【帮帮群】2.7：解不等式(3)无理不等式及含绝对值不等式的解法
带绝对值的不等式怎么解
带绝对值的不等式怎么解
绝对值不等式解法的基本思路是去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有绝对值定义法、平方法、零点区域法。
在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。
它们都是通过非负数来度量的。
扩展资料
解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值符号。
而去掉绝对值符号的基本方法有二。
其一为平方，所谓平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了；其二为讨论，所谓讨论，即x≥0时，|x|=x；x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了。
说到讨论，就是令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的.x值，取交集，综上所述即可。
在运用上述方法求绝对值不等式的解集时，如能根据已知条件灵活地运用绝对值不等式的常见形式，不仅可以简化运算、简便地求出它的解集，而且有利于培养学生思维灵活性。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式在数学中有着广泛的应用，它们涉及到了绝对值的概念和不等式的解法。
本文将介绍几种常见的绝对值不等式的解法，并给出相应的例子进行说明。
一、绝对值不等式的基本性质在解绝对值不等式之前，我们先来了解一些绝对值的基本性质。
对于任意实数a，有以下三个性质：1. 非负性质：|a| ≥ 0绝对值表示的是一个数距离原点的距离，因此它始终是非负的。
2. 正负性质：如果a > 0，则 |a| = a；如果a < 0，则 |a| = -a这是绝对值的定义，即当a为正时，取a的值；当a为负时，取-a 的值。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|这是绝对值的三角不等式，它表明两个数的绝对值之和不超过它们的绝对值的和。
有了以上基本性质的了解，我们可以利用它们来解决绝对值不等式。
二、1. 绝对值的定义法义来解决不等式。
例如，对于不等式 |2x - 3| ≤ 5，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当2x - 3 ≥ 0时，|2x - 3| = 2x - 3，此时原不等式可以转化为2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4。
（2）当2x - 3 < 0时，|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3，此时原不等式可以转化为 -2x + 3 ≤ 5，解得x ≥ -1。
综合以上两种情况的解集，最终得到该不等式的解集为 -1 ≤ x ≤ 4。
2. 绝对值的范围法当绝对值中的表达式的取值范围已知时，我们可以利用绝对值的非负性质来解决不等式。
例如，对于不等式 |x - 3| > 2，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当 x - 3 > 0 时，|x - 3| = x - 3，此时原不等式可以转化为 x -3 > 2，解得 x > 5。
（2）当 x - 3 < 0 时，|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3，此时原不等式可以转化为 -x + 3 > 2，解得 x < 1。
含绝对值的不等式解法(总结归纳)
含绝对值的不等式解法、一元二次不等式解法[教材分析] |x|的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点O的距离，所以|x|<a (a>0)的解集是{x|-a<x<a}；不等式|x|>a (a>0)的解集是{x|x>a或x<-a}。
把不等式|x|<a与|x|>a (a>0)中的x替换成ax+b，就可以得到|ax+b|<c与|ax+b|>c (c>0)型的不等式的解法。
一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解。
而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标。
求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集。
求解以上两种不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。
x2+3x-4<0 (x+4)(x-1)<0 或或-4<x<1或。
原不等式解集为{x|-4<x<1}。
x2+3x-4<0 (x+)2< |x+|< -<x+< -4<x<1。
原不等式解集为{x|-4<x<1}。
[例题分析与解答]例1．解关于x的不等式|ax-2|<4，其中a∈R。
[分析与解答]：|ax-2|<4属于|x|<c(c>0)型。
∴-4<ax-2<4, 不等号各端加2，得-2<ax<6。
当a>0时，-<x<，当a<0时，->x>,当a=0时，不等式化为2<4，显然x∈R。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。
在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。
一、图像法图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。
例1：解不等式 |x - 2| > 3。
首先，我们可以将其转化为两个方程：x - 2 > 3 或 x - 2 < -3解得：x > 5 或 x < -1将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。
