复杂网络基础理论 第二章
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式中，U表示单位指示函数，即当x＞0，U（x）＝1； 否则U（x）＝0。当i＝j时，δij＝1；否则δij＝0。
2.2.1 平均距离
容易用数学归纳法证明
据此，若D为网络直径，则两节点vi和vj之间的距离dij可 以表示为
2.2.2 集聚系数
首先来看节点的集聚系数定义。假设节点vi与ki个节 点直接连接，那么对于无向网络来说，这ki个节点间可 能存在的最大边数为ki（ki－1）／2，而实际存在的边 数为Mi，由此我们定义Ci＝2Mi／［ki（ki－1）］为节 点vi的集聚系数。
2.2.2 集聚系数
【例2.1】计算下面简单网络的直径、平均距离和各节 点的集聚系数。
解：首先计算出所有节点对的距离：d12＝1；d13＝1； d14＝2；d15＝1；d16＝2；d23＝1；d24＝1；d25＝2；d26 ＝2；d34＝2；d35＝2；d36＝1；d45＝3；d46＝1；d56＝3 。由此可得直径和平均距离为
也可以利用式
计算，因为邻接矩
阵A的前三次幂为
2ຫໍສະໝຸດ Baidu2.2 集聚系数
故 ＝2， ＝3，从而 同理可得其他各节点的集聚系数为
C2＝1／3；C3＝1／3；C4＝0；C5＝0；C6＝0 由此很容易算出该网络的集聚系数
2.2.3 度分布
1.节点的度 在网络中，节点vi的邻边数ki称为该节点vi的度。 对网络中所有节点的度求平均，可得到网络的平均
节点vi的集聚系数也可定义为Ci＝NiΔ／NiΛ。式中NiΔ 代表与节点vi相连的“三角形”数目，数值上就等于Mi ；NiΛ代表与节点vi相连的“三元组”数目，即节点vi与 其它两个节点都有连接，即“至少与其他两个分别认 识”，数值上就等于ki（ki－1）／2。
2.2.2 集聚系数
如何根据无向无权简单图的邻接矩阵A来求节点vi的 集聚系数Ci？
2.度分布
大多数实际网络中的节点的度是满足一定的概率分 布的。定义P（k）为网络中度为k的节点在整个网络中 所占的比率。
测地线距离）。 1／dij称为节点vi和vj之间的效率，记为εij。通常效率
用来度量节点间的信息传递速度。当vi和vj之间没有路 径连通时，dij＝∞，而εij＝0，所以效率更适合度量非 全通网络。
网络的直径D定义为所有距离dij中的最大值
2.2.1 平均距离
平均距离（特征路径长度）L定义为所有节点对之 间距离的平均值，它描述了网络中节点间的平均分离 程度，即网络有多小，计算公式为
返回 目录
2.2 网络的基本静态几何特征
2.2.1 平均距离 2.2.2 集聚系数 2.2.3 度分布 2.2.4 实际网络的统计特征
2.2.1 平均距离
1.网络的直径与平均距离 网络中的两节点vi和vj之间经历边数最少的一条简单
路径（经历的边各不相同），称为测地线。 测地线的边数dij称为两节点vi和vj之间的距离（或叫
对于有向网络来说，这ki个节点间可能存在的最大 弧数为ki（ki－1），此时vi的集聚系数Ci＝Mi／［ki（ki －1）］。
将该集聚系数对整个网络作平均，可得网络的平均 集聚系数为
2.2.2 集聚系数
显然，0≤C≤1。当C＝0，所有节点都是孤立节点， 没有边连接。当C＝1时，网络为所有节点两两之间都 有边连接的完全图。对于完全随机网络来说，当节点 数很大时，C→O（1／N）。而许多大规模的实际网络 的集聚系数通常远小于1而大于O（1／N)。对于社会网 络来说，通常随着N→∞，集聚系数C→O（1），即趋 向一个非零常数。
度＜k＞
无向无权图邻接矩阵A的二次幂A2的对角元素 就 是节点vi的邻边数，即 。实际上，无向无权图邻接 矩阵A的第i行或第i列元素之和也是度。从而无向无权 网络的平均度就是A2对角线元素之和除以节点数，即
＜k＞＝tr（A2）／N。式中，tr（A2）表示矩阵A2的迹
，即对角线元素之和。
2.2.3 度分布
