3.1空间向量及其运算第4课时
《空间向量及其运算》课件
向量的模的运算律
模的加法运算律
$|overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}| = |overset{longrightarrow}{a}| + |overset{longrightarrow}{b}|$ 当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$ 与 $overset{longrightarrow}{b}$ 同向。
模的数乘运算律
$|lambdaoverset{longrightarrow}{a}| = |lambda||overset{longrightarrow}{a}|$，其 中 $lambda$ 是标量。
特殊向量的模的性质
零向量的模
$|overset{longrightarrow}{0}| = 0$。
向量的加法结合律
向量加法满足结合律，即对于任意三个向量 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$和 $overset{longrightarrow}{c}$，有 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
模的等式
当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$同向 或反向时，有 $|overset{longrightarrow}{a}| = |overset{longrightarrow}{b}|$。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算课件新人教A版选修
表 示
字母表 法
示法
用一个字母表示，如图，此向量的起点是 A，终点
→
→
是 B，可记作 a，也可记作 A B ，其模记为|a|或|AB|
特殊向量
理解特殊向量应注意的几个问题 (1)零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的，|0| ＝0，单位向量e的模|e|＝1. (2)零向量不是没有方向，它的方向是任意的． (3)注意零向量的书写，必须是0这种形式． (4)两个向量不能比较大小．
第 三 章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
自主学习 新知突破
1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空 间向量的概念．
2．掌握空间向量的加法、减法运算法则及其表示． 3．理解并掌握空间向量的加、减法的运算律．
李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住 处，在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总 位移就是三个位移的合成(如右图所示)，它们是不在同一平面 内的位移，如何刻画这样的位移呢？
D．4个
解析： 共四个：AB，A1B1，CD，C1D1. 答案： D
3．两向量共线是两向量相等的________条件． 解析： 两向量共线就是两向量同向或反向，包含相等的 情况． 答案： 必要不充分
4．已知平行六面体 ABCD－A′B′C′D′，化简下列 表达式：
(1)A→B＋BB→′－D→A′＋D′ →D－B→C； (2)AC→′－A→C＋A→D－AA→′. 解析： 根据平行六面体的性质． (1)原式＝A→B＋A′→D′＋D′ →D＋C→B＝A→B＋A′→D＋C→B ＝D→C＋D→A＋A′→D＝D→B＋A′→D＝A→′B； (2)原式＝CC→′＋A′→D＝AA→′＋A′→D＝A→D.
第4课时 空间向量的正交分解
6
精讲点拨
【例 2】
用坐标表示空间向量
导学案 64 页 例 3
7
精讲点拨
【变式训练 2】
用坐标表示空间向量
导学案 64 页 变式 3
8
达标检测
导学案 65 页 课堂练习
9
归纳延伸
1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；基 底选定后，任一向量可由基底唯一表示． 2. 向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示．在表示向量 时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算.
10
作业本 完成练习册 预习作业 小册子空间向量的正交分解及坐标运算 空间向量的坐标表示 预习 3.1.5
11
12
点与原点 O 重合，得到向量 OP ＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组 {x ，y，z}，使得 p＝ xe1＋ ye2＋ze3.把 称作向量 p 在单位正交基底 e1， 3 e2，e3 下的坐标，记作 p＝(x ，y，z)，即点 P 量的基底是唯一的吗？
思考 2
基底和基向量是同一个概念吗？有什么区别？
4
精讲点拨
基底的判断
例 1 已知{e1，e2, e3}是空间的一个基底，且OA ＝e1＋2e2－e3， OB ＝－3e1＋e2＋2e3，OC ＝e1＋e2－e3，试判断{OA ，OB ，OC } 能否作为空间的一个基底？
5
精讲点拨
【变式训练】
基底的判断
导学案 63 页 变式训练 1
1
3. 1. 4 空间向量的正交分解及其坐标表示
【学习目标】
1.掌握空间向量基本定理，理解基底的概念； 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
2
自学检测
空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c ，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x ，y，z}， 使得 p＝ 其中{a，b，c}叫做空间的一个 ， a，b，c 都叫做 空间向量的正交分解及其坐标表示 ①单位正交基底： 三个有公共起点 O 的 的单位向量 e1，e2，e3 称为 ②空间直角坐标系：以 e1，e2，e3 的公共起点 O 为原点，分别以 e1，e2，e3 的方向 为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz. ③空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量 p，一定可以把它平移，使它的起
空间向量及其运算(共22张PPT)
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
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空间向量及其运算4 人教课标版精品课件
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
b a
C a+b B
O
A
OB OA AB CA OA OC
空间向量的加减法
B
b
b
Oa A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以 它们可用同一平面内的两条有向线段表示。
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
b b
a
a
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。
2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运 算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
定义: 数乘空间向量的运算法则
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
时光就是这么不经用，很快自己做了母亲，我才深深的知道，这样的爱，不带任何附加条件，不因万物毁灭而更改。只想守护血浓于水的旧时光，即便峥嵘岁月将容颜划伤，相信一切都是最好的安排。那时的时光无限温柔，当清水载着陈旧的往事，站在时光这头，看时光那头，一切变得分明。执笔书写，旧时光的春去秋来，欢喜也好，忧伤也好，时间窖藏，流光曼卷里所有的宠爱，疼惜，活色生香的脑海存在。
2020学年高中数学3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的直角坐标运算课件人教B版选修2_1
所以
A
26，0，0，S0，0，
22，C－
26，0，0，
B0，
26，0，E
46，0，
2
4
.
