高三数学上学期第四次月考试题
宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高三上学期第四次月考理科数学试题(解析版)
银川一中2024届高三年级第四次月考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{05}A xx =<<∣，104x B x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.[]1,4- B.[)1,5- C.(]0,4 D.()0,4【答案】D 【解析】【分析】由分式不等式的解法，解出集合B ，根据集合的交集运算，可得答案.【详解】由不等式104x x +≤-，则等价于()()1404x x x ⎧+-≤⎨≠⎩，解得14x -≤<，所以{}14B x x =-≤<，由{}05A x x =<<，则{}04A B x x ⋂=<<.故选：D.2.复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（）A.正数 B.负数C.实部不为零的虚数D.纯虚数【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可.【详解】由题意可设()()0,0OZ a a =≠，所以对应复数为()i 0a a ≠，此复数为纯虚数，故选：D.3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.20B.32C.203D.323所以该几何体的体积为【答案】D 【解析】【分析】先根据几何体的三视图得出该几何体的直观图，再由几何体的特征得出几何体的体积.【详解】解：如图，根据几何体的三视图可以得出该几何体是底面为矩形的四棱锥E -ABCD ，该几何体的高为EF ，且EF =4，13224433E ABCD V -=⨯⨯⨯=，故选：D.4.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足3cos 5α=，则这块四边形木板周长的最大值为（）A.20cmB.C. D.30cm【答案】D 【解析】【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.【详解】由题图（2)cm =.设截得的四边形木板为ABCD ，设A α∠=，AB c =，BD a =，AD b =，BC n =，CD m =，如下图所示.由3cos 5α=且0πα<<可得4sin 5α=，在ABD △中，由正弦定理得sin aα=，解得a =在ABD △中，由余弦定理，得2222cos a b c bc α=+-.，所以，()()()()222222616168055545b c b c b c bc b c b c ++=+-=+-≥+-⨯=，即()2400b c +≤，可得020b c <+≤，当且仅当10b c ==时等号成立.在BCD △中，πBCD α∠=-，由余弦定理可得()222226802cos π5a m n mn m n mn α==+--=++()()()()22224445545m n m n m n mn m n ++=+-≥+-⨯=，即()2100m n +≤，即010m n <+≤，当且仅当5m n ==时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为30cm .故选：D.5.若13α<<，24β-<<，则αβ-的取值范围是（）A.31αβ-<-<B.33αβ-<-<C.03αβ<-<D.35αβ-<-<【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质求解.【详解】∵24β-<<，∴04β≤<，40β-<-≤，又13α<<，∴33αβ-<-<，故选：B.6.已知向量(1,1)a = ，(,1)b x =- 则“()a b b +⊥”是“0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程求得0x =或=1x -，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由向量(1,1)a = ，(,1)b x =-，可得(1,0)a b x +=+r r ，若()a b b +⊥，可得()(1)0a b b x x +⋅=+= ，解得0x =或=1x -，所以()a b b +⊥是0x =的必要不充分条件.故选：B.7.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（）A.8π-B.8π-C.16π-D.16π-【答案】A 【解析】【分析】求出正三角形的面积和弓形的面积，进而求出“莱洛三角形”的面积.【详解】正三角形的面积为21π4sin 23⨯=圆弧的长度为π4π433l =⨯=，故一个弓形的面积为18π423l ⨯-=-，故“莱洛三角形”的面积为8π38π3⎛-+=- ⎝.故选：A8.若数列{}n a 满足11a =，1121n n a a +=+，则9a =（）A.10121- B.9121- C.1021- D.921-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由递推公式可得数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，即可得到数列{}n a 的通项公式，从而得到结果.【详解】因为11a =，1121n n a a +=+，所以111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又1112a +=，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，所以112n n a +=，即121n n a =-，所以99121a =-.故选：B9.如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD ，点M ，N 分别在上、下底面圆上，2NB AN =，2CM MD =，2AB =，3BC =，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（）A.10B.4C.5D.20【答案】D 【解析】【分析】作出异面直线AM 与CN 所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值.【详解】连接,,,,DM CM AN BN BM ，设BM CN P ⋂=，则P 是BM 的中点，设Q 是AB 的中点，连接PQ ，则//PQ AM ，则NPQ ∠是异面直线AM 与CN 所成角或其补角.由于 2NB AN =， 2CMDM =，所以ππ,36BAN NBA ∠=∠=，由于2AB =，而AB 是圆柱底面圆的直径，则AN BN ⊥，所以1,AN BN ==，则122AM PQ AM ====，12CN PN CN ====，而1QN =，在三角形PQN中，由余弦定理得1010313144cos 20NPQ +-+-∠==.故选：D10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且70a >，690a a +<则（）A.数列{}n a 为递增数列B.80a <C.n S 的最大值为8SD.140S >【答案】B 【解析】【分析】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，所以公差870d a a =-<，所以17n ≤≤时0n a >，8n ≥时0n a <，逐项分析判断即可得解.【详解】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，故B 正确；所以公差870d a a =-<，数列{}n a 为递减数列，A 错误；由0d <，70a >，80a <，所以17n ≤≤，0n a >，8n ≥时，0n a <，n S 的最大值为7S ，故C 错误；114147814()7()02a a S a a +==+<，故D 错误.故选：B11.银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的外接球的体积为3，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（）A.15πB.16πC.17πD.18π【答案】C 【解析】【分析】因条件满足“墙角”模型，故可构建长方体模型求解外接球半径，利用公式即得.【详解】如图，因PA ⊥平面ABCE ，AD DE ⊥,故可以构造长方体ADEF PQRS -,易得：长方体ADEF PQRS -的外接球即鳖臑P ADE -的外接球，设球的半径为1R ，PA x =，由12PE R ==，且314π33R =,解得:1R =, 3.x =又因四边形ABCD 为正方形，阳马P ABCD -的外接球即以,,PA AB AD为三条两两垂直的棱组成的正四棱柱的外接球，设其半径为2R22R ==,解得：2172R =故阳马P ABCD -的外接球的表面积为2224π4π(17π.2R =⨯=故选：C.12.若曲线ln y x =与曲线22(0)y x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（）A.(ln 21,)--+∞B.[ln 21,)--+∞C.(ln 21,)-++∞D.[ln 21,)-++∞【答案】A 【解析】【分析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，由()ln f x x =，得1()f x x '=，所以公切线的斜率为11x ，所以公切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，化简得111(ln 1)y x x x =⋅+-，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，由2()2(0)g x x x a x =++<，得()22g x x '=+，则公切线的斜率为222x +，所以公切线方程为22222(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，化简得2222(1)y x x x a =+-+，所以21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，由1>0x ，得210x -<<，令2()ln(22)1(10)F x x x x =-+--<<，则1()201F x x x '=-<+，所以()F x 在(1,0)-上递减，所以()(0)ln 21F x F >=--，所以由题意得ln 21a >--，即实数a 的取值范围是(ln 21,)--+∞，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足约束条件4,2,4,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则2z x y =-+的最大值为________．【答案】4【解析】【分析】依题意可画出可行域，并根据目标函数的几何意义求出其最大值为4.【详解】根据题意，画出可行域如下图中阴影部分所示：易知目标函数2z x y =-+可化为2y x z =+，若要求目标函数z 的最大值，即求出2y x z =+在y 轴上的最大截距即可，易知当2y x =（图中虚线所示）平移到过点A 时，截距最大，显然()0,4A ，则max 4z =，所以2z x y =-+的最大值为4.故答案为：414.已知偶函数()f x 满足()()()422f x f x f +=+，则()2022f =__________．【答案】0【解析】【分析】由偶函数的定义和赋值法，以及找出函数的周期，然后计算即可．【详解】令2x =-，则()()()2222f f f =-+，又()()22f f -=，所以()20f =，于是()()()422f x f x f +=+化为：()()4f x f x +=，所以()f x 的周期4T =，所以()()()20225054220f f f =⨯+==．故答案为：0.15.在ABC 中，已知3AB =，4AC =，3BC =，则BA AC ⋅的值为________.【答案】8-【解析】【分析】根据数量积的定义结合余弦定理运算求解.【详解】由题意可得：cos ⋅=-⋅=-⋅∠uu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu rBA AC AB AC AB AC A22222291698222+-+-+-=-⋅⨯=-=-=-⋅AB AC BC AB AC BC AB AC AB AC ，即8BA AC ⋅=-.故答案为：8-.16.将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()f x ，已知函数()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为__________.【答案】150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】根据函数图像平移变换，写出函数()y f x =的解析式，再由函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，列出不等式组求出ω的取值范围即可【详解】将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()πsin 4y f x x ω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象， 函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以3ππ242T ≥-，即ππ4ω≥，解得04ω<≤，①又πππ3ππ24444x ωωω+<+<+，所以πππ2π2423πππ2π442k k ωω⎧+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得3184233k k ω-+≤≤+，②由①②可得150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故答案为:150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1AA ，11C D 的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面1111D C B A 相交于直线l ．（1）画出直线l 的位置，保留作图痕迹，不需要说明理由；（2）求三棱锥D MNA -的体积．【答案】（1）答案见解析（2）324a 【解析】【分析】（1）延长DM 与11D A 的延长线交于E ，连接NE 即为所求；（2）根据D MNA N DAM V V --=结合三棱锥的体积公式求解出结果.【小问1详解】如图所示直线NE 即为所求：依据如下：延长DM 交11D A 的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．11E DM D A ∈ ，E DM ∴∈⊂平面DMN ，11E D A ∈⊂平面1111D C B A ，E ∴∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，又由题意显然有N ∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，EN ∴⊂平面DMN ⋂平面1111D C B A ，则NE 即为直线l 的位置．【小问2详解】因为D MNA N DAM V V --=，所以3111112332224D MNA DAMa aa V ND S a -⨯=⨯⨯=⨯⨯= .18.已知数列{}n a 是等比数列，满足13a =，424a =，数列{}nb 满足14b =，422b =，设n n nc a b =-，且{}n c 是等差数列.（1）求数列{}n a 和{}n c 的通项公式；（2）求{}n b 的通项公式和前n 项和n T .【答案】18.13·2n n a -=，2n c n =-19.1322n n b n -=⋅+-，21332322=⋅-+-n n T n n 【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解；（2）先写出数列{}n b 的通项公式，再分组求和即可求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为13a =，34124a a q ==，所以2q =，即132n n a -=⋅，设等差数列{}n c 公差为d ，因为1111c a b =-=-，444132c a b c d =-=+=，所以1d =，即2n c n =-.【小问2详解】因为n n n c a b =-，所以n n n b a c =-,由（1）可得1322n n b n -=⋅+-，设{}n b 前n 项和为n T ，()()131242212-=⋅+++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+n n T n n 21232122n n n n -+=⋅+--21332322n n n =⋅-+-.19.为践行两会精神，关注民生问题，某市积极优化市民居住环境，进行污水排放管道建设.如图是该市的一矩形区域地块ABCD ，30m AB =，15m AD =，有关部门划定了以D 为圆心，AD 为半径的四分之一圆的地块为古树保护区.若排污管道的入口为AB 边上的点E ，出口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与古树保护区边界相切，EF 右侧的四边形BCFE 将作为绿地保护生态区. 1.732≈，长度精确到0.1m ，面积精确到20.01m ）（1）若30ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入口E 在AB 上什么位置时，生态区的面积最大?最大是多少?【答案】（1）17.3m（2）AE =2255.15m 【解析】【分析】（1）根据DH HE ⊥得Rt Rt DHE DAE ≅ ，然后利用锐角三角函数求出EF 即可；（2）设ADE θ∠=，结合锐角三角函数定义可表示,AE HF ，然后表示出面积，结合二倍角公式化简，再利用基本不等式求解.【小问1详解】设切点为H ，连结DH ，如图.15DH DA == ，DA AE ⊥，DH HE ⊥，Rt Rt DHE DAE ∴≅△△；30HDE ADE HDF ∴∠=∠=∠=︒；15tan 3015tan 3017.3m EF EH HF ∴=+=︒+︒≈.【小问2详解】设ADE θ∠=，则902EDH θ∠=︒-，15tan AE θ∴=，()15tan 902HF θ︒=-.()1111515tan 1515tan 1515tan 902222ADE DHE DHF AEFD S S S S θθθ=+=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯︒-△△△梯形 2225111tan 31225tan 225tan 225tan 2tan 222tan 44tan θθθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22513tan 4tan 2θθ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭，当且仅当tan 3θ=，即30θ=︒时，等号成立，30152ABCD BCFE AEFD S S S ∴=-=⨯-梯形梯形矩形，15tan AE θ∴==时，生态区即梯形BCEF 的面积最大，最大面积为2450255.15m 2-≈.20.已知向量()π2cos ,cos21,sin ,16a x x b x ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设函数()1,R 2f x a b x =⋅+∈ .（1）求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；（2）将()f x 图象向左平移π4个单位长度得到()g x 图象，若方程()21g x n -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解12,x x ，求实数n 的取值范围，并求()12sin2x x +的值.【答案】（1）()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）实数n的取值范围是)1,1-，()12sin22x x +=【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换的公式化简即可;（2）利用函数的平移求出()g x 的解析式，然后利用三角函数的图像和性质求解即可.【小问1详解】由题意可知()1π1112cos sin cos212cos sin cos cos2262222f x a b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅+--+=⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos211cos cos cos2=sin2cos22222x x x x x x x +=⋅+--+--1πsin2cos2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()πsin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤-≤+∈，可得ππππ,Z 63k x k k -+≤≤+∈，∴函数()f x 的单调增区间为()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】()ππππsin 2sin 24463g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，πππ2π22π,Z 232k x k k -+<+<+∈ ，得5ππππ,Z 1212k x k k -+<<+∈，()πsin 23g x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在区间()5πππ,πZ 1212k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，同理可求得()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()π7ππ,πZ 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上单调递减，且()g x 的图象关于直线ππ,Z 122k x k =+∈对称，方程()21g x n -=，即()12n g x +=，∴当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,x x ，由()g x 单调性知，()g x 在区间π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()πππ0,1,,261222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当31122n +≤<时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,,x x11n -≤<，实数n 的取值范围是)1,1-.又()g x 的图象关于直线π12x =对称，12π212x x +∴=，即()1212π3,sin262x x x x +=∴+=.21.已知函数()ln 1,R f x x ax a =-+∈.（1）若0x ∃>，使得()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：对任意的2222*22221223341N ,e,e 112233k k k k k+++++∈⨯⨯⨯⨯<++++ 为自然对数的底数.【答案】（1）1a ≤；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）变形不等式()0f x ≥，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.（2）由（1）的信息可得ln 1(1)x x x <->，令221(N )x k k k k k*+∈+=+，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得.【小问1详解】函数()ln 1f x x ax =-+，则不等式()ln 10ln 1x f x ax x a x +≥⇔≤+⇔≤，令ln 1()x g x x+=，求导得2ln ()xg x x'=-，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 递增，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 递减，因此当1x =时，max ()1g x =，依题意，1a ≤，所以实数a 的取值范围是1a ≤.【小问2详解】由（1）知，当1x >时，()(1)g x g <，即当1x >时，ln 1x x <-，而当N k *∈时，222111111()11k k k k k k k k ++=+=+->+++，因此2211111ln 1()111k k k k k k k k ++<+--=-+++，于是222222221223341ln ln ln ln 112233k k k k +++++++++++++ 11111111(1)()()()112233411k k k <-+-+-++-=-<++ ，即有222222*********ln()1112233k k k k +++++⨯⨯⨯⨯<++++ ，所以222222*********e 112233k k k k+++++⨯⨯⨯⨯<++++ .【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义区间为D ，(1)若x D ∀∈，总有()m f x <成立，则min ()m f x <；(2)若x D ∀∈，总有()m f x >成立，则max ()m f x >；(3)若x D ∃∈，使得()m f x <成立，则max ()m f x <；(4)若x D ∃∈，使得()m f x >成立，则min ()m f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ．（1）求C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 是C 上的一点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）C 的普通方程2212x y -=；直线l0y +=（2【解析】【分析】（1）利用消参法求C 的普通方程，根据极坐标可知直线l 表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，进而可得斜率和直线方程；（2）设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，利用点到直线的距离结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），两式平方相减得22223312x y t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 的普通方程2212x y -=；又因为直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ，表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，可得直线l的斜率2πtan 3k ==，所以直线l的直角坐标方程y =0y +=.【小问2详解】由题意可设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设点33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭到直线l0y +=的距离为d ，则d =当且仅当))311t t+=，即(232t=-时，等号成立，所以点P 到直线l .【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()22f x x x =-++.（1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥.【答案】（1）(,0]-∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分<2x -、22x -≤≤和2x >三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得()f x 的最小值，再利用基本不等式可证得所证不等式成立.【小问1详解】由题意可知：2,2()224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，①当<2x -时，不等式即为224x x -≥+，解得1x ≤-，所以<2x -；②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，解得0x ≤，所以20x -≤≤；③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，无解，即x ∈∅；综上所示：不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.【小问2详解】由绝对值不等式的性质可得：()22(2)(2)4=-++≥--+=f x x x x x ，当且仅当22x -≤≤时，等号成立，所以()f x 取最小值4，即4k =，可得()4+=a b c ，即4ab ac +=，所以()()22222222228a b c a bac ab ac ++=+++≥+=当且仅当22224ab ac a b b c +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，即a b c ===时，等号成立.。
