高中数学选修2-1优质课件：§2.1 曲线与方程
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人教版高中数学选修2-1曲线与方程(共17张PPT)教育课件
即以这个解为坐标的点到点(a,b)的距离为r，它一定在以(a,b)
为圆心、r为半径的圆上.
思考？你能得到什么结论？ (1)曲线C上点的坐标都是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解.
（2）以方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解为坐标的点都在曲线C上.
概念形成
在直角坐标系中，如果如果某曲线C（看作点的集合或适合某
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解
2014年人教A版选修2-1课件 2.1 曲线与方程
第二章
圆锥曲线 与方程
本章内容
2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第二章 小结
2.1.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
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1. 什么是曲线的方程和方程的曲线? 曲线 的方程应满足什么条件?
2. 怎样确定坐标平面上的某点在不在给定的 曲线上?
问题1. 图中直线 l1 的方程是不是 y=|x|? 方程 x+y=1 (x>0) 是不是直线 l2 的方程? (1) l1 的方程不是 y=|x|. 因为方程的解有些不在 直线 l1 上, 如: 点 (-1, 1), (-2, 2), …. (2) 方程 x+y=1 (x>0) 表示
y
l 1 -1 o -1
C
1
x
(2) 圆 C 上任一点的坐标 都是方程 (x-1)2+y2=1 的解, 反之, 方程 (x-1)2+y2=1 的任一解为坐标的点都在
圆 C 上. 所以方程 (x-1)2+y2=1 表示的曲线是圆 C.
一般地, 在直角坐标系中, 如果某曲线 C (看作 点的集合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个 二元方程 f(x, y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么, 这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程 的曲线.
练习(补充)
1. 证明圆心在坐标原点, 半径等于 5 的圆的方 程是 x2+y2=25, 并判断点 M1(3, -4)、M2( - 2 5 , 2) 是 否在这个圆上.
2. 求方程 y=ax2+bx+c 的曲线经过原点的充要条 件.
圆锥曲线 与方程
本章内容
2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第二章 小结
2.1.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
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1. 什么是曲线的方程和方程的曲线? 曲线 的方程应满足什么条件?
2. 怎样确定坐标平面上的某点在不在给定的 曲线上?
问题1. 图中直线 l1 的方程是不是 y=|x|? 方程 x+y=1 (x>0) 是不是直线 l2 的方程? (1) l1 的方程不是 y=|x|. 因为方程的解有些不在 直线 l1 上, 如: 点 (-1, 1), (-2, 2), …. (2) 方程 x+y=1 (x>0) 表示
y
l 1 -1 o -1
C
1
x
(2) 圆 C 上任一点的坐标 都是方程 (x-1)2+y2=1 的解, 反之, 方程 (x-1)2+y2=1 的任一解为坐标的点都在
圆 C 上. 所以方程 (x-1)2+y2=1 表示的曲线是圆 C.
一般地, 在直角坐标系中, 如果某曲线 C (看作 点的集合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个 二元方程 f(x, y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么, 这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程 的曲线.
练习(补充)
1. 证明圆心在坐标原点, 半径等于 5 的圆的方 程是 x2+y2=25, 并判断点 M1(3, -4)、M2( - 2 5 , 2) 是 否在这个圆上.
2. 求方程 y=ax2+bx+c 的曲线经过原点的充要条 件.
选修2-1课件2.1.1曲线与方程
R
M
O Q
x
图2.5 3
证明 1 如图 2 . 5 3 , 设 M x0 , y0 是轨迹上的任意一点.因为点 M 与 x 轴的距离为 | y0 |, 与y轴的距离为 | x0 |, 所以 | x0 | | y0 | k .
即x0 , y0 是方程 xy 的解.
2 设点M 1的坐标 x1 , y1
又如, 以a, b 为圆心、r 为半径的圆的方程是
y
x a 2 y b2 r 2
x a y b r 2 .这 就是说, 如果M x0 , y0 是
2 2
Mx 0 , y0
x
圆上的点, 那么它到圆心 O 的距离一定等于半径, 即
积为常数 k k 0 的点的轨迹方程 .
