二元一次方程及二元一次方程组
二元一次方程组及其解法
对二元一次方程组的理解应注意：
①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.
②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.
例8.解方程组
一、选择题
1.下列各式中，是二元一次方程的是（）
A.4x－2π＝5B.3x＋5yC.2x－5y＝0D.2x－5＝y2
2.如果5x3m－2n－2yn－m+11＝0是二元一次方程，则（）
A.m＝1，n＝2B.m＝2，n＝1 C.m＝－1，n＝2D.m＝3，n＝4
3.如果是方程3x－ay＝7的一个解，那么a＝（）
二元一次方程组及其解法
知识要点
1.二元一次方程
（1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.
你能区分这些方程吗？（1）5x＋3y＝75；（2）3x＋1＝8x；（3）＋y＝2；（4）2xy＝9.
对二元一次方程概念的理解应注意以下几点：
①等号两边的代数式是整式；
②在方程中“元”是指未知数，二元是指方程中含有两个未知数；
解法2：
由①设x＝k，y＝2k，z＝7k，并代入②，得k＝1.
把k＝1，代入x＝k，得x＝1；
把k＝1，代入y＝2k，得y＝2；
把k＝1，代入z＝7k，得z＝7.
因此三元一次方程组的解为
小结：遇比例式找关系式，采用设元解法.
例4、解方程组
分析：
二元一次方程组及其应用
【思路分析】(1)由第一个方程得到x＝2y＋4， 然后利用代入消元法求解即可．(2)把方程组整理 5x－11y＝－1 ①， 成一般形式 －x＋5y＝3 ②， 然后利用代入或加减消元法求即可． x－2y＝4 ①， 【答案】(1) 由①得，x＝2y＋4③， 2x＋y－3＝0 ②，
③代入②得2(2y＋4)＋y－3＝0，解得y＝－1， 把y＝－1代入③得，x＝2×(－1)＋4＝2，所以，
(1)根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的 平均分； (2)最后获知：A，B，C，D，E五位同学成绩分别 是95分，81分，64分，83分，58分． ①求E同学的答对题数和答错题数； ②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩平均分 是80.75分，与(1)中算得的平均分不相符，发现是 其中一位同学记错了自己的答题情况．请指出哪位 同学记错了，并写出他的实际答题情况(直接写出 答案即可)．
【答案】(1)82.5分． (2)①设E同学答对x题，答错y题，由题意得 5x－2y＝58 x＝12 ， 解得 y＝1 . x＋y＝13
答：E同学答对12题，答错1题． ②C同学，他实际答对14题，答错3题，未答3题．
【开放探究题】 【试题】三个同学对问题“若方程组
a1x＋b1y＝c1，
a2x＋b2y＝c2 3a1x＋2b1y＝5c1， x ＝3 ， 的解是 求方程组 的解．” y＝4. 3a2x＋2b2y＝5c2 提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够， 不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律， 可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两 个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解 决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该 是________．
2x＋3y＝n， 3．已知方程组 的解x，y的和为12， 3x＋5y＝n+2 求n的值； 2x＋3y＝n，① 【答案】解法一：解方程组 3x＋5y＝n＋2，② x＝2n－6， 得 又∵x＋y＝12， y＝－n＋4. ∴(2n－6)＋(－n＋4)＝12，n＝14. 2x＋3y＝n，① 解法二：已知方程组 3x＋5y＝n＋2，②
二元一次方程组概念
2、(2009年江苏省)一辆汽车从A地驶往B地，前 路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．
2、（2009年淄博市）如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．
（1）求x，y的值；
（2）在备用图中完成此方阵图．
3、小亮解方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数●，★。
1、（2009年台湾）若二元一次联立方程式 的解为x=a，y=b，则ab=？
(A) (B) (C) (D) 。
1、(2009年湖南省株洲市)孔明同学在解方程组 的过程中，错把 看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为 ，又已知方程 有一组解是 ，则 的正确值应该是．
1、二元一次方程 的正整数解是_________
8-2二元一次方程的解的概念
适合二元一次方程的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解
Tip1:二元一次方程有无数个解
Tip2：二元一次方程组的解必须成对出现，否则不成为二元一次方程的解，记作 的形式
Tip3:二元一次方程有无数个解，所以又叫不定方程，不定方程的整数解是有限的，所以有时候经常考察二元一次方程的整数解，一般难度都比较高。
⑵将这两个方程分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，
第六章二元一次方程和二元一次方程组 教案
第一课时二元一次方程及二元一次方程的解教学目标：1、理解二元一次方程和二元一次方程的解的概念，会解决相关问题；2、会把二元一次方程转化成用含一个未知数的的代数式表示另一个未知数的形式，体会转化思想的应用3、体会数学的应用价值教学重点：1、二元一次方程和它的解的概念2、将二元一次方程变形成汗一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式教学难点：将二元一次方程变形成汗一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式教学方法：观察法讨论法教学过程：一、问题引入：根据篮球的比赛规则，赢一场得2分，输一场得1分，在某次中学生比赛中，一支球队赛了若干场后积20分，问该队赢了多少场？输了多少场？这可以转化为数学上的问题，设该队赢了x场，输了y场，那么你能说出输赢的所有可能情况吗？x 5 …y 10 …根据以上数据，能列出一些方程吗？二、新授1、观察：前边所列的方程有哪些共同得特点？2、概括：像这含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
适合二元一次方程的一对未知数的值称为这个二元一次方程的一个解。
