不等式的证明作商比较法

a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2) ＞ 6abc
证明：
∵ b2＋c2≥2bc，a＞0
∴a( b2＋c2)≥2abc，
同理： b( c2＋a2)≥2bca， c( a2＋b2)≥2cab，
综合法
∵a、b、c不全相等，故等号不全成立，
∴ a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2) ＞ 6abc
a b c
• 周末作业
• 同步作业本P8，9 • 课本P16以前的练习和习题 • 课本P30 1-4
一. 温故知新
上节课我们学习了作差比较法，这节课来学习作 商比较法.类比于作差比较法，我们先做分析；
1、应用范围；不等式两端是乘积的形式或幂、指数式。 2、理论依据； 若a,b R ,则a b a 1
b
3、基本步骤；作商----变形----判断商与1的大小----结论
说明；比商法不可忽视作商时分母的符号，它 的确定是其中的一个步骤。
求证：a b c 1 1 1 abc
分析:由左端证向右端,注意左,右两端的差异,这种差异正是我 们思考的方向.左端含根号如何脱去根号呢?
证法1：Q a，b，c R，且互不相等，且abc 1，
a b c 1 1 1 bc ac ab
1 b
1 c
1 a
1 c
1 a
1 b
1
1
1
2
2
2 abc
1、不等式的8大性质
•对称性: •加法法则
•传递性 •乘法法则
•可加性 •乘方法则
•可乘性
•开方法则
2、重要不等式 若a,b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号） 3、均值不等式 若a,b∈R+,则a+b≥2 ab（当且仅当a=b时取等号）
例1 已知a、b、c为不全相等的正数，求证：
( 1 1)(1 1)(1 1) 8 abc
分析:不等式右边是8,使我们联想到左边的因式分别是使用基 本不等式得到三个2
证明：Q a,b, c R，且a b c 1,
1 1 1 a b c 2 bc
a
aa
a
同理：1 1 2 ac ，1 1 2 ab
b
bc
c
由上述三个不等式两边均为正，分别相乘得：( 1 1)(1 1)(1 1) 8 abc
例例84：已知a，b，c R，且互不相等，且abc 1， 求证：a b c 1 1 1 abc
证法2：Q a，b，c R，且互不相等，且abc 1，
1 1 1 bc ca ab
abc
bc ca ca ab ab bc
2
2
2
abc2 a2bc ab2c
随堂巩固
1.下列不等式正确的是
A. a2 b2 2ab C. a b ab
2
B. a b ab 2
D. ab a b 2
2. 已知a,b R ,且a b,
求证：a b 1 1 4
a b
例例62：已知a，b，c R，
求证：a2 b2 c2 a b c bca
证明:Q a,b, c R
a2
a2
b 2 b 2a
b
b
同理 : b2 c 2b, c2 a 2c
c
a
源自文库
相加得 : a2 b2 c2 a b c 2a 2b 2c
bca
即：a2 b2 c2 a b c bca
例例36：已知a, b, c R，且a b c 1, 求证：
2.已知a b 0,求证 : aabb abba
（作商）比 较法
解析；两个式子都是幂的形式，故可考虑用比商法
第二题如果条件改为：a>0,b>0,a≠b,那结果如何？
--------综合法
利用某些已经证明过的不等式（重要不等式和 均值不等式）和不等式的性质推导出所要证明 的不等式成立，这种方法通常叫做综合法。
当且仅当a b c 1时等式成立。 3
▲1、已知a、b是正实数，求证：
a ＋ b a＋ b ba
提示：比较法，综合法
2、若a、b、c均为正数且a＋b＋c＝1， 求证： ① a2 b2 c2 1
3 ② ab bc ca 1
3
例例84：已知a，b，c R，且互不相等，且abc 1，
不等式的证明方法 1.比较法
(1).比差法
依据: a b 0 a b 步骤: a b 0 a b ①作差；②变形；③定号.
ab0 ab
(2).比商法
依据: 若a 0,b 0,则：
ab
ab
ab
a 1 ba 1 ba 1
b
2.综合法
综合法是从已知条件入手去探明解题途径,概括地说, 就是”从已知,利用性质,定理等,逐步推向未知”.其 思路是”由因导果”.即从已知条件A出发,得到结论 B1,由B1又可得到B2,…..由Bn可以推出结论B成立.
例题: 例1 若x 0,
求证: x 1x 2x2 1 x 1x 2 2x
解析；两个式子都是乘积的形式，故可考虑用比商法
注意:
1.用作商比较法证明不等式的步骤是:作商—变 形—判断与1的大小关系. 2.有时所比较的两个实数或数式有相同的因式，可 以用作商法进行约分化简。
例2 ⑴ 求证:1618>1816 ．