2 2 2 2
y
x a 2 y b2 r 2
r 的解, 即 x0 a
Mx 0 , y0
x
y0 b 2 r 2 , 也就是 x0 a 2 y0 b 2
O
图2.5 2
r , 即以这个解为坐标的点到点 a, b 的 距离为r , 它一定在以a, b 为圆心r为半径 的圆上 圆 2.5 2 .
2 2
图2.5 2
x0 a y0 b r , 2 2 也就是 x0 a y0 b r 2 , 这说明它的坐 2 2 2 标 x0 , y0 是方程 x a y b r 的解 ;
反过来, 如果 x0 , y0 是 方程 x a y b
2 .1. 1 曲线与方程
前面我们研究了直线、圆、圆锥 曲线的方程 , 讨论了这些曲线( 包 括直线)和相应的方程的关系下面 . 进一步研究一般曲线( 包括直线 ) 和方程的关系.
【数学】2.1.1《曲线与方程》课件(新人教A版选修2-1)
例子：(2)画出函数 y
y 8
= 2x
2
(-1≤x≤2) 的图象C.
y
y = 2x 2
y = 2x 2
(-1≤x≤2)
8
-1
O
2
x
-1
O
2
x
符合条件①不符合条件②
符合条件②不符合条件 ①
例子：(2)画出函数 的图象C.
y 8
y = 2x
2
(-1≤x≤2)
y = 2x 2
(-1≤x≤2)
-1
O
2
x
y 1 -1 0 x 1 y 1 -2 -1 0 1 2 x y 1 -2 -1 0 1 2 x
图3
例2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2 +y2 = 25,并判断点M1(3，-4)，M2(-3，2)是否在这个圆 上.
证明：(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点 的距离等于5，所以 x 0 2 + y 0 2 = 5 , 也就是xo2 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解.
即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够 一一对应
集合的 观点
3、如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点 P( x0 , y0 ) 在曲线C上的充要条件 是 f ( x0 , y0 ) = 0
学习例题巩固定义
例1判断下列结论的正误并说明理由 对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 错（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 例2证明：圆心为坐标原点，半径为5的圆的方程是 y x2 + y2 = 25 5 M 1 (3,−4)、M（ − 2 5， 是否在圆上 2） 并判断 2 变式训练： 变式训练：写出下列半圆的方程
人教B版高中数学选修2-1课件2.1曲线与方程
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0 ① 我们证明方程①是线段AB的垂直平 分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平 分线上每一点的坐标都是方程①解； （2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程 ①的解，即: x+2y1－7=0 x1=7－2y1
点M1到A、B的距离分别是
M 1 A ( x1 1)2 ( y1 1)2 (8 2 y1 )2 ( y1 1)2
建系设点
列式:动点的几何条件
代换:转换为代数方程 化简 利用坐标系 化形为数
这种方法叫直接法
审查
例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l 的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一 点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当 的坐标系，求这条曲线的方程.
解：取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系 设点M(x,y)xOy, 是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足 1）建系设点 是B，
解：设 C（x，y） ．由已知，得 直线 AC 的斜率 y 参数法 : 选取适当的参数 kAC＝ （x≠－5） ； ,分别用参数表示动 x 得出轨迹的参数方程，消去参数， 5 点坐标x,y, 直线 BC 的斜率 x y 即得其普通方程。 写成 － ＝1（x≠±5） ． y 25 25m kBC＝ （x≠5） ； x5 由题意，得 kACkBC＝m，
例1.设A、B两点的坐标是(－1,－1)，(3,7)， 求线段AB的垂直平分线的方程.
解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也 P M | MA || MB | 就是点M属于集合 由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：
.