三、知识运用例1 甲种物品每个4kg，乙种物品每个7kg.现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76kg .(1) 列出关于x、y的二元一次方程;(2) 如果x=12，求y的值；(3) 请将关于x、y的二元一次方程写成用含x的代数式表示y的形式例2 写出一个二元一次方程，使x=-1 ,y=3为它的一个解，该二元一次方程可以是_______________四、巩固练习（1）判断下列方程哪些是二元一次方程，哪些不是？① 6x+3y=4z ②7xy+y =9 ③2x+y+1 ④ 2（x+y）= 8-x（2）把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式① 2x+y=10 ② x+y=20 ③2x+3y=12五、当堂反馈1、方程mx－2y=x+5是二元一次方程时，m的取值为（）A、m≠0B、m≠1C、m≠－1D、m≠22、下列各组数，既是方程2x-y=3的解，同时又是方程3x+4y=10的解的是( )A x=1B x=2C x=4D x=-2y=-1 y=1 y=5y=43、已知 x=2 是方程2x+ay=5的解，则a=_______y=14、二元一次方程2x+y = 5中，当x=2时，y= ;第一课时二元一次方程组教案一、学习内容：教材P 93——94内容二、教学目标：1、认识二元一次方程组；2、了解二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.教学重点：二元一次方程组的解的概念，教学难点：求二元一次方程组的正整数解三：教学过程：一、自学探究1、例题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：胜的场数＋负的场数＝总场数，胜场积分＋负场积分＝总积分.观察上面两个方程可看出，每个方程都含有___ 个未知数（x和y），并且未知数的______ 都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. （P 93）把两个方程合在一起，写成x＋y＝22 ①2x＋y＝40 ②像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. （P 94）2、探究讨论：满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？把它们填入表中.一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 思考：上表中哪对x、y的值还满足方程②x=18y=4既满足方程①，又满足方程②，也就是说它们是方程①与方程②的公共解。
(完整)二元一次方程组的定义解析
考点名称：二元一次方程组的定义•（一)二元一次方程组：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。
二元一次方程组的解：一般的，二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.一般形式为：（其中a1，a2，b1，b2不同时为零）.••（二)二元一次方程组的特点：1.组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数，如也是二元一次方程组。
2。
在方程组的每个方程中,相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程合在一起。
3。
二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。
4。
二元一次方程组有时也由两个以上的方程组成。
••（三)二元一次方程与二元一次方程组的区别：•二元一次方程二元一次方程组条件①含有两个未知数；②含未知数的项的次数都是1;③整式方程。
①含有两个未知数;②含未知数的项的次数都是1；③整式方程组（可任意话说你有两个以上的方程）一般形式ax+by=c（a、b、c都是常数，且a≠0，b≠0）（a1，a2，b1，b2不同时为零）.解的情况无数组解或无数组解或有唯一解或无解解的定义适合二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一组解二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解••（四）二元一次方程组的判定:①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量,否则不能将两个方程合在一起.②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.••（五）二元一次方程：如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解，若加条件限定有有限个解。
《二元一次方程组》知识讲解及例题解析
《二元一次方程组》知识讲解及例题解析◆知识讲解1．二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．2．二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．3．二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．◆例题解析例1 已知21xy=⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m ynx y+-=⎧⎨+=⎩的解，求（m+n）的值．【分析】由方程组的解的定义可知21xy=⎧⎨=⎩，同时满足方程组中的两个方程，将21xy=⎧⎨=⎩代入两个方程，分别解二元一次方程，即得m 和n 的值，从而求出代数式的值．【解答】把x=2，y=1代入方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩中，得22(1)12211m n ⨯+-⨯=⎧⎨+=⎩ 由①得m=－1，由②得n=0．所以当m=－1，n=0时，（m+n ）=（－1+0）=－1．【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程． 例2 “5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．•某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000•顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；•若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶．（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？【解答】（1）设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x ，y 顶，则210523178x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：x=41；y=32答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶．（2）由3×（4×41+5×32）=972<1000知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务．可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．