2019-2020年高三第四次月考测试数学(文)试题 含答案
日销售量kg ()频率组距0.0350.0303522侧视图俯视图否k>n?k=k+1S=0,k=1输入a 1,a 2,..,a nS=k-1()∙S+a kk 开始2019-2020年高三第四次月考测试数学（文）试题 含答案注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上：2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号：写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={-3，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，4，6}，设M={x|x ∈A ，且xB}，则M= A ．{-3,-1,2} B ．{-l,0,1} C ．{-3,0,1} D ．{-3,0,4} 2．若复数z 满足（3 – 4i ）z=4+3i ，则|z|=A ．5B ．4C ．3D ．1 3．根据市场统计，某商品的日销售量X （单位：kg ）的频 率分市直方图如图所示，则由频率分布直方图得到该商品日销售量的中位数的估计值为A ．35B ．33．6C ．31．3D ．28．34．设a ∈R ，则“直线l 1：与直线l 2：平行”是“a=1”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知圆2212:(1)12C x y C x y +-=+=与圆关于直线0对称，则C 2的方程为A ．B ．C ．D ．6．已知(3,2),(1,0),2a b a b a b λ=-=-+-若向量与平行，则实数的值为A ．B ．C ．D ．7．已知数列2126{}2(*),6,2,{}n n n n n a a a a n N a a a ++-+=∈==-满足且则数列的前9项和S 9=A ．—2B ．0C ．4D ．6 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．24+ B ．24+2 C ．12+4 D ．12 +29．执行如图所示的程序框图，若输入数据n=5，a 1= -2，a 2=-2.6，a 3=3.2，a 45输出的结果为 A ．0．3 B ．0．4 C ．0．5D ．0．6北南西东D C B A 10．若x 、y 满足4304130,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩目标函数z=x-ky 的最大值为9，则实数k 的值是 A ．2 B ．-2 C ．1D ．-1()()()()211.0,,1110,0,,00,y ax a A B OA OB M OM OA OB M a a a a λμλμ=>⊥=++=⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知抛物线上两个动点、不在原点，满足若存在定点，使得且，则坐标为 A. B.C. D.12．已知定义域为R 的奇函数f （x ），当x ≥0时，()|0),f x x a x =-≥∈R 且对，恒有f （x +a ）≥f （x ），则实数a 的取值范围是 A ．[0,2] B ．{0} ∪ [2, +∞） C ． [0，]D ．{0} ∪ [16, +∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
山东省威海市重点中学2024学年高三第四次月考(4月)数学试题数学试题
山东省威海市重点中学2024学年高三第四次月考（4月）数学试题数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1B ．2C ．3D ．62．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 3．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．642+D ．83π4．已知函数()1ln11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ） A ．1B 3C ．±1D ．36．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =- D ．43n n S a =-8．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i -C ．1D ．i9．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．610．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A ．{}|2x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥11．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( ) A ．112V B ．18VC ．16VD ．19V二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三第四次月考数学(理)试题
2021年高三第四次月考数学（理）试题参考公式：线性回归方程中系数计算公式:，其中表示样本均值．第Ⅰ卷一、选择题（本题共8小题；每小题5分，共40分）1．下列命题正确的是（）A．B．C．是的充分不必要条件 D．若,则2．复数z=（a²-1）+（a+1）i，（a∈R）为纯虚数，则的取值是（）A．3 B．-2 C．-1 D．13．在等腰中，，，则( ）A．（-3，-1）B．（-3,1）C．D．（3,1）4．已知在等比数列中，，则等比数列的公比q的值为（）A．B．C．2 D．85．为调查中山市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间x（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10000名中学生参加了此项活动，下图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是（）A．3800 B．6200 C．0.62D．0.386．已知直线,平面,且,给出下列命题:①若∥，则m⊥；②若⊥，则m∥;③若m⊥，则∥；④若m∥，则⊥其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．若，则的值为 （ ） A ． B ． C ． D ．8．已知是定义在上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件： ①的值域为M ，且M ⊆；②对任意不相等的，∈， 都有|－|<|－|．那么，关于的方程=在区间上根的情况是 （ ）A ．没有实数根B ．有且仅有一个实数根C ．恰有两个不等的实数根D ．实数根的个数无法确定第Ⅱ卷二、填空题：（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9~13题）9．若实数x ，y 满足的最小值为3，则实数b 的值为10．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种(用数字作答). 11．抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为 12．已知函数，对定义域内任意，满足，则正整数的取值个数是13．某商店经营一批进价为每件4元的商品，在市场调查时得到，此商品的销售单价x 与日销售量y 之间的一组数据满足：，，，，则当销售单价x 定为（取整数） 元时，日利润最大．（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________． 15．（几何证明选讲选做题）如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本小题满分12分）设，且满足 （1）求的值．（2）求的值．17（本小题满分12分）某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为，(＞)，且不同种产品是否受欢迎相互独立。
黑龙江省海林市朝鲜族中学高三上学期月考4数学试题
高三数学第月考试题（理科）一、选择题:1.设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=( ).A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}解析:∵M={0,1,2}, N={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},∴M∩N={0,1,2}∩{x|1≤x≤2}={1,2}.故选D.答案:D2.已知平面α和直线l,则α内至少有一条直线与l()A.平行B.相交C.垂直D.异面解析:直线l与平面α斜交时,在平面α内不存在与l平行的直线,∴A错;l∥α时,在平面α内不存在与l相交的直线,∴B错;l⊂α时,在平面α内不存在与l异面的直线,∴D错;无论以上哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直.故选C.答案:C3.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当α⊥β时,平面α内的直线m不一定和平面β垂直,但当直线m垂直于平面β时,根据面面垂直的判定定理,知两个平面一定垂直,故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.答案:B4.(-6≤a≤3)的最大值为()A.9B.C.3D.解析: 答案:B当a=-6或a=3时,=0,当-6<a<3时,3-a>0,a+6>0,故,当且仅当3-a=a+6,即a=-时等号成立.5.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( ).A.1B.2C.3D.5解析:∵|a+b|=,∴(a+b)2=10,即a2+b2+2a·b=10.①∵|a-b|=,∴(a-b)2=6,即a2+b2-2a·b=6.②由①②可得a·b=1.故选A. 答案: A6.(2014课标全国Ⅱ,理4)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( ).A.5B.C.2D.1解析:由题意知S△ABC=AB·BC·sin B,即×1×sin B,解得sin B=.∴B=45°或B=135°.当B=45°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+()2-2×1×=1.此时AC2+AB2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意;当B=135°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+()2-2×1×=5,得AC=.符合题意.故选B.7.若等差数列{a n}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=()A.12B.13C.14D.15解析:由题意得S5==5a3=25,a3=5,公差d=a3-a2=2,a7=a2+5d=3+5×2=13.答案:B8.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为( ).A. B. C.6 D.7解析:由三视图知,该多面体是由正方体割去两个角所成的图形,如图所示,则V=V正方体-2V锥体=8-2××1×1×1=.答案:A9.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( ).A.0B.1C.2D.3解析:∵y=ax-ln(x+1),∴y'=a-. ∴y'|x=0=a-1=2,得a=3. 答案:D10.设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为( ).A.10B.8C.3D.2解析:线性目标函数z=2x-y满足的可行域如图所示.将直线l 0:y=2x 平行移动,当直线l 0经过点M(5,2)时,直线y=2x-z 在y 轴上的截距最小,也就是z 取最大值,此时z max =2×5-2=8. 答案:B11.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为 ( ). A .B .16πC .9πD .解析:由图知,R 2=(4-R )2+2, ∴R 2=16-8R+R 2+2,∴R=,∴S 表=4πR 2=4π×π,选A . 答案:A12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞【解析】记函数()()f x g x x =，则''2()()()xf x f x g x x-=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．【答案】A二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.函数f(x)=sin (x+2φ)-2sin φcos (x+φ)的最大值为 . 解析:∵f(x)=sin (x+2φ)-2sin φcos (x+φ)=sin [(x+φ)+φ]-2sin φcos (x+φ)=sin (x+φ)cos φ+cos (x+φ)sin φ-2sin φcos (x+φ)=sin (x+φ)cos φ-cos (x+φ)sin φ=sin [(x+φ)-φ]=sin x. ∴f(x)max =1. 答案:114．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．1/2 15.计算定积分(3x 2+sin x )d x= .解析: (3x 2+sin x )d x=(x 3-cos x )=2.答案:216.已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x 的取值范围是 .解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|).∴f(x-1)>0可化为f(|x-1|)>f(2).又f(x)在[0,+∞)上单调递减,∴|x-1|<2,解得-2<x-1<2,即-1<x<3. 答案:(-1,3) 三、解答题:17.已知f (x )=4cos x ·cos-2.(1)求函数f (x )的最小正周期; (2)求函数f (x )在区间上的最大值和最小值.解:(1)因为f (x )=4cos x cos-2=4cos x -2=sin2x+2cos 2x-2=sin2x+cos2x-1=2sin-1.所以f (x )的最小正周期是T==π.(2)因为-≤x ≤,所以-≤2x+.于是当2x+,即x=时,f (x )取得最大值1; 当2x+=-,即x=-时,f (x )取得最小值-2.18.△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知a=3,cos A=,B=A+.(1)求b 的值; (2)求△ABC 的面积. 解:(1)在△ABC 中,由题意知sin A=,又因为B=A+,所以sin B=sin=cos A=.由正弦定理可得b==3.(2)由B=A+得cos B=cos=-sin A=-.由A+B+C=π,得C=π-(A+B),所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=.因此△ABC的面积S=ab sin C=×3×3.19.已知数列{a n}的各项均为正数,前n项和为S n,且满足2S n=+n-4.(1)求证:{a n}为等差数列; (2)求{a n}的通项公式.(1)证明:当n=1时,有2a1=+1-4,即-2a1-3=0,解得a1=3(a1=-1舍去).当n≥2时,有2S n-1=+n-5,又2S n=+n-4,两式相减得2a n=+1,即-2a n+1=,也即(a n-1)2=,因此a n-1=a n-1或a n-1=-a n-1.若a n-1=-a n-1,则a n+a n-1=1,而a1=3,所以a2=-2,这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾,所以a n-1=a n-1,即a n-a n-1=1,因此{a n}为等差数列.(2)解:由(1)知a1=3,d=1,所以数列{a n}的通项公式a n=3+(n-1)=n+2,即a n=n+2.20.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D为棱AB的中点.求证:BC1∥平面A1CD21.已知向量p=(a n,2n),向量q=(2n+1,-a n+1),n∈N*,向量p与q垂直,且a1=1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=log2a n+1,求数列{a n·b n}的前n项和S n.解:(1)∵向量p与q垂直,∴2n+1a n-2n a n+1=0,即2n a n+1=2n+1a n.∴=2.∴{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列.∴a n=2n-1.(2)∵b n=log2a n+1=n-1+1=n,∴a n·b n=n·2n-1.∴S n=1+2·2+3·22+4·23+…+n·2n-1.①∴2S n=1·2+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n.②①--②得,-S n=1+2+22+23+24+…+2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)2n-1,∴S n=1+(n-1)2n.22.已知函数f(x)=ln x,函数g(x)=+af'(x).(1)求函数y=g(x)的表达式;(2)若a>0,函数y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2,求a的值.解:(1)因为f(x)=ln x,所以f'(x)=.所以函数y=g(x)=x+(x>0).(2)由(1)知,g(x)=x+(x>0).方法一:当a>0,x>0时,由基本不等式可知g(x)≥2,当且仅当x=时取等号.所以函数y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2.所以2=2,解得a=1.方法二:∵g'(x)=1-(x>0), ∴令g'(x)=0,得x=.当0<x<时,g'(x)<0;当x>时,g'(x)>0.故x=是y=g(x)的极小值点,即y=g(x)在x=处取得极小值,也是最小值,故=2,得a=1.。
高三数学第四次月考试题
海港开发区中学2021届高三数学第四次月考试题本套试卷分为第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部.满分是150分.考试时间是是120分钟.第I 卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 如图，集合U 是全集，非空集合A,B,C 都是集合U 的子集，那么图中阴影局部可用集合( ) A. A ∩B ∩C B. (A ∩B)∩C U C C. (A ∩B)∪C U C D. (A ∪B)∩C U C2．函数()1(1)xf x a a =->，那么函数1()y fx -=-的图像是〔 〕UABC`D3. 2007年11月6日(以月球球心为焦点)。
卫星远月点高度由8600公里降至1700公里, 近月点高度是200公里, 月球的半径约是1800公里，此时小椭圆轨道的离心率是〔 〕 A ．311B ．35C ．511 D ．322ABC A B C '''-的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N是侧棱CC '上的点，且14CN CC '=，那么异面直线AB MN'与所成角为〔 〕A ．30° B. 45° C. 60° D. 90°)(12R b ibi∈+-的实部和虚部绝对值相等，那么b 的值等于〔 〕 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3C/A /NABx= -1C6.(cos ,sin ),(cos ,3sin ),a x x b x x =-=函数()f x a b =•的最大值与最小正周期分别是〔〕．A. 1，πB. 1，2π2π71)nx展开式的二项式系数和记为a n ，展开式的所有项的系数和记为b n ，那么limn nn n na b a b →∞+-＝〔 〕A. 1 B. -1 C. 2 D.-28函数f(x)是定义在R 上的函数，假如函数f(x)在R 上的导函数f /(x)的图象如图,那么有以下几个命题〔1〕f 〔x 〕的单调递减区间是〔-2，0〕、〔2，+∞〕，f 〔x 〕的单调递增区间是〔-∞，-2〕、〔0，2〕；〔2〕f 〔x 〕只在x ＝-2处获得极大值；〔3〕f 〔x 〕在x ＝-2与x ＝2处获得极大值；〔4〕f 〔x 〕在x ＝0处获得极小值；其中正确命题的个数为〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 49假设圆2244100x y x y +---=上至多有三个不同点到直线l :0ax by +=的间隔 为,那么直线l 的斜率的取值范围是〔 〕A.2-∞（，B. [2)++∞C.2[23,)-∞++∞（，D. [22+10在Ｒ上定义a b ad bc c d=-．假设不等式(1)(2)1(1)x a a x-->+对任意实数x 成立，那么〔 〕〔Ａ〕11<<-a 〔Ｂ〕20<<a 〔Ｃ〕2321<<-a 〔Ｄ〕2123<<-a 11将5名实习老师分配到高一年级的4个班实习，每班至少１名，最多２名，那么不同的分配方案有〔 〕〔A 〕３０种 〔B 〕９０种 〔C 〕１８０种 〔D 〕２4０种12222=-by a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，假设过点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线离心率的取值范围是 〔 〕,+∞,+∞) 第二卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.将答案填在题中的横线上.13.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设14016OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点一共线〔该直线不过点O 〕，那么S 4016等于14. 如下图的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，假设这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么所截得的图形可能是图中的_________.〔把所有可能的图的序号都填上〕15. △OFQ 的面积为S ，且1=•FQ OF ，假设3162S <<，那么向量,OF FQ 的夹角的范围是 .16. 实数,x y 满足不等式组00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，那么11y x ω-=+的取值范围是三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 17.〔本小题满分是10分〕 △ABC 中，AB=4,AC=2,23ABCS=，〔1〕求△ABC 外接圆面积；〔2〕求cos(2B+3π)的值；(1)(2)(3)(4)18.〔本小题满分是12分〕〔理〕甲有一只放有x 个红球，y 个黄球，z 个白球的箱子，且7(,,4)x y z x y z N x ++=∈>且，乙有一只放有4个红球，2个黄球，1个白球的箱子，两个各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时甲胜，异色时乙胜。