( x 1)2 ( y 1)2 ( x 3)2 ( y 7)2
人教A版高中数学选修2-1课件2.1.1曲线与方程(A)
F(x0,y0)=0.
y
例1证明圆心为坐标原点， 半径等于5的圆的方程是
x2 y2 25, 并判断点
M2
o
x
M1
M1(3,-4)、 M2 (2 5,2), 是否在这个圆上。
2.求曲线的方程
课堂新授坐标法：把借助Fra bibliotek标系研究几何图形的方法叫做 坐标法。
解析几何：是用代数方法研究几何问题的一门 数学学科。
k的点的集合P={M||MR|.|MQ|=k}
y
M
R
oQ
x
其中Q,R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足。 因为|MR|=|x|,|MQ|=|y|，所以|x|.|y|=k
即xy k. （证明略）
课堂小结
建立坐标系的一般规律:
1.两条垂直的直线 以该二直线为坐标轴.
2.对称图形 以对称图形的对称轴为坐标轴.
3.已知长度的线段 以线段所在直线为对称轴，端点或中点为原点.
课堂小结
关于化简方程
在求轨迹方程的问题中，如果化简方程 过程是同解变形.则由此所得的最简方程就 是所求曲线的方程，可以省略“证明”;
如果化简过程不是同解变形，所求得的 方程就不一定是所求曲线的方程.此时， 应该通过限制x，y的取值范围来去掉增根，
使得化简前后的方程同解.
课堂新授
例3.已知一条直线l和它上 方的一个点F，点F到l的距 离是2。一条曲线也在l的 上方，它上面的每一点到
F的距离减去到l的距离的 差都是2，建立适当的坐标 系，求这条曲线的方程。
y
F
M
o
Bx
课堂练习
课本P37练习1、2、3 平方，化简得:
再见
高中数学课件
高中数学选修21圆锥曲线与方程市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
顶点 A 可在直线 BC 上方，也可在下方. 1 分
若点 A 在 BC 上方，设 H(x，y)，则 A(x,2)．
当 x≠±1 时，kAC＝x－2 1，kBH＝x＋y 1，
4分
由 AC⊥BH，得 kAC·kBH＝－1，即x－2 1·x＋y 1＝－1，化简
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
求曲线方程的普通环节
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
对的认识求曲线方程的普通环节 求曲线方程的五个环节构成一种有机的整体，每一步都 有其特点和重要性．第一步在具体问题中有两种状况． (1)所研究的问题中已给定了坐标系，此时就在给定的 坐标系中求方程即可；
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)对称性：用－y 代 y 方程不变，曲线关于 x 轴对称．
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(3)单调性：设 0≤x1≤x2<1,0≤x21<x22， ∴1－x1>1－x2>0，故1－x12x1<1－x22x2， 即 y21<y22. ∴曲线在第一象限单调递增，在第四象限单调递减，如 图所示．
(2)已知方程 x2＋y2＝5 表示的曲线 F 经过点 A( 2，m)， 求 m 的值．
人教新课标版数学高二选修2-1课件曲线与方程
普通高中课程标准实验教科书 数学选修2-1
2.1.1 曲线与方程
教学目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系. 2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的 关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.
下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问题：假 若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月球球心和月球 表面上一定点的距离之和近似等于定值2a，视月球为球体， 半径为R，你能写出一个轨迹的方程吗？
1 2345
解析答案
课堂小结
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方 程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就 说明点不在曲线上. (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关 参数的值或范围问题.
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答案
探究点1 曲线与方程的概念应用 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
反思与感悟
解析答案
探究点2 曲线与方程关系的应用 例2 如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么( ) A.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解 D.坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上
自主学习
知识点一 曲线与方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条
件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关
系：
(1) 曲线上点的坐标 都是这个方程的解；
2.1.1 曲线与方程
教学目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系. 2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的 关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.
下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问题：假 若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月球球心和月球 表面上一定点的距离之和近似等于定值2a，视月球为球体， 半径为R，你能写出一个轨迹的方程吗？
1 2345
解析答案
课堂小结
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方 程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就 说明点不在曲线上. (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关 参数的值或范围问题.