通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。
二、符号法符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。
例2：解不等式 |2x - 3| ≤ 4。
根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件：2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4解得：x ≤ 7/2 且x ≥ -1/2将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。
三、分情况讨论法分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。
例3：解不等式 |3x + 2| > 5。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5解得：x > 1 且 x < -7/3因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或x > 1。
四、代数法代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。
例4：解不等式 |x - 4| ≥ 2。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2解得：x ≥ 6 或x ≤ 2因此，原不等式的解集为x ≤ 2 或x ≥ 6。
综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。
含绝对值不等式的解法(含答案)(可编辑修改word版)
⎨ ⎩ 含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）、公式法：即利用 x > a 与 x < a 的解集求解。
主要知识：1、绝对值的几何意义： x 是指数轴上点 x 到原点的距离； x 1 - x 2 两点间的距离.。
2、 x > a 与 x < a 型的不等式的解法。
是指数轴上 x 1 ， x 2 当a > 0 时，不等式 x > 的解集是{x x > a ,或x < -a}不等式 x < a 的解集是{x - a < x < a };当a < 0 时，不等式 x > a 的解集是{x x ∈ R }不等式 x < a 的解集是∅ ;3． ax + b > c 与 ax + b < c 型的不等式的解法。
把 ax + b 看作一个整体时，可化为 x < a 与 x > a 型的不等式来求解。
当c > 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x ax + b > c ,或ax + b < -c}不等式 ax + b < c 的解集是{x - c < ax + b < c };当c < 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x x ∈ R }不等式 a + bx < c 的解集是∅ ;例 1 解不等式 x - 2 < 3分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“ x - 2 ” 看着一个整体。
答案为{x - 1 < x < 5}。
(解略)⎧a (a > 0), （二）、定义法:即利用 a = ⎪0(a = 0), ⎪-a (a < 0). 去掉绝对值再解。
含绝对值不等式的解法 ppt课件
x<1或x>3，
即x≤9， x≥－5.
∴－5≤x<1 或 3<x≤9.
∴原不等式解集为{x|－5≤x<1 或 3<x≤9}．
ppt课件
10
法二：原不等式可转化为 －7≤2－x<－1或1<2－x≤7， ∴3<x≤9或－5≤x<1， ∴原不等式解集为{x|－5≤x<1或3<x≤9}． 【名师点评】 本例题是不等式的一种常见 题，第二种解法要比第一种解法更为简 单．也可根据绝对值的意义解题．
ppt课件
31
误区警示
例 求使不等式|x－4|＋|x－3|<a有解的a的取 值范围． 【错解】 ∵|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1. ∴|x－4|＋|x－3|有最小值为1. ∴a<1时原不等式有解． 【错因】 “|x－4|＋|x－3|<a有解”理解错． 上述解法是无解的情况．
ppt课件
ppt课件
29
【名师点评】 解关于恒成立问题时注意等 价转化思想的应用．
f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
ppt课件
30
变式训练3 若不等式|x＋3|－|x－5|<m对 x∈R恒成立，则m的取值范围为________． 解析：|x＋3|－|x－5|≤|x＋3－x＋5|＝8， ∴|x＋3|－|x＋5|的最大值为8， ∴m>8. 答案：(8，＋∞)
ppt课件
6
(3)原不等式可化为－5<x2－3x＋1<5， x2－3x＋1>－5，
即x2－3x＋1<5. ∴x－∈1R<x，<4， 即－1<x<4. ∴原不等式的解集为{x|－1<x<4}．
含绝对值的不等式解法PPT教学课件
• 不等式解集含义； • 会在数轴上表示解集； • 不等式性质及其利用； • 绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法，
当a>0时，
| x | a a x a; | x | a x a或x a.
二、定理：
| a | | b || a b || a | | b |
证明： | a | a | a |
例4.已知|a|＜1，|b|＜1，求证:
证明：a b 1 ab
1
ab 1 ab
2
1
a b 1. 1 ab
a2 2ab b2 1 2ab a2b2
1 a2 b2 a2b2 0
1 a2 1 b2 0.
由 a 1, b 1,可得 1 a 2 1 b2 0成立，所以
在设置情境上绞尽脑汁的原因。从教育现象学视角审视“情境教学”“情境学习”与“情境教育”，或许会更深入。
ab 1 ab
1.