统计物理学在模型研究、演化机制与结构稳定性方 面的丰富的研究经验是统计物理学在复杂网络研究领 域得到广泛应用的原因；而图论与社会网络分析提供 的网络静态几何量及其分析方法是复杂网络研究的基 础。
2.1 引言
静态特征指给定网络的微观量的统计分布或宏观统 计平均值。
在本章中我们将对网络的各种静态特征做一小结。 由于有向网络与加权网络有其特有的特征量，我们将 分开讨论无向、有向与加权网络。
对于无向简单图来说，dij＝dji且dii＝0，则上式可简 化为
很多实际网络虽然节点数巨大，但平均距离却小得 惊人，这就是所谓的小世界效应。
2.2.1 平均距离
2.距离与邻接矩阵的关系 定义
对于无权简单图来说，当l＝1时， 。容易证明无权 简单图邻接矩阵A的l次幂Al的元素 表示节点vi和vj之间 通过l条边连接的路径数。当l＝2时，容易推出
显然，邻接矩阵二次幂A2的对角元素 表示的是与 节点vi相连的边数，也就是节点vi的度ki。而邻接矩阵三 次幂A3的对角元素 ＝∑（aij·ajl·ali）（j≠l）表示的是从 节点vi出发经过三条边回到节点vi的路径数，也就是与 节点vi相连的三角形数的两倍（正向走和反向走）。因 此，由集聚系数的定义可知
第二章 网络拓扑结构与静态特征
2.1 引言 2.2 网络的基本静态几何特征 2.3 无向网络的静态特征 2.4 有向网络的静态特征 2.5 加权网络的静态特征 2.6 网络的其他静态特征 2.7 复杂网络分析软件
2.1 引言
与图论的研究有所不同，复杂网络的研究更侧重于 从各种实际网络的现象之上抽象出一般的网络几何量 ，并用这些一般性质指导更多实际网络的研究，进而 通过讨论实际网络上的具体现象发展网络模型的一般 方法，最后讨论网络本身的形成机制。
2.2.2 集聚系数
下面以节点v1的集聚系数计算为例：采用第一种定 义可知，节点v1与3个节点直接连接，而这3个节点之间 可能存在的最大边数为3（3－1）／2，而实际存在的
边数为1，由此可得C1＝2／［3（3－1）］＝1／3。
若采用第二种定义可知：与相连的三角形数为N1Δ ＝１，而与v1相连的三元组数为N1Λ＝3，故C1＝1／3。
2.2.1 平均距离
容易用数学归纳法证明
据此，若D为网络直径，则两节点vi和vj之间的距离dij可 以表示为
2.2.2 集聚系数
首先来看节点的集聚系数定义。假设节点vi与ki个节 点直接连接，那么对于无向网络来说，这ki个节点间可 能存在的最大边数为ki（ki－1）／2，而实际存在的边 数为Mi，由此我们定义Ci＝2Mi／［ki（ki－1）］为节 点vi的集聚系数。
2.2.2 集聚系数
【例2.1】计算下面简单网络的直径、平均距离和各节 点的集聚系数。
解：首先计算出所有节点对的距离：d12＝1；d13＝1； d14＝2；d15＝1；d16＝2；d23＝1；d24＝1；d25＝2；d26 ＝2；d34＝2；d35＝2；d36＝1；d45＝3；d46＝1；d56＝3 。由此可得直径和平均距离为
也可以利用式
计算，因为邻接矩
阵A的前三次幂为
2ຫໍສະໝຸດ Baidu2.2 集聚系数
故 ＝2， ＝3，从而 同理可得其他各节点的集聚系数为
C2＝1／3；C3＝1／3；C4＝0；C5＝0；C6＝0 由此很容易算出该网络的集聚系数
2.2.3 度分布
1.节点的度 在网络中，节点vi的邻边数ki称为该节点vi的度。 对网络中所有节点的度求平均，可得到网络的平均
节点vi的集聚系数也可定义为Ci＝NiΔ／NiΛ。式中NiΔ 代表与节点vi相连的“三角形”数目，数值上就等于Mi ；NiΛ代表与节点vi相连的“三元组”数目，即节点vi与 其它两个节点都有连接，即“至少与其他两个分别认 识”，数值上就等于ki（ki－1）／2。
2.2.2 集聚系数
如何根据无向无权简单图的邻接矩阵A来求节点vi的 集聚系数Ci？
2.度分布
大多数实际网络中的节点的度是满足一定的概率分 布的。定义P（k）为网络中度为k的节点在整个网络中 所占的比率。
测地线距离）。 1／dij称为节点vi和vj之间的效率，记为εij。通常效率