(1)C→E＝3
4
6，0，
42，
所以|C→E|＝
3
4
62＋02＋
22＝ 4
14 2.
(2)因为B→E＝
46，－
26，
42，S→C＝－
26，0，－
22，
所以 cos〈B→E，S→C〉＝|B→B→EE|··S|→S→CC|＝
3．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式
(1)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23.
a1b1＋a2b2＋a3b3
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝____a_21_＋__a_22_＋__a_23___b_21_＋__b_22＋__b_23_____ .
解：设 B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以A→B＝(x－2，y＋5，z－3)，B→C＝(x1－x，y1－y，z1－z)．
因为A→B＝(4，1，2)，所以yx＋－52＝＝14，解得xy＝＝－6 4，
z－3＝2
z＝5
所以 B 的坐标为(6，－4，5)．
因为B→C＝(3，－2，5)，所以xy11＋－46＝＝－3 2，解得xy11＝＝－9 6，
z1－5＝5
z1＝10
所以 C 的坐标为(9，－6，10)，C→A＝(－7，1，－7)．
利用向量坐标运算解决平行与垂直问题 已知空间三点 A(－2，0，2)、B(－1，1，2)、 C(－3，0，4)．设 a＝A→B，b＝A→C. (1)若|c|＝3，c∥B→C，求 c； (2)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k.
苏教版选修(2-1)3.1《空间向量及其运算》word教案
3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa ＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．起点与重点重合的向量叫做零向量。
3-1-4空间向量正交分解及其坐标表示
系列丛书
2．空间的基底唯一吗？ 提示：不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量 就可以组成空间的一个基底． 3．为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？ 提示：平移向量a，b，c，p使它们共起点，如下图所 示，以p为体对角线，在a，b，c方向上作平行六面体，易 知这个平行六面体是唯一的，因此p在a，b，c方向上的分 解是唯一的，即x，y，z是唯一的．
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第三章·3.1 ·3.1.4
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【分析】 空间向量的坐标源于向量的正交分解， 如果把向量a写成xi＋yj＋zk，则a的坐标为(x，y，z)； 还可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向 量的坐标．
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第三章·3.1 ·3.1.4
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第三章·3.1 ·3.1.4
系列丛书
通法提炼
用坐标进行向量的运算，关键之一是把相关的向量以坐
标形式表示出来.这里有两个方面的问题：一是如何恰当地
建系，一定要分析空间几何体的构造特征，选合适的点作原
点、合适的直线和方向作坐标轴，一般来说，有共同的原点，
且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作
为空间直角坐标系.二是在给定的空间直角坐标系中如何表
示向量的坐标，这里又有两种方法，其一是运用基底法，把
空间向量进行正交分解；其二是运用投影法，求出起点和终
点的坐标.
