【帮帮群】2.7：解不等式(3)无理不等式及含绝对值不等式的解法

（）
（A）p 与 q 均为假命题
（B）p 与 q 均为真命题
（C）p 为真命题 q 为假命题
（D）p 为假命题 q 为真命题
二、典型例题
例 1．设不等式 5 x 7 | x 1| 与 ax2 bx 2 0 同解，求 a,b 的值。 分析：要求 a,b 的值，只要知道不等式 ax2 bx 2 0 的解集即可，由已知只要解不 等式 5 x 7 | x 1| 。
（1）当 a > 1时，原不等式的解集为 [0.+ ¥ ) ；（2）当 0 < a < 1时，原不等式的解
集为
éêêë0,
2a 1- a
2
ùúúû。
【能力训练】 一、选择题：
1．设不等式
f (x) <
g(x) 的解集为
M，不等式组 ìïïíïïî
f
f (x) ³ 0 的解集为 (x) < g2 (x)
2
，得
x
5
2
5
从图中可以看出不等式的解集为 [1,
5
2
5)。
例 4．设 a＞0 且 a≠1，解关于 x 的不等式 x2 1 ax 1。 解法指导：本题使用数形结合较好。 解：由 x2 1 ax 1，得 x2 1 ax 1。
设 y1 x2 1, y2 ax 1，并作出这两个函数的图象（如图）
6．不等式
x 1+
x
>
x 1+
x
的解集为
______________
；
7．若不等式 x - 4 - x - 3 > a 有解，则 a 的取值范围为 ______________ ；
8．不等式 (x - 1)× x2 - x - 2 ³ 0 的解集为 _______________ ；
9．设集合 A={x
解法指导:：去绝对值符号有两种常用方法（1）零点分区间法；（2）两边平方法(不
等式能两边平方的条件是不等式的两边非负)。
解：方法一：零点分区间法。
方法二：两边平方法。
5
x
7
|
x
1 |
(5
5 x 0
x)2 7 | x
1|2
4 x 2
x5 9x 2
0
2
x
1 4
。
于是可求得 a 4,b 9 。 思考：如何解不等式| 5 x | 7 | x 1| 。
答：
2
x
1 4
．
例 2． 设函数f (x) 2 x1 x1 , 求使f ( x) 2 2的x 取值范围。
解：由于 y 2x 是增函数，f(x) ≥ 2
2
等价于
x
1
x
1
3 2
(1)当 x 1时, x 1 x 1 2, ∴① 式恒成立.
(2)当
1
x
1 时,
x
1
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x
1
2x,
①
式化为
2x
3 2
,即 3 4
2．不等式（x—2） x2 2x 3 0 的解集是
。
3．不等式 4x x2 x的解集是
（）
(A)（0，2） (B)（2，+∞） (C) 2, 4 (D) , 0 2,
4．命题 p：若 a、b∈R，则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件；
命题 q：函数 y = | x - 1| - 2 的定义域是 (- ¥ ,- 1] U[3,+ ¥ ) .则
N，则
M、N 之间的关系为（ ） （A） M = N （B） M Ê N （C） M Ø N （D） M Í N
2．全集为 R， A = { x | x2 - 5x - 6 > 0} , B = { x || x - 5 |< a} （ a 为常数），且11Î B ，
则（ ） （A） CU A U B = R （B） A UCU B = R （C） CU A UCU B = R （D） A U B = R
x
1
(3)当 x 1时, x 1 x 1 2, ①式无解。
①。
综上,x
的取值范围是
3 4
,
。
变题：已知 2 x1 x1 a 在 x Î R 上恒成立，求 a 的取值范围。
答：
a
1 4
．
例 3．解关于 x 的不等式
x 1 x 2
解法指导：解无理不等式有两种常见的思考方法，一种是通过等价变形把无理不等 式化为有理不等式；另一种是通过数形结合求解。 解法一：原不等式可化为
x 2 0
（1）
x 1 0
（2）
x 1 (x 2)2
x20 x 10
解得不等式组（1）的解为 2
x
5 2
5
，不等式组（2）的解为1
x 2，
综上可得：1
x
5 2
5
。
解法二：数形结合法。 设 y1 x 1, y2 x 2 ，并作出函数 y1, y2 的图象（如图）
由
x 1
x
(A) a > 1 (B) a < 1 (C) a £ 1 (D) a ³ 1 5.已知 h > 0 ,设命题甲:两个实数 a,b 满足 a - b < 2h ；命题乙：两个实数 a,b 满足
a - 1 < h 且 b - 1 < h ，则甲是乙的（ ）
（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要 条件 二、填空题
3．若 f (x) = kx2 - 6kx + k + 8 的定义域为 R，则实数 k 的取值范围为（ ）
（A） (0.1] （B）(- ¥ , 0) U(1,+ ¥ ) （C）[0,1] （D）(1,+ ¥ )
4.若不等式 x - 4 - x - 3 £ a 对一切 x Î R 恒成立,则实数 a 的取值范围为( )
4x 1 9, x R}, B {x
x x3
0, x R},则A B
___________
；
10 ． 若 不 等 式 |x—1| ＜ a 成 立 的 充 分 条 件 是 0 ＜ x ＜ 4 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ________ 。
。
f (x) g 2 (x)
2． 利用绝对值的意义与两边平方法可去绝对值符号： （1）| f (x) | g(x) g(x) f (x) g(x) ；
|
f
(x) |
g(x)
f
g(x) 0 2 (x) g2 (x)
（2）| f (x) | g(x) f (x) g(x) 或 f (x) g(x) 。 【基础训练】 1．（2004 年全国）不等式|x+2|≥|x|的解集是 ___________。
2．7 无理不等式的解法及含有绝对值不等式的解法
【知识要点】 1． 两边平方，化无理不等式为有理不等式（组）：
（1） 不等式
f
(x)
g(x)
f
f (x) g(x) (x)
0 0 g 2 ( x)
或
f (x)
g(x)
0 0
；
（2） 不等式
f (x) 0
f
(x)
g(x)
g(x) 0