精品数学 选择性必修二5.2.1基本初等函数的导数 学案

5.2.1基本初等函数的导数导学案

1. 能根据定义求函数y＝c，y＝x，y=x2，y=1

x

,y=√x的导数．

2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．

重点：基本初等函数的导数公式的简单应用

难点：根据定义求函数y＝c，y＝x，y=x2，y=1

x

,y=√x的导数

原函数导函数

f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝

f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝

f(x)＝sin x f′(x)＝

f(x)＝cos x f′(x)＝

f(x)＝a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝

f(x)＝e x f′(x)＝

f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)

f′(x)＝_______

f(x)＝ln x

f′(x)＝___

1.函数y＝4

x2在x＝2处的导数为________．

2．常数函数的导数为0说明什么？

3．对于公式“若f(x)＝xα(α∈Q)，则f′(x)＝αxα－1”，若把“α∈Q”改为“α∈R”，公式是否仍然成立？4．下列说法正确的个数为()

①若y＝2，则y′＝1

2×2＝1；②若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x；

③f(x)＝1

x3，则f′(x)＝－3 x4.

A．0个B．1个C．2个D．3个5．(多选)下列结论正确的是()

A．若y＝0，则y′＝0B．若y＝5x，则y′＝5

C ．若y ＝x －1

，则y ′＝－x －2

D ．若y =x 12

，则y ′＝12

x 1

2

6．若y ＝cos 2π

3，则y ′＝ ( )

A ．－

32 B ．－12 C ．0 D.12

7．函数y ＝x 在点⎝⎛⎭⎫14，12处切线的倾斜角为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4

一、 学习导引

由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的。在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的。由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数。本节我们就来研究这些问题。 二、新知探究

1.求函数在x 0处的导数的方法．

(1)求Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．

(2)求变化率Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0

Δx .

(3)求极限的y ′|x ＝x 0

＝f ′(x 0)＝lim Δx →0

Δy

Δx .

2.怎样求导函数？

(1)求改变量Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )． (2)求比值Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x

Δx .

(3)求极限的y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0

Δy

Δx

. 思考：导数与导函数有什么区别和联系？那么如何求几种常见函数的导数？ 问题1. 函数 y =f (x )=c 的导数

若y =c 表示路程关于时间的函数，则y ′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态。

问题2.函数y=f(x)=x的导数

若y=x表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体的瞬时速度始终为1的匀速直线运动。

问题3.函数y=f(x)=x2的导数

y′=2x表示函数y=x2的图像，上点(x,y)处切线的斜率为2x,说明随着x变化，切线的斜率也在变化。另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y′=2x表明；

当x<0时，随着x增加，|y′|越来越小，y=x2减少得越来越慢；

当x>0时，随着x增加，|y′|越来越大，y=x2增加得越来越快；

若y=x2表示路程关于时间的函数，则y′=2x可解释为某物体做变速运动，它在时刻x瞬时速度为2x。

三、典例解析

例1.求下列函数的导数．

(1)y ＝1x 5；(2)y ＝x 2

x

；

(3)y ＝lg x ；(4)y ＝5x ；(5)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x .

1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．

2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误． 3．要特别注意“1

x 与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．

跟踪训练1．求下列函数的导数： (1)y ＝

x

x

(x ＞0)； (2)y ＝sin(π－x )； (3)y ＝log 13

x .

例2 假设某地在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价P （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系

p (t )=p 0(1+5%)t ,

其中p 0为t =0时的物价，假定某种商品的p 0=1,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？（精确到0.01元/年）

跟踪训练2 质点的运动方程是S (t )＝sin t ，则质点在t ＝时的速度为______；质点运动的加速度为_____；

例3 已知曲线y ＝1

x

.

(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求过点Q (1,0)的曲线的切线方程．

利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况

(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；

(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．

跟踪训练3 当常数k 为何值时，直线y 1＝x 与曲线y 2＝x 2＋k 相切？请求出切点．