天津市第一中学2023-2024学年高三第四次月考数学试卷(解析版)
天津一中2023—2024-2高三年级第四次月考数学试卷本试卷总分150分，考试用时120分钟．考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，所以，又由，所以.故选：C.2. 将收集到的天津一中2021年高考数学成绩绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A. B. 高三年级取得130分以上的学生约占总数的65%C. 高三年级的平均分约为133.2D. 高三年级成绩的中位数约为125【答案】D 【解析】【分析】对于A ，由各个矩形面积之和为1即可列式求解；对于B ，求最右边两个矩形面积之和即可验算；对于C ，D 分别由平均数计算公式、中位数计算方法即可判断.{}{}2|3100,33A x x x B x x =--<=-≤≤A B = (2,3]-[)3,5-{1,0,1,2,3}-{3,2,1,0,1,2,3,4}---{}1,0,1,2,3,4A =-23100x x --<25x -<<{}1,0,1,2,3,4A =-{}33B x x =-≤≤{}1,0,1,2,3A B ⋂=-0.028a =【详解】对于A ，，故A 正确；对于B ，高三年级取得130分以上的学生约占总数的，故B 正确；对于C ，高三年级的平均分约为，故C 正确；对于D ，设高三年级成绩的中位数为，由于，所以，故D 不正确.故选；D.3. 已知，条件，条件，则是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合绝对值的性质，根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.【详解】因为，所以由得，故由能推出；反之，当时，满足，但是；所以是的充分不必要条件.故选：A .4. 函数的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】.()1100.0010.0090.0250.037100.028a =-⨯+++÷=⎡⎤⎣⎦()0.0280.03710100%65%+⨯⨯=()1050.0011150.0091250.0251450.0281350.03710133.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=x 0.010.090.250.350.500.350.370.72++=<<+=130140x <<0a >:p a b >2:q a ab >p q 0a >a b >2a ab ab >≥:p a b >2:q a ab >10,2a b =>=-212a ab =>=-122a =<-=p q ()21cos 31x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭【分析】根据函数奇偶性即可排除CD ，由特殊点的函数值即可排除A.【详解】，则的定义域为R ，又，所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD ，当时，，故排除A .故选：B.5. 已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解.【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增，所以，即.故选：B.6. 多项式展开式中的系数为（ ）A. 985B. 750C. 940D. 680【答案】A 【解析】分析】由二项式定理即可列式运算，进而即可得解.【详解】多项式展开式中的系数为.故选：A.7. 已知斜三棱柱中，为四边形对角线的交点，设三棱柱的体积【2()(1)cos 31xf x x =-⋅+()f x ()()()22321cos 1cos 1cos 313131x x x xf x x x x f x -⎛⎫⨯⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=-⋅=-+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x πx =()ππ22π1cos π103131f ⎛⎫-=< ⎪++⎝⎭=-+()f x R ()f x [0,)+∞12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c <<b<c<ac<a<bb a c<<()f x R ()f x [0,)+∞()()1211ln 2ln 1e 22b f f f c f ff a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<==<<== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b<c<a ()52(71)52x x++2x ()52(71)52x x++2x 32350555C 712C 7159805985⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=111ABC A B C -O 11ACC A 111ABC A B C -为，四棱锥的体积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】如图，延长，连接，则、，进而得，即可求解.【详解】如图，延长，连接，则，所以，又O 为的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，则，所以，即故选：A8. 已知函数（为常数，且）的一个最大值点为，则关于函数的性质，下列说法错误的有（ ）个.1V 11O BCC B -2V 21:V V =1:31:41:62:31OA 11,,OB OB A B 111123A BCC B V -=11122A BCC B V V -=12223V V =1OA 11,,OB OB A B 11111111,3A ABC A BCCB A ABC V V V V V ---=+=111123A BCCB V -=1AC 1A 11BCC B O 11BCC B 11111222A BCC B O BCC B V V V --==12223V V =2113V V =()sin cos f x a x b x =+,a b 0,0a b >>π3x =()sin 2cos 2g x a x b x =+①的最小正周期为；②的一个最大值点为；③在上单调递增；④的图像关于中心对称．A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，求的关系，再根据辅助角公式化简函数，再利用代入的方法，判断函数的性质.【详解】函数，，平方后整理为，所以，，函数的最小正周期为，故①正确；当时，，此时函数取得最大值，故②正确；当时，，位于单调递增区间，故③正确；，故④错误，所以错误的只有1个.故选：B9. 已知双曲线的左焦点为，过作渐近线的垂线，垂足为，且与抛物线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】()g x π()g x π6()g x 2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭()gx 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭,a b ()g x ()sin cos f x a x b x =+12b +=()20a =a π()sin 2cos 22sin 26g x x b x b x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0b >()g x 2ππ2=π6x =πππ2662⨯+=()g x 2π,π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π3π13π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭77ππ4π2sin 22sin 0121263g b b π⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221(0,0)x y a b a b-=>>1(,0)F c -1F P 212y cx =M 13PM F P =【分析】首先利用等面积法求出点坐标，再根据，求出坐标，再将坐标带入抛物线化简即可求解出双曲线离心率.【详解】据题意，不妨取双曲线的渐近线方程为，此时，，∴，且是直角三角形，设，则，，代入中，得，即；设,则，，由，则，，∴，则；又在抛物线上，，即，化简得，分子分母同时除以，，且，，.故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知，且满足（其中为虚数单位），则_________．【答案】2【解析】【分析】根据复数相等得到关于的方程组，解该方程组即可.【详解】由题意，可得，P 13PM F P =M M 212y cx =by x a=-1F P b =1OF c =OP a =1OPF (,)p p P x y 11122OPF p S ab cy== p aby c ∴=b y xa =-2p a x c =-2(,a ab P c c-(,)M xy 2,a ab PM x y c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 221,,a ab b ab F P c cc c c ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13PM F P = 223a b x c c+=⋅3ab ab y c c -=⋅2234,b a ab x y c c -==2234(,)b a abM c c -M 212y cx =22243()12ab b a cc c-∴=()()()2222222222221612316123a b b aca c a c a a c ⎡⎤=-⇔-=--⎣⎦422491640c a c a -+=4a 4291640e e ∴-+=1e >2e ∴===e ∴=,R a b ∈(12i)(i)3i a b ++=-i 22a b +=,a b (12i)(i)3i a b ++=-(2)(2)i 3i a b a b -++=-所以，解得，所以.故答案为：211. 著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n 个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将个不同元素全错位排列的总数记为，则数列满足，．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有_________种【答案】【解析】【分析】根据数列递推公式求出项，再结合分步计数原理求解.【详解】第一步，先选出两位同学位置不变，则有种，第二步，剩下5名同学都不在原位，则有种，由数列满足，，则，，，则不同的做法有种.故答案为：.12. 已知在处的切线与圆相切，则_________．【答案】或【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，再由直线与圆相切，列出方程，即可求解.【详解】由函数，可得，则且，所以函数在处的切线方程为，即，又由圆，可得圆心，半径为，2321a b a b -=⎧⎨+=-⎩1575a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222a b +=n n a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥9242776C 2121⨯==⨯5a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥()()321312a a a =-+=()()432419a a a =-+=()()5435144a a a =-+=2144924⨯=9242()ln f x x x =-1x =22:()4C x a y -+==a -0x y -=2()ln f x x x =-1()2f x x x=-'(1)1f '=(1)1f =()f x 1x =11y x -=-0x y -=22:()4C x a y -+=(,0)C a 2r =因为与圆，解得.故答案为：.13. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为______，若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是逻辑推理题，则这5道题目中答对题目个数的数学期望为______.【答案】 ①. ##②. 【解析】【分析】根据全概率公式求解概率，根据二项分布列的期望公式求解即可.【详解】设事件“小伟同学任意抽取一道题目作答，答对题目”，则.由题意小伟同学任意抽取一道逻辑推理题作答，则答对题目的概率为，根据二项式分布知，所以，即的数学期望为.故答案为：，14. 在中，设，，其夹角设为，平面上点满足，，交于点，则用表示为_________．若，则的最小值为_________．【答案】 ①. ②.【解析】【分析】由和三点共线，得到和，得出方程组，求得的值，得到，再由，化简得到，得出，结合基本不等式，即可求解.0x y -=C 2a =±±20%50%30%0.20.60.7X 0.5511201A =()0.20.20.50.60.30.70.55P A =⨯+⨯+⨯=0.2()5,0.2X B ~()50.21E X =⨯=X 10.551ABC ,AB a AC b ==u u u r r u u u r r θ,D E 2AD AB = 3AE AC =,BE DC O AO ,a b65AO DE DC BE ⋅=⋅ cos θ4355AO a b =+ ,,D O C ,,B O E 2(1)AO ta t b =+- ()33AO ua u b =+-2133t ut u =⎧⎨-=-⎩,t u 4355AO a b =+ 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 2248209a b a b ⋅=+ 22209cos 48a b a bθ+=【详解】因为三点共线，则存在实数使得，又因为三点共线，则存在实数使得，可得，解得，所以，由，因为，可得，整理得，可得，所以又因为所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以.故答案为：15. 设函数，若函数与直线有两个不同的公共点，则的取值范围是______.【答案】或或【解析】【分析】对于，当可直接去绝对值求解，当时，分和,,D O C t (1)2(1)AO t AD t AC ta t b =+-=+-,,B O E u ()()133AO u AB u AE ua u b =+-=+-2133t u t u =⎧⎨-=-⎩24,55t u ==4355AO a b =+ 32,2,3DE AE AD b a DC AC AD b a BE AE AB b a =-=-=-=-=-=- 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 436()(32)(2)(3)555a b b a b a b a +⋅-=-⋅-2248209a b a b ⋅=+ 2248cos 209a b a b θ=+ 22209cos 48a b a bθ+=22209a b+≥ 22209cos 48a b a b θ+=≥ 22209a b = 3b cos θ4355AO a b =+ 22()21f x x ax ax =-++()y f x =y ax =a 2a <-21a -<<-2a >221y x ax =-+0∆≤0∆>a <-a >论，通过和图像交点情况来求解.详解】由已知，即，则必过点，必过，对于，当时，，此时恒成立，所以，令，即，要有两个不同的公共点，则，解得或或，当时，或当时，和图象如下：此时夹在其两零点之间的部分为，令，得无解，则有两个根有两个根，即有两个解，，符合要求；当和图象如下：【221y x ax =-+()1y ax x =-22()21f x x ax ax ax =-++=()2211x ax ax x -+=-()1y ax x =-()()0,0,1,0221y x ax =-+()0,1221y x ax =-+280a ∆=-≤a -≤≤2210x ax -+≥()222()2121f x x ax ax a x ax =-++=+-+()221a x ax ax +-+=()22210a x ax +-+=()21Δ442020a a a ⎧=-+>⎨+≠⎩2a -≤<-21a -<<-2a <≤280a ∆=->a <-a >a <-221y x ax =-+()1y ax x =-221y x ax =-+-2221x ax ax ax -+-=-+()221a x -=()2211x ax ax x -+=-()2211x ax ax x ⇔-+=-()22210a x ax +-+=()2Δ4420a a =-+>a <-a >221y x ax =-+()1y ax x =-或令，根据韦达定理可得其两根均为正数，对于①，则，解得，对于②，则，解得，综上所述，的取值范围是或或.【点睛】方法点睛：对于方程的根或者函数零点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题，图象直观方便，对解题可以带来很大的方便.三、解答题（本大发共5小题，共75分）16. 已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理求关系，再利用余弦定理求出，再利用两角和的正弦定理计算即可；（2）利用三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】2210x ax -+=011⎧<<⎪⎪>3a >011⎧<<⎪⎪<3a <<a 2a <-21a -<<-2a >ABC sin cos sin 22C CB =2223a c b -=πsin 3B ⎛⎫+⎪⎝⎭1b =ABC ,,a b c cos B因为，所以，由正弦定理得，所以，即，所以，在中，，所以【小问2详解】由（1）得当时，，所以17. 已知四棱台，下底面为正方形，，，侧棱平面，且为CD 中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）求到平面的距离．【答案】（1）证明见详解 （2）sincos sin 22C CB =sin 2sinC B =2c b =2222223347b a b c b b +=+===a 222cos 2a cb B ac +-===ABC sin B ==π11sin sin 322B B B ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭1b =2a c ==122ABC S =´´=1111ABCD A B C D -ABCD 2AB =111A B =1AA ⊥ABCD 12,AA E =1//A E 11BCC B 11ABC D 11BCC B E 11ABC D 15（3【解析】【分析】（1）直接使用线面平行的判定定理即可证明；（2）构造空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，再计算两个法向量的夹角余弦值的绝对值即可；（3）使用等体积法，从两个不同的方面计算四面体的体积即可求出距离.【小问1详解】由于，，故，而，故四边形是平行四边形，所以，而在平面内，不在平面内，所以平面；【小问2详解】如上图所示，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面与平面的法向量分别是和，则有和，1EAD B 11∥A B AB CE AB ∥11CEA B 1111122CE CD AB A B ====11CEA B 11A E B C ∥1B C 11BCC B 1A E 11BCC B 1//A E 11BCC B 1A 11111,,A A A D A B,,x y z ()2,0,0A ()10,1,0D ()2,0,2B ()10,0,1B ()10,1,1C ()()()()11110,0,2,2,1,0,2,0,1,0,1,0AB AD BB B C ==-=--=11ABC D 11BCC B ()1,,n p q r = ()2,,n u v w =11100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 212110n BB n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，，从而，，.故我们可取，，而，故平面与平面所成角的余弦值是.【小问3详解】设到平面的距离为，由于，而，所以.所以到平面18. 已知椭圆的左右顶点为A ，B ，上顶点与两焦点构成等边三角形，右焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）过作斜率为的直线与椭圆交于点，过作l 的平行线与椭圆交于P ，Q 两点，与线段BM 交于点，若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据上顶点与两焦点构成等边三角形求出即可；（2）设出直线方程，利用弦长公式求出求出，，利用点到直线的距离求出点到直线的距离和点到直线的距离，再根据列式计算即可.【小问1详解】2020r p q =⎧⎨-+=⎩200u w v --=⎧⎨=⎩0r v ==2p q =20u w +=()11,2,0n = ()21,0,2n =-11cos ,5n 11ABC D 11BCC B 15E 11ABC D L 111111332E AD B AD B V LS L AD AB L -==⋅⋅⋅= 111142333E AD B B AD E AEB ABCD V V S S --==⋅⋅=⋅= 43=L =E 11ABC D 22221(0)x y a b a b +=>>(1,0)F A (0)k k >l M F N 2AMN BPQ S S =△△k 22143x y +=k =,a b AM PQ N AM B PQ 2AMN BPQ S S =△△由已知在等边三角形中可得，则椭圆的标准方程为为；【小问2详解】设直线的方程为：，联立消去得，则，得，，设直线的方程为：，设，联立，消去得，易知，则，所以，由得，所以直线的方程为，即，联立得，所以点到直线的22,a c b ====22143x y +=l ()2y k x =+()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()2222341616120k x k x k +++-=221612234M k x k --=+226834M k x k-=+226834Mk AM x k -=-=-=+PQ ()1y k x =-()()1122,,,P x y Q x y ()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y ()22223484120k x k x k +-+-=0∆>221212228412,3434k k x x x x k k-+==++PQ ==()2212134k k +=+226834M k x k -=+222681223434M k k y k k k ⎛⎫-=⋅+= ⎪++⎝⎭BM ()2221234268234kk y x k k +=---+()324y x k=--()()3241y x k y k x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩222463,4343k k N k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭N AM点到直线，因为，所以，解得.【点睛】方法点睛：直线与椭圆联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根的判别式.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．19. 已知数列满足对任意的，均有，且，，数列为等差数列，且满足，．（1）求，的通项公式；（2）设集合，记为集合中的元素个数．①设，求的前项和；②求证：，．【答案】（1），B PQ 2AMN BPQ S S =△△()221211122234k k +=⨯+k =∆0∆>{}n a *N n ∈212n n n a a a ++=12a =24a ={}n b 11b =2105b b a +={}n a {}n b {}*1N n n k n A k a b a +=∈<≤n c n A ()2n n n p b c =+{}n p 2n 2n P *N n ∀∈122121111176n n c c c c -++++< 2n n a =32n b n =-（2）①；②证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式、等比数列的通项公式进行求解即可；（2）①根据不等式的解集特征，结合累和法、等比数列的前项和公式分类讨论求出的表达式，最后根据错位相减法进行求解即可；②运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行运算证明即可.【小问1详解】因为数列满足对任意的，均有，所以数列是等比数列，又因为，，所以等比数列的公比为，因此；设等差数列的公差为，由；【小问2详解】因为，，所以由，因此有，即有，，当时，有于是有当为大于2的奇数时，()2122122n n P n n +=-⋅+-12322,n n k k +*<-≤∈N n n c n {}n a *N n ∈212n n n a a a ++={}n a 12a =24a ={}n a 212a a =1222n n n a -=⨯={}n b d ()210511932313132n b d d d b b n n a ⇒+++=⇒=⇒=+-=+-=2n n a =32n b n =-11,2322,nn n k n a b a k k k *+*+<≤∈⇒<-≤∈N N {}{}{}{}{}123452,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,22A A A A A ===== {}623,24,,43,A =1234561,1,3,5,11,21,c c c c c c ======234512233445562,42,82,162,322,c c c c c c c c c c +=+==+==+==+== 12,n n n c c ++= 2,N n n *≥∈112,n n n c c --+=1112,n n n c c -+--=n ()()()243122431122221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-+-+=+++++，显然也适合，当为大于2的偶数时，，显然也适合.