例3 某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，•求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？【分析】本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力．【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x 元和y 元．依题意，得214523280x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得12510x y =⎧⎨=⎩ 故一盒“福娃”玩具的价格为125元，一枚徽章的价格为10元．例4 为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，•丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m 3，•其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3．（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石，运输公司派出A 型，B •型两种载重汽车，A 型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A 型汽车3辆，B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A 型汽车，每辆B 型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）【分析】（1）可设甲水厂的日供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（12x+1）万m 3，由三个水厂的日供水量总和为11.8万m 3，可列方程x+3x+12x+1=11.8； （2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，B 型车每辆每次运土石yt ，•依题意可列方程组30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程后可求解．【解答】（1）设甲水厂的供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（12x+1）万m 3． 由题意得：x+3x+12x+1=11.8，解得x=2.4． 则3x=7.2，x+1=2.2．答：甲水厂日供水量是2.4万m 3，乙水厂日供水量是7.2万m 3，•丙水厂日供水量是2.2万m 3．（2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，每辆B 型汽车每次运土石yt ，由题意得： 30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩ ∴1015x y =⎧⎨=⎩答：每辆A型汽车每次运土石10t，每辆B型汽车每次运土石15t．【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容，在同一背景下提供不同的动作方案是近年中考应用题的发展方法．。
第4讲 二元一次方程(组)的概念与解法(学生版)
第4讲 二元一次方程（组）的概念与解法一、知识回顾：一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 特别说明：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧ba＝＝y x 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩.4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式；②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；转化消元一元一次方程二元一次方程组④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.二、经典例题：知识点一、二元一次方程（组）的概念【例1】若(a −2)x |a−1|−3y =5是关于x 、y 的二元一次方程，则a 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1或2 【例2】下列各组数中，是二元一次方程3x −5y =8的解的是（ ）A ．{x =1y =1B ．{x =−1y =1C ．{x =−1y =−1D ．{x =1y =−1【例3】若{x =−1y =2是关于x ，y 的二元一次方程3x+ay=5的一个解，则a 的值为 【例4】如果{x =1，y =2是关于x ，y 的方程mx +2y =6的解，那么m 的值为（） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【例5】下列方程中：①xy =1 ；②3x +2y =4 ；③2x +3y =0 ；④x 4+y3=7 ，二元一次方程有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【例6】下列方程组是二元一次方程组的是（ ）A ．{mn =2m +n =3 B ．{5m −2n =01m+n =3C ．{m +n =03m +2a =16D ．{m =8m 3−n 2=1知识点二、二元一次方程组的解法【例7】用代入消元法解方程组 {y =x −13x −2y =5正确的化简结果是（ ） A ．3x −2x −2=5 B ．3x −2x +2=5 C ．3x −2x −1=5 D ．3x −2x +1=5【例8】用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（ ）A ．由（1），得x=2−4y 3B ．由（1），得y=2−3x 4C ．由（2），得x=y+52D ．由（2），得y=2x ﹣5【例9】解方程组。
二元一次方程、方程组的概念
求k的值.
求a、b的值.
例7.解方程组
ax 4 x
5y by
15 2
1 2
时，甲看错了方程
1中的a,
得到方程
组的解为
x y
3 1
,乙看错了方程
2中的b,
得到方程组的解为
x y
3 1
求原方程组的解.
例8.已知关于x,
y的方程组
5x 7y 5ax 7by
231 和
ax by 1 x 5 y 31
c1 c2
ax by
c1 c2
例1.若方程a 1 x a b 2 yb23是关于未知数x、y的
二元一次方程.求a、b的值.
分析：
保证二元的条件
a 1 0 b 2 0
保证一次的条件
a =1 b2 3=1
a 1
x y
令m 1,则2x 2 y 9 0
x2y9 0 2x 2 y 9 0
x0
解得
y
9 2
即2xx22yy99
x0
当
y
9 2
时，左边=
0 2 9 m 0 9 0 右边 2
x0
无论m取何值，方程x
2
y
mx
9
0总有公共解
y
9 2
.
z 2
z 4
z 6
例4.若二元一次方程组
ax by 3ax 2by
1
的解是 23
x y
5 4
,
求a
b的值.