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答案
探究点1 曲线与方程的概念应用 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
反思与感悟
解析答案
探究点2 曲线与方程关系的应用 例2 如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么( ) A.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解 D.坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上
自主学习
知识点一 曲线与方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条
件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关
系：
(1) 曲线上点的坐标 都是这个方程的解；
高二数学选修2-1 求曲线的方程(一) ppt
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程（一）
1
方程的曲线和曲线的方程: 一、
⑴曲线上的点的坐标都是方程的解; (纯粹性) ⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上; (完备性) 就说这条曲线是这个方程的曲线 ,这个方程是 这条曲线的方程.形成
二、坐标法
解析几何
y
在平面上建立直角坐标系: 一一对应 坐标(x,y) 点 坐标化 曲线的方程 曲线
平面解析几何研究的主要问题是：
研究
f(x,y)=0
x
0
迪卡尔
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.
2
问题 1. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求. 1 7 (1) 解:∵ kAB 2 ,∴所求直线的斜率 k = 3 (1) 2 1 3 1 7 , ) 即(1,3) 又∵线段 AB 的中点坐标是 (
解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM x ( y 4)
2 2
建立坐标系 设点的坐标
限(找几何条件) 代(把条件坐标化
∴ y = x ( y 4)
2
2 2 2
2
∴ y x y 8 y 16 2 ∴ x 8 y 16 这就是所求的轨迹方程.
√
3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f ( x, y) 0 ; √ 4.化简方程 f ( x, y) 0 为最简形式; √ 5.证明(查漏除杂 ). √
2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P ( M ) ;
—— 2.1.2求曲线的方程（一）
1
方程的曲线和曲线的方程: 一、
⑴曲线上的点的坐标都是方程的解; (纯粹性) ⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上; (完备性) 就说这条曲线是这个方程的曲线 ,这个方程是 这条曲线的方程.形成
二、坐标法
解析几何
y
在平面上建立直角坐标系: 一一对应 坐标(x,y) 点 坐标化 曲线的方程 曲线
平面解析几何研究的主要问题是：
研究
f(x,y)=0
x
0
迪卡尔
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.
2
问题 1. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求. 1 7 (1) 解:∵ kAB 2 ,∴所求直线的斜率 k = 3 (1) 2 1 3 1 7 , ) 即(1,3) 又∵线段 AB 的中点坐标是 (
解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM x ( y 4)
2 2
建立坐标系 设点的坐标
限(找几何条件) 代(把条件坐标化
∴ y = x ( y 4)
2
2 2 2
2
∴ y x y 8 y 16 2 ∴ x 8 y 16 这就是所求的轨迹方程.
√
3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f ( x, y) 0 ; √ 4.化简方程 f ( x, y) 0 为最简形式; √ 5.证明(查漏除杂 ). √
2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P ( M ) ;
数学第二章2.1曲线与方程课件(人教A版选修2-1)
【名师点评】 利用直接法求轨迹方程，即 直接根据已知等量关系，列出x、y之间的关 系式，构成F(x，y)＝0，从而得出所求动点的 轨迹方程．要注意轨迹上的点不能含有杂点, 也不能少点．
互动探究 2.若本例中的等式关系改为Q→P·F→P＝O→P·Q→F， 其他条件不变，动点 P 的轨迹 C 的方程．
名师微博 用x、y表示x0、y0是代入法求方程的关键. 【名师点评】 代入法的定义及求解步骤 (1)定义：若动点M依赖于已知曲线上的动点P, 求点M的轨迹方程的方法通常叫代入法，又 叫相关点法(动点P叫相关动点)，也叫坐标转 移法．
(2)求解步骤： ①设动点 M(x，y)，相关动点 P(x0，y0)； ②利用条件求出两动点坐标之间的关系 yx00＝＝gf（（xx，，yy））； ③代入相关动点的轨迹方程； ④化简、整理，得所求轨迹方程．
直接法求曲线方程
例2 如图，已知点 F(1，0)，直线 l：x＝－ 1，P 为平面上的一动点，过点 P 作 l 的垂线， 垂足为 Q，且Q→P·Q→F＝F→P·F→Q. 求动点 P 的轨迹 C 的方程．
【解】 设点 P(x，y)，则 Q(－1，y)． 由Q→P·Q→F＝F→P·F→Q， 得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)， ∴2(x＋1)＝－2(x－1)＋y2， 化简得 y2＝4x. 即轨迹 C 的方程为 y2＝4x.