①，，，设，则有，两式相减，得，，；②设，显然，，当时，有，因此，12214211143n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+=-11c =n ()()()244222442222221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=+++++ 122214211143nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=-21c =()()()21,21,N 221,2,Nn n n n n n n k k p b c n n k k **⎧+=-∈⎪=+=⎨-=∈⎪⎩()()212342121321242n n n n n P P P P P P P P P P P P P --=++++++=+++++++ ()()132124212132321221222424222n nn n n n -⎡⎤⎡⎤=⨯++⨯+++-⋅+-+⨯-+⨯-++⋅-⎣⎦⎣⎦()()()123212122232212221234212n n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅+-+-+--⎣⎦ ()()12321212223221222n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ()()234221212223221222nn S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 123212212222222n n n S n -+-=+++++-⋅ ()()2212121222212212n n n S n S n ++-⇒-=-⋅⇒=-⋅+-()2122122n n P n n +=-⋅+-()()11321k k k k c *+=∈+-N ()11332121k k k k c +=≤-+-()4213224k k k --⨯=-4,N k k *≥∈()()344213224042132212kk kkkk k--⨯=->⇒->⨯⇒<-()1133421221k k k k k c +=≤<-+-所以当时，，即，显然当时，有成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键由可以确定从第几项开始放缩，根据数列的通项公式的形式，得到，这样可以进行放缩证明.20. 已知函数．（1）讨论的单调区间；（2）已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；①求证：；②求证：．【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间；（2）①要证，即证，只需证，构造函数，，借助导数即可得证；②同①中证法，先证，则可得，利用、是方程的两根所得韦达定理，结合即可得证.【小问1详解】，，N k *∈4512321111111111143222k k k c c c c c -⎛⎫+++++<++++++ ⎪⎝⎭ 43123211111111122114312k k k c c c c c --⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒+++++<+++⨯- 312321111171171171322326k k k c c c c c --⎛⎫+++++<+-<+= ⎪⎝⎭ 2k n =122121111176n n c c c c -++++< 171111632=+++()1133421221k k k k k c +=≤<-+-2()24ln f x x ax x =-+()f x [4,6]a ∈()f x ()1212,λλλλ<b ∈R ()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<1212x x λ+>31x x -<∆1212x x λ+>2112x x λ>-()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈2232x x λ+<()()2312123122x x x x x x λλ=++<---1λ2λ220x ax -+=[4,6]a ∈()()222422x ax f x x a x x-+'=-+=0x >其中，，当时，即，此时恒成立，函数在区间单调递增，当时，即或当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，当，得或当时，，时，，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，综上可知，当的单调递增区间是；当的单调递增区间是和，单调递减区间是；【小问2详解】①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，、是方程的两根，有，，又的图象与有三个公共点，故，则，()22tx x ax =-+28a ∆=-0∆≤a -≤≤()0f x '≥()f x ()0,∞+0∆>a <-a >a <-()0f x ¢>()0,∞+()f x ()0,∞+a >()0t x =1x =1x =0x <<x >()0f x ¢>x <<()0f x '<()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭a ≤()f x ()0,∞+a >()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭[4,6]a ∈()f x ()10,λ()2,λ+∞()12,λλ1λ2λ220x ax -+=122λλ=12a λλ+=()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<112230x x x λλ<<<<<1112x λλ->要证，即证，又，且函数在上单调递减，即可证，又，即可证，令，，由，则恒成立，故在上单调递增，即，即恒成立，即得证；②由，则，令，，则，故在上单调递增，即，1212x x λ+>2112x x λ>-1112x λλ->()f x ()12,λλ()()1122f x f x λ<-()()12f x f x b ==()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈()()()()212222422x ax x x f x x a x x xλλ-+--'=-+==()()()()()112211122222x x xx x g x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()1221112222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()222211*********x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()12221111222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()g x '()10,λ()()()()111102g x g f f λλλλ<=--=()()1112f x f x λ<-112230x x x λλ<<<<<2322x λλ-<()()()22x h x f x f λ=--()2,x λ∈+∞()()()()()122221222222x x xx x h x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()2112222222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()221122212222222x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()22112222222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()h x '()2,λ+∞()()()()222202h x h ff λλλλ>=--=即当时，，由，故，又，故，由，，函数在上单调递减，故，即，又由①知，故，又，故.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先证，从而借助①中所得，得到.()2,x λ∈+∞()()22x f x f λ>-32x λ>()()3232f x f x λ>-()()32f x f x =()()3222f x f x λ>-2322x λλ-<122x λλ<<()f x ()12,λλ2322x x λ<-2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---2122λλ-==≤=31x x -<2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---。
2021年高三第四次月考试题 数学(理) Word版含答案
2021年高三第四次月考试题数学（理） Word版含答案数学（理科）南雅中学高三数学备课组组稿一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则满足的集合个数是（）2.是直线与直线平行的（）3.若向量满足//，且，则（）4.已知函数：，当时，下列选项正确的是 ( )5.已知平面外不共线的三点到α的距离都相等,则正确的结论是( )A.平面必平行于B.平面必与相交C.平面必不垂直于D.存在△的一条中位线平行于或在内6．已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则等于（）3 47.平面上动点满足，，,则一定有（）8.在等差数列中，，，记数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最小值为（）5 4 3 2二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在极坐标系中，曲线的焦点的极坐标 .的平分线分别交、于点、.则的度数= .11．若存在实数使成立，求常数的取值范围。
（二）必做题（12-16题）12. 计算：= 。
13．已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 。
14.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有 种不同的排法。
（用数字作答） 15.定义：，其中是虚数单位，，且实数指数幂的运算性质对都适应。
若，，则 ． 16.已知函数 其中,。
（1）若在的定义域内恒成立，则实数的取值范围 ；（2）在（1）的条件下，当取最小值时，在上有零点，则的最大值为 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数，.求:（1）函数的最小值及取得最大值的自变量的集合； （2）函数的单调增区间. 高 考 资 源 网 18. （本小题满分12分） 如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面侧面，,，且满足. （1）求证：； （2）求点的距离；（3）求二面角的平面角的余弦值。
甘肃省会宁县第一中学2021届高三上学期第四次月考数学(文)试题 含答案
2020-2021学年度第一学期高三第四次月考数学试卷（文科）一、选择题：(每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．复数z 1在复平面内对应的点为（1，3），z 2＝﹣2+i （i 为虚数单位），则复数的虚部为（）A ．B ．C ．D ．2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x ＜1}，B ＝{x |log 2x ＜1}，则（∁U A ）∩B ＝（）A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0＜x ＜2}D ．{x |0≤x ＜2}3．下列判断正确的是（）A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题B ．命题“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ，2≤0”C ．“”是“α＝”的充分不必要条件D ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ＝0，则x ≠0”4．设a ＝1-3log 2，b ＝2log 4，c ＝2，则（）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ＜c5．设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f ′（x ），且函数f （x ）在x ＝﹣3处取得极大值，则函数y ＝xf ′（x ）的图象可能是（）A ．B ．C．D．6．数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n﹣1，则a10＝（）A．511B．513C．1025D．10247．已知二次不等式﹣2x2+bx+c＜0的解集为{x|x＜或x＞}，则关于x的不等式cx2﹣bx﹣2＞0的解集为（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|﹣3＜x＜﹣2}8．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A，sin B，sin C成等比数列，则角B 的取值范围（）A．B．C．D．9．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示，为了得到y＝sin x图象，则需将y＝f（x）的图象（）A．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位B．B．横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位C．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位D．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位10．已知向量＝（4sinα，1﹣cosα），＝（1，﹣2），若＝﹣2，则＝（）A．1B．﹣1C．D．11．已知是两个不共线的向量，若，+，，则（）A．A，B，C三点共线B．A，C，D三点共线C．A，B，D三点共线D．B，C，D三点共线12．已知在x＝1处取得极值，则的最小值是（）A．B．2C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）13．已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是．14．已知α∈（0，），β∈（0，），sin（α﹣β）＝，α+β＝，则cos2α的值为．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+3n﹣1，则a n的通项为．16．不等式mx2﹣mx﹣2＜0对任意x∈R恒成立的充要条件是m∈．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17（本小题满分12分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，sin A＝2sin B，求△ABC的周长．18（本小题满分12分）已知向量，满足：||＝4，||＝3，（﹣）•（+2）＝0．（1）求|2+|的值；（2）若向量⊥（+λ），求实数λ的值．19（本小题满分12分）设S n为首项不为零等差数列{a n}的前n项和，已知a4a5＝3a9，S5＝20．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求的最大值．20（本小题满分12分）已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝ln（3x+2）．（1）证明y＝f（x）在[0，+∞）单调递增；（2）求f（x）的解析式；（3）求不等式f（x+2）≤f（2x）的解集．21（本小题满分12分）已知曲线f（x）＝ax+bx2lnx在点（1，f（1））处的切线是y＝2x﹣1．（1）求实数a，b的值；（2）若f（x）≥kx恒成立，求实数k的最大值．选考题：共10分。
安徽省六安第一中学2022-2023学年高三上学期第四次月考数学试题含答案
六安一中2023届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足13i1iz +=-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知空间中的两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，则“αβ⊥”是“//m α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A.B. C.8D.4.如图，已知1111ABCD A B C D -是正方体，以下结论错误．．的是（）A.向量AC与向量1C D 的夹角为60°B.110AC A B ⋅= C.()2211111113A A A D A B A B ++=D.若1113A P A C =，则点P 是11AB D 的中心5.(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,则k =（） A.33B.C.D.26.过点()3,4P -作圆22:25C x y +=的切线l ，直线:40m ax y -=与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为（）A.5B.2C.4D.7.如图，已知平面αβ⊥，l αβ= ，,A B 是直线l 上的两点，C D 、是平面β内的两点，且.,3,6,6DA l CB l AD AB CB ⊥⊥===,P 是平面α上的一动点，且直线PD PC 、与平面α所成角相等，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为（）A.18B.36C.24D.488.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（A.332πB.33πC.572π D.57π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.若直线l 的斜率为l 的倾斜角为π3-B.三棱锥-P ABC 中，E F 、分别为PB PC 、的中点，23PG PA =，则平面EFG 将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即:1:5P EFG EFG ABC V V --=C.若直线l 过点(2,1)P -且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为30x y --=D.在四面体O ABC -中，若,OA BC OB AC ⊥⊥，则OC AB⊥10.在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB BC E F ⊥,、分别是线段PB PC 、上的动点.则下列说法正确的是（）A.当AE PB ⊥时，AE PC⊥B.当AF PC ⊥时，AEF △一定为直角三角形C.当//EF BC 时，平面AEF ⊥平面PABD.当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中λ，[]0,1μ∈，则下列选项正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥11A PCD -的体积为定值B.当34μ=时，1B P PD + C.当1λμ+=时，直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长度为22D.当11,23λμ==时，点1B 到平面11PC D 的距离为6131312.若实数,x y 满足x -=）A.x 的最小值是0B.x 的最大值是5C.若关于y 的方程有一解，则x 的取值范围为[){}1,45D.若关于y 的方程有两解，则x 的取值范围为(4,5)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.14.如图，在四面体A BCD -中，2==AC BD ，AC 与BD 所成的角为60︒，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为_______.15.已知ABC 的一条内角平分线所在的直线方程为y x =，两个顶点坐标分别为(1,1),(3,2)B C -，则边AC 所在的直线方程为__________.（结果用一般式表示）16.已知数列{}n a 满足：()()()1*21131n nn n a a n n ++-+-=+∈N ，若121a a ==，则数列{}n a 的前20项和20S =___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为，120AOP ∠=o .（1）求证：AG BD ⊥；（2）求直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值.18.如图，P 为ABC 内的一点，BAP ∠记为α，ABP ∠记为β，且α、β在ABP 中的对边分别记为,,(2)sin cos m n m n ββ+=，π,0,3αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求APB ∠；（2）若1,2AB BP AC AP AP PC ===⊥，，求线段AP 和BC 的长.19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点,(1,0)(1,2)A B -.（1）若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||MN =l 的方程；（2）圆C 上是否存在点P ，使得22||12||PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn n S a =-．（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设3(2)n nn b n a +=+，求证：1231n b b b b ++++< ．21.在①2AE =，②AC BD ⊥，③EAB EBA ∠=∠，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体ABCDE 中，已知，,//AC BC ED AC ⊥，且22,AC BC ED DC DB =====.（1）设平面BDE 与平面ABC 的交线为l ，证明：//l 平面ACDE ；（2）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（3）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABF夹角的余弦值等于43，若存在，求BFBC的值；若不存在，请说明理由.22.已知a b ∈R ，，函数()()sin ,xf x e a xg x =-=（1）求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（2）若()y f x =和()y g x =有公共点，（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）求证：22e a b +>．六安一中2023届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足13i1i z +=-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】求出12i z =-+即得解.【详解】解：因为131i iz+=-，所以()()()()13i 1i 13i 24i 12i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+，所以12z i =--在复平面内对应的点为()1,2--，在第三象限.故选：C.2.已知空间中的两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，则“αβ⊥”是“//m α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，当αβ⊥时，m α⊂或m α ，不充分；当m α 时，αβ⊥，必要.故选：B.3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A.B. C.8D.【答案】D 【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A ''=，所以O B ''=2OA O A =''=，2OB O B =''=；所以原图形的面积为2⨯=故选：D4.如图，已知1111ABCD A B C D -是正方体，以下结论错误．．的是（）A.向量AC与向量1C D 的夹角为60°B.110AC A B ⋅=C.()2211111113A A A D A B A B ++= D.若1113A P A C =，则点P 是11AB D 的中心【答案】A 【解析】【分析】由1160A C D ∠=︒得向量AC 与1C D夹角，判断A ，建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，得各点坐标，用空间向量法判断BCD ．