算术平均数与几何平均数——基本不等式

算术平均数与几何平均数——基本不等式

知识要点：

1．如果,a b ∈ ，那么2

2

a b + 2ab （当且仅当 时取“=”号）；反之，

ab 22

2

a b +也成立。

2．如果,a b ∈ ，那么

2

a b

+≥ （当且仅当a b =时取“=”号）；反之，ab ≤ 也成立。 3．把2

a b +称,a b 的

；把,a b 的

；不等式,)2a b

a b R *+≥∈可叙述为 ；

疑误知识辨析：

例1． 若,a b R ∈，求证：222||a b ab +≥； 例2．x R *

∈，求证：1

2x x

+≥； 经典名题：

例3．已知0a b >>，全集,{|}2

a b

U R M x b x +==<<

，

{},{|N x x a P x b x =<<=<≤，则

A ．U P M C N =⋂;

B ．U P N

C M =⋂;C ．P N M =⋂;

D ．P N M =⋃； 例4．已知,,{|0}a b c x x ∈>，证明：（1）1

1

()()4a b c a b c

+++≥+； （2

2

21()2

a b c ++。 同步训练：

一、选择题

1．“a 是正数，b

是正数”是“a b +≥ 的

A ．充分不必要条件；

B ．必要不充分条件；

C ．充要条件；

D ．既不充分也不必要条件。

2．若a 、b

都是正实数，则在不等式2

2

2,a b ab a b +≥+≥22,2a b a b

a b b a b a

+≥++≥ 中不正确的个数是

A ．0；

B ．1；

C ．2；

D ．3

3．,x y R *

∈，则下列不等式中等号不成立的是

A ．11

21

x x x x

+

+≥+； B ．11()()4x y x y ++≥；

C ．11

()()4x y x y

++≥； D ．222lg lg lg lg ()22x y x y ++≤ 二、填空题

4．已知2

211(3),()22

x P a a Q a -=+

>=-，则P 、Q 的大小关系是 ； 5．若a 、b 、c >0，则b c c a a b

a b c

+++++≥ ； 6．下列不等式的证明过程 ①若,a b R ∈、

则

2b a a b ≥=+；②若0x >，

则1cos 2cos x x +≥=；③若0x <

，则44x x +

≤；④若a b R ∈、且0ab <，

则

[()()]2a b a b b a b a +=--+-≤--。证明过程正确的是 。 三、解答题：

7．证明222a b ab +≥下面的几种变形：（1）222||2a b ab ab +≥≥±；（2）2

2

21

()2

a b a b +≥

+；（3）2

()4a b ab +≥；（4）(0)a b a b ab b a --≥>；（5）222

()22

a b a b ++≥ 8．（1）已知a b c R ∈、、，求证：222

ac ab bc a b c ++≤++；

（2）已知实数a b x y 、、、满足2

2

2

2

1,1a b x y +=+=，求证：1ax by +≤。

9．设a 、b 、c

)a b c >++。

10．设a 、b 、c 为正数，证明：222

a b c a b c b c a

++≥++