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第三章·3.1 ·3.1.4
系列丛书
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝ 1，CC1＝2，M为A1B1的中点．以C为坐标原点，分别以 CA，CB，CC1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角 坐标系(如图所示)，则A→B1的坐标为____，M→B的坐标为__．
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示(优秀经典公开课比赛教案)
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。
在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。
教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。
进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
二、教学目标：1、掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示2、掌握空间向量的坐标运算的规律3、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．三、教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算四、教学难点：理解空间向量基本定理五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择：六、教学方法：七、教学过程1、自主导学：2、合作探究（一）、新课引入1）. 回顾：平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算；2）. 复习：平面向量基本定理.(二)、讲授新课1）. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a ，均可分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+. 如果12a a ⊥时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取12,a a 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量,i j ，则存在一对实数x 、y ，使得a xi y j =+，即得到平面向量的坐标表示(,)a x y =.推广到空间向量，结论会如何呢？(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把{,,}a b c 叫做空间的一个基底（base ），,,a b c 都叫做基向量.2）. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直． 选取空间一点O 和一个单位正交基底｛i ,j ,k ｝，以点O 为原点，分别以i ,j ,k 的方向为正方向建立三条坐标轴：x 轴、y 轴、z轴，得到空间直角坐标系O -xyz ，3）. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a ，且设i 、j 、k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使a ＝1a i ＋2a j ＋3a k ．空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝OB －OA ＝222(,,)x y z －111(,,)x y z ＝212121(,,)x x y y z z ---． 4）. 向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++证明方法：与平面向量一样，将a ＝1a i ＋2a j ＋3a k 和b ＝1b i ＋2b j ＋3b k 代入即可．5）. 两个向量共线或垂直的判定：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a //b ⇔a ＝λb ⇔112233,,a b a b a b λλλ===，()R λ∈⇔312123a a ab b b ==；⑵a ⊥b ⇔a ·b =0⇔1122330a b a b a b ++=．例题讲解：课本94页：例43、巩固训练：课本94页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结： (1)空间向量的正交分解 (2)空间向量基本定理 (3)空间向量的坐标运算的规律 八、课外作业：课本97页：习题3.1 A 组 8九、板书设计：。
3-1-4 空间向量的正交分解及其坐标表示
第三章
空间向量与立体几何
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
第三章
第 4 课时 空间向量的正交分解及其坐标表示
第三章
空间向量与立体几何
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课前自主预习 课堂巩固训练 课堂典例讲练 课后强化作业 方法规律总结
第三章
3.1
第4课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
4．用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结 合图形，运用三角形法则、平行四边形法则及多边形法则，逐 步把待求向量转化为基向量的“代数和”． 5．空间向量基本定理的证明
第三章
3.1
第4课时
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第三章
3.1
第4课时
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2．空间向量的正交分解及其坐标表示
设 e1，e2，e3 为有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量 (我们称它们为 单位正交基底 )． 以 e1，e2，e3 的 公共起点 O
为原点，分别以 e1，e2，
第三章
3.1
第4课时
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重点难点展示
第三章
3.1
第4课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
重点：空间向量基本定理． 难点：基底概念的理解和用基底表示空间任一向量．
第三章
课件1：3.1.4空间向量的直角坐标运算
4．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直 线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、 夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．
1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c
－a)·(2b)＝－2，则x的值为( )
A．2
B．－2
C．0
D．1
图3－1－33
1．e1，e2，e3共面吗？
【提示】 不共面． 2．试用e1，e2，e3表示A→B1. 【提示】 A→B1＝4e1＋4e2＋4e3. 3．若M为A1B1的中点，能否用e1＝4e1＋2e2＋4e3.
1．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正 方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间 向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做 单位正交基底 ．单位 向量i，j，k都叫做 坐标向量 ．
所以 c＝(－2，－1,2)或 c＝(2,1，－2)．
(2)由题意可知，a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以 ka＋b＝(k －1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，又(ka＋b)⊥(ka－2b)，所 以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，所以(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝k2＋k －2＋k2－8＝0，即 2k2＋k－10＝0，所以 k＝2 或 k＝－52.
1．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再 进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算 括号外．
已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，－2,3)，B(2,1，－
1)，C(－1,0,3)，求点D的坐标(O为坐标原点)，使(1)
原创1：3.1.4 空间向量的直角坐标运算
跟踪训练
设a＝(1，－2,4)，求同时满足下列条件的向量x：
①Ԧx⊥a；②|Ԧx|＝10；③Ԧx在yOz平面上．
解：由③知，可设Ԧx=(0,y,z)
由①知，-2y+4z=0
由②知，y2+z2=100
解得：y=4 5，z=2 5
或y=−4 5，z=−2 5
∴Ԧx=(0，4 5， 2 5)或Ԧx=(0，−4 5， −2 5).
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
则a＋b＝_______________________，
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
a－b＝_______________________，
λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)，
a1b1＋a2b2＋a3b3
a·b＝___________________，
空间直角坐标系Oxyz.