【详解】正方体中，11//AC AC （由1AA与1CC 平行且相等得平行四边形11ACC A ），11A C D 是正三角形，1160A C D ∠=︒，但AC 与1C D夹角等于11A C 与1C D 的夹角为120︒，A 错；以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，设1AB =，则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，1(1,1,1)B ，1(1,0,1)A ，1(0,1,1)C ，1(0,0,1)D ，1(1,1,1)AC =- ，1(0,1,1)A B =- ，110AC A B ⋅=，B 正确；111111(1,1,1)A A A D A B AC ++==-- ，221111111()33A A A D A B A B ++== ，C 正确；1111113(,,333A P A C =--= ，P 点坐标为212(,,)333(1,0,0)(1,1,1)(0,0,1)3++=，所以P 是11AB D 的重心，即中心，D 正确．故选：A ．5.(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,则k =（） A.33B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为半圆y =位于直线(0)y kx k =>下方的区间长度为2，由此可得2,4a b ==，求出直线与半圆的交点坐标即可求得k 的值.【详解】解：如图所示：因为y =表示以坐标原点为圆心，4为半径位于x 轴上方(含和x 轴交点)的半圆，(0)y kx k =>表示过坐标原点及第一三象限内的直线，(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,即半圆位于直线下方的区间长度为2，所以2,4a b ==，所以直线与半圆的交点(2,，所以2k ==.故选：C.6.过点()3,4P -作圆22:C x y +=的切线l ，直线:40m ax y -=与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为（）A.5 B.2C.4D.【答案】A 【解析】【分析】根据平行关系可假设():434al y x -=+，由直线与圆相切可知圆心到直线距离d 等于半径，由此可构造方程求得a ，利用平行直线间距离公式可求得结果.【详解】由40ax y -=得：4ay x =；//l m ，∴直线l 斜率4a k =，则():434al y x -=+，即:43160l ax y a -++=，l 与圆C 相切，∴圆心()0,0C 到直线l的距离5d ==，解得：3a =，则:34250l x y -+=，:340m x y -=，l ∴与m 之间的距离5d ==.故选：A.7.如图，已知平面αβ⊥，l αβ= ，,A B 是直线l 上的两点，C D 、是平面β内的两点，且.,3,6,6DA l CB l AD AB CB ⊥⊥===,P 是平面α上的一动点，且直线PD PC 、与平面α所成角相等，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为（）A.18B.36C.24D.48【答案】B 【解析】【分析】首先根据线面角的定义得12PA DA PB BC ==，再在平面α内，建立平面直角坐标系，则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >，，得出点P 的轨迹，从而确定点P 到平面ABCD距离的最大值，即可求解体积的最大值.【详解】DA l ⊥ ，αβ⊥，l αβ= ，AD β⊂AD α∴⊥，同理BC α⊥，DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角，CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角，DPA CPB ∴∠=∠，又90DAP CBP ∠=∠=︒，DAP CPB ∴~ ，3162PA DA PB BC ===，在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >，，∴=，整理可得：()22516x y ++=，P ∴在α内的轨迹为()50M -，为圆心，以4为半径的上半圆,所以点P 到直线AB 距离的最大值是半径4，因为αβ⊥，l αβ= ，点P 到AB 距离就是点P 到平面ABCD 的距离即点P 到平面ABCD 距离的最大值是4，所以四棱锥P ABCD -体积的最大值()1114366436332ABCD V S =⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=.故选：B8.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（）A.332πB.33πC.572π D.57π【答案】D 【解析】【分析】根据正棱台的性质，表示出棱台的高与边长之间的关系，根据棱台的体积公式，将体积函数式子表示出来，利用不等式求解最值，得到棱台的高.因为外接球的球心一定在棱台上下底面中心的连线及其延长线上，通过作图，数形结合，求出外接球的半径，得到表面积.【详解】图1设底边长为a ，原四棱锥的高为h ，如图1，1,O O 分别是上下底面的中心，连结1OO ，11O A ，OA ，根据边长关系，知该棱台的高为2h，则11112173224ABCD A B C D h a h V -==，由1AA =11AOO A为直角梯形，111124O A A B a ==，2222OA AB a ===h =，11112724ABCD A B C D a h V -==283=当且仅当22482a a =-，即4a =时等号成立，此时棱台的高为1.上底面外接圆半径111r A O ==r AO ==，设球的半径为R ，显然球心M 在1OO 所在的直线上.显然球心M 在1OO 所在的直线上.图2当棱台两底面在球心异侧时，即球心M 在线段1OO 上，如图2，设OM x =，则11O M x =-，01x <<，显然1MA MA R===，即=解得0x <，舍去.图3当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M 在线段1O O 的延长线上，如图3，设OM x =，则11O M x =+，显然1MC MA R ====解得52x =，572R ==，此时，外接球的表面积为225744572R πππ⎛=⨯= ⎝⎭.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.若直线l 的斜率为l 的倾斜角为π3-B.三棱锥-P ABC 中，E F 、分别为PB PC 、的中点，23PG PA =，则平面EFG 将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即:1:5P EFG EFG ABC V V --=C.若直线l 过点(2,1)P -且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为30x y --=D.在四面体O ABC -中，若,OA BC OB AC ⊥⊥，则OC AB ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据倾斜角的定义即可判断A ；由题意可得14PEF PBC S S =△△，点G 到平面PBC 的距离是点A 到平面PBC 的距离的23，再根据棱锥的体积公式计算即可判断B ；分直线l 过原点和不过原点两种情况讨论，即可判断C ；将,,AB AC BC uu u r uuu r uu u r 分别用,,OA OB OC表示，再根据数量积的运算律及空间向量的线性运算即可判断D.【详解】解：对于A ，若直线l 的斜率为l 的倾斜角为2π3，故A 错误；对于B ，因为E F 、分别为PB PC 、的中点，所以14PEF PBC S S =△△，设点A 到平面PBC 的距离为h ，点G 到平面PBC 的距离为h '，因为23PG PA = ，所以23'=h h ，则13P ABC A PBC PBC V V S h --==，11213436P GEF G PEF PBC P ABC V V S h V ---==⋅⋅= ，则56EFG ABC P ABC P EFG P ABC V V V V ----==-，所以:1:5P EFG EFG ABC V V --=，故B 正确；对于C ，当直线l 过原点时，直线方程为12y x =-，当直线l 不过原点时，设直线方程为1x y a a+=-，则有211a a-+=-，解得3a =，所以直线方程为133x y-=，即30x y --=，综上，所求直线方程为12y x =-或30x y --=；对于D ，在四面体O ABC -中，,,AB OB OA AC OC OA BC OC OB =-=-=-，因为,OA BC OB AC ⊥⊥，所以()()0,0OA BC OA OC OB OB AC OB OC OA ⋅=⋅-=⋅=⋅-=，即,OA OC OA OB OB OC OA OB ⋅=⋅⋅=⋅ ，所以OA OC OB OC ⋅=⋅ ，即()0OA OB OC -⋅= ，所以0BA OC ⋅=，所以AB OC ⊥，故D 正确.故选：BD .10.在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB BC E F ⊥,、分别是线段PB PC 、上的动点.则下列说法正确的是（）A.当AE PB ⊥时，AE PC⊥B.当AF PC ⊥时，AEF △一定为直角三角形C.当//EF BC 时，平面AEF ⊥平面PABD.当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据PA ⊥底面ABC 得到PA BC ⊥，结合AB BC ⊥得到BC ⊥平面PAB ,则BC AE ⊥，AE PB ⊥ ，最后利用线面垂直的判定得到⊥AE 平面BCP ，则AE PC ⊥；对B ，取点E 位于点B 处即可判断，对C ，由BC ⊥平面PAB ，//EF BC 得到EF ⊥平面PAB ，则平面AEF ⊥平面PAB ，对D ，利用反证法，假设平面AEF ⊥平面PAB ，根据面面垂直的性质定理得到线面垂直，从而得到与基本事实相矛盾的结论，所以当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直.【详解】对A 选项，PA ⊥ 底面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,AB BC ⊥ ，PA AB A = ，且,PA AB ⊂平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ,AE ⊂ 平面PAB ，BC AE ∴⊥，AE PB ⊥ ，BC PB B = ，且,BC PB ⊂平面BCP ，AE ∴⊥平面BCP ，PC ⊂ 平面BCP ，AE PC ∴⊥，故A 正确，对B 选项，当AF PC ⊥时,无法得出AEF △一定为直角三角形，例如E 点取点,B ABF 不是直角三角形，若90AFB ∠= ，则BF AF ⊥，又AF PC ⊥ ，BF PC F ⋂=，,BF PC ⊂平面BCP ，则AF ⊥平面BCP ，BC ⊂ 平面BCP ，则AF BC ⊥，而PA BC ⊥，AF PA A = ，,AF PA ⊂平面ACP ，则BC ⊥平面ACP ，AC ⊂ 平面ACP ，则BC AC ⊥，显然不成立，故此时90AFB ∠≠ ，若90BAF ∠= ，则AF AB ⊥，AP AB ⊥ ，AF AP A ⋂=，,AF AP ⊂平面ACP,AB ∴⊥平面ACP ，AC ⊂ 平面ACP ，AB AC ∴⊥，显然不成立，故此时90BAF ∠≠ ，若90ABF ∠= ，则BF BA ⊥，而CB BA ⊥，,BF CB ⊂平面BCP ，BF CB B = ，所以BA ⊥平面BCP ，BP ⊂ 平面BCP ，BA BP ∴⊥，显然不成立，故90ABF ∠≠ ，故B 错误，对C 选项，由A 选项证得BC ⊥平面PAB ，//EF BC Q ，EF ∴⊥平面PAB ，EF ⊂ 平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAB ，故C 正确，对D 选项，在平面PAB 内，过点P 作AE 的垂线，垂足为G ，假设平面AEF ⊥平面PAB ， 平面AEF ⋂平面PAB AE =，PG AE ⊥，且PG ⊂平面PAB ，PG ∴⊥平面AEF ，而若此时PC ⊥平面AEF ，这与过平面外一点作平面的垂线有且只有一条矛盾，故当PC ⊥平面AEF 时,平面AEF 与平面PAB 不可能垂直，故D 正确，故选：ACD.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中λ，[]0,1μ∈，则下列选项正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥11A PCD -的体积为定值B.当34μ=时，1B P PD +C.当1λμ+=时，直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长度为2D.当11,23λμ==时，点1B 到平面11PC D 的距离为61313【答案】ABD 【解析】【分析】对A ：由题意确定点P 的位置，利用转换顶点法求体积；对B ：由题意确定点P 的位置，借助于展开图分析求解；对C ：由题意确定点P 的位置，分析可得直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹为MN ，即可求得结果；对D ：由题意确定点P 的位置，利用等积法求点到面的距离.【详解】对A ：取,AB CD 的中点,M N ，连接MN ，则MN AD ，∵11A D AD ，∴MN 11A D ，MN ⊄平面11ACD ，11A D ⊂平面11ACD ，∴MN 平面11ACD ，若12λ=，则点P 在线段MN 上，∴点P 到平面11ACD 的距离相等，过N 作1NF CD ⊥，垂足为F ，∵11A D ⊥平面11CDD C ，1,CD NF ⊂平面11CDD C ，∴11111,CD A D NF A D ⊥⊥1111CD A D D ⋂=，111,CD A D ⊂平面11ACD ，∴NF ⊥平面11ACD ，故三棱锥11P ACD -的高为2NF =，∴1111122122323A PCD P A CD V V --==⨯⨯⨯⨯（定值），A 正确；对B ：分别在,AD BC 上取点,M N ，使得3AM BNDM NC==，连接11,,MN A M B N ，则MN AB ，又∵AB 11A B ，∴MN 11A B ，则11,,,A B M N 四点共面，135,22BN B N ===若34μ=，则P MN ∈，故1B P ⊂平面11A B NM ，如图，将平面11A B NM 和平面CDMN 对接成一个平面时，则113B C B N NC =+=，∴11B P PD B D +≥=B 正确；对C ：若1λμ+=，则P BD ∈，1A P ⊂平面1A BD ，设1111,A D D E M A B B E N ==I I ，则平面1A BD ⋂平面11B D E MN =，即直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹为MN ，∵1112A M A N MD BN ==，∴12233MN BD ==，故直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长为223，C 错误；对D ：分别在,AD BC 上取点,M N ，使得12AM BN DM NC ==，连接11,,MN MD NC ，则MN CD ，MN =CD ，∵11C D CD ，11C D =CD ，∴MN 11C D ，11MN C D =，则11MNC D 为平行四边形，又∵11C D ⊥平面11AA D D ，1MD ⊂平面11AA D D ∴111C D MD ⊥，则11MNC D 为矩形，若11,23λμ==，则点P 为MN 的中点，12133D M ==，设点1B 到平面11PC D 的距离为d ，由111111B PC D P B C D V V --=，即1111222232332d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得13d=，故点1B 到平面11PC D 的距离为61313，D 正确；故选：ABD.12.若实数,x y 满足x -=）A.x 的最小值是0B.x 的最大值是5C.若关于y 的方程有一解，则x 的取值范围为[){}1,45D.若关于y 的方程有两解，则x 的取值范围为(4,5)【答案】AB 【解析】【分析】根据特殊值可判断A 项；设t =t ⎡∈⎣，原方程即为2t x -+=，将t 当成变量，设()2f t t x =-+，()g t =t ⎡∈⎣，原方程有解等价于()f t 的图象和()g t 的图象有公共点，即可利用数形结合解出．【详解】对于A 项：由已知可得，0x =≥，且当0x =时，解得0y =，符合题意，故A 项正确；当0x >时，令t =0t ≥，又0x y -≥，则t ≤，即t ⎡∈⎣，则原方程可化为2t x -+=．设()2f t t x =-+，()g t =t ⎡∈⎣，整理得()20t f t x +-=，t ⎡∈⎣，则()f t 的图象是斜率为2-的直线的一部分；整理可得()222t g t x +=，t ⎡∈⎣，()g t 的四分之一圆.如图，作出函数()y f t =与()y g t =的图象，则问题等价于()f t 的图象和()g t 的图象有公共点，观察图形可知，当直线与圆相切时，直线()2f t t x =-+的截距最大，此时x 有最大值，由=得5x =，故B 项正确；当直线过点(时，x =，解得1x =或0x =（舍去）；当直线过点)时，x =4x =或0x =（舍去）．因此，要使直线与圆有公共点，则有[]1,5x ∈，综上，[]{}1,50x ∈ ，故x 的最大值为5，最小值为0．对于C 、D 项：综上并结合图象可知，当0x =或5x =或[)1,4x ∈时，y 有一解；当[)4,5x ∈时，y 有两解．故C 、D 项错误.故选：AB ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】分析直线过定点，再由勾股定理即可求解.【详解】由圆229x y +=可得圆心()0,0O ，半径为3，直线120kx y k -+-=，即()210k x y --+=，直线过定点P (2,1)，又因为22219+<，所以点在圆的内部，当圆心到直线MN 距离最大时，弦长MN 最小，此时OP MN ⊥，此时4MN ==，故答案为：4.14.如图，在四面体A BCD -中，2==AC BD ，AC 与BD 所成的角为60︒，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为_______.【答案】1或1【解析】【分析】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，求出MEN ∠的值，利用余弦定理可求得线段MN 的长.【详解】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，M 、E 分别为AB 、BC 的中点，//ME AC ∴且112ME AC ==，同理可得EN //BD 且112EN BD ==，MEN ∴∠为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角，则60MEN ∠= 或120 .在MEN 中，1EM EN ==.若60MEN ∠= ，则MEN 为等边三角形，此时，1MN =；若120MEN ∠= ，由余弦定理可得MN =综上所述，1MN =故答案为：115.已知ABC 的一条内角平分线所在的直线方程为y x =，两个顶点坐标分别为(1,1),(3,2)B C -，则边AC 所在的直线方程为__________.（结果用一般式表示）【答案】3250x y --=【解析】【分析】根据题意可知，y x =是角A 的平分线，所以点B 关于角平分线的对称点B '在直线AC 上，即可求得边AC 所在的直线方程.【详解】由题意可知，直线y x =为三角形内角A 的平分线，所以，点B 关于角平分线y x =的对称点B '在直线AC 上，设(,)B a b '，即1111122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=⎪⎩，解得1,1a b ==-，所以(1,1)B '-此时直线BC '所在直线方程即为边AC 所在的直线方程，即212(3)31y x +-=--，整理得3250x y --=.故答案为：3250x y --=16.已知数列{}n a 满足：()()()1*21131n n n n a a n n ++-+-=+∈N ，若121a a ==，则数列{}n a 的前20项和20S =___________.【答案】115-【解析】【分析】分别讨论*21,n m n m m =-=∈N 、，由累加法得2122m m a a ++、的通项，即可求20S .【详解】当*21,n m m =-∈N 时，()()()2212121212111321162m m m m m m a a a a m m -+-+--+-=-=-+=-，∴()()212121212331126121216121312m m m m m a a a a a a a a m m m m m m m m ++---=-+-++-+=+-+++-++=-+=++ ∴()()2221319312912910a a a +++=⨯++++++++ ；当*2,n m m =∈N 时，()()2122222221161m m m m m m a a a a m +++-+-=-+=+，即()22261m m a a m +-=-+，∴()()222222224222612116113412m m m m m a a a a a a a a m m m m m m m m ++-=-+-++-+=-+-+++-+-+=-+=--+ ∴()()22224203129412910a a a +++=-⨯+++-⨯++++ .故()22220131924203129(129)10S a a a a a a =+++++++=⨯++++++++ ()()2229(19)31294129103201152+-⨯+++-⨯++++=-⨯+=- 故答案为：115-四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为，120AOP ∠=o.（1）求证：AG BD ⊥；（2）求直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】【分析】（1）根据圆柱侧面积公式可求得母线长AD ，利用余弦定理可求得AP ，根据等腰三角形三线合一性质可证得AG DP ⊥；由AP BP ⊥，BP AD ⊥可证得BP ⊥平面ADP ，由线面垂直性质可得BP AG ⊥；利用线面垂直的判定和性质可证得结论；（2）取OB 中点E ，根据等腰三角形三线合一和线面垂直性质可证得PE ⊥平面ABD ，由线面角定义可知所求角为PDE ∠，根据长度关系可得结果.【小问1详解】由圆柱侧面积可知：2π4πOA AD AD ⋅⋅=⋅=，解得：AD =2OA OP ==，120AOP ∠=o，AP ∴=，AD AP ∴=，又G 为DP 中点，AG DP ∴⊥；AB 是圆O 的直径，AP BP ∴⊥；AD ⊥ 平面ABP ，BP ⊂平面ABP ，BP AD ∴⊥，又,AD AP ⊂平面ADP ，AD AP A = ，BP ∴⊥平面ADP ，AG ⊂ 平面ADP ，BP AG ∴⊥，又,BP DP ⊂平面BDP ，BP DP P = ，AG ∴⊥平面BDP ，BD ⊂Q 平面BDP ，AG BD ∴⊥.【小问2详解】取OB 中点E ，连接PE ，18060BOP AOP ∠=-∠= ，OB OP =，OBP ∴△为等边三角形，PE AB ∴⊥；AD ⊥ 平面ABP ，PE ⊂平面ABP ，PE AD ⊥∴；AB AD A =Q I ，,AB AD ⊂平面ABD ，PE ∴⊥平面ABD ，PDE ∴∠即为直线PD 与平面ABD 所成角，DP =，PE ==，2sin4PE PDE DP ∴∠==，即直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值为4.18.如图，P 为ABC 内的一点，BAP ∠记为α，ABP ∠记为β，且α、β在ABP 中的对边分别记为,,(2)sin cos m n m n ββ+=，π,0,3αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求APB ∠；（2）若1,2AB BP AC AP AP PC ===⊥，，求线段AP 和BC 的长.【答案】（1）2π3（2）1AP =，BC =【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理将(2)sin cos m n ββ+=化简为sin sin 3παβ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再结合所给角的范围，即可求解.（2）利用余弦定理求出AP ，再结合AP PC ⊥150BPC ∠=︒，，利用余弦定理即可求出BC .【小问1详解】已知()2sin cos m n ββ+=，由正弦定理可得22sin sin sin cos αββββ+=，由sin 0β≠，31sin cos sin sin sin 223παββαβ⎛⎫∴=-⇒= ⎪⎝⎭，πππ,0,0,333αββ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，3παβ=-，233APB ππαβ+=⇒∠=.【小问2详解】在APB △中，由余弦定理得知：2222cos AB AP BP AP BP APB=+-⋅⋅∠即231+1AP AP AP =+⇒=又AP PC ⊥ ，且2AC AP PC =⇒=，又150BPC ∠=︒ ，在BPC △中，2222cos BC PB PC PB PC BPC =+-⋅⋅∠，2312BC BC =+⇒=19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点,(1,0)(1,2)A B -.（1）若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||MN =l 的方程；（2）圆C 上是否存在点P ，使得22||12||PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1x =或34110x y +-=（2）存在，两个【解析】【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线l 的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解；(2)假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，利用题干条件得到点P 也满足22(1)4x y +-=，根据两圆的位置关系即可得出结果.【小问1详解】圆22:40C x y x +-=可化为22(2)4x y -+=，圆心为(2,0),2r =，若l 的斜率不存在时，1l x =：，此时||MN =.当l 的斜率存在时，设l 的斜率为k ，则令:2(1)l y k x -=-，因为||MN =1d ==314k =⇒=-，34110x y ∴+-=所以直线l 的方程为1x =或34110x y +-=.