求a、b的值.
例5.若
x y
3 3
和
x y
2 1
都是方程y
ax
b的解是,
求a、b的值.
沪教版六年级：二元一次方程及方程组
沪教版六年级：二元一次方程及方程组一、基础导航知识要点1：二元一次方程及方程组1.含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
3.二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集。
4.两个二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组。
5.使二元一次方程组中的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
例1：1、在⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==448118y x y x y x 这三组数中， 是方程2023=+y x 的解， 是方程2032=+y x 的解.2、当m = ，n = 时，方程()03122=++--n y x x m 是一个二元一次方程。
3、下列方程组中，二元一次方程组一共有（ ）个（1）⎩⎨⎧=+-=x y y x 51（2）⎩⎨⎧=+=-032y x y x （3）⎪⎩⎪⎨⎧=-=-1231y x y x （4）⎩⎨⎧-==-532x y y x A ．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个小试牛刀11、在二元一次方程652=+y x 的解中，如果x 和y 互为相反数，那么这个方程的解是 .2、二元一次方程32=+x y 的正整数解是 。
3、下列判断中，正确的是 （ ）A .方程y x =不是二元一次方程B .任何一个二元一次方程都有一组解C .方程52=-y x 有无数个解，任何一对x 、y 的值都是该方程的解D .⎩⎨⎧-==12y x 既是方程42=-y x 的解，又是方程132=+y x 的解4、已知11x y =⎧⎨=⎩是方程组23ax by x by +=⎧⎨-=⎩的解，求a 、b 的值知识要点2：用代入消元法解二元一次方程组运用代入消元法解方程组的一般步骤：（1）从方程组中选出一个系数较为简单的方程，将这个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来。
二元一次方程组的定义
二元一次方程组的定义含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。
有几个方程组成的一组方程叫做方程组。
如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：代入消元法例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③带入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7把y=59/7带入③，得x=5-59/7，即x=-24/7∴x=-24/7，y=59/7这种解法就是代入消元法。
加减消元法例：解方程组x+y=9①x-y=5②解：①+②，得2x=14，即x=7把x=7带入①，得7+y=9，解得y=-2∴x=7，y=-2这种解法就是加减消元法。
二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②的解为x=-24/7，y=59/7。
2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②，因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5，这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
课堂教学日志：今天讲的是概念课——有关二元一次方程及其解、二元一次方程组及其解的概念导入：到今天为止，我们学习了第5章，这一章主要研究了平面内点和线位置关系；第六章讲了平面直角坐标系——它是代数与几何的“桥梁”；第7章主要研究了三角形及其多边形的边、角；今天我们又要研究代数问题，其中方程是代数学主要内容，这一章我们主要研究二元一次方程及其利用它去解决实际问题。
二元一次方程组及其解法
例1. 某单位外出参观.若每辆汽车坐45人，那么15人没 有座位；若每辆汽车坐 60人，则恰好空出一辆汽车， 问共需几辆汽车，该单位有多少人？ 分析： 15人没有座位→多出15个人 空出1辆汽车→多出1辆汽车 解：设该单位共有x辆车，y个人.依题意，得 y - 45x = 15 ① 60 × (x - 1) = y ② ①式移项得y = 15 + 45x，代入②式 60x - 60 = 15 + 45x，可得x = 5 把x = 5代入①中，可得y = 240
合并①②可得：6x + 18 = 8x - 24，解得x = 21 把x = 21代入①得y = 144 答：船在静水中的速度为21千米/小时，两码头之间的距 离为144千米。
各位同学。 再见~！
例2、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无 D 数多个解的方程是（ ） A．10x+2y=4 B．4x-y=7 C．20x-4y=3 D．15x-3y=6 解析： 在5x - y = 2的两边乘以3，即得15x - 3y = 6，与D 选项相等。 ∴由以上两个方程组成的方程组有无数多个解
例2. 汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要 延误0.5小时到达；若每小时行驶50千米，就可以提前 0.5小时到达。求甲、乙两地间的距离及原计划行驶的 时间。
比原计划多 开0.5小时
比原计划少 解：设甲、乙两地的距离为 x千米，原计划行驶时间为y 开0.5小时
小时.依题意，根据速度×时间=路程得 45 × (y +0.5) = x ① 50 × (y - 0.5) = x ② 合并①②，得45 × (y +0.5) = 50 × (y - 0.5) 解得y = 9.5，代入①得x = 450 答：甲、乙两地间的距离是450千米，原计划行使时间 为9.5小时。
二元一次方程组