对于空间任一向量a，由空间向量分解定理可知，
存在有序实数组{x，y，z}，使得a= xԦi + Ԧj +zkԦ
x，y，z称为向量p在单位正交基底下的坐标，
记作a=(x，y，z).
Ԧi
x
kԦ
a
O
Ԧj
y
知识点二：空间向量的坐标运算
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b2)，
解：由已知， a ∙ < 0
即6m-6<0
解得：m＜1
又显然a与b不共线
∴m的取值范围是(-∞，1)
归纳小结
1．注意正确写出各点的坐标，利用坐标运算可解决许多
以前的复杂问题．
2．数量积及夹角公式也是计算立体角相关题的有力工具，但要记
住角的范围，避免错误．
3．有关平行与垂直及共面、共线的结论应用广泛一定要掌握好！
高中数学人教A版选修2-1课件3.1.4空间向量的正交分解及其坐标运算(系列三)
∴O→E＝12(O→A＋O→B)， C→G＝2C→E＝2(O→E－O→C)
33 ∴O→G＝O→C＋C→G＝ O→C＋2(O→E－O→C)＝
3 13(O→A＋O→B＋O→C) ∴λ＝3.
答案：3
5．如图 2，四棱锥 P—OABC 的底面为一矩形， 设O→A＝a，O→C＝b，O→P＝c，E、F 分别是 PC 和 PB 的中点，用 a，b，c 表示B→F、B→E、A→E、E→F.
D．既不充分也不必要条件
解析：当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底， 否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为 非零向量．
答案：B
2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b， q＝a－b构成基底的向量是( )
A．a
B．b
C．a＋2b
有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量组成的集合 就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个集合可以看作是由 向 量 a 、 b 、 c 生 成 的 ， 我 们 把 {a ， b ， c} 叫 做 空 间 的 一 个 基 底．a、b、c叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构 成空间的一个基底．
人教版 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
空间向量的正交分解及其坐标 表示
学习目标
1.了解空间向量的正交分解的含义． 2．掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理
解决一些简单问题． 3．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出
向量的坐标.
新知导入
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在
3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)
空间向量及其运算( 一 )教课目标：1．理解空间向量的观点，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题..教课要点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律.教课难点：用向量解决立几问题.讲课种类：新讲课 .课时安排： 1 课时 .教具：多媒体、实物投影仪.教课过程：一、复习引入：1.向量的观点(1)向量的基本因素：大小和方向 .(2) 向量的表示：几何表示法uuur r r rAB ，a；坐标表示法 a xi yj ( x, y) .(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜ a ｜.(4)特别的向量：零向量 a ＝0｜a｜＝ 0.单位向量 a0为单位向量｜ a0｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向同样( x1 , y1 )( x2 , y2 )x1x2 y1y2(6)平行向量 ( 共线向量 ) ：方向同样或相反的向量，称为平行向量. 记作a∥b . 因为向量能够进行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量总能够平移到同向来线上，故平行向量也称为共线向量.2.向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算种类几何方法坐标方法运算性质向a b b a量1.平行四边形法例a b( a b)c a (b c)的2.三角形法例( x1x2 , y1y2 )加uuur uuur uuur法AB BC AC向a b a( b)量a b uuur uuur的三角形法例( x1x2 , y1y2 )AB BA减uuur uuur uuur法OB OA AB向 1. a 是一个向量,知足:量 2.>0 时 , a与a同a ( x, y)( a) ()a的向 ;()a a a 乘<0 时, a 与a异法向 ;( a b)a b=0 时 , a =0.a ∥b a ba ?b b ? a向 a ? b 是一个数( a) ? b a ? (b)(a ?b)量 1. a 0或b0 时,的a? b =0 a ?b( a b) ? c a ? c b ? c数 2. a 0且b0 时,x1 x2y1 y2量 a ? b | a || b | cos(a,b) a 2 | a |2| a |x2y2积| a ? b | | a || b |3.