【小问2详解】假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222||||(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=，|22|22-<<+ ，22(2)4x y ∴-+=与22(1)4x y +-=相交，则点P 有两个.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn n S a =-．（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设3(2)n nn b n a +=+，求证：1231n b b b b ++++< ．【答案】（1）证明见解析；()112n n a n -=+⋅（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用公式()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得到1122n n n a a --=+，可构造等差数列并求通项.(2)求出的通项，利用裂项相消求和证明不等式.【小问1详解】因为22n n n S a =-①，所以2n ≥时，11122n n n S a ---=-②，-①②得112222n n n n n a a a --=--+，即1122n n n a a --=+，2n ≥，所以111222n n n n a a ---=，2n ≥，在①式中，令1n =，得12a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项12为公差的等差数列．所以111(1)222n n a n n +=+-⋅=，所以()112n n a n -=+⋅．【小问2详解】）由121311(2)(1)2(1)2(2)2n n n n n b n n n n ---+==-++⋅+⋅+⋅，所以1230011211111(1()(3232424252n b b b b ++++=-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯ 2111111(1)2(2)2(2)2n n n n n n ---⎡⎤+-=-⎢⎥+⋅+⋅+⋅⎣⎦．因为110(2)2n n ->+⋅，所以1231n b b b b ++++< ，得证．21.在①2AE =，②AC BD ⊥，③EAB EBA ∠=∠，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体ABCDE 中，已知，,//AC BC ED AC ⊥，且22,AC BC ED DC DB =====.（1）设平面BDE 与平面ABC 的交线为l ，证明：//l 平面ACDE ；（2）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（3）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于43，若存在，求BF BC的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）线段以上不存在点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343，理由见解析．【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证线面平行//DE 平面ABC ，，再由线面平行的性质定理得线线平行//DE l ，从而再得证线面平行；（2）选①，取AC 中点G ，BC 中点,O AB 中点H ，连接,,EG DO OH ，由勾股定理证明AG EG ⊥，然后证明AC ⊥平面BCD ，从而得面面垂直，由面面垂直的性质定理得线面垂直，从而得线线垂直DO ⊥平面ABC ，又有OH BC ⊥，然后以O 为坐标原点，,,OD OH OB 为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法证明面面垂直；选②，先证明平面ABC ⊥平面BCD ，然后取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,DO OH ，证明DO ⊥平面ABC ，然后同选①，选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,OD OH EH ，结合勾股定理证明BD DE ⊥，然后证明证明DO ⊥平面ABC ，再然后同选①；（3）设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343，然后由空间向量法求二面角的余弦，求解t ，有解说明存在，无解说明不存在．【小问1详解】//DE AC ，AC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，//DE ∴平面ABC ，又DE ⊂ 平面BDE 且平面BDE ⋂平面=ABC l ，//DE l∴又DE ⊂ 平面ACDE ，l ⊄平面ACDE ，//l ⇒平面ACDE .【小问2详解】若选①，取AC 中点G ，BC 中点,O AB 中点H ，连接,,EG DO OH ，//ED AC ，12CG AC ED ==，∴四边形EDCG 为平行四边形，EG CD ∴∥，EG ∴=112AG AC ==，2AE =，222AG EG AE ∴+=，AG EG ∴⊥，又//CD EG ，AC CD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.则以O 为坐标原点，,,OD OH OB 为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()0,1,0B，(E ，()2,2,0AB ∴=-，(1,BE =- ，DO ⊥ 平面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量()0,0,1m = ；设平面ABE 的法向量()1111,,n x y z = ，则11111112200AB n x y BE n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，解得：11y =，10z =，()1=1,1,0∴ n ，10m n ∴⋅= ，即1m n ⊥ ，∴平面ABE ⊥与平面ABC .若选②，AC BD ^ ，AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,DO OH ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.以下同选①；若选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,OD OH EH ，DC BD ==DO BC ∴⊥，又2BC =，DO ∴=,O H 分别为,BC AB 中点，12OH AC ∴∥，又12ED AC ∥，OH ED ∴∥，∴四边形DEHO为平行四边形，EH DO ∴==AC BC ⊥，2AC BC ==，AB ∴=，12EH AB ∴=，AE BE ∴⊥，EAB EBA ∠=∠ ，2∴==BE AE ，222BD DE BE ∴+=，BD DE ∴⊥，又//DE AC ，AC BD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，又DO BC ⊥，DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.以下同选①；【小问3详解】设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使得平面AEF 与平面ABF夹角的余弦值等于43，由（2）得：(1,,EF t =-，(AE =- ，设平面AEF 的法向量()2222,,n x y z = ，则2222222200AE n x y EF n x ty ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令24y =，则())2221,1x t z t =+=-，())()221,1n t t ∴=+- ，∵面ABF 的法向量为(0,0,1)n = ，222cos ,43n n n n n n ⋅∴<>===⋅ ，化简得2417290t t -+=，21744291750∆=-⨯⨯=-<，方程无实数解，所以线段BC 上不存在点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343．22.已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=（1）求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（2）若()y f x =和()y g x =有公共点，（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）求证：22e a b +>．【答案】（1）(1)1=-+y a x （2）（i）)b ∞∈+；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）求出(0)f '可求切线方程；（2）（i ）当0a =时，曲线()y f x =和()y g x =有公共点即为()2e ,0t s t bt t =-≥在[)0,+∞)b ∈+∞.（ii ）曲线()y f x =和()y g x =有公共点即00sin e 0x a x +=，利用点到直线的距离x ≥22e >e sin x x x +，从而可得不等式成立.【小问1详解】()e cos x f x a x '=-，故(0)1f a '=-，而(0)1f =，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为()()101y a x =--+即()11y a x =-+.【小问2详解】（i ）当0a =时，因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，故e x =设t =，故2x t =，故2e t bt =在[)0,+∞上有解，设()2e ,0t s t bt t =-≥，故()s t 在[)0,+∞上有零点，而()22e ,0t s t t b t '=->，若0b =，则()2e 0t s t =>恒成立，此时()s t 在[)0,+∞上无零点，若0b <，则()0s t '>在()0,+∞上恒成立，故()s t 在[)0,+∞上为增函数，而()010s =>，()()01s t s ≥=，故()s t 在[)0,+∞上无零点，故0b >，设()22e ,0t u t t b t =->，则()()2224e 0t u t t '=+>，故()u t 在()0,+∞上为增函数，而()00u b =-<，()()22e 10b u b b =->，故()u t 在()0,+∞上存在唯一零点0t ，且00t t <<时，()0u t <；0t t >时，()0u t >；故00t t <<时，()0s t '<；0t t >时，()0s t '>；所以()s t 在()00,t 上为减函数，在()0,t +∞上为增函数，故()()0min s t s t =，因为()s t 在[)0,+∞上有零点，故()00s t ≤，故200e 0t bt -≤，而2002e 0t t b -=，故220020e 2e 0t t t -≤即02t ≥，设()22e ,0t v t t t =>，则()()2224e 0t v t t '=+>，故()v t 在()0,+∞上为增函数，而2002e t b t =，故12b ≥=.（ii ）因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，所以e sin x a x -=有解0x ，其中00x ≥，若00x =，则100a b -⨯=⨯，该式不成立，故00x >.故00sin e 0x a x +=，考虑直线00sin e 0x a x +=，表示原点与直线00sin e 0x a x +=上的动点(),a b 之间的距离，x ≥0222200e sin x a b x x +≥+，下证：对任意0x >，总有sin x x <，证明：当2x π≥时，有sin 12x x π≤<≤，故sin x x <成立.当02x π<<时，即证sin x x <，设()sin p x x x =-，则()cos 10p x x '=-≤（不恒为零），故()sin p x x x =-在[)0,+∞上为减函数，故()()00p x p <=即sin x <成立.综上，sin x x <成立.下证：当0x >时，e 1x x >+恒成立，()e 1,0x q x x x =-->，则()e 10x q x '=->，故()q x 在()0,+∞上为增函数，故()()00q x q >=即e 1x x >+恒成立.下证：22e >e sin xx x+在()0,+∞上恒成立，即证：212e sin x x x ->+，即证：2211sin x x x -+≥+，即证：2sin x x ≥，而2sin sin x x x >≥，故2sin x x ≥成立.e x >，即22e a b +>成立.【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式.。
四川省绵阳市2024届高三数学上学期第四次月考理试题含解析
高中2021级高三第四学月测试理科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.在复平面内，复数342i i++对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】通过复数的运算求出复数的代数形式，然后再进行判断即可．【详解】由题意得()()()5234522222i ii i i i i -+===-+++-，所以复数342i i++在复平面内对应的点为()2,1-，在第四象限．故选D ．【点睛】解题的关键是将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断，属于基础题．3.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若53a a ＝59，则95S S 等于（）A.1 B.－1C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】95S S ＝19159()25()2a a a a ++＝5395a a ＝1.故选：A.4.已知向量a，b不共线，向量3c a b =+，2d a kb =+，且c d ∥，则k =（）A.－3 B.3C.－6D.6【答案】D 【解析】【分析】设d c λ=，从而得到23a kb a b λλ+=+ ，得到方程，求出k 的值.【详解】设d c λ=，则()233a kb a b a b λλλ+=+=+ ，故2,36k λλ===．故选：D5.南山中学某学习小组有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则选出的3名同学中男女生均有的概率是（）A.45B.56C.67D.78【答案】B 【解析】【分析】首先计算出基本事件总数，依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学；②2名男同学，1名女同学，计算出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯；依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学，有1254C C 30=（种）；②2名男同学，1名女同学，215440C C =（种）；故概率为30405846P +==故选：B【点睛】本题考查简单的组合问题，古典概型的概率问题，属于基础题.6.已知1sin cos 3αβ-=，1cos sin 2αβ+=，则()sin αβ-=（）A.572B.572- C.5972D.5972-【答案】C 【解析】【分析】将已知等式平方后相加，结合同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式，即可求得答案.【详解】由题意得()2221sin cos sin cos 2sin cos 9αβαβαβ-=+-=，()2221cos sin cos sin 2cos sin 4αβαβαβ+=++=，两式相加得()1322sin cos cos sin 36αβαβ--=，得()59sin 72αβ-=，故选：C7.在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,80,90,90,100,90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（）A.该省考生数学成绩的中位数为75分B.若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分C.从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人D.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5.【答案】A 【解析】【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项．【详解】由频率分布直方图知中位数在[70,80]上，设其为x ，则700.5(0.10.150.2)80700.3x --++=-，解得71.67x ≈，A 错；要全省的合格考通过率达到96%，设合格分数线为y ，则4010.96100.1y --=，44y =，B 正确；由频率分布直方图优秀的频率为0.1，因此人数为10000.1100⨯=，C 正确；由频率分布直方图得平均分为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，考试数学成绩的平均分约为70.5,D 正确．故选：A.8.在[2,3]-上随机取一个数k ，则事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为（）A.715B.815C.25D.35【答案】A 【解析】【分析】根据直线与圆有公共点，求出k 的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可.【详解】若直线3y kx =+，即30kx y -+=与圆22(2)9x y ++=有公共点，则圆心到直线距离3d =≤，故5≥解得43k ≥或43k ≤-，由几何概型的概率公式，得事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为()()44323373215P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--.故选：A.9.已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且3x π=时，函数()f x 取最小值，若函数()f x 在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（）A.6πB.56π C.23π D.3π【答案】D 【解析】【分析】由周期求得ω，再由最小值求得ϕ函数解析式，然后由单调性可得a 的范围，从而得最大值．【详解】由题意22πωπ==，cos(2)13πϕ⨯+=-，22,Z 3k k πϕππ+=+∈，又2πϕ<，∴3πϕ=，()cos(2)3f x x π=+，[0,]x a ∈时，2[,2]333x a πππ+∈+，又()f x 在[0,]a 上单调递减，所以23a ππ+≤，3a π≤，即03a π<≤，a 的最大值是3π．故选：D ．10.点P 是以12,F F 为焦点的的椭圆上一点，过焦点作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】A 【解析】【分析】P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F 延长线于Q ，可证得2PQ PF =，且M 是2PF 的中点，由此可求得OM 的长度是定值，即可求点M 的轨迹的几何特征．【详解】解：由题意，P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F P 延长线于Q ，得2PQ PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PQ QF a +==，连接OM ，知OM 是三角形12F F Q 的中位线OM a ∴=，即点M 到原点的距离是定值，由此知点M 的轨迹是圆故选：A ．【点睛】本题在椭圆中求动点Q 的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．11.已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=A.13B.3C.23D.223【答案】D 【解析】【详解】将y=k(x+2)代入y 2=8x,得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0.设交点的横坐标分别为x A ,x B ,则x A +x B =28k-4,①x A ·x B =4.又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2,|FA|=2|FB|,∴2x B +4=x A +2.∴x A =2x B +2.②∴将②代入①得x B =283k -2,x A =283k -4+2=283k -2.故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4.解之得k 2=89.而k>0,∴k=3,满足Δ>0.故选D.12.已知函数()22e1xf x ax bx =-+-，其中a 、b ∈R ，e 为自然对数的底数，若()10f =，()f x '是()f x 的导函数，函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，则a 的取值范围是（）A.()22e3,e 1-+ B.()2e3,-+∞C.()2,2e2-∞+ D.()222e6,2e 2-+【答案】A 【解析】【分析】由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，作出函数函数22e x y =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()22e1xf x ax bx =-+-，则()21e 10f a b =-+-=，可得21e b a =+-，所以，()()222e 1e1xf x ax a x =-++--，则()222e21e xf x ax a '=-++-，由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，因为函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，所以，函数22e xy =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，作出22e xy =与()2221e 211e y ax a a x =--+=--+的函数图象，如图所示：若直线221e y ax a =--+经过点()21,2e，则2e1a =+，若直线221e y ax a =--+经过点()0,2，则2e 3a =-，结合图形可知，实数a 的取值范围是()22e 3,e 1-+.故选：A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.13.若一组数据123,,,,n x x x x ⋯的方差为10，则另一组数据1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为______．【答案】40【解析】【分析】由题意先设出两组数据的平均数，然后根据已知方差、方差公式运算即可得解.【详解】由题意设123,,,,n x x x x ⋯的平均数为x ，则1221,21,,21n x x x --⋯-的平均数为21x -，由题意123,,,,n x x x x ⋯的方差为()()()222212110n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦ ，从而1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为()()()222221121222222441040n s x x x x x x s n ⎡⎤=-+-++-==⨯=⎢⎥⎣⎦ .故答案为：40.14.若二项式2nx的展开式中第5项是常数项，则展开式中各项系数的和为__________.【答案】1【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第五项，令x 的指数为0，求出n 的值，令1x =，可得展开式中各项系数的和．【详解】解：2nx ⎫⎪⎭展开式的第5项为44452()n n T C x -=-二项式2nx ⎫-⎪⎭的展开式中第5项是常数项，∴4402n --=，12n ∴=∴二项式为122x ⎫-⎪⎭令1x =，可得展开式中各项系数的和()12121n T =-=故答案为：1．【点睛】本题考查展开式的特殊项，正确运用二项展开式是关键，属于基础题．15.在平面直角坐标系中，A,B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为___．【答案】45π【解析】【详解】由题意，圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则d =r =，45S π=．点睛：本题考查直线和圆的位置关系．本题中，由,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆，则半径就是圆心C 到原点的距离，所以圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，得到解答情况．16.过双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，O 为坐标原点，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为_________．【答案】152【解析】【详解】试题分析：因为,,OF c OE a OE EF ==⊥，所以EF b =，因为1()2OE OF OP =+，所以E为PF 的中点，2PF b =，又因为O 为FF '的中点，所以//PF EO '，所以2PF a '=，因为抛物线的方程为24y cx =，所以抛物线的焦点坐标为(,0)c ，即抛物线和双曲线的右焦点相同，过F 点作x 的垂线l ，过P 点作PD l ⊥，则l 为抛物线的准线，所以2PD PF a '==，所以点P 的横坐标为2a c -，设(,)P x y ,在Rt PDF ∆中，222PD DF PF +=，即22222244,44(2)4()a y b a c a c c b +=+-=-，解得12e =.