注 这道题的证明过程中，用了
这一结论．
定理：| a | | b || a b || a | | b |
四. 练习：
2．求证：
(1)|(A＋B)－(
五、课时小结
1. 含绝对值不等式解法关键是去掉绝对 值符号；
2. 注意在解决问题过程中不等式的几何 意义；
如果我们能够从现象学的视角去思考与把握，那么任何一个平常的经验就可以转化为教学资源。试想，学生有了亲身经验，而且是当下或者最近的经验，他们会无话可说、无文可写吗？马克 斯·范梅南说：“从某种意义上说，所有现象学都是指向实践的——生活的实践。”②我以为，这个论断对杜威的“教育即生活”做了很好的诠释，同时也为我们正确地理解情境与教学提供了一种思
＝|x|＋2|y|＋3|z|．
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式通常需要根据绝对值的性质进行分类讨论，然后根据不同情况分别解出不等式。
以下是带有绝对值的不等式的一般解法步骤：
1. 首先，需要确定绝对值内的表达式的符号。
2. 根据表达式的符号，将不等式分成两种情况进行讨论。
3. 对于每种情况，将绝对值符号去掉，并解出不等式。
4. 最后，将两种情况下的解集合并起来，得到最终的解集。
以下是一些常见的带有绝对值的不等式的解法示例：
1. 绝对值不等式：|x|<a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x<a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x<a，即x>-a。
因此，不等式的解集为-a<x<a。
2. 绝对值不等式：|x|>a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x>a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x>a，即x<-a。
因此，不等式的解集为x<-a或x>a。
3. 绝对值不等式：|x-a|<b（其中a、b为常数）
当x\ge a时，|x-a|=x-a，则原不等式可化为x-a<b，即x<a+b。
当x<a时，|x-a|=a-x，则原不等式可化为a-x<b，即x>a-b。
因此，不等式的解集为a-b<x<a+b。
需要注意的是，对于带有绝对值的不等式，解集可能包含零值，也可能不包含零值，具体情况需要根据不等式的具体形式进行讨论。
1。
绝对值不等式的解法
例1 已知ε >0，|x-a|<ε ,|y-b|<ε ，求证：
|2x+3y-2a-3b|<5ε .
证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε .
y
O -2
2 x
由 图 象 可 知 原 不 等 式 的 为 ,3 2, 解集
（2） a x b c和 x aHale Waihona Puke x b c x 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义
②零点分区间法
③构造函数法
练习：P20第8题(2)
8.( 2)解不等式x 2 x 3 4
（2） a x b c和 x a x b c x 型不等式的解法
例5
解不等式 x 1 x 2 5
A1 -3 A -2 B 1 B1 2 x
解法1： 设数轴上与 2， 对应的点分别是 ， ， B 1 A
1 那么A， ， 两点的距离是 ， 因此区间 2， 上的 3
分ab>0和ab<0两种情形讨论：
（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|
x
O
a
b
a+b
a+b
b
a
O
x
（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0， 如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
无理不等式的解法课件
答案解析
要点一
解析2
首先移项，然后两边平方，化简后求解。
要点二
解法
将原不等式变形为$\sqrt{3}x + \sqrt{2} - 2x - 1 > 0$， 即$(\sqrt{3} - 2)x > - \sqrt{2} + 1$，两边平方得 $(\sqrt{3} - 2)^{2}x^{2} > (- \sqrt{2} + 1)^{2}$，化简 得$(5 - 2\sqrt{6})x > - (5 - 2\sqrt{6})$，解得$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$，即$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$，所以原不等式的解集为$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$。
易错点分析
忽略根式非负性的限制
在解无理不等式时，学生容易忽略根式非负 性的限制，导致解题错误。