重要定理、公式：(1)平面向量基本定理e1 ,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，关于这个平面内任一直量，有且仅有一对实数 1 ,2，使a1e1 2 e2(2)两个向量平行的充要条件a ∥b a ＝λb x1 y2x2 y10 .(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20 .(4)线段的定比分点公式设点 P分有向线段uuur uuur所成的比为λ，即PP＝λ PP，则12uuur1uuur1uuur( 线段的定比分点的向量公式 ) OP ＝OP ＋OP1112x x1x2,1( 线段定比分点的坐标公式 )y y1y2. 1当λ＝1时，得中点公式：uuur1uuur uuur x x1x2 ,2OP ＝2（ OP1＋ OP2）或y1y2y.2(5)平移公式设点 P( x, y) 按向量 a(h, k) 平移后获得点uuur uuur x x h, P (x , y ) ，则 OP ＝ OP+ a或y，y k.曲线 y f (x) 按向量 a(h, k) 平移后所得的曲线的函数分析式为：y k f (x h)(6)正、余弦定理正弦定理：a b c2R. sin A sin B sin C余弦定理： a2b2c22bc cos A cos A b2 c 2a22bcb2 c 2a22ac cos B cos B c2 a 2b22cac2a2b22ab cosC cosC a 2b2c2.2ab二、解说新课：1．空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量.注：⑴空间的一个平移就是一个向量.⑵向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2．空间向量的运算定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算以下（如图）uuur uuur uuur r vOB OA AB a bD'C'CbA'B'a aB bb D CaO AA Buuur uuur uuur r rBA OA OB a buuur rR)OP a(运算律：⑴加法互换律： a b b a⑵加法联合律：( a b ) c a (b c)⑶数乘分派律：( a b)a b3．平行六面体：平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体， 并记作：ABCD － A B C D .它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 .三、解说典范：例 1.已知平行六面体 ABCD － A B C D 化简以下向量表达式，标出化简结果的向量.uuur uuur uuur uuur uuur ⑴ AB BC ；⑵ AB AD AA ；uuur uuur1 uuuur1 uuur uuur uuurD'C'⑶AB ADCC；⑷3( AB ADAA).2A'B'M解：如图：uuur uuur uuur ⑴ ABBC AC ；uuur uuur uuur uuur uuur uuuur ⑵ ABADAA =AC AA AC ；GDCABuuur uuur1 uuuuruuur uuuur uuuur⑶设 M 是线段 CC 的中点，则 ABADCCACCMAM ；2⑷设 G 是线段 AC 的三等份点，则1 uuur uuur uuur1 uuuuruuur3 (ABADAA )ACAG .3uuur uuuur uuuur uuur向量 AC, AC , AM , AG 以下图 :例 2 已知空间四边形ABCD ，连接 AC, BD ，设 M ,G 分别是 BC ,CD 的中点，化简以下各表uuur uuur uuur达式，并标出化简结果向量：（1） ABBCCD ；uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur（2） AB ( BD BC) ；（ 3） AG (AB AC)．A2 2解：如图， uuur uuur uuur uuur uuuruuur（1） AB BC CD AC CD AD ；uuur uuur uuur uuur uuur uuurB（2） AB 1 (BD BC ) AB 1 BC 1 BDDuuur 2uuuur uuuur uuur 2 2MGAB BM MG AG ；uuur 1 uuuruuur uuur uuuur uuuur C（3） AG ( ABAC) AG AM MG ．2四、讲堂练习 ：1．如图，在空间四边形ABCD 中， E, F 分别是 AD 与 BC 的中点，uuur1 uuur uuur求证： EF(AB DC)．21 uuur1 uuuruuur uuur uuur uuuruuur证明： EF ED DC CF2 ADDC2CBA1 uuur uuur uuur1 uuur2( ABBD )DCCB2EBDFC1uuur uuur1uuur uuur2AB DC2(CB BD )1 uuur uuur1uuur2AB DC2CD1uuur uuur2( AB DC )r r r r r r r r r r r r r rr2．已知2x3y3a b4c ，3x y8a5b c ，把向量 x, y 用向量 a,b , c 表示.r r r r r r r r r r解 : ∵2x 3y3a b4c， 3x y8a5b cr r r r r r r r∴ x3a2b c ， y a b2c uuur r uuur r uuur r3 ．如图，在平行六面体ABCD ABCD 中，设AB a ， AD b, AA c ， E, F 分别是AD , BD 中点，uuuur uuur D' r r r；C'（ 1）用向量a, b,c表示D B, EFuuur uuur uuur uuuur uuuur （ 2 ）化简：AB BB BC C D2DE；uuuur uuuur uuuur uuur r r r 解 : （ 1）D B D A A B B Bb a cuuur uuur uuur uuur1 uuur r1 uuurEF EA AB BF D A a BDr 2r21r r 1 r1r r ( b c) a( a b )(a c ) 222A'B'EDCFA B五、小结：空间向量的有关的观点及空间向量的表示方法；平行六面体的观点；向量加法、减法和数乘运算 .六、课后作业：如图设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心.求证：uuur 1 uuur uuur uuurAG(AB AC AD) .3A七、板书设计（略）.八、课后记：BG DC3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)。