考点：双曲线的简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用，同时考查了双曲线的定义及性质，着重考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同，得出点P 的横坐标为2a c -，再根据在Rt PDF ∆中，得出22244(2)4()a c a c c b +-=-是解答的关键.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log ,,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）12n n a -=（2）212212233n n T n n +=⨯+--【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .（2）根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意，21n n S a =-，当1n =时，11121,1a a a =-=，当2n ≥时，1121n n S a --=-，所以()11122,22n n n n n n n a S S a a a a n ---=-=-=≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=，1a 也符合.所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）得11,2,n n n n b n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()321202422222n n T n -=++++-++++ ()214022214n n n -+-=⨯+-222433n n n =⨯+--21212233n n n +=⨯+--.18.某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）789111213销量y （kg ）120118112110108104（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求y 关于x 的线性回归方程；（2）若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b =()121((ni i i n i i x x y y x x ==---∑∑，a y bx =-$$．【答案】（1） 2.5137y x =-+；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知表格中数据求得ˆa与ˆb ，则可求得线性回归方程；（2）求出ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．【详解】解：（1）()1789111213106x =+++++=，()11201181121101081046y =+++++=112．ˆb =()121()()ni i i ni i x x y y x x ==---∑∑═70 2.528-=-，()112 2.510137ˆˆa y bx =-=--⨯=．∴y 关于x 的线性回归方程为 2.5137ˆyx =-+；（2）6种单价中销售量在[110，118]内的单价种数有3种．∴销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的取值为0，1，2，3，P （ξ=0）=0336120C C =，P （ξ=1）=123336920C C C ⋅=，P （ξ=2）=213336920C C C ⋅=，P （ξ=3）=3336120C C =．∴ξ的分布列为：ξ0123P120920920120期望为E （ξ）=199130123202020202⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望，考查计算能力，求离散型随机变量ξ的分布列与均值的方法：（1）理解离散型随机变量ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；（2）求ξ取每个值的概率；（3）写出ξ的分布列；（4）根据均值的定义求E（）ξ19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=且π2C ≠.（1）求证：π2B A =+；（2）求cos sin sin A B C ++的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）)【解析】【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为cos sin A B =，结合诱导公式及π2C ≠可证π2B A =+.（2）根据π2B A =+及cos sin A B =，结合诱导公式和二倍角余弦公式将ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为2132cos 22A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，先求出角A 的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=，由正弦定理得，2222sin b c a bc B +-=，由余弦定理得2222cos 2sin b c a bc A bc B +-==，所以cos sin A B =，又cos sin()2A A π=-，所以πsin()sin 2A B -=.又0πA <<，0πB <<，所以π2A B -=或ππ2A B -+=，所以π2A B +=或π2B A =+，又π2C ≠，所以ππ2A B C +=-≠，所以π2B A =+，得证.【小问2详解】由（1）知π2B A =+，所以ππ22C A B A =--=-，又cos sin A B =，所以ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22132cos cos 22cos 2cos 12cos 22A A A A A ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，因为0ππ0π2π02π2A B A C A ⎧⎪<<⎪⎪<=+<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，所以π04A <<，所以2cos 12A <<，因为函数2132cos 22y A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在2cos 2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，所以22213131322cos 2132222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-<+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以cos sin sin A B C ++的取值范围为).20.椭圆有两个顶点(1,0),(1,0),A B -过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q．（1）当2CD =时，求直线l 的方程；（2）当P 点异于,A B 两点时，证明：OP OQ ⋅为定值．【答案】（1）1y =+；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先由题意求出椭圆方程，直线l 不与两坐标轴垂直，设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，再由弦长公式列方程可求出k 的值，从而可得直线方程；（2）表示直线AC ，BD 的方程，联立方程组可得1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-而12222kx x k =--+代入化简可得Q x k =-，而1P x k =-，则可得P Q OP OQ x x ⋅= 的结果【详解】（1）由题意，椭圆的方程为2212y x +=易得直线l 不与两坐标轴垂直，故可设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，设()()1122,,,C x y D x y ，由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222210k x kx ++-=，判别式()2Δ810.k =+>由韦达定理得12122221,22k x x x x k k +=-=-++，①故12322CD x x =-=，解得k =即直线l 的方程为1y =+．（2）证明：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，故其方程为()1111y y x x =++，直线BD 的斜率为221BD y k x =-，故其方程为()2211y y x x =--，由()()11221,11,1y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩两式相除得()()()()()()2121121211111111y x kx x x x y x kx x ++++===--+-1221121211kx x kx x kx x kx x +++-+-即1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-由（1）知12222kx x k =--+，故()()()()()()222222222222122111222212111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k x k x x k x k k k ---+--++-++++===-+-⎛⎫----+-++ ⎪+++⎝⎭11k k -+解得Q x k =-．易得1,0P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k⋅==-⋅-= ，所以OP OQ ⋅为定值121.已知函数2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=---⎪⎝⎭()R a ∈．（1）若0a ≤，求()f x 在()0,∞+上的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()0,3上存在两个极值点，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞（2）3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）对函数求导得到()()()3e xf x x ax '=--，再根据导数与函数单调性间的关系即可求出结果；（2）对函数求导得()()()3e xf x x ax '=--，令()e xg x ax =-，将问题转化为()e xg x ax =-在()0,3内有两个交点，再应用导数研究的单调性并确定其区间最值及边界值，进而可得a 的范围.【小问1详解】因为2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，所以()()()()()()()24e e 33e 33e x x x xf x x a x x x ax x x ax '=-+--=---=--，又因为0a ≤，0x >，则e 0x ax ->，所以，当()0,3x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()3,x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增,所以()f x 在(0,)+∞上的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞．【小问2详解】由（1）知，当0a ≤，函数()f x 在()0,3上单调递减，此时()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意，所以0a >，设()e xg x ax =-，[0,)x ∈+∞，所以()e xg x a '=-，当01a <≤时，当()0,3x ∈时，()e 0xg x a '=->，所以()g x 在()0,3上单调递增，所以当()0,3x ∈时，()()010g x g >=>，所以当()0,3x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()0,3上单调递减，故()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意；当1a >时，令()0g x '<，解得0ln x a <<，令()0g x '>，解得ln x a >，所以函数()g x 在()0,ln a 上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，所以函数()g x 的最小值为()()ln 1ln g a a a =-，若函数()f x 在()0,3上存在两个极值点，则()()()00,ln 0,30,0ln 3,g g a g a ⎧>⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩，即()310,1ln 0,e 30,0ln 3,a a a a >⎧⎪-<⎪⎨->⎪⎪<<⎩解得3e e 3a <<．综上，a 的取值范围为3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线12,C C 的参数方程分别为11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），222cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线()π06θρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（异于极点），点()2,0P ，求PAB 的面积．【答案】（1）224x y -=；22(2)4x y -+=（2【解析】【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得1C 的普通方程，利用22cos sin 1θθ+=得到2C 的普通方程；（2）分别求得12,C C 的极坐标方程，联立射线，从而得到A ρ，B ρ，进而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】因为曲线1C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则22212x t t=++，22212y t t =+-，两式相减，得1C 的普通方程为：224x y -=；曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），所以2C 的普通方程为：()2224x y -+=.【小问2详解】因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=ππ()42k θ≠+，即24cos 2ρθ=，联立2π64cos 2θρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得A ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线1C 交于A π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，而2C 的普通方程()2224x y -+=，可化为224x y x +=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos ρρθ=，即4cos ρθ=，联立π64cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得B ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线2C 交于B π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，又点()2,0P ，所以2OP =，则1π||()sin 26POA B PAB POB A S S OP S ρρ=-=⨯⨯-= ．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()(),h x x m g x x n =-=+，其中00m n >>，.（1）若函数()h x 的图像关于直线1x =对称，且()()23f x h x x =+-，求不等式()2f x >的解集.（2）若函数()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，求11m n+的最小值及相应的m 和n 的值.【答案】（1）()2,2,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭；（2）11m n+的最小值为2，相应的m n 1==【解析】【分析】()1先根据对称性求出1m =，对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；()2根据绝对值三角不等式即可求出2m n +=，可得()11111m n m n 2m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式即可求出.【详解】()1函数()h x 的图象关于直线x 1=对称，1m ∴=，()()f x h x 2x 3x 12x 3∴=+-=-+-，①当x 1≤时，()321432x x x x =-+-=->，解得2x 3<，②当31x 2<<时，()f x 32x x 12x 2=-+-=->，此时不等式无解，②当3x 2≥时，()f x 2x 3x 13x 42=-+-=->，解得x 2>，综上所述不等式()f x 2>的解集为()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ．()()()()()2x h x g x x m x n x m x n m n m n ϕ=+=-++≥--+=+=+ ，又()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，2m n ∴+=，()111111n m 1m n 222m n 2m n 2m n 2⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1m n ==时取等号，故11m n+的最小值为2，其相应的1m n ==．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；。
2022-2023学年重庆市巴蜀中学校高三上学期高考适应性月考(四)数学试卷含详解
所以 ，
解得： ，当n=1适合
因 ，
所以
，
又因为 是单调递增数列，
所以有 ，对任意的正整数 ，都有 ，
所以 ，
故选：C
8.已知函数 的定义域为 ，对任意大于 的实数 ，都满足 ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】通过构造函数法，结合函数的单调性判断出 的大小关系.
A. B. C. D.
6.在2022年北京冬残奥会闭幕式上，出现了天干地支时辰钟表盘.天干地支纪法源于中国，不仅用于纪时纪日，也可用于纪年.天干地支具体分为十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”， ，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”.橙子辅导创立于1933年（癸酉），以此类推即将迎来的九十周年校庆的2023年为（）
又 ，则2023年的天干是癸
又 ，则2023年的地支是卯
所以即将迎来的九十周年校庆的2023年为癸卯
故选：D7.已知数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，都有 ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意累加法求得 ，再根据裂项相消求和解决即可.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作椭圆 的切线 ，与直线 、直线 分别交于 ， 两点，求 面积的最小值.
安徽省六安第一中学2024-2025学年高三上学期第四次月考(11月)数学试题
六安一中2025届高三年级第四次月考数学试卷命题人：王跃审题人：王惠肖诚诚时间：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列命题不正确的是（）A.若m ∥,n m α⊥，则n α⊥B.若,m m αβ⊥⊥，则α∥βC.若,m m αβ⊥⊂，则αβ⊥ D.若m ∥,n ααβ⋂=，则m ∥n2.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若,,PA a PB b PC c ===，则BE =（）A.111222a b c -+B.111222a b c --C.131222a b c -+D.113222a b c -+ 3.某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（）A.8B.12C.16D.64.已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则8a =（）A.48B.80C.63D.655.已知等差数列{}n a 满足131,3a a ==，前n 项和为n S ，若12111n nT S S S =+⋯+，则与9T 最接近的整数是（）A.5B.4C.2D.16.已知数列{}n a 满足*712,8,2,8n n a n n a n a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意*n ∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（）A.1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.113,220⎛⎫⎪⎝⎭C.13,120⎛⎫⎪⎝⎭D.31,2⎛⎫⎪⎝⎭7.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11A C 上一个动点，则下列结论正确的有（）A.不存在M 点使得异面直线BM 与AC 所成角为90B.存在M 点使得异面直线BM 与AC 所成角为30C.存在M 点使得二面角M BD C --的平面角为45D.当1114A M AC =时，平面BDM 截正方体所得的截面面积为928.已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为（）A.1B.2C. D.4二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法∙商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，⋯，设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的总数为n S ，则（）A.34S a =B.132n n n a a ++-=C.11n n a a n +-=+D.1055a =10.在边长为6的菱形ABCD 中，π3A ∠=，现将ABD 沿BD 折起到PBD 的位置，使得二面角P BD C --是锐角，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积可以是（）A.58πB.45πC.48πD.55π11.对于棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），下列说法正确的是（）A.底面半径为1m,高为1m 的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体B.以该正方体同一顶点出发的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为2C.该正方体内能同时整体放入两个底面半径为0.5m,高为0.8m 的圆锥D.该正方体内能整体放入一个体积为3m 17的圆锥三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据1,2,0,1,,1x -的平均数是1，则这组数据的中位数为__________.13.已知四棱锥,A EBCD AE -⊥平面BCDE ，底面EBCD 是E ∠为直角，EB ∥DC 的直角梯形，如图所示，且224,CD EB AE DE ====F 为AD 的中点，则F 到直线BC 的距离为__________.14.若在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AB BC AA ===.则四面体11ABB C 与四面体11AC BD 公共部分的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设三角形ABC 的内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､且()2sin 2AB C +=.（1）求角A 的大小；（2）若3,b BC =，求三角形ABC 的周长.16.（本小题满分15分）已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和为3nn S b=+（1）求1,b a 的值；（2）设221,1,2,3,n n c a n n =+-= ，求数列{}n c 的前n 项和n T .17.（本小题满分15分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，112,AC BC AB AB ===⊥平面ABC ，1,AC AC D ⊥点是AC 的中点（1）证明：11AC B C ⊥；（2）求1A D 与平面11BB C C 所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥,8,4,60BC AD BC DAB ∠=== ，点,E F 在以AD 为直径的半圆上，且 AE EFFD ==，将半圆沿AD 翻折如图2.