算术平均数与几何平均数——基本不等式
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算术平均数与几何平均数——基本不等式
知识要点:
1.如果,a b ∈ ,那么2
2
a b + 2ab (当且仅当 时取“=”号);反之,
ab 22
2
a b +也成立。
2.如果,a b ∈ ,那么
2
a b
+≥ (当且仅当a b =时取“=”号);反之,ab ≤ 也成立。 3.把2
a b +称,a b 的
;把,a b 的
;不等式,)2a b
a b R *+≥∈可叙述为 ;
疑误知识辨析:
例1. 若,a b R ∈,求证:222||a b ab +≥; 例2.x R *
∈,求证:1
2x x
+≥; 经典名题:
例3.已知0a b >>,全集,{|}2
a b
U R M x b x +==<<
,
{},{|N x x a P x b x =<<=<≤,则
A .U P M C N =⋂;
B .U P N
C M =⋂;C .P N M =⋂;
D .P N M =⋃; 例4.已知,,{|0}a b c x x ∈>,证明:(1)1
1
()()4a b c a b c
+++≥+; (2
2
21()2
a b c ++。 同步训练:
一、选择题
1.“a 是正数,b
是正数”是“a b +≥ 的
A .充分不必要条件;
B .必要不充分条件;
C .充要条件;
D .既不充分也不必要条件。
2.若a 、b
都是正实数,则在不等式2
2
2,a b ab a b +≥+≥22,2a b a b
a b b a b a
+≥++≥ 中不正确的个数是
A .0;
B .1;
C .2;
D .3
3.,x y R *
∈,则下列不等式中等号不成立的是
A .11
21
x x x x
+
+≥+; B .11()()4x y x y ++≥;
C .11
()()4x y x y
++≥; D .222lg lg lg lg ()22x y x y ++≤ 二、填空题
4.已知2
211(3),()22
x P a a Q a -=+
>=-,则P 、Q 的大小关系是 ; 5.若a 、b 、c >0,则b c c a a b
a b c
+++++≥ ; 6.下列不等式的证明过程 ①若,a b R ∈、
则
2b a a b ≥=+;②若0x >,
则1cos 2cos x x +≥=;③若0x <
,则44x x +
≤;④若a b R ∈、且0ab <,
则
[()()]2a b a b b a b a +=--+-≤--。证明过程正确的是 。 三、解答题:
7.证明222a b ab +≥下面的几种变形:(1)222||2a b ab ab +≥≥±;(2)2
2
21
()2
a b a b +≥
+;(3)2
()4a b ab +≥;(4)(0)a b a b ab b a --≥>;(5)222
()22
a b a b ++≥ 8.(1)已知a b c R ∈、、,求证:222
ac ab bc a b c ++≤++;
(2)已知实数a b x y 、、、满足2
2
2
2
1,1a b x y +=+=,求证:1ax by +≤。
9.设a 、b 、c
)a b c >++。
10.设a 、b 、c 为正数,证明:222
a b c a b c b c a
++≥++