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN空间向量及其运算课时分配:第一课空间向量及其加减运算 1个课时第二课空间向量的数乘运算 1个课时第三课空间向量的数量积运算 1个课时第四课空间向量运算的坐标表示1个课时3. 1.1 空间向量及其加减运算【教学目标】1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。
【教学重点】点在已知平面内的充要条件。
共线、共面定理及其应用。
【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。
b a AB OA OB+=+=；b a OB OA BA-=-=；)(R a OP ∈=λλ3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。
由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。
这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。
条有向线段来表示。
思考：运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(C BAOb bb aa a C'B'A'D'DABC数t 满足等式t OA OP +=a。
其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
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3．已知 E, F , G, H 分别是空间四边形
ABCD 的边 AB, BC,CD, DA 的中点，
六．小结 七．作业
（1）用向量法证明 E, F , G, H 四点共面；
（2）用向量法证明： BD //平面 EFGH ；
（3）设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：
对空间任一点 O ，有
uuuur OM
能力。
【教学目标】：
（1）知识与技能：掌握空间向量基本定理，会判断空间向量共面 （2）过程与方法：正交分解推导入手，掌握空间向量基本定理 （3）情感态度与价值观：认识将空间向量的正交分解，能够将空间向量在某组基上进行分解
【教学重点】：空间向量正交分解，空间向量的基本定理地使用
【教学难点】：空间向量的分解
A．互不相等
B．至多有两个相
等 C．至少有两个相等 D．有且只有两个
相等
2．若 a、b、c 是空间的一个基底，下列
各组
①la、mb、nc(lmn≠0)；
②a+2b、2b+3c、3a－9c；
③a+2b、b+2c、c+2a；
④a+3b、3b+2c、－2a+4c
中，仍能构成空间基底的是
（
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
1
uuur (OA
uuur OB
uuur OC
uuur OD)
4
A
E B
HO M
D
F
G
C
1．正交分解的推导和空间向量基本定理 2．如何将向量用坐标表示 3．任意空间向量在某组基底下的分解
课本 P106 习题 3.1 第 6 题
练习与测试： （基础题）
1 如图，在正方体 OADB CA/ D / B / 中，，点 E 是 AB 与 OD 的交 点,M 是 OD/与 CE 的交点，试分别用向量 OA, OB, OC 表示 OD 和 OM
三．典例讲练
r 空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实 数组 (x, y, z) ，使 p xa yb zc
注意介绍单位正交基、正交 基、基的特殊与一般的关系， 以帮助学生理解概念。
由此定理， 若三向量 a, b, c 不共面，
那么空间的任一向量都可由 a, b, c 线性表
示，我们把{ a, b, c }叫做空间的一个基底，
C．锐角三角u形uur uuur D．u不uur确定uuur
6．已知 S 是△ABC 所在平面外一点，D 是 SC 的中点，若 BD ＝ x AB y AC z AS ，
则 x＋y＋z＝
．
7．在空间四边形 ABCD 中，AC 和 BD 为对角线，
G 为△uuuAr BCu的uur重心uu，ur E 是 BD 上一点uu，ur BE＝3ED， 以｛ AB ， AC ， AD ｝为基底，则 GE ＝
从而 OP OQ zk xi y j zk
由此可知，对空间任一向量 p ，存在一个 有序实数组{ x, y, z }，使得 p xi y j zk ，称 xi ， y j ， zk 为向
量 p 在 i ， j ， k 上的分向量。
2．空间向量的基本定理
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对
个唯一的有序实数组 (x, y, z) ，使
p xe1 ye2 ze3 记 p (x, y, z)
推论：设 O, A, B, C 是不共面的四点，
