1
2
3(e1e y
2 3
3
e2
y
)
|2
于是,X的分布律为
P{X k} 0.79 (0.21)k1 k 1,2,
Y的可能取值为:0,1,2,…
{Y 0} A1
P{Y 0} P(A1) 0.3
{Y 1} A1B1 A1 B1A2
P{Y 1} P(A1B1) P(A1B1A2) 0.553 P{Y 2} P(A1 B1 A2B2 A1B1 A2 B2 A3)
3y2dy
2
15 6
y2
e2
y 2 dy
2
15 6
y2
(
1
)de
y2 2
2
y
15 6
y2
yde 2
2
15 6
y
e
y2 2
e
y2 2
dy
2
15 6
y2
e 2 dy
2
15 6
1
y2
e 2 dy
2
15 6
3、 设随机变量X的分布函数为F(x) 随机变量Y服从两点分布：
,1
z
2
1, z 2
Z=max(X,Y)的概率密度为
7
4
z 3 ,0
z
1
fZ
(z)
[FZ
( z )]
z
z3 4
,1
z
2
0, 其它
18、设随机变量X与Y相互独立同服从正 态分布N(μ,σ2),则Z=X-Y的概率密度为
（2） EX k 0.79 (0.21)k1 k 1
0.79 k (0.21)k1 k 1
1
1
0.79
1.2658
(1 0.21)2 0.79
EY 0 0.3 k 0.553 (0.21)k1 k 1
0.553 k (0.21)k1 k 1
0.553 1 0.533 (1 0.21)2 (0.79)2
0
4
(z2
y2 2
y4 ) 16
|0z
7 z4 16
当1 ≤ z<2时,
FZ (z)
z
dy
0
1
y 2xydx
2
z y(1 y 2 )dy
0
4
(
y2 2
y4 )
16
|0z
z2 z4
2 16
当z>2时, FZ (z) 1
于是
0, z 0
7
z 4 ,0
z
1
FZ
(z)
16
z
2
2
z4 16
f
(x)
2x
2
,0
x
0, 其它
试求Y=sinX的分布函数FY(y)和概率密度fY(y).
解 FY ( y) P{Y y} P{sin X y}
(1)当y≥1时，
FY ( y) P{Y y} P{sin X y} P{S} 1
(2)当y<-1时，
FY ( y) P{Y y} P{sin X y} P() 0
2
2
(B)
a
3, 5
b 2 5
(D) a 3 , b 2
4
5
11、设随机变量X的概率密度为
f
(x)
ex
a ex
(1)确定常数a;
x
(2)求X的分布函数F (x) (3)求 P{0 X ln 3}
解
(1)
由
1
f (x)dx
ex
a e
x
dx
a
ex
e2x
dx 1
a
arctan
(e2 p 1 p)n
2、 设随机变量X~N(μ, σ2),则E|X- μ |6=____
E | X |6
|
x
|6
1
e dx
(
x )2 2 2
2
|
y
|6
1
y2
e 2 dy
2
6
y6
y2
e 2
dy
2
6
y6
(
1
)de
y2 2
2
y
6
y5de
y2 2
2
6
y5
e
1~6章
1、设随机变量X~B(n,p)，则数学期望 E(e2X)=______(e2 p 1 p)n
解： P( X k) Cnk pk (1 p)nk k 0,1, , n
n
E( e2 X ) Cnk pk (1 p)nk e2k k 0 n Cnk (e2 p)k (1 p)nk k 0
则 P( A | C) P(AC) P(A)
P(C) P( A B)
P( A)
P(A) P(B) P(A)P(B)
35 47
5、
一盒内装有5个红球和15个白球,从中不放 回取10次,每次取一个球,则第5次取球时得 到的是红球的概率是（ B ）。
（A）1/5 （C）1/3
（B）1/4 （D）1/2
FZ (z) P{Z z} P{max( X ,Y ) z}
P{X z,Y z}
f (x, y)dxdy xz yz
f (x, y)dxdy xz yz
当z<0时, FZ(z)=0
当0 ≤ z<1时,
FZ (z)
z
dy
0
z
y 2xydx
2
z y(z 2 y 2 )dy
w2r n2 (w r)n
三门火炮同时炮击一敌舰(每炮发射一弹).设击 中敌舰一、二、三发炮弹的概率分别为0.3、0.5 、0.1,而敌舰中弹一、二、三发时被击沉的概率 分别为0.2、0.6、0.9.求敌舰被击沉的概率.(要求 给出详细的解题步骤、过程、根据).
解 设A=敌舰被击沉
Bi=敌舰被击中i发炮弹，i=1,2,3 根据题设条件知,
{X 2} A1 B1 A2 A1 B1 A2 B2
P{X 2} [P(A2) P(A2)P(B2)]P(A1)P(B1) 0.790.21
…
{X k} A1 B1 Ak1 Bk1Ak A1 B1 Ak1 Bk1 Ak Bk
P{X k} [P(Ak ) P(Ak )P(Bk )]P(A1B1 Ak1Bk1) 0.79 (0.21)k1
pF(z a) (1 p)F(z b)
4、 甲乙两人独立地对同一目标各射击一
次，其命中率分别为0.7和0.8，现已
知目标被命中，则甲射中的概率为： ______3_5 ____
47
解：设A=“甲射中”； B=“乙射中”；C=“目标被命中”
则由已知，P(A)=0.7；P(B)=0.8，且A、B独立
P(B1) 0.3
P( A | B1) 0.2
P(B2 ) 0.5
P( A | B2 ) 0.6
P(B3 ) 0.1
P( A | B3 ) 0.9
由全概率公式得
3
P( A) P(Bi )P( A | Bi ) i 1
0.30.2 0.50.6 0.10.9 0.45
9、已知离散型随机变量X的分布函数为
0.7 0.88607 0.79
13、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
ae(xy) ,0 2x y f (x, y) 0,其它
(1)确定常数a (2)求(X,Y)关于X的边沿概率密度； (3)求(X,Y)关于Y的边沿概率密度； (4)求P(X≥1,Y≥2)
解
(1) 由
1
f (x, y)dxdy
dx
ae( x y) dy
0
2x
a e3xdx 0
a(
1 3
e3x
)
|0
a1 3
得 a3
(2)求(X,Y)关于X的边沿概率密度；
fX (x) f (x, y)dy
3e(x y)dy
2x
3e3x , x 0
0, x 0
(3)求(X,Y)关于Y的边沿概率密度；
)
上服从均匀分布,
则Y=tanX的概率密度为__fY_(_y_)
1
1
1 y
2
提示：
f
X
(
x)
1
,
x( , )
22
0, 其他
FY ( y) P{Y y} P{tan X y} P{X arctan y}
1 arctan y
2
dx
1
(arctan
y)
2
fY
(
y)
FY
'(
y)
1
1
1 y2
16、已知随机变量X的概率密度为
[P(A2B2) P(A2 B2 A3)]P(A1B2) 0.5530.21
…
P{Y k} [P(Ak Bk ) P(Ak Bk Ak1)]P(A1B1 0.553 0.21k1
Ak1 Bk1)
于是, Y的分布律为
P{Y 0} 0.3 P{Y k} 0.553 (0.21)k1 k 1,2,
e3
14、 设随机变量(X,Y)的分布律为
XY 1
2
-1
1
1
4
2
1
10
4
则P(X=-1|Y=2)=___32__
提示：
P(X 1| Y 2)
P( X 1,Y 2) P(Y 2)
P( X 1,Y 2) P(Y 2)
1/ 2 1/ 21/ 4
2 3
15、设随机变量X在
(
2
,
2