高中数学竞赛基本公式

高中数学竞赛基本知识

一、三角函数 常用公式

由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式

2cos 12

sin

α

α

-±

= 2

cos 12

cos

α

α

+±

= α

α

ααααα

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

tan

+=-=+-±

=

积化和差

()()[]βαβαβα-++=

sin sin 21

cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21

sin cos

()()[]βαβαβα-++=cos cos 21

cos cos

()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2

1

sin sin

和差化积

2cos

2sin

2sin sin β

αβ

αβα-+=+

2sin

2cos 2sin sin β

αβαβα-+=- 2cos

2cos 2cos cos β

αβαβα-+=+ 2

sin

2sin 2cos cos β

αβαβα-+-=- 万能公式

α

αα2

tan 1tan 22sin +=

α

α

α2

2tan 1tan 12cos +-= α

α

α2tan 1tan 22tan -=

三倍角公式

()()

αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()()

αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3

二、某些特殊角的三角函数值 除了课本中的以外，还有一些

三、三角函数求值

给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子

求值：7

6cos

74cos 72cos

π

ππ++ 提示：乘以7

2sin 2π

，化简后再除下去。

求值：︒︒-︒+︒80sin 40sin 50cos 10cos 2

2

来个复杂的 设n 为正整数，求证

n

n n i n

i 21

212sin

1

+=

+∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲

四、三角不等式证明

最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 例

求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x

设12

π

≥

≥≥z y x ，且2

π

=

++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值。

注：这个题目比较难 数列

关于数列的知识可以说怎么学怎么有，还好我们只是来了解竞赛中最基本的一些东西，不然我可写不完了。☺

1给递推式求通项公式

(1)常见形式即一般求解方法

注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有必要记住结果，否则数学就变成无意义的机械劳动了。

①q pa a n n +=+1

若p=1，则显然是以a 1为首项，q 为公差的等差数列， 若p ≠1，则两边同时加上

1-p q ，变为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+=-++11

1p q a p p q a n n 显然是以1

1-+

p q

a 为首项，p 为公比的等比数列 ②()n f pa a n n +=+1，其中f(n)不是常数 若p=1，则显然a n =a 1+

()∑-=1

1

n i i f ，n ≥2

若p ≠1，则两边同时除以p n+1，变形为

()111++++=n n n n n p

n f p a p a 利用叠加法易得()∑-=++=

1111n i i n n p i f p a p a ，从而()⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+=∑-=-1

111n i i n n p i f a p a 注：还有一些递推公式也可以用一般方法解决，但是其他情况我们一般使用其他更方便的方

法，下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。 (2)不动点法

当f(x)=x 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子：d

a c b

a a a n n n +⋅+⋅=

+1

注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。

我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了 令d

x c b x a x +⋅+⋅=

，即()02

=--+b x a d cx ，

令此方程的两个根为x 1，x 2，