用来度量节点间的信息传递速度。当vi和vj之间没有路 径连通时，dij＝∞，而εij＝0，所以效率更适合度量非 全通网络。
网络的直径D定义为所有距离dij中的最大值
2.2.1 平均距离
平均距离（特征路径长度）L定义为所有节点对之 间距离的平均值，它描述了网络中节点间的平均分离 程度，即网络有多小，计算公式为
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2.2 网络的基本静态几何特征
2.2.1 平均距离 2.2.2 集聚系数 2.2.3 度分布 2.2.4 实际网络的统计特征
2.2.1 平均距离
1.网络的直径与平均距离 网络中的两节点vi和vj之间经历边数最少的一条简单
路径（经历的边各不相同），称为测地线。 测地线的边数dij称为两节点vi和vj之间的距离（或叫
对于有向网络来说，这ki个节点间可能存在的最大 弧数为ki（ki－1），此时vi的集聚系数Ci＝Mi／［ki（ki －1）］。
将该集聚系数对整个网络作平均，可得网络的平均 集聚系数为
2.2.2 集聚系数
显然，0≤C≤1。当C＝0，所有节点都是孤立节点， 没有边连接。当C＝1时，网络为所有节点两两之间都 有边连接的完全图。对于完全随机网络来说，当节点 数很大时，C→O（1／N）。而许多大规模的实际网络 的集聚系数通常远小于1而大于O（1／N)。对于社会网 络来说，通常随着N→∞，集聚系数C→O（1），即趋 向一个非零常数。
度＜k＞
无向无权图邻接矩阵A的二次幂A2的对角元素 就 是节点vi的邻边数，即 。实际上，无向无权图邻接 矩阵A的第i行或第i列元素之和也是度。从而无向无权 网络的平均度就是A2对角线元素之和除以节点数，即
＜k＞＝tr（A2）／N。式中，tr（A2）表示矩阵A2的迹
，即对角线元素之和。
2.2.3 度分布
统计物理学在模型研究、演化机制与结构稳定性方 面的丰富的研究经验是统计物理学在复杂网络研究领 域得到广泛应用的原因；而图论与社会网络分析提供 的网络静态几何量及其分析方法是复杂网络研究的基 础。
2.1 引言
静态特征指给定网络的微观量的统计分布或宏观统 计平均值。
在本章中我们将对网络的各种静态特征做一小结。 由于有向网络与加权网络有其特有的特征量，我们将 分开讨论无向、有向与加权网络。
对于无向简单图来说，dij＝dji且dii＝0，则上式可简 化为
很多实际网络虽然节点数巨大，但平均距离却小得 惊人，这就是所谓的小世界效应。
2.2.1 平均距离
2.距离与邻接矩阵的关系 定义
对于无权简单图来说，当l＝1时， 。容易证明无权 简单图邻接矩阵A的l次幂Al的元素 表示节点vi和vj之间 通过l条边连接的路径数。当l＝2时，容易推出
显然，邻接矩阵二次幂A2的对角元素 表示的是与 节点vi相连的边数，也就是节点vi的度ki。而邻接矩阵三 次幂A3的对角元素 ＝∑（aij·ajl·ali）（j≠l）表示的是从 节点vi出发经过三条边回到节点vi的路径数，也就是与 节点vi相连的三角形数的两倍（正向走和反向走）。因 此，由集聚系数的定义可知
第二章 网络拓扑结构与静态特征
2.1 引言 2.2 网络的基本静态几何特征 2.3 无向网络的静态特征 2.4 有向网络的静态特征 2.5 加权网络的静态特征 2.6 网络的其他静态特征 2.7 复杂网络分析软件
2.1 引言
与图论的研究有所不同，复杂网络的研究更侧重于 从各种实际网络的现象之上抽象出一般的网络几何量 ，并用这些一般性质指导更多实际网络的研究，进而 通过讨论实际网络上的具体现象发展网络模型的一般 方法，最后讨论网络本身的形成机制。
2.2.2 集聚系数
下面以节点v1的集聚系数计算为例：采用第一种定 义可知，节点v1与3个节点直接连接，而这3个节点之间 可能存在的最大边数为3（3－1）／2，而实际存在的
边数为1，由此可得C1＝2／［3（3－1）］＝1／3。
若采用第二种定义可知：与相连的三角形数为N1Δ ＝１，而与v1相连的三元组数为N1Λ＝3，故C1＝1／3。