弧度制(必修四数学)

弧所对的圆心角是α rad。
5. 弧度制与角度制的换算 ① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0º 角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和 弧度数是不同的. ② 平角、周角的弧度数：
平角= rad、周角=2 rad.
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0.
l ④角的弧度数的绝对值: r
半径是50米，求 AB 的长l（精确到0.1 米）。
解：因为60º = 3 ,所以
3×50≈52.5 .
l=α· r=
答： AB 的长约为52.5米.
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
中心角等于
，面积为2R2的扇形的
弧度。
4 解：（1）240º = ，根据l=αR，得 3
弧度制和弧度制与角 度制的换算
在初中几何里，我们学习过角的度量，1
度的角是怎样定义的呢？
1 周角的 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋 转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，
角 o o o 135 150 180 度 弧 度
270
o
360
o
特殊角的弧度
角 o 0 度 弧 度
30
o
45
o
60
o
90
o
120
o
角 o o o 135 150 180 度 弧 度
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特殊角的弧度
角 o 0 度 弧 度
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60
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90
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角 o o o 135 150 180 度 弧 度
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120
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角 o o o 135 150 180 度 弧 度
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特殊角的弧度
角 o 0 度 弧 度
30
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角 o o o 135 150 180 度 弧 度
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特殊角的弧度
角 o 0 度 弧 度
30
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45
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120
o
角 o o o 135 150 180 度 弧 度
不同的点所形成的圆
弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。
AB AB =定值， r r
设α =nº， AB 弧长为l，半径OA为r，
2 r l 2 , n 则 l n ， 360 r 360 可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
大小有关。
1 2 1 （2）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
4 l R 3
所以 α=4.
例6.与角－1825º 的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 解：－1825º =－5×360º －25º ， 所以与角－1825º 的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º .
5 合 36
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于
所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？ 解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合(
360( 1)

)º
2
扇形面积是 ( 1) R
例1．把67 30'化成弧度．
270
o
360
o
特殊角的弧度
角 o 0 度 弧 度
30
o
45
o
60
o
90
o
120
o
角 o o o 135 150 180 度 弧 度
270
o
360
o
特殊角的弧
45
o
60
o
90
o
120
o
角 o o o 135 150 180 度 弧 度
270
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360
o
特殊角的弧度
角 o 0 度 弧 度
o
例1．把67 30'化成弧度． 例2．把 化成度．
o
例3．计算：
例3．计算：
例4．将下列各角化成0到2的角 加上2k(k∈Z)的形式：
例5．将下列各角化成2k ＋(k∈Z, 0≤ ＜2)的形式，并确定其所在的 象限．
例1. 把112º30′化成弧度（用π 表示）。
5 解： (1) 112º30′=112.5× = . 180 8
8 例2. 把 化成度。 5
解：1rad= (
180

)
8 8 180 ( ) 5 5
288
特殊角的弧度
角 o 0 度 弧 度
30
o
45
o
60
o
90
270
o
360
o
特殊角的弧度
角 o 0 度 弧 度
30
o
45
o
60
o
90
o
120
o
角 o o o 135 150 180 度 弧 度
270
o
360
o
特殊角的弧度
角 o 0 度 弧 度
30
o
45
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60
o
90
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120
o
角 o o o 135 150 180 度 弧 度
270
o
360
o
例4. 扇形AOB中， AB 所对的圆心角是60º ，
nr 比公式 l 简单. 180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
1 ② 扇形面积公式 S lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。 证明1：设扇形所对的圆心角为nº (αrad)，则
n 1 2 S R R 360 2
2
又 αR=l，所以
1 S lR 2
30
o
45
o
60
o
90
o
120
o
角 o o o 135 150 180 度 弧 度
270
o
360
o
特殊角的弧度
角 o 0 度 弧 度
30
o
45
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60
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90
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120
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角 o o o 135 150 180 度 弧 度
270
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360
o
特殊角的弧度
角 o 0 度 弧 度
30
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45
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60
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90
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120
o
单位制；1弧度≠1º；
(1)
(2) 1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心
角的大小，而1度是圆周
1 的所对的圆心角 360
的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实
数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
l 4.公式： ， r
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的
（l为弧长，r为半径）
⑤ ∵ 360=2 rad ，∴180= rad
∴ 1 =

180
rad 0.01745rad
180 1 rad 57.30 57 18'
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l r
l 由公式： l r r
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。 注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
3. 弧度制与角度制相比： (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单
位制，角度制是以“度”为单位来度量角的