【解】 设 P(x，y)，M(x0，y0)，(1 分) ∵P 为 MB 的中点， ∴x＝x0＋2 3，(4 分)
y＝y20 即yx00＝＝22yx－3.(5 分) 又∵M 在曲线 x2＋y2＝1 上， ∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，(7 分) ∴P 点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.(8 分)
高中数学选修2-1课件：2.1曲线与方程(一)
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方
程为x+ =0;
不是
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴
的距离乘积为1的点集其方程为y= 。是
y
y
y
1ห้องสมุดไป่ตู้
1
1
-1 0
x 1
-2 -1 0 1 2 x
-2 -1 0 1 2 x
⑴
⑵
⑶
15
课堂练习2:下述方程表示的图形分别是 下图中的哪一个？
① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
⑴若点 M (x0 , y0 ) 是直线 l 上的一点,则它的坐标 (x0 , y0 ) 都是
方程 y kx b 的解.
∵ PM 与方向向量 (1,k) 共线,即 (x0 , y0 b) /为这/(什样1,么的k)会关有系
∴ y0 b kx0 ∴ y0 kx0 b ,
⑵若 (x0 , y0 ) 是方程 y kx b 的解,则 M (x0 , y0 ) 是经过点 P
y ax2 (a 0）的解;
(2)如果(x0, y0 )是方程 y ax2(a＞0）的解，那么以它为坐标
的点一定在抛物线上.
说这条抛物线的方程是 y ax2 (a 0),
方程y ax2 (a 0）表示的曲线是这条抛物线.
8
定义：一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作
点的集合或合适某种条件的点的轨迹)与二元
即x0 y0 k (2)设点M的坐标( x1, y1 )是方程xy k的解，则
x1 y1 k 即 x1 y1 k
而 x1 , y1 正是点M到纵轴、横轴的距离，因此点M 到这两条直线的距离的积是常数k,点M是曲线上的点。
§2.1.1 曲线与方程
X
§2.1.1 曲线与方程
复习回顾: 复习回顾
我们研究了直线和圆的方程. 我们研究了直线和圆的方程 1.经过点 经过点P(0,b)和斜率为 的直线 的方程 和斜率为k的直线 经过点 和斜率为 的直线L的方程
y = kx +b 为____________ 2.在直角坐标系中 平分第一、三象限的 在直角坐标系中,平分第一 在直角坐标系中 平分第一、
直线方程是______________ 直线方程是 x-y=0 3.圆心为 圆心为C(a,b) ,半径为 的圆 的方程 半径为r的圆 圆心为 半径为 的圆C的方程
( x − a ) + ( y − b) = r 为_______________________.
2 2 2
为什么? 为什么?
思考? 思考?
课后作业： 金榜》素能综合检测（ 课后作业：《金榜》素能综合检测（九）
练习:若命题“曲线 上的点的坐标满足方程 练习 若命题“曲线C上的点的坐标满足方程 若命题 f(x,y)=0”是正确的 则下列命题中正确的是 D) 是正确的,则下列命题中正确的是 是正确的 则下列命题中正确的是( A.方程 方程f(x,y)=0 所表示的曲线是 所表示的曲线是C 方程 B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线 上 的点都在曲线C上 坐标满足 C.方程 方程f(x,y)=0的曲线是曲线 的一部分或是曲 的曲线是曲线C的一部分或是曲 方程 的曲线是曲线 线C D.曲线 是方程 曲线C是方程 曲线 是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 的曲线的一部分或是全 部
y
1 1 -1 0 x 1 -2 -1 0 1 2 1
y
y
x
-2 -1 0 1 2
x
⑴
§2.1.1 曲线与方程
复习回顾: 复习回顾
我们研究了直线和圆的方程. 我们研究了直线和圆的方程 1.经过点 经过点P(0,b)和斜率为 的直线 的方程 和斜率为k的直线 经过点 和斜率为 的直线L的方程
y = kx +b 为____________ 2.在直角坐标系中 平分第一、三象限的 在直角坐标系中,平分第一 在直角坐标系中 平分第一、
直线方程是______________ 直线方程是 x-y=0 3.圆心为 圆心为C(a,b) ,半径为 的圆 的方程 半径为r的圆 圆心为 半径为 的圆C的方程
( x − a ) + ( y − b) = r 为_______________________.