则对空间任一点 P ，都存在唯一的三个有
序实数 x, y, z ，使
uuur uuur uuur uuur
OP
xOA
yOB
zOC
新疆 王新敞
奎屯
例 1． 如图，已知空间四边形 OABC ，其 对角线 OB, AC ， M , N 分别是对边
且有公共起点 O。对于空间任意一个向量
p OP ，设 Q 为点 P 在 i ， j 所确定的平
面上的正投影，由平面向量基本定理可知，
在 OQ ， k 所确定的平面上，存在实数 z，
使得 OP OQ zk
而在 i ， j 所确定的平面上，由平面向量基
二．新课讲授
本定理可知，存在有序实数对 (x , y) ，使 得 OQ xi y j
§3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示
【学情分析】：
本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理 新疆 这种推广对学生学习已无困难 新疆 但仍要
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间 新疆 这样做，一方面复习了平面向量、 王新敞 奎屯
学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念 新疆 让学生从二维到三维发现规律，培养学生的探索创新 王新敞 奎屯
3．设 A、B、C、D 是空间任意四个点，令 u＝ AD BC ，v＝ AB CD ，w＝ AC BD ，则
u、v、w 三个向量
（）
A．互不相等
B．至多有两个相等 C．至少有两个相等 D．有且只有两个相等
4．若 a、b、c 是空间的一个基底，下列各组
①la、mb、nc(lmn≠0)； ③a+2b、b+2c、c+2a；
（中等题）
．
A
D
E
C M
G B
8．已知四面体 ABCD 中， AB, AC, AD 两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（ ）
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(1). | AB AC AD || AB AC AD | (2). AB CD AC BD AD BC
uuuur OM
2
uuuur MN
3
1
uuur OA
2
uuur (ON
uuuur OM )
23
1
uuur OA
2
[
1
uuur (OB
uuur OC)
1
uuur OA]
2 32
2
1
uuur OA
1
uuur (OB
uuur OC
)
1
uuur OA
23
3
1
uuur OA
1
uuur OB
1
uuur OC
633
共面。
∴
uuur OG
1
uuur OA
1
uuur OB
1
uuur OC
633
1、如图，在正方体 OADB CA/ D / B / 中， ，点 E 是 AB 与 OD 的交点,M 是 OD/与 CE 的交点， 试分别用向量
OA, OB, OC 表示
OD 和 OM
解： OD / OA OB OC
OM
OA, BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且
uuur uuur uuur MG 2GN ，用基底向量 OA,OB,OC 表
uuur 示向量 OG 新疆
王新敞 奎屯
向量的分解过程中注意向量 的运算的正确使用。
四．练习巩固 五．拓展与提高
O
M A
C G
N
B
uuur uuuur uuuur 解： OG OM MG
【课前准备】：课件
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一．温故知新
回顾平面向量的正交分解和平面向量的基 由此为基础，推导空间向量
本定理
的正交分解和基本定理
1．空间向量的正交分解
以平面向量的基本定理为基
础，层层递进，得到空间向
设 i ， j ， k 是空间的三个两两垂直的向量， 量的正交分解形式。
1 OA
1 OB
1 OC
333
课本 P102 练习 1、2、3
1．设 A、B、C、D 是空间任意四个点，令
uuur uuur uuur uuur u＝ AD BC ，v＝ AB CD ，w＝
充分认识基底的特征，即线 性无关的三个向量就可以构
成空间的一个基底。
uuur uuur AC BD ，则 u、v、w 三个向量
②a+2b、2b+3c、3a－9c； ④a+3b、3b+2c、－2a+4c
中，仍能构成空间基底的是
（）
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
5．设 A，B，C，D 是空间不共面的四点，且满足 AB AC 0 ， AC AD 0 ， AB AD 0 ，则△BCD 是 (
)
A．钝角三角形
B．uur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(3). ( AB AC AD) BC 0 (4). | AB AC AD |2 | AB |2 | AC |2 | AD |2
不一定成立的是
.
uuur ur uur uuur ur uur uuur ur uur 9.已知非零向量 e1，e2 不共线，如果 AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 , AD 3e1 3e2 ，求证：A、B、C、D
a, b, c 叫做基向量。
空间任意三个不共面的向量都可以构 成空间的一个基底 新疆
王新敞 奎屯
如果空间一个基底的三个基向量两两 互相垂直，那么这个基底叫做正交基底， 特别地，当一个正交基底的三个基向量
e1 , e2 , e3 都是单位向量时，称这个基底为单 r
位正交基底，对空间任一向量 p ，存在一
解： OD / OA OB OC OM 1 OA 1 OB 1 OC
333
2．设向量{a, b, c} 是空间一个基底，则一定可以与向量