忽视不等式的解集
在解无理不等式时，学生容易忽视不等式的 解集，导致解题错误。
对绝对值的理解不准确
在将根式转化为绝对值时，学生容易对绝对 值的意义理解不准确，导致解题错误。
对负数开平方的错误认识
学生容易认为负数不能开平方，从而在解无 理不等式时出现错误。
中等难度无理不等式例题
总结词
掌握中等难度的无理不等式解题技巧，提高解题能力。
详细描述
通过几个中等难度的无理不等式例题，讲解如何利用平方差公式、不等式的基本性质等技巧解题，并注重解题思 路和方法的讲解。
高难度无理不等式例题
总结词
深入探究高难度无理不等式的解法，拓展解题思路。
含绝对值的不等式解法
含绝对值的不等式解法一、学习要求：1、掌握|x|＜a，|x|＞a型不等式解法。
2、能将含绝对值的不等式化归为|x|＜a，|x|＞a型的不等式。
3、掌握实数子集的简洁表示法──区间。
二、例题：第一阶梯例1、总结一下初中学过的不等式的基本性质。
答案：不等式的基本性质：说明：1、上面每条性质后面用括号注明性质的名称，其用意是帮助你加深理解和记忆。
这些性质到了高中二年级还要系统学习，如果在高一你就熟练地掌握了不等式的基本性质，那么你的整个数学学习将少犯错误。
2、上面使用了现代语言符号""、""，后面将在"充要条件"一节中学习它，现在""译成"推出"，而"A B"表示"A B，且B A"，即""译成"等价"较早地熟练使用这些符号，将推进你的数学学习。
例2、写出实数绝对值的定义。
答案：说明：绝对值的定义是用分类法给出的，这种分类是以"0"划分的，所以叫做"零点划分"。
利用绝对值的定义可以脱去绝对值，同时"零点划分"是今后解决含绝对值的问题的一个基本分类方法。
例3、写出不等式|x|＜a，|x|＞a（a＞0）的同解定理，并把解表示在数轴上。
提示：|x|的几何意义表示数轴上的点x到原点的距离，利用绝对值的几何意义，直接得到不等式的解。
答案：不等式|x|＜a，|x|＞a（a＞0）的同解定理是（Ⅰ）|x|＜a－a＜x＜a；（Ⅱ）|x|＞a x＜－a，或x＞a。
说明：1、同解定理（Ⅰ）和（Ⅱ）要利用绝对值的几何意义记熟。
2、应用同解定理（Ⅰ）和（Ⅱ）解|ax+b|＜c，|ax+b|＞c（c＞0）型不等式：设ax+b=y，则这两个不等式化为|y|＜c，|y|＞c再应用同解定理可解。
这个方法叫做换元法。
含绝对值的不等式解法
含绝对值的不等式解法
一、定义
绝对值不等式是一种广义不等式，它由一个带有绝对值符号的线性表达式组成，其中
左右两边都有一个绝对值函数，比较两边绝对值之间的大小，可以把它归类到不等式中。
绝对值不等式可以简化计算结果，使计算更简单、更清晰，是一个非常有用的工具。
二、解法
正解法是一种解决含绝对值不等式的最常用的方法，它的解法可以分为以下几步：
A、将整个不等式中的绝对值符号变成两个端口，并把它们的表示值记录下来，即
|x|=a。
B、将绝对值不等式变形，对其中的变量进行简化处理，例如：x+2～x-2，可以简写成：x～-2。
C、把原绝对值不等式分成两个不等式，一个为x>-2，另一个为x<2，将这两个不等
式分别求解，比较两个解集，得出整个问题的解集。
2、交叉解法
三、小结
从前面的介绍，我们可以知道，含绝对值的不等式的解法有两种：正解法和交叉解法，它们都是一种比较常用的方法。
这两种方法都是非常有效的，但是正解法更加直接，它可
以把原先复杂的绝对值不等式简化，使问题变得更清晰可控。
含绝对值不等式的解法
备选题 2 解关于 x 的不等式 |3x-2|<2m-1(m∈R). ∈ 可讨论如下: 解: ∵m∈R, ∴可讨论如下 ∈ (1)当 2m-1≤0 即 m≤ 1 时, x 不存在 当 不存在; 2 (2)当 2m-1>0 即 m> 1 时, 原不等式等价于 当 2 1-2m<3x-2<2m-1. 2m+1 解得 - 2m-3 <x< 3 . 3 综上所述, 当 m≤ 1 时, 原不等式的解集为 ∅; 当 m> 1 时, 综上所述 2 2 原不等式的解集为 (- 2m-3 , 2m+1 ). - 33
典型例题 3 3x 解不等式 | x2-4 |≤1. 3x 2 3x 解法二 | 2 |≤1⇔( 2 ) ≤1 ⇔ x -4 x -4 ⇔9x2≤(x2-4)2(x≠± ≠±2) ≠± ⇔x4-17x2+16≥0 ⇔x2≤1 或 x2≥16 ⇔x≤-4 或 -1≤x≤1 或 x≥4. ∴原不等式的解集为 (-∞, -4]∪[-1, 1]∪[4, +∞). ∪∪ ∞
学一学, 学一学 练一练 x>0, 解不等式组 3-x 2-x >| x+2 |. 3+x x-3 2-x 3-x 3-x 2-x 解法一 3+x >| x+2 |⇔ 3+x < x+2 < 3+x . ⇔ x>0, ⇔ (3-x)(x+2)>(x-2)(3+x), (3-x)(x+2)>(2-x)(3+x). x>0, x>0, 2+x+6>x2+x-6, ⇔ ⇔ -x x2<6. -x2+x+6>-x2-x+6, ∴0<x< 6 . ∴原不等式组的解集为 (0, 6 ).