（1）求证：EF ∥平面ABCD ；（2）当多面体ABE DCF -的体积为32时，求平面ABE 与平面CDF 夹角的余弦值.19.（本小题满分17分）若存在非零常数t ，使得数列{}n a 满足()11231,n n a a a a a t n n +-=≥∈N ，则称数列{}n a 为“()H t 数列”.（1）判断数列：1,3,5,11,152是否为“()2H 数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 是首项为1的“()H t 数列”，数列{}n b 是等比数列，且{}n a 与{}n b 满足212321log nin n i aa a a ab ==+∑ ，求t 的值和数列{}n b 的通项公式；（3）若数列{}n a 是“()H t 数列”，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11,0a t >>，证明：1e nS nn n t S S -+>--六安一中2025届高三年级第四次月考数学试卷参考答案1.D2.C3.A 【分析】根据分层抽样的定义列出式子，进行求解.【详解】由题意得，史地政“组合中选出的同学人数为12030824090120⨯=++.故选：A4.C 【解答】解：数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则：1111n n a a ++=++，整理得：)221=，1=，1=（常数），所以数列1=为首项，1为公差的等差数列.则：()11n n =+-=，整理得：21n a n =-（首项符合通项），则：21n a n =-，所以：864163a =-=.故选：C .5.C 【解答】解：()()112111,2211n n S n n S n n n n ⎛⎫=+==- ⎪++⎝⎭，则912111111111992121,222311105n n T T S S S n n n ⎛⎫⎛⎫=+=-+-+⋯+=-=⨯ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，则与9T 最接近的整数是2.故选：C.6.C7.【答案】D【解析】异面直线BM 与AC 所成的角可转化为直线BM 与11A C所成角，当M 为11A C 的中点时，11BM AC ⊥，此时BM 与AC 所成的角为90，所以A 错误；当M 与1A 或1C 重合时，直线BM 与AC 所成的角最小，为60 ，所以B 错误；当M 与1C 重合时，二面角M BD C --的平面角最小，1tan 1C OC ∠=>，所以145C OC ∠>，所以C 错误；对于D ，过M 作EF ∥11D B ，交11A B 于F ，交11A D 于E 点，因为1114A M AC =，所以E F ､分别是1111A D A B ､的中点，又11B D ∥BD ，所以EF ∥DB ，四边形EFBD 即为平面BDM 截正方体所得的截面，因为1112EF D B ==，且BF DE ===EFBD 是等腰梯形，作FG DB ⊥交BD 于G 点，所以()1232,222BG BD EF FG =-===，所以梯形的面积为()1922BD EF FG +⨯=，所以D 正确.8.【答案】D【详解】因为圆柱的轴截面为正方形，母线长为，所以圆柱的底面圆直径和高都是，如图球O 即为该圆柱的内切球，若该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，棱长a 最大，如图该正四面体P ABC -的棱长为a ，设点P 在面ABC 内的射影为H ，即PH ⊥面ABC ，则球心O 在PH 上，且OP OA ==，23cos3033AH AB =⋅=，所以63PH a ==，所以63OH PH OP =-=-，在Rt OAH 中，222OA OH AH =+，即2226333a ⎛⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭，整理可得：240a a -=，解得4a =或0a =（舍），所以a 的最大值为4，故选：D9.ACD 10.AD 11.【答案】BD【详解】对于A ，圆锥体积小于正方体体积，显然不对；对于B ，如图，以1,,AB AA AD 三条棱作为圆锥母线，底面所在平面为平面1A BD ，等价于求AB 与平面1A BD 所成角的正切值，因为1,A A BD B AA DV V --=所以1131111132232h ⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点A 到平面1A BD 的距离为33h =，则此圆锥的母线1AA 与底面1A BD332=，B 正确；对于C ，如图，以矩形11BB D D 的中心为圆锥底面圆圆心，半径为0.5，分别以11,AA CC 的中点,E F 为两个圆锥的顶点，每个圆锥高的最大值为20.8,2C <错误；对于D ，如图，1AC 的中点P 作垂线MN ，分别交11,AC AC 于点,M N ，则1326tan 224PM AP C AC ∠=⋅==，以正方体的体对角线1AC 作为圆锥的轴，1C 为圆锥顶点，MN 为圆锥底面圆的直径时，该圆锥的体积为221116333ππππ33421617V PM C P ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯> ⎪ ⎪⎝⎭，D 正确.事实上，以正方体的体对角线1AC 作为轴，1C 为顶点的圆锥的体积最大值，显然底面圆心在线段AP 上（不含P 点），设AG x =，当GI 与MN （M 为AC 的四等分点）重合时，MP NP =，因此3204x <≤，因为1AGH AC C ∽，所以11AG AH GH AC AC CC ==，则1636,,3333AH x GH x C H ===，圆锥体积()()()221132323ππ1,0,22039349V x GH C H x x x V x x ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=-<≤=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'在320,4⎛ ⎝⎦上恒成立，所以()V x 在320,4⎛ ⎝⎦上单调递增，体积的最大值为3233ππ41617V ⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭，D 正确.故选：BCD.12.【答案】1【详解】这组数据的平均数为1，有()11201116x ++-++=，可求得3x =.将这组数据从小到大重新排列后，观察数据可知最中间的两个数是1与1，其平均数即中位数是()1121+÷=.故答案为：1.13.2【解答过程】由题意知，AE ⊥平面,,EBCD BE ED ⊂平面EBCD ，所以,AE BE AE ED ⊥⊥，又BE ED ⊥，故以E 为原点，,,EB ED EA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,2,0,0,,A B C D，得()F所以()(),2,1BC FB ==-，记()13,,0,2,122BC c a FB BC ⎛⎫====- ⎪ ⎪⎝⎭，则31122a a c ==⋅=-=-，所以F 到直线BC的距离为2d ==14.43【解析】解：记11111,,A D AD O A B AB E BO AC F ⋂=⋂=⋂=，则F 为1AC 的第一个三等分点（靠近A ），连11EF EC ､，则公共部分是三棱锥11111111,332E BFC BFC E BFC A E BFC V S d S d --=⨯=⨯ ，又1123BFC BAC S S == 作11A H AD ⊥，则1A H ⊥面11ABCD 11A d A H ==143E BFC V -=.15.【解析】（1）因为,,A B C 为ABC 的内角，所以()sin sin B C A +=，因为21cos sin22A A -=，所以()2sin 2A B C +=可化为：)sin 1cos A A =-，即sin A A =，即π3ππ4πsin ,32333A A ⎛⎫⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：π2π33A +=，即π3A =.（另解：由2sin 2sincos 222A A A A =⋅=；得πtan ,2326A A ==.）（2）由三角形面积公式得11sin ,322b c A b ⋅==代入得：1π13sin 232c ⨯⋅=，所以a c =，故ABC 为正三角形，3a b c ===，周长等于9.16.（1）当2n ≥时，1123n n n n a S S --=-=⨯，因为{}n a 是等比数列，所以12a =，又因为113a S b ==+，所以1b =-（2）由（1）知123n n a -=⨯，因为26a =，且2229n na a +=，所以{}2n a 是以6为首项，9为公比的等比数列，()()2421321n n T a a a n ⎡⎤=+++++++-⎣⎦()291236919124n n n n n -⋅=⨯+=-+-.17.解析：（1）由题意，1AB ⊥平面,ABC AC ⊂平面ABC ，所以1AC AB ⊥，又1AC AC ⊥，且11AB AC ⊂､平面1111,AB C AB AC A ⋂=，所以AC ⊥平面11AB C ，因为11B C ⊂平面11AB C ，所以11AC B C ⊥.（2）法一（坐标法）：由（1）知11AC B C ⊥，又BC ∥11B C ，所以AC BC ⊥，以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0C B B A ，()0,1,0D ，所以()()()12,0,0,2,2,2,0,1,0CB BB DA ==-=，()()()1110,1,02,2,22,3,2DA DA AA DA BB =+=+=+-=-，。
{高中试卷}海南省2021年上学期海口市灵山中学高三数学第四次月考试题
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日 期：海南省2021年上学期海口市灵山中学高三数学第四次月考试题◇考试时间：120分钟 总分：150分◇一、选择题（本大题共有12道小题，每小题5分，共60分）1.复数512i i =-（ ）A ．2i -+B ．12i -C ．2i -D ．12i -+2.函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0，1]B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)3.函数()sin (cos sin )f x x x x =-的最小正周期为（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．2π4.已知向量a 和b 满足1||=→a ，2||=→b ,且)(-⊥,则a 与b 的夹角为（ ）A 、 135B 、 75C 、 45D 、 30.5.设为等比数列的前项和，已知，，则公比（ ）{}n a n 3432S a =-2332S a =-q =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）66 ．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．57.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸(单位:cm)，可得这个几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．28.若4,0,0=+>>b a b a 且，则下列不等式一定成立的是（ ）211.>ab A 2.≥ab C9.已知312-=a ，31log 2=b ，31log 21=c ，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b10.设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（ ） ππ34π35π11.1B a b +≤2211.8D a b ≤+A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称 11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=10,621100lg )(x x x x x f 若a ，b ，c 均不相等，且f(a)=f(b)= f(c)，则abc 的取值范围是（ ）（A ）（1，10） （B ）(5，6) （C ）(10，12) （D ）(20，24)12.已知函数)(x f y =是R 上的可导函数，当0≠x 时，有0)()(>+'x x f x f ,则函数x x xf x F 1)()(+=的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分，共20分）13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+与向量k -垂直，则k =______．14．已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 计算: αααα2sin 32cos 52cos 32sin -+的值是15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．◇温馨提示：请将答案填在答题卡上◇三、解答题（本大题共有6道小题，共70分。
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高三数学上学期第四次月考试题数学试卷(理)时量:120分钟 满分: 150分一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1、已知直角ABC ∆中，090=∠C ，1sin sin 2=B A ，则A tan 的值为A33 B 1 C 22D 3 2、已知函数1log 2+=x y 的定义域为A ，函数x y -=2值域为B ，则A B A ⊆ B A B ⊆ C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1,21B A D R B A = 3、设γβα,,为平面，l n m ,,为直线，则β⊥m 的一个充分条件为 A l m l ⊥=⊥,,βαβα B γβγαγα⊥⊥=,,mC αγβγα⊥⊥⊥m ,,D αβα⊥⊥⊥m n n ,,4、圆422=+y x 被直线0323=-+y x 截得的劣弧所对的圆心角的大小为 A 3πB 6π C 4π D2π 5、过抛物线x y 42=的焦点F 作直线m 交抛物线于点A 、B ，则AOB ∆是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不确定 6、函数|2sin 32cos |x x y -=的一条对称轴方程为A 12π=x B 6π=x C 4π=x D 12π-=x7、已知三棱锥BCD A -中，0060,,1,90=∠⊥===∠ADB BCD AB CD BC BCD 面，点E 、F 分别在AC 、AD 上，使面CD EF ACD BEF //,且面⊥，则平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的正弦值为A66 B 77 C 42 D 31 8、对于函数x x x f -+=11lg )(，有三个数满足1,1,1<<<c b a ，且1)1(=++ab b a f ，2)1(=--bccb f ，那么)1(acca f ++的值是 A 1- B 2lg C 10 D 39、若不等式)1()8)(8(2+<-+x x x x λ对于一切实数()2,0∈x 都成立，则实数λ的取值范围是A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,41B ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41 C ()+∞,4 D [)+∞,410、数列{}n a 满足：51,4121==a a ，且1113221...++=+++n n n a na a a a a a a 对于任何的正整数n 成立，则97211....11a a a +++的值为 A 5032 B 5044 C 5048 D 5050二、填空题:本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11、已知等差数列{}n a 中，16,1842=+=a a a ，则=10a12、已知0>≥b a ，而αsin 是一元二次方程02=-+b bx ax 的根，则αsin 的最大值 为13、已知21,F F 分别为双曲线的左、右焦点，P 是为双曲线12222=-by a x 左支上的一点，若a PF PF 8122=14、如图，O 、A 、B 是平面上三点， 向量b OB a OA ==,，在平面AOB 上，P 是线段AB 的垂直平分线上任意一点， 向量=23==，则)(-•=15、已知二次函数c x ax x f ++=2)(2的值域为[)+∞,0，则1122+++c ca a 的最 值为1，1122+++c aa c 的最 值为1。
（填入“大”或“小”） 三、解答题:本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16、（本小题满分12分）已知A 、B 、C 的坐标分别为A （4，0），B （0，4），C （ααsin 3,cos 3）。
（Ⅰ）若)0,(πα-∈=，求角α的大小；（Ⅱ）若BC AC ⊥，求αααtan 12sin sin 22++的值。
17、（本小题满分12分）设数列{a n }的前n 项和S n ，且*)(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-. 其中m 为常数，且.0,3≠-≠m m（Ⅰ）求证{a n }是等比数列，并写出它的通项公式； （Ⅱ）若数列{a n }的公比)(m f q =，数列{b n }满足)2,)((23,111≥∈==-n N n b f b a b n n ，求n b .18、（本小题满分12分）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 面ABCD ，PA=AB=1，BC=2（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 上是否存在一点G ，使得D 到平面PAG 的距离为1若存在，求出BG ；若不存在，请说明理由。
19、（本小题满分13分）已知某企业的原有产品每年投入x 万元，获得的年利润可表示为函数：P(x)8)30(10012+--x （万元）。
现开发一个回报率高、技术含量高的新产品，据预测，新产品每年投入x 万元，获得年利润)100(5257)100(10099)(2x x x Q -+--=（万元），新产品的开发从“十五”计划的第一年开始，用两年时间完成，这两年，每年从100万元的生产准备资金中，拿出80万元投入新产品的开发，从第三年开始这100万元就可随意分配且全部用于新旧产品的生产投入。
为解决资金缺口，第一年年初向银行贷款1000万元，年利率%5.5（不计复利，即先一年的利息不计入下一年的本金）。
（Ⅰ）第五年底一次性向银行偿还本息共计多少万元（Ⅱ）从新产品开发的第三年开始，从100万元的生产准备资金中，新旧产品各应投入多少万元，才能使年利润最大最大为多少（Ⅲ）从新旧产品的五年最高利润的总和中拿出70%来，能否还清对银行的贷款20、（本小题满分13分）设定义在()+∞,0上的函数)(x f 满足：（1）对于任意的a 、b ，都有p b f a f b a f -+=⋅)()()(，其中：p 为正实数； （2）1)2(-=p f ； （3）当1>x 时，总有p x f <)( （Ⅰ）求)1(f 及)21(f 的值；（用含p 的式子表示）； （Ⅱ）求证：)(x f 在()+∞,0上为减函数；（Ⅲ）设))(2(*N n f a n n ∈=，数列{}n a 的前n 项的和为n S ，当且仅当n=5时，n S 取得最大值，求p 的取值范围。
21、（本小题满分13分）如图，以A 1、A 2为焦 点的双曲线E 与半径为c 的圆O 相交于C 、D 、C 1、D 1，连接CC 1与OB 交于点H ，且有B A A HB OH ,,,)323(21其中+=是圆O 与坐标轴的交点，c 为双曲线的半焦距.（Ⅰ）当c=1时，求双曲线E 的方程；（Ⅱ）试证：对任意正实数c ，双曲线E 的离心率为常数；（Ⅲ）连接A 1C ，与双曲线E 交于点F ，是否存在实数λ，使FC F A λ=1恒成立若存在试求出λ的值；若不存在，请说明理由.第四次月考试题答案一、选择题： BCDAC ， ABADB二、填空题 11、15 12、215- 13、(]3,114、25 15、大、小三、解答题16、解、（Ⅰ）由已知得：2222)4sin 3(cos 9sin 9)4cos 3(-+=+-αααα则ααcos sin = ……….4分 因为 )0,(πα-∈ 43πα-=∴ ……….6分 （Ⅱ）由0)4sin 3(sin 3cos 3)4cos 3(=-⋅+⋅-αααα 得 43cos sin =+αα 平方得 1672sin -=α ………..9分 而1672sin cos sin 2cos sin cos sin 2cos sin 2tan 12sin sin 2222-===++=++αααααααααααα ………..12分17、解：（Ⅰ）由32)3(32)3(11+=+-+=+-++m ma S m m ma S m n n n n 得，两式相减得n n ma a m 2)3(1=++ …………3分32301+=∴-≠≠+m ma a m m n n ，且， ∴{a n }是等比数列 …………6分 又11)32(,1-+=∴=n n m m a a …………6分 （Ⅱ）b 1=a 1=1，时且，232)(≥∈∴+==n N n m mm f q ， 3111,33,3223)(23111111=-=++⋅==------n n n n n n n n n n b b b b b b b b b f b ……9分 ∴}1{nb 是1为首项31为公差的等差数列∴23,323111+=∴+=-+=n b n n b n n …………12分 18、解、以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建系，则 )1,0,0(),21,1,0(),0,2,0(),0,2,1(),0,0,1(),0,0,0(P E D C B A)1,2,1(),21,1,0(),1,0,0(),0,2,0(),0,0,1(-====-=∴PC AE AP AD CD（Ⅰ）易证得CD ⊥AD ，CD ⊥AP 则CD ⊥面PAD ⇒平面PDC ⊥平面PAD …..4分（Ⅱ）,cos >=<PC AE 所以 所求角的余弦值为1030（Ⅲ）假设存在，设BG=x ，则)0,,1(x G ，作DQ ⊥AG ，则DQ ⊥平面PAG ， 即DG=1，ABCD ADG S S =∆2 ，=3212=⇒=+=∴x x AG故存在点G ，当3=BG 时，D 到平面PAG 的距离为1。
……….12分19、解、（Ⅰ）五年利息为2755055.01000=⨯⨯万元 本息总计1275元 …….3分（Ⅱ）设从新产品开发的第三年年初开始每年旧产品投入x 万元， 则新产品投入100—x 万元，于是每年的利润是：[][])100(1005257)100(100100998)30(1001)100()(22x x x x Q x P W --+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-+=675)26(15222+--=-+-=x x x ……….8分所以新旧产品各应投入74，26万元时年利润最大，最大为675。
……….9分（Ⅲ） 前两年利润14)20(21==P W 万元，后三年最高利润202567532=⨯=W ，203921=+W W …….11分 而12753.1427%702039>=⨯所以：从新旧产品的五年最高利润中拿出70%能还清对银行的贷款 …..13分 20、解、（Ⅰ）令a=b=1，则p f p f f =⇒-=)1()1(2)1( ……..1分 又1)21()21()2()212()1(+=⇒-+=⨯=p f p f f f f …….3分（Ⅱ）设210x x <<，则p x xf x x <⇒>)(11212 所以)()()()()()()(1112111212x f p x f x xf x f x x x f x f x f --+=-⋅=- 0)(12<-=p x x f 即)(x f 在()+∞,0上为减函数 ……….7分 （Ⅲ）由11)2()2()2(11-=--+=-+==++n n n n n a p p a p f f f a所以数列{}n a 为等差数列，11-=p a ……….10分p n a n +-=∴由题意⎩⎨⎧<+-=>+-=060565p a p a 65<<∴p ………..13分21、解（Ⅰ）由c=1知B （0，1），HB OH )323(+=23324323,0=++==∴H H y x 即)23,0(H ，点C 在单位圆上，)23,21(=∴C设双曲线E 的方程为 ).0,0(12222>>=-b a by a x由点C 在双曲线E 上，半焦距c=1有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+23231143411222222b a b a b a 解得所以双曲线E 的方程为：12323122=--y x …………3分（Ⅱ）证明：HB OH c B c A )323(),,0(),0,(1+=-由 得：);23,21(),23,0(c c C c H 设双曲线E 的方程为).0,0(12222>>=-b a by a x⎪⎩⎪⎨⎧=-++∴14342222222b cac c b a ①代入②，化简整理得0634224=-+b b a a 03)(6)(24=--∴a b a b 解得323)(2+=a b又.324)(12222+=+==a bac e13324+=+=∴e ，即双曲线E 的离心率是与c 无关的常数. ……8分①③④（Ⅲ）假设存在实数λ，使FC F A λ=1恒成立，)23,2(),0,(1c c C c A - 有λλλλ+⋅=+⋅+-=123,12F F y c c x 点))1(23,)1(2)2((λλλλ++-=c c F ，故有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-1)1(43)1(4)2(1434222222222222λλλλb c a c b c a c 由③得3443222222-=⇒==e b c b c e ⑤ ⑤代入④得1)1(4)4()1(4)2(222222=+⋅--+-λλλλe e 化简整理得1222+=+-λλe e 即利用,2122+-=e e λ（2）小题的结论得：431326323+=++=λ 故存在实数431+=λ，使FC F A λ=1恒成立. ………13分。