2 2 2
为什么? 为什么?
思考? 思考?
课后作业： 金榜》素能综合检测（ 课后作业：《金榜》素能综合检测（九）
练习:若命题“曲线 上的点的坐标满足方程 练习 若命题“曲线C上的点的坐标满足方程 若命题 f(x,y)=0”是正确的 则下列命题中正确的是 D) 是正确的,则下列命题中正确的是 是正确的 则下列命题中正确的是( A.方程 方程f(x,y)=0 所表示的曲线是 所表示的曲线是C 方程 B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线 上 的点都在曲线C上 坐标满足 C.方程 方程f(x,y)=0的曲线是曲线 的一部分或是曲 的曲线是曲线C的一部分或是曲 方程 的曲线是曲线 线C D.曲线 是方程 曲线C是方程 曲线 是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 的曲线的一部分或是全 部
y
1 1 -1 0 x 1 -2 -1 0 1 2 1
y
y
x
-2 -1 0 1 2
x
⑴
人教A版高中数学选修2-1课件2.1曲线与方程
思考2:如果点M（x0，y0）是曲线C上任 意一点，则x0，y0应满足什么关系？
x0＝y0
思考3:x0＝y0可以认为是点M的坐标是方 程x－y＝0的解，那么曲线C上的点的坐 标都是方程x－y＝0的解吗？
y
Ox C 思考4:如果x0，y0是方程x－y＝0的解， 那么点M（x0，y0）一定在曲线C上吗？
程(x－1)2＋(y－2)2＝9的解吗？
y
C
O (1,2) x
思考4:如果x0，y0是方程(x－1)2＋(y－ 2)2＝9的解，那么点M（x0，y0）一定在 曲线C上吗？
思考5:曲线C上的点的坐标都是方程
的解吗y ？2 以这9 个(x方程1)2的解为坐标的点都 在曲线C上吗？
y
C
O (1,2) x
高中数学课件
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第二章圆锥曲线与方程
§2.1曲线与方程
Y
1
-1
O1
X
-1
Y
O
X
x2 y2 1y 0
y x (x 0)
探究（一）：直线与方程的关系
设曲线C表示直角坐标
y
系中平分第一、三象
限的直线.
O C
M(x0,y0)
x
思考1:曲线C上的点有什么几何特征？
到角的两边距离相等.
轨迹方程.
y
B
(x, y) C
M
0Ax
则方程(x－1)2＋(y－2)2＝9叫做曲线C
的方程，同时曲线C叫做该方程的曲线，
那么，方程(x－1)2＋(y－2)2＝9（x≤0）
的曲线是什么？
y
C
O (1,2) x
思考3:一般地，对于曲线C和方程f(x，y) ＝0，在什么条件下，该方程是曲线C的 方程？同时曲线C是该方程的曲线？
人教A版高中数学高二选修2-1课件 2.1 第1课时 曲线与方程
议一议:求曲线的方程和求轨迹一样吗?(讨论并回答)
【解析】不一样.若是求轨迹,则要先求出方程,再说明和讨 论所求轨迹是什么样的图形,即图形的形状、位置、大小都需说 明、讨论清楚.
1.已知圆 C:(x-2)2+(y+1)2=4 及直线 l:x+2y-2=0,则点 M(4,-1)( ).