无理不等式与绝对值不等式[最新版]
![无理不等式与绝对值不等式[最新版]](https://img.taocdn.com/s3/m/6d441b7302d276a201292e6c.png)
注：尊敬的各位读者，本文是笔者教育资料系列文章的一篇，由于时间关系，如有相关问题，望各位雅正。
希望本文能对有需要的朋友有所帮助。
如果您需要其它类型的教育资料，可以关注笔者知识店铺。
由于部分内容来源网络，如有部分内容侵权请联系笔者。
注：尊敬的各位读者，本文是笔者教育资料系列文章的一篇，由于时间关系，如有相关问题，望各位雅正。
希望本文能对有需要的朋友有所帮助。
如果您需要其它类型的教育资料，可以关注笔者知识店铺。
由于部分内容来源网络，如有部分内容侵权请联系笔者。
高中数学方法总结不等式与绝对值的解法与不等式组解法
高中数学方法总结不等式与绝对值的解法与不等式组解法高中数学方法总结：不等式与绝对值的解法与不等式组解法不等式是数学中常见的问题，解决不等式问题需要掌握一定的数学方法和技巧。
在高中数学中，不等式与绝对值的解法以及不等式组的解法是常见的题型，下面将对这些内容进行总结。
一、不等式与绝对值的解法1.1 单变量不等式解法对于单变量不等式，可以使用图像法或者代数法来解决。
对于图像法，可通过绘制不等式的图像，观察图像与坐标轴的交点来得到解的范围。
代数法中常用的有加减法、乘除法和开方法。
1.2 绝对值不等式解法绝对值不等式是指带有绝对值符号的不等式。
常见的解法有分类讨论法和代数法。
分类讨论法将绝对值拆解为正负两个部分，分别进行讨论求解。
代数法可以通过构建不等式的条件，将绝对值不等式转化为一元一次不等式或二次不等式。
二、不等式组解法不等式组是由多个不等式组成的问题。
解决不等式组问题一般采取分段讨论法和代数法两种方法。
2.1 分段讨论法分段讨论法适用于不等式组的条件较少且简单的情况。
通过将不等式组的解空间进行分段，然后分别解决每个子不等式，最后将各个子解空间的交集作为问题的解空间。
2.2 代数法代数法适用于不等式组条件复杂的情况。
常见的代数法有代数解法和系数比较法。
代数解法通过将不等式组进行整理和转化，得到等价的简化形式，进而求解。
系数比较法则通过对不等式组条件中的系数进行比较，确定解的范围。
三、不等式与绝对值解法的应用3.1 实际问题的建模与解决不等式与绝对值解法在实际问题的建模与解决中起着重要的作用。
通过把实际问题转化为数学问题，可以使用不等式和绝对值来描述问题的约束条件，然后通过解不等式和绝对值不等式来获得问题的解。
3.2 函数图像与不等式关系不等式与绝对值的解法与函数图像有密切的关系。
通过绘制函数的图像，我们可以更直观地理解不等式与绝对值的解法，并且能够从图像中获得更多的信息，辅助我们解答问题。
四、不等式与绝对值解法的拓展不等式与绝对值的解法还有很多其他的拓展应用，例如通过变量代换法、基本不等式、奇偶性判断等方法来求解复杂的不等式问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
。
f (x) g 2 (x)
2． 利用绝对值的意义与两边平方法可去绝对值符号： （1）| f (x) | g(x) g(x) f (x) g(x) ；
|
f
(x) |
g(x)
f
g(x) 0 2 (x) g2 (x)
（2）| f (x) | g(x) f (x) g(x) 或 f (x) g(x) 。 【基础训练】 1．（2004 年全国）不等式|x+2|≥|x|的解集是 ___________。
(A) a > 1 (B) a < 1 (C) a £ 1 (D) a ³ 1 5.已知 h > 0 ,设命题甲:两个实数 a,b 满足 a - b < 2h ；命题乙：两个实数 a,b 满足
a - 1 < h 且 b - 1 < h ，则甲是乙的（ ）
（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要 条件 二、填空题
（）
（A）p 与 q 均为假命题
（B）p 与 q 均为真命题
（C）p 为真命题 q 为假命题
（D）p 为假命题 q 为真命题
二、典型例题
例 1．设不等式 5 x 7 | x 1| 与 ax2 bx 2 0 同解，求 a,b 的值。 分析：要求 a,b 的值，只要知道不等式 ax2 bx 2 0 的解集即可，由已知只要解不 等式 5 x 7 | x 1| 。
2．不等式（x—2） x2 2x 3 0 的解集是
。
3．不等式 4x x2 x的解集是
（）
(A)（0，2） (B)（2，+∞） (C) 2, 4 (D) , 0 2,