一、二元一次方程含有两个未知数，并且两个未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——分母中不能含有字母； ②有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的最高次数为1——“一次”．关于x 、y 的二元一次方程的一般形式：ax by c +=（0a ≠且0b ≠）． 二、二元一次方程的解使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组取值叫做二元一次方程的解．在写二元一次方程解的时候我们用大括号联立表示．如：方程2x y +=的一组解为11x y =⎧⎨=⎩，表明只有当1x =和1y =同时成立时，才能满足方程．一般的，二元一次方程都有无数组解，但如果确定了一个未知数的值，那么另一个未知数的值也就随之确定了．【例1】 若211350a b x y +-+=是关于x 、y 的二元一次方程，则a =______，b =______．【例2】 已知方程()21320m n m x y ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，则m =______，n =______． 【例3】 下列方程中，属于二元一次方程的是（）A ．10x y +-=B ．54xy +=-C ．2389x y +=D ．12x y+= 【例4】 在方程325x y -=中，若2y =-，则x =________． 【例5】 求二元一次方程25x y +=的所有非负整数解．【例6】 已知23x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的二元一次方程432x y a =+的一组解，求231a a -+的值．一、二元一次方程组由几个一次方程组成并且一共．．含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 特别地，134x y x +=⎧⎨-=⎩和31x y =⎧⎨=-⎩也是二元一次方程组．二、二元一次方程组的解二元一次方程组中所有方程（一般为两个）的公共解．．．叫做二元一次方程组的解． 注意：（1）二元一次方程组的解一定要写成联立的形式，如方程组2397x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是61x y =⎧⎨=⎩．（2）二元一次方程组的解必须同时满足所有方程，即将解代入方程组的每一个方程时，等号两边的值都相等．例如：因为12x y =⎧⎨=⎩能同时满足方程3x y +=、1y x -=，所以12x y =⎧⎨=⎩是方程组31x y y x +=⎧⎨-=⎩的解． 【例7】 下列方程中，与方程325x y +=所组成的方程组的解是32x y =⎧⎨=-⎩的是（）A ．34x y -=B ．434x y +=C ．1x y +=D ．432x y -=【例8】 若x ay b =⎧⎨=⎩是方程31x y +=的一个解，则934_______a b ++=．【例9】 若关于x 、y 的二元一次方程组2x y m x my n -=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩，则m n -的值是（）A ．1B ．3C ．5D ．2【例10】 已知方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解为8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组()()()()223113325130.9x y x y ⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩的解是_________．一、消元思想二元一次方程组中有两个未知数，如果能“消去”一个未知数，那么就能把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做“消元”．使用“消元法”减少未知数的个数，使多元方程组最终转化为一元方程，再逐步解出未知数的值． 二、代入消元法1、代入消元法的概念将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法．2、用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y ），用另一个未知数（如x ）的代数式表示出来，即将方程写成y ax b =+的形式； ②代入消元：将y ax b =+代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x 的值；④回代：把求得的x 的值代入y ax b =+中求出y 的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式． 三、加减消元法1、加减消元法的概念当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法．2、用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式． 【例11】 把方程513yx y +=+写成用含x 的式子表示y 的形式，下列各式正确的是（ ） A ．352y x =+B ．3102y x =-C ．31522y x =--D ．31522y x =-+【例12】 已知代数式133m x y --与52n m n x y +是同类项，那么m 、n 的值分别是（）A ．21m n =⎧⎨=-⎩B ．21m n =-⎧⎨=-⎩C ．21m n =⎧⎨=⎩D ．21m n =-⎧⎨=⎩【例13】 已知x 、y 满足方程组2100721006x y x y +=⎧⎨+=-⎩，则x y -的值为_________．【例14】在方程组2122x y mx y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x 、y 满足0x y +>，则m 的取值范围为（）A.3m >B.3m <C.3m ≥D.3m ≤【例15】 解下列二元一次方程组：（1）1243231y x x y ++⎧=⎪⎨⎪-=⎩ （2）2320.40.7 2.8yx x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩【例16】已知关于x、y的方程组227x y kx y k-=-⎧⎨+=⎩，则:________x y=．【作业1】已知12xy=-⎧⎨=⎩是关于x、y的方程组12x aybx y+=-⎧⎨-=⎩的解，则a b+=______．【作业2】若12xy=⎧⎨=-⎩是关于x、y的方程1ax by-=的一组解，且3a b+=-，求52a b-的值．解下列二元一次方程组：（1）45805620x yy x-=⎧⎨+=⎩（2）1243231y xx y++⎧=⎪⎨⎪-=⎩(1)、三元一次方程的概念三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。
(完整版)二元一次方程组知识点归纳
