算术平均数与几何平均数——基本不等式

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算术平均数与几何平均数——基本不等式

知识要点:

1.如果,a b ∈ ,那么2

2

a b + 2ab (当且仅当 时取“=”号);反之,

ab 22

2

a b +也成立。

2.如果,a b ∈ ,那么

2

a b

+≥ (当且仅当a b =时取“=”号);反之,ab ≤ 也成立。 3.把2

a b +称,a b 的

;把,a b 的

;不等式,)2a b

a b R *+≥∈可叙述为 ;

疑误知识辨析:

例1. 若,a b R ∈,求证:222||a b ab +≥; 例2.x R *

∈,求证:1

2x x

+≥; 经典名题:

例3.已知0a b >>,全集,{|}2

a b

U R M x b x +==<<

{},{|N x x a P x b x =<<=<≤,则

A .U P M C N =⋂;

B .U P N

C M =⋂;C .P N M =⋂;

D .P N M =⋃; 例4.已知,,{|0}a b c x x ∈>,证明:(1)1

1

()()4a b c a b c

+++≥+; (2

2

21()2

a b c ++。 同步训练:

一、选择题

1.“a 是正数,b

是正数”是“a b +≥ 的

A .充分不必要条件;

B .必要不充分条件;

C .充要条件;

D .既不充分也不必要条件。

2.若a 、b

都是正实数,则在不等式2

2

2,a b ab a b +≥+≥22,2a b a b

a b b a b a

+≥++≥ 中不正确的个数是

A .0;

B .1;

C .2;

D .3

3.,x y R *

∈,则下列不等式中等号不成立的是

A .11

21

x x x x

+

+≥+; B .11()()4x y x y ++≥;

C .11

()()4x y x y

++≥; D .222lg lg lg lg ()22x y x y ++≤ 二、填空题

4.已知2

211(3),()22

x P a a Q a -=+

>=-,则P 、Q 的大小关系是 ; 5.若a 、b 、c >0,则b c c a a b

a b c

+++++≥ ; 6.下列不等式的证明过程 ①若,a b R ∈、

2b a a b ≥=+;②若0x >,

则1cos 2cos x x +≥=;③若0x <

,则44x x +

≤;④若a b R ∈、且0ab <,

[()()]2a b a b b a b a +=--+-≤--。证明过程正确的是 。 三、解答题:

7.证明222a b ab +≥下面的几种变形:(1)222||2a b ab ab +≥≥±;(2)2

2

21

()2

a b a b +≥

+;(3)2

()4a b ab +≥;(4)(0)a b a b ab b a --≥>;(5)222

()22

a b a b ++≥ 8.(1)已知a b c R ∈、、,求证:222

ac ab bc a b c ++≤++;

(2)已知实数a b x y 、、、满足2

2

2

2

1,1a b x y +=+=,求证:1ax by +≤。

9.设a 、b 、c

)a b c >++。

10.设a 、b 、c 为正数,证明:222

a b c a b c b c a

++≥++

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