4．命题 p：若 a、b∈R，则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件；
命题 q：函数 y = | x - 1| - 2 的定义域是 (- ¥ ,- 1] U[3,+ ¥ ) .则
6．不等式
x 1+
x
>
x 1+
x
的解集为
______________
；
7．若不等式 x - 4 - x - 3 > a 有解，则 a 的取值范围为 ______________ ；
8．不等式 (x - 1)× x2 - x - 2 ³ 0 的解集为 _______________ ；
9．设集合 A={x
3．若 f (x) = kx2 - 6kx + k + 8 的定义域为 R，则实数 k 的取值范围为（ ）
（A） (0.1] （B）(- ¥ , 0) U(1,+ ¥ ) （C）[0,1] （D）(1,+ ¥ )
4.若不等式 x - 4 - x - 3 £ a 对一切 x Î R 恒成立,则实数 a 的取值范围为( )
4x 1 9, x R}, B {x
x x3
0, x R},则A B
___________
；
10 ． 若 不 等 式 |x—1| ＜ a 成 立 的 充 分 条 件 是 0 ＜ x ＜ 4 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ________ 。
答：
2
x
1 4
．
例 2． 设函数f (x) 2 x1 x1 , 求使f ( x) 2 2的x 取值范围。
解：由于 y 2x 是增函数，f(x) ≥ 2
2
等价于
x
1
x
1
3 2
(1)当 x 1时, x 1 x 1 2, ∴① 式恒成立.
(2)当
1
x
1 时,
x
1
x
1
2x,
①
式化为
2x
3 2
,即 3 4
x 2 0
（1）
x 1 0
（2）
x 1 (x 2)2
x20 x 10
解得不等式组（1）的解为 2
x
5 2
5
，不等式组（2）的解为1
x 2，
综上可得：1
x
5 2
5
。
解法二：数形结合法。 设 y1 x 1, y2 x 2 ，并作出函数 y1, y2 的图象（如图）
由
x 1
x
x
1
(3)当 x 1时, x 1 x 1 2, ①式无解。
①。
综上,x
的取值范围是
3 4
,
。
变题：已知 2 x1 x1 a 在 x Î R 上恒成立，求 a 的取值范围。
答：
a
1 4
．
例 3．解关于 x 的不等式
x 1 x 2
解法指导：解无理不等式有两种常见的思考方法，一种是通过等价变形把无理不等 式化为有理不等式；另一种是通过数形结合求解。 解法一：原不等式可化为
2．7 无理不等式的解法及含有绝对值不等式的解法
【知识要点】 1． 两边平方，化无理不等式为有理不等式（组）：
（1） 不等式
f
(x)
g(x)
f
f (x) g(x) (x)
0 0 g 2 ( x)
或
f (x)
g(x)
0 0
；
（2） 不等式
f (x) 0
f
(x)
g(x)
g(x) 0
（1）当 a > 1时，原不等式的解集为 [0.+ ¥ ) ；（2）当 0 < a < 1时，原不等式的解
集为
éêêë0,
2a 1- a
2
ùúúû。
【能力训练】 一、选择题：
1．设不等式
f (x) <
g(x) 的解集为
M，不等式组 ìïïíïïî
f
f (x) ³ 0 的解集为 (x) < g2 (x)
N，则
M、N 之间的关系为（ ） （A） M = N （B） M Ê N （C） M Ø N （D） M Í N
2．全集为 R， A = { x | x2 - 5x - 6 > 0} , B = { x || x - 5 |< a} （ a 为常数），且11Î B ，
则（ ） （A） CU A U B = R （B） A UCU B = R （C） CU A UCU B = R （D） A U B = R
2
，得
x
5
2
5
从图中可以看出不等式的解集为 [1,
5
2
5)。
例 4．设 a＞0 且 a≠1，解关于 x 的不等式 x2 1 ax 1。 解法指导：本题使用数形结合较好。 解：由 x2 1 ax 1，得 x2 1 ax 1。
设 y1 x2 1, y2 ax 1，并作出这两个函数的图象（如图）
解法指导:：去绝对值符号有两种常用方法（1）零点分区间法；（2）两边平方法(不
等式能两边平方的条件是不等式的两边非负)。
解：方法一：零点分区间法。
方法二：两边平方法。
5
x
7
|
x
1 |
(5
5 x 0
x)2 7 | x
1|2Βιβλιοθήκη 4 x 2x5 9x 2
0
2
x
1 4
。
于是可求得 a 4,b 9 。 思考：如何解不等式| 5 x | 7 | x 1| 。