A.不在圆 C 上,但在直线 l 上 B.在圆 C 上,但不在直线 l 上 C.既在圆 C 上,也在直线 l 上 D.既不在圆 C 上,也不在直线 l 上
(2)在学习圆锥曲线时要注重知识的形成过程,从圆锥曲线 的形成过程到圆锥曲线的定义,再根据定义引导学生建立适当的 直角坐标系,指导学生根据求曲线方程的一般步骤求得椭圆、双 曲线、抛物线的标准方程,增强学生的研究兴趣和信心.
(3)利用对比的手段,将椭圆与双曲线的定义、方程和性质进 行对比,让学生从对比中找出相同与不同,并熟练掌握两种曲线 的特点.注重圆锥曲线定义的使用与转化,特别是通过抛物线的 定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离求解.
【解析】x(x2+y2-1)=0⇔x=0 或 x2+y2=1,则方程表示直线 x=0
和以(0,0)为圆心,1 为半径的圆.
x2+(x2+y2-1)2=0⇔
x = 0, x2 + y2-1
=
0⇔
x y
= =
0±,1,则方程表示点
(0,1),(0,-1).
【答案】C
探究 3:直接法求轨迹方程
【例 3】已知点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 满足 MP·MN,PM·PN,NM·NP成公差为负数的等差数列,求点 P 的 轨迹方程.
【解析】满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,但曲线 C 上 的点的坐标不一定都满足方程 f(x,y)=0,故 A 不正确;坐标不满足 f(x,y)=0 的点,也可能在曲线 C 上,故 B 不正确;因为满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,故不在曲线 C 上的点必不满足方程 f(x,y)=0,故 C 正确,D 不正确.
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解答
(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系. 解 第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0； 反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的 平分线上. 因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
解答
类型二 曲线与方程的应用 例2 已知方程x2＋(y－1)2＝10. (1)判断点 P(1，－2)，Q( 2，3)是否在上述方程表示的曲线上； 解 ∵12＋(－2－1)2＝10，( 2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上， 点 Q( 2，3)不在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上．
思考 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是 曲线C的方程？试举例说明. 答案 不能. 还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上. 例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2 ＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.
第二章 圆锥曲线与方程
§2.1 曲线与方程
学习目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系. 2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念. 3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法. 4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 曲线的方程和方程的曲线的概念
跟踪训练1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系； 解 过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解， 但以方程|x|＝2的解为坐标的点不都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上. 因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程. (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系； 解 与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5， 但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5. 因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨 迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1) 曲线上点的坐标 都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线 上的点， 那么，这个方程叫做 曲线的方程 的步骤
(3)求曲线的方程的步骤
有序实数对(x，y )
P＝{M|p(M)}
p(M)
f(x，y) ＝0
f(x，y) ＝0 方程的解
[思考辨析 判断正误] 如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则 (1)曲线l的方程是F(x，y)＝0.( × ) (2)方程F(x，y)＝0的曲线是l.( × ) (3)坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上.( √ ) (4)坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上.( × )
解答
(2)若点 Mm2 ，－m在上述方程表示的曲线上，求 m 的值. 解 ∵点 Mm2 ，－m在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上， ∴m2 2＋(－m－1)2＝10，解得 m＝2 或 m＝－158.
解答
引申探究 本例中曲线方程不变，若点N(a,2)在圆外，求实数a的取值范围. 解 结合点与圆的位置关系，得a2＋(2－1)2＞10，即a2＞9， 解得a＜－3或a＞3， 故所求实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞).
A.充分不必要条件
√B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由曲线C的方程是f(x，y)＝0，得以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点 都是曲线C上的点，但反过来不成立，故选B.
解析 答案
反思与感悟 (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说 “点不比解多”称为纯粹性. (2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 都 在 曲 线 上 ， 即 直 观 地 说 “ 解 不 比 点 多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线， 方程是曲线的方程.