t at i me an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m e t h i n二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
注意 ：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！ 也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
1.有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解 如方程组x+y=6① 2x+2y=12② 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解 如方程组x+y=4① 2x+2y=10②， 因为方程②化简后为 x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种： 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得 x=5-y ③ t at i me an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m e t h i n把y=59/7带入③， x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 基本思路：未知数又多变少。
二元一次方程与二元一次方程组的区别
用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
1从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式；
2将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；
3解这个一元一次方程，求出x的值；
4把求得的x的值代入y=ax+b中，求出y的值，从而得出方程组的解。
知识点二：加减消元法
用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
1方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数乘方程的两边，使一个未知数的系数相等或互为相反数；
2把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次知数例如y用含另一个未知数例如x的代数式表示出来即写成yaxbyaxb代入另一个方程中消去y得到一个关于把求得的x的值代入yaxb中求出y的值从而得出方程组的解
二元一次方程与二元一次方程组的区别：
含有两个未知数，并且未知数的项的指数都是1的方程，叫做二元一次方程，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3解这个一元一次方程
4将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解
例1：用两种方法解方程组
例2：解方程组
题型一：整体化思想求方程组的解
例3：
例4：解方程组
题型二：用换元法解方程组
例5：解方程组
题型三：利用非负数的性质建立方程组
例6：若 ，求 的值。
题型四：求方程组中系数的值
例7：已知方程组 与 有相同的解，求m,n的值
注意：1，二元一次方程中的“二元”就是指方程中有且只有两个未知数。2，含有未知数的项的次数是一次，切不可理解成两个未知数的次数都是1.如方程2xy+2=0含有两个未知数，且未知数的次数是1，但未知数项2xy的次数是2.
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二元一次方程及二元一次方程组
１．二元一次方程
一般形式：0=++c by ax 其中a ≠0，且b ≠0.
例1. 在下列方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明为什么？
①a 2b 15
+=， ②5y 8y 60-+=， ③5(x 2y)2(2x 5y)8---=， ④4pq 1=， ⑤85y 0x -
=， ⑥y y 2(x )3(x )218-=+ 答：①，⑥是.
例2. 方程是二元一次方程，则的取值为（ C ）
A. a ≠0
B. a ≠ -1
C. a ≠1
D. a ≠2
2．二元一次方程组
一般形式：1112
22a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中a 1，a 2，b 1，b 2不同时为零）. 例3. 在方程组、、、、 、
中，是二元一次方程组的有（ B ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
例4.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数
项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是
3219,
423.
x y
x y
⎧
⎨
⎩
+=
+=
类似
地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ A ）.
A．
211,
4327.
x y
x y
⎧
⎨
⎩
+=
+=
B．
211,
4322.
x y
x y
⎧
⎨
⎩
+=
+=
C．
3219,
423.
x y
x y
⎧
⎨
⎩
+=
+=
D．
26,
4327.
x y
x y
⎧
⎨
⎩
+=
+=
3．二元一次方程的解
特点：(1)二元一次方程的解是一对数值，即
x a
y b
=
⎧
⎨
=
⎩
；
(2)一个二元一次方程有无数多解，但非任意一对数值都适合.
例5.
x2
y1
=
⎧
⎨
=-
⎩
是二元一次方程ax-2＝-by的一个解，则2a-b-6的值等于. （-4）
例6. 若二元一次方程有正整数解，则的取值应为（A）
A. 正奇数
B. 正偶数
C. 正奇数或正偶数
D. 0
例7. 某球迷协会组织72名球迷拟租乘汽车赴比赛场地，为首次打进世界杯决赛圈的国家足球队加油助威. 可租用的汽车有两种：一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载.
①请你给出不同的租车方案（至少三种）；
②若8个座位的车子的租金是300元/天，4个座位的车子的租金是200元/天，请你设计出费用最少的租车方案，并说明理由.
解：①设租用乘8人的车为x辆，租用乘4人的车为y辆.
8x+4y=72 ∴y=18-2x。