题型探究
类型一 曲线的方程与方程的曲线解读
例1 (1)设方程f(x，y)＝0的解集非空，若命题“坐标满足方程f(x，y)＝0 的点都在曲线C上”是假命题，则下列命题为真命题的是 A.坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上 B.曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0 C.坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
梳理 (1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出 发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关 系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线 上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适 合方程的点都在曲线上而毫无遗漏. (2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对 (x，y)建立了 一一对应 关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程 的性质可间接地研究曲线的性质.
解答
反思与感悟 判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的 定义，也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.
跟踪训练2 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值 范围. 解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)， ∴a2＋a2＋2a＋k＝0， ∴k＝－2a2－2a＝－2a＋122＋12， ∴k≤12， ∴k 的取值范围是－∞，12.
√D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0
解析 命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”为假命题， 则命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是真命题.故选D.
解析 答案
(2)“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的
方程是f(x，y)＝0”的
(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系. 解 第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0； 反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的 平分线上. 因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
解答
类型二 曲线与方程的应用 例2 已知方程x2＋(y－1)2＝10. (1)判断点 P(1，－2)，Q( 2，3)是否在上述方程表示的曲线上； 解 ∵12＋(－2－1)2＝10，( 2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上， 点 Q( 2，3)不在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上．
思考 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是 曲线C的方程？试举例说明. 答案 不能. 还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上. 例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2 ＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.
第二章 圆锥曲线与方程
§2.1 曲线与方程
学习目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系. 2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念. 3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法. 4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 曲线的方程和方程的曲线的概念
跟踪训练1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系； 解 过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解， 但以方程|x|＝2的解为坐标的点不都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上. 因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程. (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系； 解 与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5， 但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5. 因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨 迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1) 曲线上点的坐标 都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线 上的点， 那么，这个方程叫做 曲线的方程 的步骤
(3)求曲线的方程的步骤
有序实数对(x，y )
P＝{M|p(M)}
p(M)
f(x，y) ＝0
f(x，y) ＝0 方程的解
[思考辨析 判断正误] 如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则 (1)曲线l的方程是F(x，y)＝0.( × ) (2)方程F(x，y)＝0的曲线是l.( × ) (3)坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上.( √ ) (4)坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上.( × )
解答
(2)若点 Mm2 ，－m在上述方程表示的曲线上，求 m 的值. 解 ∵点 Mm2 ，－m在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上， ∴m2 2＋(－m－1)2＝10，解得 m＝2 或 m＝－158.
解答
引申探究 本例中曲线方程不变，若点N(a,2)在圆外，求实数a的取值范围. 解 结合点与圆的位置关系，得a2＋(2－1)2＞10，即a2＞9， 解得a＜－3或a＞3， 故所求实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞).
A.充分不必要条件
√B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由曲线C的方程是f(x，y)＝0，得以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点 都是曲线C上的点，但反过来不成立，故选B.
解析 答案
反思与感悟 (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说 “点不比解多”称为纯粹性. (2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 都 在 曲 线 上 ， 即 直 观 地 说 “ 解 不 比 点 多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线， 方程是曲线的方程.
题型探究
类型一 曲线的方程与方程的曲线解读
例1 (1)设方程f(x，y)＝0的解集非空，若命题“坐标满足方程f(x，y)＝0 的点都在曲线C上”是假命题，则下列命题为真命题的是 A.坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上 B.曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0 C.坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
梳理 (1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出 发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关 系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线 上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适 合方程的点都在曲线上而毫无遗漏. (2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对 (x，y)建立了 一一对应 关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程 的性质可间接地研究曲线的性质.
解答
反思与感悟 判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的 定义，也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.
跟踪训练2 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值 范围. 解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)， ∴a2＋a2＋2a＋k＝0， ∴k＝－2a2－2a＝－2a＋122＋12， ∴k≤12， ∴k 的取值范围是－∞，12.
√D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0
解析 命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”为假命题， 则命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是真命题.故选D.
解析 答案
(2)“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的
方程是f(x，y)＝0”的